高考数学充分条件与必要条件
2025高考数学一轮复习充分条件与必要条件
第二节 充分条件与必要条件
【课标要求】 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。
【命题规律】 本讲内容考查涉及的知识面比较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断及简单应用，难度中等。
必备知识 夯实四基
基础·细梳理
1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以___________的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做_________，判断为假的语句叫做_________。
【变式训练】（1） [2022·高三八省（市）学业质量评价联考] “ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由正弦函数的单调性可知，当 时， 。反之，当 时，可能有 ,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件。故选A。
且
小题·微演练
一、基础题
1.“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
B
[解析] 当 时，若 ，则 ，所以 ；当 时， ，则 ，所以 ,即“ ”是“ ”的必要不充分条件。
2.设 ，则“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.充分条件与必要条件
（1）若________________，则 是 的充分不必要条件❶。
（2）若________________，则 是 的必要不充分条件❷。
（3）若________________，则 是 的充要条件❸。
高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析
高三数学充分条件与必要条件试题答案及解析1.在△中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知，当A，B都为锐角，且A<B时，正弦函数在（0，90°）单调递增，所以，故；当A为锐角，B为钝角时，A+B<180°，所以,所以，故选：C．【考点】充要条件．2.若实数满足，且＝0，则称a与b互补．记φ（a，b）＝－a－b，那么φ（a，b）＝0是a与b互补的（）A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】由φ（a，b）＝0得－a－b＝０且；所以φ（a，b）＝0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：，且＝0；从而有，所以φ（a，b）＝0是a与b互补的必要条件；故得φ（a，b）＝0是a与b互补的充要条件；故选Ｃ．【考点】充要条件的判定．3.在中，角、、所对应的变分别为、、，则是的（）A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【答案】A【解析】由正弦定理得（其中为外接圆的半径），则，，，因此是的充分必要必要条件，故选A.【考点】本题考查正弦定理与充分必要条件的判定，属于中等题.4.已知条件：，条件：，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：因为：：，所以：而：所以是的充分不必要条件，故选A.【考点】1、一元二次不等式及分式不等式的解法；2、充要条件.5.求证：方程x2＋ax＋1＝0的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？【答案】必要条件但不是充分条件，见解析【解析】证明：设x2＋ax＋1＝0的两实根为x1，x2，则平方和大于3的等价条件是即a>或a<－.∵{a|a>或a<－}，{a||a|>}，∴|a|>这个条件是必要条件但不是充分条件．6.（2011•浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵a、b为实数，0＜ab＜1，∴“0＜a＜”或“0＞b＞”∴“0＜ab＜1”⇒“a＜”或“b＞”．“a＜”或“b＞”不能推出“0＜ab＜1”，所以“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的充分而不必要条件．故选A．7.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.【考点】充要条件.8.（2013•浙江）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选A．9.设a＞0且a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，所以a∈（0，1），“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”所以a∈（0，2）；显然a＞0 a≠1，则“函数f（x）=a x在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件．故选A．10.已知向量，，则的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，由于，则，即，即，故选A.【考点】平面向量垂直的等价条件11.设，则是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】B【解析】当时，，而当时，；当时，，∴，∴综上可知：是的必要而不充分条件.【考点】充分必要条件.12.设则是“”成立的 ( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】C【解析】，，由于，因此应选C．【考点】解不等式，充要条件．13.“”是“” 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，，所以“”是“” 的必要不充分条件.【考点】充分与必要条件.14.设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的 ()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0，但方程x＋y－1＝0有无数多个解，不能确定x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l上”的充分不必要条件．15.“m=1”是“直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为m=1时，直线x-my=1和直线x+my=0即可化为x-y=1和x+y=0.即y=x-1和y=-x所以斜率积为-1，所以这两条直线垂直.所以充分性成立.若直线x-my=1和直线x+my=0互相垂直，因为m=0显然不成立.所以两条直线分别为和.所以由斜率乘积为-1可得.所以即.所以必要条件不存在.故选A.【考点】1.充分必要条件.2.直线的位置关系.3.含参数的讨论.16.“”是“函数为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数为奇函数，则当时，，即，因此“”是“函数为奇函数” 的充分不必要条件，故选A.【考点】1.三角函数的奇偶性；2.充分必要条件17.已知，则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式得；解不等式得；因为，而，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B【考点】1、一元一次、二次不等式的解法；2、充要条件.18.设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数在上递减，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若的不等式对一切恒成立，则，解得；在上递减，则，解得，易知甲是乙的必要不充分条件，故选B.【考点】1.充分条件与充要条件；2.二次函数与对数函数的性质.19.设数列是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知，则设数列的公比为，因为，所以有，又，解得，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增数列，则公比且，所以，即，所以是数列是递增数列的充分必要条件．故选C.【考点】等比数列的通项公式，充要条件.20.两个非零向量的夹角为，则“”是“为锐角”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得，所以“”是“为锐角”的必要不充分条件.【考点】充分必要条件.21.或是的条件.【答案】必要不充分【解析】若，，则，故或是的必要不充分条件.【考点】充要条件的判断.22.“”是“”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】充分不必要【解析】如果时，那么，所以“”是“”的充分条件，如果，那么，或，所以“”是“”的不必要条件，综上所以“”是“”的充分不必要条件.【考点】充分条件和必要条件.23.“函数在区间上存在零点”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数在区间上存在零点，则：.即.所以“函数在区间上存在零点”是“”的必要不充分条件.【考点】1、函数的零点；2、充分条件与必要条件.24.“a≥0”是“函数在区间（－∞，0）内单调递减”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】令t=（ax-1）x=ax2-x,则，设=0，解得x=，所以，当a≥0时，函数t=（ax-1）x在（－∞，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，即极小值为－，当x<0时，t>0,所以a≥0时，函数在区间（－∞，0）内单调递减；若函数在区间（－∞，0）内单调递减，则x时，<0,即成立,所以2a ≥0，故选A.【考点】1.导数的应用；2.充分必要条件的判断.25.若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】显然是等比数列一定是等方比数列，是等方比数列不一定是等比数列，故甲是乙的必要不充分条件，选B.【考点】充要条件.26.已知“命题”是“命题”成立的必要不充分条件,则实数的取值范围为_________________.【答案】【解析】将两个命题化简得，命题，命题.因为是成立的必要不充分条件，所以或，故的取值范围是.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.必要不充分条件.27.已知是实数，则“且”是“且”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】因为，且，所以，且；反之，当且时，说明a,b同号，而若a，b均为负数，与a+b>0矛盾，所以且。
数学高中充分条件与必要条件知识点总结
数学高中充分条件与必要条件知识点总结一、知识概述《数学高中充分条件与必要条件知识点》①基本定义：- 充分条件：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，但未必没有事物情况B，A就是B的充分而不必要的条件，简称充分条件。
简单说，就是只要A成立，B就一定成立，那A就是B的充分条件。
比如，天上下雨（A），地面湿（B），只要天上下雨，地面肯定湿，那“下雨”就是“地面湿”的充分条件。
- 必要条件：如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B；如果有事物情况A而未必有事物情况B，A就是B的必要而不充分的条件，简称必要条件。
也就是说，只有A成立了，B才有成立的可能，A不成立，B 肯定不成立，那A就是B的必要条件。
举个例子，我们想要考上大学（B），就必须好好学习（A），如果不好好学习就肯定考不上大学，那“好好学习”就是“考上大学”的必要条件。
②重要程度：在高中数学中，充分条件与必要条件是逻辑推理的重要基础内容。
它是我们理解数学命题之间关系的关键，在解决很多数学问题尤其是关于函数、不等式、几何证明等方面都有广泛应用。
要是这个部分没学好，那后面很多涉及逻辑推导的知识学习就会有困难。
③前置知识：同学得先掌握基本的命题概念，以及对简单因果关系有一定理解，像如果这个事发生了，会导致另外一个什么事，这种最基本的逻辑关系要心中有数。
另外，对集合知识有初步了解的话有助于理解充分条件和必要条件，因为从某种程度上来说，它们和集合之间有着紧密联系。
④应用价值：在实际生活中，充分条件和必要条件的逻辑有助于我们进行各种决策判断。
例如，一个公司要推出一款新产品（B），那首先要进行市场调研（A），如果没有市场调研，产品推出就很可能失败，所以“市场调研”就是“产品推出”的必要条件。
从数学学习内部来讲，在解决函数定义域、值域等问题，以及通过条件推导出几何图形之间的关系都离不开这些知识。
二、知识体系①知识图谱：充分条件与必要条件在高中数学逻辑体系里属于基础的逻辑判断部分，它是建立复杂数学推理的基石，如果把整个高中数学知识体系比作一座大厦，这个知识点就是底层的一块重要砖石。
高考数学专项： 充分条件与必要条件(讲义)解析版
1.4充分条件与必要条件1.命题（1）命题的定义在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。
（2）真命题，假命题判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题（3）命题的一般形式通常用“若p，则q”的形式来表达，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。
考点1：判断语句是否为命题例1：下列语句中不是命题的是（）A．36B．二次函数的图象不一定关于y轴对称xC．0xD．对任意x R，总有20【答案】C【分析】根据命题的定义进行判断即可.【详解】选项A,B,D中均为陈述句,且能够判断真假,故均为命题,C选项虽然是陈述句但无法判断真假,故不是命题.故选：C.【点睛】判断一个语句是不是命题,要看它符不符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.考点2：判断命题的真假例2：下列命题是真命题的是（）．A ．空集是任何集合的真子集B ．等腰三角形是锐角三角形C ．函数21y ax x 是二次函数D ．若a A B ∩，则a B【答案】D【分析】由真子集的定义、等腰三角形的特征，二次函数的定义以及集合的运算即可得出选项。
【详解】空集是任何非空集合的真子集，故选项A 错误；等腰三角形顶角可以为钝角，故选项B 错误；函数21y ax x ，当0a 时是一次函数，故选项C 错误；若a A B ∩，则a 是集合A ，B 的公共元素，所以a B 。
所以答案为D【点睛】本题考查命题真假的判断。
变式2-1：如果命题“若m <3,则q ”为真命题,那么该命题的结论q 可以是()A ．m <2B ．m <4C ．m >2D ．m >4【答案】B【分析】根据集合的性质，小集合可以推导出大集合，并且要求命题为真命题，即可直接得出结论.【详解】由集合的性质，小范围推大范围，故可知4m 的范围要比题干中m 的范围大，所以取4m ；故选B.变式2-2：下列命题是假命题的是（）．A ．若AB B ，则A BB ．若a A ，则a A BC ．若a A B ∩，则a BD ．若a A B ，则a A B∩【答案】B【分析】根据集合的性质，小集合可以推导出大集合，并且要求命题为真命题，即可直接得出结论.【详解】由集合的性质，小范围推大范围，故可知4m 的范围要比题干中m 的范围大，所以取4m ；故选B.考点3：命题的一般形式例3．判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p ，则q ”的形式.（1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（2）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；（3）当x y 是有理数时，,x y 都是有理数；（4）1232014 ；（5）这盆花长得太好了！【答案】（2）（3）为命题，（2）为真命题，改写成“若p ，则q ”的形式是：在ABC 中，,,A B C 所对的边为,,a b c ，若A B ，则a b .（3）为假命题，改成“若p ，则q ”的形式是：若x y 为有理数，则,x y 为有理数.【分析】能判断真假的陈述句是命题，从而可得（2）（3）为命题，找出两者的前提和结论，从而可得它们“若p ，则q ”的形式．【详解】（1）为疑问句，（5）为感叹句，两者均不是命题，（4）为一个和式，无法判断其真假，故也不是命题.（2）为命题，且为真命题，改成“若p ，则q ”的形式是：在ABC 中，,,A B C 所对的边为,,a b c ，若A B ，则a b .（3）为命题，且为假命题，比如1 .改成“若p ，则q ”的形式是：若x y 为有理数，则,x y 为有理数.【点睛】本题考查命题的判断以及命题的结构，注意可以判断真假的陈述句才是命题，命题由前提和结论构成，本题属于基础题.变式3-1．判断下列命题的真假并说明理由．（1）某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除；（2）若,a b R ，且0ab ，则0a ，且0b ；（3）合数一定是偶数；（4）若A B ，则A B A ∩；（5）两个三角形两边一对角对应相等，则这两个三角形全等；（6）若实系数一元二次方程20ax bx c 满足0ac ，那么这个方程有两个不相等的实根；（7）若集合A ，B ，C 满足A B A C ，则B C ；（8）已知集合A ，B ，C ，如果A B ，那么A C B C ．【答案】（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；（5）假；（6）真；（7）假；（8）真【分析】（1）先判断逆否命题的真假，即可判定出结果；（2）根据不等式性质，直接判断即可；（3）特殊值验证即可；（4）根据子集的性质，即可判定结果；（5）根据全等三角形的判定定理，即可判定结果；（6）根据判别式，即可判定结果；（7）特殊值法验证即可；（8）根据子集与交集的性质，即可判定结果.【详解】（1）命题“某个整数不是偶数，则这个数不能被4整除”的逆否命题为“某个整数能被4整除，则这个数是偶数”，显然为真命题，故（1）是真命题；（2）若,a b R ，且0ab ，则00a b 或00a b ；故（2）是假命题；（3）合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他整数整除的数；因此，合数不一定是偶数，如9，是合数，但不是偶数；故（3）是假命题；（4）若A B ，根据子集的性质，有A B A ∩；故（4）是真命题；（5）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；题干中所说对角不一定是夹角，故这两个三角形不一定全等；故（5）是假命题；（6）若实系数一元二次方程20ax bx c 满足0ac ，则240b ac ，所以这个方程有两个不相等的实根；故（6）是真命题；（7）若集合 1,3A ， 2,3B ， 3,5C ，显然满足A B A C ，但B C ；故（7）是假命题；（8）已知集合A ，B ，C ，如果A B ，根据交集与子集的性质，可得：A CBC ．故（8）是真命题.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记对应的知识点，灵活运用特殊值法即可，属于常考题型.2.充分条件与必要条件（1）充分条件与必要条件的定义一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由条件p 通过推理可以得出q 。
高考数学一轮复习第一章第二讲充分条件与必要条件课件
p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
2.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即 “p⇒q”则“q⇐ p”.
(2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要) 条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”，则“p⇒r” (“p⇐ q 且 q⇐ r”，则“p⇐ r”).
第二讲 充分条件与必要条件
1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系. 3.理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
答案：[0，3]
【考法全练】
1.(考向 1)(2023 年潮南区开学)已知复数 z1＝4－7i，z2＝m＋
2i(m∈R)，zz21在复平面内所对应的点位于第三象限的一个充分不必 要条件是( )
பைடு நூலகம்
A.m＜－2
B.m<－87
C.－87<m<27
D.m<27
解析：根据题意，得zz12＝m4－＋72ii＝4m6－5 14＋8＋657mi，故在复平
C 相交”的充分不必要条件.故选 A. 答案：A
答案：A
2.(2023 年高州市二模)已知直线 l：y＝kx 与圆 C：(x－2)2＋
(y－1)2＝1，则“0<k< 33”是“直线 l 与圆 C 相交”的(
高考数学总复习命题及其关系充分条件与必要条件PPT课件
[自主解答] (1)“存在集合 C 使得 A ⊆C，B ⊆∁UC”⇔ “A ∩B＝∅”．故 C 正确．
(2)当数列{an}的首项 a1＜0 时，若 q＞1，则数列{an}是递减 数列；当数列{an}的首项 a1＜0 时，要使数列{an}为递增数列，则 0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也 不必要条件．故选 D.
提示：两者说法不相同．“p 的一个充分不必要条件是 q” 等价于“q 是 p 的充分不必要条件”，显然这与“p 是 q 的充 分不必要条件”是截然不同的．
1．“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选 B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1， 0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不 充分条件．
[答案] (1)C (2)D (3)①④
充要条件问题的常见类型及解题策略 (1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三 步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论， 从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系． (2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题 目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验 证得到的必要条件是否满足充分性． (3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充 分必要性，判断是否成立即可．
B．若 x≤1，则 x＞0
C．若 x≤1，则 x≤0
D．若 x＜1，则 x＜0
高考数学 复习《充分条件、必要条件与命题的四种形式》
若 A B=A ，则 A B 真
（3） 若 x y 5,则x 2且y 3
若 x=2或y=3,则x y=5 假
典型例题 例5、已知p :|1 x 1 | 2; q : x2 2x 1 m2 0(m 0),
3 若p是q的必要不充分条件,求实数m的范围.
⑶充要条件
( p q)
⑷既不充分也不必要条件 ( p q 且q p )
练习: 在下列电路图中,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的什么条件:
⑴如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的_充__分__不__必__要_条件; ⑵如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的必 __要 ___不__充__分_条件;
典型例题
例 3、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）若 x2 y2 0 ，则 x, y 全为 0
（2）正偶数不是质数
（3）若 a 0 ，则 a b 0
（4）相似的三角形是全等三角形
(1) (2) (3) (4) 原命题 真 假 真 假 逆命题 真 假 假 真 否命题 真 假 假 真 逆否命题 真 假 真 假
既不充分也不必要条件 4）若A=B ，则甲是乙的充要条件。
典型例题
例 1、指出下列命题中，p 是 q 的什么条件．
⑴p： x 1 0 ，q： x 1 x 2 0 ； 充分不必要
⑵p：两直线平行，q：内错角相等； 充要 ⑶p： a b ，q： a2 b2 ； 既不充分也不必要 ⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．
1．互为逆否关系的一对命题，同真或同假。 2．互逆关系的一对命题，不一定同真假。 3．互否关系的一对命题，不一定同真假。
典型例题
高考数学充分条件与必要条件
（一）充分条件、必要条件和充要条件定义 1．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成 立的充分条件。 2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必 然结果，则条件B是A成立的必要条件。
A B
3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也 是A成立的充要条件。
充分不必要
练习1.设f(x)=x2-4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要而不
充分条件是（ C）
A、x<0 C、│x-1│>1
B、x<0或x>4 D、│x-2│>3
P32例1变式
记住：小范围能推出大范围，大范围不能推 出小范围。
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•
；车吉祥 https:// 车吉祥
AB
第三种方法：等价法
利用 A B与B A
A B与B A
等价关系。
B A与A B
的互为逆否命题的
证明A是B的充要条件，分两步：
（1）充分性：把A当作已知条件，结合前提 条件推出A。
例1．（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，
p是q的什么条件？
（1）（2）（3）在P32考例1
（1）在△ABC中，p：A>B q：BC>AC； 充要
（2）对于实数x、y，p：x+y≠8 q：x≠2或充y≠分6不；必要 （3）在△ABC中，p：SinA>SinB 即q：不ta充nA分>又tan不B必；要
（4）已知x、y∈R p：(x-1)2+(y-2)2=0 q：(x-1)(y-2)=0
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2025年高考一轮复习-1.4.1-充分条件与必要条件【课件】
2．若 p 是 q 的充分条件，这样的条件 p 是唯一的吗？ 提示：不唯一．如 1<x<3 是 x>0 的充分条件，又如，x>5,2<x<7 等都是 x>0 的充分条件． 3．用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么？
提示：(1)充分条件：对需要判断的条件 p 和结论 q，判定“若 p，则 q”的真假；若为真，则 p 是 q 的充分条件，否则不是充 分条件．
充分条件的两种常用判断方法 1．定义法： 首先确定所给命题的条件和结论；其次由条件推结论，若条 件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则不是． 2．命题判断方法： 如果命题：“若 p，则 q”是真命题，则 p 是 q 的充分条件； 如果命题：“若 p，则 q”是假命题，则 p 不是 q 的充分条 件．
[答案] (2)见解析
[解析] (2)解：①由于 Q R，所以 p⇒q， 所以 p 是 q 的充分条件． ②由于 a<b，当 b<0 时，ab>1；当 b>0 时，ab<1，因此 p⇒/ q， 所以 p 不是 q 的充分条件． ③由 x>1 可以推出 x2>1.因此 p⇒q， 所以 p 是 q 的充分条件．
[变式训练 2] 下列“若 p，则 q”形式的命题中，判断下列 命题中的 p 是否是 q 的充分条件．
(1)若 x2＝y2，则 x＝y. (2)若内错角相等，则两直线平行． (3)若整数 a 能被 4 整除，则 a 的个位数字为偶数． (4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.
(2)必要条件：对需要判断的条件 p 和结论 q，判定“若 q， 则 p”的真假；若为真，则 p 是 q 的必要条件，否则不是必要条 件．
高考数学专项： 充分条件与必要条件(习题作业)解析版
1.4充分条件与必要条件一、单选题1．已知:02p x ，:13q x ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将,p q 相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由:02p x ，可得出:13q x ，故p q ，由:13q x ，得不出:02p x ，所以p 是q 的充分而不必要条件，故选：A.2．设R a ，则“1a ”是“21a ”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由21a 得1a 或1a ，因此“若1a ，则21a ”是真命题，“若21a ，则1a ”是假命题，所以“1a ”是“21a ”的充分不必要条件.故选：A3．“2x 且3y ”是“5x y ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果.【详解】2x 且3y 能够推出5x y ，反之5x y 不能推出2x 且3y ，所以“2x 且3y ”是“5x y ”的充分不必要条件.故选:A .4．已知a 、b 、R c ，则“a b ”是“22ac bc ”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】当0c =时，代入验证不充分，根据不等式性质得到必要性，得到答案.【详解】若a b ，当0c =时，220ac bc ，故不充分；若22ac bc ，则0c ，故a b ，必要性.故“a b ”是“22ac bc ”的必要非充分条件.故选：B5．设,R x y ，则“0x y ”是“0xy ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】先判断充分性是否满足，再判断必要性是否满足，即可得答案.【详解】解：充分性：若0x y ，则可得,x y 有三种可能：①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值，所以0xy 或0xy 或0xy ，故0x y 不是0xy 的充分条件；必要性:若0xy ，则0,0x y 或0,0x y ，故0x y 或0x y ，故“0x y ”不是“0xy ”的必要条件.综上，“0x y ”是“0xy ”的既不充分也不必要条件.故选：D.6．已知集合M ，P ，则“x M 或x P ”是“ x M P ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】x M 或x P 即()x M P ，再利用 x M P 与()x M P 之间的关系即可判断出结论.【详解】由x M 或x P 得()x M P ，又 ()M P M P ∩ ，∴x M 或x P 不能推出 x M P ， x M P 能推出x M 或x P .则“x M 或x P ”是“ x M P ”的必要不充分条件.故选：A.7．设x R ，则“2x ”是“24x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当2x 时24x ，故充分性成立，由24x 可得2x 或2x ，故必要性不成立，所以“2x ”是“24x ”的充分不必要条件.故选：A8．若,R a b ，则“2()0a b a ”是“a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由不等式2()0a b a ，可得0a b ，可得a b ，即充分性成立；反之：由a b ，可得0a b ，又因为20a ，所以2()0a b a ，所以必要性不成立，所以2()0a b a 是a b 的充分不必要条件.故选：A.9．若,,R a b c ，则“ac bc ”是“a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】若0c =，令2,1a b ，满足ac bc ，但a b ¹；若a b ，则ac bc 一定成立，所以“ac bc ”是“a b ”的必要不充分条件.故选：B10）A ．0,0a bB ．0,0a bC ．0,0a bD ．0,0a b 【答案】BA中，0b ，根据充分条件的定义知，选项A不是充分条件；选项C、D中，由0a 可知，C、D不是充分条件；选项B，由0,0a bB是充分条件.【详解】对于选项A，因为0b项A不是充分条件；对于选项B，当0,0a ba≥0，b>0.根据充分条件的定义知，选项B是充分条件；对于选项C、D，由0a没意义，所以选项C、D不是充分条件；故选：B.11．已知a，b为非零实数，则“1ba”是“b a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由222222111||||b b b b a b aa a a，即b a成立，故充分性成立；取2b ，1a ，则b a成立，但1ba不成立，故必要性不成立.因此，“1ba”是“b a”的充分不必要条件.故选：A12．设命题121,:1.xpx命题12122,:1.x xqx x则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断p ，q 间关系可得答案.【详解】当1211x x ，则121221x x x x ，故p 是q 的充分条件；当121221x x x x ，则可令1250.3x x ，不能得到1211x x ，则p 不是q 的必要条件.则p 是q 的充分不必要条件.故选：A二、多选题13．有以下四种说法，其中说法正确的是（）A ．“m 是实数”是“m 是有理数”的必要不充分条件B ．“0a b ”是“22a b ”的充要条件C ．“3x ”是“2230x x ”的充分不必要条件D ．“1a ”是“11a”的必要不充分条件【答案】AC【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析即可.【详解】当m 是实数时，m 可能为有理数，可能为无理数，而当m 为有理数时，m 一定为实数，所以“m 是实数”是“m ”的必要不充分条件，A 正确；当0a b 时，22a b 成立，而当22a b 时，有可能0a b ，所以“0a b ”是“22a b ”的充分不必要条件，B 错误；当3x 时，2230x x 成立，而当2230x x 时，3x 或=1x ，所以“3x ”是“2230x x ”的充分不必要条件，C 正确；当1a 时，11a 成立，而当11a 时，有可能a<0，所以“1a ”是“11a”的充分不必要条件，D 错误；故选：AC14．设全集为U ，在下列选项中，是B A 的充要条件的是（）A ．AB B B ．()U A B Ç=ÆðC ．()()U U A B Í痧D ．()U A B UÈ=ð【答案】BCD【分析】利用维恩图解决集合运算问题.【详解】由维恩图可知，A 不是B A 的充要条件，B ，C ，D 都是B A 的充要条件，故选：BCD ．15．下列命题中叙述不正确．．．的是（）A ．“关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根”的充要条件是“240b ac ”B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件C ．“4x ”的一个充分不必要条件可以是“3x ”D ．若集合A B ，则“x A ”是“x B ”的充分而不必要条件【答案】BCD【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断各选项即可.【详解】由关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根可得240b ac ，由240b ac 可得关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根，所以“关于x 的方程 200ax bx c a 有实数根”的充要条件是“240b ac ”，A正确；由三角形为正三角形可得该三角形为等腰三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分条件，B 错误；由3x 不能推出>4x ，所以“3x ”不是“4x ”的充分条件，C 错误；当A B 时，若x A ，则x B ，若x B ，则x A ，所以“x A ”是“x B ”的充要条件，所以若集合A B ，则“x A ”可能是“x B ”的充要条件，D 错误；故选：BCD.16．下列说法正确的是（）A ．a P Q 是a P 的必要不充分条件B ．U UP Q痧（U 是全集）是P Q 的充分不必要条件C ．a b 是22a b 的充分不必要条件D ．a b 是33a b 的充要条件【答案】AD【分析】根据充分条件与必要条件的定义逐项分析即可.【详解】对于A ，若a P Q ，则可能a Q 且a P ，不能推出a P ，若a P ，则必有a P Q ，故a P Q 是a P 的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，若U UP Q 痧,则Q P ，故U UP Q痧（U 是全集）是P Q 的既不充分也不必要条件，故B 错误；对于C ，若a b ，取2,1a b ,则22a b ，若22a b ，取1,2a b ，则a b ，故a b 是22a b 的既不充分也不必要条件，故C 错误；对于D ，因为33a b a b ，所以a b 是33a b 的充要条件，故D 正确.故选:AD.17．对任意实数,,a b c ，给出下列命题，其中假命题是（）A ．“a b ”是“ac bc ”的充要条件B ．“5a ”是“3a ”的必要条件C ．“a b ”是“22a b ”的充分条件D ．“5a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】AC【分析】根据充分必有条件的定义逐项分析.【详解】对于A ，如果a b ，则必定有ac bc ，是充分条件，如果ac bc ，则 0c a b ，得0c =或a b ，不是必要条件，所以“a b ”是“ac bc ”的充分不必要条件，错误；对于B ，如果3a ＜，必定有5a ＜，是必要条件，正确；对于C ，如果a b ＞，比如1,2a b ， 2212 ＜，不能推出22a b ＞，不是充分条件，错误；对于D ，因为有理数+无理数=无理数，有理数+有理数=有理数，5是有理数，所以“a +5是无理数”必定有a 是无理数，是充分条件，如果“a 是无理数”则“a +5也是无理数”，是必要条件，所以“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，正确；故选：AC.18．若关于x 的方程 2110x m x 至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（）A ．13mB ．24m C ．4m D ．12m 【答案】BC【分析】利用 2110x m x 的判别式0 ，求出m 的范围，再利用必要条件的定义即可求得.【详解】因为方程 2110x m x 至多有一个实数根，所以方程 2110x m x 的判别式0 ，即：2(1)40m ，解得13m ≤≤，利用必要条件的定义，结合选项可知，13m ≤≤成立的必要条件可以是选项B 和选项C.故选：BC.19．已知集合 |123|{ ,2A x a x a B x x 或7}x ，则A B 的必要不充分条件可能是（）A ．7a B ．6a C ．5a D ．4a 【答案】AB【分析】分别在A 、A 的情况下，根据A B ∩求得a 的范围，即为A B ∩的充要条件，再根据选项即可得解．【详解】解：因为集合 |123|{ ,2A x a x a B x x 或7}x ，当A 时，123a a ，解得4a ，此时A B ∩，当A时，123a a ，解得4a ，若A B ∩，则12237a a，解得15a ，又4a ，则45a ，则A B ∩的充要条件为5a ，所以A B ∩的必要不充分条件可能是7a ，6a ，故选：AB ．三、填空题20．已知集合 3A x x ，集合 B x x a ，若命题“x A ”是命题“x B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______．【答案】3a 【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系，即可得解.【详解】因为命题“x A ”是命题“x B ”的充分不必要条件，所以集合A 真包含于集合B ，又集合 3A x x ，集合 B x x a ，所以3a .故答案为：3a 21．设 ：14x ， ：x >m ， 是 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．【答案】,1 【分析】设 14,A x x B x x m ，根据充分条件的定义结合包含关系得出实数m 的取值范围.【详解】设 14,A x x B x x m ，因为 是 的充分条件，所以集合A 是集合B 的子集，所以1m £.故答案为：,1 22．已知:p x a ，:3q x ，p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为___________.【答案】3, 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】因为:p x a ，:3q x ，因为p 是q 的必要不充分条件，所以3a .所以实数a 的取值范围为 3, .故答案为： 3, .23．:x 是2的倍数，:x 是6的倍数，则 是 的______条件．【答案】必要非充分【分析】利用充要条件的定义判定即可.【详解】当4x 时，满足x 是2的倍数,但不满足x 是6的倍数， 充分性不成立；若x 是6的倍数，则x 一定是2的倍数， 必要性成立.则 是 的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.24．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的______条件.【答案】必要不充分【分析】利用充分条件，必要条件的概念即可得解.【详解】因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲 乙，乙推不出甲；因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙 丁，丁推不出丙.故甲 丁，丁推不出甲，即丁是甲的必要不充分条件.故答案为：必要不充分四、解答题25．已知集合2126A x a x a ， 04B x x ，全集U R .(1)当1a 时，求 U A B ∩ð；(2)若“x B ”是“x A ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 48U A B x x ð(2)1,1 【分析】（1）化简集合A ，根据补集运算、交集运算求解；（2）由题意转化为BA ，列出不等式组求解即可.【详解】（1）当1a 时，集合 08A x x ，{0U B x x ð或4}x ，故 48U A B x x ð（2）由题知：BA ，即BA 且B A ，当B A 时，210264a a ，解得11a ，当B A 时，210264a a，解得1a ，由B A 得，1a ；综上所述：实数a 的取值范围为 1,1 .26．已知集合 310A x x ，29140B x x x ， 32C x x m ，(1)求A B ，A B ， A B R ∩ð；(2)若x C 是 x A B ∩的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1) |37x x ； 210x x ；23x x (2)7,2【分析】（1）先解出集合B ，再由集合间的运算性质求解即可;（2）由题意可得C A B ∩，分C 和C 两种情况讨论即可.【详解】（1）2|9140|270|27B x x x x x x x x ∵， |37A B x x ， 210A B x x ，又 R =3A x x ð或 10x ，R 23A B x x ð.（2）x C ∵是 x A B ∩的充分而不必要条件，C A B ∩，当C 时，有23m ，即32m；当C 时，有2327m m ，即3722 m ，综上所述，实数m 的取值范围为7,2.27．已知集合 121,P x a x a a R ， 25Q x x .(1)若3a ，求 P Q R ð；(2)若“x P ”是“x Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[2,4)(2) 2 ，【分析】（1）由交集，补集的概念求解；（2）转化为集合间关系后分情况列式求解.【详解】（1）当3a 时，[4,7]P ，{|25}Q x x ，则,47,P R ð, 2,4P Q R ð，（2）由题意得P 是Q 的真子集，当P 是空集时，121a a ，解得a<0；当P 是非空集合时，则012215a a a且12a 与215a 不同时成立，解得02a ，故a 的取值范围是 2 ，28．已知集合 114A x x ， 23B x x ， 2121C x a x a .(1)若x C 是“x A ”的充分条件，求实数a 的取值范围.(2)若 A B C ∩，求实数a 的取值范围.【答案】(1)3,22a (2)31,2【分析】（1）解不等式得到集合A x C 是x A 的充分条件列不等式求解即可；（2）根据交集的定义得到 23A B x x ，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.【详解】（1）因为 114A x x ，所以 25A x x .因为x C 是x A 的充分条件，所以221532122a a a a ，解得322a ，3,22a .（2）因为 23A B x x ， A B C ∩，所以212213a a ，解得312a .故a 的取值范围为31,2.29．已知{|1A x x 或1}x ，{|21}B x a x a (B 为非空集合)，记:p x A ，:q x B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】1(,2][,1)2【分析】根据题意，转化为B 是A 的非空真子集，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意知，{|1A x x 或1}x ，{|21}B x a x a (B 为非空集合)，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的非空真子集，可得2121a a a 或2111a a a ，解得2a 或112a ，所以实数a 的取值范围是1(,2][,1)2.30．已知集合 121,24A xa x a B x x ∣∣.在①A B B ；②“x A ”是“x B ”的充分不必要条件；③A B 这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.(1)当3a 时，求 R A B ð；(2)若______，求实数a 的取值范围.【答案】(1) R {2A B xx ∩∣ð或4}x (2)答案见解析【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解；（2）选①③，利用集合的基本运算，结合数轴法即可得解；选②，由充分不必要条件.【详解】（1）当3a 时， 27A xx ∣，而 24B x x ∣，所以 24A B x x ∩∣，则 R {2A B xx ∩∣ð或4}x .（2）选①：因为A B B ，所以A B ，当A 时，则121a a ，即2a ，满足A B ，则2a ；当A 时，2a ，由A B 得12214a a ，解得312a ；综上：2a 或312a，即实数a 的取值范围为 3,21,2；选②：因为“x A ”是“x B ”的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，当A 时，则121a a ，即2a ，满足题意，则2a ；当A 时，2a ，则12214a a ，且不能同时取等号，解得312a ；综上：2a 或312a，即实数a 的取值范围为 3,21,2；选③：因为A B ，所以当A 时，则121a a ，即2a ，满足A B ，则2a ；当A 时，2a ，由A B 得212a 或14a ，解得32a 或5a ，又2a ，所以322a 或5a ；综上：32a 或5a ，实数a 的取值范围为 3,5,2.31．设U R ，已知集合 |25A x x ， |121B x m x m ．(1)当4B 时，求实数m 的范围；(2)设:p x A ；:q x B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的范围．【答案】(1)532m (2)3m 【分析】（1）由题意知，4是集合B 的元素，代入可得答案；（2）由题可得B 是A 的真子集，分类讨论B 为空集和B 不为空集合两种情况，即可求得m 的取值范围.【详解】（1）由题可得1421m m ，则532m ；（2）由题可得B 是A 的真子集，当B ，则1212m m m ；当B ，2m ，则21512m m （等号不同时成立），解得23m 综上：3m .32．已知集合 13A x x ，集合 21B x m x m ．(1)若A B ，求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ，命题:q x B ，若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 0mm ∣(2) 2mm ∣【分析】（1）讨论B ，B 两种情况，结合交集运算的结果得出实数m 的取值范围；（2）由p 是q 成立的充分不必要条件，得出A 是B 的真子集，再由包含关系得出实数m 的取值范围．【详解】（1）由A B ，得①若21m m ³-，即13m 时，B ，符合题意；②若21m m <-，即13m 时，需1311m m 或1323m m，解得103m ．综上，实数m 的取值范围为 0mm ∣．（2）由已知A 是B 的真子集，知122113m m m m两个端不同时取等号，解得2m ．由实数m 的取值范围为 2mm ∣．33．已知集合 12A x x ，22B x m x m (1)当2m 时，求A B ；(2)若______，求实数m 的取值范围．请从①x A 且x B ；②“x B 是“x A ”的必要条件；这两个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)12A B x x (2)答案见解析【分析】（1）先求两个集合，再求交集；（2）若选择①，则A B ，再分集合B 和B ，两种情况，列式求解；若选择②，则A B ，列式求m 的取值范围.【详解】（1）当2m 时， 04B x x ，所以 12A B x x （2）若选择条件①，由x A 且x B 得：A B ，当B 时，22m m ，即2m ；当B 时，22m m ，即2m 22m 或21m ，即4m 或12m ，所以4m 或122m ，综上所述：m 的取值范围为：4m 或12m ．若选择条件②，由“x B ”是“x A ”的必要条件得：A B ，即2122m m，所以13m ．34．已知全集R U ，集合 |11A x m x m ， |4B x x .(1)当4m 时，求A B 和 R A B ð；(2)若“x A ”是“x B ”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】(1) |5x x ，|45x x (2)3m 【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可【详解】（1）当4m 时，集合 ||35A x x x ，因为 |4B x x ，所以 R |4B x x ð.所以 |5A B x x ，R |45A B x x ð（2）因为“x A ”是“x B ”所以A 是B 的真子集，而A 不为空集，所以14m ，因此3m .。
高考数学必考之充分条件与必要条件
高考数学必考之充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。
所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。
例如2:1;:10p x q x =-=，构造命题：“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q ⇒，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。
在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。
以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2:10q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。
高考数学-第一章 §1.2 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件考试要求理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)(3)q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)(4)若p⇒q，则p是q的充分不必要条件．(×)题组二教材改编2．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要3．“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分4．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________． 答案 m ＝－2题组三 易错自纠5．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件． 6．已知p ：x >a 是q ：2<x <3的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 由已知，可得{x |2<x <3}{x |x >a }，∴a ≤2.题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知p ：⎝⎛⎭⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由⎝⎛⎭⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件． (2)“a >2，b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．(2)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，则2λ(1－λ)－6(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行，故选A.题型二 充分、必要条件的应用例2 已知集合A ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴A ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈A 是x ∈B 的必要条件，知B ⊆A . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0,3]．若将本例中条件改为“若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件”，求m 的取值范围．解 由x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，知B A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m >－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3或0≤m <3，∴0≤m ≤3， 故m 的取值范围是[0,3]．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2 (1)使2x ≥1成立的一个充分不必要条件是( )A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案 B解析 由2x≥1得0<x ≤2，依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 |x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分不必要条件是0<x <4，所以(0,4)(1－a ,1＋a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤0，1＋a >4或⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，1＋a ≥4，解得a ≥3.题型三 充要条件的探求例3 已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程， 所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数． 又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1，所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.思维升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．跟踪训练 3 (1)命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a >4 C ．a ≥1 D ．a >1答案 B解析 要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a >4是命题为真的充分不必要条件．(2)(2020·武汉质检)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________． 答案 ac <0解析 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac >0，c a <0.即ac <0.课时精练1．“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析由log2(2x－3)<1⇔0<2x－3<2⇔32<x<52，4x>8⇔2x>3⇔x>32，所以“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a<b；但是a<b即a－b<0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件，故选A. 3．“|x－1|<2”是“x<3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由|x－1|<2，可得－1<x<3，∵{x|－1<x<3}{x|x<3}，∴“|x－1|<2”是“x<3”的充分不必要条件．4．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由ln(x＋1)<0⇒0<x＋1<1，即－1<x<0，故“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件，故选B.5．若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是() A．a>3 B．a<3C ．a >4D ．a <4答案 A解析 若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，∴a >3.6．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 B解析 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.7．(多选)若x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 BCD解析 由x 2－x －2<0，解得－1<x <2. ∵x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件， ∴(－1,2)(－2，a )，∴a ≥2. ∴实数a 的值可以是2,3,4. 8．(多选)下列说法正确的是( )A ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分不必要条件B ．“1a >1b ”是“a <b ”的既不充分也不必要条件C ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆BD ．“a >b >0”是“a n >b n (n ∈N ，n ≥2)”的充要条件 答案 BC解析 A 项，ac ＝bc 不能推出a ＝b ，比如a ＝1，b ＝2，c ＝0，而a ＝b 可以推出ac ＝bc ，所以“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要不充分条件，故错误；B 项，1a >1b 不能推出a <b ，比如12>－13，但是2>－3；a <b 不能推出1a >1b ，比如－2<3，－12<13，所以“1a >1b”是“a <b ”的既不充分也不必要条件，故正确；C 项，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以x ∈A 可以推出x ∈B ，即A ⊆B ，故正确；D 项，a n >b n (n ∈N ，n ≥2)不能推出a >b >0，比如a ＝1，b ＝0,1n >0n (n ∈N ，n ≥2)满足，但是a >b >0不满足，所以必要性不满足，故错误．9．已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 命题p 等价于0<a <4.命题q ：对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0等价于⎩⎨⎧a ＝0，1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件． 10．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．11．若x ∈{－1，m }是不等式2x 2－x －3≤0成立的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－1，32 解析 不等式可转化为(x ＋1)(2x －3)≤0，解得－1≤x ≤32，由于x ∈{－1，m }是－1≤x ≤32的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到m ∈⎝⎛⎦⎤－1，32. 12．若实数a ，b 满足a >0，b >0，则“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“即不充分也不必要”) 答案 充要解析 设f (x )＝x ＋ln x ，显然f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∵a >b ，∴f (a )>f (b )，∴a ＋ln a >b ＋ln b ，充分性成立；∵a ＋ln a >b ＋ln b ，∴f (a )>f (b )，∴a >b ，必要性成立，故“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”成立的充要条件．13．(2021·深圳模拟)对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈〉＝2，〈－〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 令x ＝，y ＝，满足|x －y |<1，但〈〉＝2，〈〉＝1，〈x 〉≠〈y 〉，可知充分性不成立．当〈x 〉＝〈y 〉时，设〈x 〉＝x ＋m ，〈y 〉＝y ＋n ，m ，n ∈[0,1)，则|x －y |＝|n －m |<1，可知必要性成立．所以“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．故选B.14．已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38.15．已知集合A ＝26113x x x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎩≤，B ＝{x |log 3(x ＋a )≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 由26113x x --⎛⎫⎪⎝⎭≤，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，255 解析 画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，255.。
新高考数学 A版讲义：第4节 充分条件与必要条件
第4节 充分条件与必要条件要点一： 充分条件与必要条件思考 若p 是q 的充分条件，这样的条件p 唯一吗？答案 不唯一．例如“x >1”是“x >0”的充分条件，p 可以是“x >2”“x >3”或“2<x <3”等．一、充分条件的判断例1 (1)下列命题中，p 是q 的充分条件的是________． ①p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；②p ：两个三角形面积相等，q ：两个三角形全等； ③p ：m <－2，q ：方程x 2－x －m ＝0无实根． 答案 ③解析 ①∵(x －2)(x －3)＝0，∴x ＝2或x ＝3，不能推出x －2＝0.∴p 不是q 的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p 不是q 的充分条件． ③∵m <－2，∴12＋4m <0，∴方程x 2－x －m ＝0无实根，∴p 是q 的充分条件． (2)“a >2且b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的________条件． 答案 充分解析 由a >2且b >2⇒a ＋b >4，ab >4，∴是充分条件． 反思感悟 充分条件的判断方法(1)判定p 是q 的充分条件要先分清什么是p ，什么是q ，即转化成p ⇒q 问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p 构成的集合为A ，q 构成的集合为B ，A ⊆B ，则p 是q 的充分条件． 跟踪训练1 “x >2”是“x 2>4”的________条件． 答案 充分解析 x >2⇒x 2>4，故x >2是x 2>4的充分条件．二、必要条件的判断例2 在以下各题中，分析p 与q 的关系： (1)p ：x >2且y >3，q ：x ＋y >5；(2)p ：一个四边形的四个角都相等，q ：四边形是正方形． 解 (1)由于p ⇒q ，故p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)由于q ⇒p ，故q 是p 的充分条件，p 是q 的必要条件．反思感悟 (1)判断p 是q 的什么条件，主要判断若p 成立时，能否推出q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出p 成立；若p ⇒q 为真，则p 是q 的充分条件，若q ⇒p 为真，则p 是q 的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．跟踪训练2 分析下列各项中p 与q 的关系． (1)p ：α为锐角，q ：α＝45°. (2)p ：(x ＋1)(x －2)＝0，q ：x ＋1＝0.解 (1)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． (2)由于q ⇒p ，故p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0.延伸探究1．将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.2．将例题中的条件“q ：实数x 满足－2≤x ≤3”改为“q ：实数x 满足－3≤x ≤0”其他条件不变，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，其中a <0，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}．因为p 是q 的充分条件，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－3，a ≤0，a <0⇒－1≤a <0.所以a 的取值范围是－1≤a <0.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．要点二：充要条件一般地，如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件，记作p ⇔q .一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．(1)p ：数a 能被6整除，q ：数a 能被3整除； (2)p ：x >1，q ：x 2>1；(3)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形； (4)p ：|ab |＝ab ，q ：ab >0.解 (1)∵p ⇒q ，q 不能推出p ，∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵p ⇒q ，q 不能推出p ，∴p 是q 的充分不必要条件． (3)∵p 不能推出q ，q ⇒p ，∴p 是q 的必要不充分条件．(4)∵ab ＝0时，|ab |＝ab ，∴“|ab |＝ab ”不能推出“ab >0”，即p 不能推出q . 而当ab >0时，有|ab |＝ab ，即q ⇒p .∴p 是q 的必要不充分条件． 反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练1 已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0，且ab >0”的________条件． 答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0，充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，必要性成立．故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件．二、充要条件的证明例2 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明 充分性：因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 得ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，所以x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0. 所以a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 延伸探究求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1·x 2＝ca<0，所以ac <0. 充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1·x 2＝ca <0，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根． 反思感悟 充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p 是q 的充要条件，首先要明确p 是条件，q 是结论；其次推证p ⇒q 是证明充分性，推证q ⇒p 是证明必要性．(2)集合思想：记p ：A ＝{x |p (x )}，q ：B ＝{x |q (x )}，若A ＝B ，则p 与q 互为充要条件． 跟踪训练2 已知a ，b 是实数，求证：a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 证明 充分性：若a 2－b 2＝1成立，则a 4－b 4－2b 2＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)－2b 2＝a 2＋b 2－2b 2＝a 2－b 2＝1， 所以a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1的充分条件．必要性：若a 4－b 4－2b 2＝1成立，则a 4－(b 2＋1)2＝0，即(a 2＋b 2＋1)(a 2－b 2－1)＝0. 因为a ，b 为实数，所以a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1. 综上可知，a 4－b 4－2b 2＝1成立的充要条件是a 2－b 2＝1. 三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件， 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以AB .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知p ：x <－2或x >3，q ：4x ＋m <0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 设A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 4， 因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以－m4≤－2，即m ≥8.所以m 的范围为{m |m ≥8}．充分条件与必要条件1．使x >3成立的一个充分条件是( ) A ．x >4 B ．x >0 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 2．使x >1成立的一个必要条件是( ) A ．x >0 B ．x >3 C ．x >2 D ．x <2 答案 A解析 只有x >1⇒x >0，其他选项均不可由x >1推出，故选A. 3．下列p 是q 的必要条件的是( ) A ．p ：a ＝1，q ：|a |＝1 B ．p ：－1<a <1，q ：a <1 C ．p ：a <b ，q ：a <b ＋1 D ．p ：a >b ，q ：a >b ＋1 答案 D解析 要满足p 是q 的必要条件，即q ⇒p ，只有q ：a >b ＋1⇒q ：a －b >1⇒p ：a >b ，故选D. 4．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2答案 A解析 B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件． 5．下列命题中，p 是q 的充分条件的是( ) A ．p ：a 是无理数，q ：a 2是无理数B ．p ：四边形为等腰梯形，q ：四边形对角线相等C ．p ：x >0，q ：x ≥1D ．p ：a >b ，q ：ac 2>bc 2 答案 B6．下列说法不正确的是________．(只填序号) ①“x >5”是“x >4”的充分条件；②“xy ＝0”是“x ＝0且y ＝0”的充分条件； ③“－2<x <2”是“x <2”的充分条件．答案 ②解析 ②中由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则②不正确；①③正确．7．条件p ：5－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是__________． 答案 {a |a ≤5}解析 p ：x >5，若p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，也就是说，p 对应集合是q 对应集合的子集，所以a ≤5. 8．下列式子：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a .其中能使1a <1b 成立的充分条件有______．(只填序号)答案 ①②④解析 当a <0<b 时，1a <0<1b ；当b <a <0时，1a <1b <0；当b <0<a 时，1b <0<1a ；当0<b <a 时，0<1a <1b，所以能使1a <1b 成立的充分条件有①②④.9．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件： (1)在△ABC 中，p ：A >B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a <b ，q ：ab<1.解 在(1)中，由大角对大边，且A >B 知BC >AC ，反之也正确，所以p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件；在(2)中，若a ＝3，则(a ＋2)(a －3)＝0，但(a ＋2)(a －3)＝0不一定a ＝3，所以p 是q 的充分条件但不是必要条件；在(3)中，当a ＝－2，b ＝－1时，a b ＝2>1；当a ＝2，b ＝－1时，ab ＝－2<1，所以p 既不是q的充分条件，也不是必要条件．10．(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件？ 解 (1)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件，则只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2⊆{x |x <－1或x >3}，即只需－m2≤－1，所以m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件，则只要{x |x <－1或x >3}⊆⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－m 2， 这是不可能的．故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x <－1或x >3的必要条件．11．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中，真命题是( ) A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件 答案 B解析 “a ＝b ”⇒“a －b ＝0”⇒“(a －b )c ＝0”⇒“ac ＝bc ”，∴“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件．12．已知集合A ＝{x ∈R |－1<x <3}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2 B ．m ≤2 C ．m >2 D ．－2<m <2答案 A解析 因为x ∈B 成立的一个充分条件是x ∈A ， 所以A ⊆B ，所以3≤m ＋1，即m ≥2.13．若A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}，且A 是B 的充分条件，则实数a 的取值范围为_______________． 答案 {a |a ≤－3，或a ≥3} 解析 因为A 是B 的充分条件， 所以A ⊆B ，又A ＝{x |a <x <a ＋2}，B ＝{x |x <－1或x >3}． 因此a ＋2≤－1或a ≥3，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－3，或a ≥3}．14．已知条件p ：x <－1或x >3，条件q ：x <－m ＋1或x >m ＋1(m >0)，若条件p 是条件q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 {m |0<m <2}解析 由题意，设集合A ＝{x |x <－1或x >3}，B ＝{x |<－m ＋1或x >m ＋1}， 因为条件p 是条件q 的充分不必要条件，即集合A 是集合B 的真子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋1≥－1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1>－1，m ＋1≤3，解得m <2，又m >0，所以实数m 的取值范围是0<m <2.15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案 A解析 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙， 如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．16．若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，则p 是q 的什么条件？解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇏q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b . 于是0<－a <2,0<b <1， 即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以p 是q 的必要条件，但不是充分条件．充要条件1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1. 2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析因为a，b∈R，(a－b)a2<0，可得a<b，由a<b，即a－b<0，可得(a－b)a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可以判断，若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．3．已知四边形ABCD，则“A，B，C，D四点共圆”是“∠A＋∠C＝180°”成立的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案C4．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A 是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A⇏D，故选A.5．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析ab＝0推不出a2＋b2＝0，由a2＋b2＝0可得a＝b＝0，推出ab＝0，故选B.6．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的____________条件．答案 既不充分又不必要解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立；反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立，因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分又不必要条件．7．若“x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________． 答案 －1解析 “x ≤－1，或x ≥1”是“x <a ”的必要不充分条件，则由“x <a ”可以推出“x ≤－1，或x ≥1”，但由“x ≤－1，或x ≥1”推不出“x <a ”，所以a ≤－1，所以实数a 的最大值为－1.8．m ＝1是函数y ＝245m m x －＋为二次函数的________条件．答案 充分不必要解析 当m ＝1时，函数y ＝x 2，为二次函数．反之，当函数为二次函数时，m 2－4m ＋5＝2，即m ＝3或m ＝1，所以m ＝1是y ＝245m m x －＋为二次函数的充分不必要条件．9．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况．当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．同理，当y ＝0，或x ＝0且y ＝0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |，∴当xy ＝0时，等式成立，当xy >0时，即x >0，y >0或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |，∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12， 故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12.11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方，则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1，由集合的包含关系可知选A.12．若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分不必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要不充分条件C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的既不充分又不必要条件答案 B解析 由A ∪B ＝C 知，x ∈A ⇒x ∈C ，x ∈C ⇏x ∈A .所以x ∈C 是x ∈A 的必要不充分条件．13．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________.答案 －2解析 当m ＝－2时，y ＝x 2－2x ＋1，其图象关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.14．k >4，b <5是一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴的________条件．答案 充要解析 ∵k >4时，k －4>0，b <5时，b －5<0，∴直线y ＝(k －4)x ＋b －5交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴；y ＝(k －4)x ＋(b －5)与y 轴交于(0，b －5)与x 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫5－b k －4，0， 由交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴可知⎩⎪⎨⎪⎧ b －5<0，5－b k －4>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <5，k >4.15．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________. 答案 3或4解析 x ＝4±16－4m 2＝2±4－m ，因为x 是整数， 即2±4－m 为整数，所以4－m 为整数，且m ≤4，又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4.验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．16．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解 当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1.∵f (0)＝1>0，∴若a >0，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0， 方程恒有两异号实数根． 综上所述，a ≤1为所求．。
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