概率论A卷及答案

黄冈师范学院考试试卷2001─2002学年度第一学期期末考试A 卷科目:概率论姓名:_______一、叙述下列概念的定义(5分×4=20分):1.概率的公理化定义2.古典概型3.随机变量4.随机变量序列{ξn }(n=1,2,…)依概率收敛于随机变量ξ二、选择题(请将每小题唯一正确的答案序号写在答卷纸上,2分×10=20分)1.已知事件A 与B 互不相容,P(A)>0,P(B)>0,则: A. P( B A)=1 B.P(AB)=P(A) ·P(B) C. P(AB)=0 D. P(AB)>0 2.设A 1,A 2,…,A n 是事件,则事件的概率具有的如下性质中不正确的是: A.P(Ω)=1 B.P(Φ)=0 C.P(n i iA 1=)=∑=ni iA P 1)( D.P(A i)≥0 (1≤i≤n)3.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,P(A|B)=0.32,则P(B A )= A. 0.42 B. 0.428 C. 0.52 D. 0.5284.一次抛二枚骰子,出现的点数之和为偶数的概率是A. 0.5B. 0.4C. 0.45D. 0.6 5.设ξ与η的数学期望和方差都存在,则下列等式中正确的是: A. D(ξ+η)=D ξ+D η B.D(ξ·η)=D ξ·D η C. E(ξ+η)=E ξ+E η D.E(ξ·η)=E ξ·E η 6.设ξ～b(k;n,p),且E ξ=2.4,D ξ=1.44,则n 与p 分别为:A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.17.设随机变量ξ取两个值a 1,a 2(a 2>a 1),且P(ξ=a 1)=0.6,又E ξ=1.4,D ξ=0.24,则ξ的分布列为:A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4.06.010B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4.06.0b aC.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+4.06.01n nD.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4.06.0218.设p(x)=cosx 是随机变量ξ的密度函数,则x∈A.[0,2π] B.[2π,π] C.[0,π] D.[23π,47π]9.已知(ξ,η)的联合密度为p(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它,00,10,)1(24xy x y x ,则)|(|y x p ηξ=A.⎩⎨⎧≤≤≤≤其它,00,10,2x y x yB.⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它,00,10),1(2xy x yC.⎩⎨⎧≤≤≤≤其它,00,10,2x y x x D.⎩⎨⎧≤≤≤≤-其它,00,10),1(2xy x x10.设ξ～U[0,1],则ξ的特征函数为:A.it e it 1--B.it e itC.it e it -D.ite it 1-三、判断题(对的打“√”,错的打“×”,并请将答案写在答卷纸上,2分×5=10分).1.若随机变量ξ～e(λ),则有ξλξD E =.2.若随机变量ξ与η的协方差为cov ()ηξ,,且ξ与η相互独立,则cov ()ηξ,=0.3.二维连续型随机变量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21ξξξ的协方差矩阵B 是正定矩阵. 4.设有一列随机变量,,,,21 ηηη若()∞→−→−n Ln ηη,则)(∞→−→−n Pn ηη.5.设ξ与η独立,都服从(0,1)上的均匀分布,则⎩⎨⎧<<=其它,010,1)|(|x y x p ηξ.四、填空题(请将答案写在答卷纸上,2分×5=10分)1.设随机变量()ηξ,的联合密度为p(x,y),ξ与η独立,则p(x,y)=________________.2.设随机变量ξ的密度为p(x)=⎩⎨⎧<<其它,020,5.0x x ,则ξ的一阶原点矩为__________,一阶中心矩为__________.3.设D(X),D(Y)都不为０,若有常数a≠o 与b,使Ｐ{Y=aX+b}=1,这时X 与Y 的相关系数XY ρ=.4.设()ηξ,～N(1,1,2,2,0),则E ξ=_______,D η=________,cov ()ηξ,=________.5.设()ηξ,～N(1,1,1,1,1),则E(ξ|η=2)=__________.五、计算题(10分×4=40分)1.N 个人同乘一辆长途汽车,沿途有n 个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车.设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的平均数.2.从5双不同尺码的鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?3.一个螺丝钉的重量是个随机变量,其期望值是1克,标准差是0.1克.求一盒(100个)螺丝钉重量大于102克的概率.(已知Φ(2)=0.97725)4.设ξ与η相互独立,分别是自由度为n 及m 的2χ-分布的随机变量,试求mn ηξζ=的密度函数.·绝密·卷号：黄冈师范学院考试试题参考答案及评分标准专业名称：数学及应用数学 试卷类型： A 卷课程名称： 概 率 论 命题日期：2001-12-23一、叙述下列概念的定义(每小题5分，共20分)1.概率是定义在σ-代数ℱ上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数.2.具有下述两个特征的随机试验所对应的数学模型称为古典概型.(1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个，不妨设为n 个，记为1ω、2ω、…、n ω； (2)每个基本事件出现的可能性是相等的，即有)()()(21n P P P ωωω=== . 3.定义在样本空间Ω上，取值于实数域R 的变量)(ωξξ=，称作随机变量.4.如果0>∀ε，有1)|(|lim =<-∞→εξξn n P ，则称随机变量序列}{n ξ依概率收敛于ξ.记作ξξP n n ∞→lim 或)(∞→−→−n Pn ξξ. 二、选择题(每小题2分，共20分)1.C2.C3.B4.A5.C6.B7.D8.A9.D 10.D三、填空题(每小题2分，共10分)1.)()(y P x P ηξ⋅2.34, 0 3.1± 4. 1 , 2 , 0 5. 2 四、判断题(每小题2分，共10分)1.√2.√3.×4.×5.√五、计算题(每小题10分，共40分)1.解：设停车次数为ξ.令i ξ表示在第i 站停车的次数，则⎩⎨⎧=.,1;,0站有人下车在第站无人下车在第i i i ξ(i =1，2，…，n ).因为Ni nP )11()0(-==ξ，所以Ni i nP P )11(1)0(1)1(--==-==ξξ. 又∑==n i i 1ξξ，所以])11(1[])11(1[)(111N ni N n i i n i i nn n E E E --=--===∑∑∑===ξξξ.答：停车次数的平均数为])11(1[Nnn --. 2.解：设事件A 为“4只鞋子中至少有2只配成一双”.显然，样本点总数为10只鞋子中任取4只的组合数，即410C n ==210.事件A 所包含的样本点数为2512122415C C C C C k +==130. 所以2113210130)(===n k A P . 3.解：设第i 个螺丝钉的重量为i ξ(i =1，2，…，n )，则 由已知i E ξ=1，i i D ξσξ==0.1，(i =1，2，…，n )，n =100.所以)102(1001>∑=i i P ξ=1-)102(1001≤∑=i i P ξ=1-)102(1001nE n n E n P i ii ii i⋅⋅-≤⋅⋅-∑=σξξσξξξ=1-)21001.0100(1001≤⨯-∑=i iP ξ≈1-)2(Φ=1-0.97725=0.022754.解：自由度为n 的2χ-分布的密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>Γ=--.0,0;0,)2(21)(2122x x e x nx p x n n 由此容易求得nξ的密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>Γ=--.0,0;0,)()2(2)(2122x x e nx n n x p nxn n n ξ 同理可求得mη的密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>Γ=--.0,0;0,)()2(2)(2122x x e mx m mx p mxm m m η 于是由卷积公式得⎰+∞∞-=dx x yx p x y p ),(||)(ζ=⎰∞----ΓΓ021222122)()2(2)()2(2dx emx m m enxy n n xmx m m nxy n n=⎰∞+--+-+ΓΓ⋅02)(1212222)2()2(2dx exym n m n m ny x n m nn m m n令t m ny x =+)(，则有)(y p ζ=⎰∞--+-+++ΓΓ⋅021212222)()()2()2(2dt m ny e mny t ym n mn t nm nnm m n=⎰∞--+++-+Γ⋅+ΓΓ+Γ0212221222)2(21)()2()2()2(dt e t n m m ny y m n m n n m t n m n m n m nm n=21222)()2()2()2(nm nm n m ny y m n m n n m +-+ΓΓ+Γ. 即为所要求的. 其中⎰∞--+++Γ02122)2(21dt e tn m tn m nm 恰好是自由度为2nm +的2χ-分布的密度函数的积分，所以等于1.。