吉林省数学高三理数二诊热身试卷
吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三第二次调研测试数学试题(含答案解析)
吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三第二次调研测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}22,|4A x y x y =+=，(){}|,0B x y x y =+=，则A ∩B 的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．42．对于事件A 与事件B ，下列说法错误的是（）A ．若事件A 与事件B 互为对立事件，则P （A ）+P （B ）=1B ．若事件A 与事件B 相互独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ）C ．若P （A ）+P （B ）=1，则事件A 与事件B 互为对立事件D ．若P （AB ）=P （A ）P （B ），则事件A 与事件B 相互独立3．下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（）A ．12y x=B ．tan y x=C ．1y x=D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭4．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y E +=的一个焦点重合，则下列说法不正确的是（）A ．椭圆E 的焦距是2B ．椭圆E 的离心率是12C ．抛物线C 的准线方程是x =-1D ．抛物线C 的焦点到其准线的距离是45．已知{}n a 是等比数列，下列数列一定是等比数列的是（）A ．{}n ka （k ∈R ）B ．{}1n n a a ++C ．{1}n a +D ．{}12n n n a a a ++++6．已知0,0a b >>，若直线1:20l ax by +-=与直线()2:2110l x a y +-+=垂直，则2+a b 的最小值为（）A ．1B ．3C ．8D ．97．近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观,某同学在与塔底水平的A 处利用无人机在距离地面21m 的C 处观测塔顶的俯角为30 ，在无人机正下方距离地面1m 的B 处观测塔顶仰角为60 ，则该塔的高度为（）A ．15mB ．16mC ．m D ．m8．已知矩形ABCD 中，AB =3，BC =2，将△CBD 沿BD 折起至△C 'BD .当直线C 'B 与AD 所成的角最大时，三棱锥C ABD '-的体积为（）A ．3B C D 二、多选题9．已知复数1i z =+，则下列说法正确的是（）A ．z 的共轭复数是1i -B ．z 的虚部是iC ．i z z=D ．若复数0z 满足01z z -=，则0z 110．如图，A ，B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A 在（1，0）处，质点B 在第一象限，且6AOB π∠=.质点A 以rad /s 6π的角速度按顺时针方向运动，质点B 同时以rad /s 12π的角速度按逆时针方向运动，则（）A ．经过1s 后，扇形AOB 的面积为5π12B ．经过2s 后，劣弧 AB 的长为2π3C ．经过6s 后，质点B 的坐标为,221⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．经过22s 3后，质点A ，B 在单位圆上第一次相即11．如图，函数28()2x f x x =+的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数()g x 满足()()()g x f x a a =-∈R 有3个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则（）A ．6a >B ．310x x +>C ．234x x +>D ．()221x x -≥12．如图，正四棱柱1111 ABCD A B C D -中，122 AA AB ==，动点P 满足1AP aAC bAA =+，且,(0,1)a b ∈.则下列说法正确的是（）A ．当12a =时，直线AC ⊥平面1BPB B ．当1a b +=时，1PB PB +C ．若直线BP 与BD 所成角为π4，则动点P 的轨迹长为π2D ．当21a b +=时，三棱锥-P ABC 外接球半径的取值范围是22⎫⎪⎪⎝⎭三、填空题13．命题“x ∃∈R ，210ax x ++<”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.14．已知向量,a b 的夹角为60︒，且||1,||2a b == ，则||a b +=___________.四、双空题15．意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn .已知1 1F =，21F =，12n n n F F F --=+（*N n ∈，且n >2）.（1）若斐波那契数Fn 除以4所得的余数按原顺序构成数列{}n a ，则1232023a a a a +++= ___________.（2）若2024 F a =，则1232022F F F F +++= ___________.五、填空题16．已知函数()2e 4,0x x x f x x -⎧+≥⎪=<，点M 、N 是函数()f x 图象上不同的两个点，则tan MON ∠（O 为坐标原点）的取值范围是___________.六、解答题17．坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm 和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm 和17.56.(1)求抽取的总样本的平均数；(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：1n ，x ，21s ，2n ，y ，22s .记总样本的平均数为ω，样本方差为2s ，{}222221122121()()s n s x n s y n n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+18．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 6b C c B +=.(1)求边a ；(2)若ABC 是锐角三角形，且___________，求ABC 的面积S 的取值范围.要求：从①π4A =，②10b c +=从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．如图,在多面体ABCDEF 中,四边形ABCD 为菱形,且∠DAB =60°,四边形BDEF 为矩形,BD =2BF =2,AC 与BD 交于O 点,FA =FC.(1)求证:AC ⊥平面BDEF ;(2)求二面角F -AE -C 的余弦值.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公差的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()112n nn nn a b a a +-+=，求数列{}nb 的前2n 项和2nT .21．在平面内，动点M （x ，y ）与定点F （2，0）的距离和它到定直线1:2l x =的距离比是常数2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若直线m 与动点M 的轨迹交于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥（O 为坐标原点），求22||||OP OQ +的最小值.22．已知函数1()2ln f x x x x=-+.(1)判断()f x 的单调性；(2)设函数1()()1g x f x x=-+，记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若()2()0g x x mx n ++≤对任意的正数x 恒成立，求2112ln 1e m n n n +⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦的值.（参考数据：ln 3 1.1≈，ln 20.7≈）参考答案：1．D【分析】根据集合A 与集合B 中方程的几何意义，利用直线过圆新判断直线与圆的位置关系，确定交集中元素的个数，进而求解.【详解】集合(){}22,|4A x y x y =+=表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合(){}|,0B x y x y =+=表示直线0x y +=上的所有点，因为直线0x y +=经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以A B ⋂的元素个数有2个，则A B ⋂的子集个数为4个，故选：D .2．C【分析】根据对立事件和独立事件的定义和性质逐项分析.【详解】对于A ，事件A 和事件B 为对立事件，则A ，B 中必然有一个发生，()()1P A P B ∴+=，正确；对于B ，根据独立事件的性质知()()()P AB P A P B =，正确；对于C ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说有a ，b ，c ，d 4个小球，选中每个小球的概率是相同的，事件A 表示选中a ，b 两球，则()12P A =，事件B 表示选中b ，c 两球，则()12P B =，()()1P A P B ∴+=，但A ，B 不是对立事件，错误；、对于D ，由独立事件的性质知：正确；故选：C.3．A【分析】根据幂函数单调性即可判断出A 正确，C 错误，再根据正切函数和指数函数图象即可得出BD 错误.【详解】由幂函数性质可知，12y x =[)0,∞+，且在定义域内单调递增；即A 正确；11y x x-==在其定义域()0,∞+，(),0∞-上分别单调递减，即C 错误；由正切函数图像可知，tan y x =为周期函数，在定义域内不是单调递增，B 错误；由指数函数性质可知，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在x ∈R 上为单调递减，所以D 错误.故选：A 4．D【分析】根据椭圆方程求出,,a b c ，求出焦距和离心率，根据抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y E +=的一个焦点重合求出p ，就能求出曲线和焦点到其准线的距离.【详解】根据椭圆22:143x y E +=可得：222224,3,1a b c a b ===-=所以椭圆E 的焦距是22c =，故A 正确；椭圆E 的离心率为12c a =，故B 正确；又因为椭圆22:143x y E +=的焦点为()1,0±，抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y E +=的一个焦点重合12p=，即2p =所以抛物线C 的准线方程是12px =-=-，故C 正确；抛物线C 的焦点到其准线的距离2p =，故D 不正确.故选：D 5．D【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能构成等比数列，当不为0时，根据等比数列的定义确定.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，当0k =时，0n ka =，数列{}n ka 不是等比数列；当1q =-时，10n n a a ++=，数列{}1n n a a ++不是等比数列；当1n a =-时，10n a +=，数列{1}n a +不是等比数列；因为123121212()n n n n n n n n n n n n a q a a a a a a a a a a a q+++++++++++++++=+=+，由等比数列的定义可知：数列{}12n n n a a a ++++是等比数列，故选：D .6．D【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得211ba+=，在利用基本不等式即可求得2+a b 的最小值.【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，又因为两直线垂直，所以斜率乘积为1-，即211a b a ⎛⎫-⨯-=- ⎪-⎝⎭，即2a b ab +=，整理可得211ba+=，所以()21222214529ab a b a b b a b a ⎛⎫+=+=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==时，等号成立；因此2+a b 的最小值为9.故选：D 7．B【分析】根据题意即可求得BCD △为直角三角形，计算出C 点与塔顶的高度差5CE =，即可求得塔高.【详解】根据题意可得，1AB =m ，21AC =m ，所以20BC =m ；设塔顶为点D ，作DE BC ⊥于E，如下图所示：易知30,60DBC DCB ∠=∠= ，所以90CDB = ∠，所以1102CD BC ==m ，同理152CE DC ==m ，即塔高116DD AE AC CE ==-=m ；所以该塔的高度为16m .故选：B 8．C【分析】先判断当C B '与AD 所成角最大时，C B AD '⊥，进而证得AD ⊥面ABC '，再证得ABC '△是直角三角形，故可由C ABD D ABC V V ''--=求得结果.【详解】因为异面直线最大角为直角，故当C B AD '⊥时，C B '与AD 所成角最大，因为四边形ABCD 是矩形，所以AD AB ⊥，又C B AD '⊥， AB C B B '=，AB C B '⊂、面ABC '，故AD ⊥面ABC '，又因为AC '⊂面ABC '，所以AD AC '⊥，在Rt AC D '△中，23,AD C D '==，所以AC '=又3,2BC AC AB ''===，所以222AB BC AC '+'=，故BC AC ''⊥，所以11122332C ABD D ABC ABC V V S AD '''--===⨯⨯=⋅ .故选：C.9．AD【分析】利用共轭复数的定义可判断A 选项；利用复数的概念可判断B 选项；利用复数的除法可判断C 选项；利用复数模的三角不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为1i z =+，则1i z =-，A 对；对于B 选项，复数z 的虚部为1，B 错；对于C 选项，()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z z ---====-++-，C 错；对于D 选项，令0i,(,R)z x y x y =+∈，则2022(1)(1)1z x y z =+---=，即0z 在圆心为(1,1)半径为1的圆上，而0z 表示圆上点到原点的距离，由圆心(1,1)，结合圆上点到定点距离范围易知：0z 1，D 对.故选：AD.10．BD【分析】根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解.【详解】对于A ，由题意可知：经过1s 后，πππ5π(661212AOB ∠=--+=，所以此时扇形AOB 的面积为225π5π11261122r α⨯⋅==⨯，故选项A 错误；对于B ，经过2s 后，πππ2π2()266123AOB ∠=-⨯-+⨯=，所以此时劣弧 AB 的长为2π3r α=，故选项B 正确；对于C ，经过6s 后，质点B 转过的角度为ππ6122⨯=，结合题意，此时质点B 为角ππ2π623+=的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为1(,22-，故选项C 错误；对于D ，经过22s 3后，质点B 转过的角度为22π11π31218⨯=，质点A 转过的角度为22π11π()369⨯-=-，因为11π11ππ()2π1896--+=，所以经过22s 3后，质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，故选项D 正确，故选：BD .11．ACD【分析】对于选项A ：根据导数得出其单调性，则根据零点的定义结合图像得出6a >时，()g x 才有三个零点；对于选项B ：根据解析式得出当0x >时，()()f x f x >-，即可结合已知得出()()13f x f x >-根据单调性得出答案；对于选项C ：令()(2)(2)h x f x f x =+--，(0,2)x ∈，根据导数得出其单调性与最值，即可得出()220h x -<，即可结合已知得出()()234f x f x -<，即可根据单调性得出答案；对于选项D ：根据已知得出()()12f x f x =，代入解析式转化得出()()22211212164x x x x x x ⎛⎫∴-=+- ⎪⎝⎭，令12t x x =-，0t >，()2221164x x t t y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==，即可根据导数求出其最值，即可得出答案.【详解】()32288x f x x x x -'=-=，令()0f x ¢>，则2x >；令()0f x '<，则2x <且0x ≠；()f x \的增区间为：()2,+∞，减区间为：(),0∞-与()0,2，对于A 选项：()26f = 且()g x 有三个零点，6a ∴>，即A 选项正确；对于B 选项：当0x >时，()()228816022x x f x f x x x x ⎛⎫--=+-+=> ⎪⎛⎫-⎝ ⎪⎝⎭⎭，即()()f x f x >-，()()13f x f x = ，()()()133f x f x f x ∴=>-，()f x 在(),0∞-上单调递减，13x x ∴<-，即130x x +<，即B 选项错误；对于C 选项：令()(2)(2)h x f x f x =+--，(0,2)x ∈.()()2222412()(2)(2)04x x h x f x f x x -'''=++-=<-，()h x ∴在(0,2)上递减，即()(0)0h x h <=.202x << ，()()()222240h x f x f x ∴-=--<，()()224f x f x ∴-<.()()23f x f x = ，()()234f x f x ∴-<，又()f x 在(2,)+∞上单调递增，234x x ∴-<，即234x x +>，即C 选项正确；对于D 选项：()()12f x f x = ，2212128822x x x x ∴+=+，即()121212802x x x x x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，12x x ≠ ，121216x x x x ∴+=，()()()22221121212121644x x x x x x x x x x ⎛⎫∴-=+-=+- ⎪⎝⎭，令12t x x =-，0t >，则()2221164x x t t ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，令2164y t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，则()323441282164t y t t t-'-⨯=+=，0t >令0'>y ，解得t >0'<y ，解得t <，即2164y t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增，则2164y tt ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=在0t >上的最小值为242+⨯=故()221x x -≥D 选项正确.故选：ACD.12．ABC 【分析】当12a =时，由平面向量线性运算法则可知点P 在线段1OO 上，根据正四棱柱特征利用线面垂直判定定理即可证明直线AC ⊥平面1BPB ；当1a b +=时，由共线定理可得点P 在线段1CA 上，根据对称性将1PB PB +的最值转化成平面几何问题，即可求得最小值；若直线BP 与BD 所成角为π4，可知点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为2r =的半圆弧，即可计算出其轨迹长度；当21a b +=时，取1AA 的中点为E ，由共线定理可知,,P C E 三点共线，几何法找出球心位置写出半径的表达式，利用函数单调性求其取值范围即可得出结果.【详解】对于A ，取,AC BD 相交于点O ，11A C 的中点为1O ，如下图所示：当12a =时，即1112AP AC bAA AO bAA =+=+ ，(0,1)b ∈，由平面向量线性运算法则可知，点P 在线段1OO 上，由正四棱柱1111 ABCD A B C D -可得AC BD ⊥，且1 BB ⊥平面 ABCD ，又AC ⊂平面 ABCD ，所以1 BB AC ⊥，又1 BB BD B ⋂=，且1 ,BB BD ⊂平面11 BDD B ，所以AC ⊥平面11 BDD B ；又因为平面1BPB 与平面11 BDD B 是同一平面，所以AC ⊥平面1BPB ，即A 正确；对于B ，当1a b +=时，由1AP aAC bAA =+利用共线定理可得，1,, P C A 三点共线，即点P 在线段1CA 上;由对称性可知，线段1CA 上的点到11 ,D B 两点之间的距离相等，所以11PB PB PB PD +=+；取平面11 A BCD 进行平面距离分析，如下图所示：所以11PB PD BD +≥==，当且仅当1,,P B D 三点共线时，等号成立，此时点P 为线段1CA 的中点，即1PB PB +，故B 正确；对于C ，由图可知，,BA BC 与BD 所成角都为π4，由1AP aAC bAA =+ 可知，点P 在平面11 A ACC 内，若直线BP 与BD 所成角为π4，在线段1OO 上取点1P ，使1OP OB =，则直线1BP 与BD 所成角为π4；则点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为2r =，且在平面11 A ACC 内的半圆弧 1APC ，如下图中细虚线所示：所以动点P 的轨迹长为ππ2r =，故C 正确；对于D ，当21a b +=时，取1AA 的中点为E ，即12AA AE =；由12AP a AC b AA a AC b AE =+=+可知，,,P C E 三点共线，即点P 在线段CE 上，如下图所示：易知三棱锥-P ABC 外接球球心在直线1OO 上，设球心为2O ，2OO h =；作PQ AC ⊥于点Q ，设()0,1PQ x =∈，易知1,AE AC ==由相似比可得,CQ OQ ==-，设外接球半径为R ，则()22222R h x h ⎫=++-⎪⎪⎝⎭，解得322x h -=；所以2223219126224x x x R --+⎛⎫=+=⎪⎝⎭，易知当23x =时，半径最小为2R =；当0,x =时，半径最大为2R =；又()0,1x ∈，所以半径的取值范围是22⎫⎢⎣⎭，即D 错误.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据向量线性运算法则和共线定理的应用，确定点P 的位置，再根据几何体特征利用对称性即可求得距离之和得最小值，利用几何法即可求得外接球球心和半径的取值范围.13．1a 4≥【分析】分析可知命题“x ∀∈R ，210ax x ++≥”为真命题，对实数a 的取值进行分类讨论，在0a =时，直接验证即可；当0a ≠时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数a 的不等式组，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意可知，命题“x ∀∈R ，210ax x ++≥”为真命题.当0a =时，由10x +≥可得1x ≥-，不合乎题意；当0a ≠时，由题意可得0Δ140a a >⎧⎨=-≤⎩，解得1a 4≥.因此，实数a 的取值范围是1a 4≥.故答案为：1a 4≥.14【分析】由平面向量数量积的定义可得1a b ⋅=，再由()22||a b a b +=+ ，结合平面向量数量积的运算律即可得解.【详解】因为向量a ，b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，所以1||||cos601212a b a b °��创=，所以()2222||21247a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，所以||a b +=.15．26971a -##-1+a【分析】（1）根据带余除法的性质，总结数列规律，可得答案；（2）利用递推公式，结合裂项相消，可得答案.【详解】（1）由题意，141401F ÷=÷= ，则11a =，241401F ÷=÷= ，则21a =，由312F F F =+，则3F 除以4的余数为()11402+÷= ，即32a =，由423F F F =+，则4F 除以4的余数为()12403+÷= ，即43a =，由534F F F =+，则5F 除以4的余数为()32411+÷= ，即51a =，由645F F F =+，则F 6除以4的余数为()31410+÷= ，即60a =，由756F F F =+，则7F 除以4的余数为()01401+÷= ，即71a =，由867F F F =+，则8F 除以4的余数为()01401+÷= ，即81a=，故由斐波那契数n F 除以4的余数按原顺序构成的数列{}n a ，是以6为最小正周期的数列，因为202363371÷= ，所以1232023833712697a a a a ++++=⨯+= ；（2）由斐波那契数n F 的递推关系可知：2n >时21n n n F F F --=-，且121F F ==，2024F a =，所以()()()122022324320242023202421F F F F F F F F F F F a +++=-+-++-=-=- .故答案为：2697，a -116．()0,2【分析】作出函数()f x 的图形，求出过点过原点且与函数()()0f x x ≥的图象相切的直线的方程，以及函数())0f x x <的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出tan MON ∠的取值范围.【详解】当0x ≥时，()2e 4x f x x -=+，则()()21e 0x f x x -'=+>，所以，函数()f x 在[)0,∞+上为增函数；当0x <时，由0y =>可得221y x =+，即221y x -=，作出函数()f x的图象如下图所示：设过原点且与函数()()0f x x ≥的图象相切的直线的方程为y kx =，设切点为()0200,e 4x x x -+，所以，切线方程为()()0022000e41e x x y x x x x ----=+-，将原点坐标代入切线方程可得()00222000e4e x x x x x ----=-+，即0220e 4x x -=，构造函数()22e x g x x -=，其中0x ≥，则()()222e 0x g x x x -'=+>，所以，函数()22e x g x x -=在[)0,∞+上单调递增，且()24g =，由()02200e4x g x x -==，解得02x =，所以，()0201e 3x k x -=+=，而函数())0f x x <的渐近线方程为y x =-，设直线y x =-与3y x =的夹角为θ，设直线3y x =的倾斜角为α，则3πtantan 3π134tan tan 23π4131tan tan 4αθαα---⎛⎫=-=== ⎪-⎝⎭+，结合图形可知，0tan 2MON <∠<.故答案为：()0,2.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数()()0f x x ≥的图象相切的直线的方程以及函数())0f x x =<的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解.17．(1)14cm(2)16【分析】（1）根据分层抽样的比例确定男女生人数分别为60,40，结合两个样本平均数即可求得总样本的平均数；（2）根据（1）中求得数据代入计算即可得出结果.【详解】（1）设在男生､女生中分别抽取m 名和n 名，则10090015009001500m n ==-，解得：60,40m n ==.记抽取的总样本的平均数为ω，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得：604013.215.214(cm)100100ω=⨯+⨯=所以，抽取的总样本的平均数为14cm .（2）男生样本的平均数为13.2x =，样本方差为2113.36s =；女生样本的平均数为15.2y =，样本方差为2217.56s =；由（1）知，总样本的平均数为14ω=.记总样本的样本方差为2s ，则{}22216013.36(13.214)4017.56(15.214)16100s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦所以，估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.18．(1)6a =(2)答案见解析【分析】（1）解法一，利用余弦定理将角化边；解法二，利用正弦定理将边化角；（2）若选择①，利用正弦定理得到b B =，c C =，则1sin 2ABC S bc A = ，将其转化为关于B 的三角函数，结合ABC 是锐角三角形，求出B 范围，再结合正弦函数的性质求出ABC 的面积的取值范围；若选择②，依题意可得10c b =-，由三角形ABC 为锐角三角形利用余弦定理求出b 的取值范围，利用余弦定理表示出cos C ，即可得到sin C ，将ABC S 转化为关于b 的函数，结合二次函数的性质计算可得.【详解】（1）解法一：因为cos cos 6b C c B +=，由余弦定理，得222222622a b c a c b b c a ab ac+-+-⋅+⋅==；解法二：因为cos cos 6b C c B +=，由正弦定理，得2(sin cos sin cos )6R B C C B +=，∴2sin()6R B C +=，∴2sin 6R A =，即6a =.（2）选择①：因为6πsin sin sin sin 4a b c A B C====所以b B =，c C =，所以1πsin sin sin 24ABC S bc A B C B B ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭△cos sin 22B B B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭218sin cos 18sin B B B=+9sin 299cos 2B B=+-π294B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为ABC 是锐角三角形，所以π02π02B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，又3π4C B =-，所以π023ππ042B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，所以ππ42B <<.所以ππ3π2444B <-<，所以πsin 2124B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以π924B ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以189ABC S <≤△.选择②：因为10b c +=，则10c b =-，因为ABC 是锐角三角形，所以222222222cos 02 cos 02cos 02b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=>⎪⎪⎪+-=>⎨⎪⎪+-=>⎪⎩，即222222222222222(10)36036(10)036(10)0b c a b b a c b b b a b c b b ⎧+-=+-->⎪+-=+-->⎨⎪+-=+-->⎩，所以163455b <<，因为222516cos 23a bc b C ab b+--==，所以sinC =，所以1sin 32ABC S ab C b ==⋅△=，163455b ⎛⎫<< ⎝⎭由二次函数()()22101659g x x x x =-+-=--+163455x ⎛⎫<< ⎝⎭的性质可得，当5x =时，函数取最大值()max 9g x =，当165x =时，()14425g x =，又34155555-<-，所以()144,925g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即261441,90251b b ⎛⎤∈ ⎥⎝+-⎦-152,3⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以48125ABC S <≤△.19．(1)证明见解析【分析】(1)根据四边形ABCD 为菱形,可得AC BD ⊥,根据FA FC =可得AC OF ⊥,根据线面垂直的判定定理即可证明结论;(2)连接OE ,过O 作OG ⊥AE ,连接GF ,先由勾股定理可证明EO ⊥FO ,由(1)的结论可得FO ⊥AC ,根据线面垂直的判定定理证明FO ⊥平面AEC ,即FO ⊥EA ,根据线面垂直的判定定理可证明EA ⊥平面OFG ,即有EA ⊥GF ,根据二面角的定义可得∠OGF 为二面角F -AE -C 的平面角,在直角EOA △中根据面积相等求出OG ,再在直角FOG 中即可求出结果.【详解】（1）证明:因为四边形ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥,因为FA FC =,且O 为AC 中点,所以AC OF ⊥,BD OF O = ,BD ⊂平面BDEF ,OF ⊂平面BDEF ,所以AC ⊥平面BDEF ;（2）因为四边形BDEF 为矩形,连接OE ,因为BD =2,BF =1,且O 为BD 中点,所以FO EO ==EF =2,故222EO FO EF +=,即EO ⊥FO ,由(1)可知AC ⊥平面BDEF ,FO ⊂平面BDEF ,、所以FO ⊥AC ,因为EO AC O = ,EO ⊂平面AEC ,AC ⊂平面AEC ,所以FO ⊥平面AEC ,又EA ⊂平面AEC ,所以FO ⊥EA ,过O 作OG ⊥AE ,垂足为G ,连接GF ,因为OG ∩OF =O ,OG ⊂平面OFG ,OF ⊂平面OFG ,所以EA ⊥平面OFG ,因为GF ⊂平面OFG ,所以EA ⊥GF ,所以∠OGF 为二面角F -AE -C 的平面角,在直角EOA △中,根据面积相等有OG EA OE OA ⋅=⋅,所以OE OA OG EA ⋅=因为FO ⊥平面AEC ,OG ⊂平面AEC ,所以OG FO ⊥,所以FOG 为直角三角形，所以FG ===则cos 4OG OGF FG ∠==,所以二面角F AE C --的余弦值为4.20．(1)41n a n =-(2)24249n nT n -=+【分析】（1）首先根据等差数列的定义得到n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得到22n S n n =+，再根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（2）由（1）可得(1)1124143n n b n n -⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法计算可得.【详解】（1）解：∵13a =，∴131S =，又∵数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为公差的等差数列，∴21n S n n=+，即22n S n n =+，∵2n ≥时，22122(1)(1)41n n n a S S n n n n n -=-=+----=-，∴1n =时，13a =符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为41n a n =-.（2）解：由（1）可得()1(1)2(1)(41)(1)11(41)(43)24143n n n n n n n a n b a a n n n n +-+-+-⎛⎫===+ ⎪-+-+⎝⎭所以211111111123771111158183n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112383n ⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦4249n n -=+，∴数列{}n b 的前2n 项和24249n n T n -=+.21．(1)2213y x -=；(2)最小值为6.【分析】(1)根据题意列出等式化简即可；(2)设直线OP 的方程为y kx =，直线OQ 的方程为1=-y x k ，联立直线OP 的方程与M 的方程，可得()22231||3k OP k +=-，同理可得()22231||31k OQ k +=-，进而可得2133k <<，22112||||3OQ OP +=，再利用基本不等式求解即可.【详解】（12=，整理化简可得：2233x y -=，即2213y x -=,所以动点M 的轨迹方程为：2213y x -=；（2）解：由OP OQ ⊥可设直线OP 的方程为y kx =，直线OQ 的方程为1=-y x k，由2233y kx x y =⎧⎨-=⎩，可得222223333x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222231||3k OP x y k +=+=-，同理可得()22231||31k OQ k +=-，又由2||0OP >且2||0OQ >，可得2133k <<，所以()22222113312||||331k k OQ OP k -+-+==+，所以()222222311||||||||2||||OP OQ OP OQ OQ OP ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，所以2222223||||3||||2(2262||||2OP OQ OP OQ OQ OP ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当||||OP OQ ==所以22||||OP OQ +的最小值为6.22．(1)()f x 在(0,)+∞上单调递减(2)0【分析】（1）对函数()f x 求导判断出导函数恒小于等于0，即可得()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）利用导函数判断出函数()g x 的单调性，并根据不等式()2()0g x x mx n ++≤可得出1m n =--以及n 的取值范围，代入整理可得21112ln 12ln 1e m n n n n n n+-++=-++，再根据函数[]x 的定义和参考数据即可求得结果.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，易知22211()110f x x x x '⎛⎫=--=--≤ ⎪⎝⎭恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减.（2）()2ln 1g x x x =-+，定义域是(0,)+∞，则22()1x g x x x'-=-=，令()0g x '>，则02x <<；令()0g x '<，则2x >.∴()g x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减.∵(1)0g =，(3)2ln 320g =->，(4)4ln 230g =-<.∴存在0(3,4)x ∈，使()00g x =，即002ln 1x x =-.当01x x <<时，()0g x >；当01x <<或0x x >时，()0g x <∵()2()0g x x mx n ++≤当01x x <<时，20x mx n ++<；当01x <<或0x x >时，20x mx n ++>.∴1和0x 是方程20x mx n ++=的两个不等实数根.∴240m n ∆=->，由韦达定理001,1x m x n +=-⋅=.∴01m x =--，0n x =，∴1m n +=-.即1m n=--∴1211111e 12ln 12ln 12ln 1e e n m n n n n n n n n n n-+--++=-++=-++又由002ln 1x x =-，∴0120e x x -=又0n x =，∴12e n n -=所以1e 112ln 12ln 1()1n n n nf n n n n--++=-++=+（其中0(3,4)n x =∈）由（1）知()f x 在区间(3,4)上单调递减且5(3)12ln 30.533f +=-≈，11(4)14ln 20.054f +=-≈.∴[()1]0f n +=.即2112ln 10e m n n n +⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出函数()g x 最值以后，将不等式()2()0g x x mx n ++≤恒成立问题转化成研究二次函数2y x mx n =++的根的分布情况得出参数,m n 的关系式，然后对2112ln 1e m n n n+-++进行化简求解即可.。
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题(含答案)
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设集合}06|{2≤--=x x x A ，集合}40|{<<=x x B ，则=B A A ．}20|{≤<x x B ．}30|{≤<x xC ．}42|{<≤-x x D ．}43|{<≤-x x 2．在25个互不相等的数据中，记上四分位数为a ，中位数为b ，第75百分位数为c ，则A ．c b a <<B ．b c a <=C ．ab c <<D ．ca b =<3．已知等差数列}{n a 满足4852=++a a a ，前n 项和为n S ，则=9S A ．8B ．12C ．16D ．244．已知函数xax x f +=)()(R a ∈，则)(x f 的图象不可能是A ．B ．C ．D ．5．过点)0,0(与圆042422=+--+y x y x 相切的两条直线夹角为α，则=αcos xOyxOyxO yxOyA ．53B ．54C ．55D ．5526．如图，位于某海域A 处的甲船获悉，在其北偏东︒60方向C 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东︒51，且与甲船相距mile n 2的B 处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为A ．mile n 2B ．mile n 2C ．mile n 22D ．milen 237．已知函数1)14()(22-+-+=x x log x f x，则关于x 的不等式)2()2(x f x f >+的解集为A ．)232(-B ．)2,21[32,1( --C ．)2,21[]21,32( --D ．)2,21[]21,1( --8．已知双曲线)0,0(1 2222>>=-b a by a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ，左、右顶点分别为21,A A ，以21F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P ，且321π=∠A PA ，则双曲线C 的离心率为A ．332B ．2C ．321D ．13二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．CB ︒60︒15A北9．已知复数i z +=1，则A ．2||=zB ．2=⋅z zC ．1)1(2024-=-z D ．若关于x 的方程022=+-ax x ),(R a C x ∈∈的一个根为z ，则2=a 10．已知n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，且α⊥m ，β//n ，则A ．若n m //，则βα⊥B ．若β//m ，则n m ⊥C ．若β⊥m ，则nm ⊥D ．若n m //，则β//m 11．已知函数)2000)(()(π,,ωA ωx Asin x f <<>>+=ϕϕ的部分图象如图所示，则A ．3π=ϕB ．函数)(x f 在2,12(ππ上单调递减C ．方程1)(=x f 的解集为},12{Z k πkπx|x ∈-=D ．6π-=θ是函数)(θ+=x f y 是奇函数的充分不必要条件12．已知平面向量a ，b ，c ，32||=a ，6||=b ，18=⋅b a ，且60,>=--<c b c a ，则A ．a 与b 的夹角为30B ．)()(c b c a -⋅-的最大值为5C ．||c 的最小值为2D ．若),(R y x b y a x c ∈+=，则y x +21的取值范围是]67,31[三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．高三数学试题第4页（共8页）13．2023年9月，我国成功地举办了“杭州亚运会”．亚运会期间，某场馆要从甲、乙、丙、丁、戊5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，则甲、乙至少有一人被选中的概率为．14．如图，M 是抛物线)0(22>=p px y 上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角︒=∠60xFM ，且8||=FM ，则=p ．15．足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．右面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中21==AA AB ，411=B A ，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的体积为；Ω的外接球的表面积为．16．若实数0x 满足)()(00x g x f --=，则称0x 为函数)(x f y =与)(x g y =的“关联数”．若,0()(>=a a x f x且)1≠a 与2)(x x g -=在实数集R 上有且只有3个“关联数”，则实数a 的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”工作，在调查阶段，从B A ,两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到B A ,两小区的同日室温平均值如下图所示：FxO yM18．（本小题满分12分）三棱柱111C B A ABC -中，311π=∠=∠CAA ABB ，21===AA AC AB ，F E ,分别为11,AA C B 中点，且AC F B ⊥1．（Ⅰ）求证：//EF 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角C ,B ,A 的对边分别为c ,b ,a ，ABC ∆的外接圆半径为3，且A sin sinBsinC C sin B sin 222=-+．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求ABC ∆的内切圆半径r 的取值范围．20．（本小题满分12分）21．（本小题满分12分）设21F ,F 分别为椭圆0)(1 2222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知21ΔF PF 的面积为2，3121=∠PF F cos ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，G ,N ,M 是椭圆上不重合的三点，原点O 是MNG Δ的重心．（ⅰ）当直线NG 垂直于x 轴时，求点M 到直线NG 的距离；（ⅱ）求点M 到直线NG 的距离的最大值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，OAB Rt ∆的直角顶点A 在x 轴上，另一个顶点B 在函数xlnxx f =)(的图象上．（Ⅰ）当顶点B 在x 轴上方时，求OAB Rt Δ以x 轴为旋转轴，边AB 和边OB 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；（Ⅱ）已知函数xax ex e x g ax 1)(22-+-=，关于x 的方程)()(x g x f =有两个不等实根21,x x )(21x x <.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：ex x 22221>+.xOyMNG吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．12345678CDBDABCD二、多项选择题：本大题共4小题，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．13．10914．415．3228；π4016．12<<-a ee或eea 21<<（注：16题或写成1{2<<-a e |a e或}12ee a <<，或写成)(1,)1 ,(22eee e -）四、解答题17．【解析】（Ⅰ）A 小区当年随机抽取的20天数据中，供热等级达到“舒适”的有15天，所以可以估计A 小区一天中供热等级达到“舒适”的概率为432015=，··················································2分那么，在当年的供热期内，A 小区供热等级达到“舒适”的天数约为12943172=⨯天········································3分9101112BDACABDACD（Ⅱ）由题意，样本空间Ω中共有20个样本点，设21,x x 表示B A ,两小区室内温度，用),(21x x 表示可能的结果.)}20,24(),20,23(),20,21(),19,24(),19,22(),19,21{(=C ，6)(=C n ，所以，事件C 的概率103206)()()(===Ωn C n C P .··················································6分（Ⅲ）（选择A ）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择A 小区，理由如下：①在20天的数据中，A 小区室温大于B 小区室温的有14天，B 小区室温大于A 小区室温的有5天，由此可以估计，每天A 小区室温大于B 小区室温的概率为1071=P ，B 小区室温大于A 小区室温的概率为412=P ，2P 远远小于1P ；②随机抽取的20天中，A 小区室温平均数为C T A 05.22=，B 小区室温平均数为C T B 7.20=，B A T T >；③在随机抽取的20天中，B 小区供热等级达到“舒适”的天数为9天，远小于A 小区供热等级达到“舒适”的天数；④A 小区室温中位数为C Z A 5.22=，B 小区室温中位数为C Z B 20=，B A Z Z >10分（选择B ）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择B 小区，理由如下：①在20天的数据中，A 小区中存在供热不达标的情况，而B 小区供热等级全部达标.②随机抽取的20天中，A 小区室温平均数为C T A05.22=，B 小区室温平均数为C T B 7.20=，在B A T T ,全部达标的情况下，A 小区室温方差大于B 小区室温方差，B 小区室温波动较小，说明B 小区供热更加稳定.（A 小区室温方差为84.7≈2A s ，B 小区室温方差为01.4≈2B s ，以上数值仅作参考，不要求计算方差具体值）.·····························10分赋分说明：①只做判断没能说明理由的不给分；②给出一个正确理由的给3分，给出两个及以上正确理由的给4分；③除以上理由外，其它符合统计概率知识的判断依据都可酌情给分.18．【解析】（Ⅰ）证明：取BC 中点G ，连接EG AG ,，E 为C B 1中点，1//BB GE ∴，121BB GE =，在三棱柱111C B A ABC -中，111,//AA BB AA =F 为1AA 中点，AF GE AF GE =∴,//，∴四边形AGEF 为平行四边形，GA EF //∴，又⊂GA 平面ABC ，⊄EF 平面ABC //EF ∴平面ABC .··································5分（Ⅱ）解：在平行四边形11A ABB 中，3,11π=∠=ABB AA AB ,∴平行四边形11A ABB 为菱形，连接1AB ，则11ΔB AA 为正三角形，F 为1AA 中点，11AA F B ⊥∴，同理可证1AA CF ⊥，又AC F B ⊥1，A AA AC =1 ，⊥∴F B 1平面CC AA 11∴以F 为原点，FC FB FA ,,1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Fxyz ，)23,23,0(),3,0,0(),0,3,0(),0,3,2(),0,0,1(),0,0,0(1E C B B A F ∴，)23,23,1(),3,0,1(),0,3,1(-=-==∴AE AC AB ，··································8分设),,(z y x n =是平面ABC 的法向量，F EA1A CB1B 1C xyz则ACnABn⊥⊥,，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅∴,03,03zxACnyxABn⎩⎨⎧=-=∴,3,3zxyx取1=z，则1,3-==yx，)1,1,3(-=∴n是平面ABC的一个法向量，565210123)1(2331||||,-=⨯⨯+-⨯+⨯-=>=<∴nAEnAEnAEcos，设直线AE与平面ABC所成角为θ，则56|,|=><=nAEcossinθ，即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为56.··················································12分19．【解析】（Ⅰ）AsinsinBsinCCsinBsin222=-+由正弦定理可得bcacbabccb=-+∴=-+222222由余弦定理得2122222==-+=bcbcbcacbcosA3),0(ππ=∴∈AA······················································································5分设ABCΔ外接圆半径为R，则3=R，由正弦定理得323322=⨯==RsinAa····················································································································6分注意：求角未写范围扣1分.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3,3π==Aa由余弦定理Acosbccba2222-+=得32922πcosbccb-+=bccb3)(92-+=∴4)(39)(322cbcbbc+≤-+=36)(2≤+∴cb acb>+63≤+<∴cb.当且仅当3==cb时取等号 (8)分又由等面积法可知r c b a bcsinA )(2121++=cb a bc r ++=∴2339)(2-+=c b bc ，)3(63339)(232-+=++-+⨯=∴c b c b c b r ····························10分23)3(630,330≤-+<∴≤-+<c b c b r ∴的取值范围为230(，···············································································12分20．【解析】（Ⅰ）42=a ··········································································································1分93=a ··········································································································2分（Ⅱ）由22221ππn sinn cosa a n n +-=+，可得22221ππn sina n cos a n n +=++即）（）（）（*1,2222221N n n sin a n sin a n sin a n n n ∈+=+=+++πππ·····················4分又因为0221≠=+πsina 所以2{πn sin a n +是首项为2，公比为2的等比数列············································5分所以n n n sin a 22=+π，即*22N n n sin a n n ∈-=，π·········································6分（Ⅲ）)( 2)2(*N n n nsin a n n n ∈-=-，π·····································································7分①当)( 4*N k k n ∈=，时，[]0)1(0)3()0705()0301(+-++--+⋯++++-++++-=n n T n 22224n n=+⋯++=个令20242==mT m，得4048=m······································································8分②当)(,14*Nkkn∈-=时，[]nnT n++--+⋯+++-+++-+++-=0)2()1190()750(3121222243+=+⋯+++=-nn个令202421=+=mT m，得4047=m································································9分③当)(24*Nkkn∈-=，时，[]0)1()2()097()053(1+--+-+⋯++-+++-+++-=nnT n2221)2()2()2(142nnn-=---=-+⋯+-+-+-=-令20242=-=mT m，得4048-=m舍去··························································10分④当)(34*Nkkn∈-=，时，))2(0()970()530(1nnT n-+-++⋯+-+++-+++-=21211)2()2()2(141+-=---=-+⋯+-+-+-=-nnn个令202421=+-=mT m，得4049-=m舍去······················································11分综上：4048=m或4047··············································································12分21．【解析】（Ⅰ）由题可知222121Δ==⨯⨯=bcbcS FPF····························································1分3112222221=-∠=∠=∠OPF cos OPF cos PF F cos 362=∠∴OPF cos 在2OPF Rt ∆中，362==∠a b OPF cos ·····························································2分222c b a += ································································································3分解得1,2,3===c b a 即椭圆C 的标准方程为12322=+y x ···································································4分（Ⅱ）（ⅰ）当NG 垂直于x 轴时，点M 为椭圆C 的左顶点或右顶点，此时3==a OM ，O 是MNG ∆重心，设线段NG 的中点为D则2321==OM OD M ∴到直线NG 的距离是2333=OD ·······················6分（ii ）当NG 斜率存在时，设直线NG 方程为)0(≠+=t t kx y 设),(11y x N ，()22,y x G ，)(33y ,x M 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12322y x t kx y 消去y 得：0636)3(2222=-+++t ktx x k 02)24(322>+-=∆t k ，则2223t k >+由韦达定理得221326k kt x x +-=+，22213263k t x x +-=··········································7分O 是MNG Δ重心，2213326)(k ktx x x +=+-=∴222212133242326]2)([)(k tt k t k t x x k y y y +-=-+=++-=+-=∴M在椭圆C上1)322(61)323(632222222=+++∴ktkt k即2222)326()32(24kkt+=+0322>+k22324kt+=∴222324tkt>+=，符合0>∆tkkktx2332623=+=∴，tkty132423-=+-=······················································8分设1,23(ttkM-到直线NG：0=+-tykx的距离为d2222222221433143313k12223k1123tttktttktttkd+=+=+=+++=+++=·················10分232422≥+=kt212≥∴t233223<≤∴d················································11分由（i）知，当NG垂直于x轴时，M到直线NG的距离为233.综上所述，M到直线NG的距离取值范围为233,223[.故M到直线NG的距离的最大值为233···························································12分22．【解析】（Ⅰ）设)0,(xA，则1),,(>xxlnxxB则xxlnxxlnxOAABV3)(3||||31222πππ=⋅⋅=⋅⋅=···············································2分令xxlnxh2)(=，1>x则2)2()(xlnxlnxxh-=',令0)(='x h ，2e x =；令0)(>'x h ，21e x <<；令0)(<'x h ，2ex >故)(x h 在),1(2e 单调递增，在)(2∞+，e 单调递减.故224)()(e e h x h max ==，故234)(3e x h V maxmax ππ==···········································4分（Ⅱ）(ⅰ)由)()(x g x f =得lnx ax ex eax =-+-122，即)(22ex ln ex ax e ax +=+令x e x x+=)(ϕ，则)]([)(2ex ln ax ϕϕ=，又11)(>+='xe x ϕ，故)(x ϕ在R 上单调递增，故)(2ex ln ax =在)0(∞+，上有两个不等实根21x x ，············································5分即21xlnx a +=在)0(∞+，上有两个不等实根21x x ，令21)(x lnx x F +=，312)(x lnx x F --='，令0)(='x F ，21-=e x ；令0)(>'x F ，210-<<ex ；令0)(<'x F ，21->ex 故)(x F 在),0(21-e单调递增，在),(21+∞-e 单调递减.故2)()(21e eF x F max ==-又0)1(=eF ，当+→0x 时，-∞→+1lnx ，02→x -∞→∴)(x F ；当+∞→x 时，+∞→+1lnx ，+∞→2x ，与对数函数相比，二次函数增长速度更快，→∴)x (F 故当且仅当20ea <<时，直线a y =与)(x F y =图象有两个不同公共点，故实数a 的取值范围是2,0(e .············································································8分（ⅱ）由(ⅰ)知⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22212111lnx ax lnx ax ，两式作差得212221lnx lnx ax ax -=-，即alnx lnx x x 2122212221=--，··················································································9分令1)1(2)(+--=x x lnx x G ，1>x ，则0)1()1()1(41)(222>+-=+-='x x x x x x G 故)(x G 在),1(+∞单调递增，故0)1()(=>G x G ，即当1>x 时，1)1(2+->x x lnx ，又012>>x x ，故1)1(2212221222122+->x x x xx x ln 故2221222122212lnx lnx x x x x -->+···········································································11分故a x x 2122221>+，由(ⅰ)知20e a <<，故ex x 122221>+，即e x x 22221>+·········12分。
吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题 (2)
一、单选题1.已知双曲线的左、右焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程式为（ ）A．B．C．D．2. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，过的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，和的内心分别为M ，N，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C，且，则（ ）A．B．C．D．4. 已知，则的大小关系为（ ）A．B．C．D．5. 已知（i 为虚数单位），则复数z 在复平面对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 函数在区间的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．7. 已知函数的大致图象如图所示，则（）A．B．C．D．8. 已知第二象限角满足，则（ ）A．B．C．D．9. 已知，，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件10.地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下：（焦耳）（取），那么8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的（ ）A ．30.6倍B ．31.6倍C ．3.16倍D ．3.06倍吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题二、多选题三、填空题四、填空题11. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（ ）A．当点为线段的中点时，直线的斜率为B．若，则C．D ．若直线的斜率为，且，则12.记函数与的定义域的交集为I．若存在I ，使得对任意I ，不等式恒成立，则称(，)构成“M 函数对”．下列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，13. 满足，且的集合M 可能是（ ）A．B．C．D．14. 设，则（ ）A．B．C．D．15.设向量，且，则＝________.16. 如图，在边长为的正方形中，为的中点，则____________________．17. 在一个三角形中，到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足，因此费马点也称为三角形的等角中心，如图，在外作等边，再作的外接圆，则外接圆与线段的交点即为费马点.若，则___________.18. 已知，则__________，不等式的解集是__________.19.函数的最大值为_________，所有零点之和为_________.五、解答题六、解答题七、解答题20. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．21. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400附：．0.100.050.0102.7063.8416.635(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．22. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，，且，设平面与平面的交线为．(1)作出交线（写出作图步骤），并证明平面；(2)记与平面的交点为，点S 在交线上，且，当二面角的余弦值为，求的值．23.某校为检测高一年级学生疫情期间网课的听课效果，从年级随机抽取名学生期初考试数学成绩（单位：分），画出频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、、、、.(1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计这名学生数学成绩的平均分；(2)从和分数段内采用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行座谈，求这名学生中有两名成绩在的概率；(3)已知（2）问中抽取的名同学中含有甲、乙两人，甲已经被抽出座谈，求乙也参与座谈的概率.24.如图，在三棱柱中点，在棱上，点F 在棱CC 1上，且点均不是棱的端点，平面且四边形与四边形的面积相等.八、解答题九、解答题（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求平面与平面所成角的正弦值.25. 年初，新冠肺炎疫情暴发，全国中小学生响应教育部关于“停课不停学”居家学习的号召.因此，网上教学授课在全国范围内展开，为了解线上教学效果，根据学情要对线上教学方法进行调整，从而使大幅度地提高教学效率.近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能操作比赛，等级分为至分，随机调阅了、校名学生的成绩，得到样本数据如下：成绩（分）人数（个）校样本数据统计图（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；（2）从校样本数据成绩分别为分、分和分的学生中按分层抽样的方法抽取人，从抽取的人中任选人参加更高一级的比赛，求这人成绩之和不小于的概率.26. 已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)证明：函数在上有且仅有一个零点．。
2024-2025学年吉林省长春市长春二中高三(上)第二次调研数学试卷(含答案)
2024-2025学年吉林省长春二中高三（上）第二次调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|2x 2+x−1<0}，B ={y|y =lg(x 2+1)}，则A ∩B =( )A. (−1,0]B. [0,12)C. (−12,0]D. [0,1)2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10−S 3=35，a 3+a 10=7，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 43.“α=π4+kπ(k ∈Z)”是“3cos 2α+sin 2αsinαcosα=3+1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条伴D. 既不充分也不必要条件4.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且tanα=1+sinβcosβ，则( )A. 3α−β=π2B. 3α+β=π2C. 2α−β=π2D. 2α+β=π25.将函数f(x)=cos (ωx−π4)(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数y =g(x)在区间[0,3π4]上单调递增，则ω的最大值为( )A. 13B. 23C. 1D. 36.已知a >1，b >0，若a +log 2a =b +log 2b ，则( )A. a >2bB. a <2bC. a >b 2D. a <b 27.已知集合A ={−12,−13,12,13,2,3}，若a ，b ，c ∈A 且互不相等，则使得指数函数y =a x ，对数函数y =log b x ，幂函数y =x c 中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是( )A. 16B. 24C. 32D. 488.现定义如下：当x ∈(n,n +1)时(n ∈N)，若f(x +1)=f′(x)，则称f(x)为延展函数.现有，当x ∈(0,1)时，g(x)=e x 与ℎ(x)=x 10均为延展函数，则以下结论( )(1)存在y =kx +b(k,b ∈R ；k ，b ≠0)与y =g(x)有无穷个交点(2)存在y =kx +b(k,b ∈R ；k ，b ≠0)与y =ℎ(x)有无穷个交点A. (1)(2)都成立B. (1)(2)都不成立C. (1)成立(2)不成立D. (1)不成立(2)成立二、多选题：本题共3小题，共18分。
吉林省长春二中2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析
吉林省长春二中2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱锥,1,P ABC AC BC AC BC -==⊥且2,PA PB PB =⊥平面ABC ，其外接球体积为（ ）A ．43πB ．4πC ．323πD ．2．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>3．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c4．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a <<D ．b c a <<6．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）AB ．1C ．2D ．127．已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)nn a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－818．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2CD9．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=10．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1011．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A ．314B ．1114C ．114D ．2712．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
长春市普通高中2025届高三第二次调研数学试卷含解析
长春市普通高中2025届高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，若1z i i =-，则||z =（ ）A B ．2C D ．3 2．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④ C ．①④ D ．①②③3．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人 C ．108人 D ．115人4．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．16275．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2} 6．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则A ．{|02}AB x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}A B x x =-<<7．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记i i S S λ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．32-D ．328．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>9．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种 10．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ） A ．211- B ．525- C ．25 D ．251- 11．函数()()241x f x x x e =-+⋅的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．12．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若//m α,//m β,则//αβB ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省吉林市普通中学高三数学毕业班第二次调研测试试题 理(扫描版)
吉林省吉林市普通中学2017届高三数学毕业班第二次调研测试试题理（扫描版）吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第二次调研测试数 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. [0,2];; 15. ; 16. 2n 三、解答题17解：（1）由图象知A=1, 54(),2126T πππω=-== ----------------------------------------------------3分将点(,1)6π代入解析式得sin()1,3πϕ+=因为||2πϕ<，所以6πϕ=所以()sin(2)6f x x π=+ --------------------------------------------------------------------------5分（2）由(2)cos cos a c B b C -=得： (2sin sin )cos sin cos A C B B C -= 所以2sin cos sin(),2sin cos sin A B B C A B A =+=因为(0,)A π∈,所以sin 0A ≠，所以12cos ,,233B B A C ππ==+= -------------------------------8分25()sin(),0,263666A f A A A πππππ=+<<<+<，所以1sin()(,1]62A π+∈所以1()(,1]22A f ∈ ------------------------------------------------------------------------10分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，当1q =时，符合条件，133a a ==，a n =3 -----------------------------------2分当1q ≠时，21313(1)91a q a q q ⎧=⎪⎨-=⎪-⎩所以21213(1)9a q a q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，解得1112,2a q ==- ----5分 1112()2n n a -=⨯-综上：a n =3或1112()2n n a -=⨯- ---------------------------------------------------6分注：列方程组21211139a q a a q a q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩求解可不用讨论 （Ⅱ）证明：若a n =3，则b n =0，与题意不符；222231112()3()22n n n a ++=⨯-=⨯，222233log log 22n n n b n a +=== -----------------8分 14111(1)1n n n c b b n n n n +===-++ ----------------------------------------------------10分123111111(1)()()1122311n c c c c n n n ++++=-+-++-=-<++ ---------12分 19．（本小题满分12分）解 (Ⅰ) 由题意可知，这20名工人年龄的众数是30， --------------------------------2分这20名工人年龄的平均数为x ＝120(19＋3×28＋3×29＋5×30＋4×31＋3×32＋40)＝30，------------------------------4分(Ⅱ) 这20名工人年龄的茎叶图如图所示：------------------------------------------7分(Ⅲ) 记年龄为24岁的三个人为A 1，A 2，A 3；年龄为26岁的三个人为B 1，B 2，B 3则从这6人中随机抽取2人的所有可能为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}， {A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B ,3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A ,3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}共15种。
吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题(3)
一、单选题二、多选题1. 设、是实数，则“”是“为和的等差中项”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件2.已知函数，若，则（ ）A．B．C．D．3. 如图所示，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上，设，则的取值范围是( )A．B．C．D．4. 已知随机变量，满足，，且，则的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35.在中，点在边上，且，设，，则为A．B．C．D．6. 在中，三个内角所对的边为，若，，，则（ ）A ．B ．C ．4D ．7. 古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯（Pappus ，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线．今有平面内三条给定的直线，且，均与垂直．若动点M到的距离的乘积是M到的距离的平方的4倍，则动点M在直线之间（含边界）的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8. 若a +ln a =2b +ln b ，则（ ）A ．a <2bB ．a >2bC ．a >b 2D ．a <b 29.已知等差数列的前项和为，的公差为，则（ ）A．B．C ．若为等差数列，则D ．若为等差数列，则10. 如图，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题(3)吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题(3)三、填空题四、解答题A．的渐近线方程为B．C ．的面积为D ．内接圆的半径为11.已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）A ．的周长为B．当时，的边C ．当时，的面积为D ．椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形12. 曲线在点处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l 的方程可能为（ ）A．B．C．D．13.已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为__________．14. 在学习完二项式定理的相关知识后，老师要求同桌之间相互出题进行考查，为了区别于课例中的问题，小明提出如下题干：“已知，基于上述题干，则____________．15. 已知，则_______．16. 某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示：停车时间取车概率停车人员(0，2](2，3](3，4](4，5]甲乙（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.17. 已知，求的值．18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足.（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程.19. 已知函数().（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，记函数的最小值为，求证：.20. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为长方形，，点、分别是线段、的中点．（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，请指出点的位置，并证明平面；若不存在，请说明理由．21. 第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．。
吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三第二次调研测试数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. （ ）．A．B．C．D．2. 直线和双曲线的渐近线相交于，两点，则线段的长度为（ ）A．B．C．D．3. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数是定义在的奇函数，且满足，当，，则下列关于函数叙述正确的是（ ）A．函数的最小正周期为B．函数在内单调递增C．函数相邻两个对称中心的距离为D ．函数的图象在区间内的零点满足5. 若函数为偶函数，则函数在区间上的取值范围为A．B．C．D．6. 已知i 虚数单位，若z =1+，则（ ）A．B．C．D．7. 若，，，则下列不等式中①；②；③；④，对一切满足条件的，恒成立的序号是A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④8. 的内角的对边分别为，若 ，，的面积为 ，则（ ）A．B．C．D．9. 已知圆M 的方程为：，（），点，给出以下结论，其中正确的有（ ）A ．过点P 的任意直线与圆M 都相交B ．若圆M与直线无交点，则C ．圆M 面积最小时的圆与圆Q ：有三条公切线D ．无论a 为何值，圆M 都有弦长为的弦，且被点P 平分10. 设是公比为正数等比数列的前n 项和，若，，则（ ）A．B．C ．为常数D ．为等比数列11. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点，则下列结论正确的是吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三第二次调研测试数学试题(2)吉林省吉林市普通中学2022-2023学年高三第二次调研测试数学试题(2)三、填空题A ．若时，平面平面B ．若时，直线与平面所成的角的正弦值为C ．若直线和异面时，点不可能为底面的中心D ．若平面平面，且点为底面的中心时，12. 已知，则函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．13. 已知椭圆C ：的左焦点为，为椭圆C 上任意一点，则的最小值为______．14.已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为____________.15. 中国于2022年2月在北京成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会．共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”已从愿景变为现实，中国各地滑雪场的数量也由2015年的1255家增加到2021年的3100家．下面是2016年至2021年中国滑雪场新增数量和滑雪场类型统计图，下列说法中正确的序号是______．四、解答题①2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高②2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升③2016年至2021年中国滑雪场新增数量逐年增加④2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多16.已知函数(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.17. 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用是多少元？（2）设该厂天购买一次配料，求该厂在这天中用于配料的总费用（元）关于的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD 是直角梯形，，平面ABCD，，．证明：平面平面PAC ；2若，求二面角的大小．19.已知函数.（1）求实数a 的值使；（2）若，证明：当时，.20. 已知的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，且.(1)求b､c的值；(2)求的值.21. 已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为（1）求椭圆的方程；（2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围.。
吉林省吉林市2021-2022学年高三上学期第二次调研测试数学(理)试题
纸刀．
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一个是符合题目要求．
1．已知集合 A x, y y 2x 1 ， B x, y y x ，则 A B （
）
A．
B．1
C．1,1
D． 1,1
2．若复数 z r cos i sin （ r 0 ， R ），则把这种形式叫做复数 z 的三角形式，其
A．2
B．1，2
C．
1 2
，2
D．
1 2
，1，2
4．已知向量
r a
1,
3
，
b
1,
3
，则下列结论错误的是（
）
A． a ∥b
C． a b 0
B． a 与 b 可以作为一组基底
D． b a 与 a 方向相反
2x y 0
5．若实数
x，y
满足
x
2
y
1
0
，则
x
y
的最小值为（
）
x 1
吉林市普通中学 2021—2022 学年度高中毕业班第二次调研测试
理科数学
本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答
题卡和试题卷一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
试卷第 3页，共 5页
16．已知函数 f x x ex 1 ln x ，则它的导函数 y f x 的零点个数为______．若存在
x 0, ，使得不等式 f x a 有解，则实数 a 的取值范围为______．
吉林省白山市2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析
吉林省白山市2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．83C．4 D．432．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．140 D．1203．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A ．16B ．48C ．96D ．128 4．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．–1D ．16．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( ) A ．12B ．1C ．32D ．27．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47C ．57D ．678．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ） A ．54B ．34C ．58D ．389．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．410．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．2D 11．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB ．CD ．12．已知方程1x x y y +=-表示的曲线为()y f x =的图象，对于函数()y f x =有如下结论：①()f x 在()+-∞∞，上单调递减；②函数()()F x f x x =+至少存在一个零点；③()y f x =的最大值为1；④若函数()g x 和()f x 图象关于原点对称，则()y g x =由方程1y y x x +=所确定；则正确命题序号为( ) A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省长春市文曲星名校2025届高三第二次调研数学试卷含解析
吉林省长春市文曲星名校2025届高三第二次调研数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( ) A ．409 B ．40 C ．16 D ．1632．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ）A ．235B ．835C ．635D ．373．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．4．已知函数()12xf x e -=，()ln 12xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．0B ．4C ．132e -D ．5+ln 62 5．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( )A ．20x ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ） A ． B ． C ．D ．7．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治，经济，文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种发明的有45人，能说出3种及其以上发明的有32人，据此估计该校三级的500名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ） A ．69人 B ．84人 C ．108人 D ．115人8．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥9．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -10．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件11．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13C ．12-D ．12 12．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（ ）A．B ．3C．D．2. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．3. 设函数为上的奇函数，且在上单调递减，若，则的解集为（ ）A．B．C．D．4. 设，，，则（ ）A．B．C．D．5.已知直线平面，则“平面平面”是“直线平面”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.函数在上的大致图象为（ ）A．B．C．D．7. 下列说法正确的是（ ）A ．截距相等的直线都可以用方程表示B．方程能表示平行y 轴的直线C．经过点，倾斜角为的直线方程为D ．经过两点的直线方程为8. 设某车间的类零件的质量(单位：)服从正态分布，且.（ ）A．若从类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10的概率为0.25B．若从类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9的概率为0.4C．若从类零件随机选取100个，则零件质量在9.9∼10.1的个数的期望为60D．若从类零件随机选取100个，则零件质量在9.9∼10.1的个数的方差为249. 函数(，且)的图象一定经过的点是___________吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题(高频考点版)吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题(高频考点版)四、解答题10. 函数的定义域是________．11.已知直线与圆交于，两点，则的最小值为__________．12. 若是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为____________.13.设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）令，讨论的单调性.14. 已知函数.(1)用五点法作图作出在的图象；(2)求在上的最大值和最小值.15. 在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，为AC 边的中点，E 在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D 运动到点F 的位置，如图2，连接FO ，FB ，FE ，OE，使得.(1)证明：平面ABC ；(2)求点到平面的距离.16. 已知数列的首项为，其前项和为，且对任意正整数有：、、成等差数列．（1）求证：数列成等比数列； （2）求数列的通项公式．。
吉林省长春市第二中学2024-2025学年高三上学期第二次调研考试数学试题(无答案)
2024—2025学年度上学期高三年级第二次调研考试数学科试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设等差数列的前n 项和为，若，，则的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．“”的（ ）A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设，，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．36．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知集合，若a ，b ，且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）A ．16B ．24C ．32D ．48{}2210A x x x =+-<(){}2lg 1B y y x ==+A B = (1,0]-10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,02⎛⎤-⎥⎝⎦[0,1){}n a n S 10335S S -=3107a a +={}n a ππ()4k k Z α=+∈1=+π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1sin tan cos βαβ+=π32αβ-=π32αβ+=π22αβ-=π22αβ+=π()cos (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π4ω()g x ()y g x =3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω13231a >0b >22log log a b b =+2a b >2a b<2a b>2a b<1111,,,,2,32323A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭c A ∈x y a =log b y x =c y x =(0,)+∞(,,)a b c8．现定义如下：当时，若，则称为延展函数．已知当时，且，且，均为延展函数，给出以下结论：（1）存在（k ，，k ，）与有无穷个交点；（2）存在（k ，，k ，）与有无穷个交点．则下列说法正确的是（ ）A ．（1）（2）都成立B ．（1）（2）都不成立C ．（1）成立（2）不成立D ．（1）不成立（2）成立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．为偶函数C ．在上单调递增D ．若，则的最小值为10．若正数a ，b 满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知定义域均为R 的函数与，其导函数分别为与，且，，函数的图像关于点对称，则（ ）A ．函数的图象关于直线对称B ．8是函数的一个周期C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知角的终边经过点，则__________．13．设当时，函数取得最大值，则__________．(,1)x n n ∈+()n ∈N (1)()f x f x +='()f x (0,1)x ∈()e xg x =10()h x x =()g x ()h x y kx b =+b ∈R 0b ≠()y g x =y kx b =+b ∈R 0b ≠()y h x =ππ()3sin(2)22f x x φφ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭5π12x =π6ϕ=-7π12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭()f x ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()126f x f x -=12x x -π21a b +=22log log 2a b +≥-22a b+≥ln 0a b +<1sin sin 4a b <()f x ()g x ()f x '()g x '(3)(1)2g x f x -=+-(1)(1)g x f x '+='-()f x (3,0)M ()f x 1x =()f x (5)2g =(2020)(2024)4g g -+-=-α(2,3)P -sin(π)cos(π)ππsin cos 22αααα-+-=⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x θ=()sin 2cos f x x x =-cos θ=14．已知函数若函数有唯一零点，则实数a 的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）求最小正周期；（2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心；（3）若在上恒成立，求实数m 的取值范围．16．（15分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，求证：．17．（15分）各项均不为0的数列对任意正整数n 满足：．（1）若为等差数列，求；（2）若，求的前n 项和．18．（17分）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别，．假设每次信号的传输相互独立．（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，，，，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X （，，，中任意相邻的数字均不相同时，令ln ,0,()1,0,x x x f x x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩()(())()1g x f f x af x =-+)()2cos cos 1f x x x x =+-()f x ()y f x =12π8()y g x =()g x |()|2g x m -≤π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦2()()(1)ln f x a x x x a =+--∈R ()f x 102a <≤1()212f x a a≥-+{}n a 122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-{}n a 1a 127a =-{}n a n S (01)αα<<1α-(01)ββ<<1β-()f α()f α1x 2x 3x 4x 1x 2x 3x 4x），若，求X 的分布列和数学期望．19．（17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数，在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线，，和曲线所围成的区域（称为曲边梯形ABQP ）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP 的面积小于梯形ABQP 的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：．（2）已知函数，其中a ，．①证明：对任意两个不相等的正数，，曲线在和处的切线均不重合；②当时，若不等式恒成立，求实数a 的取值范围．1X =23β=1()(0)f x x x=>()f x [],a b 1badx x ⎰x a =x b =0y =1y x=1ln ln badx b a x=-⎰ABQP ABQP S S <曲边梯形梯形211ln ln a b a b a b->-+ln ln 2a b a ba b -+<-2()ln f x ax bx x x =++b ∈R 1x 2x ()y f x =()()11,x f x ()()22,x f x 1b =-()2sin(1)f x x ≥-。
吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题
一、单选题1.函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．2. 已知函数则下列说法正确的个数是（ ）①是上的增函数；②的值域为；③“”是“”的充要条件；④若关于的方程恰有一个实根，则A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3. 给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )A．B．C．D．4. 已知向量，，，则向量与向量的夹角为（ ）A．B．C．D．5. 已知复数满足，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是正方形且边长为2，其中动点P在圆上，定点A 、B 所在位置如图所示，则最大值为（）A ．9B ．10C．D．7. 已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题吉林省吉林市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题二、多选题三、填空题四、解答题8. 在下列四个图形中，点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O 、P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是（）A．B．C．D．9. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断正确的是（ ）A ．若过点，则的准线方程为B ．若过点，则C ．若，则D ．若，则点的坐标为10.若，，则（ ）A．B．C．D．11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则（ ）A ．双曲线的焦距为B．点与点均在同一条定直线上C ．直线不可能与平行D．的取值范围为12.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）A．的面积为B ．点的横坐标为2或C．的渐近线方程为D ．以线段为直径的圆的方程为13. 命题“，”的否定为________．14. 设函数有两个不同极值点，若，则的取值范围是______.15.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.16. 在多面体中，已知，，，．（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17. 已知椭圆的焦点分别别为的上､下顶点，过且垂直于的直线与交于两点，(1)求椭圆的方程；(2)已知原点，过的直线分别交于两点和两点，在轴的上方，若三点共线，证明：直线过定点.18. 今年上海疫情牵动人心，大量医务人员驰援上海．现从这些医务人员中随机选取了年龄（单位：岁）在内的男、女医务人员各100人，以他们的年龄作为样本，得出女医务人员的年龄频率分布直方图和男医务人员的年龄频数分布表如下：年龄（单位：岁）频数2020301515(1)求频率分布直方图中a的值；(2)在上述样本中用分层抽样的方法从年龄在内的女医务人员中抽取4人，从年龄在内的男医务人员中抽取2人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的年龄在内的概率．19. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.20. 如图，在四棱锥中，底面是正方形．点是棱的中点，平面与棱交于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，且平面平面，试证明平面；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段上是否存在点,使得平面?（请说明理由）21. 设函数（）.(1)讨论的单调性；(2)若有两个极值点，，记过点，的直线的斜率为，若，证明：.。
吉林省长春市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷
吉林省长春市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题函数的图象大致为（）A．B．C．D．第(2)题若向量、满足：，，，则（）A．B．C．D．第(3)题设集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，则在上（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增第(5)题已知复数（为虚数单位），则（）A．B．C．1D．第(6)题已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（）A．2B．3C．5D．6第(7)题若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（）A．-1B．C．D．1第(8)题已知抛物线的焦点为，点在上，且，则（）A．8B．10C．11D．15二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知函数，下列说法正确的有（）A．的极大值为B．的单调递减区间为C．曲线在处的切线方程为D．方程有两个不同的解第(2)题正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是（）A．若，则到直线的距离的最小值为B．若，则，且直线平面C．若，则与平面所成角正弦的最小值为D．若，，则，两点之间距离的最小值为第(3)题下列说法正确的是（）A．已知随机变量服从正态分布且，则B．设离散型随机变量服从两点分布，若，则C．若3个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则恰有两个空盒的放法共有12种D．已知，若，则三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题若展开式中的所有项系数和为243，则_______；该展开式中的系数___________.第(2)题2021年全国有部分省推行“”新高考模式，选择性考试科目中，首选科目成绩直接以原始成绩呈现；再选科目化学、生物、政治、地理成绩以等级赋分转换后的等级成绩呈现.等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门再选科目考试的原始成绩从高到低划定为，，，，五个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，13%和2%.转换基数为实际参加该再选科目考试并取得有效成绩的人数.转换时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到100~86分、85~71分、70~56分、55~41分、40~30分五个等级分数区间，根据转换公式计算，四舍五入得到考生的等级成绩.等级赋分转换公式为，，分别表示某等级原始分数区间的下限和上限；，分别表示相应等级的赋分区间的下限和上限；表示考生的原始成绩，表示考生转换后的等级成绩.考生原始成绩正好为原始分数区间上限或下限时，不需要按转换公式计算，相应的赋分区间的上限或下限分数即为该考生的等级成绩.某校的一次统考中，甲同学选考科目生物成绩原始分91分，属于档，这次原始成绩的档的最低分90分，最高分100分，则甲同学赋分后的生物成绩约为____________.第(3)题已知等差数列和等比数列满足，，则数列在________时取到最小值．四、解答题（本题包含5小题，共77分。
吉林省辽源市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(评估卷)模拟试卷
吉林省辽源市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知直线，和平面，且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件第(2)题复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(3)题已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交于两点，直线交轴于点，若，则椭圆的焦距为（）A．B．C．D．第(4)题如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4B．C．2D．第(5)题已知正方体的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是（）A．6πB．12πC．18πD．24π第(6)题设向量=（3，k)，=（－1，3），已知，则k=（）A．2B．1C．－2D．－1第(7)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(8)题命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题某地区经过2022年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的是（）A．新农村建设后，种植收入增加B．新农村建设后，其他收入是原来的1.25倍C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，其他收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的第(2)题在平面直角坐标系中，已知点，则（）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐标为D．与垂直的单位向量的坐标为或第(3)题已知方程，其中．下列命题为真命题的是（）A．可以是圆的方程B．可以是抛物线的方程C．可以是椭圆的标准方程D．可以是双曲线的标准方程三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
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吉林省数学高三理数二诊热身试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·肇庆模拟) 设集合，，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高三上·海南期中) 若复数z满足，则复数z为
A .
B .
C .
D .
3. （2分）已知某单位有职工120人，其中男职工90人。
现在采用分层抽样（按男女分层）抽取一个样本，若样本中有3名女职工，则样本容量为（）。
A . 9
B . 12
C . 10
D . 15
4. （2分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，
则（）
A . a=4
B . a=5
C . a=6
D . a=7
5. （2分） (2020高二下·宁波期末) 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）将函数的图象经过怎样的平移后所得图象关于点中心对称（）
A . 向右平移
B . 向右平移
C . 向左平移
D . 向左平移
7. （2分）平面上有两个定点A，B，另有4个与A，B不重合的动点C1 ， C2 ， C3 ， C4。
若使
，则称为一个好点对．那么这样的好点对（）
A . 不存在
B . 至多有一个
C . 至少有一个
D . 恰有一个
8. （2分） (2016高二下·通榆期中) 若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是（10，
），则该随机变量的方差等于（）
A . 10
B . 100
C .
D .
9. （2分） (2020高二下·宿迁期末) 某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据：
广告费用 (万元)0.20.40.50.60.8
销售额 (万元)34657销售额 (万元)与广告费用 (万元)之间有线性相关关系，回归方程为 ( 为常数)，现在要使销售额达到7.8万元，估计广告费用约为（）万元.
A . 0.75
B . 0.9
C . 1.5
D . 2.5
10. （2分） (2017高三下·武威开学考) 设m＞0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为（）
A . 相切
B . 相交
C . 相切或相离
D . 相交或相切
11. （2分） (2020高二下·鹤壁月考) 设双曲线的右焦点为F,右顶点为A,过F
作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B作AC的垂线交轴于点D,若点D到直线BC的距离小于，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）(2020·鄂尔多斯模拟) 函数，若存在实数，使得方程
有三个相异实根，则实数的范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高三上·上海模拟) 若（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11 ，则a0+a1+…+a11的值为________．
14. （1分） (2016高一下·南市期中) 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数与众数分别为________．
15. （1分） (2020高一下·惠山期中) 如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为，再由D向塔前进米后到点E后，测得塔顶的仰角为，则塔高为________米．
16. （1分）(2018·商丘模拟) 已知曲线在点处的切线的斜率为，直线交轴、轴分别于点，且 .
给出以下结论：① ；②当时，的最小值为；③当时，；
④当时，记数列的前项和为，则 .其中，正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号）
三、解答题 (共7题；共55分)
17. （10分） (2019高三上·天津期末) 已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，
， .
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和 .
18. （5分） (2017高三上·成都开学考) 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．
19. （5分） (2017高一上·保定期末) 化简．
20. （10分）(2019·十堰模拟) 已知椭圆过点．
（1）求椭圆的方程，并求其离心率；
（2）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点
关于的对称点为，直线与交于另一点．设为原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
21. （10分） (2017高二下·桂林期末) 已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．
22. （10分） (2018高三上·福建期中) 已知曲线的极坐标方程式，以极点为平面直角坐标
系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是，（为参数）．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．
23. （5分）(2019·抚顺模拟) 已知函数．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、解答题 (共7题；共55分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、
考点：
解析：
答案：23-1、考点：
解析：。