《高数换元积分法》PPT课件
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高等数学(上) 第3版教学课件4-2换元积分法
其中 C = C1 ln a
（3）
令 x = a sin t
p
（ 0 < t < ），则
2
x2 a2 = a2 (sec2 t 1) = a tan t ，
dx = da sect = a sect tan tdt
代入原式得：
1 dx = a sec t tan t dt = sec tdt = ln sec t + tan t + C
x)
dx
=
sec 2 x + sec x tan x dx
sec x + tan x
=
1
d (sec x + tan x)
sec x + tan x
= ln sec x + tan x + C
类似地，有 （6） csc xdx = ln csc x cot x + C
例 6
求
x2
1
a2
dx
由
x
=
a
sin
t
得，
sin
t
=
x a
，
t
( p
p ,
)
22
于是
t = arcsin x a
为了求 cos t ，可根据 sin t = x
a
用勾股定理求出第三边，于是
cos t = x 2 a 2 a
作辅助三角形（如图），然后
x
a
t
a2 x2
将它们代入上述的积分结果中得：
a 2 x 2 dx = a 2 arcsin x + 1 x a 2 x 2 + C
x2 + a2
高数课件19定积分的换元积分
换元法的基本类型
02
三角换元法
定义：将积分区间内的变量替换为三角函数形式，从而简化积分的计 算
适用条件：积分区间为[0, π]或[0, 2π]，被积函数中含有三角函数
步骤：选择适当的三角函数替换变量，然后利用三角函数的性质进行 积分
优点：简化计算，提高计算效率
倒代换法
定义：将积分变 量替换为另一个 变量，使得积分 更容易计算
YOUR LOGO
,
高数课件19定积分的换元积分(2)
汇报人：
汇报时间：20XX/01/01
目录
01.
定积分的 换元法基 本概念
02.
换元法的基 本类型
03.
换元法的应 用实例
04.
换元法的注 意事项Fra bibliotek05.
换元法的扩 展应用
定积分的换元法基本概念
01
换元法的定义和原理
换元法：在积分过程中，通过引入新的变量，将 复杂的积分转化为简单的积分
换元法的应用范围
定积分的换元法适用于求解复杂 积分
换元法可以解决一些无法直接积 分的问题
添加标题
添加标题
换元法可以简化积分计算过程
添加标题
添加标题
换元法可以应用于求解定积分的 极限问题
换元法的计算步骤
选择适当的换元变量
确定换元公式
计算新的积分区间
计算新的积分函数
计算新的积分值
换回原变量，得到最终 结果
数学：在数学分析、微分方程、积分方程等领域，换元法可以用来求解复杂的微分方程和积分方 程。
计算机科学：在计算机科学、人工智能等领域，换元法可以用来求解复杂的优化问题、数值计算 问题等。
在金融、经济等领域的应用
高等数学课件--D4_2换元积分法
1 dx dx ∴ 原式 = x a x a 2a
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
2013-8-9 同济高等数学课件
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( x 1) e x dx xe x dx e x dx
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例15. 求 解: 原式
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f ( x) f 2 ( x)
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
x
x
ln(1 e x ) ln[e x (e x 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x
1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
解法2
e d(1 e ) dx x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
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2. 求 提示:
法1 法2
法3
换元积分法PPT课件
dx
x 1 x2
dx
arctan 1 x2
x
dx
1 2
1 1 x2
d(1
x2
)
arctanxd
arctanx
1 ln(1 x2 ) 1 (arctanx)2 C
2
2
28
二、第二换元法
引例
x dx x 1
为了将被积函数中的根式 x 1 去掉，
应将其作为一个整体，因此令 t x 1
因此，x t 2 1, dx 2tdt 将其代入原积分式中，
x dx t 2 1 2tdt 2 (t2 1)dt 2 t3 2t C
x 1
t
3
2 (t 2 1)dt 2 t3 2t C 3
2 ( x 1)3 2 x 1 C
29
3
第一换元法： f (j(x))j(x) d x f (u) d u 是被积表达式
已明显含有因子j(x)。而在实际问题中，常常遇到的是一般形
dx
1 3
dx x4
dx x 1
1 ln x 4 C. 3 x1
24
例 19
求
x2
dx . 4x 5
解
x2
dx 4x
5
1
dx (x
2)2
1
d( x 2) ( x 2)2
arctan(x 2) C.
25
例 20
求
x1
x2
4x
dx. 5
解
x1
x2
4x
dx 5
1 ( x2 4x 5) 1
例 2 求 (4x 5)99 dx.
解 上式与基本积分表中 x dx 1 x 1 C 1
高等数学Ⅰ第二节课件：换元积分法
例14 设 f (sin2 x) cos2 x, 求 f ( x) .
解 令 u sin2 x cos2 x 1 u,
f (u) 1 u,
f
(u)
1
udu
u
1 2
u2
C
,
f (x) x 1 x2 C. 2
例15 求
1 4 x2 arcsin xdx.
2
解
4
1 x2 arcsin
三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需 根据被积函数的情况来定.
例19
求
x5 dx 1 x2
（三角代换很繁琐）
解 令 t 1 x2 x2 t 2 1, xdx tdt,
x5 dx
1 x2
t
2
t
1
2
tdt
t 4 2t 2 1 dt
1 t5 2 t3 t C 1 (8 4x2 3x4 ) 1 x2 C.
xdx
2
1
x
d
1
x 2
2
arcsin
x 2
2
1 arcsin
xd
(arcsin
x 2
)
ln arcsin x C. 2
2
二、第二类换元法 问题 x5 1 x2dx ?
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令 x sin t dx cos tdt,
x5 1 x2dx (sin t)5 1 sin2 t cos tdt
一、第一类换元法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
大学高等数学ppt课件第三章2第二类换元积分法-分部积分法
sec xdx ln | sec x tan x | C csc xdx ln | csc x cot x | C
dx 1 ln | a x | C a2 x2 2a a x
dx x2 a2
1 ln | x a | C 2a x a
2 ud tanu u2
2u tan u 2 tan udu u2
2u tan u 2ln cosu u2 C
2 x tan x 2ln cos x x C
◆求不定积分方法小结
直接积分法——变形、用公式（24条）
2
(1
1 )du u2 1
2u
arctanu
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
原式
3u2 du 3 u 1
( t )
对于
a2 x2 ,
2
2
令 x a tan t,则
a2 x2 asect
( t )
对于
x2 a2 ,
令
22
x asect,
则
x2 a2 a tan t
(0 t )
t 上式中，均假设 a 0, 为各2 对应反三角函数的主值区间。
ex (x2 2x 2) C
例3 求不定积分 x2 ln xdx
udv uv vdu
解 原式 1 ln xdx3 3
幂函数对数函数dx
《换元积分法》课件
确定新变量
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
高等数学-换元积分法
解
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
《高数换元积分法》课件
常见的换元积分法
REPORTING
第一类换元积分法
总结词
通过引入新变量来简化积分表达式
VS
详细描述
第一类换元积分法也称为凑微分法，其核 心思想是通过引入新变量来简化积分表达 式。这种方法适用于被积函数可以表示为 两个函数的乘积或商的形式，其中一个是 基本初等函数。通过凑微分，可以将积分 转化为更简单的形式，便于计算。
高数换元积分法
REPORTING
• 引言 • 换元积分法的基本概念 • 常见的换元积分法 • 换元积分法的应用实例 • 总结与回顾
目录
PART 01
引言
REPORTING
什么是换元积分法
换元积分法是一种通过引入新的变量 替换，将复杂积分转化为简单积分的 数学方法。
在积分过程中，通过引入适当的变量 替换，将原函数转化为易于积分的标 准形式，从而求得积分的值。
除，从而简化积分过程。这种方法在处理包含根号的积分时非常有效。
03
举例
对于不定积分∫√(x^2 - 1) / x dx，可以通过令x = secθ来将其转化为
∫secθ / (secθtanθ) dθ，进一步化简得到结果。
利用换元积分法求解定积分
总结词
通过换元法将定积分的被积函数进行简化，从而更容易计 算定积分的值。
练习与提高
练习
通过大量的练习，熟练掌握各种类型的积分 问题，提高对换元积分法的理解和运用能力 。
提高
通过解决复杂的积分问题，提高对换元积分 法的综合运用能力，培养解决数学问题的思
维和技巧。
THANKS
感谢观看
REPORTING
详细描述
在求解定积分时，有时可以通过换元法将被积函数进行简 化，从而更容易计算定积分的值。这种方法在处理复杂函 数和特定区间上的定积分时非常有效。
REPORTING
第一类换元积分法
总结词
通过引入新变量来简化积分表达式
VS
详细描述
第一类换元积分法也称为凑微分法，其核 心思想是通过引入新变量来简化积分表达 式。这种方法适用于被积函数可以表示为 两个函数的乘积或商的形式，其中一个是 基本初等函数。通过凑微分，可以将积分 转化为更简单的形式，便于计算。
高数换元积分法
REPORTING
• 引言 • 换元积分法的基本概念 • 常见的换元积分法 • 换元积分法的应用实例 • 总结与回顾
目录
PART 01
引言
REPORTING
什么是换元积分法
换元积分法是一种通过引入新的变量 替换，将复杂积分转化为简单积分的 数学方法。
在积分过程中，通过引入适当的变量 替换，将原函数转化为易于积分的标 准形式，从而求得积分的值。
除，从而简化积分过程。这种方法在处理包含根号的积分时非常有效。
03
举例
对于不定积分∫√(x^2 - 1) / x dx，可以通过令x = secθ来将其转化为
∫secθ / (secθtanθ) dθ，进一步化简得到结果。
利用换元积分法求解定积分
总结词
通过换元法将定积分的被积函数进行简化，从而更容易计 算定积分的值。
练习与提高
练习
通过大量的练习，熟练掌握各种类型的积分 问题，提高对换元积分法的理解和运用能力 。
提高
通过解决复杂的积分问题，提高对换元积分 法的综合运用能力，培养解决数学问题的思
维和技巧。
THANKS
感谢观看
REPORTING
详细描述
在求解定积分时，有时可以通过换元法将被积函数进行简 化，从而更容易计算定积分的值。这种方法在处理复杂函 数和特定区间上的定积分时非常有效。
高等数学§5-3定积分的换元法-PPT文档资料
则 有 f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt . a
b
应用换元公式时应注意:
（1） 用x
( t )把变量 x换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变.
求出 （2）
f [ ( t )] ( t )的一个原函数 ( t ) 后，不必象
计算不定积分那样再要把 ( t ) 变换成原变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限分别代入
2
．
2
这时由于没有换元 , 也就不需要换限 , 这样计算更为简便.
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例3
计算
2
0
5
2
5 cos x sin xdx .
5 解： cos x sin xdx cos cos x xd
2
0
0
令 t cos x
0
1
t dt
5
t 6
6 1
0
1 . 6
，
3 . x4 s in x 2 1 x2 dx 0 2
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二、定积分的分部积分法
设函数 u( x )、v ( x ) 在区间a , b上具有连续导数，则有
a udv uv a a vdu.
b b
b
上式称为定积分的分部积分公式 推导
uv u v u v ,
1 u e 2
2
0
.
1 2 0 1 2 (e e ) (e 1) 2 2
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在例2中,被积函数的原函数可采用凑微分来 计算,即
2
0
同济七版NUAA高数课件 第四章 不定积分 第二节 换元积分法
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
1 ln 1 cos x C. 2 1 cos x
类似地可推出 secxdx ln secx tan x C.
例14 求
4
1 x2 arcsin
xdx.
2
解
4
x
1 2 arcsin
xdx
2
1
dx
1
x 2
2
arcsin
x 2
2
1
arcsin
xd (arcsin
x) 2
ln arcsin
5
4 4 x2 3 1 4 x2 5 C.
3
5
2x t 4 x2
例18 求
1 dx (a 0).
x2 a2
解 令x a sec t dx a sec t tan tdt
1 dx
x2 a2
a
sec t tan a tan t
tdt
t
0,
2
sec tdt lnsect tant C
第二节 换元积分法
第一类换元法 第二类换元法
一、第一类换元法
问题 cos 2xdx sin 2x C, 求导数验证结果
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 换元 2
cos2xdx
高等数学第五章第三节定积分的换元法和分部积分法课件.ppt
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1(1t3 3t) 3
23
1
例3.
偶倍奇零
(1) 若
则 a a
f
( x) dx
a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
两端在 [a,b] 上积分
u( x) v( x)
b a
b
a
u(
x)v(
x)
dx
b
a
u(
x)v(
x)
dx
u(x)v(x)
b a
abu(x) v(x) dx
例7. 计算
1 1
解: 原式 = x arcsin x 2 2 00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
1
(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元
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公式
f (u)du u (x)
即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称凑微分法)
例1. 求
解: 令u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
时
注意换回原变量
例2. 求
解:
1 a2
dx
1
4) f (x , a2 x2 )dx , 令 x a tan t 或 x a sh t
5) f (x , x2 a2 )dx , 令 x a sect 或 x a ch t
6) f (ax )dx , 令 t ax
7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 2. 常用基本积分公式的补充 (P205 ~ P206)
例25. 求
解: 原式
dx
(x 1)3 (x 1)2 1
令
x
1
1 t
t3
1 t2
( 1
1 t2
)
d
t
t2 dt 1t2
(1
t2 1
) t
2
1d
t
1t2 d t
1 dt 1t2
1 2
t
1t2
1 2
arcsin
t
arcsint
C
例16
1 2
x2 2x ( x1)2
1 2
arcsin
1 x1
F (x) [ 1(x)] (t) f [ (t)] (t)
则
F(x) d d t f [ (t)] (t) 1 f (x)
d t dx
(t)
f (x) dx F(x) C [ 1(x)] C
[ft[](Ct)]t (t) d1t(tx) 1(x)
例16. 求 a2 x2 dx (a 0) .
d(1 2x x2 ) 5 d(x 1)
1 2x x2
2 (x 1)2
2 1 2x x2 5arcsin x 1 C 2
2. 求不定积分
(
x a
)2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1
a
du 1 u
2
1 arctan u C a
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
例3. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d
(sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
ln tan x C (P199 例18 )
2
例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
.
1
解: 原式 =2
3) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44)
第三节
备用题 1. 求下列积分:
1) x2 1 dx 1 1 d (x3 1) x3 1 3 x3 1
2 x3 1 C 3
2)
2x 3 dx
1 2x x2
(2 2x) 5 dx 1 2x x2
(直接凑微分法)
例4. 求 解:
sin cos
x dx x
dcos x cos x
类似
cos x dx sin x
d sin x sin x
例5. 求
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx xa
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
x2 dx2
(
x
2
a
2
)
3 2
1 2
(
x2 (x
a2 2 a
)
2
3
)
a
2
2
dx
2
1 2
(x2
a2
1
)2
d( x 2
a2
)
a2 (x2 a2 )32 d(x2 a2 ) 2
例12 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
cos
2x
cos
2
2
x)
ln
a2
x x2 a2
C1
(C C1 2ln a)
说明:
1. 被积函数含有
除采用三角
代换外, 还可利用公式ch2 t sh2 t 1 采用双曲代换
x a sh t 或 x a ch t
消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考 P204 ~ P205 )
2. 再补充两个常用双曲函数积分公式
f (u)d u
易求
u
(x)
若所求积分 f (u)d u 难求， f [(x)](x)dx 易求,
则得第二类换元积分法 .
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1(x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t), 令
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
F[(x)] C F (u) C u(x)
f (u)du u(x)
第一类换元法 第二类换元法
一、第一类换元法 定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
例20. 求
解: 原式
(x
1 1)2 (
22 )2
dd(xx
1)
1 arctan x 1 C (P206 公式 (20) )
2
2
例21. 求
解:
I
1 2
d (2x) (2x)2 32
1 ln 2
2x
4x2 9 C
(P206 公式 (23) )
例22. 求
解: 原式 =
d (x 12)
t
d
t
sec t
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
例18. 求
解:
当x
a时, 令
x
a sect ,
t (0,
π 2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
dx a sect tan t d t
C
sin 2t 2sin t cost 2 x a2 x2 aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
例17. 求
解:
令
x
a
tan
t
,
t
(
π 2
,
π 2
)
,
则
x2 a2 a2 tan2 t a2 a sect
dx a sec2 t d t
∴
原式
a sec2 a sec t
f f
(x) ( x)
1
f
(x) f (x) f 2(x)
dx
f (x) f (x)
f
2
(
x)
f (x) f 2(x)
f
(
x)
dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f (x)
1 2
f (x) f (x)
2
C
小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 sin2 x cos2 x 等
∴
原式
asect tan t a tant
dt
sect d t
ln sect tan t C1
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
t
(C C1 ln a)
当x a 时, 令 x u , 则u a ,于是
d u ln u u2 a2
u2 a2 C1
ln x x2 a2 C1
例10. 求
解法1
cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1
1 sin
x
1 1 sin
x
d sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
2 1 sin x
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x
2
x)]2
f (u)du u (x)
即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称凑微分法)
例1. 求
解: 令u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
时
注意换回原变量
例2. 求
解:
1 a2
dx
1
4) f (x , a2 x2 )dx , 令 x a tan t 或 x a sh t
5) f (x , x2 a2 )dx , 令 x a sect 或 x a ch t
6) f (ax )dx , 令 t ax
7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 2. 常用基本积分公式的补充 (P205 ~ P206)
例25. 求
解: 原式
dx
(x 1)3 (x 1)2 1
令
x
1
1 t
t3
1 t2
( 1
1 t2
)
d
t
t2 dt 1t2
(1
t2 1
) t
2
1d
t
1t2 d t
1 dt 1t2
1 2
t
1t2
1 2
arcsin
t
arcsint
C
例16
1 2
x2 2x ( x1)2
1 2
arcsin
1 x1
F (x) [ 1(x)] (t) f [ (t)] (t)
则
F(x) d d t f [ (t)] (t) 1 f (x)
d t dx
(t)
f (x) dx F(x) C [ 1(x)] C
[ft[](Ct)]t (t) d1t(tx) 1(x)
例16. 求 a2 x2 dx (a 0) .
d(1 2x x2 ) 5 d(x 1)
1 2x x2
2 (x 1)2
2 1 2x x2 5arcsin x 1 C 2
2. 求不定积分
(
x a
)2
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1
a
du 1 u
2
1 arctan u C a
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
例3. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
sec2 x sec x tan x dx sec x tan x
d
(sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
ln tan x C (P199 例18 )
2
例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
.
1
解: 原式 =2
3) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44)
第三节
备用题 1. 求下列积分:
1) x2 1 dx 1 1 d (x3 1) x3 1 3 x3 1
2 x3 1 C 3
2)
2x 3 dx
1 2x x2
(2 2x) 5 dx 1 2x x2
(直接凑微分法)
例4. 求 解:
sin cos
x dx x
dcos x cos x
类似
cos x dx sin x
d sin x sin x
例5. 求
解:
1 x2 a2
1 2a
(x a) (x a)
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx xa
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
例7. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例8. 求 sec6xdx.
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsetacn2 xdx
(tan4 x 2 tan2 x 1) dtan x
x2 dx2
(
x
2
a
2
)
3 2
1 2
(
x2 (x
a2 2 a
)
2
3
)
a
2
2
dx
2
1 2
(x2
a2
1
)2
d( x 2
a2
)
a2 (x2 a2 )32 d(x2 a2 ) 2
例12 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
cos
2x
cos
2
2
x)
ln
a2
x x2 a2
C1
(C C1 2ln a)
说明:
1. 被积函数含有
除采用三角
代换外, 还可利用公式ch2 t sh2 t 1 采用双曲代换
x a sh t 或 x a ch t
消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考 P204 ~ P205 )
2. 再补充两个常用双曲函数积分公式
f (u)d u
易求
u
(x)
若所求积分 f (u)d u 难求， f [(x)](x)dx 易求,
则得第二类换元积分法 .
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1(x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t), 令
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
基本思路
设 F(u) f (u),
可导, 则有
dF[(x)] f [(x)](x)dx
F[(x)] C F (u) C u(x)
f (u)du u(x)
第一类换元法 第二类换元法
一、第一类换元法 定理1. 设 f (u) 有原函数 , u (x)可导, 则有换元
例20. 求
解: 原式
(x
1 1)2 (
22 )2
dd(xx
1)
1 arctan x 1 C (P206 公式 (20) )
2
2
例21. 求
解:
I
1 2
d (2x) (2x)2 32
1 ln 2
2x
4x2 9 C
(P206 公式 (23) )
例22. 求
解: 原式 =
d (x 12)
t
d
t
sec t
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
例18. 求
解:
当x
a时, 令
x
a sect ,
t (0,
π 2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
dx a sect tan t d t
C
sin 2t 2sin t cost 2 x a2 x2 aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
例17. 求
解:
令
x
a
tan
t
,
t
(
π 2
,
π 2
)
,
则
x2 a2 a2 tan2 t a2 a sect
dx a sec2 t d t
∴
原式
a sec2 a sec t
f f
(x) ( x)
1
f
(x) f (x) f 2(x)
dx
f (x) f (x)
f
2
(
x)
f (x) f 2(x)
f
(
x)
dx
f (x) f (x)
d(
f (x) ) f (x)
1 2
f (x) f (x)
2
C
小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 sin2 x cos2 x 等
∴
原式
asect tan t a tant
dt
sect d t
ln sect tan t C1
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
t
(C C1 ln a)
当x a 时, 令 x u , 则u a ,于是
d u ln u u2 a2
u2 a2 C1
ln x x2 a2 C1
例10. 求
解法1
cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1
1 sin
x
1 1 sin
x
d sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
2 1 sin x
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x
2
x)]2