弹性力学08板的弯曲B
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弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
结论4： 应力分量为x、y 的二次函数分布。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
总结： （多项式应力函数 ( x, y) 的性质） 4 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 0 。 （ 1） 多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0 。 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
h y , f y ( y ) h 12ax 2 , f x ( xy ) h 0 y y 2 2 2
FN f x dy ah3 , FS f y dy 0, M f x ydy 0
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.2 矩形梁纯弯曲
3、由边界形状和应力分量反推 出边界上的面力： 在主要边界上：
2 l 2 x , f x ( x ) x l 12ay , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 2 2
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
在次要边界上： l x , f x ( x ) x l 12ay 2 , f y ( xy ) l 0 x 2 2 2 h h h FN 2h f x dy ah3 , FS 2h f y dy 0, M 2h f x ydy 0
（2）应力函数： （3）应力函数：
b 2c
cy
2
y
xy b
2c
应力分量 x 2c, y 0, xy yx 0
x
y
结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法
16q0
6
Dmn
m2 a2
n2 b2
2
(m 1,3,5, ; n 1,3,5, )
代入式（10.22）,即得挠度的表达式 (受均布载荷)
m x n y
w 16q0
sin sin
a
b
D 6 m1,3,5,n1,3,5,
mn
m2 a2
n2 b2
2
（10.24）
由此可以用公式（10.11）求得内力的表达式。
y
2
w
t2 4
z 2
（10.5）
其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为
D Et3
12(1 2 )
（10.6）
最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。
z xz yz
z
x y
将式（10.5）代入上式得
x
z
6D t3
4
w
t2 4
z 2
积分上式得
z
6D t3
4
w
t2 4
在边界上
w n 0
D 4 w q
将式(10.18)代入式(10.8)得
D
24 m a4
16 m a2b2
24m
b4
q
解得m并代入式(10.18)得
w
q
x a
2 2
y2 b2
2 1
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
这就是夹支边椭圆薄板在均布载荷作用下的挠度 表达式。
有了挠度表达式，就可以求的内力。
y2 b2
2
1
（10.18）
o
a
y 图10.6 椭圆板
清华大学弹性力学-薄板弯曲问题
t/2 t/2 y z dz
My
Qy
Mxy
Qx Mx
x
Myx
•扭矩 Mxy, Myx ：
使板截面z＞0上产生正号 剪应力xy， yx时为正。
xy xz
dy
x
z dx
•剪力 Qx, Qy ：
使板截面上产生正号剪 应力xz， yz时为正。
16
Mxy t/2 t/2 y
t 2
x
Mx
z dz z dx
(u v 0 ( z 0) )
10
2.物理方程：
1 x x ( y z ) E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E
2(1 ) yz yz E 2(1 ) zx zx E 2(1 ) xy xy E
Mx
t 2
z x dz
t 2
Et 3
2
12(1 ) x
(
2w
2
2w y
2
Байду номын сангаас
)
Et 3 2 w M xy z xy dz 12(1 ) xy t
2
17
Qx t/2 t/2 y z dz z dx
x
xy xz
dy
x
由于放弃了相应的物 理方程，需要依靠平 衡方程。
引入假设： z 0, xz 0, yz 0
8
w z 0 z
o
a A
M
z
x
b a’
A’
M’
弹性力学板弯曲
（x，y，xy）～qb2/t2
（xz，xz y）～qb/t
z～q
由内力表示的平衡微分方程
Qx Q y q0 x y M x M yx Qx 0 x y M xy x M y y Qy 0
2 M xy 2 M y 2M x 2 q0 2 2 x xy y
Qy D
应力与内力的关系
x 12 z Mx 3 t y 12 z My 3 t xy 12 z M xy 3 t
yz
6 t ( z 2 )Q y 3 t 4
2
6 t2 zx 3 ( z 2 )Qx t 4
1 z z z 2q ( ) 2 (1 ) 2 t t
（3）中面各点没有平行于中面的位移。
假定的推论
假定（2）（与梁弯曲问题的互不挤压假定相似）
z=0
z w 0 z
w=w(x,y)
假定（1）（与梁弯曲问题的平面假定相似） zx=zy=0，
w u y ＋ ＝0 y z
w ux z f1 x, y x
w u x ＋ ＝0 x z
RB＝(Myx)B＋(Mxy)B＝2(Myx)B
3w 3w Vx D 3 ( 2 v ) xy 2 x 3w 3w V y D 3 (2 v) 2 x y y
2w RB 2 D(1 v)( ) xy
d 4w 2 q ( x) 1 EI dx 4
与梁的平衡微分方程相比，多了一项（12）。 其原因是：板单位宽度的窄条是处于平面应变状态（y=0）
薄板横截面上的内力
M x z x dz M xy
弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲
3.2 矩形梁的纯弯曲
3.3 位移分量的求出
3.4 简支梁受均布荷载
3.5 楔形体受重力和液体压力
本章重点： 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
3.3 位移分量的求出
3.4 简支梁受均布荷载
3.5 楔形体受重力和液体压力
本章重点： 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。
第三章 平面问题直角坐标解答 本节内容 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
内容要点： 1. 逆解法与半逆解法解题方法的介绍
2.
逆解法举例—应力函数的多项式解答
结论3：三次多项式对应于线性应力分布。
第三章 平面例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
可解决的问题 ay 3 , ( fx fy 0) 由式（2-24）可得： 讨论：
x 6ay y 0 xy yx 0
1）应力函数 ϕ为一次多项式
（ 1） 其中： a、b、c 为待定系数。 4 4 4 4 检验φ(x,y) 是否满足双调和 4 2 2 2 4 0 （ 2） x x y y 方程： 显然φ(x,y) 满足双调和方程，可作为应力函数。 （3） 对应的应力分量： 2 2 2 xy 0 x 2 fx x fx x y 2 f y y f y y x xy y 假定体力：fx = fy =0，则有： x y xz 0 （1）一次多项式对应于无体力和无应力状态； 结论1： （2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式， 对应力无影响。
( x, y ) 0 xy
0
2
y2
第三章 平面问题直角坐标解答 3.1 逆解法与半逆解法 多项式解答
2.逆解法举例——多项式解答
3）应力函数 ϕ为三次多项式
公式推导
（ 1）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
弹性力学 薄板弯曲55页PPT
弹性力学 薄板弯曲
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
弹性力学 第十二章板弯曲(ding)新
薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程中应用广泛 特殊形式——小挠度薄板
Section 9. 1 Introduction and Assumption § 9.1 有关概念与计算假设
工程构件中板的形式多样 根据几何形状和变形分类：
板——中面为平面 壳——曲面 小挠度的弯曲薄板 薄板——宽度与厚度的比值在15以上。
荷载（Loads）
• Longitudinal load in the middle plane and Transverse load 当薄板受一般荷载时，总是可以把每个荷载分解 为两个荷载. 纵向荷载：平行于中面的荷载； 横向荷载：垂直中面的荷载。
Loads（荷载）
1. Longitudinal load in the middle plane（纵向荷载）--All the external forces are parallel to the faces of the plate and distributed uniformly over the thickness.--------plane stress problem. • 纵向荷载：可以认为他们沿薄板厚度均匀分布，因而 他们所引起的应力、形变和位移可以按平面应力问题 进行计算，如第二章至第六章所述。 2.Transverse load（横向荷载） ----They are perpendicular to the middle plane---plate bending problem. 横向荷载：将使薄板弯曲，他们所引起的应力、形变 和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。
薄板假设2：应力分量 xz , yz和 z 远远小于其余三个应 力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计 注意：这3个次要应力分量本身是维持平衡所必须的，不 能不计。
弹性力学 第六章 柱体的扭转与弯曲
利用其求端面合力分量得
ν ∂ψ R x = ∫∫ Tx dA = Gθ ∫∫ − y dA ∂x A A ν ∂ψ R y = ∫∫ T y dA = Gθ ∫∫ ∂y + x dA A A
68
第七章 柱体的扭转与弯曲
式中 R x 为端面的 x 向合力，因 R y 为 y 向合力，A 为截面定义域。由于在截面内 (7.1.4) 式 成立，可有如下变换：
D = 2G ∫∫ ΦdA
A
(7.1.17)
当是复连域时，例如二连域，环路积分成为
k 0 ∫ xdy − ydx − k1 ∫ xdy − ydx = 2k 0 A0 − 2k1 A1
C0 c1
代替 2kA 并且用 A0 − A1 代替 A ，其中可以取 k 0 = 0 ，则有
D = 2G ∫∫ Φ dA + 2k1 A1
∂ 2ψ ∇ τ = 2G θ 2 + ∂x 2
2
∂ 2ψ + 2 ∂y
71
第七章 柱体的扭转与弯曲
由于有此式的结果， τ 2 被称为上调和函数，如在域内有极大值, 根据复合函数求极值的法 则，应有某点 ( x0 , y 0 ) ∈ A
§7.1 位移法
现在我们来讨如图 7.1 所示的柱体的自由扭转，根据观察，柱体扭转时从纵向看过去 截面形状不变，截面作刚体运动；截面产生翘曲且沿轴不变。如选定某一截面其转角为α的 话，参见图 7.2, 那末所选定截面中的任一点的位移分量
0
z
y
α x
y
x
图 7.1
x
可写成： u = −αy, v = αx 和w ，即
A
分析物体的弹性和弯曲性质
复合材料特性
航空航天领域广泛应用的复合材料具有优异的力学性能和耐久性 。
结构设计与分析方法
针对复合材料结构进行精细化设计和分析，可采用有限元法、有限 差分法等方法。
性能评估与实验验证
对复合材料结构进行性能评估，包括强度、刚度、稳定性等方面， 并通过实验验证评估结果的准确性。
06
总结与展望
本次研究成果回顾
剪切模量与泊松比关系
剪切模量与泊松比之间存在一定关系，可以通过实验测定泊松比来 计算剪切模量。
影响因素
材料的泊松比和剪切模量受温度、加载速率等因素影响，实际应用 时需考虑这些因素的影响。
03
弯曲力学基础
梁的弯曲理论
弹性基础梁理论
有限元分析
该理论假设梁在弯曲时，其截面保持 平面，且垂直于中性轴。通过该理论 可以分析梁的弯曲变形和内力分布。
实验方法与技术手段
实验原理及设备介绍
弹性与弯曲性质定义
弹性指物体受力后发生形变，去除外力后能恢复原状的性 质；弯曲性质指物体在受力时发生弯曲形变的能力。
实验设备
万能材料试验机、引伸计、数据采集系统等。
测量原理
通过万能材料试验机对试样施加拉伸或压缩载荷，使用引 伸计测量试样变形量，数据采集系统记录载荷-变形曲线 。
结构形式与受力特点
悬臂梁作为桥梁工程中的常见结构，具有独特的受力特点和结构 形式。
弹性变形与稳定性
悬臂梁在荷载作用下的弹性变形需满足规范要求，同时要保证结 构的整体稳定性。
优化方法与案例分析
针对悬臂梁结构进行优化设计，可采用拓扑优化、形状优化等方 法，并结合实际案例进行分析。
航空航天领域复合材料结构性能评估
截面形状
梁的截面形状决定了其弯曲刚度和应力分布。例如，矩形截面梁和圆形 截面梁在相同载荷作用下的弯曲变形和应力分布会有所不同。
航空航天领域广泛应用的复合材料具有优异的力学性能和耐久性 。
结构设计与分析方法
针对复合材料结构进行精细化设计和分析，可采用有限元法、有限 差分法等方法。
性能评估与实验验证
对复合材料结构进行性能评估，包括强度、刚度、稳定性等方面， 并通过实验验证评估结果的准确性。
06
总结与展望
本次研究成果回顾
剪切模量与泊松比关系
剪切模量与泊松比之间存在一定关系，可以通过实验测定泊松比来 计算剪切模量。
影响因素
材料的泊松比和剪切模量受温度、加载速率等因素影响，实际应用 时需考虑这些因素的影响。
03
弯曲力学基础
梁的弯曲理论
弹性基础梁理论
有限元分析
该理论假设梁在弯曲时，其截面保持 平面，且垂直于中性轴。通过该理论 可以分析梁的弯曲变形和内力分布。
实验方法与技术手段
实验原理及设备介绍
弹性与弯曲性质定义
弹性指物体受力后发生形变，去除外力后能恢复原状的性 质；弯曲性质指物体在受力时发生弯曲形变的能力。
实验设备
万能材料试验机、引伸计、数据采集系统等。
测量原理
通过万能材料试验机对试样施加拉伸或压缩载荷，使用引 伸计测量试样变形量，数据采集系统记录载荷-变形曲线 。
结构形式与受力特点
悬臂梁作为桥梁工程中的常见结构，具有独特的受力特点和结构 形式。
弹性变形与稳定性
悬臂梁在荷载作用下的弹性变形需满足规范要求，同时要保证结 构的整体稳定性。
优化方法与案例分析
针对悬臂梁结构进行优化设计，可采用拓扑优化、形状优化等方 法，并结合实际案例进行分析。
航空航天领域复合材料结构性能评估
截面形状
梁的截面形状决定了其弯曲刚度和应力分布。例如，矩形截面梁和圆形 截面梁在相同载荷作用下的弯曲变形和应力分布会有所不同。
弹性力学 薄板弯曲
10
zx x yx
z
x y
zy y xy
z
y x
将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化
简得：
zx
z
1
Ez
2
2
x
zy
z
1
Ez
2
2
y
由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条
件为：
zx z t 0, 2
zy z t 0 2
11
将上列二式对z 进行积分，得：
16
将上节给出的应力分量与挠度 之间关系代入，并积分
得：
Mx
D
2
x 2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
y 2
My
D
2
y 2
2
x 2
M xy
M yx
D1 2
xy
Qx
D
2
x
Qy
D
y
2
上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。
17
利用应力分量与挠度 之间的关系、薄板挠曲微分方 程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 ，可以给出各
（1）几何方程
在薄板的中面上取一微
小矩形ABCD如图所示。它的 边长为dx和dy，载荷作用后， 弯成曲面A’B’C’D’。设A点的挠
度为 ，弹性曲面沿x和y方
向的倾角分别为 和 ，则
x y
A
dy A
w
D y
z
y
D
dx
w x
Bx
B
C
C
6
B点的挠度为 dx
x
D点的挠度为 dy
y
由
xz
0和
弹性力学(西北工业大学)第9章弹性薄板弯曲问题
弹性力学
西北工业大学 力学与土木建筑学院 卫丰
高等教育出版社
HIGHER EDUCATION PRESS
授课教材
面向21世纪 课程教材
第九章 弹性薄板弯曲问题
薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程应用广泛 特殊形式——小挠度薄板
目录 §9.1 薄板的基本概念和基本假设 §9.2 小挠度弯曲问题基本方程 §9.3 薄板边界条件 §9.4 矩形薄板的经典解法
D22w q
边界条件——级数解
经典解法——
矩形、圆形，规则约束条件和载荷作用
广
M
y
D(
2w y 2
2w x 2
)
M
xy
(1
)D
2w xy
义 力
广
x
2w x2
义 应
y
2w y 2
变
xy
2w xy
曲率 扭率
§ 9.2 基本方程3
薄板平衡方程
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
D22w q
§9.3 薄板边界条件
满足基本方程和给定的边界条件 基本方程 D22w q 为四阶偏微分方程 矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条 件。
§ 9.3 边界条件2
薄板弯曲问题的典型边界条件 1． 几何边界条件
在边界上给定边界挠度w和边界切线 方向转角 w 。
t
固定边界
2．混合边界条件
边界同时给出广义 力和广义位移
简支边界
§ 9.3 边界条件2
3． 面力边界条件
在边界给定横向剪力 和弯矩
自由边界
§9.4 矩形薄板经典解法
薄板小挠度弯曲问题基本方程
西北工业大学 力学与土木建筑学院 卫丰
高等教育出版社
HIGHER EDUCATION PRESS
授课教材
面向21世纪 课程教材
第九章 弹性薄板弯曲问题
薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程应用广泛 特殊形式——小挠度薄板
目录 §9.1 薄板的基本概念和基本假设 §9.2 小挠度弯曲问题基本方程 §9.3 薄板边界条件 §9.4 矩形薄板的经典解法
D22w q
边界条件——级数解
经典解法——
矩形、圆形，规则约束条件和载荷作用
广
M
y
D(
2w y 2
2w x 2
)
M
xy
(1
)D
2w xy
义 力
广
x
2w x2
义 应
y
2w y 2
变
xy
2w xy
曲率 扭率
§ 9.2 基本方程3
薄板平衡方程
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
D22w q
§9.3 薄板边界条件
满足基本方程和给定的边界条件 基本方程 D22w q 为四阶偏微分方程 矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条 件。
§ 9.3 边界条件2
薄板弯曲问题的典型边界条件 1． 几何边界条件
在边界上给定边界挠度w和边界切线 方向转角 w 。
t
固定边界
2．混合边界条件
边界同时给出广义 力和广义位移
简支边界
§ 9.3 边界条件2
3． 面力边界条件
在边界给定横向剪力 和弯矩
自由边界
§9.4 矩形薄板经典解法
薄板小挠度弯曲问题基本方程
弹塑性力学6薄板弯曲
x
Mxy
Mx
z
My
Myx
Qx
y
Qy
• 内力由挠度表示
将应力的表达式代入积分得到
M
x
D(
2w x 2
v
2w y 2
)
D(K x
vK
y
)
M
y
D(
2w y 2
v
2w x 2
)
D(K
y
vK x
)
M
xy
M
yx
D1 2w
xy
Qx
D 2w x
利用板下面的边界条件 z zt 0 ， f(x,y)=0
2
z
Et 3 6(1 v2 )
1 2
-
z t
2
1
z t
4w
z沿板厚度方向呈三次方变化 最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。
• 薄板的平衡微分方程
利用板上面的边界条件 z zt q ，得：
m1,3,5... n1,3,5...
m2 a2
n2 b2
mn(
m2 a2
n2 b2
)2
sin
mx
a
sin
ny
b
M y
16q0 4
m2 a2
2
mn( m m1,3,5... n1,3,5...
n2
b2 n2 )2
sin
mx sin a
ny b
Mxy
Mx
z
My
Myx
Qx
y
Qy
• 内力由挠度表示
将应力的表达式代入积分得到
M
x
D(
2w x 2
v
2w y 2
)
D(K x
vK
y
)
M
y
D(
2w y 2
v
2w x 2
)
D(K
y
vK x
)
M
xy
M
yx
D1 2w
xy
Qx
D 2w x
利用板下面的边界条件 z zt 0 ， f(x,y)=0
2
z
Et 3 6(1 v2 )
1 2
-
z t
2
1
z t
4w
z沿板厚度方向呈三次方变化 最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。
• 薄板的平衡微分方程
利用板上面的边界条件 z zt q ，得：
m1,3,5... n1,3,5...
m2 a2
n2 b2
mn(
m2 a2
n2 b2
)2
sin
mx
a
sin
ny
b
M y
16q0 4
m2 a2
2
mn( m m1,3,5... n1,3,5...
n2
b2 n2 )2
sin
mx sin a
ny b
08板的弯曲 弹塑性力学
E Ez 2 w 2w y ( y x ) 2 2 2 2 1 1 y x
xy
2 E Ez w xy 2(1 ) 1 xy
8
3. 平衡方程：（设体力为零，用 w(x,y) 表示应力分量）
Ez x 1 2 2w 2w 2 2 x y Ez y 1 2 2w 2w 2 2 y x
xy
Ez 2 w 1 xy
xz x xy z x y
第八章
板的弯曲
§ 8-1 弹性薄板的基本方程 § 8-2 矩形薄板的弹性分析 § 8-3 圆形薄板的弹性分析
1
§8-1 弹性薄板的基本方程
板面
一、基本概念 1. 板的几何特征： b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a x
两个平行平面和垂直于 两平行平面的柱面所围 成的物体称为平板。
h a, b
h z
侧面 （板边 ）
薄板：
2 2
1 h/2
1
Mx Myx
x
M xy D1 M yx
w xy
2
h2
y
M xy M yx
My
Mxy
Qy z
Qx
2w D1 yx
Qx D 2 w x 2 Qy D w y
薄板横截面上的内力~变形的关系 薄板弯曲问题的弹性方程。
Ez x 1 2
x
y
x
Mx
h/ 2
dzz
Eh3 12 1 2
2w 2w 2 2 x y
xy
2 E Ez w xy 2(1 ) 1 xy
8
3. 平衡方程：（设体力为零，用 w(x,y) 表示应力分量）
Ez x 1 2 2w 2w 2 2 x y Ez y 1 2 2w 2w 2 2 y x
xy
Ez 2 w 1 xy
xz x xy z x y
第八章
板的弯曲
§ 8-1 弹性薄板的基本方程 § 8-2 矩形薄板的弹性分析 § 8-3 圆形薄板的弹性分析
1
§8-1 弹性薄板的基本方程
板面
一、基本概念 1. 板的几何特征： b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a x
两个平行平面和垂直于 两平行平面的柱面所围 成的物体称为平板。
h a, b
h z
侧面 （板边 ）
薄板：
2 2
1 h/2
1
Mx Myx
x
M xy D1 M yx
w xy
2
h2
y
M xy M yx
My
Mxy
Qy z
Qx
2w D1 yx
Qx D 2 w x 2 Qy D w y
薄板横截面上的内力~变形的关系 薄板弯曲问题的弹性方程。
Ez x 1 2
x
y
x
Mx
h/ 2
dzz
Eh3 12 1 2
2w 2w 2 2 x y
弹性力学课件完整版
材料拉伸或压缩时力学性能指标
弹性模量
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的指标，它等于应 力与应变的比值。
泊松比
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时横向变形与纵向变形之 间关系的指标。
屈服极限和强度极限
屈服极限是指材料开始产生塑性变形的应力值，强度极限 是指材料在拉伸或压缩时所能承受的最大应力值。这些指 标对于评价材料的力学性能具有重要意义。
生物医学领域人体骨骼、肌肉等软组织力学性能研究
骨骼力学性能研究
运用弹性力学理论对人体骨骼进行受力分析 和模拟，研究骨骼在不同载荷下的应力分布 和变形情况，为骨折治疗和骨骼生物力学研 究提供理论支持。
肌肉软组织力学性能研究
通过弹性力学方法建立肌肉软组织的力学模 型，研究肌肉在收缩和舒张过程中的应力应 变关系以及能量转换机制，为运动生物力学
通过弹性力学中的运动方程可以建立位移梯度与应变之间的联系。
03
位移边界条件与约束
在实际问题中，空间各点的位移会受到边界条件和约束的影响。因此，
在分析空间各点位移变化规律时，需要考虑这些因素的影响。
06
弹性力学在工程中应用 举例
建筑结构中梁、板、柱设计原理
梁的设计原理 根据梁的受力特点和支承条件，运用弹性力学理论进行内 力、应力和变形的分析，从而确定梁的截面尺寸和配筋。
实验法在弹性力学研究中作用
验证理论模型
通过实验手段，可以验证弹性力学理论模型 的正确性和有效性。
研究材料性能
通过实验可以研究不同材料的力学性能，为 弹性力学的研究提供基础数据。
获取实验数据
通过实验可以获取大量的实验数据，为弹性 力学的研究提供有力的支持。
探索新现象和新规律
通过实验可以发现新的力学现象和规律，推 动弹性力学的发展。
弹性力学第9章—薄板的弯曲
b
O
a
x
z
y
边界条件
( w) x =0,a ( w) y =0,b ⎛∂ w⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0,a
2
因为任意的荷载函数q总能展 开成双重三角级数，因此纳维解的 基本形式为
∞
⎛ ∂2w ⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂y ⎠ y =0,b
mπ x nπ y sin w = ∑ ∑ Amn sin m =1 n =1 a b
9.3 薄板的边界条件
薄板的边界条件可以分为以下三类， （1）位移边界条件，即在边界上给定挠度和转角； （2）静力边界条件：给定边界横向剪力、弯矩； （3）混合边界条件：在边界上同时给定广义力和广义位移。
9.3.1 固定边界
x
y
x
侧视图
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
9.3 薄板的边界条件
9.3.2 简支边界
x
y
x
侧视图
⎫ ( w ) x =0 = 0 ⎪ ( M x ) x =0 = 0 ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
将上式中的弯矩用挠度函数来表示，则有
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂2w ⎞ ⎜∂ 2⎟ ⎝ x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ = 0⎪ ⎭
9.3 薄板的边界条件
9.3.3 给定广义力的方案
x
x=a
侧视图 俯视图 以广义力为零的自由边界为例，x=a处的边界条件为
⎪ ⎪ M 0 = ( xy ) x=a ⎬ ⎪ (Qx ) x =a = 0 ⎪ ⎭
( M x ) x =a = 0 ⎫
其中第1式分布弯矩可以根据 M x = D (κ x + vκ y ) 用挠度函数表示
O
a
x
z
y
边界条件
( w) x =0,a ( w) y =0,b ⎛∂ w⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0,a
2
因为任意的荷载函数q总能展 开成双重三角级数，因此纳维解的 基本形式为
∞
⎛ ∂2w ⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂y ⎠ y =0,b
mπ x nπ y sin w = ∑ ∑ Amn sin m =1 n =1 a b
9.3 薄板的边界条件
薄板的边界条件可以分为以下三类， （1）位移边界条件，即在边界上给定挠度和转角； （2）静力边界条件：给定边界横向剪力、弯矩； （3）混合边界条件：在边界上同时给定广义力和广义位移。
9.3.1 固定边界
x
y
x
侧视图
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
9.3 薄板的边界条件
9.3.2 简支边界
x
y
x
侧视图
⎫ ( w ) x =0 = 0 ⎪ ( M x ) x =0 = 0 ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
将上式中的弯矩用挠度函数来表示，则有
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂2w ⎞ ⎜∂ 2⎟ ⎝ x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ = 0⎪ ⎭
9.3 薄板的边界条件
9.3.3 给定广义力的方案
x
x=a
侧视图 俯视图 以广义力为零的自由边界为例，x=a处的边界条件为
⎪ ⎪ M 0 = ( xy ) x=a ⎬ ⎪ (Qx ) x =a = 0 ⎪ ⎭
( M x ) x =a = 0 ⎫
其中第1式分布弯矩可以根据 M x = D (κ x + vκ y ) 用挠度函数表示
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C2 0
C3
2(1
Mb 2
)D(a2
b2 )
Ma 2b2
Ma 2b2
C4 2(1 )D(a2 b2 ) 1 D(a2 b2 ) ln a
w(r) C1 ln r C2r 2 ln r C3r 2 C4
（3）周边简支沿内缘受均布剪力的环板
w(r) C1 ln r C2r 2 ln r C3r 2 C4
)
1
r2 a2
Mr M
M M
M
Qr 0
M
a z
例题2：周边简支圆板在外边界受均布力矩作用，在中心有链杆。
解：
w(r)
C1
ln
r
C2r
2
ln
r
C3r
2
C4
q0r 4 64D
中心无孔 C1 0
无均布载荷 q0 0
w(r) C2r 2 ln r C3r 2 C4
w r0 0 w ra 0
2w x 2
2w y 2
My
D
2w x 2
2w y 2
M xy
M
yx
D1
2w
xy
Qx
D
x
2w
Qy
D
y
2w
x
r
Mr
y
Mr
z
M Q Qr
x r, y
2w 2w x2 r 2
2w y 2
1 r
w r
1 r2
2w
2
2w 1 w
xy r r
❖薄板横截面上的内力：
Mr
D
2w r 2
q0r 4 64D
中心无孔 C1 0, C2 0
无均布载荷
q0 0
w(r) C3r2 C4
Mr M 2D(1 )C3
w ra 0
Mr ra M
C3a2 C4 0
2D(1 )C3 M
M
C3 2D(1 )
C4
Ma 2
2D(1 )
w(r)
2
Ma 2 D(1
解：
w(r)
C1
ln
r
C2r
2
ln
r
C3r
2
C4
q0r 4 64D
中心无孔 C1 0
无均布载荷
q0 0
w(r) C2r 2 ln r C3r 2 C4
r
w r0 s C4 s
s
w ra 0 C2a2 ln a C3a2 C4 0
za
dw dr ra 0
2C2a ln a C2a 2C3a 0
)q0a2
16
1
wmax
q0r 4 64D
5 1
M
M
q0a 2 16
(3
)
(1
3
)
r a
2 2
Mr
Qr
q0r 2
Mr ra 0
M
ra
1
8
q0a 2
Mr
r0
3
16
q0a 2
M
r0
3
16
q0a 2
Qr
ra
q0a 2
四、中心开孔的环板
（1）周边简支受均布载荷
w(r)
C1
w(r)
s1
r2 a2
(1
2 ln
r a
)
2s C2 a2
s C3 a2 (1 2 ln a)
Mr
4Ds a2
1 (1
)ln
r a
M
4Ds a2
(1
)
ln
r a
8Ds Qr a2r
作业：
（1）8－1，8－2 （2）8－3，8－4
Qr
P
C2 8D
P(1 2 ln a)
C3 16D
C4
Pa 2
16D
w(r)
Pa2
16D
1
r2 a2
r2 a2
ln
r
a
Mr
P
4
1 (1 ) ln
r a
M
P
4
(1
)
ln
r a
P
Qr 2r
周边简支时：
w
P
8D
3 2 2
a2 r2
r
2
ln
r a
例题4：周边固支圆板在中心有位移。
C3
(3 )q0a2 32D(1 )
C4
(5 )q0a4 64D(1 )
q0
r
a
M
q0a 2 16
(1
)
(1
3
)
r2 a2
Qr
q0r 2
z
w(r)
q0a 4 64D
1
r2 a2
5 1
r2 a2
（3）周边简支
q0
w(r)
q0a 4 64D
1
r2 a2
5 1
r2 a2
Mr
(3
z
rz
6Qr h3
h2 4
z2
z
6Q h3
h2 4
z2
z
2q
1 2
z 21 h
z h
二、板边边界条件：
（1）固支边：
w ra 0
（2）简支边：
w ra 0
w r ra 0
M
Mr ra 0
（3）自由边：
Mr ra M
M
Mr ra M
Qr ra 0 Mr ra 0
Qr
D
d dr
d 2w dr 2
1 r
dw dr
DC2
1 r
P 2rQr 0
P
Qr 2r
P
C2 8D
a z
P r
Qr
例题3：周边固支圆板在中心受集中力作用。
P
解： w(r ) C2r 2 ln r C3r 2 C4 C2a2 ln a C3a2 C4 0
r a
z
P r
2C2a ln a C2a 2C3a 0
C4 0 C2 ln a C3 0
Mr ra M D(3 )C2 M
Mr 2
a
w(r)
ln
D(3 ) r
M
C2 D(3 )
M ln a
C3 D(3 )
M
M
r
a
z
Mr
M
3
2 ln
a r
1
2ln a
r
1
4M
Qr (3 )r
例题3：周边固支圆板在中心受集中力作用。
q0a 4 64D
Mr
q0a 2 16
(1
) (3
)
r2 a2
M
q0a 2 16
(1
)
(1
3
)
r a
2 2
Qr
q0r 2
dw dr
2C3r
q0r 3 16D
d 2w dr 2
2C3
3q0r 2 16D
w(r)
q0r 4 64D
1
r2 a2
2
（2）周边固支
w(r)
q0r 4 64D
1
解：
w(r)
C1
ln
r
C2r
2
ln
r
C3r
2
C4
q0r 4 64D
中心无孔 C1 0
无均布载荷
w(r) C2r 2 ln r C3r 2 C4
q0 0
w ra 0 C2a2 ln a C3a2 C4 0
dw dr ra 0 2C2a ln a C2a 2C3a 0
P
r
Qr
w ra 0
Mr rb 0
q0
r
b a
z
Mr ra 0
Qr rb 0
C1
(3 )q0a 2b2 16D(1 )
4
(1 )q0a 2b4 D(1 )(a2 b
2
)
ln
a b
C2
q0b2 8D
C3
(3
)q0 (a2 b2 ) 32D(1 )
q0b2 8D
ln
a
q0b4 8D(a2
Mr
D
d 2w dr 2
1 r
dw dr
M
D
1 r
dw dr
d 2w dr 2
M r Mr 0
Qr
D
d dr
2w
Q 0
2
d2 dr 2
1 r
d dr
❖边界条件： （1）薄板中心无孔
w(r)
C1
ln
r
C2r
2
ln
r
C3r
2
C4
q0r 4 64D
r ＝0 时w 有有限值： C1 0
r ＝0 时Mr 有有限值：
Mr
D
1
r2
C1
2(1
)C2
ln r
(3
)C2
2(1
)C
3
M
D
1
r2
C1
2(1 )C2 ln r (1 3 )C2
2(1
)C
3
Qr
D
d dr
2w
4DC2 r
w ra 0
Mr rb 0
Mr ra 0
Qr rb Q
r
b a
z
Qa 2b3 1 a C1 2D(a2 b2 ) 1 ln b
bQ C2 4D
bQ b2 a 3