抽象函数的单调性专题突破(20191224050241)
抽象函数的单调性课件
03
波的传播
波动传播的速度和方向可以用抽象函数表示，通过分析这些函数的单调
性，可以了解波动的传播规律和变化趋势。
在其他领域的应用
生物种群数量变化
在生态学中，生物种群数量的变化可以用抽象函数表示，通过分析 这些函数的单调性，可以了解种群数量的增长或减少趋势。
详细描述
利用单调性解不等式的方法主要包括比较法和构造法。比较法是通过比较不等式两边的 函数值来判断不等式的真假，而构造法则是通过构造辅助函数并利用其单调性来解不等
式。
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THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右上升。
举例
$f(x) = x^2$在$mathbf{R}$上单 调递增。
单调减函数
定义
如果对于任意$x_1 < x_2$，都 有$f(x_1) geq f(x_2)$，则称函 数$f(x)$在区间$I$上单调递减。
几何意义
函数图像在区间$I$上从左到右 下降。
单调性与函数图像的走势
单调性可以决定函数图像的走势。如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该 区间内的函数图像会呈现出上升或下降的趋势。
单调性与不等式的关系
单调性与不等式的解法
单调性可以用来解决一些不等式问题。 例如，利用函数的单调性可以判断不 等式的解集范围。
单调性与不等式的性质
单调性可以用来推导不等式的性质。 例如，如果函数在某个区间内单调递 增，则对于该区间内的任意两个数x1 和x2，有f(x1) < f(x2)，即函数的值 随着自变量的增大而增大。
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类目录【题型一】保和函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 2 【题型二】类对数积函数：形如f （axb ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ..................................................... 3 【题型三】类指数函数：形如f （a+b ）=f （a ）f （b ）单调性 ........................................................................... 4 【题型四】类对数商函数：形如f （a/b ）=f （a ）-f （b ）单调性 ..................................................................... 5 【题型五】类线性函数：f （a-b ）=f （a ）-f （b ）单调性与奇偶性 .................................................................. 6 【题型六】保积函数：f （a*b ）=f （a ）*f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 6 【题型七】恒“截距”线性函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）-1单调性 ............................................................. 7 【题型八】形如f （a*b ）=f （a ）+f （b ）+t 单调性与奇偶性 ............................................................................ 8 【题型九】形如f （a+b ）+f （a-b ）=2f （a ）f （b ）奇偶性 ............................................................................... 8 【题型十】形如f （a ）+f （a ）=f （a b1ab++）单调性与奇偶性 ........................................................................... 9 【题型十一】形如f （a ）+f （a ）=f (a b)[1f (a)f (b)]+±单调性与奇偶性 ...................................................... 9 【题型十二】形如f （a-b ）=1f (a)f (bf (a)f (b)+-单调性与奇偶性 (10)【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 (11)综述一、赋值思维：抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
抽象函数的单调性与奇偶性讲解
抽象函数单调性与奇偶性抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =] 指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
抽象函数的单调性
在证明函数单调性时经常有下面几个变形：
f (x2 ) f [(x2 x1) x1]
f (x2 )
f ( x2 x1
x1 ]Biblioteka （1）求f(1)的值； （2）判断f(x)的单调性；
（3）若f(x+8)-f(x) 2，求x的取值范围.
5.函数f(x)的定义域为R，且对任意x,y 都有：f(x+y)=f(x)f(y),当x>0时，f(x)>1 且 f (0) 0 .
（1）求f(0)的值； （2）证明:对任意的x都有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若 f (x) f (2x x2 ) 1,求x的取值范围.
3.函数f(x)的定义域为R，且对任意x,y都有： f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)<0且f(2)=-1.
（1）求f(0)的值； （2）判断并证明函数f(x)的奇偶性； （3）证明函数f(x)的单调性； （4）求函数f(x)在[-6,6]上的值域。
4.函数f(x)的定义域为 (0, ) ，且对任意 x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时，f(x)>0 且f(3)=1.
抽象函数:
通常是指没有给出函数的具体解析式，只给 出了其他一些条件（如：定义域，经过的特 殊的点、解析递推式、部分图象特征等）。
合理赋值，整体思考， 借助特殊点，利用递推式
1.设f(x)的定义域为[0,1],则f(2x+1)的定 义域为 [ 1 , 0]
2
2.函数f(x)为定义在R上的奇函数，在(0, ) 上单调递增，且f(3)=0,则不等式f(x)>0的 解集是 (3,0) (3, )
抽象函数的单调性专题突破
抽象函数的单调性专题突破或例1、 ()f x 对任意,x y R ∈都有：()()()f x y f x f y +=+，当0,()0x f x ><时，又知(1)2f =-，(1)求证()f x 是R 上的减函数 （2）求()f x 在[]3,3x ∈-上的值域。
例2、f(x)对任意实数x 与y 都有()()()2f x f y f x y -=--,当x>0时,f(x)>2（1）求证：f(x)在R 上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3【专练】：1、已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=， 求不等式f a a ()2223--<的解集。
(1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．或例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0，f(3) = -1. (1) 求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。
例2、定义在(0,)+∞上函数()y f x =对任意的正数,a b 均有：()()()a f f a f b b=-，且当1x <时，()0f x >,（I ）求(1)f 的值;（II ）判断()f x 的单调性,【专练】：1、定义在(0,)+∞上的函数f(x)对任意的正实数,x y 有)()()(y f x f yxf -=且当01x <<时，2、 函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有()()()f m n f m f n ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=又， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数（3）解不等式2(21)2f x -<3、设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，对任意,(0,)x y ∈+∞，满足()()()f xy f x f y =+且当1x >时，()0f x >。
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
2.奇函数()f x 在定义域()1,1-内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
3.如果()f x =2ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小4. 已知函数()x f 对任意实数y x ,，均有())()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ， 求()x f 在区间[]1,2-上的值域。
5. 已知函数()x f 对任意R y x ∈,，满足条件())()(y f x f y x f +=+2-，且当0>x 时，()2>x f ，5)3(=f ，求不等式()3222<--a a f 的解。
6.设函数()x f 的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在21x x ≠，使得()()21x f x f ≠，对任何y x ,，())()(y f x f y x f =+成立。
求：（1）()0f ； （2）对任意值x ，判断()x f 值的正负。
7.是否存在函数()x f ，使下列三个条件：①0)(>x f ，N x ∈；② N b a b f a f b a f ∈=+,),()()(；③4)2(=f 。
同时成立？若存在，求出()x f 的解析式，如不存在，说明理由。
8.设()x f 是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足()()()y f x f xy f +=，()13=f求：（1）()1f ；（2）若()x f ＋()28≤-x f ，求x 的取值范围。
9. 已知函数()x f 对任意实数y x ,都有)()()(y f x f xy f =，且()11=-f ，9)27(=f ，当10<≤x 时，()[)1,0∈x f 。
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。
抽象函数难点突破---单调性和奇偶性综合习题
D f ( ) f (2) f (3)
3.已知偶函数
f (x) 在区间0, ) 单调递增，则满足
f (2x 1) ＜
f (1) 3 的x
取值范围是
12
2
12
A．（ 3 ， 3 ） B．（ ， 3 ） C．（ 2 ， 3 ）
2 , D． 3
4.已知定义域为(－1，1)的奇函数 y=f(x)又是减函数，且 f(a－3)+f(9－ a 2 )<0, 则 a 的取值范围是( )
A． a 1 ，b＝0 3
B．a＝－1，b＝0
C．a＝1，b＝0
D．a＝3，b＝0
3．已知 f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且 f（－2）＝10，那么 f（2）等于（ ）
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
x2 2
4．函数 f (x)
的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．
1 x2
，满足条件 f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当 x＞0 时，f（x）＞2，f（3） 的解。
12、设 f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足 （1）f（1）； （2）若 f（x）＋f（x－8）≤2，求 x 的取值范围。
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，求：
九州教育习题
13.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x＞0 时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是 R 上的增函数；
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九州教育习题
9．设
是定义在
上的增函数，
，且
的 x 的取值范围.
，求满足不等式
抽象函数的奇偶性_单调性问题
练习：函数f(x)对任意 a, b R， 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时，都有f(x)>1, 求证：f(x)是R上的增函数。
3.抽象函数奇偶性证明 例4：函数f(x)的定义域为全体实数，且f(Байду номын сангаас)不 恒等于0，若对任意实数a,b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数。
练习：函数f(x)的定义域为全体实数,且f(x)不恒 为0，若对任意实数a,b都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b). 求证：f(x)为偶函数。
（2）已知函数f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域。 一般地，若函数f(g(x))的定义域为[a,b], 则函数f(x)的定义域就是函数g(x)在区间[a,b] 上的取值范围（即函数g(x)的值域）。
例2：已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求 函数y=f(x)的定义域。
2. 抽象函数单调性的证明 例3：已知函数f(x)对任意 x, y R ,总有 f (x) f ( y) f (x y)，且当x>0时，都有f(x)<0. 求证：f(x)是R上的减函数。
1. 抽象函数的定义域求法
（1）已知函数f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域 一般地，若f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x)) 的定义域是指满足不等式 a g ( x) b 的x的取 值范围，即不等式 a g ( x) b 的解集。 例1： 已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数 y=f(2x+1)的定义域。
2019-2020学年高中数学《3.5.4 抽象函数的单调性和奇偶性》教案 新人教B版必修1.doc
2019-2020学年高中数学《3.5.4 抽象函数的单调性和奇偶性》教案新人教B 版必修1【复 习】)0(≠=k kx y ，x a y =，1)a 0(log ≠>=且a x y a 的性质。
问题：1、对于正比例函数kx x f =)(，))(()()(R y x y x f y f x f ∈+=+、 正比例函数具有单调性和奇偶性，那么满足：))(()()(R y x y x f y f x f ∈+=+、的函数)(x f 具有单调性和奇偶性吗？2、对于指数函数)10()(≠>=a a a x f x 且，))(()()(R y x y x f y f x f ∈+=⋅、，指数函数具有单调性，那么满足))(()()(R y x y x f y f x f ∈+=⋅、的函数)(x f 具有单调性吗？3、对数函数)10(log )(≠>=a a x x f a 且满足：))(()()(R y x y x f y f x f ∈⋅=+、，对数函数具有单调性，那么满足))(()()(R y x y x f y f x f ∈⋅=+、的函数)(x f 具有单调性吗？第二部分 走进课堂【探索新知】例1、对于任意的R y x ∈、, )()()(y x f y f x f +=+, 当0>x 时，0)(<x f（1）证明：)(x f 是奇函数。
（2）证明：)(x f 在),(+∞-∞上是减函数。
（3）若2)1(=f ，当]3,3[-∈x 时，求)(x f y =的最大值和最小值。
例2、对于任意的R y x ∈、, )()()(y x f y f x f +=⋅, 当0>x 时，1)(>x f证明： )(x f 在),(+∞-∞上是增函数。
例3、对于任意的0>y x 、, )()()(y x f y f x f ⋅=+, 当1>x时，0)(<x f证明：)(x f 在),0(+∞上是减函数。
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型：正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$）幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数）指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$）对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$）正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数：f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。
证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。
2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。
解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。
f(x)$为函数，∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减，∴$-1<1-m<1$，$-1<m-1<1$，即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$，故$m<0$，所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。
高中数学总结归纳 抽象函数单调性的判断
抽象函数单调性的判断判断抽象函数的单调性，若能从“源头”入手，设法找出此类函数的原型函数．据原型函数的单调性先作出判断，再类比其论证方法，即可轻松获解．例１ 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有)()()(y f x f y x f +=+．且当x ＞０时，)(x f ＞０，试判断)(x f 的单调性，并说明理由.解析：根据题目所给条件，原型函数为y ＝k x ，（k ＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设12,x x ∈R ，且21x x <，则2x －1x ＞０，故 )(12x x f -＞０．∴ )(2x f －)(1x f ＝[]112)(x x x f +-－)(1x f＝)(12x x f -＋)(1x f －)(1x f＝)(12x x f -＞０．∴)(1x f ＜)(2x f ． 故)(x f 在（－∞，＋∞）上为增函数．例２ 已知函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0)+∞，上为增函数，证明()y f x =在(0)-∞，上也是增函数．解析：此函数原型函数同样可以为(0)y kx k =>，而奇函数这个条件正是转化的媒介．设12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， ()f x Q 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-，22()()f x f x -=-．由假设可知1200x x ->->，，即12(0)x x --∈+∞，，，且12x x ->-， 由于()f x 在(0)+∞，上是增函数， 于是有12()()f x f x ->-，即12()()f x f x ->-，从而12()()f x f x <，()y f x ∴=在(0)-∞，上是增函数．例３ 已知函数)(x f 对于任意正数x ，y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ,且)(x f ≠0, 当x ＞1时, )(x f ＜1．试判断)(x f 在（０，＋∞）上的单调性，并说明理由． 解析：此函数的原型函数可以为x y 1=．显然此函数在（０，＋∞）上是减函数．对于x ∈（０，＋∞）有)(x f ＝[]0)()(2≥=⋅x f x x f又)(x f ≠０， ∴)(x f ＞０设1x ，2x ∈（０，＋∞），且1x ＜2x ．则 221121121111()()()()()()()()x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ===g ＜１， ∴ )(1x f ＞)(2x f ， 故)(x f 在（０，＋∞）上为减函数．。
《抽象函数单调性和奇偶性》答案
f (x) 2 ， f (3) 5，求不等式 f (a 2 2a 2) 3 的解集。
解：设 x1、x2 R 且 x1 x2 ， 则 x2 x1 0 ， f (x2 x1 ) 2 ，则 f (x2 x1 ) 2 0 ， f (x2 ) f [(x2 x1) x1] f (x2 x1) f (x1) 2 f (x1)
f
(a) f (b) ab
0.（1）判断函数
f
(x)
在 [1,1]
上是增函数，还是减函数，并证明你的
结论；（2）解不等式：f(x+ 1 )＜f( 1 ).
2
x 1
解：（1）设任意 x1,x2∈［－1,1］,且 x1<x2.
由于 f(x)是定义在[1,1] 上的奇函数，
∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1). 因为 x1<x2,所以 x2+(－x1)≠0,
f (x1)
1 0， f (x1)
f (x2 )
f (x2 x1) f (x1)
f (x1) f (x)在R上为增函数。
（3）由 f (x 2 ) f ( y 2 ) f (1) 得 x 2 y 2 1 (1)
f (ax by c) 1 得 ax by c 0 （2）
（2）证明： f (x) 在 R 上是增函数；（3）设 A (x，y)| f (x 2 ) f ( y 2 ) f (1) ，
B {(x，y)| f (ax by c) 1，a，b，c R，a 0} ，若 A B ，求 a，b，c 满 足的条件。 解：（1）令 m n 0 得 f (0) f (0) f (0) ， f (0) 0 或 f (0) 1。
（2） f (x ) 在 (0, ) 上是增函数。
抽象函数中的单调性问题
抽象函数中的单调性问题摘要：单调性函数是函数中的一个重要特性，它被广泛应用于数学和经济学中。
介绍了函数单调性评判的几种方法和几个结论，先针对具体函数从函数单调性定义入手，先后给出定义法，导数法，函数性质法，图像法和复合函数单调性评判法；其次，对不给具体函数表达的抽象函数给出定义法与复合函数法。
关键词：函数；单调性；特定功能；抽象函数函数作为研究现实世界数量关系的数学模型，其最基本和最主要的特性就是函数的单调性。
函数单调性对高中数学学习具有重要作用，包含数形结合，分类讨论等数学思想。
同时函数的单调性也为学生以后学习高等数学提供了依据。
[1]所以如何判断函数是否单调变得非常重要。
对于具体函数与抽象函数的单调性判断问题，文章引入了如下一些方法。
一、特定函数单调性判断法（一）定义的方法通常情况下，设定f是定义于D中的函数。
若对任何x1、x2∈D，当x1f（x2））成立时，称f为D上的严格增（减）函数。
[2]应用定义，证明了函数y=f（x）单调于给定间隔D的一般程序：（1）设元，任取x1,x2∈D且x1（2）作差f（x1）-f（x2）；（3）变形（一般采用因式分解与配方相结合）；（4）断号（即判断f（x1）-f（x2）和0的尺寸）；（5）定论（即指出函数f（x）给定区间D单调性）。
例1通过定义证明了（判断）函数/（0,+∞）中单调性。
证明设x1、x2∈（0,+∞），且x1又00，每小时x1x2-k≈0对于f（x1）-f（x2）≤0来说，这时函数f（x）是一个减函数；当/时x1x2-k>0,f（x1）-f（x2）<0，此时函数f（x）为增函数。
总之，函数/是区间/范围内的减函数；区间/内是一个增函数。
本题函数f（x）是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时，通常需要进行因式分解，由于x1x2-k与0的大小关系（k>0）不明确，所以要分段讨论。
利用定义法确定函数单调性更适合于定义域中任意两个数字x1和x2在x1解题中，定义法最为直接，是大家最先想到的一种办法，尽管此法思路清晰一些，但是一般流程较为繁琐。
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1 f ( ) ,(III) 若 f ( x)
t2
2at
1 对所有
2
x1
x 1,1 , a 1,1 恒成立 ,求实数 t 的取值范围 .
例 2 、 定义在（
1，1 ）上的函数 f ( x) 满足，对任意 x， y ( 1， 1) 都有 f ( x)
f ( y)
f(x
y ) ，且当
1 xy
x ( 1， 0) 时，有 f ( x) 0 ， （ 1）试判断 f (x) 的奇偶性；（ 2）判断 f ( x) 的单调性；
2、若非零函数 f ( x) 对任意实数 a,b 均有 f (a b) f (a) f (b) ，且当 x 0时， f (x) 1；
（ 1）求证： f ( x) 0 ；（2）求证： f ( x) 为减函数
（ 3）当 f (4)
1 时， 解不等式 f ( x
3)
f (5
Байду номын сангаас
x2 )
1
；
16
4
四类：幂函数型
x 3,3 上的值域。
例 2、 f(x) 对任意实数 x 与 y 都有 f ( x) f ( y) f ( x y) 2 , 当 x>0 时,f(x)>2
（ 1）求证 :f(x) 在 R 上是增函数； （ 2）若 f(1)=5/2, 解不等式 f(2a-3) < 3
【专练】：1、已知函数 f ( x) 对任意 x， y R 有 f ( x) f ( y) 2 f ( x y) ，当 x 0时， f ( x) 2 ， f (3) 5， 求不等式 f (a 2 2a 2) 3的解集。
五类：其他类数函数型
例 1、 定义在 1,1 上的奇函数 y f ( x) 有 f (1) 1 ,且当 m, n
1,1 时 , 总有 : f ( m) f (n) 0,( m n) , mn
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（ I ）证明 : f (x) 在
1 1,1 上为增函数 ,(II) 解不等式 : f ( x )
f (2 x2 1) 2
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3、 设 f ( x) 是定义在 (0, ) 上的函数，对任意 x, y (0, ) ，满足 f (xy) f ( x) f ( y) 且当 x 1 时， f ( x) 0 。
（ 1）求证： f ( x ) f (x) f ( y) ； （ 2）若 f (5) 1 ，解不等式 f (x 1) f (2x) 2. y
【 专 练 】： 1 、 定 义 在 R 上 的 函 数 y f ( x) 对 任 意 的 m, n 都 有 f ( m n) f ( m) f ( n)， 且 当 x 0 时 ， 0 f (x ) 1，（I ）证明： x R 都有 f ( x) 0 ；（ II）求证： y f (x) 在 R 上为减函数；（III ）解不等式 f(x) ·f(2x-x 2)>1 。
。
例 2、 定义在 (0,
) 上函数 y f ( x) 对任意的正数 a,b 均有： f (a ) b
（ I ）求 f (1)的值 ; （ II ）判断 f ( x) 的单调性 ,
f (a)
f (b) ，且当 x 1 时， f ( x) 0 ,
【专练】： 1、 定义在 (0,
) 上的函数 f(x) 对任意的正实数 x, y 有 f ( x ) f ( x) f ( y) 且当 0 x 1 时，
函数满足： f (a b) f (a) f (b) 或 f ( a ) f (a) b f (b)
例 1、 已知函数 f ( x) 满足： ① 对任意 x, y R ，都有 f ( xy) f ( x) f ( y) ，② f ( 1) 1, f (27) 9,且当 0 x 1 时， f (x) 0,1 。（ I）判断 f ( x) 的奇偶性，（ II ）判断 f (x) 在 0, 上的单调性，并证明。 （ III）若 a 0 ，且 f (a 1) 3 9 ，求 a 的取值范围。
2、 定义在 R 上的函数 f(x) 满足：对任意 x， y∈ R都有 f ( x y) f ( x) f ( y) ，且当 x 0时 , f ( x) 0
(1) 求证 f(x) 为奇函数； (2) 若 f(k · 3 x )+f(3 x -9 x -2) ＜0 对任意 x ∈ R 恒成立，求实数 k 的取值范围．
一类：一次函数型
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抽象函数的单调性专题突破
函数满足： f (a b) f (a) f (b) k 或 f (a b) f (a) f (b) k
例 1、 f (x) 对任意 x, y R 都有： f (x y) f (x) f ( y) ，当 x 0时, f (x) 0 ，又知 f (1) 2 ，求 f ( x) 在
三类：指数函数型
函数满足： f (a b) f (a) f (b) 或 f (a b) f (a) f (b)
例 1、 定义在 R 上的函数 f ( x) ，满足当 x 0 时， f ( x) 1, 且对任意 x, y R, 有 f (x y) f (x) f ( y),
又知 f (1) 2. （ 1）求 f (0) 的值； （ 2）求证：对任意 x R 都有 f (x) 0 ；（ 3）解不等式 f (3x x 2 ) 4；
y
f (x) 0.
1 求 :(1) f (1) 的值 . (2) 若 f (6) 1, 解不等式 f ( x 3) f ( ) 2 ；
x
2、 函数 f ( x) 的定义域是 x 0 的一切实数，对定义域内的任意 x1, x2 都有 f ( x1 x2) f ( x1) f (x2 ) ，且当 x 1 时 f (x) 0,又 f (2) 1 ， （ 1 ）求证： f ( x) 是偶函数； （ 2 ） f (x) 在 (0, ) 上是增函数（ 3）解不等式
二类：对数函数型
函数满足： f (a b) f (a) f (b) 或 f ( a) f (a) f (b) b
例 1、 f(x) 是定义在 x>0 的函数 , 且 f(xy) = f(x) + f(y);
当 x>1 时有 f(x)<0;f(3) = -1.
(1) 求 f(1) 和 f(1/9) 的值；（ 2）证明 f(x) 在 x>0 上是减函数； （ 3）解不等式 f(x) + f(2-x) < 2