【初中数学】初中数学三垂直全等图形模型

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2023届初中数学中考复习-一线三垂直与一线三等角

一线三垂直与一线三等角一、基础知识回顾1) 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°2)1 平角= 180 度二、模型的概述：1) 一线三垂直模型[模型概述] 只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。

根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。

基础构造1构造2一线三垂直模型一：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE =AD +EC证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°∴∠1 + ∠2 = 90°, ∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3∠1 = ∠3在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°AB = BC∴∆ABD ≌∆BCE(AAS)∴AD = BE,EC = BD则DE = BE + BD = AD + EC一线三垂直模型二：如图A B ⊥BC，AB = BC，CE ⊥DE，AD ⊥DE，则∆ABD ≌∆BCE，DE =AD - EC证明：∵CE ⊥DE，AD ⊥DE，AB ⊥BC∴∠CEB = ∠ADB = ∠ABC = 90°∴∠A + ∠ABD = 90°, ∠ABD + ∠CBE = 90°∴∠A = ∠CBE∠A = ∠CBE在∆ABD 和∆BCE 中，〈∠CEB = ∠ADB = 90°AB = BC∴∆ABD ≌∆BCE(AAS)∴AD = BE,EC = BD则DE = BE - BD = AD - EC一线三垂直其它模型1) 图1，已知∠AOC = ∠ADB = ∠CED = 90°, AB = DC，得∆ADB ≌∆DEC2) 图2，延长DE 交AC 于点F，已知∠DBE = ∠ABC = ∠EFC = 90°, AC = DE，得∆ABC ≌∆DBE图1图22) 一线三等角模型[模型概述] 三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

初中几何模型：三垂直全等模型分析

三垂直全等模型“三垂直模型”是初中必会的一种几何模型，它是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以这一知识点的掌握对于中考至关重要。

模型三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。

图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。

图③图④DEABC例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.D证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，A∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°.∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°.∴∠BAE ＝∠CED .在△ABE 和△ECD 中，B C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ECD .∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ EDA解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标。

2021年中考复习讲义初中几何典型模型一：一线三垂直模型

初中数学典型模型之一： “三垂直模型”介绍总体解题思路：只要出现此典型图形，一般都要证三角形全等或相似，再根据全等或相似性质解题.（一）基本图形： 1.“三垂”例1.如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，矩形的周长为16，则AE=__ 解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于有等边（EF=EC ）先证△AEF ≌△DCE ， ∴AE=DC ，∴AD-DC=2，∵AD+DC=8，∴AD=5，DC=3，∴AE=3例2.一块矩形木板ABCD ，长AD=3cm,宽AB=2cm,小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C 上，另一条直角边与AB 边交于点E ，三角板的直角顶点P 在AD 边上移动（不含端点A,D ），当线段BE 最短时，AP=_______解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于没有等边，先证△AEP ∽△DPC ， ∴AP CD=AE PD。

当题目出现线段最值时，初三的数学中有两种解题方法：①几何论证方法；②代数论证方法-----通过设未知数，把几何中的线段关系转化成二次函数形式，运用二次函数求最值的方法解题；（详见“动态问题下求线段长”），此题可采用代数论证方法，设BE =y,AP =x ，∴x2=2−y3−x , ∴y =x 2−3x +4=(x −32)2+74 , ∴a =1>0 , ∴x =32 时，y 最小值=742.两种变化图形（1）“交叉型”三垂直模型（2）“L 型”三垂直模型A BC DEF 图1PA BCD E 证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅ECD;若没有边相等，则证ABE ~ECD;21AB CED证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅FCD;若没有边相等，则证ABE ~FCD;21A BF E DC(1)若有等边，则△ABE≌△BDC（AAS ）(2)若无等边，则△ABE∽△BDC（AA ）EDCBA例3.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE=BF=1，则OC= ．解析：求线段长，要么用勾股定理，要么用相似，不管走勾股定理，还是相似，都绕不过先求出∠DOC=90°，当把这个90°标在图形时，就出现“三垂直模型的变化图形—交叉型三垂直模型”，如图1，由于有等边（BC=CD ），先证△BCE ≌△CDF ，∴∠BCE =∠CDF ，∵∠BCE +∠OCD =90°，∴∠CDF +∠OCD =90°，∴∠DOC =90°；这时图形又出现了第二个典型图形：“双垂型图形”，如图2，便易得这个典型图形的一个典型的用途----两直角边的乘积会等于斜边乘以斜边上的高。

初中数学常见模型之三垂直全等模型

三垂直图形变形如图③、图④，这也是由弦图演变而来的
模型实例
例1.如图， AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， AE ⊥ DE ， AE=DE 求证： AB+CD=BC
例2.如图，∠ ACB-90 °,AC=BC,BE ⊥ CE 于点 D, AD=2.5cm ,BE=0.8cm 求 DE 的长
例3.如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt △ ABC 有两个顶点在坐标轴上求第三个顶点的坐标
典例精选
1.如图，正方形 ABCD ， BE=CF 。求证：（ 1 ） AE=BF ；（ 2 ） AE ⊥ BF
2.直线上有三个正方形 a 、b 、 c ,若 a 、 c 的面积分别是 5 和 11,则 b AB=AC ，点 P 为 BC 上一动点（ B P<CP ），分别过 B 、 C 作 BE ⊥ AP 于点 E 、 CF ⊥ AP 于点 F
（ 1 ）当α=45°时，求△ EAD 的面积；
（ 2 ）当α=30°时，求△ EAD 的面积；
（ 3 ）当0°<α<90°时，猜想△ EAD 的面积与大小有无关系？若有关，写出△ EAD 的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论。
5.如图，向△ ABC 的外侧作正方形 ABDE 、正方形 ACFG ，过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H ， AH 的反向延长线与 EG 交于点 P 求证： BC=2AP
初中数学常见模型
三垂直全等模型
模型：三垂直全等模型
如图，∠ D= ∠ BCA= ∠ E=90 °， BC=AC 。结论： Rt △ BCD ≌ Rt △ CAE
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。

数学模型—三垂直模型,手拉手模型优质讲义(含答案)

全等三角形的综合复习（教师版）学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容全等三角形的综合应用必杀技课型教学目标1.掌握全等三角形的性质与判定，灵活运用各种判定方法证明三角形全等2.理解与掌握全等三角形综合应用中的几个必杀技重、难点重点：全等三角形性质与判定的灵活应用难点：理解并掌握全等三角形的综合应用必杀技知识导图导学一：全等三角形的综合应用必杀技之“三垂直模型”1.[全等三角形的判定与性质] [难度：★★★ ] 在中，，AC=BC，直线MN经过C点，且于D，于E，当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE=AD+BE当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD—BE当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问：DE，AD，BE有怎样的等量关系？并加以证明。

【参考答案】【思维对话】常见思维障碍：（1）学生不清楚什么是“三垂直模型”；（2）学生想到了“三垂直模型”，但不知道怎么用；（3）“三垂直模型”的解题方法能不能用于其他题型呢？思维障碍突破方法：（1）如果题目中出现两个直角三角形，它们接触的部分也是一个直角三角形，这就是典型的“三垂直模型”；（2）对于“三垂直模型”，我们根据直角相等，同角的余角相等，容易证明出三角形全等；（3）当两个三角形中出现相等的角，“公共的角”时，虽然不是直角，但是也可以用“三垂直模型”的方法得到两个相等的角，从而证明三角形全等。

2.[全等三角形的性质;全等三角形的判定] [难度：★★★ ] 如图CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠a。

若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若∠BCA=90°，∠a＝90°，则：则BE CF；EF |BE -AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠a与∠BCA关系的条件，使中的两个结论仍然成立，并证明。

初中数学经典几何模型03-一线三垂直模型构造全等三角形(含答案)

初中数学经典几何模型专题03 一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1 图21、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG 交于点P，求证：BC=2AP3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC 的长为（）5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）6、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求BD证：CE=12【基础训练】1、如图，在平面直角坐标系中，等腰R t△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点.如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=1∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB2DF.交于点F，求证：BE=125、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC证明：AB+AE=BC【巩固提升】1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC,AP⊥PC,求证：△ABP≌△PDC2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB 为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。

2020年九年级初中必会几何模型-三垂直模型

三垂直模型【模型概述】出现3个直角，且3个直角的顶点共线时，角的边相交会形成相似（含全等）三角形。

【基本模型】图1 图2【解读】⑴图1和图2中，三个直角顶点B，C，D共线；⑵当△ABC和△CDE三组对应边均不相等时，有△ABC∽△CDE；⑶当△ABC和△CDE任意一组对应边相等时（如AC=CE），有△ABC≌△CDE；⑷证明思路：同角的余角相等⑸解题时往往只含有两个甚至一个垂直关系，需通过作垂线构造出三垂直模型，从而构造出全等或相似三角形，利用全等和相似的性质求解角度和线段长等问题。

典型例题1-1已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E。

⑴如图1，①线段CD和BE的数量关系是②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明。

⑵如图2，结论②还成立吗？如不成立，写出并证明AD，BE，DE之间的数量关系。

【小结】典型例题1-2如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）典型例题1-3经过点A（-1,0），B（4,0），交y轴于点C。

⑴求抛物线的解析式；⑵点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

⑶将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长。

【小结】变式训练1-1如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα=( )变式训练1-2如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，(1)求C点的坐标；扩展模型：共线三等角模型：当三垂直模型中3个直角变为相等的锐角或钝角时，仍会产生全等或相似三角形。

解读：⑴图1和图2中，大小均为的三个锐角（或钝角）顶点在同一直线你上。

⑵当三组对应边均不相等时，图1中有△ABC∽△ECD，图2中有△ABC∽△CDE（注意对应关系）⑶当△ABC和△CDE的任意一组对应边相等时，有两三角形全等。

初中数学几何模型之三垂直模型

数学模型-三垂直模型一，三垂直与勾股定理模型分析：赵爽弦图：设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c ∴四个直角三角形面积=2ab，中心正方形面积=（b-a）²=b²-2ab+a²∴大正方形面积=c²=a²+b²毕达哥拉斯内弦图大正方形的面积=（a+b）2大正方形的面积=四个直角三角形+中心正方形面积=2ab+c2根据等面积法得（a+b）2=2ab+c2∴c²= a²+b²，即c²= a²+b²总统证明勾股定理：将毕达哥拉斯的图形平分即可得到总统证法规律总结：弦图能够解析完全平方定理，如此勾股定理，完全平方和弦图有机结合在一起，体现了数形结合的思想．实例精炼：1. 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值为()A. 113B. 103C. 3D. 83【答案】B【解析】【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【详解】解：将四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y．∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1＋S2＋S3＝10，∴S1＝8y＋x，S2＝4y＋x，S3＝x,∴S1＋S2＋S3＝3x＋12y＝10x＋4y＝10 3,∴S2＝x＋4y＝103．故选B.【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=10求出是解决问题的关键．2. 如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt ABC △中，AC b =，BC a =，90ACB ∠=︒，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求2()a b +的值．【答案】2()=79a b + 【解析】【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出2()5b a -=，237ab =，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．【详解】解：小正方形面积=2()5b a -= 4个小直角三角形的面积=142ab ⨯425=- ∴237ab =∴2()a b +2()4b a ab =-+5237=+⨯79=【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．3. （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，所以4×12ab ＋(a －b )2=c 2，即a 2＋b 2=c 2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图①为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图①推导勾股定理．(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【答案】（1）见解析；（2）125；（3）见解析【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．【详解】（1）S梯形ABCD=1()()2a b a b++221122a ab b=++，S梯形ABCD=211222ab c⨯+∴12a2＋ab＋12b2=2×12ab＋12c2即a2＋b2=c2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，，∵设斜边上的高为h ，直角三角形的面积为12×3×4＝12×5×h ， ∴h ＝125故答案为125；（3）∵图形面积为：（a−2b ）2＝a 2−4ab ＋4b 2， ∴边长为a−2b ，由此可画出的图形如下：【点睛】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．4. 【阅读理解】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为()212a b +或者是211222ab c ⨯+，因此得到()221112222a b ab c +=⨯+，运用乘法公式展开整理得到222+=a b c ．【尝试探究】（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你根据古人的拼图完成证明．（2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你帮助完成．【实践应用】（3）已知a 、b 、c 为Rt ABC △的三边()c b a >>，试比较代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等．【解析】【分析】[尝试探究]（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论；（2）根据图形面积的不同求法即可得到结论；[实践应用]（3）分解因式，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：[尝试探究]（1）图中大正方形的面积可表示为2()a b +，也可表示为214()2c ab +⨯，即221()4()2a b c ab +=+⨯，222a b c ∴+=；（2）图中大正方形的面积可表示为2c ，也可表示为21()4()2b a ab -+⨯，即221()4()2b a abc -+⨯=，222a b c ∴+=；[实践应用]（3）2222222()a c a b a c b +=+，442222222()()()c b c b c b c b a -=+-=+， ∴代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. 我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD 的面积是_______【答案】1．【解析】【分析】根据勾股定理可得股b=4，则小正方形ABCD 的边长为b-a ，最后根据正方形面积公式计算即可．【详解】解：①勾a=3，弦c=5∴股4= ∵小正方形ABCD 的边长为b-a=4-3=1 ∴小正方形ABCD 的面积是1．故答案为1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．6. 把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为_____．【答案】1．【解析】【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【详解】解：图2小正方形ABCD的边长=3﹣2＝1，图2小正方形ABCD的面积=1×1＝1,故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形ABCD的边长．二，三垂直与全等和相似模型分析：规律总结：由同角的余角相等得到∠1=∠C，∠2=∠A，结合边长信息即可证明全等．★补充：射影定理直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．公式：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）（BD）²=AD•DC，（2）（AB）²=AD•AC ，（3）（BC）²=CD•CA．直角三角形射影定理的证明在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD BDBD CD=即BD²=AD•DC．其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD•AC，BC²=CD•CA两式相加得：AB²+BC²=（AD•AC）+（CD•AC）=（AD+CD）•AC=AC²．规律总结：由三垂直得到射影定理，能够得到边长平方与斜边之间的关系，是解决边长数量关系的常用方法．实例精炼：7. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a=，HG b=，则斜边BD 的长是（）A. +a bB. ⋅a b【答案】C 【解析】【分析】根据全等三角形的性质，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ，由CE a =，HG b =建立方程组，求解即可得出,22a b a bCD xBC y，然后借助勾股定理即可表示BD.【详解】解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ， ∵CE a =，HG b =，∴x y a y x b +=⎧⎨-=⎩解得：22a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故,22a ba bCDBC在Rt BCD ∆中，根据勾股定理得：2222222222a b a b a b BD BC CD +-+⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴BD =. 故选:C.【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含a ，b 的代数式表示CD 和BC 是解决此题的关键.8. 已知Rt△ABC 中，①BAC =90°，AB =AC ，点E 为①ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE ①AE ，过点B 作BD ①AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求①EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG ①FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，①FHM 的面积为30，①EHB =①BHG ，求线段EH 的长．【答案】（1）见解析；（2）∠EDH ＝45°；（3）EH ＝．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE ≌△ABD ，进而利用全等三角形的性质得出AE ＝BD 即可；（2）根据全等三角形的判定得出△AEH ≌△BDH ，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）过点M 作MS ⊥FH 于点S ，过点E 作ER ⊥FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET ∥BC ，根据全等三角形判定和性质解答即可．【详解】证明：（1）∵CE ⊥AE ，BD ⊥AE ，∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACE +CAE ＝∠CAE +∠BAD ＝90°，∴∠ACE ＝∠BAD ，在△CAE 与△ABD 中ACE BAD AEC ADB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAE ≌△ABD （AAS ），∴AE ＝BD ；（2）连接AH∵AB ＝AC ，BH ＝CH ，∴∠BAH ＝11904522BAC ∠=⨯︒=︒，∠AHB ＝90°，∴∠ABH ＝∠BAH ＝45°，∴AH ＝BH ，∵∠EAH ＝∠BAH ﹣∠BAD ＝45°﹣∠BAD ，∠DBH ＝180°﹣∠ADB ﹣∠BAD ﹣∠ABH ＝45°﹣∠BAD ，∴∠EAH ＝∠DBH ，在△AEH 与△BDH 中 AE BD EAH DBH AH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEH ≌△BDH （SAS ），∴EH ＝DH ，∠AHE ＝∠BHD ，∴∠AHE +∠EHB ＝∠BHD +∠EHB ＝90°即∠EHD ＝90°，∴∠EDH ＝∠DEH ＝18090452︒-︒=︒；（3）过点M 作MS ⊥FH 于点S ，过点E 作ER ⊥FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET ∥BC ，交HR 的延长线于点T ．∵DG ⊥FH ，ER ⊥FH ，∴∠DGH ＝∠ERH ＝90°，∴∠HDG +∠DHG ＝90°∵∠DHE ＝90°，∴∠EHR +∠DHG ＝90°，∴∠HDG ＝∠HER在△DHG 与△HER 中HDG HER DGH ERH DH EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHG ≌△HER （AAS ），∴HG ＝ER ，∵ET ∥BC ，∴∠ETF ＝∠BHG ，∠EHB ＝∠HET ，∠ETF ＝∠FHM ，∵∠EHB ＝∠BHG ，∴∠HET ＝∠ETF ，∴HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中ETF FHM EFT MFH EF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFT ≌△MFH （AAS ），∴HF ＝FT ， ∴22HF MS FT ER =， ∴ER ＝MS ，∴HG ＝ER ＝MS ，设GH ＝6k ，FH ＝5k ，则HG ＝ER ＝MS ＝6k ， 563022HF MS k k==， k∴FH ＝，∴HE ＝HT ＝2HF ＝．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．9. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 10. 在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图①，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图②，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图③，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，3AE =,2OE =,求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）8【解析】【分析】（1）根据“一线三垂直”模型，可以证得A AOB CD ∆∆≌；（2）过点C 作CM ⊥CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，利用旋转模型证明BCM ∆≌()ACO ASA ∆，由外角的性质计算即可；（3）在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，利用等腰直角△AOB ，等边△BOC 证得OAE ∆≌()OCH SAS ∆，通过等角代换证明HOE ∆为等边三角形，由线段和计算即可得到结果．【详解】（1）∵∠BAC=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠DAC=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAC=∠ABO ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=AC ，在△AOB 和△CDA 中，ABO DAC AOB CDA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△CDA （AAS ）（2）如图②，过点C 作CM ⊥CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，90MCO ACB ∴∠=∠=，BCM ACO ∴∠=∠，90BCA AOB ∠=∠=，BNC ANO ∠=∠，CBM OAC ∴∠=∠，∵AC=BC ，BCM ∴∆≌()ACO ASA ∆，CM CO ∴=，45COM CMO ∴∠=∠=，9045135AOC ∴∠=+=，故答案为：135°．（3）如图③，在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，∵△AOB 是等腰直角三角形，△BOC 是等边三角形，所以AO BO CO ==，OAE OCH ∴∠=∠，OAE ∴∆≌()OCH SAS ∆，OH OE ∴=，AE=CH=3，∠AOE=∠COH ，OD AB ⊥，∠AOB=90°，45AOE BOE ∴∠=∠=，45COH ∴∠=，∠BOH=∠BOC-∠COH=60°-45°=15°，154560HOE ∴∠=+=，HOE ∴∆为等边三角形，2HE EO ∴==，3238AC CH HE AE ∴=++=++=，故答案为：8．【点睛】本题考查了“一线三垂直”模型，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角代换的应用，计算线段和的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11. 如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ；(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样．【详解】(1)不成立．DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ，理由如下：如图，∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE(AAS)，∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CE-CD=AD-BE ；(2)结论：DE=BE-AD ．∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB(AAS)，∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CD-CE=BE-AD ．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．12. 如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ．（1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点，求证：FD ＝BC ；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若AG ＝3，CG ＝1，求证：E 点为BC 中点；（3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若BC ＝4，BE ＝3，则AG CG＝（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53 【解析】【分析】(1)证明△AFD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF =AC ，等量代换证明结论；(2)作FD ⊥AC 于D ，证明△FDG ≌△BCG ，得到DG =CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；(3)过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG =GD ，AD =CE =7，代入计算即可．【详解】(1)∵FD ⊥AC ，∴∠FDA =90°，∴∠DF A +∠DAF =90°，∠CAE +∠DAF =90°，∴∠DF A =∠CAE ，在△AFD 和△EAC 中，AFD EACADF ECA AF AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFD ≌△EAC (AAS )，∴DF =AC ，∵AC =BC ，∴FD =BC ；(2)作FD ⊥AC 于D ，由(1)得，FD =AC =BC ，AD =CE ，在△FDG 和△BCG 中，90FDG BCG FGD BGC FD BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FDG ≌△BCG (AAS )，∴DG =CG =1，∴AD =2，∴CE =2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E点为BC中点；(3)当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴741.52CG DG AD AC-==-==，∴4 1.5111.53 AG AC CGCG CG++===，当点E在线段BC上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB-BE=1，由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=1，∴411.52CG DG AC AD-==-==，∴1 1.551.53 AG AD DGCG CG++===，故答案为：113或53．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，本题中求证△ADF ≌△ECA 、△GDF ≌△GCB 是解题的关键．三，三垂直与直角坐标系模型分析：规律总结：在坐标系中，一般利用点的坐标的几何含义作垂线，构建三垂直模型进行解题．具体考题中一般结合面积进行展开，常见的有一次函数与反比例函数的面积，二次函数中面积得最值等．实例精炼：13. 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点A 、B 分别是x 轴和y 轴上的一动点，点C 的横坐标为3-，求点B 的坐标.【答案】B （0，-3）．【解析】【分析】如图，作CD ⊥y 轴于M ，则CD=3，证明△BCD ≌△ABO(AAS)即可求得答案.【详解】如图，作CD ⊥y 轴于M ，则CD=3，∵∠ABC=∠AOB=90゜，∴∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBD=∠BAO ，又∵∠BDC ＝∠AOB=90°，BC ＝AB ，∴△BCD ≌△ABO(AAS)，∴OB=CD=3，∴B(0，-3)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标，正确添加辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.14. 如图所示，()1,0A -，()0,3B ，以AB 为边作正方形ABCD ，求C ，D 的坐标.【答案】()3,4C -；()4,1D -【解析】【分析】本题有A 、B 两个点都在坐标轴上，且正方形在坐标轴的同侧（基本上在第二象限），故只须过C ，D 两点分别向坐标轴作垂线即可. 作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，证明①BCE ≌△ABO ，得出对应边相等BE =OA =1，CE =BO =3，同理得出DF =OA =1，AF =BO =3，再求出OE 、OF ，即可得出结果．【详解】解：作CE ①y 轴于E ，DF ①x 轴于F ，如图所示：则∠CEB =∠AFD =90°，∴∠1+∠3=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，BC =AB ，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，在①BCE 和①ABO 中，1290CEB BOA BC AB ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴①BCE ①①ABO （AAS ），∴BE =OA =1，CE =BO =3，同理得：DF =OA =1，AF =BO =3，∴OE =4，OF =4，∴C （-3，4），D （-4，1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．当正方形的部分点在坐标轴上，且整个正方形在坐标轴的同侧时，往往过另外的点向坐标轴作垂线，从而得到“形外三垂直”的基本图形.15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 在x 轴上，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，且A （2，0）、B （3，3），BC 交y 轴于M ，（1）求点C 的坐标；（2）连接AM ，求△AMB 的面积；（3）在x 轴上有一动点P ，当PB +PM 的值最小时，求此时P 的坐标．【答案】（1）C的坐标是（﹣1，1）；（2）154；（3）点P的坐标为（1，0）．【解析】【分析】（1）作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，证明CDA①AEB△，根据全等三角形的性质得到CD＝AE，AD＝BE，求出点C的坐标；（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，得到OM的长，根据梯形的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案；（3）根据轴对称的最短路径问题作出点P，求出直线B M 的解析式，根据x轴上点的坐标特征求出点P的坐标．【详解】解：（1）如图，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ACD，在CDA和AEB△中，ACD BAE ADC BEA CA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①CDA ①AEB △（AAS ），∴CD ＝AE ，AD ＝BE ，∵A （2，0）、B （3，3），∴OA ＝2，OE ＝BE ＝3，∴CD ＝AE ＝1，OD ＝AD ﹣OA ＝1，∴C 的坐标是（﹣1，1）；（2）如图，作BE ⊥x 轴于E ，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∵B 点的坐标为（3，3），C 点的坐标是（﹣1，1），∴331k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得，1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝12x +32，当x ＝0时，y ＝32， ∴OM ＝32，∴AMB的面积＝梯形MOEB的面积﹣AOM的面积﹣AEB△的面积＝12×（32+3）×3﹣12×2×32﹣12×1×3＝154；（3）如图，作M关于x轴的对称点M'（0，﹣32），连接B M'，交x轴于点P，此时PB+PM=PB+P M'=B M'的值最小，设直线B M'的解析式为y＝mx+n，则3332m nn+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得，3232mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线B M'的解析式为y＝32x﹣32，点P在x轴上，当y＝0时，x＝1，∴点P的坐标为（1，0）．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求一次函数解析式和求两线段和的最小值，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、利用待定系数法求一次函数解析式和轴对称的最短路径问题是解决此题的关键．16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴正半轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ．（1）如图1，直线3y x =-+经过点B 、点C ，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 为该抛物线223y x nx =-+的顶点，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点P ，当FP EP ⊥时，求P 点的纵坐标．（3）如图3，在（1）（2）的结论下，抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点G ，作⊥GH x 轴于点H ，延长EP 交GH 于K，当GK =时，求G 点的坐标．【答案】（1）243y xx =-+；（2）点P 的纵坐标为2；（3）G 点的坐标为（2+11）．【解析】【分析】（1）由直线的解析式，先求出点B 、C 的坐标，结合点A 的坐标，利用待定系数法即可得到答案；（2）把点A 代入，求出n 的值，然后得到点C 和点E 的坐标，然后求出点F 的坐标，设点P 为（x ，233x x -+），由FP EP ⊥，即可求出点P 的横坐标，即可求出点P 的纵坐标；（3）过点P 作PI ⊥GH 于点I ，先求出直线PE 的解析式，得到PK=2PI ，然后设点G 为（m ，243m m -+），表示出GK的长度，结合GK =，得到关于m 的一元二次方程，解方程求出m 的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵3y x =-+经过点B 、点C ，∴令0y =，3x =，令0x =，3y =，∴点B 为（3，0），点C 为（0，3），设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C ，三点代入解析式，得： 09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴243y x x =-+；（2）∵点A （1，0）在抛物线223y x nx =-+图像上，则1230n -+=，∴2n =，∴2243(2)1y x x x =-+=--，∴顶点E 为（2，1-），令x=0，则3y =， ∴点C 为（0，3）， ∵EF 垂直平分CD ，∴点D 的坐标为（4，3），点F 的坐标为（2，3）， ∵点P 在抛物线243y xx =-+上，则设点P 为（x ，243x x -+），又∵E 为（2，1-），F 为（2，3）， ∴2244(2)222EPx x x k x x x -+-===---，24(4)22FP x x x x k x x --==--， ∵FP EP ⊥， ∴1EP FP k k •=-， ∴(4)(2)12x x x x --•=--，解得：2=x∵点P 在对称轴右侧，则2x >，∴点P 的横坐标为2x = ∴点P 的纵坐标为：22243(2)1(22)12y x x x =-+=--=+-=；（3）如图：过点P 作PI ⊥GH 于点I ，∵点E （2，1-），点P 为（2+，2），∴可求出直线PE 的解析式为：1y =--， ∴∠KPI=60°， ∵PI ⊥GH ，∴∠KIP=90°，∠PKI=30°， ∴PK=2PI ， ∵点G 在抛物线243y xx =-+图像上，则设点G 为（m ，243m m -+），∴点K 的坐标为（m 1--∴GK=2243144m m m m -+--=-++∵第P 的坐标为（2+，2），∴点I 的坐标为（m ，2+，∴PI=2m --∴PK=24m --∵GK =，∴244(24m m m -++=--，解得：12m =+22m =当2m =时，点G 与点P 、点K 重合， ∴0GK PK ==；不符合题意，舍去；∴点G 的横坐标为2+∴点G 的纵坐标为：2(24(2311y =+-⨯++=，∴点G 的坐标为（2+11）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的性质，以及一次函数的性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质，运用数形结合的思想进行解题．17. 如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于AB 、两点， O M AB ⊥于点M ，点P 为直线l 上不与点A B 、重合的一个动点. (1)求线段OM 的长；(2)当BOP △的面积是6时，求点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与OMP 全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，否则，说明理由.【答案】(1)12 5； (2) (-4，6)； (3) (125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125)【解析】【分析】(1)先求得点A 、B 的坐标，可求得OA 、OB 、AB 的长，利用面积法即可求得OM 的长；(2)先画图，确定△BOP 面积可以BO 为底，P 到y 轴距离为高求得P 到y 轴距离，再分类讨论求得答案；(3)分△OMP ≌△PQO 与△OMP ≌△OQP 两种情况讨论，结合图象分析即可求解．【详解】(1)对于直线334y x =-+，令0x =，则3y =，令0y =，则4x =，点A 、B 的坐标分别是(4，0)，(0，3)，∴OA=4，OB=3，5==，∵11••22OA OB AB OM =，∴341255OM ⨯==； (2)过P 作PC ⊥y 轴于C ，如图1，∴12BOPS=OB•PC=6， ∴PC=4，∴点P 的横坐标为4或-4，∵点P 为直线l 上的一个动点且不与A 、B 重合， ∴横坐标为4时，与A 重合，不合题意，∴横坐标为-4时，纵坐标为：()34364-⨯-+=， ∴当点P 坐标为(-4，6)时，△BOP 的面积是6； (3)存在，理由如下：①当△OMP ≌△PQO 时，如图2和图3，由(1)得125OM =， ∴PQ=OM=125，即P 点横坐标为125-或125，纵坐标为：312243455⎛⎫-⨯-+= ⎪⎝⎭或31263455-⨯+=，此时点P的坐标为(125-，245)，(125，65)；②当△OMP≌△OQP时，如图4和图5，∴OQ=OM=125，即即点P、点Q纵坐标为125-或125，由312345x-+=-，解得：365x=；由312345x-+=，解得：45x=；此时点P的坐标为(365，125-)，(45，125)；综上所述，符合条件的点P的坐标为(125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125) ．【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，考查了三角形及全等三角形的性质，体现了数形结合思想和分类讨论思想．解题关键是通过画图进行分类讨论．18. 如图,直线AB与坐标轴分别交于点A、点B,且OA、OB的长分别为方程x2－6x+8=0的两个根（OA＜OB）,点C在y轴上,且OA︰AC=2︰5,直线CD垂直于直线AB于点P,交x轴于点D.（1）求出点A 、点B 的坐标. （2）请求出直线CD 的解析式.（3）若点M 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B 、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直线CD 的解析式:y CD =－2x+7;（3）存在，()1 5.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法得出OA=2，OB=4，即可得出的A ，B 的坐标；（2）首先利用角之间的关系得出①BOA①①COD ，即可得出D 点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；（3）先求出P 点坐标（2，3），再根据平行四边形的性质，当PM=BD ，M 可在第一象限或第二象限，以及BM=PD 时M 在第三象限分别分析直接得出答案．【详解】(1)①2680x x +=－ ①124,2x x ==①OA 、OB 为方程的两个根，且OA ＜OB ①OA=2，OB=4,① A(0,2)，B(－4,0), (2)①OA:AC=2:5 ① AC=5①OC=OA+AC=2+5=7 ① C(0,7),①①BAO=①CAP,①CPB=①BOA=90O ①①PBD=①OCD ①① BOA=①COD=90O ①①BOA①①COD ①=① OD===,①D(,0)设直线CD 的解析式为y kx b =+ 把x=0,y=7;x=,y=0分别代入得：7702b kb =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ①72b k =⎧⎨=-⎩①y CD =－2x+7,(3)存在，()02A ，,()40B -，∴设直线AB 的解析式为：y kx b =+240b k b =⎧∴⎨-+=⎩解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故直线AB 的解析式为：122y x =+ 将直线AB 与直线CD 联立12227y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23x y =⎧⎨=⎩∴P 点坐标()2,3702D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()40B -，7.5BD ∴=当1PM BD 是平行四边形则17.5BD PM ==1 5.5AM ∴=()1 5.53M ∴-，当2PBDM 是平行四边形则27.5BD PM ==29.5AM ∴=()29.53M ∴，P 到x 轴距离等于3M 到x 轴距离，故3M 的纵坐标为-36BE DF BD DE ==-= 6 3.5 2.5FO ∴=-=∴3M 的横坐标为2.5 ∴3M 的坐标为()2.5,3--综上所述M 点的坐标为：()1 5.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，． 19. 【模型建立】（1）如图1，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ⊥ED 于点D ，过点B 作BE ⊥ED 于点E ，求证：△BEC ≌△CDA ；【模型应用】（2）如图2，已知直线l 1：y ＝32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线l 1绕点A 逆时针旋转45°至直线l 2；求直线l 2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B （3，﹣4），过点B 作BA ⊥x 轴于点A 、BC ⊥y 轴于点C ，点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线y ＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD 能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．【答案】（1）见详解；（2）510y x =--；（3）点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）．【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB ，角角边证明△CDA ≌△BEC ；（2）证明△ABO ≌∠BCD ，求出点C 的坐标为（-3，5），由点到直线上构建二元一次方程组求出k=-5，b=-10，待定系数法求出直线l 2的函数表达式为y=-5x-10；（3）构建△MCP ≌△HPD ，由其性质，点D 在直线y=-2x+1求出m=103-或n=0或43-，将m 的值代入，得点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）．【详解】解：（1）如图1所示：∵AD ⊥ED ，BE ⊥ED ， ∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BEC=90°，又∵∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△CDA 和△BEC 中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDA ≌△BEC （AAS ）；（2）过点B 作BC ⊥AB 交AC 于点C ，CD ⊥y 轴交y 轴于点D ，如图2所示：∵CD ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，∴∠CDB=∠BOA=90°，又∵BC ⊥AB ，∴∠ABC=90°，又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD=180°，∴∠ABO+∠CBD=90°，又∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBD ，又∵∠BAC=45°，∴∠ACB=45°，∴AB=CB ，在△ABO 和∠BCD 中，AOB BDC BAO CBD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌∠BCD （AAS ），∴AO=BD ，BO=CD ，又∵直线l 1：y=32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点A 、B 两点的坐标分别为（-2，0），（0，3），∴AO=2，BO=3，∴BD=2，CD=3，∴点C 的坐标为（-3，5），设l 2的函数表达式为y=kx+b （k≠0），点A 、C 两点在直线l 2上，依题意得：2035k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， ∴510k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线l 2的函数表达式为y=-5x -10；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，①若点P 为直角时，如图3甲所示：设点P 的坐标为（3，m ），则PB 的长为4+m ，∵∠CPD=90°，CP=PD ，∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°，。

4、全等三角形模型——三垂直模型

全等三角形模型——三垂直模型真题精炼1、如图，已知：AB=AC，直线m经过点A，点D、E是直线m上两个动点，连接BD、CE．（1）如图1，若∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：DE=BD+CE．（2）如图2，若∠BAC=∠BDA=∠AEC，则（1）中的结论DE=BD+CE是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．3、（16-17学年南师江宁月考）如图，B 、C 、D 三点在同一条直线上，AC CD =，90B E ∠=∠=︒，AC CD ⊥，则不正确．．．的结论是（）A ．A ∠与D ∠互为余角B ．2A ∠=∠C ．ABC CED≌△△D ．12∠=∠4、（16-17学年南外月考）如图，Rt ABC △的直角顶点B 在直线PQ 上，AD PQ ⊥于D ，CE PQ ⊥于E ，且7cm BD CE ==，3cm AD =，则梯形ADEC 的面积是________2cm .5、（17-18学年求真月考）如图，AE ⊥AB ，且AE=AB ，BC ⊥CD ，且BC=CD ，EF=6，BG=3，DH=4，计算图中实线所围成的图形的面积S 是50．6、如图，在正方形ABCD 中，如果AF=BE ，那么∠AOD 的度数是_______.7、（16-17学年育外期中）如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线L ，过A 、C 、D 作L 的垂线，垂足分别为点E 、F 、G .若AE=2，CF=6，则DG 的值为________.8、（17-18学年南师江宁月考）【提出问题】如图①，点B 、A 、C 在同一条直线上，DB BC ⊥，EC BC ⊥，且90DAE ∠=︒，AD AE =，易证DBA △≌ACE △．【类比探究】（1）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若60DAE ∠=︒，120BAC ∠=︒，120B C ∠=∠=︒．求证：DBA △≌ACE △．【知识应用】（2）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若60DAE ∠=︒，120BAC ∠=︒，120B C ∠=∠=︒，若DAC ∠的度数是E ∠的4倍，则D ∠=__________︒．【数学思考】（3）如图②，在DBA △和ACE △中，AD AE =，若(090)DAE αα∠=︒<<︒，2BAC α∠=，当DBA △≌ACE △时，B C ∠=∠=__________．（结果用含有α的代数式表示）。

【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：三垂直全等模型

中考必考几何模型（猿辅导）最新讲义三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.图①图②三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.图③图④DEABC例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.D证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.∴∠BAE＝∠CED.在△ABE和△ECD中，AB C A CED AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ECD .∴AB ＝EC ，BE ＝CD .∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC.例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ E DAB解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°.∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°.∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA .在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEB ≌△ADC .∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm .∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm .例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.xy图①BA (0,3)C (-2,0)O解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D .∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°.由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°.∴∠DBC ＝∠ACO .在△BCD 和△CAO 中，BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△CAO .∴CD ＝OA ，BD ＝OC .∵OA ＝3，OC ＝2.∴CD ＝3，BD ＝2.∴OD ＝5.∴B （－5，2）.（2）如图④，过点A 作AD ⊥y 轴于点D .在△ACD 和△CBO 中，ADC COB DAC OCB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBO .∴CD ＝OB ，AD ＝CO .∵B （－1，0），C （0，3）∴OB ＝1，OC ＝3.∴AD ＝3，OD ＝2.∴OD ＝5.∴A （3，2）. 跟踪练习1．如图，正方形ABCD ，BE ＝CF .求证：（1）AE ＝BF ；（2）AE ⊥BF .F证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△BCF .∴AE ＝BF .（2）∵△ABE ≌△BCF .∴∠BAE ＝∠CBF .∵∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°.∴∠CBF ＋∠AEB ＝90°.∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF .2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是_____.解答：∵a 、b 、c 都是正方形，∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠DCE .在△ABC 和△CBE 中，ABC CED BAC DCE AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△CDE .∴AB ＝CE ，BC ＝DE .在Rt △ABC 中，2AC ＝2AB ＋2BC ＝2AB ＋2DE即b S ＝a S ＋c S ＝5＋11＝16.3．已知，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点P 为BC 上一动点（BP <CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E 、CF ⊥AP 于F .（1）求证：EF ＝CF －BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.P解答：∵BE ⊥AP ，CF ⊥AP ，∴∠AEB ＝∠AFC ＝90°.∴∠F AC ＋∠ACF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＋∠F AC ＝90°，∴∠BAE ＝∠ACF .在△ABE 和△CAF 中，AEB AFC BAE ACF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE －AF ，∴EF ＝CF －BE .（2）如图，EF ＝BE ＋CF .理由：同（1）易证△ABE ≌△CAF .∴AE ＝CF ，BE ＝AF .∵EF ＝AE ＋AF ，∴EF ＝ BE ＋ CF .4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，设∠BCD ＝α，以D 为旋转中心，将腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE .（1）当α＝45°时，求△EAD 的面积；（2）当α＝45°时，求△EAD的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系？若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论.EADB解答：（1）1；（2）1；（3）过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥AD交AD延长线于点F.∵AD∥BC，DG⊥BC，∴∠GDF＝90°.又∵∠EDC＝90°，∴∠1＝∠2.在△CGD和△EFD中，12DGE DFECD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCG≌△DEF∴EF＝CG，∵AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∴BG＝AD＝2，∴CG＝1.∴EADSV＝12AD·EF＝1.∴△EAD的面积与α大小无关.5．向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P. 求证：BC＝2AP.PFD E AG解答：过点G 作GM ⊥AP 于点M ，过点E 作EN ⊥AP 交AP 延长线于点N . ∵四边形ACFG 是正方形，∴AC ＝AG ，∠CAG ＝90°.∴∠CAH ＋∠GAM ＝90°.又∵AH ⊥BC ，∴∠CAH ＋∠ACH ＝90°.∴∠ACH ＝∠GAM .在△ACH 和△GAM 中，AHC GMAACH GAM AC GA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ACH ≌△GAM∴CH ＝AM ，AH ＝GM .同理可证△ABH ≌△EAN∴BH ＝AN ，AH ＝EN .∴EN ＝GM .在△EPN 和△GPM 中，EPN GPMENP GMP EN GM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△EPN ≌△GPM .∴NP ＝MP ，∴BC ＝BH ＋CH＝AN ＋AM＝AP ＋PN ＋AP －PM＝2AP .。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 一线三等角模型的综合应用(解析版)

一线三等角模型的综合应用模型一一线三垂直全等模型如图一 ∠D=∠BCA=∠E=90° BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA 模型二一线三等角全等模型如图二 ∠D=∠BCA=∠E BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【类型一：标准“K ”型图】【典例1】在△ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝BC 直线MN 经过点C 且AD ⊥MN 于D BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时请直接写出DE AD BE之间的等量CD EBA关系．【解答】解：（1）①∵AD⊥MN BE⊥MN∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB∴∠CAD+∠ACD＝90°∠BCE+∠ACD＝90°∴∠CAD＝∠BCE∵在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB∴CE＝AD CD＝BE∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）证明：∵AD⊥MN BE⊥MN∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°∴∠CAD＝∠BCE∵在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD CD＝BE∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）当MN旋转到题图（3）的位置时AD DE BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN BE⊥MN∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°∴∠CAD＝∠BCE∵在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CE＝AD CD＝BE∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【变式1-1】如图∠BAC＝90°AD是∠BAC内部一条射线若AB＝AC BE⊥AD于点E CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【解答】证明：∵∠BAC＝90°∴∠CAF+∠BAE＝90°∵BE⊥AD CF⊥AD∴∠CF A＝∠BEA＝90°∴∠C+∠CAF＝90°∴∠C＝∠BAE∵AB＝AC∴△ABE≌△CAF（AAS）【变式1-2】在△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC直线l经过点A过点B、C分别作l 的垂线垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①若直线l∥BC AB＝AC＝分别求出线段BD、CE和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°）请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°）与线段BC相交于点H请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中延长线段BD交线段AC于点F若CE＝3 DE＝1 求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB＝45°∵l∥BC∴∠DAB＝∠ABC＝45°∠CAE＝∠ACB＝45°∴∠DAB＝∠ABD＝45°∠EAC＝∠ACE＝45°∴AD＝BD AE＝CE∵AB＝AC＝∴AD＝BD＝AE＝CE＝1∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中∠ABD+∠BAD＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD BD＝AE∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中∠ABD+∠BAD＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD BD＝AE∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知∠ABD＝∠CAE DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE ∵∠BAC＝∠ADB＝90°∴△ABD∽△FBA∴AB：FB＝BD：AB∵CE＝3 DE＝1∴AE＝BD＝4∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图△ABC为等腰直角三角形∠ABC＝90°△ABD为等腰三角形AD＝AB＝BC E为DB延长线上一点∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a BE＝b CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a b c 的式子表示）【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°∠BAD＝2∠CAE∴∠BAD＝40°∵AD＝AB∴∠D＝∠DBA＝70°又∵∠ABC＝90°∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）证明：过点A作AF⊥DE于点F过点C作CG⊥DE于点G∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°又∵AD＝BC＝AB∴∠BAC＝∠ACB＝45°∠F AB＝∠DAB＝∠CAE∵∠F AB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°∴∠F AB＝∠CBG＝∠CAE在△BAF和△CBG中∴△BAF≌△CBG（AAS）∴AF＝BG BF＝CG∵∠CBG＝∠CAE∴∠AEF＝∠ACB＝45°∴AF＝EF＝BG BF＝CG∴BF＝EG＝CG∴∠CEG＝∠AEF＝45°∴∠AEC＝90°∴∠BEC＝135°；（3）解：由（2）可知CG＝BF AF＝EF∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC∴S△ABC＝BE•CG＝BE•（AF﹣BE）＝．故答案为：．【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图平面直角坐标系中有点A（﹣1 0）和y轴上一动点B（0 a）其中a ＞0 以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC设点C的坐标为（c d）．（1）当a＝2时则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中试判断c+d的值是否发生变化？若不变请求出其值；若发生变化请说明理由．【解答】解：（1）如图1中过点C作CE⊥y轴于E则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形∴BC＝BA∠ABC＝90°∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE∴∠BCE＝∠ABO在△BCE和△BAO中∴△CBE≌△BAO（AAS）∵A（﹣1 0）B（0 2）∴AO＝BE＝1 OB＝CE＝2∴OE＝1+2＝3∴C（﹣2 3）故答案为：（﹣2 3）；（2）动点A在运动的过程中c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E则∠CEA＝∠AOB∵△ABC是等腰直角三角形∴BC＝BA∠ABC＝90°∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE∴∠BCE＝∠ABO在△BCE和△BAO中∴△CBE≌△BAO（AAS）∵B（﹣1 0）A（0 a）∴BO＝AE＝1 AO＝CE＝a∴OE＝1+a∴C（﹣a1+a）又∵点C的坐标为（c d）∴c+d＝﹣a+1+a＝1即c+d的值不变．【变式3】点A的坐标为（4 0）点B为y轴负半轴上的一个动点分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一若点B坐标为（0 ﹣3）连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二连接CD与y轴交于点E试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形∴OB＝CB BD＝AB∠ABD＝∠OBC＝90°∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O∴∠OBD＝∠CBA∴△OBD≌△CBA（SAS）∴AC＝OD；②如图一、∵A（4 0）B（0 ﹣3）∴OA＝4 OB＝3过点D作DF⊥y轴于F∴∠BOA＝∠DFB＝90°∴∠ABO+∠OAB＝90°∵∠ABD＝90°∴∠ABO+∠FBD＝90°∴∠OAB＝∠FBD∵AB＝BD∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝OB＝3 BF＝OA＝4∴OF＝OB+BF＝7∴D（3 ﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F则∠DFB＝90°＝∠CBF同（1）②的方法得△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝OB BF＝OA＝4∵OB＝BC∴BC＝DF∵∠DEF＝∠CEB∴△DEF≌△CEB（AAS）∴BE＝EF∴BF＝BE+EF＝2BE＝4∴BE＝2．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1 已知：在△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC直线m经过点A BD⊥直线m CE⊥直线m垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角那结论是否会成立呢？如图2 将（1）中的条件改为：在△ABC中AB＝AC D A、E三点都在直线m上并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立请你给出证明；若不成立请说明理由；（3）解决问题：如图3 F是角平分线上的一点且△ABF和△ACF均为等边三角形D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合在运动过程中线段DE的长度始终为n连接BD、CE若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC试判断△DEF的形状并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE理由如下：∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°∵BD⊥m CE⊥m∴∠ADB＝∠CEA＝90°∴∠BAD+∠ABD＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴BD＝AE AD＝CE∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB∠ADB ＝∠BAC∴∠ABD＝∠CAE在△BAD和△ACE中∴△BAD≌△ACE（AAS）∴BD＝AE AD＝CE∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形理由如下：由（2）得△BAD≌△ACE∴BD＝AE∠ABD＝∠CAE∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+F AC即∠FBD＝∠F AE在△FBD和△F AE中∴△FBD≌△F AE（SAS）∴FD＝FE∠BFD＝∠AFE∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°∴△DFE为等边三角形．【变式4】已知在△ABC中AB＝AC D A E三点都在直线m上且DE＝9cm∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①若AB⊥AC则BD与AE的数量关系为CE与AD的数量关系为；（2）如图②判断并说明线段BD CE与DE的数量关系；（3）如图③若只保持∠BDA＝∠AEC BD＝EF＝7cm点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动同时点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动它们运动的时间为t（s）．是否存在x使得△ABD与△EAC全等？若存在求出相应的t 的值；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD∴∠CAE＝∠ABD∵∠BDA＝∠AEC BA＝CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE CE＝AD故答案为：BD＝AE CE＝AD；（2）DE＝BD+CE由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE CE＝AD∴DE＝BD+CE；（3）存在当△DAB≌△ECA时∴AD＝CE＝2cm BD＝AE＝7cm∴t＝1 此时x＝2；当△DAB≌△EAC时∴AD＝AE＝4.5cm DB＝EC＝7cm∴t＝x＝7÷＝综上：t＝1 x＝2或t＝x＝．1．如图∠ACB＝90°AC＝BC AD⊥CE BE⊥CE垂足分别为D E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）试探究线段AD DE BE之间有什么样的数量关系请说明理由．【解答】（1）证明：∵AD⊥CE BE⊥CE∴∠ADC＝∠BEC＝90°∴∠ACE+∠CAD＝90°∵∠ACB＝90°∴∠BCE+∠ACD＝90°∴∠BCE＝∠CAD在△ACD和△CBE中∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：AD＝BE+DE理由如下：∵△ACD≌△CBE∴CD＝BE AD＝CE∵CE＝CD+DE∴AD＝BE+DE．2．如图在△ABC中AB＝AC D、A、E三点都在直线m上并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α若DE＝10 BD＝3 求CE的长．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α∠BAD+∠CAE＝180°﹣α∴∠ECA＝∠BAD在△BAD与△ACE中∴△BAD≌△ACE（AAS）∴CE＝AD AE＝BD＝3∵DE＝AD+AE＝10∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．3．如图把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上在△ABC中∠C ＝90°AC＝BC试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转当AB∥MN时∠2＝45度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中分别作AM⊥MN于M BN⊥MN与N若AM＝6 BN＝2 求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置其他条件不变则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中AB＝AC∠ACB＝90°∴∠B＝∠A＝45°∵AB∥MB∴∠2＝∠B＝45°故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M BN⊥MN于N∴∠AMC＝90°∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°又∵∠1+∠2＝90°∴∠2＝∠CAM同理：∠1＝∠CBN在△AMC和△CNB中∴△AMC≌△CNB（ASA）∴AM＝CN MC＝BN∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM理由：同（2）的方法得△AMC≌△CNB（ASA）∴AM＝CN MC＝BN∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．4．在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC直线MN经过点C且AD⊥MN于D BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时（1）中的结论还成立吗？若成立请给出证明；若不成立说明理由．【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC∠ADC＝∠BEC＝90°∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB∴CD＝BE AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．（2）△ADC≌△CEB成立DE＝AD+BE．不成立此时应有DE＝AD﹣BE．证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC∠ADC＝∠BEC＝90°∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．5.已知△ABC在平面直角坐标系中在△ABC中AB＝BC∠ABC＝90°．（1）如图①已知点A（0 ﹣4）B（1 0）求点C的坐标；（2）如图②已知点A（0 0）B（3 1）求点C的坐标．【解答】解：（1）过点C作x轴的垂线交x轴于点D∵A（0 ﹣4）B（1 0）∴OA＝4 OB＝1∵∠ABC＝90°∠AOB＝90°∴∠CBD+∠OBA＝90°∠OAB+∠OBA＝90°∴∠CBD＝∠BAO∵AB＝BC∠AOB＝∠BDC＝90°∴△BCD≌△ABO（AAS）∴CD＝BO＝1 BD＝AO＝4∴OD＝3∴点C坐标为（﹣3 1）；（2）过B作x轴的垂线交x轴于点D过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E∵A（0 0）B（3 1）∴OD＝3 BD＝1∵∠ABC＝90°∠ADB＝90°∴∠CBE+∠OBD＝90°∠BAD+∠OBD＝90°∴∠BAD＝∠CBE∵AB＝BC∠ADB＝∠BEC＝90°∴△ABD≌△BCE（AAS）∴CE＝BD＝1 BE＝AD＝3∴DE＝4∴点C的横坐标为3﹣1＝2∴点C坐标为（2 4）．6．如图1 在平面直角坐标系中点A（0 m）B（m0）C（0 ﹣m）其中m＞0 点P为线段OA上任意一点连接BP CE⊥BP于E AD⊥BP于D．（1）求证：AD＝BE；（2）当m＝3时若点N（﹣3 0）请你在图1中连接CD EN交于点Q．求证：EN ⊥CD；（3）若将“点P为线段OA上任意一点”改为“点P为线段OA延长线上任意一点”其他条件不变连接CD EN⊥CD垂足为F交y轴于点H交x轴于点N请在图2中补全图形求点N的坐标（用含m的代数式表示）．【解答】（1）证明：如图1中∵A（0 m）B（m0）C（0 ﹣m）∴OA＝OB＝OC＝m∴∠ABC＝90°∵OB⊥AC OA＝OC∴BA＝BC∵CE⊥BP于E AD⊥BP于D∴∠ADB＝∠CEB＝90°∵∠CBE+∠ABD＝90°∠CBE+∠BCE＝90°∴∠ABD＝∠BCE在△ADB和△BEC中∴△ADB≌△BEC（AAS）∴AD＝BE．（2）证明：如图1中设CD交ON于点J EN交CD于点K．∵N（﹣3 0）m＝3∴OA＝OB＝OC＝ON＝3∴AC＝BN∵∠ADP＝∠BOP＝90°∠APD＝∠BPO∴∠DAC＝∠EBN在△ACD和△BNE中∴△ACD≌△BNE（SAS）∴∠ACD＝∠BNE∵∠ACD+∠CJO＝90°∠CJO＝∠NJK∴∠CNE+∠NJK＝90°∴∠NKJ＝90°∴CD⊥EN．（3）解：如图2中∵CE⊥BP于E AD⊥BP于D ∴∠ADB＝∠CEB＝90°∵∠CBE+∠ABD＝90°∠CBE+∠BCE＝90°∴∠ABD＝∠BCE在△ADB和△BEC中∴△ADB≌△BEC（AAS）∴AD＝BE．∠BAD＝∠CBE∵∠CAB＝∠CBO＝45°∴∠CAD＝∠EBN∵EN⊥CD∴∠CFH＝∠NOH∵∠NHO＝∠CHF∴∠ACD＝∠HNO在△CAD和△NBE中∴△CAD≌△NBE（AAS）∴AC＝BN＝2m∴ON＝BN﹣OB＝m∴N（﹣m0）．7．如图1 在平面直角坐标系内A（﹣6 0）B（0 9）C（0 4）连接AB、AC点D为x轴正半轴上一点且S△ACD＝S△ABC．（1）求点D的坐标；（2）如图2 延长DC交AB于点E AE＝AC求点E的坐标；（3）如图3 在（2）的条件下点P在第三象限连接AP、BP、CP若∠CAP＝90°∠BAC＝2∠PCO BP交x轴于点K求点K的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣6 0）B（0 9）C（0 4）∴AO＝6 OB＝9 OC＝4∴BC＝OB﹣OC＝9﹣4＝5∴S△ACB＝×5×6＝15∵S△ACD＝×4•AD＝2AD S△ACD＝S△ABC．∴2AD＝×15∴AD＝10∴OD＝AD﹣OA＝10﹣6＝4∴D（4 0）；（2）过点E作FH∥AD交y轴于点H过点A作F A⊥AD交FH于点F∵x轴⊥y轴∴∠AOB＝90°∵FH∥AD∴∠FHO＝90°∵F A⊥AD∴∠F AO＝90°∵FH∥AD∴∠AFH+∠F AD＝180°∴∠AFH＝90°∴∠AFH＝∠FHO＝∠F AO＝∠AOB＝90°∴四边形AFHO是矩形∵AE＝AC∴∠AEC＝∠ACE∵OC＝OD∴∠COD＝90°∴∠CDO＝∠DCO＝45°∵FH∥AD∠CEH＝∠CDO＝45°且∠AEF+∠AEC+∠CEH＝180°∠ACO+∠ACE+∠DCO＝180°∴∠AEF＝∠ACO在△AEF和△ACO中∴△AEF≌△ACO（AAS）∴AF＝AO EF＝CO＝4∴矩形AFHO为正方形∴AO＝FH＝6∴EH＝FH﹣EF＝6﹣4＝2∴E（﹣2 6）；（3）∵∠BAC＝2∠PCO设∠PCO＝α∴∠BAC＝2α∵AE＝AC∴∠AEC＝∠ACE＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣α∵∠DCO＝45°∴∠ACP＝180°﹣∠DCO﹣∠PCO﹣∠ECA＝180°﹣45°﹣α﹣（90°﹣α）＝45°∵∠CAP＝90°∴∠APC＝180°﹣∠CAP﹣∠ACP＝180°﹣90°﹣45°＝45°∴∠ACP＝∠CAP∴AC＝AP过点A作HR⊥x轴．过点C作CH⊥HR过点P作RT⊥HR∴∠H＝∠CAP＝∠R＝90°∵∠HAC+∠HCA＝180°﹣∠H＝180°﹣90°＝90°∠HAC+∠RAP＝180°﹣∠CAP ＝180°﹣90°＝90°∴∠HCA＝∠RAP在△CHA和△ARP中∴△CHA≌△ARP（AAS）∴HC＝AR HA＝RP∵OA＝6 OC＝4 TB＝OB+OT＝9+6＝15∴HC＝AR＝6∴HA＝RP＝4∴PT＝RT﹣RP＝6﹣4＝2设KO＝a S△BPT＝S梯形KOTP+S△BKO∴（KO+PT）•OT+KO•OB∴×（a+2）×6+a×9解得a＝∴K（﹣0）．8．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想从而借助已有经验迅速解决问题．（1）如图1 在平面直角坐标系中四边形OBCD是正方形且D（0 2）点E是线段OB延长线上一点M是线段OB上一动点（不包括点O、B）作MN⊥DM垂足为M且MN＝DM．设OM＝a请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（2+a a）（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊当基本经验有利于新问题解决的时候这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考让新问题解决不出来的时候这是基本经验的负迁移．例如如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”加上“交∠CBE的平分线与点N”如图2 求证：MD＝MN．如何突破这种定势获得问题的解决请你写出你的证明过程．（3）如图3 请你继续探索：连接DN交BC于点F连接FM下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN平分∠FMB请你指出正确的结论并给出证明．【解答】（1）解：如图1中作NE⊥OB于E∵∠DMN＝90°∴∠DMO+∠NME＝90°∠NME+∠MNE＝90°∴∠DMO＝∠MNE在△DMO和△MNE中∴△DMO≌△MNE∴ME＝DO＝2 NE＝OM＝a∴OE＝OM+ME＝2+a∴点N坐标（2+a a）故答案为N（2+a a）．（2）证明：如图2中在OD上取OH＝OM连接HM∵OD＝OB OH＝OM∴HD＝MB∠OHM＝∠OMH ∴∠DHM＝180°﹣45°＝135°∵NB平分∠CBE∴∠NBE＝45°∴∠NBM＝180°﹣45°＝135°∴∠DHM＝∠NBM ∵∠DMN＝90°∴∠DMO+∠NMB＝90°∵∠HDM+∠DMO＝90°∴∠HDM＝∠NMB在△DHM和△MBN中∴△DHM≌△MBN（ASA）∴DM＝MN．（3）结论：MN平分∠FMB成立．证明：如图3中在BO延长线上取OA＝CF在△AOD和△FCD中∴△DOA≌△DCF∴AD＝DF∠ADO＝∠CDF∵∠MDN＝45°∴∠CDF+∠ODM＝45°∴∠ADO+∠ODM＝45°∴∠ADM＝∠FDM在△DMA和△DMF中∴△DMA≌△DMF∴∠DFM＝∠DAM＝∠DFC过M作MP⊥DN于P则∠FMP＝∠CDF 由（2）可知∠NMF+∠FMP＝∠PMN＝45°∵∠NMB＝∠MDO∠MDO+∠CDF＝45°∴∠NMB＝∠NMF即MN平分∠FMB．（在旋转过程中FM＝AM显然AM的长度是变化的故FM的长度是变化的或取两个特殊位置比较AM的值即可发现结论）．。

部编数学八年级上册全等变化模型四三垂直模型(解析版)含答案

全等变化模型四三垂直模型【模型展示】【模型图解】【模型条件】【模型结论】图1EC AB AED C B =∠=∠=∠,DC AB BC +=图2BC AB AFD C ABC =∠=∠=∠,EC CD AB +=图3,,BC AB AHD ABE ABC =∠=∠=∠BE AD BC +=图4BC AB AED C ABC =∠=∠=∠,DC DE AB +=BC AB AED D ABC =∠=∠=∠,【结论证明】请选取图1、图3、图5分别证明【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等的直角三角形绕平面上一点旋转而得；从图形的结构分析，除一组对应边相等外，只需两直角三角形一组非对应角互余即可得全等。

【知识链接】同角的余角相等、边的数量关系（等量代换）【模型总结】①三垂直模型中有很多边的数量关系，如图解表中所示；②三垂直模型对应边的夹角相等，一般为90°（图4除外）；③三垂直模型易形成等腰直角三角形，解题时要灵活运用。

【模型巩固】【例4-1】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝1cm，求DE的长．【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠E＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴CD＝BE＝1（cm），CE＝AD＝2.5（cm），∴DE＝＝2.5﹣1＝1.5（cm）．【例4-2】如图所示，直线MN一侧有一个等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB．直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为点E，F，∠CAB的角平分线AG交BC 于点O，交MN于点G，连接BG，恰好满足AG⊥BG．延长AC，BG交于点D．（1）求证：CE＝BF；（2）求证：AC+CO＝AB．【解答】证明：（1）∵AE⊥MN，BF⊥MN，又∵∠ACB＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝∠FCB+∠ECA＝90°．∴∠EAC＝∠FCB．在△AEC和△CFB中，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴CE＝BF；（2）∵∠ACB＝90°，AG⊥BG，∴∠CAO＝∠CBD．在△ACO和△BCD中，，∴△ACO≌△BCD（ASA），∴CO＝CD．∴AC+CO＝AC+CD＝AD．∵AG平分∠CAB，AG⊥BG，∴∠D＝∠ABD．∴AD＝AB．综上，AC+CO＝AB．【例4-3】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．（1）求证：AB+CD＝BC．如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．（2）求证：点P是BC的中点.【解答】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，∴△BAP≌△CPD（AAS），∴BP＝CD，AB＝PC，∴BC＝BP+PC＝AB+CD；（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知，EF＝AE+DF，∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，∴BE＝AE，CF＝DF，∴BC＝BE+EF+CF＝2（BE+EP）=BP，∴点P是BC的中点.【例4-4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．（1）求证：CE＝BF；（2）求证：∠AEM＝∠DEM．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACE＝90°，∵∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，在△BCF和△CAE中，∴△BCF≌△CAE（AAS），∴BF＝CE，（2）连接FM，CM，∵△BCF≌△CAE，∴AE＝CF，BF＝CE，∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，∵点M是AB中点，∴CM＝AB＝BM＝AM，CM⊥AB，在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，∴∠DBF＝∠DCM，在△BFM和△CEM中，，∴△BFM≌△CEM（SAS），∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，∵∠BMC＝90°，∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，∴∠MEF＝∠MFE＝45°，∵∠AEC＝90°，∴∠MED＝∠AEM＝45°．【例4-5】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．【解答】（1）证明：如图1，∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，AD＝CE．∴DE＝DC+CE＝AD+BE，即DE＝AD+BE；（2）△DOE等腰直角三角形，理由如下：如图2，连接OC，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O是AB中点，∴AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO＝360°，∴∠EBO+∠ECO＝180°，且∠DCO+∠ECO＝180°，∴∠DCO＝∠EBO，且DC＝BE，CO＝BO，∴△DCO≌△EBO（SAS），∴EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，同理可证：△ADO≌△CEO，∴∠AOD＝∠COE，∵∠AOD+∠DOC＝90°，∴∠DOC+∠COE＝90°，∴∠DOE＝90°，且DO＝OE，∴△DOE是等腰直角三角形．【模型拓展】【拓展4-1】如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H （n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n 为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°,∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，则△MAC≌△OBA（AAS）则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，则∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，则△AOP ≌△PDQ （AAS ）∴OP ﹣DE ＝PQ ＝OA ＝2；（3）结论②是正确的，m +n ＝﹣4，如图3，过点F 分别作FS ⊥x 轴于S 点，FT ⊥y 轴于T 点，则FS ＝FT ＝2，∠FHS ＝∠HFT ＝∠FGT ，在△FSH 和△FTG 中，则△FSH ≌△FTG （AAS ）则GT ＝HS ，又∵G （0，m ），H （n ，0），点F 坐标为（﹣2，﹣2），∴OT ═OS ＝2，OG ＝|m |＝﹣m ，OH ＝n ，∴GT ＝OG ﹣OT ＝﹣m ﹣2，HS ＝OH +OS ＝n +2，则﹣2﹣m ＝n +2，则m +n ＝﹣4．【拓展4-2】如图：已知(,0)A a 、(0,)B b ，且a 、b 满足2(2)|24|0a b -+-=．（1）如图1，求AOB D 的面积；（2）如图2，点C 在线段AB 上（不与A 、B 重合）移动，AB BD ^，且45COD ∠=°，猜想线段AC 、BD 、CD 之间的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，若P 为x 轴上异于原点O 和点A 的一个动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°至PE ，直线AE 交y 轴Q ，点Q ，当P 点在x 轴上移动时，线段BE 和线段BQ 中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．【解答】（1）解：2(2)|24|0a b -+-=Q ，20a \-=，240b -=，2a \=，2b =，(2,0)A \、(0,2)B ，2OA \=，2OB =，AOB \D 的面积12222=´´=；（2）证明：将AOC D 绕点O 逆时针旋转90°得到OBF D ，45OAC OBF OBA ∠=∠=∠=°Q ，90DBA ∠=°，180BDF \∠=°，45DOC ∠=°Q ，90AOB ∠=°，45BOD AOC \∠+∠=°，45FOD BOF BOD BOD AOC \∠=∠+∠=∠+∠=°，在ODF D 与ODC D 中，OF OC FOD COD OD OD =ìï∠=∠íï=î，:ODF ODC \D @D ，DC DF \=，DF BD BF =+，故CD BD AC =+．（3）BQ 是定值，作EF OA ^于F ，在FE 上截取PF FD =，45BAO PDF ∠=∠=°Q ，PAB PD \∠=∠，135E =°，9090BPA EPF EPF PED \∠+∠=°∠+∠=°，BPA PED \∠=∠，在PBA D 与EPD D 中，BPA PED PAB PDE PB PE ∠=∠ìï∠=∠íï=î，()PBA EPD AAS \D @，AP ED \=，FD ED PF AP \+=+，即：FE FA =，45FEA FAE \∠=∠=°，45QAO EAF OQA \∠=∠=∠=°，2OA OQ \==，4BQ \=．。

中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的一线三垂直模型(解析版)

专题03 全等三角形中的一线三垂直模型【模型展示】【已知】如图，ABC ∆为等腰直角三角形，DE CE DE AD ⊥⊥, 【证明】由BAD CBE ABD CBE ABD BAD ∠=∠⇒︒=∠+∠︒=∠+∠90,90，同理BCE ABD ∠=∠，在ABD ∆和BCE ∆中,⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BCEABD BCAB CBE BAD ABD BCE ∆≅∆.,ABD BCE DE AD CE ∆≅∆=+【模型证明】BE△MN于E，则有以下结论成立：△△ADC△△CEB；△DE＝AD+BE【证明】：△证明：△AD△DE，BE△DE，△△ADC＝△BEC＝90°，△△ACB＝90°，△△ACD+△BCE＝90°，△DAC+△ACD＝90°，△△DAC＝△BCE，在△ADC和△CEB中△△ADC△△CEB（AAS）．△证明：由（1）知：△ADC△△CEB，△AD＝CE，CD＝BE，△DC+CE＝DE，△DE＝AD+BE．【结论二】（其他形状一线三垂直）△DE＝AD﹣BE△DE ＝BE ﹣AD【题型演练】一、单选题1．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm【答案】C【详解】由等腰直角三角形的性质可得△ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【分析】解：由题意得△ADC ＝△CEB ＝△ACB ＝90°，AC ＝CB ，△△ACD ＝90°﹣△BCE ＝△CBE ，在△ACD 和△CBE 中， ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD △△CBE （AAS ），△CD ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，△DE ＝CD +CE ＝3a +4a ＝7a ，△a ＝8cm ，△7a ＝56cm ，△DE ＝56cm ，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．2．如图，点P ，D 分别是△ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【答案】A【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【详解】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==BDE ∴∆的面积12BD EF =⋅，142=⨯⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．3．如图，AC ＝CE ，△ACE ＝90°，AB △BD ，ED △BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【详解】解：△AB △BD ，ED △BD ，△90ABC CDE ∠=∠=︒，△△ACE ＝90°，△90ACB DCE ∠+∠=︒，△90ACB BAC ∠+∠=︒，△BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝， △()ABC CDE AAS ≌，△6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，△268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．二、填空题4．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，△ACB ＝90°，AD △DE 于点D ，BE △DE 于点E，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．【答案】13【分析】先根据AD △DE ，BE △DE ，△ADC =△CEB =90°，则△DAC +△DCA =90°，△ABC 是等腰直角三角形，△ACB =90°，可得AC =CB ，推出△DAC =△ECB ，即可证明△DAC △△ECB 得到CE =AD =5，CD =BE =8，由此求解即可．【详解】解：△AD △DE ，BE △DE ，△△ADC =△CEB =90°，△△DAC +△DCA =90°，△△ABC 是等腰直角三角形，△ACB =90°，△△DCA +△BCE =90°，AC =CB△△DAC =△ECB ，△△DAC △△ECB （AAS ），△CE =AD =5，CD =BE =8，△DE =CD +CE =13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．5．如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：△BE △l ，CF △l ，△△AEB =△CF A =90°．△△EAB +△EBA =90°．又△△BAC =90°，△△EAB +△CAF =90°．△△EBA =△CAF ．在△AEB 和△CF A 中△△AEB =△CF A ，△EBA =△CAF ，AB =AC ，△△AEB △△CF A ．△AE =CF ，BE =AF ．△AE +AF =BE +CF ．△EF =BE +CF ．△2,5==BE CF ，△257EF =+=；故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．三、解答题6．已知：如图，AB △BD ，ED △BD ，C 是BD 上的一点，AC △CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE ．【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．【详解】证明：△AB △BD ，ED △BD ，AC △CE （已知）△△ACE ＝△B ＝△D ＝90°（垂直的意义）△△BCA +△DCE +△ACE ＝180°（平角的意义）△ACE ＝90°（已证）△△BCA +△DCE ＝90°（等式性质）△△BCA +△A +△B ＝180°（三角形内角和等于180°）△B ＝90°（已证）△△BCA +△A ＝90°（等式性质）△△DCE ＝△A （同角的余角相等）A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABC △△CDE （ASA ）△BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．7．在△ABC 中，△ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD △MN 于D ，BE △MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△△ADC △△CEB ；△DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，AD =5，BE =2，求线段DE 的长．【答案】(1)△证明见解析；△证明见解析；(2)DE =3【分析】（1）△由已知可知，AD △MN ，BE △MN ，得到90ADC CEB ∠=∠=︒，再根据三角形内角和与平角性质，得到CAD BCE ∠=∠，即可证明ADC CEB △≌△（AAS ）；△根据ADC CEB △≌△，得到AD CE =，DC BE =，即可证明DE =AD +BE ．（2）由已知可知，AD △MN ，BE △MN ，得到90ADC CEB ∠=∠=︒，再根据90CAD ACD ∠+∠=︒、90ACD BCE ∠+∠=︒，得到CAD BCE ∠=∠，可证明ADC CEB △≌△，得到CE AD =，CD BE =，即可求出DE 长．（1）△证明：△AD △MN ，BE △MN ，90ACB ∠=︒△90ADC CEB ACB ∠=∠=∠=︒，△180CAD ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180ACD ACB BCE ∠+∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ADC CEB △≌△（AAS ）；△证明：△ADC CEB △≌△，△AD CE =，DC BE =，△DE CE DC AD BE =+=+；（2）证明：△AD △MN ，BE △MN ，△90ADC CEB ∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒△CAD BCE ∠=∠，在ADC △和CEB △中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADC CEB △≌△（AAS ），△5CE AD ==，2CD BE ==，△523DE CE CD =-=-=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，根据已知准确找到符合全等的条件是解题关键．8．（1）课本习题回放：“如图△，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图△，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图△，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm故答案为：0.8cm ；（2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积， △2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．问题背景：（1）如图△，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图△，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图△，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．【答案】（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【详解】（1）证明：△BD m ⊥，CE m ⊥，△90ADB CEA ∠=∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90BAD CAE ∠+∠=︒，△90BAD ABD ∠+∠=︒，△ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ADB CEA ≌，△AE BD =，AD CE =，△DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+ ，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，△180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠，△ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ △ABD CAE ≌，△AE BD =，AD CE =，△DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，由（1）可知，AEC CFB ≌，△3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，△1OF CF OC =-=，△点B 的坐标为()1,4B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．如图，在ABC 中，AB BC =．（1）如图△所示，直线NM 过点B ，AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ，且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图△所示，直线MN 过点B ，AM 交MN 于点M ，CN 交MN 于点N，且AMB ABC BNC ∠=∠=∠，则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由见解析【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到BAM CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，然后根据全等三角形对应边相等得到AM BN =，BM CN =，然后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+；（2）首先根据三角形内角和定理得到MAB CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，根据全等三角形对应边相等得到MN MB BN =+，最后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+．【详解】证明：（1）△AM MN ⊥，⊥CN MN ，△90AMB BNC ∠=∠=︒，△90ABM BAM ∠+∠=︒，△90ABC ∠=︒，△90ABM CBN ，△BAM CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AMB BNC AAS ≅△△，△AM BN =，BM CN =，△BN MB MN +=，△MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由如下：△180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，△AMB ABC ∠=∠，△MAB CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AMB BNC AAS ≅△△，△AM BN =，NC MB =，△MN MB BN =+，△MN AM CN =+．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，∠=∠．解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到BAM CBN11．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足△BDA ＝△AEC＝△BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由△BDA＝△BAC＝△AEC＝90°得到△BAD+△EAC＝△BAD+△DBA＝90°，进而得到△DBA＝△EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA△△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由△BDA＝△BAC＝△AEC＝α得到△BAD+△EAC＝△BAD+△DBA＝180°﹣α，进而得到△DBA＝△EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA△△EAC，最后得到DE＝BD+CE．（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，△△BDA＝△BAC＝△AEC＝90°，△△BAD+△EAC＝△BAD+△DBA＝90°，△△DBA＝△EAC，△AB＝AC，△△DBA△△EAC（AAS），△AD＝CE，BD＝AE，△DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，△△BDA＝△BAC＝△AEC＝α，△△BAD +△EAC ＝△BAD +△DBA ＝180°﹣α，△△DBA ＝△EAC ，△AB ＝AC ，△△DBA △△EAC （AAS ），△BD ＝AE ，AD ＝CE ，△DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．12．如图，90,ABC FA AB ∠=⊥于点A ，点D 在直线AB 上，,AD BC AF BD ==．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，判断DF 与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【答案】(1)DF =DC ，DF △DC ；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证△ADF △△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证△FDC =90°即可得垂直；（2）先证△ADF △△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证△FDC =90°即可得垂直．（1）解：△90,ABC FA AB ∠=⊥，△90ABC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADF △△BCD ，△DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，△△BDC +△BCD =90°，△△BDC +△ADF =90°，△△FDC =90°，即DF △DC ．（2）△90,ABC FA AB ∠=⊥，△90DBC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADF △△BCD ，△DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，△△BDC +△BCD =90°，△△BDC +△ADF =90°，△△FDC =90°，即DF △DC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是能判断哪两个三角形全等．13．（1）如图1，已知：在△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ，CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意钝角，请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）根据AAS 可证明△ADB △△CEA ，可得AE =BD ，AD =CE ，可得DE =BD +CE ．（2）由已知条件可知△BAD +△CAE =180α︒-，△DBA +△BAD =180α︒-，可得△DBA =△CAE ，结合条件可证明△ADB △△CEA ，同（1）可得出结论．【详解】（1）如图1，△ BD △ 直线m ，CE △直线m ，△△BDA =△CEA =90°，△△BAC =90°，△△BAD +△CAE =90°△△BAD +△ABD =90°，△△CAE =△ABD ，在△ADB 和△CEA 中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB △△CEA （AAS ），△AE =BD ，AD =CE ，△DE =AE +AD =BD +CE ；（2）如图2，△△BDA =△BAC =α，△△DBA +△BAD =△BAD +△CAE =180α︒-，△△DBA =△CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB △△CEA （AAS ），△AE =BD ，AD =CE ，△DE =AE +AD =BD +CE ；【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD =AE ，CE =AD 是解题的关键．14．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由△BDA ＝△BAC ＝△AEC ＝90°得到△BAD +△EAC ＝△BAD +△DBA ＝90°，进而得到△DBA ＝△EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA △△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由△BDA ＝△BAC ＝△AEC ＝α得到△BAD +△EAC ＝△BAD +△DBA ＝180°﹣α，进而得到△DBA ＝△EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA △△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由△BAD ＞△CAE ，△BDA ＝△AEC ＝△BAC ，得出△CAE ＝△ABD ，由AAS 证得△ADB △△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，△△BDA ＝△BAC ＝△AEC ＝90°，△△BAD +△EAC ＝△BAD +△DBA ＝90°，△△DBA ＝△EAC ，△AB ＝AC ，△△DBA △△EAC （AAS ），△AD ＝CE ，BD ＝AE ，△DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，△△BDA ＝△BAC ＝△AEC ＝α，△△BAD +△EAC ＝△BAD +△DBA ＝180°﹣α，△△DBA ＝△EAC ，△AB ＝AC ，△△DBA △△EAC （AAS ），△BD ＝AE ，AD ＝CE ，△DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：△△BAD ＜△CAE ，△BDA ＝△AEC ＝△BAC ，△△CAE ＝△ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△CAE （AAS ），△S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，△S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，△BC ＝3BF ，△S △ABF ＝4，△S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △+S △ACE ＝4，△△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．15．在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC △CEB △；△DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)△证明见解析；△证明见解析(2)证明见解析(3)DE BE AD =-（或者对其恒等变形得到AD BE DE =-，BE AD DE =+），证明见解析【分析】（1）△根据AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ACB ∠=︒，得出CAD BCE ∠=∠，再根据AAS即可判定ADC CEB ∆≅∆；△根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE AD =，CD BE =，进而得到DE CE CD AD BE =+=+；（2）先根据AD MN ⊥，BE MN ⊥，得到90ADC CEB ACB ∠=∠=∠=︒，进而得出CAD BCE ∠=∠，再根据AAS 即可判定ADC CEB ∆≅∆，进而得到CE AD =，CD BE =，最后得出DE CE CD AD BE =-=-；（3）运用（2）中的方法即可得出DE ，AD ，BE 之间的等量关系是：DE BE AD =-或恒等变形的其他形式．（1）解：△AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC ACB CEB ∴∠=∠=︒=∠，90CAD ACD ∴∠+∠=︒，90BCE ACD ∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC ∆和CEB ∆中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC CEB AAS ∴∆≅∆；△ADC CEB ∆≅∆，CE AD ∴=，CD BE =，DE CE CD AD BE ∴=+=+；（2）证明：AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC CEB ACB ∴∠=∠=∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC ∆和CEB ∆中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC CEB AAS ∴∆≅∆；CE AD ∴=，CD BE =，DE CE CD AD BE ∴=-=-；（3）证明：当MN 旋转到题图（3）的位置时，AD ，DE ，BE 所满足的等量关系是：DE BE AD =-或AD BE DE =+或BE AD DE =+．理由如下：AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC CEB ACB ∴∠=∠=∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC ∆和CEB ∆中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC CEB AAS ∴∆≅∆，CE AD ∴=，CD BE =，DE CD CE BE AD ∴=-=-（或者对其恒等变形得到AD BE DE =+或BE AD DE =+）．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．16．（1）如图1，在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ，CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：△ABD △△CAE ；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA ＝△AEC ＝△BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD △△CAE 是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D ，E 是D ，A ，E 三点所在直线m 上的两动点（D ，A ，E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD ，CE ，若△BDA ＝△AEC ＝△BAC ，求证：△DEF 是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得90BDA CEA ∠=∠=︒，而90BAC ∠=︒，根据等角的余角相等得CAE ABD ∠=∠，然后根据“AAS ”可判断ADB CEA ∆∆≌；（2）利用BDA BAC α∠=∠=，则180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，得出CAE ABD ∠=∠，然后问题可求证；（3）由题意易得,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，由（1）（2）易证ADB CEA ∆∆≌，则有AE BD =，然后可得FBD FAE ∠=∠，进而可证DBF EAF ∆∆≌，最后问题可得证．【详解】（1）证明：BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；解：（2）成立，理由如下：α∠=∠=BDA BAC ，180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE ，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：△△ABF 和△ACF 均为等边三角形，△,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，△△BDA ＝△AEC ＝△BAC =120°，△180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒，△CAE ABD ∠=∠，△()ADB CEA AAS ∆∆≌，△AE BD =，△,FBD FBA ABD FAE FAC CAE∠=∠+∠∠=∠+∠，△FBD FAE∠=∠，△DBF EAF∆∆≌（SAS），△,FD FE BFD AFE=∠=∠，△60BFA BFD DFA AFE DFA DFE∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，△△DFE是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．17．已知△ABC中，△ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明．【答案】BE的长为0.8cm；DE=AD+BE．【分析】如图1，由“AAS”可证△ACD△△CBE，可得AD=CE=2.5cm，BE=CD，由线段的和差关系可求解；如图2，由“AAS”可证△ACD△△CBE，可得AD=CE，BE=CD，即可求解．【详解】解：如图1，△△ACB=△BEC=△ADC=90°，△△ACD+△BCE=90°=△ACD+△CAD，△△BCE=△CAD，在△ACD和△CBE中，BEC ADCBCE CADBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△CBE（AAS），△AD=CE=2.5cm，BE=CD，△DE=1.7cm，△BE =CD =CE -DE =2.5-1.7=0.8cm ，△BE 的长为0.8cm ；如图2，DE =AD +BE ，理由如下：△△ACB =△BEC =△ADC =90°，△△ACD +△BCE =90°=△ACD +△CAD ，△△BCE =△CAD ，在△ACD 和△CBE 中，BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD △△CBE （AAS ），△AD =CE ，BE =CD ，△DE =AD +BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．18．在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，且AD △MN 于D ，BE △MN 于E ．(1)直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE ＝AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．【答案】(1)证明见详解(2)DE +BE =AD ．理由见详解(3)DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．理由见详解.【分析】（1）根据题意由垂直得△ADC =△BEC =90°，由同角的余角相等得：△DAC =△BCE ，因此根据AAS 可以证明△ADC △△CEB ，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS 推知△ACD △△CBE ，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE +BE =AD ；（3）由题意可知DE 、AD 、BE 具有的等量关系为：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE等）．证明的方法与（2）相同．(1)证明：如图1，△AD △MN ，BE △MN ，△△ADC =△BEC =90°，△△DAC +△ACD =90°，△△ACB =90°，△△ACD +△BCE =90°，△△DAC =△BCE ，在△ADC 和△CEB 中，△ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△CEB ；△DC =BE ，AD =EC ，△DE =DC +EC ，△DE =BE +AD ．(2)解：DE +BE =AD ．理由如下：如图2，△△ACB =90°，△△ACD +△BCE =90°．又△AD △MN 于点D ，△△ACD +△CAD =90°，△△CAD =△BCE ．在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ACD △△CBE （AAS ），△CD =BE ，AD =CE ，△DE +BE =DE +CD =EC =AD ，即DE +BE =AD ．(3)解：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．理由如下：如图3，易证得△ADC △△CEB ，△AD =CE ，DC =BE ，△DE=CD-CE=BE-AD，即DE=BE-AD．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS、ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．。

专题11 全等三角形中的一线三等角模型(学生版)-中考数学几何模型重点突破讲练

CF l 于点 F．若 BE 2,CF 5 ，则 EF __________．
【例 3】（1）观察理解：如图 1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线 l 过点 C，点 A，B 在直线 l 同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为 D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：如图 2，过△ABC 边 AB、AC 分别向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，AH 是 BC 边上的高，延长 HA 交 EG 于点 I．利用（1）中的结论证明：I 是 EG 的中点．
(1)如图 1，若点 D 在线段 AB 上，判断 DF 与 DC 的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图 2，若点 D 在线段 AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由． 12．在直线 m 上依次取互不重合的三个点 D, A, E ，在直线 m 上方有 AB AC ，且满足 BDA AEC BAC ．
13
100 C． cm2
13
D． 50 cm2 13
3．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所
示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度 a＝8cm，则 DE 的长为（）
A．40cm
B．48cm
C．56cm
D．64cm
专题 11 全等三角形中的一线三等角模型
【模型 1】三垂直全等模型
【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。【模型 2】一线三直角全等模型
【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。【模型 3】一线三等角与一组对应边相等全等模型

常考全等模型初中数学模型

∴∠BOD= ∠AOC.∴△BOD≌△AOC.
∴∠OBD=∠OAC.
又∵∠AKM=∠BKO,∴∠AMK=∠BOK=90°.
故答案为90°.
(2)如解图2,设OA交BD于点K.
∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°,
∴∠BOD=∠AOC.∴△BOD≌△AOC.
∴∠OBD= ∠OAC.
又∵∠AKM=∠BKO,∴∠AMK=∠BOK=60°.
上,AC与DE相交于点O,AB=DE,AB∥DE,AC∥DF.
(1)求证:△ABC≌△DEF.
(2)若∠B=55°,∠EOC=80°,求∠F的度数.
(1)证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.
∠ = ∠,
在△ABC和△DEF中, ∠ = ∠,
= ,
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB.∵AC=5,∴DB=5.∴BD的长是5.
类型3三垂直型全等
已知三个直角、相等的线段.证明过程中多数用到
“同(等)角的余角相等”,从而可证得相等的角.
图示
基本图形2
基本图形1
已知
已知:AB⊥BC,DE⊥CE,
:AB⊥BC,AE⊥BD,
AC⊥CD,AB=CE
顶点
图示
结论
考虑:
△ABC≌
△EDC.
结论:对应角相
等,对应边相等;
△ADF≌△EBF
考虑:
△ABC≌
△ADE.
结论:对应角
相等,对应边
相等
考虑:
△ABC≌
△EBD.
结论:对应角
相等,对应边
相等
3.(2023·广州南沙一模)如图,AB=AD,∠B=∠D,

2018年北师版七下数学一线三等角全等模型

CD E B A 图21图4图BA EC D图3C D E BA C D EB A EDC BA 几何基本模型之三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE 。

模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。

图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。

模型实例例1．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE=DE 。

求证：AB+CD=BC 。

例2．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点D ，AD=2.5cm ，BE=0.8cm 。

求DE 的长。

AB C D EFcb a AB C DEP A B C EF练习1．如图，正方形ABCD ，BE=CF 。

求证：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF 。

2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a=3,c=4,则BE= 。

3．已知，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点P 为BC 上一动点（B P<CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于点E 、CF ⊥AP 于点F 。

（1）求证：EF=CF-BE ；（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论。

4.在三角形ABC中，＜ABC=90度，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D,BE⊥MN 于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.(2)直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，说明理由。