直线的向量方程
点到直线向量距离公式
点到直线向量距离公式
点到线的距离公式向量：│AXo＋BYo＋C│/√（A²＋B²）。
公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0，y0)。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
理解点到直线距离公式的推导过程，并且会使用公式求出定点到定直线的距离；通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识；把两条平行直线的距离关系转化为点到直线距离。
向量点到直线的距离公式是：
设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为：
同理可知，当P（x0，y0），直线L的解析式为y=kx+b时，则点P到直线L的距离为：
考虑点(x0，y0，z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0，y1-y0，z1-z0)×(l，m，n)|/√(l²+m²+n²)。
证明方法
把平面的直线方程Ax+By+C=0，看成是一个xyz空间的方程，它是一个无z方程，也就是个直线柱面（即平面）的方程。
然后求点(x0，y0，0)到这个平面的距离（因为它就=(xy面中点(x0，y0)到Ax+By+C=0的距离，因为这相当于点到空中那个平面在xy的投影线的距离）。
而根据空间中点(x0，y0，z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/[√(A^2+B^2+C^2)]。
直线的方向向量与直线的向量方程
§3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程一．知识梳理1．给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数，以A 为起点作向量AP →＝ta ，这时点P 的位置被完全确定．当t 在R 上变化时，点P 的轨迹是一条通过点A 且平行于向量a 的一条直线l 0.反之，在直线上任取一点P ，一定存在一个实数t ，使AP →＝ta ，向量方程AP →＝ta 通常称作_____________________ __，也表示为OP →＝OA →＋ta 及OP →＝(1－t )OA →＋tOB →2．设O 是空间任一点，M 是线段AB 的中点，则线段AB 中点的向量表示式是OM →＝ _. 3．设空间直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1，v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔________.4．已知两个非零向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α(或l ⊂α)⇔ __________________________________________________________.5. 已知两个不共线的向量v 1，v 2与α共面，则由两平面平行的判定和性质，得α∥β或α与β重合⇔ ；6.设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l 1⊥l 2⇔_________，cos θ＝ ；.二．典型例题[例1] （线线平行）在长方体OAEB －O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P 在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S 在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q 、R 分别是O1B1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS.【例2】（线面平行）如图所示，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M 、N 分别是C1C 、B1C1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【例3】（线线成角） 如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为______．【例4】（线线垂直问题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(Ⅰ)求证：AC ⊥BC 1；(Ⅱ)求证：AC 1∥平面CDB 1．§3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一．知识梳理1．已知平面α，如果一个向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做_____________________________．。
直线的方向向量怎么求
直线的方向向量怎么求
空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）：(x-
x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。
空间直线的一般方程求方向向量
空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。
比如直线x+2y-z=7-2x+y+z=7
(1)先求一个交点,将z随便取值解出x和y不妨令z=0由
x+2y=7-2x+y=7解得x=-7/5,y=21/5所以(-7/5,21/5,0)为直线上一点
(2)求方向向量因为两已知平面的法向量为(1,2,-1),(-
2,1,1)，所求直线的方向向量垂直于2个法向量。
由外积可求方向向量=(1,2,-1)×(-2,1,1)=i j k1 2 -1-2 1 1=3i+j+5k 所以直线方向向量为(3,1,5)
直线的方向向量
直线上的矢量和与之共线的矢量称为直线的方向矢量。
所以只要给定直线，便可构造两个方向向量（以原点为起点）。
即已知直线l：ax+by+c=0，则直线l的方向向量为
d1=(-b,a)或d2=(b,-a)。
已知定点Pο（xο,yο,zο)及非零向量v={l,m,n},则经过点Pο且与v平行的直线L就被确定下来，因此，点Pο与v是
确定直线L的两个要素，v称为L的方向向量。
由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个。
直线的方向向量与直线的向量方程教案
教学重点、 重点：平面的法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及其逆定理。
难点 难点：平面的法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及定理的应用。
根据诱思探究学科教学论中提出的学习方式来设计教学过程，遵循“探索—— 研究
教学方法 —— 运用”规律，侧重学生的自主学习，让学生动脑思考，整个教学过程贯穿“体验
4
（法向量在立体几何中的应用，使学生进一步明确学习法向量的意义） 练习 1：已知正方体 ABCD ABCD，分别写出平面 ABCD，平面 ABCD ，平面 ABCD 的一个法向量，并证明平面 ABCD 和平面 ABCD 互相垂直。 （学生思考交流，给出答案） 4．确定平面的法向量： 三、概念应用
（通过回顾 4 引出法向量概念，并暗示平面法向量的求法） 二、概念形成
1．平面的法向量的定义：
已知平面 ，如果向量 n 的基线与平面 垂直，则向量 n 叫做平面 的法向量，或说向量 n 与平
面 正交。
（首先教师口述，之后学生看书填写学案法向量定义） 思考：
（1）平面 的一个法向量和与平面 共面的向量的关系是什么？
a
与
b
的夹角公式：______________________________________；
2． a
// b
__________________________；
a
b
__________________________；
3．共面向量定理：________________________________________________________；
// 或 与 重合 ____________________________________
高二数学 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二) 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量则l1⊥l2⇔________，cos θ＝________________.2．求两直线所成的角应注意的问题：在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝v1·v2|v1||v2|.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取________作为两直线的夹角．探究点一两条直线垂直问题怎样利用向量证明两直线垂直？例1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点．求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C.跟踪1在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE ＝BF，求证：A1F⊥C1E.例2 已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA ＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．跟踪2长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是面A1B1C1D1与面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．探究点三探索性问题例3已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M为底面BC边的中点，N为侧棱CC1上的点．(1)当CNCC1为何值时，MN⊥AB1；(2)在棱A1C1上是否存在点D，使MD∥平面A1B1BA，若存在，求出D的位置；若不存在，说明理由跟踪3 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD .问当CD CC 1的值等于多少时，A 1C ⊥BD 且 A 1C ⊥BC 1?【达标检测】1. 若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则 ( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．52C ．12D ．33. 在正四面体ABCD 中，点E 为BC 中点， 点F 为AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为( )A. 13B. 12C. 23D. 634.如图所示，三棱柱OAB —O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值．【课堂小结】用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程(二)一、基础过关1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．以上均错 2.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°4．已知A (3,0，－1)、B (0，－2，－6)、C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对5．A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) A.3010 B.12 C.3015 D.1510 6．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.二、能力提升7．设ABCD 、ABEF 都是边长为1的正方形，F A ⊥平面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角为________．8．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．9．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________．10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 为正方形ABCD 的中心，证明OA 1⊥AM .11.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．12.直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．三、探究与拓展13．已知△ABC，∠C＝90°，SA⊥面ABC，且AC＝2，BC＝13，SB＝29，求异面直线CS与AB所成角的余弦值．。
高中数学直线的方向向量与直线的向量方程知识点解析
知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平
面平行
1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1 与l2重合⇔ v1∥v2 . 2.已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v， 则由共面向量定理，可得 l∥α或l在α内⇔ 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2 .
2 题型探究
PART TWO
题型一 空间中点的位置确定
例1 已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以A→B 的方向为正向，在直线AB上建立 一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2；求点P的坐标.
(2)AQ∶QB＝2∶1.求点Q的坐标.
解 因为AQ∶QB＝2∶1， 所以A→Q＝－2Q→B，O→Q－O→A＝－2(O→B－O→Q)， O→Q＝－O→A＋2O→B，
2.求两直线所成的角应注意的问题
在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以
cos〈v1，v2〉＝
v1·v2 |v1||v2|
.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，
当〈v1，v2〉为钝角时，应取其 补角 作为两直线的夹角.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
|AB|
点 C 的坐标为
A.72，－21，52
B.83，－3，2
√C.130，－1，73
D.52，－27，32
解析 设C(x，y，z)， →
直线的方向向量和法向量
量常用 n k , 1 ，当斜率不存在时的法向量常用 n 1,0 。 3、若直线方程是 Ax By C 0 ，则其法向量常用 n A, B ，向量常用 a B, A 。
例 1、 （1）直线 l 的倾斜角是 150 ，则该直线的一个方向向量是
例 3、 直线 l1 : px qy 3 0, l2 : sx ty 3 0, 相交于点 M (3 4) ， 求过点 P 1 ( p, q), Q( s, t ) 的直线方程。
直线的方向向量和法向量 点法式方程
直线的方向向量与法向量 1、 与一条直线平行或在直线上的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存
在时的方向向量常用 a 1, k ，当斜率不存在时的方向向量常用 a 0,1 。
2、 与一条直线垂直的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存在时的法向
Байду номын сангаас
（2）直线 l 的方向向量是 a (3, 3sin ) ，则该直线的倾斜角的取值范围是 （3）直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a (2,1), b (3,1) ，则这两直线的夹角是 （4）直线 l 上两点 P ，斜率= 1 1,2 , P 2 2, a ，其方向 a 1,0 ，则 a
。
直线的点法式方程：直线过点 P( x0 , y0 ) ，法向量 a=(A，B) ，则直线方程是
A x x0 B y y0 0
例 2、 （1）写出直线 x 2 y 3 0 的一个方向向量和法向量； （2）直线 l 过点 P(3,8) ，且与直线 x 2 y 3 0 平行，求该直线。垂直呢？
直线的向量方程
即
y
y0
μ
(x
x0 )
A(x,y)
O
x
设 kμ
则 y y0 k(x x0 )
这称为直线的点斜式方程.
如图,若直线l经过定点A，B，P为l上任意一点.
因为 PA ∥PB
所以,直线l的向量方程为:
Bl
OP OA t AB
P A
OP OA t(OB- OA)
所以, OP (1t)OA tOB(t R)
（1）直线的向量方程 （2）直线的点斜式方程 （3）直线的参数方程
所以,直线l的参数方程为：
x x0 at
O
x
(t为参数，t∈R)
y y0 bt
1 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.
解： 设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,
则AB (x 1, y 2) AP ∥a
(x 1) 3(y 2) 0 即x 3y 7 0 所求直线的方程为x 3y 7 0
A
变化在整条直线上变动.
Pl
O
上式可以用来描述直线l动点P的轨迹,称为直线的向量方程.
设定点A的坐标是(x0y0),动点P的坐标是(x,y),向量v=(λ,μ)(v既不
垂 y0)
y
因为 AP∥v
所以 μ
v l P(x0y0)
x x0 y y0
2 已知直线l :Ax+By+C=0,求证向量(A,B)⊥l.
解： 设(x0,y0)是直线l的一个解,
则Ax0 By0 C 0
①
对l的方程和①式两边作差
直线与平面的向量方程
直线与平面的向量方程直线与平面的交点问题在向量的应用中非常重要。
本文将介绍直线与平面的向量方程，并以几个实例加以说明。
一、直线的向量方程直线可以由一点和一个方向向量唯一确定。
设直线上一点为P，其位置向量为r，方向向量为d，则直线上任意一点Q的位置向量为r + td，其中t为实数。
因此，直线的向量方程为：r = a + td其中，a是直线上的已知点，d是直线的方向向量。
例如，考虑过点A(1, 2, -1)且平行于向量u = (2, 1, 0)的直线l。
位置向量为r，方向向量为d，则直线l的向量方程为：r = (1, 2, -1) + t(2, 1, 0)二、平面的向量方程平面可以由一个已知点和两个不共线的方向向量唯一确定。
设平面上一点为P，其位置向量为r，两个方向向量为a和b，则平面上任意一点Q的位置向量为r + sa + tb，其中s和t为实数。
因此，平面的向量方程为：r = c + sa + tb其中，c是平面上的已知点，a和b是平面的方向向量。
例如，考虑过点B(2, -1, 3)、且与向量u = (1, 1, 1)和v = (0, 1, -1)共面的平面P。
位置向量为r，方向向量为a和b，则平面P的向量方程为：r = (2, -1, 3) + s(1, 1, 1) + t(0, 1, -1)三、直线与平面的交点直线与平面的交点可以通过求解它们的向量方程组来得到。
设直线的向量方程为r = a + td，平面的向量方程为r = c + sa + tb，将两个向量方程联立并消去t，得到：(a - c) + t(d - sa - tb) = 0由于两个向量线性无关，因此它们的系数必须为0。
解这个方程组即可求得直线与平面的交点。
例如，考虑直线l的向量方程为r = (1, 2, -1) + t(2, 1, 0)，平面P的向量方程为r = (2, -1, 3) + s(1, 1, 1) + t(0, 1, -1)。
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程【公开课】
谢谢!
x
A
例1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB, OQ OA 2(OB OQ), OQ OA 2OB,
l z Q B P
O
x
A
y
设点Q的坐标为( x, y, z ),则上式换用坐标表示， 得 ( x, y, z ) 2(2,4,0) 2(1,3,3) (0,2,6) 即x 0, y 2, z 6 因此, 点Q的坐标是(0,2,6).
证明:因为x y 1, 所以y 1 x
即MA x MB ห้องสมุดไป่ตู้ (1 x) MC x( MB MC ) MC MA MC x( MB MC ) 即CA xCB 所以A, B, C三点共线
跟踪练习2
OA 2OB 3OC, 则A, B, C三点是否共线？
点,这就是线段AB中点的向量表达式. ⑵ ③中
OP 、 OA 、 OB有共同的起点.
⑶ ③中OA 、 OB的系数之和为1.
• 思考探究： • 观察到空间直线向量参数方程中的系数满 足（1－t）＋t＝ 1, 这与点A , P , B三点共 线有关系吗？ • （1）若令t＝0或1， 则点P在直线AB的什 么位置？ • （2）若令t＝或2， 则点P在直线AB的什么 位置？ • （3）若令t＝或3， 则点P在直线AB的什么 位置？ • （4）若令t＝－1， 则点P在直线AB的什 么位置？
3.2 空间向量在立体几 何中的应用
已知向量a，在空间固定一个基
点，再作向量 OA a ，则点A在空间 的位置就被向量a所惟一确定了，这
时，我们称这个向量为位置向量。
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3．2 空间向量在立体几何中的应用3．2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学习 目 标核 心 素 养1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程．(重点)2.会用向量方法证明线线、线面、面面平行．(难点、易混点)3.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角．(难点)1.通过学习直线的方向向量及方向方程等概念，培养学生的数学抽象素养.2.利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升学生的逻辑推理素养.1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l 上给定一个定点A 和它的一个方向向量a ，对于直线l 上的任意一点P ，则有AP →＝ta 或OP →＝ 或OP →＝ AB →＝a )，上面三个向量等式都叫做空间直线的 ．向量a 称为该直线的方向向量．(2)线段AB 的中点M 的向量表达式OM →＝12．2．用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔ .(2)已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝ .(3)已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔ .3．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v 1和v 2分别是l 1和l 2的方向向量，则l 1⊥l 2⇔2，cos θ＝||.1．直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1＝(3,0,1)，v 2＝(－1,0，m )，若l 1∥l 2，则m 等于( )A ．1B ．3 C.13D ．－132．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A ．(2,2,6) B ．(1,1,3) C ．(3，l,1)D ．(－3,0,1)3．直线l 1与l 2不重合，直线l 1的方向向量为v 1＝(－1,1,2)，直线l 2的方向向量v 2＝(2,0,1)，则直线l 1与l 2的位置关系是________．空间中点的位置确定C (0,3,5)．(1)若OP →＝12(AB →－AC →)，求P 点的坐标；(2)若P 是线段AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶2，求P 点的坐标．[思路探究] (1)由条件先求出AB →，AC →的坐标，再利用向量的运算求P 点的坐标．(2)先把条件AP ∶PB ＝1∶2转化为向量关系，再运算． [解] (1)AB →＝(－1,1,5)，AC →＝(－3，－1,5)． OP →＝12(AB →－AC →)＝12(2,2,0)＝(1,1,0)．∴P 点的坐标为(1,1,0)．(2)由P 是线段AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶2，知AP →＝12PB →.设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －3，y －4，z )，PB →＝(2－x,5－y,5－z )， 故(x －3，y －4，z )＝12(2－x,5－y,5－z )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝12(2－x )y －4＝12(5－y )，z ＝12(5－z )得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83y ＝133.z ＝53因此P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，133，53.此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可.1．已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝2∶1. 求点P 和点Q 的坐标．利用向量法求异面直线的夹角【例2】(1)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110 B.25 C.3010 D.22(2)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．[思路探究](1)建立空间直角坐标系，表示出BM→，AN→的坐标，利用向量法求解；(2)以A为原点，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，表示出向量AF→，EM→的坐标，建立函数关系式讨论最值．(1)C(2)25[(1)以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，∴AN→＝(－1,0，－2)，BM→＝(1，－1，－2)，∴cos〈AN→，BM→〉＝AN→·BM→|AN→||BM→|＝－1＋45×6＝330＝3010.(2)以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为2，M(0，y,2)(0≤y≤2)，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，F (2，1,0)，∴EM →＝(－1，y,2)，|EM →|＝y 2＋5，AF →＝(2,1,0)，|AF →|＝5，∴cos θ＝|EM →·AF →||EM →||AF →|＝|y －2|5·y 2＋5＝2－y 5·y 2＋5.令t ＝2－y ，要使cos θ最大，显然0<t ≤2. ∴cos θ＝15×t 9－4t ＋t 2＝15×1⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －232＋59≤15×1⎝ ⎛⎭⎪⎫32－232＋59＝15×25＝25. 当且仅当t ＝2，即点M 与点Q 重合时，cos θ取得最大值25.]利用向量求异面直线所成角的步骤 (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角.提醒：两异面直线夹角范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键.2．如图所示，已知正四棱锥P -ABCD 底面边长为a ，高PO 的长也为a ，E ，F 分别是PD ，PA 的中点，求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值．利用空间向量处理平行问题1．直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？ [提示] (1)非零性：直线的方向向量是非零向量．(2)不唯一性：直线l 的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量.(3)给定空间中的任一点A 和非零向量a ，就可以确定唯一一条过点A 且平行于向量a 的直线．2．两条平行直线的方向向量有什么关系？[提示] 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝λb . 【例3】 (1)已知直线l ∥平面ABC ，且l 的一个方向向量为a ＝(2，m,1)，A (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，则实数m 的值是________．(2)如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证：FC 1∥平面ADE .(1)－3 [AB →＝(1,0，－1)，AC →＝(0,1，－1)．因为l ∥平面ABC ，所以存在实数λ，μ，使a ＝λAB →＋μAC →， 即(2，m,1)＝λ(1,0，－1)＋μ(0,1，－1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，m ＝μ，－λ－μ＝1，解得m ＝－3.](2)[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0，0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)．所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)， 因为DA ⊂平面ADE ， AE ⊂平面ADE ，且(0,2,1)＝0×(2,0,0)＋1×(0,2,1)， 即FC 1→＝0×DA →＋1×AE →，所以有FC 1⊂平面ADE 或FC 1∥平面ADE ， 又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .1．(改变问法)本例3中若G ，H 分别为AD ，B 1C 1的中点．试求证EG ∥FH . 2．(改变问法)本例3条件不变，改为求平面ADE ∥平面B 1C 1F .(1)证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行.(2)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内.(3)利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行.提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点.1．思考辨析(1)直线l 的方向向量是唯一的．( )(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) (3)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量ka 也是直线l 的一个方向向量．( )2．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)D ．(3,2,1) 3．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( )A ．－25B.25 C ．－255D.2554．若AB →＝aCD →＋bCE →(a ，b 为实数)，则直线AB 与平面CDE 的位置关系为________．。
3.2.1直线的方向向量与直线向量方程
能力训练
2.已知两点 A , 点 Q 在 OP （， 1 2， 3 ）,（ B 2， 1， 2 ）,（， P 1 1， 2 ） 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.
解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3
O
x
设点P坐标为(x, y,z),则上式换用坐标表示 ,得 2 1 y A (x, y,z) (2,4,0) (1,3,3), 3 3
5 11 所以, x ,y , z 1 3 3 5 11 因此, 点P的坐标是 ( , ,1 ) 3 3
2 1 OP OA OB. 3 3
例1
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
基础知识
2.直线的向量方程:
定点A，向量
a ，t R, P , a //
则： AP ta
为直线 的参数方 程，其中t为参数 称为直线的方向向量
a
A
O
P
a
OP OA ta, t R
基础知识
2.直线的向量方程:
P
① AP ta, t R ② OP OA ta, t R
5.A，B，C，三点不共线，四点A，B，C，M 共面的充要条件是：
AM xAB y AC,( x, y R)
图示：
M
C A B
基础知识
6.用向量方法证明平面与平面平行:
两个不共线向量 v1 , v2 与平面 共面
// 或与 重合 v1 // 且v2 //
v1
(2)因为AQ : QB 2, 所以 AQ 2QB,
直线的方向向量与直线的向量方程
1 (2)MN∥AD1 ,并且 MN AD1 . 2 D1
C1
C
例9. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是面对角线 BA1和AC的前三等分点. 求证： EF∥侧面A1B1CD.
EF EB BA AF
D1 B1
C1
D
F
E
C B
课堂小结
一、基础知识
（一）用向量表示直线或点在直线上的位置
1. 空间直线的向量参数方程（用向量表示直线）： AP ta OP OA ta OP (1 t )OA tOB 2. 用向量表示点在直线上的位置： OP (1 t )OA tOB
l1⊥l2 v1 ⊥ v2
l2
v2
v1 l1
三、用向量运算求两条直线所成的角
思考：
两条直线所成的角与这两条直线的方向
向量的夹角之间有什么关系？
l2 l2
v2
v1 l1
v2
v1 l1
三、用向量运算求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为θ ，则它们的 方向向量的夹角与θ 相等或互补.
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 ，则
B(1,1, 0), C (0,1,0), B1 (1,1,1), 1 1 1 1 A1 A1 (1,0,1), M (1,1, ), N ( , , ), 2 2 2 2 BB1 (0,0,1), AC (1,1, 1), 1 1 1 MN ( , , 0), D 2 2 1 1 MN BB1 0 ( ) 0 0 1 0 2 2 A 1 1 MN A1C (1) ( ) 1 0 (1) 0 2 2 MN BB1; MN AC 1 .
平面向量的直线和直线方程
平面向量的直线和直线方程直线是几何学中的基础概念，它在平面向量中有着重要的应用。
本文将介绍平面向量的直线及其方程，并探讨其相关性质和应用。
一、平面向量的直线定义在平面直角坐标系中，若存在两个向量a和b，且b不为零向量，则a + tb（t为实数）所表示的点集合，称为平面向量的直线。
其中，向量a被称为直线的方向向量，b被称为直线上的一点。
二、直线的方程1. 参数方程通过向量a和b，我们可以得到直线的参数方程。
设直线上有一点P，其坐标为(x,y)，根据向量的加法运算，我们可以得到向量OP = OA + AP的关系。
即OP = OA + AP = OA + t(b)其中，t为实数，表示向量b的倍数。
根据坐标的定义，可以得到OP = (x,y)OA = (x₀,y₀)AP = (tb)则上述关系可以进一步简化为(x,y) = (tx₀ + x₀, ty₀ + y₀)这就是直线的参数方程。
2. 一般方程将参数方程中的参数t消去，即可得到直线的一般方程。
我们通过同除以b的模长来消去t，即x - x₀ / b₁ = y - y₀ / b₂其中，b₁和b₂分别为向量b在x轴和y轴上的分量。
该方程即为直线的一般方程。
三、直线的性质和应用1. 直线的斜率在直线的一般方程中，我们可以观察到，两个点的坐标之差与向量b成正比。
设斜率为k，则有(k₁ - k) / (k₂ - k) = (x₁ - x) / (y₁ - y)其中，(k₁, k₂)和(x₁, y₁)分别为直线上任意两点的坐标。
这个性质可以用来计算直线的斜率，进而判断直线的倾斜方向和斜率的大小。
2. 直线的垂直与平行关系若有向量m和向量n，且它们的点积为零，则两个向量垂直。
同样地，若向量p和向量q的比值为实数k，则两个向量平行。
利用这个性质，我们可以判断两条直线是否垂直或平行。
3. 点到直线的距离设直线的一般方程为Ax + By + C = 0，点P(x₀, y₀)为直线外的一点。
高二数学选修课件：3-2-1直线的方向向量与直线的向量方程
第三章
空间向量与立体几何
5．设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的
夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2， 则l1⊥l2⇔______________________________. [答案] 1.直线l的参数方程(t为参数)
1 → → 2.2(OA＋OB)
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2．过程与方法
用向量的观点研究直线和直线与直线的位置关系． 3．情感态度与价值观 让学生体会代数与几何的完美结合，说明事物可以相 互联系与相互转让的．
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
重点：理解直线的向量参数方程及向量中点公式． 难点：利用向量证明平行垂直问题．
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第三章
空间向量与立体几何
[说明]
证明线平行于面， 可以有两种方法(以后还可
→ 用法向量证)，一是在平面 A1BD 内找一向量与MN共线， → 二是将MN用平面 A1BD 中两不共线向量线性表示． 在上面 两种方法中既可以建立空间坐标系证明， 也可以利用向量 分解等运算进行证明．
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第三章
空间向量与立体几何
在正方体AC1 中，O，M分别为BD1 ，D1C1 的中点．证 明：OM∥BC1. [解析] 以D为原点，DA，DC，DD1 所在直线为x，y， 教
B 版 数 学 人
z轴建立直角坐标系Dxyz.
设正方体的棱长为 2， O(1,1,1)， 则 M(0,1,2)， B(2,2,0)， → → C1(0,2,2)，OM＝(－1,0,1)，BC1＝(－2,0,2)， → ＝1BC1，∴OM∥BC1，∵O∉BC1， → → → ∴OM 2 ∴OM∥BC1.
课件6：3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
一、复习引入
立体几何的基本要素是空间内的点、线、面、 体，我们利用空间向量来研究立体几何，关键是先 要学会利用向量来表示空间内的点与直线.进而利 用空间向量研究空间的点、线、面的位置关系.
二、提出问题 如何确定空间中的点的位置？ 确定平面内点的位置，通常采用两个方法——“平面 直角坐标系内的坐标(x,y)”或“该点相对于某一已知 点的方向及距离”.那么，空间内呢？
l1 / /l2或l1与l2重合 1 / / 2
也可写成
l1 / /l2或l1与l2重合 1 2
三、概念形成
概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行， 平面与平面平行
2.用向量的方法证明线面平行
设两个不共线向量
1和
与平面
2
共面，直线
l
的一个方
向向量为 ，则
l1 / /或l x, y R, 使 x1 y 2
＝42＋32－02＝25，
M→N·A→C＝12(b＋c－a)·(c－a) ＝12(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2)
＝12125＋9－10－0＋16＝445.
cos θ＝|cos〈M→N，A→C〉| ＝||MM→→NN|·|AA→→CC||
45
＝
4 45
＝3105.
4 ×5
∴直线 MN 与 AC 所成角的余弦值为3105.
五、课堂练习 课本第101页，练习A，1，2，3
六、课堂总结 1.用向量表示空间直线或点在直线上的位置；
2.用空间向量证明空间的平行关系； 3.用空间向量证明空间的垂直关系及异面直线所称的角；
4.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建 立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直 角坐标运算法则进行计算或证明.
3.2.1《直线的方向向量与直线的向量方程》课件(人教B版选修2-1)
→ 【解】 AB＝(－1，－1,3)是直线 AB 的方向向量． → 1→ 由 AP∶PB＝1∶2，得AP＝ AB. 3 设点 P 坐标为(x，y，z)， 1 则(x－2，y－3，z)＝ (－1，－1,3)， 3
1 1 即 x－2＝－ ，y－3＝－ ，z＝1， 3 3 5 8 解得 x＝ ，y＝ ，z＝1. 3 3 5 8 因此，点 P 的坐标是3，3，1.
又 FC1⊄平面 ADE，AE⊂平面 ADE， ∴FC1∥平面 ADE. → → (2)∵FB1＝(2,2,1)，DE＝(2,2,1)， → → ∴FB1＝DE，∴FB1∥DE. 又 FB1⊄平面 ADE，DE⊂平面 ADE， ∴FB1∥平面 ADE， 又由(1)知 FC1∥平面 ADE， 而 FB1∩FC1 ＝F， ∴平面 ADE∥平面 B1C1F.
者相等，当两方向向量的夹角是钝角时，
应取其补角作为两直线所成的角．
课堂互动讲练
考点突破 确定直线上任一点的位置
利用直线上的一个已知点和直线的方向向 量可以确定直线的位置，进而利用向量的 运算确定直线上任一点的位置．
例 在1空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A(2,3,0) 、
B(1,2,3) ， P 是直线 AB 上的一点，且满足 AP ∶ PB ＝1∶2，试求点P的坐标． 【思路点拨】 把AP∶PB＝1∶2转化为向量， 尽一步得关于坐标等式求解．
利用向量证明两直线垂直或 求两直线所成的角 1．证明两直线垂直，可转化成两直线的方向向
量垂直，即证其数量积为零．
2．求两条异面直线所成角常用的方法有两种：
即通过两条直线方向向量的夹 向量法 角来求两条异面直线的夹角． 由两条异面直线所成角定义将 求两条异面直线所成角的大小 定义法(平移法) 转化为平面角求解．求解的方 法是解三角形.
直线的向量方程
OP xOA yOB (x y 1）
例1：已知两点A（1，- 2，3），B（2，1，- 3），求A，B连线与 三坐标平面的交点。
分析：
设AB连线与yoz平面的交点为C（0，y1，z1），
由OC （1 t）OA tOB得
（0，y1，z1）（1 t）(1, -2,3) t(2,1, -3)
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、（b b 0），a / /b的
充要条件是存在唯一的实数，使a＝b.
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在唯一的实数对x，y，使 p＝xa＋yb.
点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 向量OP称为点P的位置向量.
（0，y1，z1） (1 t，- 2 3t，3- 6t）
OC （0， 5，9）
（5，0，1），( 7 , 1 , 0)
33
44
练习：已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在 OP上运动，求当QA QB取得最小值时，点Q的坐标。
P
O
直线的向量参数方程
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一线 l 上的任一点P ,
存在实数 t 使得 AP t AB
a
此方程称为直线的向量参数方程。这
样点A和向量a 不仅可以确定直线 l的
B 位置，还可以具体写出l上的任意一点。
A
OP OA ta ，
向量方程式
向量方程式向量是数学中非常重要的一个概念，一个向量可以用一个带箭头的线段表示。
在二维空间中，向量的两个分量可以用一个二维向量表示。
但是，在三维空间中，向量需要用三个分量来表示。
这三个分量可以用一个三维向量表示。
在数学中，向量可以用数学公式表示。
常见的向量公式有点积、叉积和向量方程式等。
向量方程式是指用向量表示的方程式，用来描述一条直线、平面或者空间中一个形状的方程式。
它包含了向量的基础性质，可以通过向量公式进行解析。
一条直线的向量方程式可以用两点来表示。
若直线上存在两点 A(x1, y1, z1) 和 B(x2, y2, z2)，则向量 a 和 b 可以表示这条直线。
向量 AB 表示直线的方向向量，而 OA 和 OB 可以表示直线上的任意一点。
则有以下向量方程式：OA = a + t ABOB = b + s AB其中，t 和 s 是任意实数。
对于一个平面，它可以由一个点和它的法向量来表示。
若平面上存在一个点 A(x1, y1, z1)，法向量为 n，则向量 r 表示平面上所有点的位置向量。
平面方程为：n · (r - A) = 0其中，·表示点积。
一条空间曲线的方程也可以用向量方程式表示。
若曲线上存在两点A(x1, y1, z1) 和 B(x2, y2, z2)，一个参数 t 可以用来表示曲线上的一个点。
则曲线可以表示成以下向量方程式：r = a + t AB其中，AB 是曲线的方向向量。
向量方程式不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理学、工程学等学科中也有重要的作用。
在物理中，通过运用向量方程式，我们可以描述质点的运动轨迹，以及相对速度、相对位置等问题。
在工程学中，向量方程式被应用于机器人的运动规划、物料运输等领域。
因此，学习和掌握向量方程式对于我们的职业发展和学术研究都具有重要的意义。
总之，向量方程式是向量概念的重要应用之一，在数学、物理、工程等学科中都有着广泛的应用。
学习并掌握向量方程式的基本理论和应用可以为我们未来的发展打下坚实的基础。
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（0，y1，z1）（ − t） -2,3) + t (2,1, -3) = 1 (1, （0，y1，z1） (1 + t，2 + 3t，- 6t） = 3
uuur ∴ OC = （0， 5， − 9） 5 1 7 1 （ ，，），( , , 0) 0 3 3 4 4
A 1 2， B 1， P 11， 练习：已知两点（ ， 3），（2，2），（ ，2），点Q在 uuu uuu r r OP上运动，求当QA 取得r 对空间任意两个向量 a、 b ≠ 0 ）， / / b的 （ b a r r 充要条件是存在唯一的实数 λ，使 a＝ λ b.
共线向量定理: 共线向量定理
共面向量定理: 共面向量定理
r r r r r 如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在唯一的实数对x，y，使 r r r p＝xa＋yb.
l
P
对于直线 上 的任一点 对于 直线 luuu 的任一 点 P , r uuu r 存在实数 t 使得 AP = t AB
a
B A
此方程称为直线的向量参数方程。这 此方程称为直线的向量参数方程。 直线的向量参数方程 r 样点A和向量 样点 和向量 不仅可以确定直线 l的 的 a 位置，还可以具体写出l上的任意一点 上的任意一点。 位置，还可以具体写出 上的任意一点。
r uuu uuu r r OP = OA+ ta ， uuu uuu uuu r r r OP = xOA+ yOB (x + y = 1 ）
例1：已知两点（ ，2， A 1 - 3），（2， - 3），求A，B连线与 B 1， 三坐标平面的交点。
分析： 设AB连线与yoz平面的交点为C 0，y1，z1）， （ uuur uuu uuu r r 由OC = 1 − t） + tOB得 （ OA
点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中 uuu r 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 uuu r 向量OP称为点P的位置向量.
P
O
直线的向量参数方程
空间中任意一条直线 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 以及一个定方向确定. 个定点 A 以及一个定方向确定.