高三上学期期中考试数学(理)试题
陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析
A. B. C.2D.
【答案】B
【解析】
【分析】将 代入双曲线方程求出点 的坐标，通过解直角三角形列出三参数 ， ， 的关系，求出离心率的值．
【详解】由于 轴，且 在第一象限，设
所以将 代入双曲线的方程得 即 ，
7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）
A.Sn无限大B.Sn<3(3＋ )m
C.Sn＝3(3＋ )mD.Sn可以取100m
17.已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 的平分线交AB于点D，且 ，求 的最小值；
【答案】（1） ；（2）4
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角得到 ，再根据 ，有 ，然后利用两角差的正弦公式展开求解.
（2）根据 的平分线交AB于点D，且 ，由 ，可得 ，化简得到 ，则 ，再利用基本不等式求解.
【详解】设 ， ，
则 ， ，
如图所示，
连接 交 于点 ，连接 、 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，而 ，所以四边形 是直角梯形，
则有 ，
， ，
所以有 ，
故 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为 为正方形，所以 ，
而 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，
,
所以 ， ，
故答案为：③④.
山东省济宁市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题（答案在最后）2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =ð（）A.∅B.[)1,+∞C.(),0-∞ D.(],1-∞-2.若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2α=（）A.34B.43C.34-D.43-4.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A.()f x 是偶函数B.()f x 是奇函数C.()2024f x +是奇函数D.()2024f x +是偶函数5.向量()1,2a = ，()1,1b =- ，则a 在b上的投影向量是（）A.2-B.5-C.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.12,55⎛⎫--⎪⎝⎭6.已知函数()21,11,11x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩，则()()3f f =（）A.8B.34-C.109-D.127.已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（）A.b a c<< B.b c a<< C.c a b<< D.c b a<<8.如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A ∠=︒，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ⋅的最大值是（）A.2B.4C.D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定形式是“x ∃∈R ，210x x ++≤”B.当()0,πx ∈时，4sin sin y x x=+的最小值为4C.tan 25tan 20tan 25tan 201︒+︒+︒︒=D.“ππ4k θ=±（k ∈Z ）”是“π4k θ=（k ∈Z ）”的必要不充分条件10.已知函数()cos f x x x =+，则（）A.函数()f x 在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C.函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D.若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n ∈且10a >，10n n a a -+≠（2n ≥），则下列选项正确的是（）A.223n a n =-B.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C .当10n =时，n S 有最大值D.设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．13.已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+∞上没有零点，则实数a 的取值范围是______．14.已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()()n n a g g g g n n n n-=+++⋅⋅⋅+（*n ∈N ），则数列{}n a 的通项公式为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =，2AC =，CD =，求AD 的长．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ∈N ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n λ+-≤+恒成立，求实数λ的取值范围．17.已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()g x 的二阶不动点，简称稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cossin 22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2sin sin 22θϕϕθθϕ+--=）19.已知a ∈R ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；（2）若()()()12122f x f x x x ==≠，求证：12112x x a+>.2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】13+【13题答案】【答案】[)2,-+∞【14题答案】【答案】①.(1,2)②.42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【16题答案】【答案】（1）2n n a =（2）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【17题答案】【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,∞+，()f x 的单减区间为(],1-∞-（2）①23-；②32-，23-和1.【18题答案】【答案】（1）π5545cos12H t=-，[]0,24t∈．（2）π2π45cos123h t⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,24t∈；8mint=或20mint=【19题答案】【答案】（1）1（2）证明见解析。
安徽省黄山市屯溪2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题含答案
屯溪2024-2025学年度第一学期期中质量检测高三数学试题（答案在最后）命题人：（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,4,1,3U A B ===，则()U A B =ð（）A.{}2,3 B.{}1,3,4 C.{}1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、并集的定义直接求解即可.【详解】由{}{}0,1,2,3,4,0,1,4U A ==，得{2,3}U A =ð，而{}1,3B =，所以{}3()1,2,U B A = ð.故选：C2.已知命题2:1,1p x x ∀<->，则p ⌝是（）A.21,1x x ∃<-≤B.21,1x x ∀≥->C.21,1x x ∀<->D.21,1x x ∃≤-≤【答案】A 【解析】【分析】运用全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词即可解题.【详解】全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词.则G ∀<−1,2>1，则p ⌝是21,1x x ∃<-≤.故选：A.3.设各项均为正数的等比数列{}n a 满足41082a a a ⋅=，则()2121011log a a a a 等于（）A.102B.112 C.11D.10【答案】C 【解析】【分析】等比数列中若+,,,N m n p q ∈，m n p q +=+，则m n p q a a a a ⨯=⨯.我们先根据此条性质和已知条件求出6a 的值,最后运用对数性质计算即可.【详解】在等比数列{}n a 中，8462108a a a a a ==⋅，得62a =.根据等比数列性质，2211121039485762a a a a a a a a a a a ======.所以1210111112103948576()()()()()a a a a a a a a a a a a a a a = 5116262()a a ==⨯，1121210112log ()log (2)11a a a a == .故选：C.4.若()()220,cos 2,cos 2m n m n αβαβ-≠-=+=，则tan tan αβ=（）A.2m nm n +- B.m n m n +-C.2m n m n-+ D.m n m n-+【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的余弦展开式求出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=+=-，再由同角的三角函数关系求解即可；【详解】因为()()cos cos cos sin sin 2,cos cos cos sin sin 2m n αβαβαβαβαβαβ-=+=+=-=，所以cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=+=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．故选：D.5.已知函数()f x 与其导函数()f x '的图象的一部分如图所示，则关于函数()()e xf xg x =的单调性说法正确的是（）A.在(1,1)-单调递减B.在(0,2单调递减C.在[2单调递减 D.在[1,2]单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据图象判断出过点()2,0的为()f x 的图象，过点()1,0的为导函数()f x '的图象，求导得到()()()exf x f xg x '-'=，()g x在(1,2x ∈-上单调递减，在2x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，得到答案.【详解】从图象可以看出过点()2,0的为()f x 的图象，过点()1,0的为导函数()f x '的图象，()()()e xf x f xg x '-'=，当(1,2x ∈-时，()()0f x f x '-<，故()0g x '<，()()ex f x g x =在(1,2x ∈-上单调递减，当2x ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()0f x f x '-≥，故()0g x '≥，()()ex f x g x =在2x ⎡⎤∈⎣⎦上单调递增，ACD 错误，B 正确，故选：B6.若对任意实数b ，关于x 的方程()212ax b x x ++-=有两个实根，则实数a 的取值范围是（）A.02a <≤B.01a <≤ C.10a -≤< D.11a -≤≤且0a ≠【答案】B 【解析】【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数b 的不等式恒成立，即可求解.【详解】关于x 的方程()212ax b x x ++-=有两个实根，即方程()2120ax b x b +-+-=有两个实根，所以()()210Δ1420a b a b ≠⎧⎪⎨=---≥⎪⎩，即()20212810a b a b a ≠⎧⎨-+++≥⎩对任意实数b 恒成立，所以()()220Δ4124810a a a ≠⎧⎪⎨=+-+≤⎪⎩，即200a a a ≠⎧⎨-≤⎩，得01a <≤.故选：B.7.直线1y =被函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象所截得线段的最小值为π，则ω=（）A.13B.23C.32D.3【答案】B 【解析】【分析】由()π2sin 16f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到ππ2π,Z 66x k k ω+=+∈或π5π2π,Z 66x k k ω+=+∈，再结合条件，即可求解.【详解】由()π2sin 16f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到π1sin 62x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 66x k k ω+=+∈或π5π2π,Z 66x k k ω+=+∈，又直线1y =被函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象所截得线段的最小值为π，显然最小值在一个周期内取到，不妨取0k =，得到0x =或2π3x ω=，所以2ππ3ω=，解得23ω=，故选：B.8.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足(()()xf yf x xf y y=-，且当1x >时，()0f x >，则（）A.2()2()f x f x ≥B.322()()()f x f x f x ≥C.2()2()f x f x ≤D.322()()()f x f x f x ≤【答案】D 【解析】【分析】应用赋值法构造出23(),(),()f x f x f x 的等量关系，再结合不等式性质判断即可.【详解】由题意，0,0x y >>，()()()x f yf x xf y y=-.赋值1x y ==，得1(1)(1(1)1(1)01f f f f ==⋅-⋅=；赋值1x =，得1(1)1()()f yf f y f y y ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭，即1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，则11x >，所以1()0f f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，即()0f x <；赋值2x y =，得()222()()y f f y yf y y f y y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，解得21()()f y y f y y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21()()f x x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；AC 项，由21()()f x x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0x >，得()212()2()f xf x x f x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，其中由0x >，可知1220x x +-≥=，当1x >时，1()0,2()0f x x f x x ⎛⎫>+-≥ ⎪⎝⎭，即()22()f x f x ≥；当01x <<时，1()0,2()0f x x f x x ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，即()22()f x f x ≤；故AC 错误；BD 项，21,x x y x ==，得232222111()()()()1x f f x f x x f f x x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭；又21()()f x x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3222211()()()1()f x f x x f x x f x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则322222222211()()()1()2()()0f x f x f x x f x x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故322()()()f x f x f x ≤，且()f x 不恒为0，故B 错误，D 正确.故选：D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分）9.给出下列四个关系式，其中正确的是（）A.2024∈RB.0∈∅C.∈Z QD.∅{}【答案】AD 【解析】【分析】根据R,Z,Q 表示的数集，结合空集的性质、真子集的定义逐一判断即可.【详解】因为2024是实数，因此选项A 正确；因为空间集中没有元素，显然0∈∅不正确，因此选项B 不正确；因为所有的整数都是有理数，因此整数集是有理数集的子集，所以选项C 不正确；因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D 正确，故选：AD10.（多选）下列说法不正确的是（）A.已知{}{}260,10A xx x B x mx =+-==-=∣∣，若B A ⊆，则m 组成集合为11,23⎧⎫-⎨⎩⎭B.不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<C.()f x 的定义域为()1,2-，则()21f x -的定义域为()3,3-D.不等式20ax bx c ++>解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则0a b c ++>【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，考虑B =∅时，0m =，满足要求，可判断A ；B 选项，考虑0k =时，0k ≠两种情况讨论可得充要条件为30k -<≤，可判断B ；C 选项，由1212x -<-<，可求定义域判断C ；D 选项，根据不等式的解集得到0a >且2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，由韦达定理得到的关系,,a b c ，计算可判断D.【详解】A 选项，{}2,3A =-，又{}10B xmx =-=∣，当0m =时，B =∅，满足B A ⊆，当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当12m =时，{}2B =，满足B A ⊆，当13m =-时，{}3B =-，满足B A ⊆，综上，m 组成集合为110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，A 说法不正确；B 选项，当0k =时，不等式为308-<恒成立，可得23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，当0k ≠时，由23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立，可得20342()08k k k <⎧⎪⎨-⨯⨯-<⎪⎩，解得30k -<<，综上所述：不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充要条件是30k -<≤，所以不等式23208kx kx +-<对一切实数x 恒成立的充分不必要条件是30k -<<，故B 正确；C 选项，因为()f x 的定义域为()1,2-，所以1212x -<-<，解得302x <<，故()21f x -的定义域为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，C 说法不正确；D 选项，不等式20ax bx c ++>解集为−∞,−2∪3,+∞，则0a >且2,3-为方程20ax bx c ++=的两个根，故23,23b c a a-+=--⨯=，则,6b a c a =-=-，故60a b c c a ++==-<，D 说法不正确.故选：ACD.11.如图，心形曲线22:()1L x y x +-=与y 轴交于,A B 两点，点P 是L上的一个动点，则（）A.点,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭和−1,1均在L 上B.点PC.O 的最大值与最小值之和为3D.PA PB +≤【答案】ABD 【解析】【分析】点代入曲线判断A ，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B ，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C ，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D.【详解】令0x =，得出1y =±，则()()1,0,1,0,A B -对于A ：2x =时，21122y ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭得0y =或y =，=1x -时，()2111y +-=得1y =，所以,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和()1,1-均在L 上，A 选项正确；对于B ：因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，()221x y x+-=，所以y x =+()()222221112y y x x x x =+=+-+≤++-=，所以2x =时，y 最大，最大值为22+=B 选项正确；对于C ：OP =，因为曲线关于y 轴对称，当0x ≥时，设cos ,sin x y x θθ=-=，所以()2222222cos cos sin 2cos sin 2sin cos OP x y θθθθθθθ=+=++=++()1cos231351sin2cos2sin2sin 222222θθθθθϕ+=++=++=+，因为θ可取任意角，所以OP 12=，OP 512+=，C 选项错误；对于D ：PA PB +≤等价为点P 在椭圆22132y x +=内，即满足()222cos sin 3cos 6θθθ++≤，即()()31+cos221sin 262θθ++≤，整理得4sin23cos25θθ+≤，即()sin 21θβ≤+恒成立，故D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．【答案】2-【解析】【分析】根据函数为奇函数，利用()()f x f x -=-求解.【详解】由题意得，(2)2222f =-=+.∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(2)(2)2f f -=-=-．故答案为:2-.13.函数()sin cos f x x x =+在()0,2π上的极小值点为：__________.【答案】5π4【解析】【分析】法一，由辅助角公式得π()4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用函数()f x 与π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭图象的平移关系可得所求；法二，利用导函数，求出导函数的零点按零点分区间，分析导函数符号与原函数单调性即可求解极值点.【详解】法一：()πsin cos 4f x x x x ⎫⎛=+=+ ⎪⎝⎭，()0,2πx ∈，由()f x 的图象向右平移π4个单位可得到函数π4f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π9π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象.而函数y x =在π9π,44⎛⎫⎪⎝⎭的极小值点为3π2，故函数()f x 的极小值点即为3ππ5π244-=.法二：()sin cos f x x x =+，()0,2πx ∈，则π()cos sin 4f x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭，由()0,2πx ∈，则ππ9π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令()0f x '=，得ππ42x +=或3π2，解得π4x =或5π4x =.则(),()f x f x '的变化情况如下表：xπ0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭π4π5π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭5π45π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x极大值极小值()f x 在()0,2π上的极小值点为5π4.故答案为：5π4.14.函数,0ky k x=>与ln yx =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，设ln y x =在A 处的切线1l 的倾斜角为α，e x y =在B 处的切线2l 的倾斜角为β，若2βα=，则k =________．【答案】【解析】【分析】由对称性可得21ex x =，利用导数求切线1l 和2l 的斜率，得tan β和tan α，由2βα=解出1x ，再由11ln kx x =求出k 的值.【详解】函数,0ky k x=>与ln y x =和e x y =分别交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则111ln k y x x ==，222e x ky x ==，函数,0ky k x=>的图象关于直线y x =对称，函数ln y x =和e x y =的图象也关于直线y x =对称，所以11(,)A x y ，22(,)B x y 两点关于直线y x =对称，有221e xy x ==，函数ln y x =的导数为1y x'=，函数e x y =的导数为e x y '=，则11tan x α=，2tan e x β=，由2βα=，有22tan tan tan 21tan αβαα==-，即211212e 1x x x x ==-，由1>0x ，解得1x =所以11l n k x x ==.【点睛】关键点点睛：本题除了导数和倍角公式的运用，关键点在于运用函数的对称性或对数式的运算，得到21e x x =.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N ，数列{}n b 为单调递增等比数列，22b =，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【解析】【分析】（1）根据()*12n n a a n +=+∈N 得到{}na 为公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式求出21n a n =-，再设{}nb 的公比为q ，列出方程，求出2q =，得到通项公式；（2）化简得到32n c n =-，故{}n c 为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.【小问1详解】因为()()**1122n n n n a a n a a n ++=+∈⇒-=∈N N ，故{}n a 为公差为2的等差数列，所以()()12112121n a a n n n =+-=+-=-，又1b ，2b ，31b -成等差数列，故21321b b b =+-，设{}n b 的公比为q ，其中22b =，则2421q q =+-，解得2q =或12，当2q =时，11b =，此时1112n n n b b q --==，为递增数列，满足要求，当12q =时，14b =，此时31112n n n b b q --⎛⎫== ⎪⎝⎭，为递减数列，舍去，综上，21n a n =-，12n n b -=；【小问2详解】212log 1322n n c n n -=+--=，则13n n c c +-=，故{}n c 为公差为3的等差数列，故()2121323143222n n n n n n T c c c n +--=+++=+++-== .16.记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 1.a C b =+（1）求证：2;C B =（2）若3cos 4B =，6c =，求ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可证2C B =；（2）由正弦定理及三角形面积公式可得答案.【小问1详解】由正弦定理sin sin a b A B =，知sin sin a A b B =，所以2cos 1a C b =+，即为sin 2cos 1sin A C B =+，所以sin 2sin cos sin A B C B =+，即()sin 2sin cos sin B C B C B +=+，所以()sin sin cos cos sin sin .B BC B C C B =-+=-因为0πB <<，ππC B -<-<，所以B C B =-或()πB C B +-=，即2C B =或πC =（舍去）；【小问2详解】由2C B =，得21cos cos22cos 18C B B ==-=，所以52cos 14a C b =+=，即5.4a b =由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，即22225513621648b b b =+-⨯⨯，解得=4，所以 5.a =又由1cos 8C =，可得π0<2<C ，得37sin 8C ==，所以ABC V 的面积1137157sin 54.2284S ab C ==⨯⨯⨯=17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，224,AD AB BC AB ===⊥,,AD AB BC E ⊥是AD 的中点，PC BE ⊥．（1）证明：BE ⊥平面PAC ．（2）若PA PC ==B PA D --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.7【解析】【分析】（1）连接CE ，通过四边形ABCE 是正方形，得到BE AC ⊥，进而可求证；（2）作BH PA ⊥，垂足为H ，连接,EH PE .先证明PA ⊥平面BEH ，得到BHE ∠是二面角B PA D --的平面角，在判断四棱锥P ABCE -为正四棱锥，求得2EH BH ==，再由余弦定理即可求解.【小问1详解】证明：连接CE ．因为E 是AD 的中点，所以2AD AE =．分因为224AD AB BC ===，且,AB AD AB BC ⊥⊥，所以四边形ABCE 是正方形，则BE AC ⊥．因为,,PC BE PC AC ⊥⊂平面PAC ，且PC AC C ⋂=，所以BE ⊥平面PAC ．【小问2详解】解：作BH PA ⊥，垂足为H ，连接,EH PE .由（1）可知BE ⊥平面PAC ．又PA ⊂平面PAC ，所以PA BE ⊥．因为,BH BE ⊂平面BEH ，且BH BE B = ，所以PA ⊥平面BEH ．因为EH ⊂平面BEH ，所以PA EH ⊥，则BHE ∠是二面角B PA D --的平面角．记AC BE O =I ，连接OP ，则O 是AC 的中点．因为PA PC =，且O 是AC 的中点，所以OP AC ⊥．因为BE ⊥平面PAC ，且OP ⊂平面PAC ，所以BE OP ⊥．连接PE ．因为,AC BE ⊂平面ABCE ，且AC BE O =I ，所以OP ⊥平面ABCE ，则四棱锥P ABCE -为正四棱锥，故PA PB PE ===．因为PAB 的面积1122S AB PA BH ==⋅，即11222BH ⨯=⨯，所以2BH =．同理可得2EH BH ==．在BEH △中，由余弦定理可得2221cos 27BH EH BE BHE BH EH +-∠==-⋅，则sin 7BHE ∠=，即二面角B PA D --的正弦值为718.已知函数()e xx f x =.（1）求()f x 在区间[]22-,上的最大值和最小值；（2）若0x =是函数()()()sin g x f a f x x =⋅+的极值点.（ⅰ）证明：2ln20a -<<；（ⅱ）讨论()g x 在区间()π,π-上的零点个数.【答案】（1）最大值为1e -，最小值为22e -；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定在[]22-,上的性，再计算最值得到答案；（2）（ⅰ）计算得到1()cos e ea x a x g x x -'=⋅+，确定e 0a a +=，设()e x F x x =+，根据函数的单调性结合()01F =，()2ln 20F -<得到证明；（ⅱ）求导得到导函数，考虑()π,0x ∈-，0x =，∈0,π三种情况，构造()e sin xF x x x =-，确定函数的单调区间，根据()00F =，()00F x >，()π0F <得到零点个数.【小问1详解】()e x x f x =，1()e xx f x -'=，令1()0e x x f x -'==得到1x =，当()2,1x ∈-时，′>0，函数单调递增，当()1,2x ∈时，′<0，函数单调递减，又()22222e e f ---==-，()1111e e f -==，()22222e ef -==，故()f x 在区间[]22-,上的最大值为1e -，最小值为22e -；【小问2详解】（ⅰ）()()()sin sin e e a xa x g x f a f x x x =⋅+=⋅+，1()cos e e a xa x g x x -'=⋅+，(0)10e a a g '=+=，故e 0a a +=，设()e x F x x =+，函数单调递增，()010F =>，()2ln 212ln 2e 2ln 2ln 404F --=-=-<.根据零点存在定理知2ln 20a -<<；（ⅱ）()sin e x x g x x =-+，()00g =，1()cos e x x g x x -'=+，设1()cos e x x h x x -=+，2()sin e xx h x x -'=-，当()π,0x ∈-时，20,sin 0e x x x -><，故()0h x '>，()g x '单调递增，()()0110g x g <=-+'='，故函数()g x 单调递减，()()00g x g >=，故函数在()π,0-上无零点；当∈0,π时，()1()sin e sin e e x x x x g x x x x =-+=-，设()e sin x F x x x =-，()()esin cos 1x F x x x =+-'，设()()esin cos 1x k x x x =+-，则()2e cos x k x x '=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=>，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=<故()k x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()00k =，π2πe 102k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()ππe 10k =--<，故存在0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00k x =，当∈0,0时，()0k x >，单调递增；当()0,πx x ∈时，()0k x <，单调递减.()00F =，故()00F x >，()ππ0F =-<，故函数在()0,πx 上有1个零点.综上所述：()g x 在区间()π,π-上的零点个数为2.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.19.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ⋅⋅⋅为()2,3,4,n n =⋅⋅⋅阶“曼德拉数列”：①1230n a a a a +++=⋅⋅⋅+；②1231n a a a a +++⋅⋅⋅+=.（1）若某()*2k k ∈N 阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项n a（12n k ≤≤，用,k n 表示）；（2）若某()*21k k +∈N 阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项n a （121n k ≤≤+，用,k n 表示）；（3）记n 阶“曼德拉数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =⋅⋅⋅，若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.【答案】（1）()1112n n a k -=-或()1112n n a k -=--（2）()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N 或()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N （3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；（2）结合曼德拉数列的定义，首先得120,k k a a d ++==,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.【小问1详解】设等比数列()1232,,,,1k a a a a k ⋅⋅⋅≥的公比为q .若1q ≠，则由①得()21122101k k a q a a a q -++⋅⋅⋅+==-，得1q =-，由②得112a k =或112a k=-.若1q =，由①得，120a k ⋅=，得10a =，不可能.综上所述，1q =-.()1112n n a k -∴=-或()1112n n a k-=--.【小问2详解】设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +⋅⋅⋅≥的公差为d ，123210k a a a a ++++⋅⋅⋅+= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴++=+=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，当0d >时，据“曼德拉数列”的条件①②得，()23211212k k k k a a a a a a +++++⋅⋅⋅+==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N .当0d <时，同理可得()1122k k kd d -+=-，即()11d k k =-+.由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N .综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N .【小问3详解】记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得12A =，12B =-，1122k B S A -=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅.若存在{}1,2,3,,m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，由前面的证明过程知：10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-.若数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅为n 阶“曼德拉数列”，记数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅的前k 项和为k T ，则12k T ≤.1212m m T S S S ∴=++⋅⋅⋅+≤，又12m S =，1210m S S S -∴==⋅⋅⋅==，12110,2m m a a a a -∴==⋅⋅⋅===.又1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，1m S +∴，2m S +，⋅⋅⋅，0n S ≥，123123n n S S S S S S S S ∴+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，又1230n S S S S +++⋅⋅⋅+=与1231n S S S S +++⋅⋅⋅+=不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n =⋅⋅⋅不为n 阶“曼德拉数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，⋅⋅⋅，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。
2022-2023学年四川省成都市高三年级上册学期期中考试 数学(理 )
2022-2023学年四川省成都市高三上学期期中考试 理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 143. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,64. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos x x y x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = a b∥A. B.C.D.p q∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=-（ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11C. 12D. 1310. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C.D.12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8B. 6C. 5D. 4.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭15. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：b M ∈211222a b ab +--<+2022-2023学年度上期高2023届11月半期考试理科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足，则在复平面内复数z 对应的点在（ ）()11i i z +=A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】B 2. 已知数列的前n 项和是，则（）{}n a 2n 45a a +=A. 20 B. 18C. 16D. 14【答案】C 3. 设全集，集合，，则（）(){}*N 60U x x x =∈-≤{}13,5A =,{}0,2,4B =()UB A ⋂= A.B.C.D.{}2,4{}0,2,4{}1,3,5{}0,2,4,6【答案】A4. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos xxy x-=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.【答案】A5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B. C.D. 283π-23π483π-43π【答案】A6. 已知命题p ：在中，若，则；命题q ：向量与向量相等的充要条件是ABC cos cos A B >A B <ab 且.在下列四个命题中，是真命题的是（ ）a b = ab ∥A. B.C.D.p q ∧()()p q ⌝∧⌝()p q⌝∧()p q ∧⌝【答案】D7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ()()sin 0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭）A. 直线是函数的图象的一条对称轴x π=()f x B. 函数的图象的对称中心为，()f x ,0122k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k ∈Z C. 函数在上单调递增()f x 311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 将函数的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象()f x 12π【答案】B8. 数列中，，对任意 ，若，则{}n a 12a =,,m n m n m n N a a a ++∈=155121022k k k a a a ++++++=- （ ）k =A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C9. 2020年，由新型冠状病毒（SARS -CoV -2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COVID -19）在国内和其他国家暴发流行，而实时荧光定量PCR （RT -PCR ）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COVID -19的确诊方法，实时荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足n X ，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量.已知某样本的扩增效率()0lg lg 1lg n X n p X -+=0X ，则被测标本的DNA 大约扩增（ ）次后，数量会变为原来的125倍.（参考数据：0.495p ≈）1.495log 54≈A. 10 B. 11 C. 12 D. 13【答案】C10. 设，，（其中e 是自然对数的底数），则（ ）152e a -=b =65c =A. B. C. D. a b c <<c a b<<b a c<<c b a<<【答案】D 11. 已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为48π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为（）111ABC A B C -A. B. C. D. 【答案】C12. 已知的三个顶点都在抛物线上，点为的重心，直线经过该抛物线ABC 24y x =()2,0M ABC AB 的焦点，则线段的长为（ ）AB A. 8 B. 6C. 5D. 4.【答案】B二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量满足，则_______．,a b ||||||1a b a b ==+= a b ⋅= 【答案】12-14. 在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】13515. 已知双曲线C ：的左､右焦点分别为，，点P 是双曲线C 的右支上一点，若()222103x y a a -=>1F 2F ，且的面积为3，则双曲线C 的焦距为___________.121tan 3PF F ∠=12PF F △【答案】16. 已知函数,若关于x 的方程有8个不同的实数解，()11e ,0e ,0x x x x f x x x ---⎧⋅>=⎨-⋅<⎩()()222f x m f x =-⎡⎤⎣⎦则整数m 的值为___________.（其中e 是自然对数的底数）【答案】5三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答，17. 已知a ，b ，c 为的内角A ，B ，C 所对的边，向量，ABC (,),(sin ,sin sin )m a b c a n B A C =--=+且．m n ⊥ （1）求角C（2）若，D 为的中点，的面积．sin sin ,4B C b <=BC AD =ABC 【答案】（1）π3C =（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直可得数量积为0，结合正余弦定理边角互化即可求解，（2）根据余弦定理可求值，进而可求，根据三角形面积公式即可求解.CD a 【小问1详解】因为，所以，m n ⊥()sin (sin sin )()0a b B A C c a -⨯++-=由正弦定理得．()()()a b b a c a c -⨯=+-即，由余弦定理得，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以．0πC <<π3C =【小问2详解】在三角形中，，ADC 2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠即，解得或，即或，213164CD CD =+-1CD =3CD =2a =6a =因为，故，sin sin B C <B C <因为，所以，故，所以，π3C =A CB >>a c b >>6a =所以11sin 6422ABC S ab C ==⨯⨯=△18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；m （2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；ξξ【答案】（1），中位数；0.012m =68（2）分布列见解析，.911【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=解得，0.012m =设中位数为，解得；a ()0.004100.02210600.30.5a ∴⨯+⨯+-⨯=68a =【小问2详解】的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1[)[)[]70,80,80,90,90,100 从中分别抽取7人，3人，1人，∴[)[)[]70,80,80,90,90,100所有可能取值为0，1，2，3，ξ，，，38311C 56(0)C 165P ξ===2183311C C 28(1)C 55P ξ===1283311C C 8(2)C 55P ξ===33311C 1(3)C 165P ξ===故的分布列为：ξξ0123P5616528558551165故()56288190123.165555516511E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19. 如图，四棱柱中，底面是矩形，且，，1111ABCD A B C D -ABCD 22AD CD ==12AA =，若为的中点，且．13A AD π∠=O AD 1CD A O ⊥（1）求证：平面；1A O ⊥ABCD （2）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存BC P 1D A A P --3πBP 在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）由已知得为等边三角形，，再由，能证明⊥平1A AD1A O AD ⊥1A O CD ⊥1AO 面．ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当的长为时，O //Ox AB O O xyz -BP 23二面角的值为1D A A P --3π【详解】（1）证明：∵，且，13A AD π∠=12AA AD ==∴为等边三角形1A AD∵为的中点O AD ∴，1A O AD ⊥又，且，1CD A O ⊥CD AD D = ∴平面．1A O ⊥ABCD （2）过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图）O //Ox AB O O xyz -则，，(0,1,0)A-1A 设，(1,,0)P m ([1,1])m ∈-平面的法向量为，1A AP 1(,,)n x y z =∵，，1AA =(1,1,0)AP m =+且，1110(1)0n AA y n AP x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 取，得1z=11),n m =+平面的一个法向量为11A ADD 2(1,0,0)n =由题意得12cos ,n n = 解得或（舍去），此时13m =-53m =-12133BP =-=∴当的长为时，二面角的值为.BP 231D A A P --3π20. 已知曲线C 上的任意一点到点的距离和它到直线l ：的距离的比是常数，过点F 作()1,0F -4x =-12不与x 轴重合的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，过点A 作AP 垂直于直线l ，交直线l 于点P ，直线PB 与x 轴相交于点M .（1）求曲线C 的方程；（2）求面积的最大值.ABM 【答案】（1）22143x y +=（2）94【解析】【分析】（1）由题意列出曲线方程化简即可求解；（2）设直线AB 的方程为，，，表示出，联立直线与椭圆方程消去，1,x my =-()11,A x y ()22,B x y P x 表示出关于的韦达定理，结合求出直接PB 的方程，令，求出坐标，进而得到，由y ,B P 0y =M FM求出面积，结合换元法和对勾函数性质可求面积的最大值.1212ABM S FM y y =-△ABM 【小问1详解】设曲线C 上的任意一点的坐标为，(),x y，即，所以曲线C 的方程为；12=22143x y +=22143x y +=【小问2详解】由题意，设直线AB 的方程为，，，则.1,x my =-()11,A x y ()22,B x y ()14,P y -联立方程得，则，221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my +--=()214410m ∆=+>所以，，所以122634m y y m +=+122934y y m -=+()121223my y y y -=+又因为，所以直接PB 的方程为.2124PB y y k x -=+()211244y y y y x x --=++令，则，0y =()()1212121212121343352444422y y y x my y y x y y y y y y -++=--=--=--=-+=----所以，.5,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭32FM =因为12y y -====所以121324ABMS FM y y =-==△令，，则.t =1t ≥2991313ABM t S t t t ==++△又因为在上单调递减，所以当时，，()913f t t t =+[)1,+∞1t =()max94ARM S =△故面积的最大值为.ABM 94【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.21. 已知函数在处的切线方程为.()ln m x nf x x +=()()1,1f 1y =（1）求实数m 和n 的值；（2）已知，是函数的图象上两点，且，求证：()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =.()()ln ln 1a b ab +<+【答案】（1） 1m n ==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，由可求对应的m 和n 的值；()()10,11f f '==（2）设，由可判断，由得，设0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b <<<0a b <<11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，得，代换整理得，原不等式要11x b =21x a =21x tx =()()11221ln 1ln x x x x -=-11ln ln 1t t t x t --=-证，只需证，全部代换为关于的不等式得，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<t ()()1ln 1ln 0t t t t -+-<设，，由导数得，再证，放缩得()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-1t >()12ln 11S t t t ⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭()ln 1x x ≤+，进而得证.112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭【小问1详解】由，得.()ln m x n f x x +=()2ln m m x nf x x --'=因为函数在处的切线方程为，()f x ()()1,1f 1y =所以，，则；()10f m n '=-=()11f n ==1m n ==【小问2详解】证明：由（1）可得，，，()ln 1x f x x +=()2ln xf x x -'=所以当时，，单调递增；()0,1x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减.()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 因为，是函数的图象上两点，且，()(),A a f a ()(),B b f b ()f x ()()f a f b =不妨设，且，所以.0a b <<10e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭11e a b<<<由，得，即.()()f a f b =ln 1ln 1a b a b ++=11111ln 1ln a a b b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，.11x b =21x a =设，则，所以，21x tx =1t >()()11221ln 1ln x x x x -=-即，故.()111ln 1ln ln x t t x -=--11ln ln 1t t tx t --=-要证，只需证，()()ln ln 1a b ab +<+11e a b +<即证，即证，即证，12e x x +<()11e t x +<()1ln 1ln 1t x ++<即证，即证.()1ln ln 111t t tt t --++<-()()1ln 1ln 0t t t t -+-<令，，()()()1ln 1ln S t t t t t=-+-1t >则，()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭证明不等式；()ln 1xx ≤+设，则，()()ln 1u x x x=+-()1111xu x x x -'=-=++所以当时，；当时，，10x -<<()0u x '>0x >()0u x '<所以在上为增函数，在上为减函数，()u x ()1,0-()0,∞+故，所以成立.()()max 00u x u ==()ln 1xx ≤+由上还不等式可得，当时，，故恒成立，1t >112ln 11t t t ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭()0S t '<故在上为减函数，则，()S t ()1,+∞()()10S t S <=所以成立，即成立.()()1ln 1ln 0t t t t -+-<12e x x +<综上所述，.()()ln ln 1a b ab +<+22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩极点，x 轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求的值.3π2⎫⎪⎭11PA PB +【答案】（1） y =2220x y x +--=（2）79【解析】【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l 的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标判断得P 在直线l 上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l 代入曲线C 的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.【小问1详解】因为直线l 的参数方程为（t 为参数），12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l 的普通方程为y =因为，即，π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos ρθθ=+所以，得，22cos sin ρρθθ=+222x y x +=+所以曲线C 的直角坐标方程为.2220x y x +--=【小问2详解】因为点P 的极坐标为，所以点P 的直角坐标为，所以点P 在直线l上，3π2⎫⎪⎭(0,将直线l 的参数方程（t 为参数），代入，化简得，12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2220x y x +--=2790t t -+=设A ，B 两点所对应的参数分别为，，则，，故，，1t2t 127t t +=129t t =10t >20t >所以，，11PA t t ==22PB t t ==所以.121212111179t t PA PB t t t t ++=+==23. 已知函数，M 为不等式的解集.()2111f x x x =+-+-()0f x <（1）求集合M ；（2）设a ，，求证：.b M ∈211222a b ab +--<+【答案】（1）{}11M x x =-<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）采用零点讨论法去绝对值可直接求解；（2）结合绝对值三角不等式得，要证()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+，即证，即证，去平方结合因式分解即可求211222a b ab +--<+1a b ab +<+221a b ab +<+证.【小问1详解】.()21110f x x x =+-+-<①当时，不等式可化为，解得，则；1x <-()21110x x -+++-<1x >-x ∈∅②当，不等式可化为，解得，则；112x -≤≤-()()21110x x -+-+-<1x >-112x -<≤-③当时，不等式可化为，解得，则.12x >-()()21110x x +-+-<1x <112x -<<综上所述，；{}11M x x =-<<【小问2详解】证明：因为（当且仅当时取等号），()2112|2112|22a b a b a b+--≤+--=+()()21120a b +-≥所以要证，只需证，211222a b ab +--<+2222a b ab +<+即证，即证，即证，1a b ab +<+221a b ab +<+222210a b a b --+>即证.()()22110a b -->由（1）可知，.{}11M x x =-<<因为a ，，所以，所以成立.b M ∈221,1a b <<()()22110ab -->综上所述，.211222a b ab +--<+。
山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期期中考试 数学含答案
菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}202,0M x x N x x x =∈<<=-≤Z ∣∣，则M N = （）A.{}0,1 B.{}1 C.{}1,1- D.∅2.已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()1f x -的定义域为（）A.[]1,2B.[]4,6 C.[]5,9 D.[]3,73.已知2025π1sin sin 22αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2sin cos ααα=+（）A.12-B.12C.0D.14.“函数()32f x x ax =-在[]2,3-上单调递增”是“3a ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分又不必要条件5.过曲线9log =y x 上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线3log y x =于点,B C ，若直线BC 过原点，则其斜率为（）A.1B.3log 22C.ln33D.2log 366.函数()11ln sin 21x f x x x+=--的零点个数为（）A.1B.0C.3D.27.自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τηγ=，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变τγ-曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（）A.①和④B.③和④C.③和②D.①和②8.已知函数()()1e xf x x =-，点(),m n 在曲线()y f x =上，则()()f m f n -（）A.有最大值为1e-，最小值为1 B.有最大值为0，最小值为1e-C.有最大值为0，无最小值D.无最大值，有最小值为1e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0c b a <<<，则（）A.ac bc <B.333b c a +< C.a c ab c b+>+D.<10.已知函数()21,2,5,2x x f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则（）A.1a ≤- B.[]1,4c ∈ C.()20,5ad ∈ D.222a b +=11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x 弧度π02x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，记表面积增加量为()S f x =，则（）A.π663f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线π3x =对称C.S 呈周期变化D.6S ≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是______．13.已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象与曲线()y f x =关于原点对称，则()0f =______．14.已知22,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，2log 2axx x ax ≥⋅，则正数a 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin ,63C C b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，ABC V的面积为．（1）求C ；（2）求ABC V 的周长．16.已知函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若ππ,68x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，求()()23-=+f x y f x 的最大值．17.记锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos c CA b B-=．（1）求B ；（2）延长AC 到D ，使2,15AC CD CBD =∠= ，求tan A ．18.已知函数()()2e xf x x a =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()()()1122,,,A x f x B x f x ．证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ．19.已知函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，（1）证明：21cos 12x x >-；（2）探究()f x 是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】222log e e 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π3C =（2）10+【16题答案】【答案】（1）π5ππ11π,224224k k ⎡⎤++⎢⎣⎦，()k ∈Z （2）0【17题答案】【答案】（1）45B =（2）2+【18题答案】【答案】（1）单调增区间为()(),2,,a a ∞∞--+，单调减区间为(2,)a a -（2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）没有，理由见解析。
辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高三上学期期中(Ⅰ)考试 数学
滨城高中联盟2023-2024学年度上学期高三期中Ⅰ考试数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设命题p:∃x₀∈(0,+∞),lnx₀>x₀-1,则￢p为( )A. ∀x∈(0,+∞),lnx≤x-1B. ∃x₀∈(0, + ∞),lnx₀≤x₀﹣1C. ∀x∈(-∞,0],lnx≤x-1(-∞,0],lnx₀≤x₀ -12. 已知集合A={x|log2x<1},B=x|y=则图中阴影部分所表示的集合为 ( )A. (-∞,2)B. (-∞,2]C. (0,2)D. [0,2]3．若复数z满足(1－3i)z＝1＋i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)x m2+m−2在(0,﹢∞)上是减函数, 则 f(m)的值为 ( )A. 3B. 1C. -3D. -15. 函数y=logₐx+aˣ⁻¹+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k,b),若m+n=b-k且m>0, n> 0, 则9m +1n的最小值为( )A. 9B. 8C. 92D. 526. 已知△ABC 中,∠BAC = 120°, AC = 3AB=3,DC=2AD,在线段 BD上取点E，使得BE=3ED,则cos<AE,BD>=B.7. 已知函数f(x)=e(x+1)2,x≤0x+4x−3,x>0,函数 y=f(x)﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x₁,x₂,x₃,x₄,则x刂x₁x₂+x₃+x₄的取值范围为( )A. (5,3+e]B. (4,4+e)C. [4, + ∞)D. (-∞,4]8.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0且| |φ|<π2)满足以下条件：①∀x∈R, 满足f(x)≥②∃x₀,使得=f(x0)=0;且|x0−π3|min>π6,则关于 x 的不等式f(x)−ff(x)>0的最小正整数解为( )B. 2C. 3D. 4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中考试数学(理科)试题(含答案)
南阳市2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合40,{54}1x A x B x x x -⎧⎫=≤=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣, 则()R A B ⋂=ðA. (,1](4,)-∞-⋃+∞B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. (-5,-1)D. (-5,-1]2. 若||||2z i z i +=-=, 则||z = A. 1D. 23. 若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 则2y -的最小值是A. -1B. -3C. -5D. -74. 已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-. 若710k a <<, 则k = A. 9B. 10C. 11D. 125.已知sin 12x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 58-B. 58C. 4-D.46. 在ABC 中,30,C b c x ︒===. 若满足条件的ABC 有且只有一个, 则x 的可能取值是 A.12B.2C. 17. 若函数()(sin )x f x e x a =+在点(0,(0))A f 处的切线方程为3y x a =+, 则实数a 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 在ABC 中, 角,,A B C所对的边分别为,,cos ),a b c c b A a b -==则ABC 的外接圆面积为A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π9. 函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示, 将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半 (纵坐标不变), 再向右平移(0)θθ>个单位长度后, 所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 则θ的最小值为A.76π B. 6πC. 8πD. 724π10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:(3)(3),(6)(6)f x f x f x f x +=-+=--, 且当[0,3]x ∈时,()21()x f x a a =⋅-∈R , 则(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=A. 14B. 16C. 18D. 2011. 已知:2221tan log 38,21tan 8a b c ππ-===+, 则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<12. 已知正数,a b 满足221ln(2)ln 1a a b b +≤-+, 则22a b +=A.52C.32第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知2()lg5lg(10)(lg )f x x x =⋅+, 则(2)f =_____.14. 在ABC 中,3,4,8AB BC CA CB ==⋅=, 则AB 边上中线CD 的长为_____.15. 已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则1()2f x <的解集是_____.16. 若方程2ln 1x x e ax x -=--存在唯一实根,则实数a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分)已知函数22()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2) 若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. (本题满分 12 分)已知数列{}n a 和{}n b 满足:)*121,2,0,n n a a a b n ==>=∈N ,且{}n b 是以 2 为公比的等比数列. (1) 证明: 24n n a a +=;(2) 若2122n n n c a a -=+, 求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S . 19. (本题满分 12 分)已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-. (1) 求()f x 的极值;(2) 若()()f x g x ≥在[2,)+∞上恒成立, 求实数k 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*24,21n n a S n a n ==+∈N . (1)求证: 数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2) 求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .21. (本题满分 12 分)已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边, 向量(sin ,sin ),(cos ,cos )A B B A ==m n（1）若234,cos 3a b C ==, 证明: ABC 为锐角三角形; （2）若ABC 为锐角三角形, 且sin 2C ⋅=m n , 求ba的取值范围.22. (本题满分 12 分)已知函数21()12x f x e x ax =---, 若()()()2g x h x f x +=, 其中()g x 为偶函数,()h x 为奇函数.（1）当1a =时,求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性;(2) 设()f x '是()f x 的导数. 当[1,1],[1,1]a x ∈-∈-时,记函数|()|f x 的最大值为M , 函数()f x '的最大值为N . 求证:M N <.高三（理）数学参考答案第1页（共6页）2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y f x=的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，高三（理）数学参考答案第2页（共6页）∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分高三（理）数学参考答案第3页（共6页）19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分高三（理）数学参考答案第4页（共6页）当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】高三（理）数学参考答案第5页（共6页）（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，高三（理）数学参考答案第6页（共6页）所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。
四川省成都市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题含答案
成都市高2022级高三11月月考数学试题（答案在最后）总分150分时间120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题p ：20430x x x ∃>-+>，，则命题p ⌝为（）A.20430，∃>-+≥x x xB.20430，∃≤-+≤x x xC.20430，∀>-+≤x x xD.20430，∀≤-+≤x x x 【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，写出结论即可.【详解】命题p 是一个存在性命题，说明存在使2430x x -+>的正数x ，则它的否定是：不存在使2430x x -+>的正数x ，即对任意的正数2430x x -+>都不能成立，由以上的分析，可得p ⌝为：20430，∀>-+≤x x x ，故选：C.2.在ABC V 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin 2A >，可得π5π66A <<，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC V 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，可得π5π66A <<，所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要不充分条件.故选：B .3.已知向量,a b的夹角为2π3，且5,4a b == ，则a 在b 方向上的投影向量为（）A.38b -B.58b -C.58bD.78b- 【答案】B 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知条件，直接求解即可.【详解】由题可知：12π54cos 523448a b a b b b b b bb bb⎛⎫⨯⨯- ⎪⋅⎝⎭⋅=⨯=⨯=-，故a在b 方向上的投影向量为58b - .故选：B.4.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（）A.11113B.3713C.11126D.3726【答案】B 【解析】【分析】计算出11113713S T =，由等差数列的性质得611116a S T b =，6621062a a b b b =+，从而得到答案.【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，满足342n n S n T n +=+，所以111131143711213S T ⨯+==+，又11161116111111()211()2a a a Sb b T b +==+，故666210662322371a a a b b b b ===+，故选：B5.遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y 与初次记忆经过的时间x （小时）的大致关系：0.0610.6y x =-，则记忆率为20%时经过的时间约为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A.80小时B.90小时C.100小时D.120小时【答案】C 【解析】【分析】根据题设得到0.0643x =，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得0.06110.65x =-，整理得到0.0643x =，两边取以10为底的对数，得到4lg 0.06lg 3x =，即2lg 2lg 30.06lg x -=，又lg 20.30,lg 30.48≈≈，所以0.60.48lg 2lg1000.06x -≈==，得到100x ≈，故选：C.6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为4π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.256π63B.4πC.9π2D.9π【答案】A 【解析】【分析】求出圆锥的底面圆半径和高，再求出外接球的半径，由此求得圆锥的外接球的面积.【详解】设圆锥的底面圆半径为r ，则该圆锥的侧面展开图扇形弧长为2πr ，于是144π2π233r ⋅⋅=，解得1r =，该圆锥的高为73h ==，设该圆锥的外接球的半径为R ，则球心到圆锥底面圆距离||d h R =-，由球的性质知，2227)13R R -+=，解得R =所以该圆锥的外接球的面积为22564ππ63S R ==.故选：A 7.若()*n n ∈N次多项式()()1212100nn nnn n P t a ta t a t a t a a --=++⋅⋅⋅+++≠满足()cos cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式．如，由2cos 22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221P x x =-，同理可得()3343P x x x =-．利用上述信息计算sin 54︒=（）A.14+ B.14C.48 D.48【答案】A 【解析】【分析】根据切比雪夫多项式得()33cos 4cos 3cos cos3P θθθθ=-=，即可取18θ= ，结合二倍角公式以及同角关系求解.【详解】由于()33cos 4cos 3cos cos3P θθθθ=-=,cos54sin 36︒=︒，即3cos544cos 183cos182sin18cos18︒=︒-︒=︒︒，变形可得24cos 1832sin18︒-=︒，即214sin 182sin18-=︒，解可得：51sin184︒=或514-（舍)，则有21cos3612sin 184+︒=-=︒，即1sin 544+︒=，故选：A8.函数()2e 12e 21x x xh x -=++，不等式()()2222h ax h ax -+≤对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.()2,-+∞ B.(),2-∞ C.()0,2 D.[]2,0-【答案】D 【解析】【分析】令()()1f x h x =-，根据奇偶性定义判断()f x 为奇函数，再应用导数研究()f x 的单调性，进而将目标式转化为2220ax ax +-≤在R 上恒成立，求参数范围.【详解】因为()2e 122e e e 2121x x xx x xh x --=+=-+++，所以()()22222e e e e 221212121x x x x xx x x x h x h x ---⋅+-=+-++-=+=++++，令()()1f x h x =-，则()()0f x f x +-=，得()f x 为奇函数，又()()()222ln41ln4e e e e e 121e 21222x x x x x xx x x x xf x --'⎛⎫=+-=+-=+- ⎪+⎝⎭+++''，1e 2e x x +≥，当且仅当1e e xx =，即0x =时等号成立；ln4ln4ln2142222x x ≤=++，当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；所以()0f x '>，得()f x 在R 上为增函数，因为()()()()()()22222222022h ax h ax f ax f ax f ax f ax -+≤⇔-+≤⇔-≤-，所以2220ax ax +-≤在R 上恒成立，显然0a =时满足；当0a ≠，需满足20Δ480a a a <⎧⎨=+≤⎩，解得20a -≤<，综上，[]2,0a ∈-.故选：D【点睛】关键点点睛：注意构造()()1f x h x =-，判断其奇偶性、单调性，最后将问题化为2220ax ax +-≤在R 上恒成立为关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（）A.1212z z z z = B.1212z z z z +=+C.若12=z z ，则2212z z = D.1212z z z z ⋅=⋅【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+(,,,)a b c d ∈R ，对于选项A ，因为12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，所以12z z =且12z z 1212z z z z =，故A 正确；对于选项B ，因为12()()i z z a c b d +=+++，1i z a b =-，2i z c d =-，则12()()z z a c b d i +=+-+，12()()i z z a c b d +=+-+，所以1212z z z z +=+，故B 正确；对于选项C ，若12=z z ，例如11i z =+，21i z =-，满足12z z ==，但221(1i)2i z =+=，222(1i)2i z =-=-，即2212z z ≠，故C 错误；对于选项D ，因为21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=-++，所以21()()i z ac bd a b z d c ⋅=--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确.故选：ABD.10.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（）A.数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B.已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C.若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立D.若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-【答案】ABC 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算判断A ，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B ，根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断C ，根据相关系数的定义可判断D.【详解】对于选项A ，8个数据从小到大排列，由于825%2⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数0+2=12，故A 正确；对于选项B ，因为(),X B n p ~，()40E X =，()30D X =，所以40(1)30np np p =⎧⎨-=⎩，解得1,1604p n ==，故B 正确；对于选项C ，由()()1P N M P N +=，可得()()1P N M P N =-，即()()()P NM P N P M =，即()()()P NM P N P M =，所以M 与N 相互独立，故C 正确；对于选项D ，因为样本点都在直线132y x =-+上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为1-，故D 错误.故选：ABC.11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，则下列结论正确的是（）A.若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B.若对于三点,,A B C ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上”C.若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y -+=上，则(),d P M 的最小值是25-D.若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y -+=上，则(),d P M 的最小值是4【答案】AD 【解析】【分析】由定义即可判断A 选项，由数形结合即可判断出B 选项，C,D 选项是求点与点的“曼哈顿距离”距离，由基本不等式转化成点到点的平面距离，借助数形结合即可得出判断．【详解】对于A 选项：由定义可知(),21432d P Q =-+-=，故A 选项正确；对于B 选项：设点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 则()()()121213132323,,,,d A B d A C x x y y x x y y d B C x x y y +=-+-+-+-=-+-显然，当点A 在线段BC 上时，121323121323,x x x x x x y y y y y y -+-=--+-=-，()()(),,,d A B d A C d B C ∴+=成立，如图：过点B 作BE y ⊥轴，过点C 作EE x ⊥轴，且相交于点E ，过点A 作AD BE ⊥与D ，过点A 作AF CE ⊥与F ，由图可知121213132323x x y y x x y y BD AD AF CF BE CE x x y y -+-+-+-=+++=+=-+-，显然此时点A 不在线段BC 上，故B 选项不正确；对于C ，D 选项：当0,0a b >>a b ≥+≥∴想要(),d P M 最小，点M 到直线距离最小时取得，∴过原点O 作OM ⊥直线280x y -+=交圆于M ，如图：设(),M a b ，则25452,55OMbk M a ⎛⎫==-∴- ⎪ ⎪⎝⎭设点0,0，则()00,d P M x y =+-，又 当0,ab a b =+≥①当005x +=时，由()00544,25x y d P M =+=-+004x y =++-=-②当04505y -=时，由002885x y =-=-()00,8d P M x y =+-=-又48-<- ；(),d P M ∴的最小值为：4.故C 选项错误，D 选项正确.故选：AD【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要确定新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学相关知识处理即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(12)(13)x x -+的展开式中，含2x 的项的系数为________．（用数字作答）【答案】99【解析】【分析】先求二项式6(13)x +的展开式的通项，再由乘法法则求出6(12)(13)x x -+的展开式中含2x 的项即可得解.【详解】由题意得6(13)x +的展开式的通项为()166C 33C rr r r rr T x x +==，所以6(12)(13)x x -+的展开式中，含2x 的项为2221112663C 23C 99x x x x -⋅=，所以展开式中含2x 的项的系数为99.故答案为：99.13.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为F 和A ，连接AF 并延长交椭圆C 于B ，若32AOB AOF S S = ，则椭圆C 的离心率为_______．【答案】3【解析】【分析】先根据面积比例关系得出点B 的横坐标，点在直线AF 上得出B 的坐标，最后应用点B 在椭圆上得出2213c a =得出离心率.【详解】因为32AOB AOF S S = ，所以132122BAOB AOF OA x S S OA c ⨯==⨯ ，所以32B x c =，设()()0,,,0A b F c ，设直线():bAF y x c c =--，点B 在直线AF 上，所以2B by =-，点B 在椭圆上，可得22229441b ca b +=，所以2213c a =，即得3c a =.故答案为:3.14.设数列{}n a 的前n 项和为21212,1,1,23n nn n a a S a a a +++===．对任意()()*22221N ,21log log n n n n S a a λ+∈++>恒成立，则λ的取值范围为______.【答案】3,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据递推关系可得{}1n n a a +-为等比数列，即可结合累加法求解12n n a -=，由等比求和公式得21nn S =-，即可代入不等式化简得()22212n n n λ+>-⋅，构造()2212n nn b n =-⋅，作差得数列单调性，即可求解.【详解】由21213n nn a a a +++=，得()2112n n n n a a a a +++-=-，又211a a -=，所以数列{}1n n a a +-是以2为公比，1为首项的等比数列，所以112n n n a a -+-=，则()()()1231111221112222211212n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=-+-++-+=+++++=+=- ，进而数列{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列，可得122112nn n S -==--，不等式()()2222121log log n n n S a a λ+++>恒成立，即()()()2222122212nnn n n n λλ-+>⇒+>-⋅．设()2212n n n b n =-⋅，则()()()()()223211112121221221212n n n n n n n n n b b n n n n ++++-+--=-=+⋅-⋅-⋅+⋅，当1n ≥时，10n n b b +-<，为递减数列，所以()1max 12n b b ==，所以122λ+>，解得32λ>-．故答案为：3,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.锐角ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos 2b a B c +=，且a =，3b =.（1）求边c 的值；（2）求内角A 的角平分线AD 的长．【答案】（1）2c =（2）5AD =【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解可得1cos 2A =，即可利用余弦定理求解1c =或2c =，利用锐角三角形即可得2c =；（2）利用等面积法，结合三角形的面积公式即可求解．【小问1详解】因为2cos 2b a B c +=，由正弦定理可得：()sin 2sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A B C A B A B A B +==+=+，即sin 2cos sin B A B =，又因为π02B <<，则sin 0B ≠，可得1cos 2A =，又因为π02A <<，所以π3A =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即227323cos60c c =+-⨯⨯⨯︒，则2320c c -+=，解得：1c =，或2c =，由于三角形为锐角三角形，故2220a c b +->，故220c ->，进而只取2c =，故2c =.【小问2详解】根据面积关系可得ABC ABD ACD S S S =+ ，即11123sin 602sin 303sin 30222AD AD ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得：5AD =．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，1AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.（1）求点B 到平面MNC 的距离；（2）求直线MB 与平面BNC 所成角的余弦值.【答案】（1）63（2）5【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用向量点到平面的距离公式计算即可；（2）先求出直线与平面所成的角，可通过向量法，求出平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，最后根据三角函数关系求出余弦值.【小问1详解】因为2PD =，1AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,2)P ，因为M ，N 分别为DA ，DP 中点，所以1(,0,0)2M ，(0,0,1)N ，则1(,0,1)2MN =- ，1(,1,0)2MC =- ，1(,1,0)2MB = ，设平面MNC 的法向量为(,,)n x y z =，由00n MN n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即102102x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，则1y =，1z =，所以(2,1,1)n = ，则12111022MB n ⋅=⨯+⨯+⨯=，||n == 根据点B 到平面MNC的距离公式|63|||MB n d n ==⋅=.【小问2详解】首先设平面BNC 的法向量(,,)m a b c =，(1,1,1)BN =-- ，(1,0,0)BC =- ，由00m BN m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00a b c a --+=⎧⎨-=⎩，令1c =，则0a =，1b =，所以(0,1,1)m = ，设直线MB 与平面BNC 所成角为θ，则10111012MB m ⋅=⨯+⨯+⨯=，5||2MB ==，||m == ，所以||10sin 5||||MB m MB m θ⋅== ，因为22sin cos 1θθ+=，所以cos 5θ==，则直线MB 与平面BNC 所成角的余弦值155.17.某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的22⨯列联表：产品合格不合格合计调试前451560调试后35540合计8020100（1）根据表中数据，依据0.01α=的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y ，求使事件“Yk =”的概率最大时k 的取值.参考公式及数据：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.0250.010.0050.001x α5.0246.6357.87910.828【答案】（1）依据0.01α=的独立性检验，可认为参数调试与产品质量无关联（2）分布列见解析，数学期望为94（3）875【解析】【分析】（1）计算2χ的值，将其与0.01α=对应的小概率值比较即得；（2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数X 的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得；（3）分析得出7(1000,8Y B ，利用二项分布概率公式得出1000100071()C ()(),0,1,,1000,88kk k P Y k k -=== 再利用作商法分析得875k =时，事件“Y k =”的概率最大.【小问1详解】零假设为0H ：假设依据0.01α=的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；则220.01100(4553515) 2.344 6.63580204060x χ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，故依据0.01α=的独立性检验，没有充分证据说明零假设0H 不成立，因此可认为0H 成立，即认为参数调试与产品质量无关联；【小问2详解】依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，合格产品有458660⨯=件，不合格产品有2件，而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数X 的可能值有1,2,3.则126238C C 3(1),C 28P X ===216238C C 15(2),C 28P X ===363802C C 10(3)C 28P X ===.故X 的分布列为：X123P32815281028则15109()12328284328E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为357408=，故7(1000,8Y B ，则1000100071()C ()(),0,1,,1000,88kkkP Y k k -=== 由1199910001000100071C (()(1)10007000788771()11C ()()88k k k kk k P Y k k k P Y k k k ++--=+--====++，故由7000711k k ->+可解得78748k <，因Z k ∈，故当0874k <≤时，()P Y k =单调递增；由7000700011k k -≤+可解得78748k ≥，即当875k ≥时，()P Y k =单调递减.故当事件“Y k =”的概率最大时，875k =.【点睛】方法点睛：（1）计算卡方值，并与小概率值比较得出结论；（2）求随机变量的分布列关键在于判断X 满足的概率模型；（3）对于二项分布中概率最大值问题，一般考虑作商后分析判断商与1的大小即得.18.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，渐近线方程为12y x =±.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）双曲线的左､右顶点分别为12A A ､，过点()3,0B 作与x 轴不重合的直线l 与C 交于P Q ､两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，直线1AQ 与2A P 交于点T .（i ）设直线1A P 的斜率为1k ，直线2A Q 的斜率为2k ，若12k k λ=，求λ的值；（ii ）求2A ST 的面积的取值范围.【答案】（1）2214x y -=（2）（i ）15-；（ii ）2522,,933∞⎡⎫⎛⎫⋃+⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭【解析】【分析】（1）根据双曲线性质计算即可；（2）设直线l 方程及P Q 、坐标，联立双曲线方程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，（i ）利用两点斜率公式消元计算即可；（ii ）联立直线方程求出S T 、坐标，并求出ST ，利用三角形面积公式及2t 范围计算即可.【小问1详解】由题意知：124,2b a a ==，解得2,1a b ==，双曲线方程为2214xy -=.【小问2详解】因为直线l 斜率不为0，设直线l 方程为3x ty =+，易知()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立2214x y -=，得()224650t y ty -++=，则212212240Δ06454t t y y t y y t ⎧-≠⎪>⎪⎪⎨+=--⎪⎪=⎪-⎩，且()121256y y y y t =-+，（i ）()()21121121212121223222325ty k y x y ty y y k x y ty y ty y y λ+--+==⋅=⋅=++++()()121121212255165525556y y y y y y y y y y -++-===--+-++；（ii ）由题可得：()()2211:2,:2A Q y k x A P y k x =-=+.联立可得：()2112124410,333s k k x S k k k +⎛⎫==⇒ ⎪-⎝⎭，即()11104,332y S x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，同理()22104,332y T x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.()()()121212121212125101010532235535256y y y y y y ST x x ty ty t y y t y y -∴=-=-=++++-++++==，故2212A ST A S S ST x x =-= ，20t ≥且24t ≠，222,,933A STS ∞⎡⎫⎛⎫∴=∈⋃+⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭ .【点睛】关键点点睛：反设直线线并设点，联立双曲线方程后得出P Q 、纵坐标的和积关系，为后面消元转化减轻计算量.19.已知定义：函数()f x 的导函数为()f x '，我们称函数()f x '的导函数()f x ''为函数()f x 的二阶导函数，如果一个连续函数()f x 在区间I 上的二阶导函数()0f x ''≥，则称()f x 为I 上的凹函数;二阶导函数()0f x ''≤，则称()f x 为I 上的凸函数.若()f x 是区间I 上的凹函数，则对任意的12,,x x n x I ∈，有不等式()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立（当且仅当12n x x x === 时等号成立）.若()f x 是区间I 上的凸函数，则对任意的12,,n x x x I ∈ ，有不等式()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立（当且仅当12n x x x === 时等号成立）.已知函数()1f x x x =+，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.（1）试判断()f x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦为凹函数还是凸函数?（2）设12,x x ，L ，0n x >，2n ≥，且121n x x x +++= ，求1212111n nx x xW x x x =++++++ 的最大值;（3）已知*N a ∈，且当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()()sin sin 31cos 0x ax x f x x +-+>恒成立，求实数a 的所有可能取值.【答案】（1）凸函数（2）1n f n ⎛⎫⋅⎪⎝⎭（3）{}2【解析】【分析】（1）根据凹凸函数的定义判断即可；（2）由（1）知()f x 在π0,2⎛⎤⎥⎝⎦为凸函数，根据凸函数的性质结合题意即可求解；（3）令()sin sin 3cos h x x ax x x =+-，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则问题转化为ℎ>0在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，对a 分类讨论，结合导数的运算研究函数的单调性即可求解.【小问1详解】()1x f x x =+，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()()211f x x ='+，″()321x =-+，因为π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以″0<，所以()f x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦为凸函数.【小问2详解】由（1）知()1x f x x =+在π0,2⎛⎤⎥⎝⎦内为凸函数，又1212111n nx x xW x x x =++++++ ，且121n x x x +++= （12,x x ，L ，0n x >，2n ≥），所以()()()12121.nn x x x W f x f x f x n f n f n n +++⎛⎫⎛⎫=+++≤⋅=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以max 1.W n f n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭【小问3详解】令()sin sin 3cos h x x ax x x =+-，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则ℎ>0在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，则()cos 2cos 3sin h x a ax x x x =+'-，且()02h a '=-，当1a =，πππ3ππ3πsin sin cos 204444424h ⎛⎫⎫=+-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意舍去;当2a =，则()sin sin23cos h x x x x x =+-，故()2cos22cos 3sin h x x x x x =-+'，令()()k x h x ='，则()4sin25sin 3cos 8sin cos 5sin 3cos k x x x x x x x x x x=-++=-++'5sin 5sin cos 3cos 3sin cos x x x x x x x =-+-()()5sin 1cos 3cos sin x x x x x =-+-，令()sin g x x x =-，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()1cos 0g x x ='->，所以()g x 在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增，所以sin x x >，所以()'0k x >，即()()'k x h x =在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增，又()020h a -'==，则ℎ′>0，所以ℎ在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增，又()00h =，即ℎ>0，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，符合题意;当3a ≥，令0ππ0,12x a ⎛⎤=∈ ⎥-⎝⎦，则()0001πax x x a -=-=，()00sin sin πax x =+，所以()()00000000000sin sin 3cos sin sin 3cos 3cos 0h x x ax x x x x x x x x π=+-=++-=-≤，不合题意舍去，综上，正整数a 的取值集合为{}2.【点睛】方法点睛：求解“新定义”题目，主要分如下几步：（1）对定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；（3）对定义中提取的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；如果新定义是性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除.。
朝阳区2024-2025学年第一学期期中高三数学试题及答案
北京市朝阳区2024-2025学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷 2024.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{02}A x x =≤≤，集合{13}B x x =<<，则AB =（ ） A.{12}x x <≤ B.{02}x x ≤≤ C.{03}x x ≤< D.{13}x x << 2.若函数4()(0)f x x x x =+>在x a =处取得最小值，则a =（ ）A.1 C.2 D.43.下列函数中，既是奇函数又在区间(,0)−∞上单调递增的是（ ）A.2x y =B.ln ||y x =C.tan y x =D.2y x x=−4.如图，在ABC △中，13BD BC =，12AE AC =，则（ ） A.1133BD AB AC =− B.2233BD AB AC =− C.2136DE AB AC =−+ D.2136DE AB AC =− 5.已知单位向量i ，j 满足0i j ⋅=，设向量2c i j =−，则向量c 与向量i 夹角的余弦值是（ ）A.5−B.5− C.5 D.5 6.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（ ）A.1天B.2天C.3天D.4天7.已知α，β均为第二象限角，则“sin sin αβ>”是“cos cos αβ>”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数e ,0,()0.x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若直线y x m =+与函数()y f x =的图象有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.(,1](2,)−∞+∞ B.(,1)[2,)−∞+∞ C.(,0](2,)−∞+∞ D.(,0)[2,)−∞+∞9.在三棱锥O -ABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，点P 在底面ABC 内，已知点P 到OA ，OB ，OC 所在直线的距离分别为1，2，2，则线段OP 的长为（ ）A.22C.3D.92 10.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记S 为集合S 的元素个数，()S ϕ为集合S 的子集个数，若集合A ，B ，C 满足： ①99A =，100B =；②()()()()A B C B C Aϕϕϕϕ++=， 则A B C 的最大值是（ ）A.99 B .98 C .97 D .96第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算2i 1i=−________. 12.在ABC △中，已知3cos 5A =，则sin A =__________；tan(π)A −=________. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S An Bn =+（A ，B 为常数），写出一个有序数对(),A B =________，使得数列{}n a 是递增数列.14.某种灭活疫苗的有效保存时间T （单位：h ）与储藏的温度t （单位：℃）满足函数关系e kt b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h ，在5℃时的有效保存时间是360h ，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.15.对于无穷数列{}n a ，若存在常数0M >，对任意的*n ∈N ，都有不等式21321n n a a a a a a M +−+−++−≤成立，则称数列{}n a 具有性质P .给出下列四个结论： ①存在公差不为0的等差数列{}n a 具有性质P ；②以1为首项，(||1)q q <为公比的等比数列{}n a 具有性质P ；③若由数列{}n a 的前n 项和构成的数列{}n S 具有性质P ，则数列{}n a 也具有性质P ；④若数列{}n a 和{}n b 均具有性质P ，则数列{}n n a b 也具有性质P .其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）在ABC △中，cos cos 2a C c A a +=.（I ）求b a的值；（II ）若π6A =，c =b 及ABC △的面积. 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，2AB AD ==，3CD PD ==.（I ）求证：AB ⊥平面P AD ；（Ⅱ）求平面P AB 与平面PCD 的夹角的余弦值；（Ⅲ）记平面P AB 与平面PCD 的交线为l .试判断直线AB 与l 的位置关系，并说明理由.18.（本小题13分）已知函数()ln(1)()f x ax x a =−+∈R .（I ）若1a =，求()f x 的最小值；（II ）若()f x 存在极小值，求a 的取值范围.19.（本小题14分） 设函数2π()sin 2cos 2cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭. （I ）若1ω=，π6ϕ=，求π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（II ）已知()f x 在区间ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，且π3x =是函数()y f x =的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求ω，φ的值. 条件①：当π6x =−时，()f x 取到最小值； 条件②：π532f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 条件③：()f x 在区间ππ,36⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（II ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.（本小题15分）已知函数()e cos x f x x =+.（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（II ）讨论()f x 在区间(π,)−+∞上的零点个数；（III ）若()f m n =，其中0m >，求证：2n m −>.21.（本小题15分）若有穷正整数数列A ：1a ，2a ，3a ，…，2(3)n a n ≥满足如下两个性质，则称数列A 为T 数列： ①2122(1,2,3,,)i i i a a i n −+==； ②对任意的{1,2,3,,21}i n ∈−，都存在正整数j i ≤，使得112()i j j j j i j a a a a a ++++−=++++. （I ）判断数列A ：1，1，1，3，3，5和数列B ：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T 数列，说明理由； （II ）已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，2(3)n a n ≥是T 数列.（i ）证明：对任意的{2,3,,1}i n ∈−，2232i i a −=⨯与22132i i a −+=⨯不能同时成立；（ii ）若n 为奇数，求2462n a a a a ++++的最大值.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高三上学期期中考试理科 数学试题
2023-2024学年度上期高2024届半期考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．本试卷分选择题和非选择题两部分．3．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上．5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．6．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}{}220,21xA x x xB x =-<=>，则（）A ．B A ⊆B ．A B⊆C ．A B =RD ．A B =∅2．复数34i2iz +=+，则z =（）A B ．5C ．3D 3．执行如图所示程序框图，则输出结果是（）A ．热B ．爱C ．生D ．活4．某公司一种型号的产品近期销售情况如表：月份x23456销售额y （万元）15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程ˆˆ0.75yx a =+，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A ．18.85万元B ．19.3万元C ．19.25万元D ．19.05万元5．已知空间两不同直线m n 、，两不同平面αβ、，下列命题正确的是（）A ．若//m α且//n α，则//m nB ．若m β⊥且m n ⊥，则//n βC ．若m α⊥且//m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n α⊂，则m 不垂直于n6．如图，在ABC △中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是BC 边一点，2DC BD =，则AD BC ⋅等于（）A ．83-B ．83C ．23D ．23-7．将函数()cos2f x x =的图象向左平移2π个单位得到函数()g x 的图象，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数8．如图，平面四边形ABCD 中，1,2,AB AD CD BD BD CD ====⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．43πB ．32C ．43πD ．239．已知双曲线C 的两个顶点分别为12,A A ，若C 的渐近线上存在点P ，使122PA =，则C 的离心率范围是（）A ．(]1,3B ．[)3,+∞C ．(]1,2D ．[)2,+∞10．已知函数()()2ln 2x f x kx x kx k R =--∈，在()20,e 有且只有一个极值点，则k 的取值范围是（）A ．[)0,e B ．(){}2,0,2e e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C ．()2,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]0,e11．已知数列{}n a 满足()12121,1,54032n n n a a a a a n --=-=-+=≥，则1013a =（）A ．202321-B ．202421-C ．202621-D ．101321-12．已知0,0a b >>，则在下列关系①222a b +≤②1a b e -≤③1cos 23a b≥-④a b e ea e eb -=-中，能作为“2a b +≤”的必要不充分条件的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．曲线22ln 2y x x x =--+在点()1,1处的切线的倾斜角为______．14．已知40n xdx =⎰ ，则二项式()310nx x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______．15．数列{}n a 满足：2212212121,2,2n n n na a a a a a ++-==-==，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则23S =______．16．12F F 、分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，12PF F △的内切圆的圆心为I ，设直线12,IF IF 的斜率分别为11,23-，则椭圆的离心率为______．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，其外接圆半径为1，4,sin sin 11cos bA C B=+=-．（1）求cos B ；（2）求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M 是AB 的中点．（1）求证：CM ⊥平面FDM ；（2）若N 为线段FC 上一点，且FN FC λ= ，二面角F DM N --的余弦值为3，求λ的值．19．（本小题满分12分）体育强国是新时期我国体育工作改革和发展的目标和任务，我国要力争实现体育大国向体育强国的转变。
北京名校高三上学期期中考试数学(理)试题及答案
北京名校高三第一学期期中试卷（理科） 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．选出符合要求的一项填在答题卡上．）1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{1}B x x =≥，则A B = （ ）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-2．下列函数为奇函数的是（ ）．A．y ．e x y = C ．cos y x = D ．e e x x y -=-3．设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb = +．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）．A ．32-B ．53-C ．53D ．324．若x ，y 满足2030x y x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥+，则2x y +的最大值为（ ）．A ．0B ．4C ．3D ．55．若a ，b是两个非零的平面向量，则“||||a b = ”是“()()0a b a b +⋅-= ”的（ ）．A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）．正(主)视图侧(左)视图俯视图A．2+．4．2．57．已知函数42|log |,04()1025,4x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，若a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是（ ）．A ．(24,25)B ．(18,24)C ．(21,24)D ．(18,25)8．一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（ ）．A ．4，6B ．3，6C ．3，7D ．1，7第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．已知抛物线的方程24y x =，则其焦点到准线的距离为___________．10．若4sin 5θ=，tan 0θ<，则sin 2θ=__________．11．设4log πa =，14log πb =，4πc =，则a ，b ，c 的大小关系是___________．（从小到大用“<”连接）12．如图，在矩形ABCD中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB BF ⋅则AE BF ⋅的值是__________．E13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =___________．14．设函数3||,1()log ,1x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤． （1）如果(1)3f =，那么实数a =____________．（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数π()Asin(),0,02f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）在锐角ABC △中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且sin a A （1）确定角C 的大小．（2）若c ABC △，求22a b +的值．17．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足：25a =，4622a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ．（2）若21()1f x x =-，()(*)n n b f a n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分13分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==．D ABCEF（1）求证：BD ⊥平面AED ．（2）求二面角D BF C --的余弦值．（3）在线段AB （含端点）上，是否存在一点P ，使得FP ∥平面AED ，若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分14分）已知函数22()(24)ln (0)f x x ax x x a =->+．（1）当1a =时，求此函数对应的曲线在(1,(1))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调区间．（3）对[1,)x ∀∈∞+，不等式(24)ln x a x x ->-恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知集合123{,,,}(3)n S a a a a n = ≥，集合{(,),,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠且满足：i a ∀，(,1,2,3,,,)j a S i j n i j ∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立．对于T 定义1,(,),(,)0,(,),T a b T d a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩1211()(,)(,)(,)(,)(,)(1,2,3,,)T i T i T i T i i T i i T i n l a d a a d a a d a a d a a d a a i n -== +++++++．（1）若4n =，12(,)a a ，32(,)a a ，24(,)a a T ∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值．（2）取1()T l a ，2()T l a ， ，()T n l a 中任意删去两个数，即剩下的2n -个数的和为M ，求证：1(5)32M n n -≥+． （3）对于满足()1(1,2,3,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素e ，f ，g ，使得(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++恒成立，并说明理由．北京名校高三第一学期期中试卷（理科） 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．选出符合要求的一项填在答题卡上．）1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{1}B x x =≥，则A B = （ ）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}- 【答案】B【解析】{1,2}A B = ． 故选B ．2．下列函数为奇函数的是（ ）．A．y ．e x y = C ．cos y x = D ．e e x x y -=- 【答案】D【解析】A 选项，定义域0x ≥，∴yB 选项，定义域x ∈R ，e xy =非奇非偶； C 选项，定义域x ∈R ，cos y x =，偶函数；D 选项，定义域x ∈R ，()e e ()x xf x f x -=-=--，奇函数． 故选D ．3．设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb = +．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）．A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A【解析】∵b c ⊥，∴(1,1)(1,2)120b c k k k k ⋅=⋅== +++++，∴32k =-．故选A ．4．若x ，y 满足2030x y x y x -⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥+，则2x y +的最大值为（ ）．A ．0B ．4C ．3D ．5 【答案】B【解析】如图所示：3(,)x y 满足区域为阴影部分，令2z x y =+，2y x =-+z ， 当直线过A 时，z 取最大． 32y x y x =⎧⎨=⎩+，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，∴max 4z =． 故选B ．5．若a ，b是两个非零的平面向量，则“||||a b = ”是“()()0a b a b +⋅-= ”的（ ）．A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，∴22a b = ，∴||||a b = ． 故选C ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）．正(主)视图侧(左)视图俯视图A．2+．4．2．5 【答案】A【解析】原图形如图所示：212DAB C12222BCD S =⨯⨯=△，112ABD ACB S S ==⨯△△||AD，||AC ，∴122ACD S =⨯△∴表面积为2+ 故选A ．7．已知函数42|log |,04()1025,4x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤，若a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是（ ）．A ．(24,25)B ．(18,24)C ．(21,24)D ．(18,25) 【答案】A【解析】函数()f x 图象如图所示：若有四个不同数a ，b ，c ，d ， 使函数值相同，设a b c d <<<，∴44log log a b -=，∴44log log 0a b =+， ∴4ab =，c 与d 关于5x =对称， ∴45c <<，56d <<，10c d =+， ∴(10)cd c =-，(45)c <<，∴(24,25)cd ∈，∴(24,25)abcd ∈． 故选A ．8．一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（ ）．A ．4，6B ．3，6C ．3，7D ．1，7 【答案】D【解析】若正确密码中含有3，6，而3，6在第1，2，3，4位置都有，与各自位置均不正确矛盾，同理，含有4，6或3，7不正确．若密码中一定有1，7，而3，6在1，2，3，4位置都有，位置不正确， ∴1在三位，7在4位置． 故选D ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．已知抛物线的方程24y x =，则其焦点到准线的距离为___________． 【答案】2【解析】焦点到准线距离为2P =．10．若4sin 5θ=，tan 0θ<，则sin 2θ=__________．【答案】2425-【解析】4sin 5θ=，且tan 0θ<， ∴3cos 5θ=-，24sin22sin cos 25θθθ==-．11．设4log πa =，14log πb =，4πc =，则a ，b ，c 的大小关系是___________．（从小到大用“<”连接）【答案】b a c << 【解析】40log π1a <=<，14log π0b =<，4π1c =>，∴c a b <<，∴b a c <<．12．如图，在矩形ABCD中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB BF ⋅则AE BF ⋅的值是__________．E【解析】如图以A 为原点建系，∴B ，(0,2)D，(,2)F a，c ，E ，,2)AB AF a ⋅== ，∴1a =，2(12AE BF ⋅=⋅+13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =___________． 【答案】3222nn S ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭【解析】12n n S a =+，12n n S a -=，（2n ≥且*n ∈N ）， 作差：122n n n a a a =-+，123n n a a =+，（2n ≥且*n ∈N ），∴{}n a 为首项为1，公比为32的等比数列，3132223212nnn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==⋅- ⎪⎝⎭-．14．设函数3||,1()log ,1x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤． （1）如果(1)3f =，那么实数a =____________．（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___________． 【答案】（1）2-或4；（2）12a -<≤ 【解析】（1）若(1)3f =，即|1|3a -=，∴2a =-或4． （2）当1x >时，()20f x -=，得()2f x =， 即5log 2x =，得9x =．若()2f x =有两个解，则当1x ≤时，||2x a -=只有一个交点， 由||2x a -=得2x a =+或2x a =-．若当1x ≤时，且21a >+且21a -≤，即1a -≥且3a ≤， ∴13a -<≤．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知函数π()Asin(),0,02f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+∈><< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式．（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）π()2sin 26f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+（2）min ()2f x =-，max ()1f x =【解析】（1）由图可知115πππ212122T =-=，∴πT =，∴2ππT ω==，2ω=， 55πsin π0126f A ϕ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+． ∵π02ϕ<<，∴π6ϕ=．∵π(0)sin 16f A ==，∴2A =．∴π()2sin 26f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+．（2）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，5πππ2666x -≤≤+．当ππ262x =-+，即π3x =-时，min ()2f x =-．当ππ266x =+时，0x =时，max ()1f x =．16．（本小题满分13分）在锐角ABC △中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且sin a A （1）确定角C 的大小．（2）若c ABC △，求22a b +的值． 【答案】（1）π3C =；（2）13【解析】（1）sin sin a c A C =，∴sin C =， ∵090C <∠=︒，∴60C ∠=︒．（2）1sin 2ABC S ab C ==△6ab =， 2221cos 22a b c C ab -==+，∴2213a b =+． 17．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足：25a =，4622a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ．（2）若21()1f x x =-，()(*)n n b f a n =∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+，22n S n n =+（2）4(1)n nT n =+【解析】（1）465222a a a ==+，∴511a =， ∴5231156a a d -==-=，2d =， ∴5(2)221n a n n =-⨯=++，21(1)3(1)22n n n dS a n n n n n n -==-=+++．（2）2211111()1(21)141n n n b f a a n n n ⎛⎫=+==- ⎪--⎝⎭++， ∴1111111422314(1)n nT n n n ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭ +++++． 18．（本小题满分13分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，PC ⊥平面ABCD ，AE BD ⊥，CB CD CF ==．D ABCEF（1）求证：BD ⊥平面AED ．（2）求二面角D BF C --的余弦值．（3）在线段AB （含端点）上，是否存在一点P ，使得FP ∥平面AED ，若存在，求出APAB的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2（3）存在，12AP AB = 【解析】（1）∵AB CD ∥，60DAB ∠=︒，∴120ADC BCD ∠=∠=︒． ∵CB CD =，∴30CDB ∠=︒，∴90ADB ∠=︒，AD BD ⊥． ∵AE BD ⊥，且AE AD A = ，AE 、AD ⊂面AED ，∴BD ⊥面AED ． （2）知AD BD ⊥，∴AC BC ⊥．∵FC ⊥面ABCD ，CA ，CB ，CF 两两垂直，以C 为坐标原点， 以CA ，CB ，CF 为x ，y ，z 轴建系．设1CB =，则(0,0,0)C ，(0,1,0)B，1,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，(0,0,1)F，A ，∴3,02BD ⎫=-⎪⎪⎝⎭，(0,1,1)BF =- ． 设BDF 的一个法向量为000(,,)m x y z =，∴00003020y y z -=⎪-=⎩+，取01z =，则m ． 由于(0,0,1)CF =是面BDC 的法向量，则cos ,||||m CF m CF m CF ⋅<>==⋅∵二面角F BD C --（3）存在点(,,)P x y z ． 设AP AB λ=，(,)(,0)x y z λ=，∴x =，y λ=，0z =，∴,,0)P λ，,,1)FP λ=-．∵BD ⊥面AED，3,02BD ⎫=-⎪⎪⎝⎭．若PF ∥面AED ，∴PF BD ⊥，0BD =，3)02λ⎛⎫-=⎪⎝⎭+，∴12λ=，∴12APAB=，∴存在P为AB中点．x19．（本小题满分14分）已知函数22()(24)ln(0)f x x ax x x a=->+．（1）当1a=时，求此函数对应的曲线在(1,(1))f处的切线方程．（2）求函数()f x的单调区间．（3）对[1,)x∀∈∞+，不等式(24)lnx a x x->-恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）1y=（2）见解析（3）当1x=时，a∈R，当1x>时0a<【解析】（1）当1a=时，22()(24)ln(0)f x x x x x x=->+，∴(1)1f=，224()(44)ln2x xf x x x xx-'=-++，(1)0f'=，∴切线方程1y=．（2）224()(44)ln2x axf x x a x xx-'=-++(44)ln44x a x x a=--+(44)(ln1)x a x=-+．令()0f x'=，则1ex-=或x a=，当1ea<<时，()f x在(0,)a，1,e⎛⎫∞⎪⎝⎭+上为增函数．在1,ea⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1ea=时，()f x在(0,)∞+上为增函数，当1ea>时，()f x在10,e⎛⎫⎪⎝⎭，(,)a∞+上为单调递增，在1,ea⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．（3）当1x=时，a∈R，当x n>时，由(24)lnx a x x->-得42lnxa xx<+，对[1,)x∀∈∞+恒成立．设()2ln xg x x x=+，则 2222ln 12ln ln 1(2ln 1)(ln 1)()2(ln )(ln )(ln )x x x x x g x x x x ---'===+++，令()0g x '=得x 或1ex =，min ()g x g ==4a <0a < 20．（本小题满分14分）已知集合123{,,,}(3)n S a a a a n = ≥，集合{(,),,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠且满足：i a ∀，(,1,2,3,,,)j a S i j n i j ∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立．对于T 定义1,(,),(,)0,(,),T a b T d a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩1211()(,)(,)(,)(,)(,)(1,2,3,,)T i T i T i T i i T i i T i n l a d a a d a a d a a d a a d a a i n -== +++++++．（1）若4n =，12(,)a a ，32(,)a a ，24(,)a a T ∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值．（2）取1()T l a ，2()T l a ， ，()T n l a 中任意删去两个数，即剩下的2n -个数的和为M ，求证：1(5)32M n n -≥+．（3）对于满足()1(1,2,3,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素e ，f ，g ，使得(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++恒成立，并说明理由． 【答案】（1）2()1T l a =，4max ()2T l a = （2）见解析 （3）存在 【解析】（1）∵12(,)a a ，32(,)a a ，2(,)k a a T ∈，∴21(,)0T d a a =， 23(,)0T d a a =，24(,)1T d a a =，故2()1T l a =． ∵24(,)a a T ∈，∴42(,)0T d a a =，∴4414243()(,)(,)(,)1012T T T T l a d a a d a a d a a ==≤++++． （2）(,)(,)1T T d a b d b a =+，∴12211331111()[(,)(,)](,)(,)[(,)(,)]nT i T T T T T n n T n n i l a d a a d a a d a a d a a d a a d a a --==∑ ++++++21=C (1)2nn n =-． 设删去的两个数为()T k l a ，()T m l a ，则1(()(1)2T k T m l a l a n n M =--)+，∴()1T k l a n -≤，()1T m l a n -≤，且其中只有一个不等式中等号成立，不妨让()1T k l a n =-时，(,)1T k m d a a =，(,)0T m k d a a =，∴()2T m l a n -≤．∴1()()(1)232T k T m l a l a n n M n =---≤+，∴1(5)32M n n -≥+．（3）对()1(1,2,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中都存在三个不同元素e ，f ，g ，使(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++恒成立，任取集合T ，由()1(1,2)T i l a n i n <-= 可知1()T l a ，2()T l a ，()T n l a 中存在最大数，不妨记为()T l f ．∵()1T l f n <-，存在e S ∈，使(,)=0T d f e ，即(,)e f T ∈， 由()1T l f ≥可设集合{(,)}G x S f x T =∈∈≠∅， 则1l 中一定在元素g ，使得(,)=1T d g e ， 否则(e)()1T T l l f ≥+，与()T l f 最大数矛盾， ∴(,)1T d f g =，(,)=1T d g e ，即(,)(,)(,)=3T T T d e f d f g d g e ++．。
陕西省西安市第一中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试 高三数学（理科）试题命题人：付 功一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2x B x =-≥,则=⋂B C A R ( )(A))1,2(-- (B))0,1(- (C))0,1[- (D)]1,2(--2.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立； ④“平面对量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”. (A)1 (B)2 (C)3 (D)43．复数z 满足i z i 34)23(+=⋅-，则复平面内表示复数z 的点在( )（A ）第一象限 （B ）其次象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4.将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) （A ） 12π （B ）6π （C ） 3π（D ）56π5. 已知数列{}n a 为等差数列，满足OC a OB a OA 20133+=，其中C B A ,,在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（ ） （A ）22015（B ） 2015 （C ）2016 （D ）2013 6. 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则[])()(22x f x f y +=的最大值为（ ）（A ）33 （B ）22 （C ） 13 （D ）67.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 （ ）A ．（0，6π] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3π，π）8. 在ABC∆中，060=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则BC 的长为（ ） （A ）2 （B ）23 （C ）32 （D ）39.已知向量（，），（，），与的夹角为060,则直线021sin cos =+-ααy x 与圆()()21sin cos 22=++-ββy x 的位置 关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离 （C ）相切 （D ）随的值而定10．设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点N M ,，则MN 的最小值为（ ）（A ）2ln 2121+ （B ）2ln 2121- （C ） 2ln 1+ （D ）12ln - 11.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ） （A ）62 （B ）92 （C ） 122 （D ）15212．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．（A ）f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12 （B ）f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12 （C ）f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12 （D ）f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12二、填空题 :(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上). 13. 设向量)2,1(),1,(=+=b x x a ,且b a ⊥,则=x .１４．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =______时，0)(=k a f15在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2223()4S a b c =+- 则角C 的大小为。
浙江省金华市艾青中学高三上学期期中考试数学(理)试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则=…………（ ）A ．B ．C ．D ． 2．已知函数为奇函数,且当时, 则…………（ ）A ．B ．C ． D.． 3．在△中，“”是“”的………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是………………………………………………………………………………（ ）5．若为等差数列,是其前项和,且S 15 =,则tan 的值为………………( ) A ． B ． C ． D ．6.设为平面，为直线，给出下列条件：①,,//,//a b a b αββα⊂⊂ ② ③ ④其中能推出的条件是……………………………………………………… （ ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④7．若非零向量a ，b 满足︱a -b ︱=︱b ︱，则…………………………………………( )A ．︱2a ︱＜︱a -2b ︱B ．︱2b ︱＜︱a -2b ︱C ．︱2a ︱＞︱a -2b ︱D ．︱2b ︱＞︱a -2b ︱8．过点（，0）引直线与曲线交于A,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于………………………………………………（ ） A ． B ． C ． D ．9．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为，点在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为………………（ ）A ．B ．C ．D ． 10．若对任何，不等式11kx lx -≤≤-恒成立，则一定有…………（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.设函数⎩⎨⎧≥+<=.0,2,0,2)(x x a x x f x 若,则实数=________．12．若，则___________．13.设抛物线的焦点为F ，点A(0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．14.已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三形， 其尺寸如图所示，则其侧视图的周长为 ．15．已知实数、满足242y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，且)0()2()1(222>=-+-r r y x ，则的最小值为 ． 16．已知，若实数满足，则的最小值为 ．17．定义在满足：上的函数)(),1[x f +∞①；②当时，,则集合 )}61()(|{f x f x S ==中的最小元素是_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18、（本题满分14分）已知向量，，函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．19．（本题满分14分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为EC 中点． （1）求证：FG//平面PBD ；（2）当二面角B —PC —D 的大小为时，求FG 与平面PCD 所成角的正切值．20．(本题满分15分)已知数列满足)()1(2,1*11N n a a a n n n ∈-+==+.（1）若，求证：数列是等比数列并求其通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）求证： ++…+.21．（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．22．（本题满分15分）已知函数2()2||f x x x a =-+-. （1）若函数为偶函数，求的值； （2）若，求函数的单调递增区间；（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.2014学年第一学期高三期中考试 数学（理科）参考答案 2014.11的单调递减区间Z k k k ∈++],32,6[ππππ， ……… 7分 （2）31)62sin(2)(=++=πC C f是三角形内角，∴即： ………9分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：． ………10分 将代入可得：，解之得：, ………13分∴，． ………,14分 19．（本小题满分14分）.(1) 连接PE ，G .、F 为EC 和PC 的中点，∴⊂⊄∴，平面，平面PBD PE PBD ,//FG PE FG FG//平面PBD ………（5分）（2）以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图空间直角坐标系。
山东省百师联考2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含解析)
2024—2025学年高三期中考试数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（ ）A. B. C. D.2.“是“”的（ ）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.设向量，，，且，则（ ）A.3B.2C. D.4.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为，则该圆锥的内切球体积为（ ）A. B.C.5.函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（ ）A. B. C. D.{}1,2,3,4,5,6A ={}2B xx A =∈∈NA B =ð{}1,3,6{}3,4,6{}1,2,3{}4,5,6sin θ=π3θ=()2,2a = ()2,6b =- ()4,2c = ()a b c λ-⊥λ=2-3-6π4π4π3()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<π12()g x x ∈R ()()0g x g x +-=a 1-6.已知函数若方程恰有2个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.7.已知函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ）A.2B. C.1D.8.在平面直角坐标系内，方程对应的曲线为椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知方程的两个复数根为，，则下列说法正确的有（ ）A. B. C. D.10.设函数，则（ ）A.当时，的极大值大于0 B.当时，无极值点C.，使在上是减函数D.，曲线的对称中心的横坐标为定值11.已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则A.曲线的轨迹方程为B.若，为曲线上的动点，则的最小值为5C.过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点D.圆与曲线交于，两点，与直线交于，两点，则，，，四点围成的四边形的周长为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.记为等差数列的前项和，若，，则______.13.曲线在点处的切线与抛物线相切，则______.()()24,0,ln 1,01,x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨-<<⎪⎩()0f x ax -=a (],0-∞[]1,0-[)1,4-[)0,+∞()2f x +()21f x +(]0,1x ∈()4log f x x =94f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2-1-221x y xy +-=2240x x ++=1z 2z 122z z +=-212z z =124z z =12z =()321f x x x ax =-+-1a =-()f x 13a ≥()f x a ∃∈R ()f x R a ∀∈R ()y f x =C (),P x y ()1,0F 1x =-C 24y x=()4,2T M C MT MF +()1,0N -C 225x y +=C A B 1x =-E G A B E G n S {}n a n 347a a +=2535a a +=99S =2ln y x x =-()1,222y ax ax =-+a =14.已知双曲线：（，）与平行于轴的动直线交于，两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，，则双曲线的离心率是______；当直线运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是______.（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，内角，，的对边分别是，，，且满足.（1）求角；（2）若，求周长的取值范围.16.（15分）已知函数.（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，证明：.17.（15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，分别为，的中点，平面，且.（1）证明：平面；（2）若与平面所成的角是，求二面角的余弦值.18.（17分）如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.C 22221x y a b-=0a >0b >x A B ABC F AFAB ⊥AF AB =BF P AF FP =AP x Q FQFPABC △A B C a b c πsin cos 6a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A 2a =ABC △()2ln 1f x x x ax =-+()f x ()0,+∞a 0a <()0f x >P ABCD -ABCD E F AB PD PA ⊥ABCD 2PA AB ==//AF PCE FC ABCD π6F AC D --C 22221x y a b+=0a b >>2+213-l C ()3,1P M N（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程；（3）当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.19.（17分）若有穷数列（且）满足（），则称为数列.（1）判断下列数列是否为数列，并说明理由.①1，2，4，3；②4，2，8，1.（2）已知数列中各项互不相等，令（），求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列.（3）已知数列是且个连续正整数1，2，…，的一个排列，若，求的所有取值.C MN =l PM PN x PM 1k PN 2k 12k k {}n a *n ∈N 3n ≥112i i i i a a a a +++-≤-1,2,,2i n =⋅⋅⋅-{}n a M M M {}n a 1m m m b a a +=-1,2,,1m n =⋅⋅⋅-{}n a {}m b M {}n a (*m m ∈N )3m ≥m 1112m kk k aa m -+=-=+∑m2024—2025学年高三期中考试数学参考答案及评分意见1. D 【解析】因为，，所以，.故选D.2. C 【解析】当，或，，推不出；当时，必有“是“”的必要不充分条件，故选C.3. A 【解析】因为，，，所以；因为，所以，解得.故选A.4. B 【解析】设圆锥的底面半径为，则，所以设圆锥的内切球半径为，又圆锥的轴截面为等边三角形，所以，则内切球的体积.故选B.5. A 【解析】由，得.的图象上的所有点向左平移个单位长度后得的图象，由题意知为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数的图象过点.设的最小正周期为，则，所以，故.又，，且，可得，所以，.故选A.6. C 【解析】当时，，由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增.令，则，所以.当时，，，在上单调递减.令，则.作出的大致图象，如图所示.方程恰有2个不{}1,2,3,4,5,6A ={}2B x x A =∈∈N {}1,2,3B ={}4,5,6A B =ðsin θ=π2π3k θ=+k ∈Z 2π2π3k θ=+k ∈Z π3θ=π3θ=sin θ=sin θ=π3θ=()2,2a = ()2,6b =- ()4,2c = ()22,26a b λλλ-=+-()a b c λ-⊥ ()()()814131240a b c λλλλ-⋅=++-=-=3λ=r π26πr r ⋅⋅=r =R 113R ==344ππ33V R ==()max 2f x =2A =()f x π12()g x ()g x ()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x T 7ππ12122T -=2ππT ω==2ω=π2π12k ωϕ+=k ∈Z π2ϕ<π6ϕ=-()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()π02sin 16a f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭0x ≤()24f x x x =+()f x (),2-∞-(]2,0-()24g x x x =+()24g x x '=+()04g '=01x <<()()ln 1f x x =-()101f x x =<-'()f x ()0,1()()ln 1h x x =-()01h '=-()y f x =()0f x ax -=相等的实数解，也就是的图象与直线恰有两个公共点.由图易知所求的取值范围是.故选C.7. C 【解析】因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称；因为函数为奇函数，所以，即函数的图象关于点中心对称.又当时，，所以.故选C.8. C 【解析】因为，将点的坐标代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于原点对称；将点和的坐标分别代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于直线和对称.设直线与椭圆交于，两点，则解得或所以；设直线与椭圆交于，两点，则解得或所以.由椭圆性质可知，，()f x y ax =a [)1,4-()2f x +()()22f x f x +=-+()f x 2x =()21f x +()()21210f x f x ++-+=()f x ()1,0(]0,1x ∈()4log f x x =4997711222log 1444444f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-==--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221x y xy +-=(),x y --(),y x (),y x --y x =y x =-y x =A B 22,1,y x x y xy =⎧⎨+-=⎩1,1,x y =⎧⎨=⎩1,1,x y =-⎧⎨=-⎩AB =y x =-C D 22,1,y x x y xy =-⎧⎨+-=⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩CD =2a AB ==2b CD ==所以，.故选C.9. ACD 【解析】方程的两个复数根为，，由一元二次方程根与系数的关系得，，A ，C 正确；B 选项，，若，，则，B 错误；D 选项，由B 选项知，或，均有，D 正确.故选ACD.10. BD 【解析】对于A ，当时，，求导得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，极大值为，A 错误；对于B ，，当时，，即恒成立，函数在上单调递增，无极值点，B 正确；对于C ，要使在上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为，C 错误；对于D ，由，得曲线的对称中心的坐标为，D 正确.故选BD.11. ABD 【解析】对于A ，依题意，曲线是以为焦点，a =b =c ==2240x x ++=1z 2z 122z z +=-124z z =2240x x ++=1=-±11z =-+21z =-()22212113i 2z z =-+=-+=--≠11z =-+1-12z ==1a =-()321f x x x x =---()2321f x x x =--'()0f x '=13x =-1x =()0f x '>13x <-1x >()0f x '<113x -<<()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭()1,+∞1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 13x =-11111032793f ⎛⎫-=--+-< ⎪⎝⎭()232f x x x a =-+'13a ≥4120a ∆=-≤()0f x '≥()f x R ()f x ()f x R ()2320f x x x a =-+≤'2320x x a -+≤R ()32322222258113333327f x f x x x a x x x ax a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=---+--+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()y f x =129,3327a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ()1,0F直线为准线的抛物线，方程为，A 正确；对于B ，如图，过点作直线的垂线，交直线于，交抛物线于.令点到直线的距离为，则，当且仅当点与点重合时取等号，因此的最小值为，B 正确；对于C ，显然过点与曲线有且只有一个公共点的直线的斜率存在，设其方程为，由消去得，当时，直线与抛物线仅有一个公共点，当时，由，解得，显然直线，均与抛物线仅有一个公共点，因此过点与曲线有且只有一个公共点的直线有3条，C 错误；对于D ，直线交圆于点，，由得或从而，，所以四边形是矩形，其周长为，D 正确.故选ABD.12. 8 【解析】设等差数列的公差为，因为，，即解得则，所以.故答案为8.13. 1 【解析】设，则，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.1x =-24y x =T 1x =-1x =-E A M 1x =-d ,MF d MT MF MT d TE =+=+≥M A MT MF +5TE =()1,0N -C ()1y k x =+()21,4,y k x y x ⎧=+⎨=⎩x 2440ky y k -+=0k =0y =0k ≠216160k ∆=-=1k =±1y x =+1y x =--()1,0N -C 1x =-225x y +=()1,2E -()1,2G --2224,5,y x x y ⎧=⎨+=⎩1,2,x y =⎧⎨=⎩1,2,x y =⎧⎨=-⎩()1,2A ()1,2B -ABGE ()22412⨯+={}n a d 347a a +=2535a a +=11257,475,a d a d +=⎧⎨+=⎩14,3,a d =-⎧⎨=⎩()91989899437222S a d ⨯⨯=+⨯=⨯-+⨯=989S =()2ln f x x x =-()12f x x'=-()11f '=2ln y x x =-()1,221y x -=-1y x =+由消去，得，由，得.故答案为1.【解析】当时，设，则，解得.又，所以，又，所以，两边同时除以，得，解得.如图，因为，所以，设，则，，，所以，又.15.解：（1）由及正弦定理得，故，所以.21,2,y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩y ()2110ax a x -++=()2140a a ∆=-+-=⎡⎤⎣⎦1a =1+-AF AB ⊥()0,A c y -220221y c a b -=4202b y a =AF AB =22b c a=222b c a =-222c a ac -=2a 2210e e --=1e =+1e =PQF PAB △∽△FQ AB ABFP BP AF BF==+(),A x y (),B x y -2AB x =AF =BF =FQFP=22a ac c=1ca =1a c ==πsin cos 6a B b A ⎛⎫=-⎪⎝⎭πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11sin sin sin sin cos sin sin 22A B B A A B A B A ⎫=+=+⎪⎪⎭1sin sin cos 2A B B A =因为，，所以，因为，所以.（2）由（1）可知，，由余弦定理，得，又，所以.由基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立.又，即，又，所以，所以，即周长的取值范围是.16.（1）解：，，则.因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立.构造函数（），则，令，解得.当时，；当时，，所以在区间（0，1）上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，即.所以，即的取值范围为.（2）证明：方法一：由题意得的定义域为，当时，要证，即证，等价于证明.()0,πB ∈sin 0B ≠1πsin sin 023A A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()0,πA ∈π3A =π3A =222b c a bc +-=2a =224b c bc +=+222b c bc +≥42bc bc +≥4bc ≤2b c ==()22223416b c b c bc bc +=++=+≤04b c <+≤2b c a +>=24b c <+≤46a b c <++≤ABC △(]4,6()2ln 1f x x x ax =-+0x >()ln 12f x x ax =+-'()f x ()0,+∞()ln 120f x x ax =+-≤'()0,+∞ln 12x a x+≥()0,+∞()ln 12x g x x+=0x >()()22122ln 1ln 42x x xx g x x x⋅-+'-==()0g x '=1x =()0,1x ∈()0g x '>()1,x ∈+∞()0g x '<()g x ()1,+∞1x =()g x ()()max 112g x g ==12a ≥a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭()2ln 1f x x x ax =-+()0,+∞0a <()0f x >2ln 10x x ax -+>1ln 0x ax x-+>构造函数（），即证.因为，令，因为函数图象的对称轴为直线，所以在上单调递增，且，，所以存在，使得，所以当时，；当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，即（）.又因为，得，所以（）.令，，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，所以，即，所以.方法二：将看作以为变量的函数，其中，因为，所以关于单调递减.要证当时，，即证当时，，只需证当时，.令，则，令，解得.当变化时，，的变化情况如下表：－＋()1ln h x x ax x=-+0x >()min 0h x >()222111ax x h x a x x x-'+-=--=()21T x ax x =-+-()T x 102x a=<()T x ()0,+∞()010T =-<()10T a =->()00,1x ∈()200010T x ax x =-+-=()00,x x ∈()()0,0T x h x <<'()0,x x ∈+∞()0T x >()0h x '>()h x ()00,x ()0,x +∞0x x =()h x ()()000min 01ln h x h x x ax x ==-+001x <<20010ax x -+-=0011ax x -=-()0002ln 1h x x x =+-001x <<()2ln 1p x x x =+-0x >()221220x p x x x x'-=-=<()0,1()p x ()0,1()0,1x ∈()()11p x p >=()00h x >()min 0h x >()0f x >()f x a ()2ln 1a x a x x ϕ=-⋅++()0,x ∈+∞20x -<()a ϕa 0a <()0f x >0a <()0a ϕ>0a =()0ln 10x x ϕ=+≥()ln 1m x x x =+()ln 1m x x =+'()0m x '=1ex =x ()m x '()m x x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()m x '单调递减单调递增所以.综上，.，，即.17.（1）证明：如图，设的中点为，连接，，则且.又且，所以，，所以四边形为平行四边形，则.又因为平面平面，所以平面.（2）解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，，则且，又，所以.因为平面，所以平面，故与平面所成的角为，所以.所以在中，.又由菱形性质可得，所以，所以.所以，所以，，两两垂直.10分()m x ()min 1110e em x m ⎛⎫==-+> ⎪⎝⎭0a <()()()()100e f x a m x m ϕϕ⎛⎫=>=≥> ⎪⎝⎭()0f x >PC H FH EH //FH CD 12FH CD =//AE CD 12AE CD =//FH AE FH AE =AEHF //AF EH EH ⊂,PCE AF ⊄PCE //AF PCE BC G AG AD M FM CM //FM PA 12FM PA =2PA =1FM =PA ⊥ABCD FM ⊥ABCD FC ABCD FCM ∠π6FCM ∠=RtFCM △πtan 6FMCM ==AG CM =222AG BG AB +=AG BC ⊥AG AD ⊥AG AD AP以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，，，所以，，.由平面得平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则故取，所以为平面的一个法向量.设二面角的平面角为，由图可得为锐角，所以，所以二面角.18.（1）解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，结合椭圆的几何性质，得解得则，故椭圆的方程为.（2）解：设直线的方程为，，.由消去，整理得.A AG AD AP x y z 2PA AB ==()0,0,0A )1,0B-)C()0,2,0D ()0,1,1F ()0,0,2P ()0,1,1AF = ()CF =()0,0,2AP = PA ⊥ABCD ACD ()0,0,1n =FAC (),,m x y z =,,m AF m CF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 0,0.m AF y z m CF z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ x =3,3y z =-=)3,3m =- FAC F AC D --θθcos cos ,m n m n m nθ⋅=== F AC D --C 22221x y a b+=222,2.a c a c ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2b ==C 221124x y +=l 13y x m =-+()11,M x y ()22,N x y 221,31,124y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 22469360x mx m -+-=由，得，则，.解得或.10分当时，直线的方程为，此时直线过点；当时，直线的方程为，满足题目条件.所以直线的方程为.（3）证明：因为直线，均不与轴垂直，所以直线：不经过点和，则且，由（2）可知，，为定值.19.（1）解：①因为，所以数列1，2，4，3不是数列；②因为，所以数列4，2，8，1是数列.（2）证明：必要性：若数列是等差数列，设其公差为，则，所以数列是常数列.充分性：若数列是常数列，()()22614440m m ∆=--->m <<1232mx x +=2129364m x x -=MN ===2m =2m =-2m =l 123y x =-+l ()3,1P 2m =-l 123y x =--l 123y x =--PM PN x l 13y x m =-+()3,1-()3,10m ≠2m ≠()()1212121212111111333333x m x m y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭=⋅=----()()()()21212121211119339x x m x x m x x x x --++-=-++()()22222193613113619432936391833942m m m m m m m m m m -⋅--⋅+--===---⋅+2443->-M 422881-<-<-M {}n a d 1m m m b a a d +=-={}m b {}m b则（），即（），所以或.因为数列的各项互不相等，所以，所以数列是等差数列.综上可知，数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列.（3）解：当时，因为（），所以，不符合题意；当时，数列为3，2，4，1，此时，符合题意；当时，数列为2，3，4，5，1，此时，符合题意.下面证当时，不存在满足题意.令（），则，且，所以有以下三种可能：①②③当时，因为，由（2）知：，，…，是公差为1（或）的等差数列，当公差为1时，由得或，所以或，与已知矛盾.当公差为时，同理得出与已知矛盾.1m m b b +=1,2,,2m n =⋅⋅⋅-112m m m m a a a a +++-=-1,2,,2m n =⋅⋅⋅-112m m m m a a a a +++-=-()112m m m m a a a a +++-=--{}n a 112m m m m a a a a +++-=-{}n a {}n a {}n b 3m =12i i a a +-≤1,2i =12235a a a a -+-<4m =1223346a a a a a a -+-+-=5m =122334457a a a a a a a a -+-+-+-=6m ≥m 1k k k b a a +=-1,2,,1k m =⋅⋅⋅-1211m b b b -≤≤≤⋅⋅⋅≤112m kk bm -==+∑k b 1,1,2,,2,4,1;k k m b k m =⋅⋅⋅-⎧=⎨=-⎩1,1,2,,3,2,2,3,1;k k m b k m k m =⋅⋅⋅-⎧⎪==-⎨⎪=-⎩1,1,2,,4,2,3,2, 1.k k m b k m m m =⋅⋅⋅-⎧=⎨=---⎩1,1,2,,2,4,1k k m b k m =⋅⋅⋅-⎧=⎨=-⎩1221m b b b -==⋅⋅⋅==1a 2a 1m a -1-14m b -=14m m a a -=+14m m a a -=-1142m m a a a m m -=+=++>154m m m a a a --=-=1-所以当时，不存在满足题意.其他情况同理可得，不存在满足题意.综上可知，的所有取值为4或5.1,1,2,,2,4,1k k m b k m =⋅⋅⋅-⎧=⎨=-⎩m m m。
甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中考试理科数学试卷
西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理） 命题人：张丽娇 审题人：惠银东一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60项是符合题目要求的．）1.已知集合{}3,2,1,2A =---，{B x =2|56x x --≤}0，则A ⋂C R B =（ ）A ．{}3-B ．{}3,2,1---C ．{}3,2--D ．{}1,2- 2.集合{}{}201A x x ax a =++=⊆，则a 为（ ）A ．12-B ．()0,4a ∈C ．()[),04,a ∈-∞⋃+∞D ．()10,42a ⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭ 3.已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R ；命题 1:,1xq x e ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R ，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．()p q ⌝∨5.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝⎛⎭⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升到8000，则C 大约增加了(lg 2≈0.301)( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．50%6.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ）①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；A ．②③B ．③④C ．②④D ．③7.已知非常数函数f(x)满足f (−x )f (x )=1(x ∈R)，则下列函数中，不是奇函数的是（ ）A ．f (x )−1f (x )+1B ．f (x )+1f (x )−1C ．f (x )−1f (x )D ． f (x )+1f (x )8．已知3log 2a =，4log 3b =，23c =，则( ) A ．a c b << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<9．函数f (x )＝3|x |·cos 2x x的部分图象大致是( )10.若()f x 的定义域为R ，对,x y R ∀∈，()()()()(),11f x y f x y f x f y f ++-== 则()221k f k ==∑( )A ．－3B ．－2C ．0D ．111.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π， 且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A.[18,814]B.[274,643]C.[274,814]D.[18,27]12.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)<f(x)，则不等式e x f(x +1)<e 4f(2x －3)的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()3,01,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则()()2f f -=__________． 14.函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为__________． 15.∫(3−3sinx +√9−x 2)dx =__________．16．已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上单调递增，则 ①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减；④函数f (x )在[0,100]上有25个零点．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（14分）在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．“①函数y =√x 2+2x −k 的定义域为R ，②∃x ∈R ，使得|x −1|+|x −2|+k ⩽0， ③方程x 2+k =0有一根在区间[1,+∞)内”问题：已知条件p ：______，条件q ：函数f(x)=2x 2−kx 在区间(−3,a)上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最大值．18.（14分）已知函数f (x )=ln (m x x+1−1)(其中m ∈R 且m ≠0)是奇函数．（1）求m 的值；（2）若对任意的x ∈[ln2,ln4]，都有不等式f (e x )−x +lnk ≥0恒成立， 求实数k 的取值范围．19.（14分）已知函数f (x )＝x 2－2x +aln x(a ∈R)．(1)若函数在x ＝1处的切线与直线x －4y －2＝0垂直，求实数a 的值；(2)当a >0时，讨论函数f(x)的单调性．20.（14分）已知函数f (x )=2a+1a −1a 2x ，a >0 (1)证明:函数f (x )在（0，+∞）上单调递增；(2)设0<m <n ，若f (x )的定义域和值域都是[m,n ]，求n −m 的最大值.21.(14分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，， （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()122f x f x +>.。
高三数学(理科)上学期期中考试试卷(含标准答案)
高三数学（理科）上学期期中考试试卷（含标准答案）满分：150 时间：120分钟一、选择题 （本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+的共轭复数为（ ） A ．43i --B ．43i -+C ．43i +D ． 43i -2、设集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
（ ）A 、错误！未找到引用源。
B 、错误！未找到引用源。
C 、错误！未找到引用源。
D 、错误！未找到引用源。
3．已知向量21cos ,sin ,a b αα=-=（）,（），且//,a b 4tan πα-（）等于（ ） A ．－3 B ．3 C ．31 D ．31-4、设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ）A ．在区间),1(),1,1(e e 内均有零点B ．在区间),1(),1,1(e e 内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点5.下列有关命题的说法正确的是A ．命题“若0xy =错误！未找到引用源。
，则0x =错误！未找到引用源。
”的否命题为：“若0xy =错误！未找到引用源。
，则0x ≠错误！未找到引用源。
”B ．“若0=+y x ，则x ，y 互为相反数错误！未找到引用源。
”的逆命题为真命题C ．命题“R ∈∃x 错误！未找到引用源。
，使得2210x -<错误！未找到引用源。
”的否定是：“R ∈∀x 错误！未找到引用源。
，均有2210x -<错误！未找到引用源。
”D ．命题“若cos cos x y =错误！未找到引用源。
，则x y =错误！未找到引用源。
”的逆否命题为真命题6、已知a 是实数，则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是（ ）7．已知函数1x y a-=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点，若点在一次函数y mx n=+的图象上，其中,0m n >，则11m n+的最小值为（ ） A ．4 B ．2 C ．2 D ．18.．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
甘肃省兰州市第一中学2021届高三上学期期中考试 数学(理)
兰州一中2020-2021-1学期期中考试试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.2 3.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A.2 2B.17C.15D.2 56. ( )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( )212(),52xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩9.函数若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c ),则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－e ，1e C.[－e ，＋∞) D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有()'()ln 2f x f x >成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ()2log 013.30x x x f x x >⎧=⎨≤⎩已知函数，则18f f ⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ________．()22214.4=x x dx --+⎰定积分________.15.若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是_______________． ()()1123116.21x a x a x f x R a x -⎧-+<=⎨≥⎩已知函数的值域为，则实数的取值范围是______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足 (a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.18.(本题满分12分)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值.序号 分组（分数段） 频数（人数） 频率 1 [0, 60) a 0.1 2[60, 75)15b19.(本题满分12分)为迎接我校建校120周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，成绩均为整数）进行统计，制成如右图的频率分布表： （1）求,,,a b c d 的值；（2）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.20.(本题满分12分)已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21.(本题满分12分)已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－ax .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝e x ＋mx 2－2e 2－3，当a ＝e 2＋1时，对任意x 1∈[1，＋∞)，存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)≤ f (x 1)，求实数m 的取值范围.选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22.(本题满分10分)平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.23.(本题满分10分)已知函数()|21||23|f x x x =++-. (1)求不等式6)(≤x f 的解集；(2)若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.兰州一中2020-2021学年度高三第一学期期中数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分， 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( C ) A.0B.1C.2D.32.已知z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝( B )A.12B.22C.32D.23.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于( D ) A.12B.18C.24D.364.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( C ) A.6B.5C.4D.35.已知向量a ,b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( A ) A.2 2B.17C.15D.25.6.6.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则 ( C )A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.c b a <<7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是( A ) A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]8.函数y ＝2|x |·sin 2x 的图象可能是( D )9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b ＋2c 的取值范围是( B ) A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)10.函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在 [a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a >0，且a ≠1)是“半保值函数”，则t 的取值范围为( B ) A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－12，12 11.已知函数f (x )＝kx ＋1，g (x )＝e x ＋1(－1≤x ≤1)，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得点M ，N 关于直线y ＝1对称，则实数k 的取值范围是( D ) A.⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－e ，1eC.[－e ，＋∞)D.(]－∞，－e ∪⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ 12.已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x－1的解集为( C )A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(－∞，－2)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上.答在试卷上的答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 127． 14.定积分⎠⎛－22(4－x 2＋x )d x ＝___2π._____.15．若,,a b c 均为正数, 且346a b c ==, 则2c ca b+的值是___2____________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是_0≤a <12.___.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值. 解 (1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc . ∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C .∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C .∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C ).故当B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B cos C 取得最大值 3.18.（本题满分12分）如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点. (1)证明：MN ∥平面C 1DE ； (2)求二面角A －MA 1－N 的正弦值. (1)证明 如图，连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1∥DC ，可得B 1C ∥A 1D ，故ME ∥ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED . 又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ， 所以MN ∥平面C 1DE .(2)解 由已知可得DE ⊥DA ，以D 为坐标原点，DA →，DE →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，A 1(2，0，4)，M (1，3，2)，N (1，0，2)，A 1A →＝(0，0，－4)，A 1M →＝(－1，3，－2)，A 1N →＝(－1，0，－2)，MN →＝(0，－3，0).设m ＝(x ，y ，z )为平面A 1MA 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1M →＝0，m ·A 1A →＝0，所以⎩⎨⎧－x ＋3y －2z ＝0，－4z ＝0，可取m ＝(3，1，0).设n ＝(p ，q ，r )为平面A 1MN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝0，n ·A 1N →＝0，所以⎩⎨⎧－3q ＝0，－p －2r ＝0，可取n ＝(2，0，－1).于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝232×5＝155，则sin 〈m ，n 〉＝105，所以二面角A －MA 1－N 的正弦值为105. 19.（本题满分12分）为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P 的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X ，求X 的分布列以及X 的数学期望.解：(Ⅰ(Ⅱ)X 的可能取值为2，3，4.12(2)0.20.20.04,(3)0.20.80.20.064,P X P X C ==⨯===⨯⨯=1233(4)0.20.80.80.896P X C ==⨯+=所以分布列为：()20.0430.06440.896 3.856E X =⨯+⨯+⨯=20.（本题满分12分）已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎨⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*) 因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4， 则32<k <2或－2<k <－32. 则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2. 21.（本题满分12分）已知函数f (x )＝－a ln x ＋x ＋1－a x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝e x＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围.解(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax＋1＋a－1x2＝（x－1）（x－a＋1）x2，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.当a≤1时，a－1≤0，由f′(x)<0得0<x<1，由f′(x)>0得x>1，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.当1<a<2时，0<a－1<1，由f′(x)<0，得a－1<x<1，由f′(x)>0得0<x<a－1或x>1，所以函数f(x)在(a－1，1)上单调递减，在(0，a－1)和(1，＋∞)上单调递增. 当a＝2时，a－1＝1，可得f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a>2时，a－1>1，由f′(x)<0得1<x<a－1，由f′(x)>0得0<x<1或x>a－1，所以函数f(x)在(1，a－1)上单调递减，在(0，1)和(a－1，＋∞)上单调递增.(2)当a＝e2＋1时，由(1)得函数f(x)在(1，e2)上单调递减，在(0，1)和(e2，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(e2)＝－e2－3.对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，即存在x 2∈[1，＋∞)，使g (x 2)的函数值不超过f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值－e 2－3.由e x ＋mx 2－2e 2－3≤－e 2－3得e x ＋mx 2≤e 2，m ≤e 2－e xx 2. 记p (x )＝e 2－e xx 2，则当x ∈[1，＋∞)时，m ≤p (x )max . p ′(x )＝－e x x 2－2（e 2－e x ）x （x 2）2＝－e x x ＋2（e 2－e x ）x 3， 当x ∈[1，2]时，显然有e x x ＋2(e 2－e x )>0，p ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，e x x ＋2(e 2－e x )>e x x －2e x >0，p ′(x )<0，故p (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，得p (x )max ＝p (1)＝e 2－e ，从而m 的取值范围为(－∞，e 2－e].四．选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.请在答题卷上注明题号.）22. （本题满分10分）坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值.解 (1)将直线l 的极坐标方程ρ(cos θ－sin θ)＝1化为直角坐标方程为x －y －1＝0.将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程为x 2＋y 2＝9. (2)由(1)知点M (0，－1)，故直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)，代入圆的方程为t 2－2t －8＝0，设A ，B 对应的参数为t 1和t 2，所以t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝－8.故⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝28. 23．（本题满分10分）已知函数()|21||23|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）原不等式等价于即不等式的解集为}21|{≤≤-x x .，解此不等式得53>-<a a 或.。
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襄阳五中高三年级上学期期中考试数学（理）试题.11.18本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．若集合}1|{2<=x x M ，}1|{xxy x N -==，则N M = A ．M B ．N C ．φ D ．}10|{}01|{<<<<-x x x x2．已知命题p:“[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题q:“2,220x R x ax a ∃∈++-=”若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. {}21a a a ≤-=或 B.}2|{-≤a aC. {}1a a ≥D. {}21a a -≤≤3．已知cos 0()(1)10xx f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩，则)34()34(-+f f 的值等于A ．2-B ．1C ．2D ．3 4．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ；其中正确的命题个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，*)(*,11N n N b a ∈∈，则数列nb{a }前10项的和等于A.55B.70C. 85D. 1006．若2220122(1)n nn x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+ 令n a a a a n f 2420)(+⋅⋅⋅+++= 则=+⋅⋅⋅++)()2()1(n f f f A.)12(31-n B.)12(61-n C.)14(34-n D.)14(32-n 7．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有)23()(+-=x f x f ，且1)1(=-f ，2)0(-=f ，则(1)(2)(3)(2011)f f f f ++++的值为A ．－2B ．－1C ．0D ．1 8．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，246)4)(2(!!⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=n n n n 当n 为奇数时，135)4)(2(!!⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=n n n n现有四个命题：①(2007!!)(2006!!)2007!=， ②!10032!!2006⨯=，③2006!!个位数为0，④2007!!个位数为5 其中正确的个数为A.1B.2C.3D.49．函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于２），则()12f x x 的最小值为 A ．35 B ．23 C ．45D ．554-10．如图，在∠AOB 的两边上分别为A 1、A 2、A 3、A 4和B 1、B 2、B 3、B 4、B 5共9个点，连结线段A i B j （1≤i≤4,1≤j≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有“和睦线”的对数是A ．60B ．62C ．72D ．124二、填空题：本大题共5小题. 每小题5分，满分25分. 11．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）。
为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，在从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3500元/月）收入段应抽出 人。
[来源:学科网ZXXK] 12．7)1(xx -展开式中第４项的系数等于 .[来源:]13．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对（x ，y ）的概率是 .14． 在平面直角坐标系xoy 中已知△ABC 的顶点A(－6，0) 和C(6，0)，顶点B 在双曲线1112522=-y x 的左支上，则=-BCA sin sin sin0．0005 0．0004 0．00030．0002 0．0001 频率/组距 开始给出可行域 1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 在可行域内任取有序数对（x ，y ）2212x y +≤输出数对（x ,y ）结束是否GFDECBA15．以下2题中任选一题，若2题.在极都做，以第一题为准。
（1）坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标是 ．（2）如图，在ABC ∆中，BC DE //，CD EF //，若BC=3，DE=2，DF=1，则AB 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.16．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，C B A ,,成等差数列，向量),1,0(-=向量)2cos 2,(cos 2CA =，求：||p n +的取值范围。
17．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：23123456f(x)=x,f(x)=x ,f(x)=x ,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2. （1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望. [来源:学.科.网]18．(本小题满分12分) 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =2π，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、C D 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，G 是BC 的中点。
沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图) . (1) 当x=2时，求证：BD ⊥EG ；(2) 若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值； (3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值.AD B CEF19．（本小题满分12分）某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.20．(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0,1a a ≠≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21=+n n nSb a ，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n .求证：123n T n >-．21．(本小题满分14分) 已知函数21f(x)=lnx,g(x)=ax +bx (a 0).2≠ （I ）若a= 2 , h(x)=f(x)g(x)－时函数－ 在其定义域是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设函数2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)ϕϕ的最小值；（III ）设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.襄阳五中高三（上）期中数学试题（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BADBCDDCBA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分. 11． 40． 12．-35． 13．4π． 14． 65． 15．答案：（1，2π-）答案：29．三、解答题：16．（本小题满分12分）17． 解：（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知.51)(2623==C C A P ………………4分（2）ξ可取1，2，3，4.103)2(,21)1(151316131613=⋅=====C C C C P C C P ξξ，201)4(,203)3(1313141115121613141315121613=⋅⋅⋅===⋅⋅==C C C C C C C C P C C C C C C P ξξ； 故ξξ 1234P[来源:学|科|网Z|X|X|K]21 103 203 201.47201420331032211=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………12分 答：ξ的数学期望为.4718．解：（1）（法一）∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,∴AE ⊥面平面EBCF ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE ⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xy z ． 则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2），E （0，0，0）[来源:学#科#网] BD =（－2，2，2），EG =（2，2，0） BD EG ⋅=（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴BD EG ⊥（法二）作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ， 而EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH 。
又四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ， BH ⋂DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ，而BD ⊂平面DBH ，∴ EG ⊥BD 。
…………4分 （或者直接利用三垂线定理得出结果） （2）∵AD ∥面BFC ，所以 ()f x =V A-BFC ＝AE S BFC ⋅∆31＝x x ⋅-⋅⋅⋅)4(421312288(2)333x =--+≤，即2x =时()f x 有最大值为83．………………8分（3）（法一）设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z =，∵AE=2, B （2，0，0），D （0，2，2），F （0，3，0）,∴(2,3,0),BF =-BD =（－2，2，2）,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BF n BD n ， x G F D E CB A yz G FDECB AHH _ EMFD A即⎩⎨⎧=-⋅=-⋅0)0,3,2(),,(0)2,2,2(),,(z y x z y x ，2220230x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩ 取x ＝3，则y ＝2，z ＝1，∴1(3,2,1)n =面BCF 的一个法向量为2(0,0,1)n = 则cos<12,n n 1414||||2121=⋅n n . 由于所求二面角D-BF-C 的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为：－1414……12分（法二）作DH ⊥EF 于H ，作HM ⊥BF ，连DM ．由三垂线定理知 BF ⊥DM ，∴∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角．由△HMF ∽△EBF ，知HM HF＝BE BF ，而HF=1，BE=2，BF ，∴HM 又DH ＝2，∴在Rt △HMD 中，tan ∠DMH=-DHHM因∠DMH 为锐角，∴cos ∠DMH 14， 而∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角， 故二面角D-BF-C 的余弦值为－14． 19．解：（1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y =984022-+-x x .………………2分 （2）解不等式 984022-+-x x ＞0,得 5110-＜x ＜5110+.∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17.故从第3年工厂开始盈利. ………………4分（3）(i) ∵）x x x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立.∴ 到，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.…………8分(ii) y=-2x 2+40x-98= -2（x-10）2+102， ∴当x=10时，y max =102.故到，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.从年平均盈利来看，第一种处理方案为好。