数学北师大九年级下册二次函数的概念优秀导学案

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九年级数学下册第2章二次函数1复习导学案新版北师大版_

第二章二次函数（1）
一、知识梳理
1．二次函数的概念
一般地，形如(a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
2．二次函数的图象
二次函数的图象是一条，它是轴对称图形，其对称轴平行于轴．
[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．
3．二次函数的性质
4.二次函数图象的平移
一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．
二、题型、技巧归纳
类型一二次函数的定义应用
例1 已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．
[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.。

北师版九年级下册第二章二次函数复习导学案

7、二次函数的最值问题和增减性：
系数a的符号
当时，
最值
增小.
a＜0
最大值
时y随x的增大而增大.
至善中学九年级数学学科导学案
三、例题精析
例1：函数、、的图象的共同特征是（）
（A）开口都向上，且都关于y轴对称
（B）开口都向下，且都关于x轴对称
（C）顶点都是原点，且都关于y轴对称
（D）顶点都是原点，且都关于x轴对称
分析：C.
【回顾】研究二次函数的图象与性质，一般从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点、最值等来观察和探究。注意其中的规律
例2：已知二次函数 .
（1）用配方法化为的形式.
（2）写出它的顶点坐标和对称轴，并画出它的图象.
（3）根据图像指出：
①当取何值时，随值的增大而减小.
⑦能用二次函数解决简单的实际问题
课题：二次函数的复习主备人：赵伟时间：2013/2/9
1、认识二次函数是常见的简单函数之一，也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.理解二次函数的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围.
2、能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题.
②当取何值时，有最大（小）值，值是多少？
③抛物线与、两坐标轴的交点坐标.
④当取何值时 .
例3：已知△ 中，，上的高，为
上一点，，交于点，交于点（不过、），设到的距离为，则△ 的面积关于的函数的图象大致为（）
分析：D
利用△AEF与△ABC相似，确定EF的长，写出关于的函数关系式，确定自变量x的取值范围，从而知晓。

北师大版九年级下第二章二次函数导学案

2.1二次函数所描述的关系学习目标、重点、难点【学习目标】1.从实际情景中经历探索和表示两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。

2.会表示简单变量之间的二次函数关系。

3.能够利用尝试求值的方法解决实际问题。

（如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题）。

【重点难点】1.二次函数的概念和一般表达式；表示简单变量之间的二次函数关系。

2.从实际情景中列出二次函数关系式，并考虑函数的自变量的取值范围。

知识概览图⎧⎨⎩利用尝试求值的方法解决实际问题二次函数所描述的关系二次函数的定义新课导引【生活链接】一个果园里有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．【问题探究】(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式； (3)在上述问题中，种多少棵橙子树可以使果园橙子的总产量最多?最多为多少个? 【点拨】解这类问题就需要利用二次函数的有关知识．教材精华知识点1 利用尝试求值的方法解决实际问题我们利用尝试求值的方法来解决“新课导读”中的问题．(1)如果设果园增种x 棵树，那么果园共有(x ＋100)棵橙子树．因为每增加一棵树，平均每棵树少结5个橙子，所以增种x 棵树，平均每棵树结(600－5x )个橙子．(2)由(1)可得果园橙子的总产量y＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋l00x＋60000．(3)我们得到一个函数关系式y＝－5x2＋l00x＋60000，它与我们过去学过的y＝kx，y＝kx＋b，y＝kx(k≠0)有所不同，它的最高次项x2的次数是2，且x2的系数为－5，这就是我们要研究的二次函数的关系式．果园增种多少棵树，可以使果园的总产量最多?我们可以试着通过数值统计的方法逐步去猜想．试着列出下表：我们看到，增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多，为60500个．下面我们再看一个生活中的问题．银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．一年到期的本息和是100＋100x＝100(1＋x)，第二年转存后到期的本息和为100(1＋x)＋100(1＋x)x＝100(1＋x)2，所以y=100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100．若考虑利息税(利息税为20％)，每100元的利息税为20x，则y＝100(1＋0.8x)2=64x2＋160x＋100．拓展由以上两个情境我们知道，它们都具有y＝ax2＋bx＋c的形式(a，b，c是常数，a≠0)．知识点2 二次函数的定义一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．拓展 (1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，因此，把y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式．(2)在一般式中，只有a≠0时，y=ax2＋bx＋c才是二次函数；当a=0时，y＝bx＋c，若b≠0，则它是一次函数，若b＝0，则y=c是一个常函数．(3)在y=ax2＋bx＋c中，x的取值范围是全体实数，且按x的降幂排列．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程．┃规律方法小结┃判断一个函数是否是二次函数，不能只从表面看，而应紧扣二次函数的定义进行类比，若函数的形式较复杂，可以进行恒等变形，转化为一般式，再给予判断．课堂检测基本概念题1、在下列函数中，y是x的二次函数的是 ( )A．x＋y2－1=0B．y＝(x＋1)(x－1)－(x－1)2C．y=221xD．x2＋3y－2＝02、在下列函数关系中，可以看做二次函数y＝ax2＋bx＋c的模型的是 ( )A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶时间的关系B．某地区人口自然增长率为l％，这个地区的人口总数随年份变化的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D．圆的周长与圆的半径的关系基础知识应用题3、在半径为4 cm的圆中挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环面积为y cm2，则y与x 之间的函数关系式为（）A．y=πx2－4 B．y=π(2－x)2C．y＝－(x2＋4) D．y=－πx2＋16π综合应用题4、如图2－1所示，矩形的长为4 cm，宽为3 cm，如果将其长与宽都增加x(cm)，那么面积增加y(cm2)．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?5、如图2 - 2所示，已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC边的长为10，∠B与∠C都为锐角，M为AB边上的一动点(M与点A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x，S△AMN ＝y，试求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．探索与创新题6、设直线y=kx＋b(k≠0)与二次函数y＝ax2的图象的两个交点的横坐标分别为x1和x2，且直线与x轴交点的横坐标为x3，求证123111.x x x+=体验中考小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、┃分析┃先将函数式进行变形x转化为用；的代数式表示y的形式，再类比二次函数的定义．把A变形为y2＝－x＋1，自变量x的最高次数不是2，y的次数不是1，故A不是．把B变形为y＝2x －2，自变量x的最高次数不是2，故B不是．因为C的右边是关于x的无理式，不是整式，故C不是．把D变形为y=－13x2＋23，符合二次函数的定义．故选D．【解题策略】要判断一个函数是不是二次函数，应先把关系式化简整理成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，再来判断．判断时要根据以下三点：(1)函数的关系式是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．要同时具备这三点才是二次函数．2、┃分析┃A中的速度=路程时间，所以速度与时间是反比例关系．B中人口总数与年份的关系很难确定．D中圆的周长C＝2πr，周长与半径成正比例关系．故选C.【解题策略】解此题的关键是准确列出各关系式，再作出判断．3、┃分析┃剩下的圆环面积应为π(R2－r2)，其中R和r分别为大圆和小圆的半径．由题意得y ＝π(42－x2)=-πx2＋16π.故选D．【解题策略】准确运用圆的面积公式．4、┃分析┃根据题意建立x与y之间的关系式，然后用含x的代数式表示y，使y的系数为1．解：(1)根据题意，得y ＝(4＋x )(3＋x )－3×4＝12＋7x ＋x 2－12＝x 2＋7x ． (2)上述函数是二次函数． (3)x ≥0．【解题策略】解此题的关键是运用数形结合思想．5、┃分析┃本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，而x 的取值范围应根据MN 所处的位置判定．解：∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴2()AMN ABCS MN SBC=．而BC ＝10，S △ABC ＝25，∴y =14x 2(0<x <10)．【解题策略】注意相似三角形的面积比等于相似比的平方的正确运用．6、┃分析┃ 因为两个函数图象的交点是两个图象的公共点，交点的坐标是由这两个函数解析式联立而成的方程组的解，其横坐标就是由方程组消去y 所得的关于x 的一元二次方程的解，不需要解方程，可根据根与系数的关系求出x 1x 2，x 1＋x 2的值．证明：由题意得2y kx b y ax =+⎧⎨=⎩①,②,将①代入②，得ax 2－kx －b ＝0． ∵x 1，x 2是两个函数图象的交点的横坐标， ∴x 1，x 2是方程ax 2－kx －b ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝b a-， ∴12121211.x x k x x x x b++==- 又∵直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与x 轴交点的横坐标为x 3，∴0=kx 3＋b ，∴x 3=123111,.b k x x x -∴+=【解题策略】对于一次函数式与二次函数式联立以后求一元二次方程的解的问题，要注意根与系数的关系的应用，有时会给解题带来很多方便．体验中考┃分析┃根据矩形的面积公式来确定解析式．解：根据题意，得S ＝6022x-·x =-x 2＋30x ．即S ＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围是0＜x ＜30．22．1．3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象(二)学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象；2、掌握二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；3、掌握抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；【重点难点】1、二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象；2、二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；3、抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的性质；知识概览图图象：与二次函数y =ax 2的图象形状相同，只是位置不同，可由y =ax 2的图象沿x 轴经过左、右平移得到①当a ＞0时，开口向上，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞h 时，y随x 的增大而增大，顶点是抛物线的最低点，即当x =h 时，y min ＝0 ②当a ＜0时，开口向下，当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小，顶点是抛物线的最高点，即当x ＝h 时，y m a x ＝0新课导引还记得上节我们提到的永和桥吗?如果建立如右图所示的平面直角坐标系，你还能求出该抛物线的解析式吗?【问题探究】该抛物线可以看成是由抛物线y ＝ax 2向右平移175个单位得到的，其顶点坐标为(175，0)，因此可设其解析式为y ＝a (x －175)2，由A(0，－85)可得－85＝1752a ，解得a ≈－0.0028．【解析】解析式为y ＝－0.0028(x －175)2．教材精华知识点1二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x －1)2，y ＝(x ＋1)2的图象．二次函数 y =a (x －h )2性质(1)列表：x …－3－2－10 1 2 3 …y=x2… 4 1 0 1 4 …y=(x－1)2… 4 1 0 1 4 …y=(x＋1)2… 4 1 0 1 4 …(2)描点．(3)连线，如图所示．拓展函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象形状相同，位置不同．函数y＝a(x－h)2的图象可由函数y＝ax2的图象经过左、右平移得到．当h＞0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向右平移|h|个单位得到的；当h＜0时，函数y＝a(x－h)2的图象可以看成是将函数y＝ax2的图象向左平移|h|个单位得到的．抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2之间的关系可见下表：y=ax2(a≠0)向左平移|h|个单位向右平移|h|个单位y=ax2(a＞0)y=a(x－h)2(a＞0，h＜0)y＝a(x－h)2(a＞0，h＞0)y=ax2(a＜0)y=a(x－h)2(a＜0，h＜0)y=a(x－h)2(a＜0，h＞0)知识点2抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)的性质抛物线y＝a(x－h)2的对称轴是直线x＝h，顶点坐标为(h，0)．当a＞0时，抛物线的开口向上，在直线x＝h的左侧，抛物线呈下降趋势，在直线x＝h的右侧，抛物线呈上升趋势，顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线的开口向下，在直线x=h的左侧，抛物线呈上升趋势，在直线x＝h 的右侧，抛物线呈下降趋势，顶点是抛物线的最高点．拓展抛物线y＝a(x－h)2的性质与抛物线y＝ax2的性质既有相同点，也有不同点，如下表所示：函数对称轴顶点坐标抛物线的趋势最低(高)点y=ax2y轴(0，)当a＞0时，在对称轴左侧，抛物线呈下降趋势，在对称轴右侧，抛物线呈上升趋势；当a<0时，在对称轴左侧，抛物线呈上升趋势，在对称轴右侧，抛物线呈下降趋势当a＞0时，y＝ax2的图象有最低点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最低点(h，0)；当a＜0时，y=ax2的图象有最高点(0，0)，y＝a(x－h)2的图象有最高点(h，0)知识点3 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)有如下性质：(1)二次函数y＝a(x－h)2(a＞0)，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＝h时，函数有最小值是0．(2)二次函数y＝a(x－h)2(a＜0)，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时,y随x的增大而减小，当x＝h时，函数有最大值是0．拓展对于二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当a＞0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＜y2；当a＜0时，若|x1－h|＜|x2－h|，则y1＞y2；而对于任何a≠0，若|x1－h|＝|x2－h|，则y1＝y2．课堂检测基础知识应用题1、在同一直角坐标系中，画出函数y＝－12x2与y＝－12(x－1)2的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线y＝－12(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－12x2作怎样的平移得到的?(2)求函数y＝－12(x－1)2的图象的对称轴；(3)求函数y＝－12(x－1)2的最值．综合应用题2、二次函数y＝(x－k)2与直线y＝kx(k＞0)的图象在同一直角坐标系中的大致位置是(如图所示) ( )3、已知二次函数y1＝a(x－h)2与直线y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，其中A(0，－1)，B(1，0)．(1)求二次函数和直线的解析式，并画出这两个函数的图象；(2)当y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2时，分别求出自变量x的取值范围．探索创新题4、如图所示，下列说法正确的是( )A．当y1＜y2时，自变量x的取值范围不能确定B．当y1＜y2时，－1＜x＜3C．当y1＜y2时，－1≤x≤3D．当y1＜y2时，x＜－1或x＞3体验中考1、抛物线y＝－2x2－4x－5经过平移后得到抛物线y＝－2x2，平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位2、二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是( )A．2 B．1 C．－1 D．－2 学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析用描点法画出图象后，可根据图象回答问题．解：函数y=－12x2与y=－12(x－1)2的图象如图所示．(1)抛物线y＝－12(x－1)2可以看成是将抛物线y＝－12x2向右平移1个单位长度得到的．(2)函数y＝－12(x－1)2的图象的对称轴是直线x＝1．(3)对于函数y＝－12(x－1)2，当x＝1时，y有最大值，最大值是0．【解题策略】本题主要考查二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质，要注意与y＝ax2(a≠0)对比学习，从而得出抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)与y＝ax2(a≠0)形状相同，只是位置不同的结论．2、分析∵k＞0，∴直线y＝kx经过第一、三象限，而抛物线y＝(x－k)2可以看成是将抛物线y＝x2向右平移k个单位长度得到的．故选B.【解题策略】解决此类问题时，关键是掌握各种函数的性质及图象的特征，再根据已知条件综合考虑问题，从而得出答案．3、分析可先利用待定系数法和方程组的思想求出两个函数的解析式，然后结合图象求出自变量的取值范围．解：(1)∵函数y1＝a(x－h)2与y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，∴221(0),0,1,0(1),a h k bba h⎧-=-+=⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩解得1,1,1,1,a kh b=-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩∴二次函数的解析式为y＝－(x－1)2，直线的解析式为y＝x－1．图象如图所示．(2)由图象可知，当x＜0或x＞1时，y1＜y2；当x＝0或x＝1时，y1＝y2；当0＜x＜1时，y1＞y2.【解题策略】两个函数的图象交于A，B两点，说明点A和点B同时在两个函数的图象上，可以列出方程组求出字母的值，进而求出函数解析式．4、分析由图象可知，当y1＝y2时，x1＝－1，x2＝3，若抛物线在直线的下方，则对应的自变量的取值范围是一1<x<3。

北师大版九年级数学二次函数全章导学案

北师大第二章二次函数学案学习和教学建议(分为13课时)可分为七个环节:一:课前预习(要做好课前预习,处理基础训练课前预习部分) 二:自主学习(1-10分钟)个人自主探究和学习三:合作学习(10-20分钟)同组同学合作交流四:师生互动(20-30分钟)老师释疑和讲解重要例题五:当堂训练(30-43分钟):1:课本的随堂训练和习题 2:基础训练的课堂练习部分六:本课小结(43-45分钟)总结本课时学习和探究的内容七:课外作业:基础训练的课后训练和学习拓展§2.1 二次函数所描述的关系学案(NO:54)学习目标:1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 学习重点:1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数. 学习难点:经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 学习方法:;讨论探索法. 学习过程:一:课前预习(处理基础训练P172 1-3题)二:自主学习(1-15分钟):P37-P39,了解变量之间的关系,学会建立二次函数关系,理解二次函数的概念. 自行解决随堂练习(P39) 三:师生互动(15-25分) 【例1】函数y=（m ＋2）x22 m ＋2x －1是二次函数，则m= ．【例2】下列函数中是二次函数的有（）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【例3】正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．1、已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．2、已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．3、已知正方形的边长为x，若边长增加5，求面积y与x的函数表达式．【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式．四:合作学习(25-30分钟)如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n个图中，第一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n 的取值范围）；（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？五:当堂训练(30-43分钟):1:课本P39 1-4 2:基础训练P172 4-8六:本课小结(43-45分钟)七:课外作业:基础训练P172 9-17§2.2 结识抛物线学案(NO:55)学习目标:经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．学习重点:利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a ≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好．只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节．学习难点:函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．学习方法:探索——总结——运用法.学习过程:一:课前预习(处理基础训练P174 1-2题)二:自主学习(1-15分钟):P41,作出二次函数y=x2 的图象三:合作学习(25-30分钟) 二次函数y=x2 的图象性质:1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。

北师大版九年级数学下册2.1二次函数导学案

2.1 二次函数学习目标1、能够表示简单变量之间的二次函数关系2、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.一、【学前提示】提示1：函数定义:在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.提示2：一次函数形式为y=ax+b形式的函数.其中a、b为常数，且a≠0.一次函数在直角平面坐标系中图象为一条直线.提示3：正比例函数是一次函数的特殊形式.形式为y=ax.其中a为常数，且a≠0.在直角平面坐标系中图象为一条过原点的直线.提示4：反比例函数形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像为双曲线.如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像.当K＞0时，反比例函数图象经过一，三象限，是减函数当K＜0时，反比例函数图象经过二，四象限，是增函数提示5：二次函数的定义：形如cbxaxy++=2（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数.二、【方法点拨】点拨1：本节的重点是：表示简单变量之间的二次函数关系.点拨2：本节的难点是利用尝试求值的方法解决实际问题.点拨3：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意：（1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.点拨4：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．本金：存入银行的钱叫做本金.利息：取款时银行多付的钱叫做利息. 利率：；利息与本金的百分比叫做利率.利息计算公式利息＝本金×利率×时间三、【思路拓展】步骤1：迁移导入：1. 已知函数y m x m =-+-()3328是一次函数，求其解析式. 分析：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0.如本例中应保证m -≠30解：由一次函数定义知m m 28130-=-≠⎧⎨⎩∴=±≠⎧⎨⎩m m 33 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 步骤2：本节课知识巩固1、下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x分析：本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意：关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 所以答案是A.2.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A.a ≠0，b ≠0，c ≠0B.a <0，b ≠0，c ≠0C.a >0，b ≠0，c ≠0D.a ≠0分析：一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意：关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.所以答案是D.3．下列函数中，不是二次函数的是（） A ．y=2x 2＋2x B ．y=－x 2+x 3+1C ．y=－x 2+x1+1 D ．y=3－x(2－x) 分析：选项C 中含有x1,所以C 不是二次函数.答案是：C师生互动共解难题一、【实例讲解】例1某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式. （4）种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？分析：一定要分析好题意，根据实际情况，当果园的种的橙子树多的时候，每颗的产量也相应的减少.设果园共有（100+x ）棵树，这时表示出每棵树能结多少个橙子，然后算出总的产量从而得到解析式；第四个问题由下表可以得到从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大值．x 大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．解：（1）变量有果园里面的橙子树的棵数，和果园的总产量. （2）果园共有（100+x ）棵树，平均每棵树结（600-5x ）个橙子（3）因此果园橙子的总产量：Y=(100+x)(600-5x)=-5x ²+100x+60000 （4）从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大例2 (1)对于二次函数y=x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）：如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n; 如果是仅有x ＜m ，则能确定y 、n 的大小吗？(2)、对于二次函数y=-x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）：如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n;分析：根据函数y=x 2的增减性：当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.所以答案是：(1) y > n ， y < n; (2) y < n ，y > n ，二、【学会总结】总结1：总结2：二次函数y=ax 2的性质1.抛物线y=ax 2的顶点是原点,对称轴是y 轴.2.当a>0时，抛物线y=ax 2在x 轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax 2在x 轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展. 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.积累运用学会创新1.下列不是二次函数的是（）当x=0时,最大值为0.当x=0时,最小值为0最值在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大.增减性向下向上开口方向在x 轴的下方( 除顶点外) 在x 轴的上方(除顶点外) 位置 y 轴y 轴对称轴（0，0）（0，0）顶点坐标 y= -x 2y=x 2抛物线A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52 xD ．y=（x ＋1）（x －2）2.函数y=（m 2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m 的值是（）A ．m= -3或1B ．m=+1或-1C ．m= -3D ．m=33、.若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k ______.4.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当b =0，c ≠0时，函数表达式为______；当b ≠0，c =0时，函数表达式为______；当b =c =0时，函数表达式为______.5.在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是______.6.小立存入银行人民币500元，年利率为x %，两年到期，本息和为y 元(不含利息税)，y 与x 之间的函数关系是_______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.7．下列函数不属二次函数的是A.y =(x －1)(x +2)B.y =21(x +1)2C.y =2(x +3)2－2x 2D.y =1－3x 2拓展尝新突破自我8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？9．如图，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.10.正方形的边长为1 cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加y cm 2.(1)请写出y 与x 之间的关系表达式;(2)当正方形边长分别增加1 cm ，3 cm ，2 cm 时，正方形的面积增加多少？参考答案积累运用学会创新1、分析：因为选项C中含有5所以C不是二次函数；故答案是C.2x，2、分析：由题意得m2-1≠0，所以m≠1或m≠-1,由 m2+2m-1=2得m=-3或1故，本题答案是C.3、分析：由题意得k2－4≠0，所以答案是k≠2，k≠-24、y=ax2+c y=ax2+bx y=ax25、大正方形的面积为36，剪掉的部分是x2所以y=36 -x2 (x<6)6、分析：设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是500元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)：y=500（1+x）2=500x2+1000 x+500.所以本题答案是：y=500x2+1000 x+500 、561.87、分析：选项C经过化简以后不含有二次项了，所以答案是C.拓展尝新突破自我8、分析：要是一次函数则使二次项系数等于零，一项系数不能等于零，要使函数是二次函数，则使二次项系数不能等于零就行了.解：(1)∵m2－m=0，∴m=0或m=1.∵m－1≠0，∴当m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵m2－m≠0，∴m1=0，m2=1.则当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.9.分析：可以用割补法，草坪的面积可以看成个长方形，这个长方形的长是(80－x)m，,宽是(60－x)m;所以本题的答案是：解：y=(80－x)(60－x)=x2－140x+4800(0≤x＜60).10、解：(1)y=(x+1)2－1,∴y=x2+2x.(2)当x=1时，y=3;当x=3时，y=3+23当x=2时，y=8.。

初中数学北师大九年级下册(2023年新编) 二次函数二次函数导学案

二次函数学习目标1.通过看例题会总结二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.学习重点:1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.学习过程一、自主学习：由实际问题探索二次函数关系某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式．二.归纳总结1.二次函数的定义:_____________________________________.2.形如c bx ax y ++=2(c b a ,,为常数的)函数当a ____________时是二次函数.当a ____________,b __________时是一次函数.当a ____________,b __________,c __________时是正比例函数.三、解析与交流例1. 函数()12222-++=-x x m y m 是二次函数，则=m ．例2. 下列函数中是二次函数的有（） ①x x y 1+=；②()2132+-=x y ；③()2223x x y -+=；④x xy +=21．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3.正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．例 4.某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．四、交流展示1.谈谈自己判断二次函数的方法.2.如何表示简单变量之间的二次函数五、课堂检测：1.．当m 时，()222--=m x m y 是二次函数．2．下列不是二次函数的是（）A ． 432+=x yB ．231x y -= C ．52-=x yD ．()()21-+=x x y3．函数()n mx x n m y ++-=2是二次函数的条件是（）A ．n m 、为常数，且0≠mB ．n m 、为常数，且nm ≠ C ．n m 、为常数，且0≠n D ．n m 、可以为任何常数4．半径为3的圆，如果半径增加x 2，则面积S 与x 之间的函数表达式为（）A ．()232+=x S πB ．x S +=π9C ．91242++=x x S πD ．ππ91242++=x x S5．已知：如图，在Rt △ABC 中，.8,4,90==︒=∠AC BC C 点D 在斜边AB 上，分别作BC DF AC DE ⊥⊥,，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ．设y DF x DE ==,．（1）AE 用含y 的代数式表示为：AE = ；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．。

北师大九下第二章二次函数导学案(定)

§2.1 二次函数的概念【学习目标】1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。

【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。

【课时类型】概念课【学习过程】一、学习准备1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量。

2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是的常数)。

二、解读教材——数学知识源于生活1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。

它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。

例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出的a,b,c 的值？ (1)2321x y +-= (2)112+=x y(3)x y 222+=(4)251t t s ++= (5)22)3(x x y -+= (6)210r s π=即时练习：下列函数中，哪些是二次函数?并指出的a,b,c 的值？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y(4)1132--=）（x y (5)cax y -=2(6)12+=x s三、挖掘教材对二次函数定义的深刻理解及运用例2 若函数1232++=+-kx x y k k是二次函数，求k 的值。

2023年北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案

新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。

1.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。

2.已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。

3.已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。

(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段：【白天长课导学】一、学习目标与要求：1. 能根据题意列出函数关系式，并能通过配方求出最值。

二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题：第二章§2-6-1 二次函数的应用课型：新授总第9课时－18模块五：当堂训练班级：九（）班姓名：一、解答题。

请根据本节课所学知识解答。

1．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。

4、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏。

北师大版九年级数学下册第二章：二次函数(第3、5节) 导学案

初三数学用三种方式表示二次函数、二次函数与一元二次方程【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 用三种方式表示二次函数2. 何时获得最大利润3. 最大面积是多少4. 二次函数与一元二次方程二. 教学目标：1. 能利用二次函数解决实际问题2. 理解二次函数与一元二次方程的关系三. 教学重点、难点：1. 能利用二次函数解决实际问题2. 理解二次函数与一元二次方程的关系四. 课堂教学：［知识要点］1. 表示二次函数的三种方式：列表法、图象法、解析式法。

2. 二次函数c bx ax y 2++=的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。

3. 当二次函数c bx ax y 2++=的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程0c bx ax 2=++的根。

【典型例题】例1. 若二次函数7x 7kx y 2--=的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A. 47k ->B. 0k 47k ≠-≥且C. 47k -≥D. 0k 47k ≠->且答案：B例2. 已知二次函数图象的顶点为（－1，－4），且与y 轴交点为（0，－3），则该二次函数的解析式为_______________。

答案：3x 2x y 2-+=例3. 二次函数c bx ax y 2++=的值永远为负值的条件是（）A. 0ac 4b ,0a 2<->B. 0ac 4b ,0a 2<->C. 0ac 4b ,0a 2>-<D. 0ac 4b ,0a 2<-<答案：D例4. 如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P 到x 轴的距离是4，抛物线与x 轴相交于O 、M 两点，OM=4；矩形ABCD 的边BC 在线段OM 上，点A 、D 在抛物线上。

（1）请写出P 、M 两点坐标，并求这条抛物线的解析式；（2）设矩形ABCD 的周长为l ，求l 的最大值；（3）连结OP 、PM ，则ΔPMO 为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q （除点M 外），使得ΔOPQ 也是等腰三角形，简要说明你的理由。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数导学案讲义

二次函数第二讲教学目标①通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义．②会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次函数的性质．③会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标、开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题． ④会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．知识点总结1.二次函数2y ax bx c =++的性质2．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠中a,b,c 的作用：（1）a 决定抛物线的：当a>0时，；当a<0时， .（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：当c>0时，图象与y 轴交点在y 轴的上；当c<0时，图象与y 轴交点在y 轴的上; 当c=0时，图象过 . （3）b 、a 共同决定抛物线的对称轴x =-b2a的位置：若b 、a 同号，则对称轴在y 轴；若b 、3．二次函数与一元二次方程的关系：△=b 2- 4ac 决定抛物线与x 轴交点情况：当△>0时，抛物线与x 轴有个交点；当△<0时，抛物线与x 轴有个交点；当△=0时，抛物线与x 轴交点. 4.二次函数解析式的确定：待定系数法（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式2y ax bx c =++；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式()2y a x h k =-+（已知抛物线上纵坐标相同的两点）（3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式y=a(x-x 1)(x-x 2)；从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，例题讲解例1：将下列函数化成y=a （x －h ）2＋k 的形式，并指出其顶点坐标和对称轴；（1）y=x 2－2x ＋3 （2）y=－x 2－6x ＋5 （3）y=－2x 2＋4x ＋6变式练习1：已知函数y=21x 2+2x+1（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；（2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点。

2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案

2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案一. 教材分析《二次函数》是北师大版数学九年级下册第2.1节的内容。

本节课主要让学生了解二次函数的定义、性质及图像，培养学生利用二次函数解决实际问题的能力。

教材通过引入二次函数的概念，让学生从图像和解析式两个方面理解二次函数的性质，为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。

但在二次函数方面，学生可能对函数图像的解读、对称性、顶点坐标的求解等方面存在困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义，理解二次函数的图像特征，掌握二次函数的性质。

2.能够从实际问题中识别二次函数模型，运用二次函数解决实际问题。

3.培养学生的抽象思维能力、数学表达能力及合作交流能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义及其图像特征。

2.二次函数的性质，包括对称性、顶点坐标、开口方向等。

3.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。

2.利用数形结合的方法，让学生直观地理解二次函数的图像特征。

3.采用合作交流的学习方式，培养学生的主体参与意识。

4.运用启发式教学，激发学生的思维，引导学生发现和总结二次函数的性质。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入二次函数的概念。

2.制作二次函数图像的课件，用于展示二次函数的图像特征。

3.准备一些关于二次函数性质的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。

例如：抛物线与x轴的交点问题。

2.呈现（15分钟）展示二次函数图像的课件，让学生直观地了解二次函数的图像特征，如顶点、开口方向等。

同时，引导学生观察图像，发现二次函数的性质。

2.5 二次函数与一元二次方程导学案 2021—2022学年北师大版数学九年级下册

2.5 二次函数与一元二次方程导学案1. 二次函数的定义在数学中，二次函数是指函数f(x) = ax2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。

抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。

如果a>0，则抛物线开口朝上；如果a<0，则抛物线开口朝下。

另外，二次函数的对称轴与y轴平行，过抛物线顶点。

3. 一元二次方程的定义在数学中，一元二次方程是指形如ax2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数且a≠0。

解一元二次方程需要用到求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a4. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程之间存在一一对应关系。

对于二次函数f(x) = ax2 + bx + c，其对应的一元二次方程为ax2 + bx + c = 0。

例如，对于二次函数f(x) = x2 - 2x + 1，其对应的一元二次方程为x2 - 2x + 1 = 0。

更进一步地，对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0，其解就是对应的二次函数f(x) = ax2 + bx + c的根。

5. 二次函数的基本性质•对称轴及顶点二次函数的对称轴与y轴平行，过抛物线顶点。

对称轴方程为x = -b / 2a，顶点坐标为(-b / 2a, f(-b / 2a))。

•零点二次函数的零点即为对应的一元二次方程的解。

根据求根公式可知，二次函数有两个实数根或一个重根或无实数根。

若b² - 4ac > 0，则有两个不相等的实数根；若b² - 4ac = 0，则有一个实数重根；若b² - 4ac < 0，则无实数根。

•符号与最值二次函数的抛物线开口朝上时，函数在抛物线顶点处取得最小值；抛物线开口朝下时，函数在抛物线顶点处取得最大值。

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2.1二次函数的概念
教学目标：
1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系。

3、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵葡萄树可以使葡萄的总产量最多的问题。

一、情境引入——源于生活的数学
1、惜福镇街道是有名的水果之乡，特别是巨峰葡萄更是美名远扬。

现在果农黄大爷要整理一块长10米，宽6米的矩形荒地种植葡萄，为了便于管理，现要在四周修筑同样宽的小路，剩余部分种植葡萄。

设道路的宽为x米，葡萄种植面积为s平方米。

你能写出S与x之间的函数关系式吗？
2、果农黄大爷第一年在葡萄园里试种了10棵葡萄，为了扩大种植规模，以后每年都以相同的增长率x递增，第三年时葡萄树的总棵树达到了y棵，你能写出y和x之间的函数关系式吗？_______________________________________
3、黄大爷果园原来有10棵葡萄树,每棵葡萄树平均结60kg葡萄.现准备多种一些葡萄树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。

根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结2kg葡萄。

(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
之间的关系式
(5)你能根据表中的数据猜测多种多少棵葡萄树可以使果园葡萄树的总产量最多吗?
我总结，我进步
的函数叫做二次函数
其中：①y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)称为二次函数的一般形式
②ax2叫做________，a为二次项系数；
bx叫做一次项，b为_____________
c叫做常数项
典型例题：
例1、下列函数中，哪些是二次函数？如果是请指出二次项系数、一次项系数、常数项 21361y x x =-+（） 21(2)y x x
=+ 2332s t =-（） 24s r π=（） 215y x x =
-（） 226(3)y x x =+-（）
例2、已知二次函数1(1)35k y k x
x +=--+，则k=_____ 变式练习：
函数27(3)m y m x -=+是二次函数，则___m =
函数2
7(3)m y m x -=+是正比例函数，则___m =
函数27(3)m y m x -=+是反比例函数，则___m = 学以致用
1、一果农用40m 长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形葡萄园，和墙垂直的一边长为xm ，
葡萄园的面积为ym 2，求y 与x 之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围.当x=12m 时，计算葡萄园的面积.
2、河套某商场新进一批巨峰葡萄，如果以每千克20元的售价卖出，则每天可销售60千克，经商场市场部调查发现，如果每千克葡萄降价1元，则销售量会增加6千克，试写出每千克葡萄的售价降价x 元时，该商场出售巨峰葡萄的营业额y 元与降价x 元之间的关系式.
感悟与收获：
1.这节课你学会了什么？
2.你运用今天学到的知识解决了什么？
3.你还有哪些困惑？
课堂检测：
1、下列函数中，（x,t 是自变量），哪些是二次函数？如果是，请指出一次项系数是多少？
(1)22y x x =-+, (2) 232y x x =++ (3) 2
52y x =+ (4) 215s t t =++ s=1+t+5t 2
2、圆的半径是1cm ，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加ycm 2
.
（1）写出y 与x 之间的函数关系表达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm ，2cm 时，圆的面积增加多少？
作业：A组：同行学案127页1——10,128页1-6 B组：同行学案128页7,8。