运筹学试卷和答案

课程名称： 运筹学（Ⅱ） 课程编号： 课程类型：√学位课、非学位课 考试方式： 闭卷学科专业、领域： 管理科学与工程 所在学院： 经济管理 任课教师： 刘俊娥河北工程大学研究生2007～ 2008学年第 二 学期考试试卷（ ）卷1、求解无约束极值问题的下降类一般步骤有哪些？试例举三种你所了解的下降类算法名称。

2、任选一种一维搜索的算法，请写出关于极值点求解的过程。

3、某工厂生产K 种不同花色和款式的衬衣，在一定时期内生产量y 相同，但根据经验或预测，投入市场后顾客对不同品种的需求量q i 却不同；有的畅销，有的滞销，过去工厂对产品价格均按边际销售成本定价，即，ii q c p ∂∂=其中C=C(q 1,q 2,……q k )是销售成本。

现工厂考虑；为了获得最大利润，应不应该将畅销品种的价格提高？若要提高，提高多少为宜？建立数学型并用K —T 条件求解。

4、某种货物由2个仓库A 1，A 2运送到3个配送中心B 1，B 2，B 3。

A 1，A 2的库存量分别为每天13吨、9吨；B 1，B 2，B 3每天的需求分别为9吨、5吨、6吨。

各仓库到配送中心的运输能力、单位运费如表，求：（1）运量最大的运输方案。

（2）运费最省的运输方案。

（注：不能不使用该网络）； （3）考虑到运费和运量，使运费最省的调运方案。

5、某工地有4个工点，各工点的位置及对混凝土的需要量列入下表，现需建一中心混凝土搅拌站，以供给各工点所需要的混凝土，要求混凝土的总运输量（运量*运距）最小，试决定搅拌站的位置(建立数学型)。

试分别考虑以下两种情况：（1）搅拌站到各工点的道路均为直线。

（2）道路为相互垂直或平行的网格。

6、某工程所有关键工序组成的网络如下图，图中弧上数字为各关键工序压缩工时所需的费用（单位：百元/天）。

现该工程需将工期压缩一天，试求出使总压缩费用最小的压缩方案，以及该最小的压缩费用。

请详细写出确定过程。

1、解：求解无约束极值问题的下降类一般算法步骤：（1）选取某一初始点X (0) 令k:=0( := 为赋值符号，k:=0表示将0赋给变量k)。

（2）确定搜索方向。

若已得出某一迭代点X (k) ，且X (k) 不是极小点。

这时，就从X (k)出发确定一搜索方向P (k)，沿这个方向应能找到使目标函数值下降的点。

对约束极值问题，有时（视所用的算法而定）还要求这样的点是可行点。

（3）确定步长。

沿P (k)方向前进一个步长，得新点X(k+1)。

即在由X(k)出发的射线X=X (k)+λP(k)λ≥0上，通过选定步长（因子）λ=λk ，得下一个迭代点X (k+1)=X (k)+λk P (k)使得f(X (k+1))=f(X (k)+λk P (k))< f(X (k))（4）检验得到的点是否为要求的极小点或者近似极小点，如满足要求，迭代停止。

否则，令K:=k+1返回第二步继续迭代。

下降类算法包括：（1）梯度法（最速下降法）（2）牛顿法（3）共轭梯度法（4）变尺度法 2、解：斐波那契算法（1）确定试点个数n根据缩短率δ≥ 1/ Fn 得到F n或区间精度η, F n ≥ (b 0-a 0)/ η,查表得n 。

或迭代得到n ，迭代的算法如下：①计算F n ≥ (b 0-a 0)/ η 或F n ≥ 1/ δ 得F n ' n=1， F 0=F 1=1转 ② ②n=n+1, F n =F n-2+F n-1转③③若F n < F n '，则转②否则停止，得到n K=1 （2）选取前两个试点的位置（3）计算函数值f(X k ')f(X k ")并比较其大小 若f(X k ')<f(X k "),则a K =a K-1,b K =x K ",x K+1"=x K ' 并令或否则，取a K =x K ',b K =b K-1,x K+1'=x K "并令K=K+1(4)若K ≠n-2,则转（3），否则 若f(x K ')<f(x K "),则a K =a k -1,b K =x K "若f(x K ')>f(x K "),则a K =x k ',b K =b K-1比较函数值f(x K+1'),f(x K+1" )的大小，得到函数y=f(x)的极小值和极小点，从而得到最终区间[a K ,x K+1" ]或[a K ,x K+1"] 。

3、解：121211(,...)ax ()(,...)0,1,2,...k k ki i i k i i i i C q q q M f X p q C q C q q q q q y i k==∂⎧⎪=-=-⎨∂⎪≤≤=⎩∑∑ 转化为121211(,...)in ()(,...)0,1,2,...,k k ki i i k i i i i i C q q q M f X p q C q C q q q q g y q i k==∂⎧⎪=-=-+⎨∂⎪=-≥=⎩∑∑ 设K-T 点为i q *，各函数的梯度为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=--+--------)()(1111"1111'K K K n K n K K K K n K n K K a b F Fa x ab F F a x )('21k k Kn K n K K b a F F b x -+=---+)('21k k Kn K n K K a b F F a x -+=---+)("11k k Kn K n K K a b F F a x -+=---+)(21'1k K K b a x +=+))(5.0("1k k K K a b a x -++=+ε11(),1,2,...,k k i i i i i i iC C C f q q i k q q q ==∂∂∂∇=--•=∂∂∂∑∑； ()1,1,2,...,i i g q y i k ∇=-=； 对K 个约束条件分别引入广义拉格朗日乘子12,,...,k μμμ***，则该问题的K-T 条件如下：121112...0(1)0(1)0..................(1)0k k i k i i ii i k C C C q q q q y y y μμμμμμ***==***∂∂∂⎧--•----=⎪∂∂∂⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩∑∑ 4、解：（1）添加两个新点Vs ，Vt ，构造赋权有向图如下((((2) 看做运输问题，用表上作业法求解，由于是产销不平衡问题，虚拟销地B4，销量为2.①第一步，用最小元素法给出初始运量表。

②用闭回路法计算检验数。

λ21=8-7+11-3=9，λ13=10-11+7-4=2，λ42=M-M+11-7=4；所有非基变量的检验数大于零，则初始调运方案为最优调运方案，此时的运费为c=3×9+11×2+7×3+4×6=94（2）构造赋权有向图，求最小费用流,c ij表示由A i到B j的流量（i=1,2；j=1,2,3）,则令c ij为∞，将该问题转化为最小费用最大流问题。

最小费用为：9×3+2×11+3×7+4×6=94W(f (2))ev(f (3))=18fW(f (1))cv(f (2))=15dW(f (0))av(f (1))=9b V S（3）构造赋权有向图，求最小费用最大流。

弧旁数字为（b ij ,c ij ）。

①取f (0)=0为初始可行流。

②构造赋权有向图W(f (0))，并求出从Vs 到Vt 的最短路（Vs ，A 1，B 1，Vt ）。

③在原网络图中，与这条最短路相应的增广链为µ=（Vs ，A 1，B 1，Vt ）。

④在µ上进行调整，θ=8，得f (1)（图b ）。

按照上述算法依次得W(f (1)), W(f (2)), W(f (3)), W(f (4)), W(f (5)), W(f (6)),流量依次为8，13，16，17，18，20，f (6)中不存在最短路，故f (6)为最小费用最大流，最大流量为20，此时的最小费用为：3×8+11×2+1×10+1×8+3×7+5×4=105。

W(f (4))iW(f (3))gv(f (4))=20h V SW(f )v(f (4))=17hW(f )ev(f (3))=16fW(f (1))cv(f (2))=13dW(f (0))av(f (1))=8b5、解：（1）设搅拌点的坐标为（X ，Y ），则搅拌点各工点的距离为22)()(i i i Y Y X X d -+-=（i 表示到第i 个工点）建立该问题的数学模型为：)4,3,2,1( )()( s.t. min 2241=-+-=⨯=∑=i Y Y X X d Q d f i i i i ii（2）设搅拌点的坐标为（X ，Y ），则搅拌点到各工点的距离为ii i Y Y X X d -+-=W(f )mW(f )v(f (6))=20lW(f )v(f (5))=18j建立该问题的数学模型为：)4,3,2,1( s.t. min 41=-+-=⨯=∑=i Y Y X X d Q d f i i i i ii6、解：看做求网络最大流，令已有的弧上的数据为容量。

（1）首先给网络赋予初始可行流。

方法不唯一，但不同的初始可行流对应的增广链不同。

（2）用标号法求增广链，开始给v1标号（△, +∞）；于是检查v2，弧（v1，v2）上，f12=c12；检查v3，给v3标号（v1, 1）；检查v4，给v4标号（v3，1），由于弧（v4，v2）上，f42=0，弧（v4，v5）、弧（v4，v5）上可行流等于流量，标号无法继续下去，算法结束。

此时的可行流即为最大流。

同时可以找到最小截集（11,V V ），1V =｛①，③，④｝，1V =｛②，⑤，⑥｝，于是（11,V V ）=｛（v1，v2），（v4，v2），（v4，v5），（v3，v6），（v4，v6）｝是最小截集。

则压缩总工期1天的压缩方案为：将工序①-②，工序③-⑥，工序④-⑤，工序④-⑥同时压缩1天，此时的最小费用为2+1+3+2=8.（△。