53解析函数在无穷远点的性质.
解析函数在无穷远点的性质
解析函数在无穷远点的性质摘要:无穷远点作为解析函数的奇点的分类及其判定方法,给出含无穷远点的区域的柯西积分定理、积分公式,为下一步讨论函数在无穷远点处的留数计算做准备.关键词:解析函数无穷远点奇点1问题的提出无穷远点是解析函数的孤立奇点时,它的分类及其类型判定为函数在无穷远点处的留数计算提供了理论依据,而无穷远点处的留数计算及其相关定理是解决复变函数“大范围”的积分计算的有力工具。
所以,本文研究解析函数在无穷远点的性质及其分类。
2解析函数的定义2.1 解析函数的定义定义2.1[1]如果函数在区域内可微,则称为区域内的解析函数,或称在区域内解析.2.2 奇点的定义定义2.2[2]若函数在点不解析,但在的任一邻域内总有的解析点,则称为函数的奇点.奇点分为孤立奇点和非孤立奇点两类,而孤立奇点根据函数在奇点去心邻域内洛朗展式主要部分的项数又可以分为三类:可去奇点(主要部分为0);极点(主要部分为有限多项);本质奇点(主要部分为无限多项).例2.1判定函数的奇点及其类型.解在平面上只有为孤立奇点,在其去心邻域内的洛朗展式为,因其主要部分为0,故为的可去奇点.3 解析函数在无穷远点的性质3.1 无穷远点的引入在复分析中,我们讨论的函数在自变量趋于一个定点时,函数值可能趋于无穷大.为了讨论这种情况,我们在复数域中引入符号表示无穷大,并且约定.同时规定它和有限数的运算关系如下:(加减法) ,(乘法) ,(除法),,在此定义下无意义.由于在复平面上没有对应无穷远点的位置,因此在复平面上引入一个“理想点”与无穷大对应,称之为无穷远点,仍记为,且把复平面加上点后称为扩充复平面,常记作.另外扩充复平面的几何模型是复球面,且北极与复平面上的无穷远点相对应.性质: 的实部﹑虚部及辐角都无意义, ;复平面上每一条直线都通过点,同时没有一个半平面包含点.3.2 无穷远点作为奇点的分类由于任一函数在处无意义,所以点总是的奇点.定义3.1 [3] 设函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称为的一个孤立奇点,否则为非孤立奇点.若在平面上有一列趋于无穷远点的奇点,则为的非孤立奇点.例3.1讨论的奇点的类型.解:此函数因分母不能为0,故有奇点和.由于有限奇点(它们各为一阶极点)以为极限,故为此函数的非孤立奇点.设为的孤立奇点, 在无穷远点的去心邻域内的洛朗展式为,在式中正幂部分称为在的主要部分,非正幂部分称为在的正则部分.定义3.2设为函数的孤立奇点.若在点的主要部分为零,则称为的可去奇点;若在点的主要部分为有限多项,设为,则称为的阶极点;若在点的主要部分有无限多项,则称为的本质奇点.注: 若为的可去奇点,我们定义,则在处解析.3.3 解析函数在无穷远点的性质根据定义3.2,不难得到定理3.1函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是下列条件之一成立: ;令, 为的可去奇点;在的某去心邻域内有界.例如, ,所以为函数的可去奇点.定理3.2函数的孤立奇点为阶极点的充要条件是下列条件之一成立: 令, 为的阶极点;在的某去心邻域内能表成,其中在的邻域内解析,且;以为阶零点(只要令).注:为的极点的充要条件是.例3.2试确定函数的奇点的类型.解:由,设,因在的邻域内解析且,所以为阶极点.定理3.3函数的孤立奇点为本质奇点的充要条件是下列条件之一成立:不存在;令, 为的本质奇点.例3.3试确定函数的奇点的类型.解:令,其在的空心邻域内的展式为,它的主要部分为无穷多项,故为的本质奇点.定理 3.4 (含点的区域的柯西积分定理)设是一条周线,区域是的外部(含点), 在内解析且连续到;又设,则,这里及是在无穷远点去心邻域内的洛朗展式的系数.证明:由已知有在解析,又,所以为可去奇点;设充分大,使及其内部全含于圆周的内部(图1),则得点的去心邻域: 在其内展成洛朗级数,设为( 可为0).因,所以.再就复围线(图1)应用柯西积分定理有:,,.定理3.5 (含点的区域的柯西积分公式)假设条件同定理3.4,则这里表示的方向,含点的区域恰在一人沿它前进的方向.证明:1)设,以为心作充分大的圆周,使及其内部全含于的内部(图2), 构成一复围线.则应用有界区域的柯西积分公式,.在(这里以为中心的点的去心邻域)内的洛朗展式可设为( 可为0),由此可得.当,有,所以.2) (即在图2中的阴影部分),有,所以.参考文献:[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2005年版.[2]陈广锋.无穷远点作为解析函数奇点时的讨论[J].西安教育学院学报,2000(3).。
函数的无穷值点
函数的无穷值点
函数的无穷值点是指函数在特定点处取得，或接近于无穷大的值。
无穷值点可以用来分析函数的行为及其应用。
无穷值点的主要内容可以归纳为三部分：
一、无穷值点的概念。
无穷值点是指函数在某一点处取得，或接近于无穷大的值，也称之为函数的极值点。
无穷值点是指函数在某一特定点处，显然函数取得了或接近于无穷大的值。
在这里，函数本身的值可能小于1，也可能大于1，但是它们都
接近于或取得了无穷大的值，就形式而言，可以描述为f(x) = ∞。
二、无穷值点的解法。
无穷值点的解法通常需要根据函数的特性和表示形式来考虑，可以使用微分法或其他方法来求解。
微分法：如果令函数的导数为零，即f'(x) = 0，那么将会得到
函数的无穷值点。
由于此处导数为零，因此无穷值点对应的函数值应该极大或极小，因此可以将其看作一个极值点。
其他方法：无穷值点的求解也可以根据函数的其他特性来考虑。
例如，函数可能存在一些特定的参数，通过调整参数，就可以得到函数的无穷值点。
三、无穷值点的应用。
无穷值点的求解有助于我们理解函数的行为，例如函数的单调性、函数有没有极值点等。
无穷值点的另一个重要应用是可以使用它来确定函数的最大值或最小值，这有助于我们确定函数中极值点的位置。
此外，无穷值点也有
被用作物理和工程中的数学解析方法，它可以用来简化繁琐的性能分析等问题。
1函数的极限
x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0, 或x x0 .
17
函数的极限
左极限 0, 0, 当 x0 x x0 时，
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A
x x0
或 f ( x0 0) A
右极限 0, 0, 当 x0 x x0 时，
x x0
左右极限均存在, 且 f ( x0 0) f ( x0 0) A 常用于判断分段函数当 x 趋近于分段点时的极限.
19
函数的极限
例
试证函数
f
(x)
x
sin x
当x 1时,无极限.
x 1, x1
证
lim f ( x) lim
x 1
x1
x 1
(3) 不要求最大的 , 只要求 存在即可.
12
函数的极限
2. lim f ( x) A的几何意义 x x0
0, 0,当 0 x x0 , f ( x) A
y
0, 带形区域
A
A y A
A
A
必存在x0的去心邻域
例
limsin x,
x
lim x2
x
不存在.
5
函数的极限
3. lim f ( x) A的几何意义 x y y f (x)
A
X O X
0,X 0,
当 | x | X时,有
| f ( x) A |
A f (x) A
x
f ( x) A 表示 f ( x)无限接近A; x X 表示 x 的过程.
5.4皮卡定理与解析函数在无穷远的性质
无穷远点是可去奇点的特征
定理5.3' 如果∞为函数 f(z) 的孤立奇 定理 则下列三条是等价的.它们中的任何 点，则下列三条是等价的 它们中的任何 一条都是可去奇点的特征. 一条都是可去奇点的特征 1. f(z) 在点∞的主要部分为零 的主要部分为零. 2. lim f ( z ) = b ( ≠ ∞ ) z→∞ 3. f(z) 在点 ∞ 的某去心领域内有界 的某去心领域内有界.
故 ϕ (ζ ) = e(1 − 2ζ + 6ζ + ⋯)
2
2 6 故 f ( z ) = e (1 − + 2 + ⋯) z z
(2 <| z |≤ ∞ )
1 (| ζ |< ) 2
在点z=∞的去心邻域内将函数 例5.13 在点 的去心邻域内将函数
f (z) = e
展成洛朗级数. 展成洛朗级数.
{zn} ，使得
lim f ( zn ) = ∞ = A. zn → a 一个收敛于a （2）当A≠∞时，若存在一个收敛于 的点列 ） 时 f ( zn ) = A. {zn} ，使得
则定理已经得证. 则定理已经得证 的某去心邻域K-{a}内 （3）相反的情形是 ）相反的情形是: 在a的某去心邻域 的某去心邻域 内 f(z) ≠A, 则 a 必为函数 ϕ(z) = 1 的本质奇点 的本质奇点.
一个收敛于a 故存在一个收敛于 的点列 {zn} ，使得 1 lim ϕ ( z n ) = lim = ∞ , 即 lim f ( z n ) = A. zn → a zn → a f ( z ) − A zn → a n
f (z) − A
例 5.9
i 1.若 A = ∞ ， 取 z n = 即 可 . n −n n
留数第5章
n =0
为f(z)在点z0的主要部分.
分类
设z0为f(z)的孤立奇点. (1)如果f(z)在点z0的主要部分为零,则称z0为 可去奇点. f(z)的可去奇点 可去奇点 (2)如果f(z)在点z0的主要部分为有限多项,
a−(m−1) a−m a−1 + +⋅⋅⋅ + (a−m ≠ 0), 设为 m m−1 (z − z0 ) (z − z0 ) z − z0
等于f(z)在点∞的罗朗展式中1/z这一项的系数反号. 因此，即使∞为函数 的可去奇点,未必有 z = 为函数f(z)的可去奇点 因此，即使 为函数 的可去奇点 未必有 Re∞s f ( z ) = 0
例 设f(z)=z5/(1+z6), 求 Re s f ( z )
z =∞
解:
z 1 f (z) = = 6 z 1+ z
sin z z
性质
定理5.1.3 f(z)的孤立奇点 0为极点的充要 的孤立奇点z 定理 的孤立奇点 条件是 zlim f ( z ) = ∞ →z
0
sin z 例如，0是 z 2
的单极点。
定理5.1.4 f(z)的孤立奇点z0为本性奇点⇔
b(有限数 ) lim f ( z ) ≠ ，即 lim f ( z )广义不存在. z → z0 z → z0 ∞
ϕ (ζ )
的可去奇点(解析点),
m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点. 设在去心邻域K-{0}:0<|ζ|<1/r内将 ϕ (ζ ) 展成罗
令ζ=1/z, 则有
ϕ (ζ ) =
其中 an = c− n (n = 0,±1,⋅ ⋅ ⋅). f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}:∞ 0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 ∑ a − n z 的解析部分,我们称 ∑ a − n z
解析函数的主要性质综述
解析函数的主要性质综述作者：安辉燕来源：《科学导报》2017年第75期一、导引解析函数是一类具有某种特性的可微函数，它将我们所熟悉的数学分析中的一些内容推广到复数域上并研究其性质。
本文通过搜集材料，系统总结了解析函数的几个主要性质：解析函数的唯一性、零点的孤立性、零点的分布问题、解析函数在无穷远点的性质、解析变换的特征及解析函数、共轭解析函数和复调和函数之间的关系，并通过举例进行了深入、详细的分析。
二、预备知识1.定义如果函数在区域D内是可微的，则称为区域D内的解析函数。
复变函数中解析函数的充要条件有多种形式，最常见的有以下几种。
2.定理函数在区域D内解析的充要条件：A（1）二元函数在区域D内可微；（2）在D内满足方程。
B（3）在D内连续；（4）在D内满足方程。
C 在D内任意一点的邻域内可以展成的幂级数，也就是泰勒级数。
D C为D内任意一条周线，则。
三、解析函数的主要性质1.解析函数的唯一性定理（解析函数的唯一性）如果函数在区域D内解析，是D内彼此不同的点，并且点列的极限点，若有，则在D内必有。
根据定理我们可得到以下结论：推论1 如果函数在区域D内解析，且在区域内某点的邻域内有，则在D内必有。
推论2 如果函数在区域D内解析，且在区域D内某一曲线上有，则在内必有。
2.解析函数零点的孤立性定理如果在内的解析函数不恒为零，是的一个零点，则必存在的一个邻域使得在其中无其他零点。
（即：不恒为零的解析函数的零点具有孤立性）此性质是解析函数的特殊性质，实函数不具有此性质。
3. 解析函数零点的分布问题解析函数的零点的分布问题是复变函数论中的一个重要问题，一下就复多项式的零点可以全部分布在一个指定的区域内这个问题进行讨论。
定理1若复平面上多项式在虚轴上无零点，则它的零点全分布在右半平面上的充要条件为。
定理2若复平面上多项式在实轴上无零点，则它的零点全分布在上半平面的充要条件为。
四、解析变换的特性解析函数的特性是从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论。
一、函数在无限远处的极限
n→∞
lim xn = a
x → +∞
lim f ( x) = A
函数
定义域
自变量变化趋势
y = xn
y = f (x)
（a,+∞） x → +∞ f ( x) → A
N
n→∞
函数值变化趋势
xn → a
n
定义
Yunnan University
∀ε > 0, ∃N，当 n > N时， ∀ε > 0, ∃X > 0，当x > X时， 有 f ( x) − A < ε 有 x − a < ε,
Yunnan University
§2. 函数的极限
理解“ 的含义。 （2）理解“ 0 < x − x0 < δ ”的含义。
0 （ i） < x − x 0 < δ ⇔ x 0 − δ < x < x 0 + δ , 且 x ≠ x 0
（去心邻域） 去心邻域）
⇔ x ∈ O（x0，δ） {x0} −
仅有两种： 仅有两种： A = f ( a ) or
A ≠ f ( a ).
总之， 总之， f ( x )在 x 0的极限仅与 f ( x )在 x 0的附近的 x 的函数
的变化有关， 的情况无关。 值 f ( x )的变化有关，而与 f ( x )在 x 0的情况无关。
Yunnan University
x→∞ x → +∞ x → −∞
ex : 写出本节三个函数极限 定义的邻域叙述及否定 叙述。 叙述。
x → +∞
lim f ( x ) ≠ A ⇔ ∃ ε 0 > 0，对 ∀ X > 0， ∃ 某个 x0 > X ,
5.3解析函数在无穷远点的性质
定理5.4/ (对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m级 极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:
(1) f(z)在 z=∞的主要部分为
b1z b2 z 2 bm z m (bm 0);
首页上页返回 Nhomakorabea下页
1
(z 1)( z 2)
g(z) (z 1)( z 2) z 2 1 1 1 2 z z
首页
上页
返回
下页
结束
铃
补充例 2：求出下列函数的 奇点，并确定他们的类 型（对于极点，要指出它们的 级），对于无穷远点 也要加以讨论。
(1)
f
(z)
z6 z(z2
例4
问函数
1 sec
z 1
在z＝1的去心邻域内能否展开为洛朗级数.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例5 设f(z)在0<|z-a|<R内解析，且不恒为零；又 若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试证 a必为f(z)的本性奇点。
首页
上页
返回
下页
结束
铃
定理5.6’(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点∞为本 性奇点的充要条件是下列任何一条成立: (1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂
首页
上页
返回
下页
结束
铃
不等于零; (2) lim f (z) 广义不存在(即当z趋向于∞
z
时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).
例1 f (z)
5.3解析函数在无穷远点的性质
首页
函数在无限远处极限
利用等价无穷小求极限
等价无穷小
在自变量的某个变化过程中，两个无穷小量 可以相互替换，它们的比值为常数。利用等 价无穷小求极限时，需要找到与原函数等价 的无穷小量，并将其代入原函数中，从而简 化计算过程。
举例
求函数 f(x) = sin(x)/x 在 x = ∞ 处的极限。 利用等价无穷小，将 sin(x) 替换为 x，得到 f(x) = x/x = 1，因此 lim(x→∞) sin(x)/x = 1。
无穷大量与无界量
无穷大量和无界量是数学中的两个概念，它们描述的是趋于无穷的变量。在判断函数在无穷远处的极 限时，需要区分这两个概念。
无穷大量指的是一个变量趋于无穷的速度比任何正数都快，即其增长速度超过任意正数。无界量则是 指一个变量的取值范围没有上界或下界。在判断函数在无穷远处的极限时，需要注意区分这两个概念 ，因为它们的性质和行为不同。
函数在无限远处的极限
目录
• 函数在无穷远处的极限定义 • 函数在无穷远处的极限性质 • 函数在无穷远处的极限应用 • 函数在无穷远处的极限的求法 • 函数在无穷远处的极限的注意事项
01 函数在无穷远处的极限定 义
函数在正无穷远处的极限
定义
如果对于任意正实数$A$，存在一个 正实数$B$，当$x > B$时，有$f(x) < A$，则称函数$f(x)$在正无穷远处的 极限为A。
极限的局部有界性
有界性
如果函数f在无穷远处有极限，那么存 在一个正数M，当x足够大时， |f(x)|<=M。
局部有界性
如果函数f在无穷远处有极限，那么存 在一个正数N和M，当x>N时， |f(x)|<=M。
03 函数在无穷远处的极限应 用
解析函数的泰勒展开及洛朗展开
洛朗级数的收敛性
洛朗级数的收敛性取决于函数在圆环 域内的性质。如果函数在圆环域内解 析且满足一定的条件，则洛朗级数在 该圆环域内收敛。
洛朗级数的收敛性可以通过比较判别 法、根值判别法等方法进行判断。如 果洛朗级数的通项满足一定的条件， 则该级数收敛。
常见函数的洛朗展开
一些常见的函数在特定的圆环域内可以展开成洛朗级数。例如，函数$f(z) = frac{1}{z}$在圆环域$0 < |z| < infty$内可以展开 成洛朗级数$frac{1}{z} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n z^{-(n+1)}$。
计算复变函数的值
通过泰勒展开，可以将一个复杂的复 变函数表示为一个简单的多项式形式， 从而方便计算函数在某一点的数值。
VS
利用洛朗展开，可以将一个在某一点 不解析的复变函数表示为一个在该点 解析的函数与一个在该点不解析但已 知的函数之和，进而计算该点的函数 值。
证明复变函数的等式与不等式
泰勒展开和洛朗展开可以将复变函数表示为 幂级数形式，通过比较相应项的系数，可以 证明两个复变函数之间的等式或不等式关系 。
PART 04
解析函数在复平面上的性 质
REPORTING
WENKU DESIGN
解析函数的零点与奇点
零点
解析函数的零点是指在该点上函数值为零的点。零点可以是孤立的，也可以是连续的。 例如，多项式函数的零点就是其根。
奇点
解析函数的奇点是指在该点上函数不解析的点，即函数在该点上没有定义或者不可微。 奇点可以是孤立的，也可以是连续的。常见的奇点类型包括可去奇点、极点和本性奇点。
REPORTING
WENKU DESIGN
展开形式的差异
电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter5
![电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter5](https://img.taocdn.com/s3/m/e9c0394aa76e58fafab00389.png)
1． 可去奇点
定义 5.1.3 可去奇点 设 z0 为 f (z) 的
孤立奇点，若 f (z) 在点 z0 的去心邻域内
的罗朗级数无主要部分（即无负幂次项），
则称 z0 为 f (z) 的可去奇点
这时， f (z) 在 z0 的去心邻域内的罗朗级数
实际上就是一个普通的幂级数
a0 a1(z z0 ) ak (z z0 )k （5.1.2） 因此，这个幂级数的和函数 F(z) 是在 z0 解 析的函数，且当 z z0 时， F(z) f (z); 当 z z0 时， F (z0 ) a0 .
可去奇点.
定理 5.1.1 可去奇点的判定定理
（1） f (z) 在奇点 z0 的去心邻域内的罗朗级数中
无主要部分；
（2） lim z z0
f
(z)
a0, (a0
)
；
（3） f (z) 在 z0 的去心邻域内有界；
以上任何一条均可作为判别奇点是否为可去奇点
的判断标准，也可作为可去奇点的定义.
2．极点 由于极点与零点有 一定关系，而零点的概 念易于理解 ，故先给出零点的概念 ，然后介绍 极点的定义 ，以及极点与零点的关系 ，最后介 绍极点的判定定理.
式.
对应于(5.2.2)展开式中的负幂次项，为 (t) 在 t 0的
主要部分，故我们 对应地称（ 5.2.3）展式中的正幂次
ak zk 为 f (z) 在 z 的主要部分.
k 1
由上述定义及前面讨论的有限远奇点的性质，容易
推证下述定理：
定理 5.2.1 函数 f (z) 的孤立奇点 z 为可去
在 z0 点及其邻域| z z0 | 内是解析函数，且 (z0 ) 0 .
第三节解析函数在无穷远的性质
存在着极限
limf
z
(z)
Байду номын сангаас
、
无
穷
极
限
或
不
存
在
有
限
或无穷的极限 limf (z) 。 z
系9.1设函数f(z)在区域 R|z|内解析，
那么 z是f(z)的可去奇点的必要与充分
条件是：存在着某一个正数 0(R) ，使得f(z)
在 0|zz0| 内有界。
本节结束 谢谢！
Complex Function Theory
Department of Mathematics
更多精品资源请访问
docin/sanshengshiyuan doc88/sanshenglu
令 z 1 ，按照R>0或R=0，我们得到在
w
0 | w| 1
R
解析函数在无穷远点的性质
或
0|w|
内解析的函数 (w) f (1)
w
其洛朗级数展式是：
(z)
n wn n
,
如果w=0是 (z) 的可去奇点、（m阶）极
点或本性奇点，那么分别说 z是f(z)的
可去奇点、（m阶）极点或本性奇点。
解析函数在无穷远点的性质
（1）、如果当时n=1,2,3,…， n 0 ，那么
z是f(z)的可去奇点。
（2）、如果只有有限个（至少一个）整数n
，使得
n 0，那么 z 是f(z)的极点
。设对于正整数m，m 0 ，而当n>m时，n 0
那么我们称 z是f(z)的m阶极点。按照
n
注解2、若 z为f(z)的可去奇点，我们也
说f(z)在无穷远点解析。
复变函数5.3解析函数在无穷远点的性质ppt课件
z
z0
定义5.5 若z/=0为 (z) 的可去奇点(解析点),
m阶极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m阶极点或本性奇点.
设在去心邻域K-{0}:0<|z |<1/r内将 (z')
展成罗朗阶数: (z') cn z'n
n
3
令z=1/z,根据(5.12),则有
(z') f ( 1 ) f (z)
10
5
(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能 表成 f (z) zm (z),
其中(z)在z=∞的邻域N内解析,且 ( 0);
(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m阶零点(只要令 g(∞)=0).
定理5.5 (对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点
∞为极点的充要条件是 lim f (z) . z 定理5.6(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点
z'
(5.12)
在去心邻域:
K {0}: 0 | z'| 1 (如r 0规定1 )内解析
r
r
z 0就为(z)之一孤立点.我们还看出:
2
(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心
邻域N-{∞},有扩充z平面上的原点的去心邻域;
(2)在对应点z与z平面上,函数 f (z) (z')
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z'
(z) cnzn f (z) bn z n (5.13)
n
n
其中 bn cn (n 0,1,).
(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}:
0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 (z')在z=0
无限远点_洛朗展开
第四章 级 数第三节 洛朗展式1、整函数与亚纯函数的概念：如果f (z )在有限复平面C 上解析，那么它就称为一个整函数。
显然无穷远点是整函数的孤立奇点。
在C 上，f (z )围绕无穷远点的洛朗展式也就是其泰勒展式：,)(0∑+∞==n n n z z f α当f (z )恒等于一个常数时，无穷远点是它的可去奇点；当f (z )是)1(≥n 次多项式时，无穷远点是它的n 阶极点；在其它情况下，无穷远点是f (z )的本性奇点，而这时称f (z )为一个超越整函数。
例如z z e z cos ,sin ,等都是超越整函数，无穷远点是它们的本性奇点。
由刘维尔定理，我们有代数基本定理：任何)1(≥n 次代数方程至少有一个根。
证明：设)0(...)(011≠+++=--n n n n n z z z P αααα是一个这样的代数方程。
我们要证明整函数P (z )至少有一个零点。
反证之，假定P (z )没有零点，那么)(1z P 也是一个整函数，因为 |)...(||)(|01nn n n zzz z P ααα+++=-)0(|)||||...|||||(|||01≠---≥-z z z z n n n n ααα 所以我们有,0)(1lim,|)(|lim =+∞=∞→∞→z P z P z z因而)(1z P 在全平面上有界，于是根据刘维尔定理，)(1z P 恒等于0，与所设矛盾，因此P (z )至少有一个零点。
定理1 设f (z )是一个整函数，按照∞=z 是可去奇点、)1(≥n 阶极点或本性奇点，必须而且只需f (z )是恒等于常数、)1(≥n 次多项式或超越整函数。
证明：设∞=z 是f (z )的可去奇点，那么)(lim z f z ∞→为有限复数，从而f (z )有界，由刘维尔定理，f (z )恒等于一个常数。
设∞=z 是f (z )的极点或本性奇点时，设f (z )在∞=z 的主要部分是∑∑+∞===11)(k k k nk kk z z z g αα或那么∞=z 是f (z )-g (z )的可去奇点。
第3节 解析函数在无穷远点的性质
z b z > Max{a , b}, 内分出单值解析分支,
z a a b ln = ln(1 ) ln(1 ) + 2kπi z b ∞ z n1 ∞ z (1) a n (1)n1 b n = 2kπi + ∑ ( ) ∑ ( ) n z n z n=1 n=1 ∞ bn an 1 = 2kπi ∑(1)n1 n zn n=1 ∞ f 可 奇 . k = 0,1,2,; 故 为 (z)的 去 点
f (z) = z (z)
m
(5.11) ;
'
其 (z)在 =∞的 域 内 析 (∞) ≠ 0; 中 z 邻 N 解 ,且
1 (3) g(z) = 以z = ∞为m 阶零点只要令g(∞) = 0). ( f (z)
例2研 函 f (z) = (1 z)(2 z)的 点 =∞的 型 究 数 奇 z 类 .
即 是 (z)的 孤 奇 , 0 f 非 立 点
故 (z)在 = 0的 心 域 不 展 Laurent级 . f z 去 邻 内 能 为 数
内 0 , , 例7 若函数f (z)在 < z a < R 解析且不恒为零 又 f (z)有 列 于 但 与 为 点 零 , 证 若 一 异 a 都 a 聚 的 点试 a 必 f (z)的 质 点 为 本 奇 .
lim f (z) = ∞.
z→∞
孤 奇 ∞ 本 奇 的 要 件 4 定 5.6' f (z)的 立 点 为 质 点 充 条 是 理
下列两条中任何一条成立
(1) f (z)在 =∞的 要 分 无 多 正 不 于 ; z 主 部 有 穷 项 幂 等 零 (2) lim f (z)不存在即当z趋向∞时 f (z)不趋向于任 ( ,
复变函数课件
定义： 内解析, 称点∞为 f (z)的孤立奇点.
1 作变换 w = 把扩充z平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞ z 1 0 映射成扩充w平面上原点的去心邻域：<| w |< . R 又 f ( z ) = f ( 1 ) = ϕ ( w) .这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞
tan
1 z k = 1 k + π 2
(k = 0,±1,±2,L)为本性奇点
z = 0为非孤立奇点；
§4.整函数与亚纯函数的概念 整函数与亚纯函数的概念 4.1 整函数 4.2 亚纯函数
4.1 整函数
定义：在整个复平面上解析的函数称为整函数。
设f ( z )为一整函数，则 f ( z )只以 z = ∞ 为孤立奇点，
且可设： f ( z ) =
∑
∞
n=0
c n z n (0 ≤| z |< +∞ ) (5.14)于是有
定理5.10 若 f (z ) 为一整函数，则 为一整函数， 定理 (1) z = ∞ 为的可去奇点的充要条件是f (z )为常数； 为常数； (2) z = ∞为 f (z )的 m 级极点的充要条件是f (z ) 是一 个m 次多项式. 次多项式 (3) z = ∞为的本性奇点的充要条件是 为的本性奇点的充要条件是(5.14)有无穷 有无穷 不等于零.(这样的整函数称为超越整函数 这样的整函数称为超越整函数) 多个 c n不等于零 这样的整函数称为超越整函数
定义 5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。 亚纯函数可以表示成两个整函数的商,也可以 表示成部分分式(有理函数式)。
02-5.3函数在无穷远点的性态教学课件
思考： z 是 ez 什么类型的孤立奇点？
如 z 是 f (z) z3 的孤立奇点。
设 z 是
f
(z) 的孤立奇点，作变换
z
1，记
()
(z)
f
1
，则
()
在 0 1 解析， 0 是() 的孤立奇点。
R
定义3： 若 0 是() 的可去奇点、m 级极点或本性奇点，则称 z 为函数
同样地， 也可以通过观察 lim f (z) 来进行分类： z 1. lim f (z) 存在且有限，则 为可去奇点 z 2. lim f (z) ，则 为极点 z 3. lim f (z) 不存在且不为 ，则 为本性奇点 z
例4：
z
是否为函数
f
(z)
f (z) 的可去奇点、m 级极点或本性奇点。
定义4：设 z 为函数 f (z) 的孤立奇点， 若 f (z) 的洛朗级数展开式中 ⑴不含正幂项，则称 z 为 f (z)的可去奇点； ⑵含有限多正幂项，其最高幂为 zm，则称 z 为 f (z)的 m 级极点； ⑶含无穷多正幂项，则称 z 为 f (z)的本性奇点。
复变函数与积分变换logo沈阳工业大学理学院一孤立奇点二零点与极点的关系三函数在无穷远点的性态三函数在无穷远点的性态定义2
logo
复变函数与积分变换
沈阳工业大学理学院
一、孤立奇点 二、零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态*
三、函数在无穷远点的性态*
定义2： 若函数 f (z) 在无穷远点 z 的去心邻域 R z 内解析，则称 为函数 f (z)的孤立奇点。
第3节 解析函数在无穷远点的性质
b n n z
b1 b0 b1 z z
bn z n
当 z 逐渐增大趋向 时, 主要与次要互相转化.
3.定义5.5 若w 0为 ( w)的可去奇点(解析点), m阶
极点或本质奇点; 则我们相应地称z 为f ( z )的可去奇 点(解析点), m阶极点或本质奇点. 4. f ( z)在N {}: z r 0内Laurent展式为
第三节 解析函数在 无穷远点的性质
Department of Mathematics
一 解析函数在无穷远点的性态
1.定义5.4 设函数f ( z)在无穷远点(去心)邻域
N {}: z r 0
内解析, 则称点为f ( z)的一个孤立奇点.
注 若是f ( z)的奇点的聚点, 则为f ( z)的非孤立奇点. 1 2. 为f ( z)的孤立奇点,利用倒数变换 w z 1
( w)
bn w
n 1
n
b0 b n wn
n 1
主要部分
正则部分
( w)
b w
n 1 n
n
b0 b n wn
n 1
(1) 若bn 0, n 1, 2,
; 则0为 (w)的可去奇点;
(2) 若只有有限个bn 0(n 0), 则0为 (w)的极点; (3) 若有无穷个bn 0(n 0), 则0为 (w)的本质奇点.
1 在w平面上点w 0的去心邻域K {0}: 0 w r 内解析, w 0为 (w)之一孤立奇点.
于是 ( w) f ( ) f ( z ) w
(5.12)
注1 处理无穷远点作孤立奇点的方法,作倒数变换,
函数在无穷远的极限
x x
x x
lim 1 0 x x
再例如：从y arctan x的图形可以看出:
例6
lim arctan x
x
2
lim arctan x
x
2
limarctan x不存在 x 练习：lim ex不存在. x
极限定义2： 当x 时，f (x) A
改为： 当x 时，f (x) A 则称当x 时, f (x)以A为极限,
记作 lim f (x) A 或 f (x) A (x ) x
从y arctan x的图形可以看出:
2
例4 -1] lim arctan x
x
2
从y e x的图形可以看出:
yA
yA
x
直线y A被称为函数f (x)的水平渐近线
注：对基本初等函数， 通常可以看图判断。
例1]
y
1 x
, 如图 :
y
O x
x
从图形上可以看出 :当x 时
lim
x
1 x
0
例2 lim ex 0
x
例3]
lim arctan x
x
2
2
注 : 对常数C : lim C C x 练习：lim arc cot x 0 x
第二章 第三讲 3.2.1、函数在无穷远的极限
第二节 函数极限
3.2.1、函数在无穷远的极限
数列：n ，f (n) A
极限定义2： 当x 时，f (x) A
则称当x 时, f (x)以A为极限,
记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x ) x
几何上：随着 x的无限增大 函数y f (x)无限的趋近于水平直线 y A
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能 表成 f (z) zm (z),
其中(z) 在z=∞的邻域N内解析,且 ( 0);
(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m级零点(只要令 g(z)=0).
定理5.5’(对应于定理5.5) f(z)的孤立奇点
∞为极点的充要条件是 lim f (z) . z 定理5.6’(对应于定理5.6) f(z)的孤立奇点
n
n
其中 bn cn (n 0,1,).
(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}: 0≤r<|z|<+∞内的罗朗展式.对应 (z')在z’=0
的主要部分,我们称
bn z n
为f(z)在z=∞
n
的主要部分.
定理5.3/ (对应于定理5.3)f(z)的孤立 奇点z=∞为可去奇点的充要条件是下列三 条中的任何一条成立:
5.3解析函数在无穷远点的性质
定义5.4 设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域 N-{∞}:+∞>|z|≥0
内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.
设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z, 于是 (z') f ( 1 ) f (z) (5.12)
z'
在去心邻域:
K {0}: 0 | z'| 1 (如r 0规定1 )内解析
∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成 立:
(1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂
不等于零;
(2)
lim
z
f
( z ) 广义不存在(即当z趋向于∞
时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).
例5.11
f (z)
1
(z 1)( z 2)
g(z) (z 1)( z 2) z 2 1 1 1 2
z z
例5.12 将多值函数 Ln z a
zb
的在无穷远点的某区新邻域内展成洛朗级数
例5.14
求出函数
f (z) tan(z 1) z 1
的全部奇点,并判断其类型(含∞点) 例5.15 问函数 sec 1
z 1
在z＝1的区新邻域内能否展开为洛朗级数
例5.16 设f(z)在0<|z-a|<R内解析，且不恒为零； 又若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试 证a必为f(z)的本性奇点
m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.
设在去心邻域K-{0}:0<|z’|<1/r内将 ( z ' )
展成罗朗级数: (z') cn z'n n
令z/=1/z,根据(5.12),则有
(z') f ( 1 ) f (z)
z'
(z) cnzn f (z) bn z n (5.13)
r
r
z 0就为(z)之一孤立点.我们还看出:
(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心 邻域N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;
(2)在对应点z与z/上,函数 f (z) (z')
(3) lim f (z) lim(z'), 或两个极限都不存在.
z
z0
定义5.5 若z/=0为 (z') 的可去奇点(解析点),
(1)f(z)在z 的 主要部分为零;
(2) lim f (z) b( ); z
(3)f(z)在z 的某去心邻域N-{∞}内有ห้องสมุดไป่ตู้.
定理5.4/ (对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点 z=∞为m级极点的充要条件是下列三条中的任 何一条成立:
(1) f(z)在 z=∞的主要部分为
b1z b2 z 2 bm z m (bm 0);