空间几何体的三视图、表面积与体积【学生试卷】
8.1空间几何体的三视图、表面积和体积带详细答案
8.1空间几何体的三视图、表面积和体积五年高考A组统一命题.课标卷题组1.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A: B: C: D:答案详解B正确率: 67%, 易错项: C解析:本题主要考查空间几何体的三视图。
根据题意，该几何体的直观图如图所示。
可知该几何体的后侧面与右侧面均为上底为，下底为，高为的直角梯形，所以这两个直角梯形的面积和为。
故本题正确答案为B。
2.3.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A: B: C: D:答案详解B正确率: 61%, 易错项: A解析:本题主要考查圆柱的体积公式及球的相关知识。
根据题意，球的半径，圆柱的底面圆的半径，所以该圆柱的体积为。
故本题正确答案为B。
4.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）。
A: B: C: D:答案详解C解析:本题主要考查空间几何体的三视图及表面积的计算。
将三视图还原成立体图如下：圆锥的母线长，圆的半径，所以该几何体的表面积。
5.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是（）。
A: B: C: D:答案详解A正确率: 48%, 易错项: B解析:本题主要考查空间几何体。
该几何体形状如图所示，该几何体是一个球切掉左上角的后的部分，根据题中所给体积可列出等式：，可得。
所以表面积是的球面积和三个扇形面积之和，。
故本题正确答案为A。
6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）。
A: B: C: D:答案详解D正确率: 51%, 易错项: C解析:本题主要考查三视图与空间几何体。
空间几何体的直观图如下图所示：设正方体棱长为，可知被截去部分的体积为，所以剩余体积为，因此比值为。
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高二数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4,侧棱长为,则此球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设球的半径为，正方形的ABCD的对角线的交点 M，则球心在直线PM上．，由勾股定理得,再由射影定理得即∴此球的表面积为.【考点】球的表面积.2.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（）平方米.A．B．C．D．【答案】D.【解析】所求几何体的体积为阴影部分的面积与高的乘积，在中，,则,,体积.【考点】组合体的体积.3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_________．【答案】【解析】由正视图可知四棱锥的底面边长为2，高为2，可求出斜高为，因此四棱锥的侧面积，答案为.【考点】1.几何体的三视图；2.锥体的侧面积计算4.已知球的直径SC=4，A.,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为_________【答案】【解析】设ＡB的中点为D，球心为O，连结SD，CD，OD，由SC=4为球的直径知，∠SBC=∠SAC=90o,因为∠ASC=∠BSC=45°，所以SA=BC=SB=AC=，所以SD⊥AB，DC⊥AB，所以AB⊥面SDC，因为AB=2，所以SD=DC==，所以DO= =，所以= ===.考点:球的性质，线面垂直判定，三棱锥的体积公式，转化思想5.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 .【答案】【解析】过作截面平行于平面,可得截面下体积为原体积的，若过点F，作截面平行于平面,可得截面上的体积为原体积的，若C为最低点，以平面为水平上面，则体积为原体积的，此时体积最大.【考点】体积相似计算.6.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是．【答案】【解析】如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从而．记此时小球与面的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．因，有，故小三角形的边长．小球与面不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）．又，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．【考点】(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用。
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编25：空间几何体的三视图、表面积与体积(学生版)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编25：空间几何体的三视图、表面积与体积一、选择题 1 ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为（ ）A．B．CD2 ．（2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为（ ）A ．13B ．C ．72πD ．143 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知四面体S ABC -的所有棱长都相等,它的俯视图如下图所示,的正方形;则四面体S ABC -外接球的表面积为（ ）A ． 6πB ．4πC ．8πD ．3π 4 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),第7题图（ ）A ．9214+πB ．8214+πC ．9224+πD ．8224+π5 ．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、体积分别是 （ ）A ．12832,3ππ B ．3216,3ππ C ．1612,3ππ D ．168,3ππ6 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为（ ）A ．B ．6+C ．30+D ．42 7 ．（山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题）如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是第7题图8 ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）一个几何体的三视图如图所示,其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4,腰长为4的等腰梯形,则该几何体的侧面积是 （ ） A ．π6 B ．π12 C ．π18 D ．π249 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（ ）A ．13B ．12 C ．16D ．110．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的（ ）A．外接球的半径为3B1 CD ．外接球的表面积为4π11．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为（ ）A ．203B ．403C ．20D ．4012．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．1B ．13 C．12D．32 13．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）如图所示是以建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2k g,则共需油漆大约公斤数为(尺寸如图所示,单位:米 π取3)第11题图图图（ ）A ．20B ．22.2C ．111D ．11014．（山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为1V ,直径为4的球的体积为2V ,则12:V V =（ ）A ．1:2B ．2:1C ．1:1D ．1:415．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）右图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是（ ）A．20+B．24+C ．8D ．1616．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是（ ）A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π17．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位为cm,则该几何体的体积为( )cm 3.正视图 俯视图左视图（ ）A ．18B ．48C ．45D ．54 18．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．1C ．23D ．1319．（2011年高考（山东理））右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:① 存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ② 存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ③ 存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图. 其中真命题的个数是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 20．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是21．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理 （ ） A ．）一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 （ ） A ．π12 B ．π24 C ．π32 D ．π48 22．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积不可能是（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．323．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为【T 】1．（ ）A ．4B ．8C ．16D ．20 24．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如下所示,则该几何体的表面积是（ ）A ．6+B ．12+C ．12+D ．18+25．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中半圆的半径为1,则该几何体的体积为（ ）A ．3242π-B ．243π-C ．24π-D ．242π-26．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如右图,一个由两个圆锥组合而成的空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1、一个内角为60°的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的体积为（ ）AB ．6ππC．12π D27．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））如图,正三棱柱ABC -111A B C 的各棱长均为2,其正(主)视图如图所示,则此三棱柱侧(左)视图的面积为（ ）A ．22B ．4C ．3D ．32 28．（2009高考(山东理)）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．2ππ2π D ．4π+侧(左)视图正(主)视图俯视图29．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）如右图,某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形,且体积为12,则该几何体的俯视图可以是30．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）如右图,某几何体的三视图均为边长为l 的正方形,则该几何体的体积是（ ）A ．65B ．32 C ．1 D ．21 31．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 32．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）如图所示是一几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为 （ ） A ．3π B ．4π C ．8π D ．9π二、填空题 33．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中半圆的直径为2,则该几何体的体积为____.34．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））如图,已知球O 的面上有四点,,,A B C D ,DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2DA AB BC ===,则球O 的体积与表面积的比为__________.35．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上,且8,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为______. 36．（2012年山东理）(14)如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1-EDF 的体积为____________.37．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为 ____________;38．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_________.39．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为16π,则图中x的值为_______________.40．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.41．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为__________.42．（山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科））一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为__________________3m.正视图 侧视图俯视图山东省2014届理科数学一轮复习试题选编25：空间几何体的三视图、表面积与体积参考答案一、选择题1. D2. 【答案】D 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(131131)14⨯+⨯+⨯=,选D.3. A4. 【答案】A 由几何体的三视图,知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为2,高为5的圆柱的一半. 长方体的中445EH HG GK ===，，,所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4445)45=92⨯+⨯+⨯.半圆柱的两个底面积为22=4ππ⨯,半圆柱的侧面积为25=10ππ⨯⨯,所以整个组合体的表面积为92+410=92+14πππ+,选A. . 5. C6. 【答案】C 由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,两个侧面和底面垂直.其中侧棱12AA =.底面边长3AD =,平行六面体的高为3.2BE =,又2222112(3)1AE AA A E =-=-=,所以123AB =+=.所以平行六面体的表面积为2(333332)=3063⨯+⨯+⨯+,选 C.7. B8. B 【解析】结合三视图可知该几何体是一个圆台,其上,下底面的半径分别为2,1,其直观图如图所示.则该几何的侧面积⨯=2(πS π12)414=⨯+.9. 【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为1的正方形,高为1的四棱锥,所以体积为1111133⨯⨯⨯=,选A. 10. B11. 【答案】B由三视图可知,该几何体是一个放到的四棱锥,其中四棱锥的底面是主视图,为直角梯形,直角梯形的上底为1,下底为4,高为 4.棱锥的高位4,所以四棱锥的体积为1144044323+⨯⨯⨯=,选 B.12. 【答案】B 由三视图可知,该几何体是四棱锥,以俯视图为底,高为1,俯视图的面积为11=1⨯,使用四棱锥的体积为111133⨯⨯=,选B. 13. 【答案】B 【解析】由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体.长方体的底面是边长为3的正方形,高为4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为24(34)=48()m ⨯⨯.圆锥的底面半径为3,母线为5,所以圆锥的侧面积为2351545()m ππ⨯⨯==,底面积(去掉一个正方形)为29339918()m ππ-⨯=-=,所以该几何体的总面积为2484518111()m ++=,所以共需油漆0.211122.2⨯=公斤,选B.14. A15. A.【解析】由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱,根据三视图的性质,俯视图的矩形宽为由面积4,则1+2=24+2S S S =⨯⨯⨯⨯侧底（）2 =2820+.16. 【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去12半球的球.其中两个半圆的面积为224ππ⨯=.34个球的表面积为2342124ππ⨯⨯=,所以这个几何体的表面积是12416πππ+=,选A. 17. 【答案】D由三视图可知,该几何体时底面是矩形的四棱柱,以俯视图为底,底面直角梯形的上底为4,下底为5,高为3.棱柱的高为4,所以四棱柱的体积为34534542cm +⨯⨯=,选D. 18. C19.解析:①②③均是正确的,只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱, 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧;②直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺;③圆柱平躺即可使得三个命题为真,答案选A.20. 【答案】C【 解析】若俯视图为C,则俯视图的宽和左视图的宽长度不同,所以俯视图不可能是C.21. 【答案】D【解析】该几何体的直观图如图1所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD 是边长为4的正方形,高为CC 1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为12AC R ==,所以球的半径为R =所以球的表面积是224448R πππ=⨯=,选D.22. 【答案】D 由三视图可知,该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱锥,,其中底面三角形BAC 为直径三角形,PA ABC ⊥,2AB =,4PC =,设,04AC x x =<<,则PA ==,所以三棱锥的体积为111168232363x ⨯⨯=≤==,当且仅当x =即28,x x ===,此时体积有最大值82233=,所以该三棱锥的体积不可能是3,选D.23. C 【解析】由三视图可知,该几何体是一个四棱锥,四棱锥的高为4,底面为俯视图对应的矩形,俯视图的面积为2612⨯=,所以四棱锥的体积为1124163⨯⨯=,选C.24. 【答案】C 【解析】由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,三棱柱的底面是一个腰长为2,底面上的高是1的等腰三角形,侧棱长是3,所以该几何体的表面积为1213(22122⨯⨯+++=+,选C. 25. A 【解析】由三视图可知该几何体是一个长方体去掉一个半圆柱.长方体的长宽高分别为3,2,4.所以长方体的体积为32424⨯⨯=.半圆柱的高为3,所以半圆柱的体积为13322ππ⨯⨯=,所以几何体的体积为3242π-,选A. 26. A27. 【答案】D【解析】由正视图可知,此三棱柱的侧视图为,高为2,宽为3的矩形,所以面积为32,选D. 28. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为213⨯=所以该几何体的体积为2π. 答案:C 29. C 【解析】若俯视图为A,则该几何体为边长为1的正方体,体积为1,不成立.若俯视图为B,则该几何体为圆柱,体积为21()124ππ⨯=,不成立.若俯视图为C,则该几何体为三棱柱,体积为1111122⨯⨯⨯=,成立.若俯视图为D,则该几何体为14圆柱,体积为211144ππ⨯⨯=,不成立.所以只有C 成立,所以选C. 30. 【答案】A 由题意三视图对应的几何体如图所示, 所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积,即31151111326-⨯⨯⨯⨯=,选 A.31. 【答案】B 由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为2的正方形,故其底面积为141122⨯⨯⨯=.由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组对角线长为2,3==.此棱锥的体积为12323⨯⨯=,选B.32. D二、填空题 33. 324π-34.35. 【答案】球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上.所以对角线长为=,所以棱锥的高为=,所以棱锥的体积为183⨯=. 36.解析:61112113111=⨯⨯⨯⨯==--DE D F EDF D V V . 37. 31 38. 4163π+ 39. 【答案】3由三视图可知,该几何体下面是个圆柱,上面是个四棱锥.圆柱的体积为4416ππ⨯=,四棱锥的底面积为14482⨯⨯=,所以四棱锥的体积为18833h h ⨯⨯=,所以816163h ππ=+,所以四棱锥的高h =所以2222549x h =+=+=,即3x =.40.π3 41. 242π+ 【解析】由三视图可知,该组合体下部是底面边长为2,高为3的正四棱柱,上部是半径为2的半球,所以它的表面积为224322221224πππ⨯⨯+⨯+⨯=+.42. 4 【解析】由三视图可知,该组合体是由两个边长分别为2,1,1和1,1,2的两个长方体,所以体积之和为2111124⨯⨯+⨯⨯=。
专题15 空间几何体的三视图、表面积与体积( 理科)原卷版
绝密★启用前|满分数学命制中心专题15 空间几何体的三视图、表面积与体积一、选择题（每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2020·北京市平谷区高三一模）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．02．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83π163+B．4π1633+C．16343π+D．43π163+3．（2020届河南省驻马店市高三第二次模拟）已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P-ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为354. （河南省周口一中2019届期末）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )A.8B.4C.4 3D.4 25．（吉林东北师大附中2019届高三模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为( )A. 5 B ．2 2 C ．3D ．2 36. （南京师大附中2019届高三调研）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A.圆弧B.抛物线的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分7．（2020届湖北省黄冈中学高三高考模拟）木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）A ．2493π+B ．4893π+C ．48183π+D ．144183π+8．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16B ．163C ．163D ．12839．（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A ．16216π+B ．1628π+C ．8216πD ．828π10．（2020届河南省濮阳市高三模拟）在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A．811B．810C．24 D．16311．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）已知三棱锥D ABC-的外接球半径为2，且球心为线段BC的中点，则三棱锥D ABC-的体积的最大值为（）A．23B．43C．83D．16312．（2020·北京市西城区高三一模）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2223S S∉∉，且B．2223S S∉∈，且C．2223S S∈∉，且D．2223S S∈∈，且13．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）如图，在平面四边形ABCD中，满足,AB BC CD AD==，且10,8AB AD BD+==，沿着BD把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使2PC=，则三棱锥P BCD-体积的最大值为（）A．12 B．2C．23D．16314．（2020届河南省六市高三第一次模拟）已知圆锥的高为33圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )5 3B．329C．43D．259A．二、填空题（每小题5分）16．（2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模）如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.17．（2020届陕西省西安中学高三第一次模拟）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为22，则该几何体外接球的表面积为__________．18．（2020届四川省成都市高三第二次诊断）已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________． 19．（2020届河南省驻马店市高三第二次模拟）在矩形ABCD 中，4BC ＝，M 为BC 的中点，将ABM 和DCM △分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与C 重合于点P .若150APD ∠︒＝，则三棱锥M PAD ﹣的外接球的表面积为_____.20．（2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次调研）四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，2AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______21．（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．22．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．23. （江西省九江一中2019届质检）如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图均是高为2，底边长为22的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是________.24．（黑龙江哈尔滨师大附中2019届高三模拟）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．25、（江苏省南通市、泰州市2019-2020学年高三上学期期末）在正三棱柱ABC - A 1B 1C 1 中，AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥A 1 - BB 1C 1 的体积为______.。
空间几何体与三视图、体积表面积(含答案)
1.几种常凸多面体间的关系2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱有一个底面是用一个由正棱的高要保持平齐相等长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，投影线不垂直于投影面产生的投影叫做斜投影。
物体投影的形状、大小与它相对于投影面的位置和角度有关。
三视图指正投影（3）射影：所谓射影，就是正投影其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影题型1.空间几何体的结构例题1正方体ABCD—1A 1B 1C 1D 的棱上到异面直线AB ，C 1C 的距离相等的点的个数为（c ）A ．2B ．3 C. 4 D. 5【答案】：C【解析】解析如图示，则BC 中点，1B 点，D 点，A1D1的中点分别到两异面直线的距离相等。
即满足条件的点有四个，故选C 项变式练习：到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A ）只有1个 （B ）恰有3个（C ）恰有4个（D ）有无穷多个①②：当截面与正方体的某一面平行时，可得①，将截面旋转可得点时可得③，即正方体的对角面，不可能得④.答案：（ ）【答案】2、一个几何体的三视图如图积为10A. 28+65B. 30+6 D.读出的长度，黑色数字【答案】D的体。
三视图(直视图)、表面积、体积(含答案)
三视图（直视图）、表面积、体积姓名：得分：一、选择题1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A6()B9()C12()D182.将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）3.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A．112B.5C.4D.924.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可．．能．是5. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π 6. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱7. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm 3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm 38. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+B ）30+C ）56+图1正视图 俯视图侧视图（D ）60+二、填空题1. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.4. 如图，在长方体1111ABCD ABC D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．5. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积3m .6. 某几何体的三视图如上右图所示，则该几何体的体积等于______。
7. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.2，已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为为 。
2023年新高考数学一轮复习8-2 空间几何体的表面积和体积(真题测试)解析版
专题8.2 空间几何体的表面积和体积（真题测试）一、单选题1．（2020·天津·高考真题）若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π【答案】C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R =，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C.2．（2020·北京·高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）． A ．63+ B ．623+ C ．123+ D ．1223+【答案】D【解析】【分析】首先确定几何体的结构特征，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 60122S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3．（2022·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．22πB ．8πC ．22π3D ．16π3【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出．【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为1cm ，圆台的下底面半径为2cm ，所以该几何体的体积(322214122ππ1π122π2π12333V =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=3cm ．故选：C ．4．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面上，则该球的表面积为（ ）A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,260sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =121d d -=或121d d +=，即1=1，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==． 故选：A ．5．（2021·浙江·高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．32B ．3C ．2D ．【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，1=故1111131222ABCD A B C D V -=⨯⨯=， 故选：A. 6．（2021·全国·高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A B C D A 【解析】【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积.【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 1， 设O 到平面ABC 的距离为d ，则2d =所以11111332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯= 故选：A.7．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A ．13B ．12CD 【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α， 则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅= （当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r又22r h 1+=则2123O ABCDV r h -=⋅⋅=当且仅当222r h =即h 时等号成立，故选：C8．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤ ） A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[18,27]【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵ 球的体积为36π，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =- 所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭， 所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l ≤0V '<，所以当l =V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =, 所以正四棱锥的体积V 的最小值为274， 所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 故选：C.二、多选题9．（2022·广东茂名·二模）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．24h 降雨量的等级划分如下：在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为50cm ，瓶口高度为3cm ）收集雨水，容器内雨水的高度可能是（ ）A ．20cmB ．22cmC ．25cmD ．29cm【答案】CD【解析】【分析】设降雨量为x ，容器内雨水高度为h,根据雨水的体积相等关系可得到h,x 之间的关系49h x =，结合题意可得4200400[,)999x ∈，由此判断出答案. 【详解】设降雨量为x ，容器内雨水高度为h,根据体积相等关系可得：22π100π150x h ⨯=⨯，解得49h x = ， 由于[50,100)x ∈ ，故4200400[,)999x ∈， 故20040020040020,22[,),25,29[,)9999∉∈故选：CD ．10．（2023·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为42B ．体积为5023π C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22【答案】AC【解析】 【分析】设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，求出1,3r R ==，即可判断选项A 正确；利用公式计算即可判断选项BCD 的真假得解.【详解】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则11223,22933r R ππππ=⨯⨯=⨯⨯，解得1,3r R ==．圆台的母线长6l =，圆台的高为h ==，则选项A 正确；圆台的体积()22133113π=⨯+⨯+=，则选项B 错误； 圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为()13624ππ+⨯=，则圆台的表面积为92434ππππ++=，则C 正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:24，则选项D 错误．故选：AC ．11．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，12O O ，为圆柱上下底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2r =，则（ ）A ．球与圆柱的表面积之比为12：B ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π C ．四面体CDEF 的体积的取值范围为3203⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为2⎡+⎣【答案】BCD【解析】【分析】利用球的表面积公式及圆柱的表面积公式可判断A ，由题可得O 到平面DEF 的距离为1d 平面DEF 截得球的截面面积最小值可判断B ，由题可得四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -可判断C ，设P 在底面的射影为P '，设2t P E '=，PE PF +PE PF +的取值范围可判断D.【详解】由球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，则球表面积为24r π，圆柱的表面积222226r r r r πππ+⋅=， 所以球与圆柱的表面积之比为23，故A 错误；过O 作1OG DO ⊥于G ，则由题可得12OG == 设O 到平面DEF 的距离为1d ，平面DEF 截得球的截面圆的半径为1r ，则1d OG ≤，22221114164455r r d d =-=-≥-=， 所以平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π，故B 正确； 由题可知四面体CDEF 的体积等于12E DCO V -，点E 到平面1DCO 的距离(0,4]d ∈， 又114482DCO S =⨯⨯=，所以123228(0,]33E DCO V d -=⨯∈，故C 正确； 由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '， 则2222222,2,2,16PP PE P E PF P F P E P F '''''==+=++=，设2t P E '=，则20,4t ⎡⎤∈⎣⎦，PE PF +所以()2224PE PF +==+2424⎡⎤=++⎣⎦，所以2PE PF ⎡+∈+⎣，故D 正确.故选：BCD.12．（2022·全国·高考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=， ()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥， 又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D =，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又12BM DM BD ==，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ===，3EF a =，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，212EFM SEM FM =⋅=，AC =， 则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅=，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确.故选：CD.三、填空题 13．（2021·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.【答案】39π【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵216303V h ππ=⋅=∴52h =∴132l =∴136392S rl πππ==⨯⨯=侧. 故答案为：39π.14．（2020·江苏·高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm 3. 【答案】1232π-【解析】【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为262⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为2π故答案为： 2π15．（2019·天津·高考真题（文）若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________. 【答案】4π. 【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径．【详解】借助勾股定理，2=，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为12，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，故圆柱的体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭． 16．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）在三棱锥P ABC -中，点P 在底面的射影是ABC 的外心，2,3BAC BC PA π∠===___________. 【答案】12548π 【解析】【分析】先由正弦定理得，ABC 外接圆的半径，再由勾股定理，即可求出半径,从而可得外接球体积.【详解】解：设ABC 的外心为1O ,连接1PO ,则球心O 在1PO 上，连接1O A ,则1O A 为ABC 外接圆的半径r ,连接OA ,设外接球的半径为R ,则OA OP R ==,在ABC 中，由正弦定理得2,BC r sin BAC ==∠解得1r =,即11O A =, 在1Rt PAO 中，12,PO =在1Rt AOO ,中22211OO AO AO +=,即()22221R R -+=,解得：54R =, 所以外接球的体积为：3344125334854R V πππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭===， 故答案为：12548π 四、解答题17．（2022·安徽芜湖·高一期末）如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm ，高为30cm ，杯内有20cm 深的溶液.如图①，现将水杯倾斜，且倾斜时点B 始终不离开桌面，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α.要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值. 【答案】4π【解析】【分析】当水杯倾斜过程中，溶液恰好不溢出时，此时α最大；在这个临界条件下，结合溶液的体积不变，可以得到关于α的一个不等式，即可求出α的取值范围，得到最大值.【详解】如图所示，在Rt △CDE 中20tan DE α=，()2221020tan 103020tan 10202παπαπ⨯⨯⨯⨯-+≥⨯⨯解得tan 1α≤，即α的最大值4π. 18．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面；(2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得//AB FG ，//AB CD ，即可得到//AB GE ，从而得到//CD EG ，即可得证；（2）依题意可得AE AD ⊥、AE AB ⊥，即可得到AE ⊥平面ABCD 从而得到BG ⊥平面ABCD ，再根据13C BDG G BCD BCD V V BG S --==⋅计算可得；(1)证明：在矩形ABGF 和菱形ABCD 中，//AB FG ，//AB CD ，所以//AB GE ，所以//CD EG ，所以C 、D 、E 、G 四点共面；(2)解：在Rt ADE △中AE AD ⊥，矩形ABGE 中AE AB ⊥，AD AB A ⋂=，,AD AB ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥平面ABCD ，又//BG EA ，所以BG ⊥平面ABCD ，又11sin 2222BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=⨯⨯=所以11133C BDG G BCD BCD V V BG S --==⋅=⨯ 19．（2022·山西吕梁·高一期末）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是2cm ，圆柱筒的高是2cm ．(1)求这种“浮球”的体积；(2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要防水漆0.5g ，共需多少防水漆？【答案】(1)356(cm)3π (2)1200g π【解析】【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解即可.(1)因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径2cm r =，圆柱筒的高为2cm ，所以两个半球的体积之和为331432(cm)33V r ππ==， 圆柱的体积2328(cm)V r h ππ==，∴该“浮球”的体积是31256(cm)3V V V π=+=； (2)根据题意，上下两个半球的表面积是221416(cm)S r ππ==，而“浮球”的圆柱筒侧面积为2228(cm)S rh ππ==，∴“浮球”的表面积为21224(cm)S S S π=+=；所以给100个这种浮球的表面涂一层防水漆需要100240.51200g ππ⨯⨯=.20．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，∠BAD =90°，12AB BC AD a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，得到四棱锥1A BCDE -．当四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值．【答案】6a =.【解析】【分析】在直角梯形ABCD 中，证明BE AC ⊥，在四棱锥1A BCDE -中，由面面垂直的性质证得1A O ⊥平面BCDE ，再利用锥体体积公式计算作答.【详解】如图，在直角梯形ABCD 中，连接CE ，因E 是AD 的中点，12BC AD a ，有//,AE BC AE BC =，则四边形ABCE 是平行四边形，又,90BAD AB BC ∠==，于是得ABCE 是正方形，BE AC ⊥，在四棱锥1A BCDE -中，1BE AO ⊥，因平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE =，1A O ⊂平面1A BE ，因此1A O ⊥平面BCDE ，即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，显然112AO AO CO AC ====，平行四边形BCDE 的面积2S CO BE a =⋅==，因此，四棱锥1A BCDE -的体积为2311133V S AO a =⋅===6a =， 所以a 的值是6.21．（2022·北京·高一期末）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，已知3AB =，4BC =，5AC =．当阳马111C ABB A -体积等于24时， 求：(1)堑堵111ABC A B C -的侧棱长；(2)鳖臑1C ABC -的体积；(3)阳马111C ABB A -的表面积．【答案】(1)6(2)12 (3)51313【解析】【分析】（1）设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，根据阳马111C ABB A -体积等于24求解即可；（2）根据棱锥的体积计算即可；（3）分别计算111C ABB A -的侧面积与底面积即可(1)因为3AB =，4BC =，5AC =，所以222AB BC AC +=．所以△ABC 为直角三角形．设堑堵111ABC A B C -的侧棱长为x ，则113A ABB S x 矩形，则111143243AA BB V x C ， 所以6x =，所以堑堵111ABC A B C -的侧棱长为6．(2)因为13462ABC S =⨯⨯=△， 所以1111661233ABC ABC V S CC C ． 所以鳖臑1C ABC -的体积为12．(3) 因为11113462A B C S，11164122BB C S ， 11165152AA C S ，1132133132ABC S ， 113618A ABB S 矩形，所以阳马111C ABB A -的表面积的表面积为612151831351313． 22．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）如图，AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，D 是圆O 上一点．已知5,3AB BC CD ===，(1)求该圆柱的表面积；(2)将四面体ABCD 绕母线AB 所在的直线旋转一周，求ACD △的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．【答案】(1)75π2(2)15π【解析】【分析】（1）由题意求出柱的底面圆的半径即可求解；（2）ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为两个圆锥的体积之差，结合圆锥体积公式求解即可(1)由题意知AB 是圆柱OO '的一条母线，BC 过底面圆心O ，且5AB BC ==， 可得圆柱的底面圆的半径为52R =， 则圆柱的底面积为221525πππ24S R ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 圆柱的侧面积为252π2π525π2S Rl ==⨯⨯= 所以圆柱的表面积为12257522π25ππ42S S S =+=⨯+=． (2) 由线段AC 绕AB 旋转一周所得几何体为以BC 为底面半径，以AB 为高的圆锥，线段AD 绕AB 旋转一周所得的几何体为BD 为底面半径，以AB 为高的圆锥，所以以ACD △绕AB 旋转一周而成的封闭几何体的体积为：22221111πππ55π4515π3333V BC AB BD AB =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=．。
三视图与体积、表面积(例、练及答案)
专题十三：三视图与体积、表面积（例、练及答案）1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A ．4B ．C ．D ．8练习一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则俯视图中圆的半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．正方体中，为棱的中点（如图）用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．44．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（）1111ABCD A B C D E 1AA 1B E D 、、2367276A ．B ．C ．D ．5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（）A ．B ．C ．D ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）)21+π21⎫+π⎪⎪⎝⎭122⎫+π⎪⎪⎝⎭12⎫π⎪⎪⎝⎭34π32π17π172π32π16π36π72πA ．B ．C ．D ．8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．B ．C ．D．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）6+8+6+8+a b ()520,02a b a b +=>>174π214π4π5πP ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA AB =12131415A ．15B ．16C ．D ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（）A ．B ．C ．12D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．B ．7C ．D ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．5035339438320322323314．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．参考答案1．【答案】【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积，圆锥的底面半径为3，母线长为5，∴圆锥的侧面积为，∴表面积为．2．【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体， 从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成， ∴所求体积为长方体体积的一半。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题
高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，平面BCD，是边长为3的等边三角形.若，则球O的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，，，四面体ABCD外接球的表面积为：，故选C.【考点】球的体积和表面积.2.已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且，BC=1，AC=3，三棱锥O- ABC的体积为，则球O的表面积为__________。
【答案】【解析】设球的半径为R，ABC的外接圆半径为r，球心O到截面ABC的距离为，由得，=，=，解得AB=，所以==，所以===，解得=，由正弦定理知，2r===3，所以r=，由球的截面性质知，=2，所以球O的表面积为=．【考点】球的截面性质，球的表面积公式，棱锥的体积公式，正弦定理，余弦定理，运算求解能力3.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.4.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的体积为 .【答案】【解析】由题意得：，所以圆锥的体积为【考点】圆锥的体积及展开图5.若长方体三个面的面积分别为，，，则此长方体的外接球的表面积是________．【答案】6π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c，则解得长方体外接球半径为R＝＝，外接球的表面积为S＝4π＝6π6.如图所示,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上,点Q是棱CD的中点,动点P在棱AD上.若EF=1,DP=x,A1E=y(x,y大于零),则三棱锥P EFQ的体积()A．与x,y都有关B．与x,y都无关C．与x有关,与y无关D．与y有关,与x无关【答案】C【解析】三棱锥P EFQ 的体积可以看作是以△PEF 为底面,而△PEF 的底EF=1,高A 1P=,与x 有关,三棱锥P EFQ 的高为点Q 到平面PEF 的距离.∵CD ∥EF,∴CD ∥平面PEF.∴点Q 到平面PEF 的距离等于点D 到平面PEF 的距离,与y 无关,故选C.7. 已知一个圆柱内接于球O 中,其底面直径和母线都是2,则球O 的体积是 . 【答案】π【解析】设球的半径为R,则2R==2,∴R=, ∴V=πR 3=π.8. 如图，AA 1，BB 1为圆柱OO 1的母线，BC 是底面圆O 的直径，D ，E 分别是AA 1，CB 1的中点，DE ⊥面CBB 1.(1)证明：DE ∥面ABC ； (2)求四棱锥C-ABB 1A 1与圆柱OO 1的体积比． 【答案】(1)见解析 (2)【解析】解：(1)证明：连接EO ，OA. ∵E ，O 分别为B 1C ，BC 的中点， ∴EO ∥BB 1.又DA ∥BB 1，且DA ＝BB 1＝EO ，∴四边形AOED 是平行四边形，即DE ∥OA.又DE ⊄平面ABC ，AO ⊂平面ABC ， ∴DE ∥平面ABC.(2)由题意知DE ⊥平面CBB 1，且由(1)知DE ∥AO ， ∴AO ⊥平面CBB 1， ∴AO ⊥BC ， ∴AC ＝AB.∵BC 是底面圆O 的直径， 得CA ⊥AB ，且AA 1⊥CA ，∴CA ⊥平面AA 1B 1B ，即CA 为四棱锥C-ABB 1A 1的高．设圆柱高为h ，底面半径为r ， 则V OO 1＝πr 2h ，V C-ABB 1A1＝h(r)·(r)＝hr 2.∴V C-ABB 1A1∶V OO 1＝.9. 若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为 ． 【答案】【解析】设长方体的边长为，那么长方体的表面积为：，又由于：，而，所以该长方体表面积的最大值为.【考点】长方体的表面积；基本不等式的变形.10.已知Rt△ABC，其三边分别为a，b，c(a>b>c)．分别以三角形的边a，b，c所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2，S3和V1，V2，V3.则它们的大小关系为()A．S1>S2>S3，V1>V2>V3B．S1<S2<S3，V1<V2<V3C．S1>S2>S3，V1＝V2＝V3D．S1<S2<S3，V1＝V2＝V3【答案】B【解析】S1＝π (b＋c)，V1＝πa，S2＝πac＋πc2，V2＝πbc2，S3＝πab＋πb2，V3＝πb2c.由于a>b>c，可得S1<S2<S3，V1<V2<V3.11.在三棱锥中，，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是 .【答案】【解析】取中点，连接，∵，∴，∵，∴，平面.∴为二面角.在中，，，∴.取等边的中心，作平面，过作平面，为外接球球心，∴，二面角的余弦值是，所以，，∴，∴点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为.【考点】三棱锥的外接球.12.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，所以BE綉FD，即BEDF 为平行四边形，∴ED∥FB，∵FB⊂平面PFB，且ED⊄平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2)以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．如图，设PD＝a，可得如下点的坐标P(0,0，a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)．则有＝(1,0，－a)，＝(1,2,0)．因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)．设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，则可得即.，令x＝1, 得z＝，y＝－，所以n＝.由已知二面角P-BF-C的余弦值为，所以得cos〈m，n〉＝＝，∴a＝2，∴V＝×2×2×2＝P－ABCD13.如图，四棱锥中，底面是菱形，，，是的中点，点在侧棱上．（1）求证：⊥平面；（2）若是的中点，求证：//平面；（3）若，试求的值．【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）由线面垂直判定定理，要证线面垂直，需证垂直平面内两条相交直线，由，是的中点，易得垂直于，再由底面是菱形，得三角形为正三角形，所以垂直于，（2）由线面平行判定定理，要证线面平行，需证平行于平面内一条直线，根据是的中点，联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线．所以OQ // PA注意在写定理条件时，不能省，要全面.例如，线面垂直判定定理中有五个条件，线线垂直两个，相交一个，线在面内两个；线面平行判定定理中有三个条件，平行一个，线在面内一个，线在面外一个，（3）研究体积问题关键在于确定高，由于两个底面共面，所以求的值就转化为求对应高的长度比.试题解析：（1）因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以 AD⊥BE．因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE． 4分（2）连接AC交BD于点O，连结OQ．因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ//PA． 7分因为PA平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ． 9分（3）设四棱锥P-BCDE，Q-ABCD的高分别为，，所以VP-BCDE =SBCDE，VQ-ABCD=SABCD． 10分因为VP-BCDE =2VQ-ABCD，且底面积SBCDE=SABCD． 12分所以，因为，所以． 14分【考点】线面垂直判定定理, 线面平行判定定理,锥的体积.14.如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点，若将容器倒置如图2，水面也恰过点．以下命题正确的是( )．A．圆锥的高等于圆柱高的；B．圆锥的高等于圆柱高的；C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点；D．将容器任意摆放，当水面静止时都过点．【答案】C【解析】本题考查体积公式与空间想象能力，设圆锥的高为，圆柱的高为，则利用倒置前后水的体积不变这个性质知，化简得，均错，现在水的容积正好是圆柱内部空间的一半，因此把圆柱的母线贴地，则水面过点，但过点的平面不可能总是平分圆柱内部除去圆锥的那部分，故错误．【考点】体积公式．15.如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(I)求三棱锥E—PAD的体积；(II)试问当点E在BC的何处时，有EF//平面PAC；(1lI)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE AF．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）注意到PA平面ABCD，得知的长即为三棱锥的高，而三棱锥的体积等于的体积，计算即得.（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行．利用三角形中位线定理，得到，进一步得出∥平面．（Ⅲ）证明：根据等腰三角形得出，根据平面，平面，得到，又因为且，⊂平面，得到平面，又平面，．再根据，平面，及平面，根据，作出结论.试题解析：（Ⅰ）由已知PA平面ABCD，所以的长即为三棱锥的高，三棱锥的体积等于的体积= = ．（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行．∵在中，分别为的中点，连结，又平面，而平面，∴∥平面．（Ⅲ）证明：因为，所以等腰三角形中，∵平面，平面，∴又因为且，⊂平面，∴平面，又平面，∴．又∵，∴平面．PB，BE⊂平面PBE，∵平面，∴，即无论点E在边的何处，都有．【考点】几何体的体积，垂直关系，平行关系.16.已知D、E是边长为3的正三角形的BC边上的两点，且,现将、分别绕AD和AE折起，使AB和AC重合（其中B、C重合）.则三棱锥的内切球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图所示，，，，.设内切球的半径为r，则，所以内切球的表面积为：.【考点】空间几何体的体积及表面积.17.如图，平面四边形中,,,,将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD＝,BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：,所以球的体积为：,选A.【考点】1.球内接多面体；2.球的体积和表面积18.在正三棱锥中，、分别是、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵三棱锥是正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴，又∵而，∴平面，即平面，∴，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴，故选C．【考点】垂直关系，几何体的体积19.在三棱锥S−ABC中，，二面角S−AC−B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．【答案】【解析】如图，取AC的中点D，由已知易证二面角S−AC−B的平面角是∠SDB，，故由余弦定理可得，由勾股定理的逆定理可得，补体得正方体，∴三棱锥S−ABC的外接球的半径为，∴该球的表面积是．【考点】立体几何的二面角，球的表面积20.已知三棱锥的顶点都在球的球面上,且平面,则三棱锥的体积等于____．【答案】12【解析】由平面可得，又所以是平面，可以发现线段的中点为球心，取的中点，则，于是.【考点】立体几何中线线垂直、线面垂直的证明，以及椎体体积的求解等知识，考查学生的分析、知识迁移能力21.棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上，分别是棱、的中点，则过两点的直线被球截得的线段长为____________【答案】【解析】设过两点的直线与球球交于均为等腰直角三角形，，点到的距离为棱长一半【考点】正方体与外接球点评：求解本题首先要把握住正方体的外接球的球心为正方体的中心，球心与弦中点的连线垂直于弦，从而解直角三角形求出弦长22.点在同一个球的球面，,,若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴是直角三角形，∴的外接圆的圆心是边AC的中点O，如图所示，若使四面体ABCD体积的最大值只需使1点D到平面ABC的距离最大，又平面ABC，所以点D是直线与球的交点设球的半径为R，则由体积公式有：在中，，解得：，故选C。
高一数学空间几何体的表面积与体积试题
高一数学空间几何体的表面积与体积试题1.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.2.如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.【答案】（1）见解析；（2）体积（3）见解析【解析】试题分析:（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析:（1）证明：因为平面，所以。
因为为△中边上的高，所以。
因为，所以平面。
4分（2）连结，取中点，连结。
因为是的中点，所以。
因为平面，所以平面。
则，。
8分（3）证明：取中点，连结，。
因为是的中点，所以。
因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。
因为，所以。
因为平面，所以。
因为，所以平面，所以平面。
13分【考点】（1）空间中线面垂直和平行的判定（2）几何体的体积.3.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积4.已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正方体的对角线长就是外接球的直径，而正方体的对角线长为，所以球的半径为，所以正方体的外接球的体积为，故选A．【考点】1、球与正方体的组合体；2、球的体积．5.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱的中点，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则（1）直线被球截得的线段长为（2）四面体的体积的最大值是【答案】(1);(2).【解析】（1）因为点在圆上，为中点，所以直线被球截得的线段长为正方形的外接圆直径，等于，（2）过做与点，连接∵，，平面∥平面，为平面与两平行平面的交线，，又，，平面，设正方体的棱长为1，，则，当时，最大值为．【考点】组合体6.已知直三棱柱中，，是中点，是中点．（1）求三棱柱的体积；（2）求证：；（3）求证：∥面．【答案】（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.【解析】（1）这是一个直三棱柱，直接由体积计算公式即可求解；（2）要证，只须证明面，注意到面与底面垂直且交线为，而依题意又有，由面面垂直的性质可得面，问题得证；（3）要证∥面，有两种思路：一是在平面内找一条直线与平行，这时只须取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可；二是先证经过直线的一个平面与面平行，这时可取中点，连结，，先证明面∥面，再由面面平行的性质即可证明∥面.试题解析：（1） 3分（2）∵，∴为等腰三角形∵为中点，∴ -4分∵为直棱柱，∴面面 5分∵面面，面∴面 6分∴ 7分（3）取中点，连结， 8分∵分别为的中点∴∥，∥， 9分∴面∥面 11分面∴∥面 12分.【考点】1.空间几何体的体积计算；2.空间中的平行关系；3.空间中的垂直关系.7.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.8.已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是()A．B．C．D．【答案】D【解析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．正方体外接球的体积是，则外接球的半径正方体的对角线的长为2，棱长等于，故选D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．9.正方体的体积是64，则其表面积是()A．64B．16C．96D．无法确定【答案】C【解析】由正方体的体积是64，能求出正方体的边长为4，由此能求出正方体的表面积．解：∵正方体的体积是64，∴正方体的边长为4，∴它的表面积S=6×42=96．故选C【考点】正方体的体积和表面积点评：本题考查正方体的体积和表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．10.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48B．32+8C．48+8D．80【答案】C【解析】观察三视图可知，这是一个四棱柱，底面梯形两底分别为2,4，高为4，几何体的高为4，底面梯形的腰长为，所以，几何体表面积为，48+8，故选C。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.如图, 四棱柱的底面ABCD是正方形, O为底面中心, ⊥平面ABCD,．（1）证明: // 平面;（2）求三棱柱的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）体积为1.【解析】本题主要考查线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由图象可得到，，，所以得到四边形为平行四边形，所以，利用面面平行的判定得证；第二问，由面ABCD，所以得到是三棱柱的高，利用体积转化法，得到三棱柱的体积.试题解析：（1）设线段的中点为，∵BD和是的对应棱，∴，同理，∵AO和是棱柱的对应线段，∴，且，且四边形为平行四边形且，面面.（2）∵面ABCD，∴是三棱柱的高，在正方形ABCD中，，在中，，，所以，.【考点】线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积.2.（正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________．【答案】.【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：所以球的半径为：，∴正方体的外接球的体积V=．【考点】１．球的体积；２．球内接多面体．3.如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD且EF＝BD．(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：平面EAC⊥平面BDEF(3)求几何体ABCDEF的体积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【解析】(1)利用线线平行，推证线面平行；(2)利用一个面内一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直，证明面面垂直；(3)将不规则几何体转化为主题或椎体的体积求解．试题解析：(1)证明：记AC与BD的交点为O，则DO＝BO＝BD，连接EO，∵EF∥BD且EF＝BD，∴EF∥BO且EF＝BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵面ACE，面ACE，∴BF∥平面ACE；(2)证明：∵ED⊥平面ABCD，平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF，又平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；(3)解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF＝BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，BD＝2，EF＝，∴题型BDEF的面积为，由(1)知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积VABCDEF ＝2VA－BDEF＝2×S BDEF·AO＝．【考点】空间直线与平面位置关系，几何体的体积4.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.5.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.棱长为的正四面体的外接球半径为．【答案】【解析】记正四面体棱长为，外接球半径为，在正四面体中，利用棱，与棱共顶点的高及这条棱在对面上的射影构成的直角三角形可解得，因此中本题中.【考点】正四面体（正棱锥的性质）.7.如图，已知平面，，，且是的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求此多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）取的中点，连结、，利用中位线证明，利用题中条件得到，进而得到，于是说明四边形为平行四边形，得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）由平面得到，再利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，结合（1）中的结论证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用已知条件得到平面平面，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积.（1）取中点，连结、，为的中点，，且，又，且，且，为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），，所以为正三角形，，平面，，平面，又平面，，又，，平面，又，平面，又平面，平面平面；（3）此多面体是一个以为定点，以四边形为底边的四棱锥，，平面平面，等边三角形边上的高就是四棱锥的高，.【考点】1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算8.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以. （1）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 4分（2）连结，因为∥，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分（3）因为平面平面，有，所以平面，所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.9.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.10.已知等腰梯形PDCB中(如图),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图).(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.【答案】（1）见解析（2）M为线段PB的中点时（3）不平行【解析】(1)因为PDCB为等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,则PA⊥AD,CD⊥AD.又因为面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD⊂面ABCD,故CD⊥面PAD. 又因为CD⊂面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.(2)所求的点M即为线段PB的中点.证明如下：设三棱锥M-ACB的高为h1,四棱锥P-ABCD的高为h2,当M为线段PB的中点时,==,所以===,所以截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)当M为线段PB的中点时,直线PD与面AMC不平行.证明如下：(反证法)假设PD∥面AMC,连接DB交AC于点O,连接MO.因为PD⊂面PBD,且面AMC∩面PBD=MO,所以PD∥MO.因为M为线段PB的中点时,则O为线段BD的中点,即=,而AB∥DC,故==,故矛盾.所以假设不成立,故当M为线段PB的中点时,直线PD与平面AMC不平行.11.棱长为2的三棱锥的外接球的表面积为（）A．6πB．4πC．2πD．π【答案】A【解析】由题意知,此三棱锥为正四面体,以此正四面体的各棱为正方形的对角线拓展出一个正方体,则三棱锥外接球的半径为正方体外接球的半径.因三棱锥棱长为2,所以正方体棱长为,其外接球的直径为所以三棱锥的外接球的表面积为6π．12.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【解析】因为且为中点，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得，即。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题
高三数学空间几何体的表面积与体积试题1.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体S -ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体S -ABC的体积为V，则R＝．【答案】．【解析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为 V四面体A−BCD＝∴．【考点】类比推理.2.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S．【答案】（1）64 （2）40＋24【解析】解：本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V＝×(8×6)×4＝64．(2)四棱锥的两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，取BC的中点E，连接OE，VE，则△VOE为直角三角形，VE为△VBC边上的高，VE＝＝4．同理侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h＝＝5．∴S侧＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24．3.某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.4. (2014·荆州模拟)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为12cm,深2cm的空穴,则该球的半径是________cm,表面积是________cm2.【答案】10 400π【解析】设球的半径为r,如图：由勾股定理可知,r2=(r-2)2+36,解得r=10cm.所以表面积为4πr2=4π×100=400π(cm2).5.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E，F分别为棱AC，AD的中点．（1）求证：DC平面ABC；（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）.【解析】（1）注意分析折叠前后变化的关系及不变化的关系.在图甲中可得；在图乙中，可得AB⊥CD．根据DC⊥BC，即可得到DC⊥平面ABC．（2）首先根据E，F分别为AC，AD的中点，得到EF//CD，根据（1）知，DC⊥平面ABC，得到EF⊥平面ABC，从而得到在图甲中，根据给定角度及长度，计算“不变量”，得，BD=2，BC=，EF=CD=，利用体积公式计算即得所求．解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，等体积转化的方法，是立体几何中常用方法之一.（1）证明：在图甲中∵且∴，即 1分在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ，且平面ABD∩平面BDC＝BD4分又，，且，∴DC⊥平面ABC． 6分（2）解：， 7分又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， 8分所以， 9分在图甲中，由得，， 10分，11分12分【考点】平行关系，垂直关系，几何体的体积.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【答案】【解析】直观图是圆柱中抽出正四棱柱∴该几何体的体积是7.已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留)【答案】【解析】由圆锥的母线长为,侧面积为.则根据.即可求出圆锥的底面周长.从而解出底面半径.再求出圆锥的高.根据体积公式.【考点】1.圆锥曲线的侧面积.2.圆锥曲线的体积公式.3.图形的展开前后的变化.8.已知函数将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．【答案】【解析】．【考点】旋转体的体积．9.正四棱锥的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则这个球的表面积为_________.【答案】【解析】如图是正四棱锥外接球的球心，是底面中心，，，设球半径为，在中，，解得，所以.【考点】正棱锥的外接球.10.若长方体三个面的面积分别为，，，则此长方体的外接球的表面积是________．【答案】6π【解析】设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c，则解得长方体外接球半径为R＝＝，外接球的表面积为S＝4π＝6π11.四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．【答案】（1）a3（2）a2【解析】(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴V－BCD＝V A－BPC＋V D－BPC＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝··aA≤·＝a3(当且仅当x＝a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，∴S＝2×a2＋2××a×＝a2＋a×＝a2＋＝a2.表12.如图,四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,BC="CD=2," ∠ACB=∠ACD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)若侧棱PC上的点F满足PF=7FC,求三棱锥P BDF的体积.【答案】(1)见解析 (2)【解析】(1)证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin =.(2)解:三棱锥P BCD的底面BCD的面积S△BCD由PA⊥底面ABCD,得=·S·PA=××2=2.△BCD由PF=7FC,得三棱锥F BCD的高为PA,故=·S△BCD·PA=×××2=,所以=-=2-=.13.一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为π，则球的体积为() A．B．C．D．8π【答案】A【解析】由题意，球的半径为R＝，故其体积V＝π()3＝，选A.14.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．【答案】【解析】因为E点在线段AA1上，所以S△DED1＝×1×1＝，又因为F点在线段B1C上，所以点F到平面DED1的距离为1，即h＝1，所以VD1－EDF＝VF－DED1＝·S△DED1·h＝××1＝.15.若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为．【答案】【解析】设长方体的边长为，那么长方体的表面积为：，又由于：，而，所以该长方体表面积的最大值为.【考点】长方体的表面积；基本不等式的变形.16.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为．【答案】【解析】根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长为再根据圆锥的侧面积公式圆锥的侧面积公式可结合圆锥展开图为扇形，由相应扇形面积公式理解记忆.【考点】圆锥的侧面积.17.已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若平面，，且，,则球的表面积为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为平面，，在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即，球的表面积，故选C.【考点】1、空间几何体的位置关系；2、球的表面积.18.如图，一只蚂蚁由棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的点出发沿正方体的表面到达点的最短路程为．【答案】【解析】采用侧面展开法，展开后，在矩形中，，．【考点】立体几何表面距离最短问题．19.如图，平面四边形中,,,,将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD＝,BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：,所以球的体积为：,选A.【考点】1.球内接多面体；2.球的体积和表面积20.如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．(Ⅰ)求证:平面平面；(Ⅱ)若,求四棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由,,，易得，从而平面，由此可得平面平面．(Ⅱ)思路一、由（Ⅰ）知，平面，所以，即是一个直角三角形，这样可得四边形的面积.又平面平面，所以过D作的垂线，该垂线即垂直于平面，由此可得该棱锥的高，从而求得其体积.思路二、将四棱锥分割为以下两部分：三棱锥和，这两个三棱锥的体积相等，我们可先求其中的一个. 而三棱锥即为三棱锥，这个三棱锥的体积就很易求了.试题解析：（Ⅰ）证明：在中,由余弦定理得：，所以,所以,即， 3分又四边形为平行四边形,所以，又底面,底面,所以，又,所以平面, 5分又平面,所以平面平面． 6分(Ⅱ)法一：连结，∵，∴∵平面，所以， 8分所以四边形的面积， 10分取的中点，连结，则，且，又平面平面,平面平面，所以平面，所以四棱锥的体积：． 12分法二: 四棱锥的体积， 8分而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等， 10分所以． 12分【考点】1、空间两平面的垂直；2、空间几何体的体积.21.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________.【答案】【解析】圆锥与球的截面如下图，设球的半径为，则圆锥底面圆的直径为，圆锥底面面积为，圆锥的侧面面积为，所以圆锥的表面积为，球的表面积为，所以其面积比为.【考点】1.圆锥与球的表面积；2.球与其内接几何体的关系.22.一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设四棱锥是满足条件的，连结、交于，球心在上，令球的半径为，则，由正四棱锥所有棱长为1，易求得四棱锥的高，在中，，即，解得，故球的体积为. 选D.【考点】正四棱锥的性质，球的体积.23.如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，截去个三棱锥，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有个顶点；②有条棱；③有个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是（写出所有正确结论的编号）．【答案】①②⑤【解析】根据几何体的特点可知，有12个顶点，24条棱，16个面，所以①、②都对，③错；表面积为故④错；其体积为故⑤成立.【考点】几何体的体积和表面积.24.如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则【答案】【解析】依题意，，三棱锥的高为三棱柱的高的. ∴.【考点】三棱柱与三棱锥的体积，三角形中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方.空间想象能力.中等题.25.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．1B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，所以该几何体的体积为【考点】本小题主要考查三视图.点评：此类问题，主要考查学生的空间想象能力，解决此类问题的关键是根据三视图正确还原几何体.26.如果一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．96D．80【答案】A【解析】由三视图知：原几何体为正方体和一个四棱锥的组合体，正方体的棱长为4，正四棱锥的底面边长为4，高为2，所以正四棱锥的斜高为。
三视图及空间几何体的表面积、体积会考真题I(含答案)
12.【2016.7】若一几何体的三视图如右图所示，则这个几何体可以是（ ）
圆柱
空心圆柱
圆
圆椎
13.【2017.1】.一个空间几何体的正视图与侧视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)、俯视图是一个半径为3的圆，那么的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为（ ）
18.【2020.1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A B. C. D.
3.【2012.1】如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.
4.【2012.7】如图所示是一个组合体的三视图，
图中的四边形均为边长为2的正方形，
圆的半径为1，那么这个组合体的体积为( )
A. B.
C. D.
考点2：三视图及其与空间几何体的表面积、体积
1.【2011.1】如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都
是相邻两边的长分别为1和2的矩形，俯视图是一个圆，那
么这个几何体的体积为( )
A.4 B. C. D.
2.【2011.7】如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为 的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为( )
5.【2013.1】.一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A.三棱柱
B.三棱锥
C.四棱柱
D.四棱锥
6.【2013.7】有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是一个（ ）
高考数学立体几何专题1空间立体几何的三视图、表面积和体积试题(含答案)
则该几何体的体积 = 1 + 1 = + ，故答案为： + ．
A. 1 B. 16 C.
D.
. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何 体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A. t
B. 6
C.
D. 6
第题
第题
第题
3. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
A. +6 B. 6 +6 C. +1 D.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ12
4. 如图正方形 OABC 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形
的面积为 A.
B. 1 C.
D. 1 +
5. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
第题
第6题
第题
A. t
B.
C.
D.
6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若
知 = ，所以由斜二测画法知，对应原图形，即平行四边形的高为 ， 所以原图形的面积为：1 t = ．故选 A．
5.【答案】C
【分析】本题考查由三视图求表面积，空间立体几何三视图，属于基础题．
空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是 4，圆锥的高是 ， 在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理求出，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底
2023版高考数学一轮总复习专题检测8-1空间几何体的三视图表面积和体积
8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积一、选择题1.(2022届山东烟台一中开学考,2)已知圆锥的表面积等于12πcm 2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为( ) A.1cm B.2cm C.3cm D.32cm答案 B 设圆锥的底面圆的半径为rcm,母线长为lcm,∵侧面展开图是一个半圆,∴πl=2πr ⇒l=2r,∵圆锥的表面积为12πcm 2,∴πr 2+πrl=3πr 2=12π,∴r=2,故圆锥的底面半径为2cm.故选B.2.(2022届黑龙江六校11月联考,4)已知圆锥的轴截面为等边三角形,且圆锥的表面积为3π,则圆锥的底面半径为( )A.12 B.1 C.√2 D.√3答案 B 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,根据题意,得l=2r,所以圆锥的表面积S=πr 2+πrl=3πr 2=3π,解得r=1,故选B.3. (2022届河北邢台入学考,4)六氟化硫,化学式为SF 6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体(每个面都是正三角形的八面体),如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a,则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是(不计氟原子的大小)( )A.4√23a 3B.8√23a 3C.4√2a 3D.8√2a 3答案 B 如图,连接AC,BD,设AC∩BD=O,则O 为正方形ABCD 的中心,连接OE.因为AE=CE,BE=DE,所以OE⊥AC,OE⊥BD,又AC∩BD=O,所以OE⊥平面ABCD.因为AB=BC=AE=2a,所以AC=√AA 2+B A 2=2√2a.因为四边形ABCD 是正方形,所以AO=12AC=√2a,则OE=√AA 2-A A 2=√2a,故该正八面体的体积为13×(2a)2×√2a×2=8√23a 3.4.(2022届河南焦作一模,6)底面是边长为1的正方形,侧面均是等边三角形的四棱锥的体积为( )A.√26 B.√24 C.√23 D.√22答案 A 由题意可知该四棱锥为正四棱锥,底面正方形对角线长为√2,则正四棱锥的高h=√12-(√22)2=√22,所以正四棱锥的体积V=13×12×√22=√26,故选A.5.(2022届河南洛阳期中,7)某四面体的三视图如图所示,已知其正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形,则该四面体的四个面中直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 D 由三视图及已知可知该四面体可补形成正方体,如图所示.易知△DAB,△ABC 均为直角三角形.由正方体的性质可知CB⊥平面DAB,所以CB⊥BD,即△DBC 是直角三角形;又知DA⊥平面ABC,所以DA⊥AC,即△DAC 是直角三角形,所以该四面体的四个面中直角三角形的个数为4,故选D.6.(2022届江西吉安9月月考,8)如图,网格图中小正方形的边长为1,粗线是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.2π+4B.2π+2C.π+4D.6π+12答案 A 由三视图可知,该几何体由半圆锥和三棱锥拼接而成,半圆锥的底面半径为2,高为3,三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形,三棱锥的高为3,故该几何体的体积V=13×(12π×22+4×2×12)×3=2π+4,故选A.7.(2022届江苏海安高级中学期中,8)如图所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=1,AB=BC=√3,cos∠ABC=13,P 是A 1B 上的一动点,则AP+PC 1的最小值为( )A.√5B.√7C.1+√3D.3答案 B 连接BC 1,得△A 1BC 1,以A 1B 所在直线为轴,将△A 1BC 1所在平面旋转到平面ABB 1A 1,设点C 1的新位置为C',连接AC', 则AC'的长即为AP+PC 1的最小值.∵AB=BC=√3,cos∠ABC=13,∴由余弦定理可得,AC=2,∴A 1C 1=2,即A 1C'=2,∵AA 1=1,AB=√3,∴A 1B=2,且∠AA 1B=60°.易求得C 1B=2,∵A 1B=BC 1=A 1C 1=2,∴△A 1BC 1为等边三角形,∴∠BA 1C 1=60°.∴在三角形AA 1C'中,∠AA 1C'=120°,又AA 1=1,A 1C'=2,∴AC'=√1+4−2×1×2×(-12)=√7.故选B.8.(2022届吉林顶级名校11月月考,10)已知球O,过球面上A,B,C 三点作截面,若点O 到该截面的距离是球半径的一半,且AB=BC=2,∠B=120°,则球O 的表面积为( ) A.643π B.83π C.323π D.169π答案 A 如图,设球的半径为r,O 1是△ABC 的外心,外接圆半径为R,连接OO 1,OB,O 1B,则OO 1⊥平面ABC,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°,则∠A=30°,由正弦定理得2sin A =2R,∴R=2,即O 1B=2.在Rt△OBO 1中,由已知得r 2-14r 2=4,得r 2=163,所以球O 的表面积S=4πr 2=4π×163=643π.故选A.9.(2022届合肥联考(一),9)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积为( )A.2√3+√2+1B.√3+2√2+1C.√3+√2+2D.√3+√2+1答案 B 如图,在棱长等于√2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1上取四面体ABB 1D 1,即为所求四面体,易得该四面体的表面积为12×√2×√2+12×√2×2×2+√34×22=√3+2√2+1.故选B.10.(2022届贵阳摸底,9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积为( )A.13√136π B.13π C.9π D.92π答案 A 由三视图可知,此空间几何体是一放倒的圆柱,圆柱的底面半径为1,高为3,如图所示,该圆柱的上、下底面圆周在其外接球的表面上,外接球的半径为OA,因为OO 1=32,O 1A=1,所以OA=√(32)2+12=√132,所以圆柱外接球的体积为43π(√132)3=13√136π,故选A.11.张衡(78年—139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家,他的数学著作有《算罔论》,他曾经得出结论:圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A,B,若线段AB 的最小值为√3-1,利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为( )A.30B.10√10C.12√10D.36答案 C 设正方体的棱长为a,则正方体的内切球半径为r=A2,正方体的外接球半径R 满足:R 2=(A 2)2+(√22a )2,解得R=√32a,由题意知:R-r=√32a-A2=√3-1,则a=2,R=√3,则该正方体的外接球的表面积为12π,又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五,即π216=58,所以π=√10,所以外接球的表面积为12√10.故选C.二、填空题12.(2022届甘肃九校联考,16)某零件的结构是在一个圆锥中挖去了一个正方体,且正方体的一个面在圆锥底面上,该面所对的面的四个顶点在圆锥侧面内.在图①②③④⑤⑥⑦⑧中选两个分别作为该零件的主视图和俯视图,则所选主视图和俯视图的编号依次可能为(写出符合要求的一组即可).答案⑤⑦(或①⑧)解析根据题意可知,圆锥和正方体的位置关系如图所示,当主视图为①时,俯视图为⑧;当主视图为⑤时,俯视图为⑦,故符合题意的编号为⑤⑦(或①⑧).13.(2022届浙江浙南名校联盟联考一,15)一圆锥母线长为定值a(a>0),母线与底面所成角),当圆锥体积V最大时,sinθ=.大小为θ(0<A<π2答案√33解析如图,设圆锥的高为h,底面半径为r,则h=asinθ,r=acosθ,∴V=13πr 2h=13πa 2cos 2θ·asinθ=π3a 3(1-sin 2θ)·sinθ=π3a 3(sinθ-s in 3θ),则V'=π3a 3(cosθ-3sin 2θ·cosθ)=π3a 3·cosθ(1-3sin 2θ),令V'=0, ∵0<θ<π2,∴1-3sin 2θ=0,即sin 2θ=13,∴sinθ=√33.∴当sinθ∈(0,√33)时,V'>0,V=π3a 3(sinθ-sin 3θ)单调递增;当sinθ∈(√33,1)时,V'<0,V=π3a 3(sinθ-sin 3θ)单调递减.∴sinθ=√33时,V 最大.14.(2022届河南洛阳期中,15)在三棱锥P-ABC 中,AB=2√6,BC=1,AC=5,侧面PAB 是以P 为直角顶点的直角三角形,若平面PAB⊥平面ABC,则该三棱锥体积的最大值为 . 答案 2解析 因为AB=2√6,BC=1,AC=5,所以AB 2+BC 2=AC 2,所以AB⊥BC,在Rt△PAB 中,过P 作PE⊥AB 交AB 于点E,又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PE ⊂平面PAB,所以PE⊥平面ABC,所以PE 是三棱锥P-ABC 的高,设AE=x,则BE=2√6-x,在Rt△PAB 中,PE 2=AE·BE,所以PE=√A (2√6-x).所以V 三棱锥P-ABC =13S △ABC ·PE=13×12×2√6×1×√A (2√6-x)=√63√A (2√6-x),当x=√6时,三棱锥的体积取得最大值2.15.(2020甘肃金昌永昌一高期末,16)已知△ABC 中,P 在边BC 上且AP⊥BC,现以AP 为折痕将△ABC 折起,使得∠BPC=π2.若PA=2PB=2PC=4,则该三棱锥P-ABC 的外接球的体积是 ;内切球的表面积是 . 答案 8√6π;π解析 因为AP⊥BP 且AP⊥PC,且∠BPC=90°,所以PA,PB,PC 两两垂直,所以将三棱锥P-ABC 补成如图所示的长方体,设三棱锥P-ABC 的外接球的半径为R,则(2R)2=PA 2+PB 2+PC 2=16+4+4=24,解得R=√6,所以三棱锥P-ABC 的外接球的体积为43πR 3=43π(√6)3=8√6π.设三棱锥P-ABC 内切球的半径为r,三棱锥P-ABC 的表面积为S,由已知得BC=√22+22=2√2,AB=AC=√42+22=2√5,则S=12×4×2×2+12×2×2+12×2√2×√(2√5)2-(√2)2=16,所以V P-ABC =V B-APC =13×12×4×2×2=13×16r,解得r=12,所以三棱锥P-ABC 内切球的表面积为4πr 2=4π×(12)2=π.16.(2022届北京顺义一中期中,15)如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1上的一个动点,若平面BED1交棱AA1于点F,给出下列命题:①截面四边形BED1F可以是正方形;②三棱锥B1-BED1的体积恒为定值;③截面四边形BED1F周长的最小值为2√5a.其中是真命题的是(填写所有正确答案的序号).答案②③解析对于①,易得BD1=√3a,设C1E=b(0≤b≤a),则D1E=√A2+A2,BE=√A2+(A-A)2,假设截面四边形BED1F是正方形,则△BED1是以BD1为斜边的等腰直角三角形,从而有{√2·√A2+A2=√3a,√2·√A2+(A-A)2=√3a,由b=a-b得a=2b,则√2·√4A2+A2=2√3b,显然√2·√4A2+A2=2√3b不成立,所以截面四边形BED1F不可能是正方形,①错误;对于②,因为点E到平面BB1D1的距离为定值,又A A1-BE A1=A A-AA1A1,所以三棱锥B1-BED1的体积恒为定值,②正确;对于③,当点E与点C或C1重合时,截面四边形BED1F周长取得最大值2(a+√2a)=2(1+√2)a,当点E是CC1中点时,截面四边形BED1F周长取得最小值2×2·√A2+(A2)2=2√5a,③正确.综上②③正确.。
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.【答案】边长为4，体积为．【解析】由于展开图是，分别是所在边的中点，根据三角形的性质，是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．试题解析：由题意中，，，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4．即，三棱锥是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于∴为中点，为的重心，底面∴，，【考点】图象的翻折，几何体的体积．2.设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 .【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则．【考点】圆柱的侧面积与体积．3.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．4.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以.（1）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 4分（2）连结，因为∥，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分（3）因为平面平面，有，所以平面，所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.5.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.(1)求证:平面PBC⊥面PDC(2)设E为PC上一点,若二面角B-EA-P的余弦值为-,求三棱锥E-PAB的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)∵AB=1,PA=2,∠PAB=60°,∴在△PAB中,由余弦定理得PB2=PA2+AB2-2AB·PAcos600=4+1-2×1×2×=3∴PA2=PB2+AB2,即AB⊥PB∵DA⊥面ABP,CB∥DA∴CB⊥面ABP CB⊥AB ,∴AB⊥面PBC又DC∥AB,∴DC∥面PBC∵DC面PDC,∴平面PBC⊥面PDC(2)如图建立空间直角坐标系则A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1)设E(x,y,z),= (0<<1)则(-,0,1)=(x-,y,z)x=(1-),y=0,z=设面ABE的法向量为n=(a,b,c),则令c=n=(,0,)同理可求平面PAE的法向量为m=(1,,)∵cos<n,m>====∴=或=1(舍去)∴E(,0,)为PC的中点,其竖坐标即为点E到底面PAB的距离∴V=××1××=E-PAB6.某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是时，则该圆锥体的体积是 .【答案】【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，，，，所以圆锥的高为，体积为.【考点】圆锥的侧面展开图与体积.7.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【解析】因为且为中点，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得，即。
§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积(试题部分)
专题八立体几何【真题探秘】§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点空间几何体的结构及其三视图和直观图①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构;②能画出简单空间图形的三视图,能识别三视图所表示的立体模型;会用斜二测画法画出简单几何体的直观图;③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图和直观图,了解空间图形的不同表示形式2018课标全国Ⅰ,9,5分空间几何体的三视图空间几何体的结构特征及空间几何体表面最短路径问题★★★2018课标全国Ⅲ,3,5分空间几何体的三视图数学文化2019课标全国Ⅱ,16,5分空间几何体的结构特征数学文化空间几何体的表面积通过对柱、锥、台、球的研究,掌握柱、锥、台、球的表面积的求法2018课标全国Ⅰ,5,5分圆柱的表面积圆柱的轴截面★★★2017课标全国Ⅰ,16,5分三棱锥外接球的表面积面面垂直的性质定理及三棱锥的体积2016课标全国Ⅰ,7,5分球的表面积空间几何体的三视图2015课标Ⅰ,11,5分组合体的表面积空间几何体的三视图空间几何体的体积①理解柱、锥、台体的体积概念;②能运用公式求解柱、锥、台、球的体积,并且熟悉台体、柱体与锥体之间的转换关系2018课标全国Ⅰ,10,5分长方体的体积直线与平面所成角★★★2017课标全国Ⅱ,6,5分不规则几何体的体积空间几何体的三视图2019课标全国Ⅲ,16,5分不规则几何体的体积数学的实际应用,几何体的质量分析解读1.理解柱、锥、台、球的概念,牢记它们的几何特征及形成过程.正确把握轴截面、中截面的含义及空间问题转化为平面问题的方法.2.理解三视图的概念及掌握三视图与直观图的画法.3.理解柱、锥、台、球的表面积和体积的概念,掌握其表面积和体积公式.4.高考对本节内容的考查主要以几何体的三视图为背景考查几何体的表面积和体积,分值约为5分,属于中档题.破考点练考向【考点集训】考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2020届贵州贵阳8月摸底考试,7)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()答案D2.(2015北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为()A.1B.√2C.√3D.2答案C3.(2019河南非凡联盟4月联考,9)某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示,它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形,其中四边形O'A'B'C'为平行四边形,D'为C'B'的中点,则图(2)中平行四边形O'A'B'C'的面积为()A.12B.3√2C.6√2D.6答案B考点二空间几何体的表面积答案A2.(2019河南郑州一模,7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.(4+4√5)π+4√2B.(4+4√5)π+4+4√2C.12π+12D.12π+4+4√2答案A3.(2020届吉林梅河口五中9月月考,16)已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上,且AB=6,BC=2√5,则棱锥O-ABCD 的侧面积为.答案44考点三空间几何体的体积1.(2019江西上饶二模,7)已知下图为某几何体的三视图,则其体积为()A.π+23B.π+13C.π+43D.π+34答案C2.(2018吉林长春质检,8)《九章算术》卷五商功中有如下问题:今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.刍甍:底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图,设网格纸上每个小正方形的边长为1丈),那么该刍甍的体积为()A.4立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈答案B3.(2019天津,12,5分)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案π4炼技法提能力【方法集训】方法1 空间几何体表面积的求解方法1.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π答案C2.(2020届湖北部分重点中学9月摸底考试,9)某三棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的表面积为()A.32+√2+√52 B.12+2√2+√5C.12+√2+√5D.32+√2+√5答案 A3.(2019河南安阳诊断卷,4)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.16+2πB.20+2πC.14+πD.20+π 答案 D4.(2019广东韶关一调,15)若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球的表面积之比为 . 答案 √5∶2方法2 空间几何体体积的求解方法1.(2017北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.60B.30C.20D.10答案 D2.(2019河南顶尖计划联考,9)如图,网格纸中小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.8B.10C.20D.32答案C3.(2018天津,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.答案134.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案43方法3 与球有关的切、接问题的求解方法1.(2019宁夏银川质量检测,11)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和√3,此三棱柱的高为2√3,则该三棱柱的外接球的体积为()A.32π3B.16π3C.8π3D.64π3答案A2.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.9π2C.6π D.32π3答案B3.(2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为. 答案92π4.(2020届湖南顶级名校9月联考,16)正三棱锥P-ABC(底面△ABC为正三角形,顶点P在底面的射影为底面△ABC的中心)中,PA⊥PB,其体积为92,则该三棱锥的外接球的表面积为.答案27π【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2018课标全国Ⅰ,9,5分)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2√17B.2√5C.3D.2答案B2.(2019课标全国Ⅱ,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.(本题第一空2分,第二空3分)图1图2答案26;√2-1考点二空间几何体的表面积1.(2018课标全国Ⅰ,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π答案B2.(2016课标全国Ⅲ,10,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36√5B.54+18√5C.90D.81答案B3.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π4.(2017课标全国Ⅰ,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36π考点三空间几何体的体积1.(2018课标全国Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为()A.8B.6√2C.8√2D.8√3答案C2.(2017课标全国Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π答案B3.(2017课标全国Ⅲ,9,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.3π4C.π2D.π4答案B4.(2019课标全国Ⅲ,16,5分)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.答案118.85.(2018课标全国Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.答案8π6.(2017课标全国Ⅱ,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°. (1)证明:直线BC ∥平面PAD;(2)若△PCD 的面积为2√7,求四棱锥P-ABCD 的体积.答案 (1)证明:在平面ABCD 内, 因为∠BAD=∠ABC=90°, 所以BC ∥AD.又BC ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD,故BC ∥平面PAD. (2)取AD 的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=12AD 及BC ∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM 为正方形,则CM ⊥AD.因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,所以PM ⊥AD,PM ⊥底面ABCD. 因为CM ⊂底面ABCD, 所以PM ⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD=√2x,PM=√3x,PC=PD=2x. 取CD 的中点N,连接PN, 则PN ⊥CD,所以PN=√142x.因为△PCD 的面积为2√7, 所以12×√2x×√142x=2√7, 解得x=-2(舍去)或x=2. 于是AB=BC=2,AD=4,PM=2√3. 所以四棱锥P-ABCD 的体积V=13×2×(2+4)2×2√3=4√3.7.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置. (1)证明:AC ⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=2√2,求五棱锥D'-ABCFE 的体积.答案 (1)证明:由已知得AC ⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF 得AE AD =CF CD,故AC ∥EF.(2分)由此得EF ⊥HD,EF ⊥HD',所以AC ⊥HD'.(4分) (2)由EF ∥AC 得OH DO =AE AD =14.(5分) 由AB=5,AC=6得DO=BO=√AB 2-AO 2=4. 所以OH=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH 2=(2√2)2+12=9=D'H 2,故OD'⊥OH.由(1)知AC ⊥HD',又AC ⊥BD,BD ∩HD'=H,所以AC ⊥平面BHD',因为OD'⊂平面BHD',所以AC ⊥OD'. 又由OD'⊥OH,AC ∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分) 又由EF AC =DHDO得EF=92.五边形ABCFE 的面积S=12×6×8-12×92×3=694.(10分) 所以五棱锥D'-ABCFE 的体积V=13×694×2√2=23√22.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2019浙江,4,4分)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A.158B.162C.182D.324答案 B2.(2018北京,6,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C考点二空间几何体的表面积1.(2015福建,9,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于()A.8+2√2B.11+2√2C.14+2√2D.15答案B2.(2016浙江,9,6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.答案80;40考点三空间几何体的体积1.(2018浙江,3,4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案 C2.(2016山东,5,5分)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13+23π B.13+√23π C.13+√26πD.1+√26π答案 C3.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积是120,E 为CC 1的中点,则三棱锥E-BCD 的体积是 .答案 10C 组 教师专用题组考点一 空间几何体的结构及其三视图和直观图1.(2016天津,3,5分)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )答案 B2.(2014课标Ⅰ,8,5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱答案B考点二空间几何体的表面积1.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8答案B2.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案D3.(2015安徽,9,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+√3B.1+2√2C.2+√3D.2√2答案C4.(2014大纲全国,10,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.81π4B.16π C.9π D.27π4答案A5.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π答案C6.(2013课标Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.答案9π27.(2013课标Ⅱ,15,5分)已知正四棱锥O-ABCD的体积为3√22,底面边长为√3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为.答案24π考点三空间几何体的体积1.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B2.(2015课标Ⅱ,6,5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15答案D3.(2015浙江,2,5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是()A.8 cm 3B.12 cm 3C.323cm 3 D.403cm 3答案 C4.(2015山东,9,5分)已知等腰直角三角形的直角边的长为2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2√2π3B.4√2π3C.2√2πD.4√2π答案 B5.(2015重庆,5,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.13+2π B.13π6C.7π3D.5π2答案 B6.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827πC.24(√2-1)3πD.8(√2-1)3π答案 A7.(2014课标Ⅱ,6,5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13答案C8.(2013课标Ⅰ,11,5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π答案A9.(2012课标全国,7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18答案B10.(2012课标全国,8,5分)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为√2,则此球的体积为()A.√6πB.4√3πC.4√6πD.6√3π答案B11.(2010全国Ⅰ,12,5分)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为()A.2√33B.4√33C.2√3D.8√33答案B12.(2017山东,13,5分)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.答案2+π213.(2016四川,12,5分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.答案√3314.(2016北京,11,5分)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.答案3215.(2015天津,10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.答案8π316.(2011课标,16,5分)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的3,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.16答案1317.(2015课标Ⅱ,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.答案(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EB 1=12,EM=AA 1=8. 因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√EH 2-EM 2=6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为97(79也正确).18.(2015安徽,19,13分)如图,三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥P-ABC 的体积;(2)证明:在线段PC 上存在点M,使得AC ⊥BM,并求PMMC的值.答案 (1)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°, 可得S △ABC =12·AB ·AC ·sin 60°=√32.由PA ⊥平面ABC,可知PA 是三棱锥P-ABC 的高,又PA=1, 所以三棱锥P-ABC 的体积 V=13·S △ABC ·PA=√36.(2)证明:在平面ABC 内,过点B 作BN ⊥AC,垂足为N.在平面PAC 内,过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M,连接BM.由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC,所以MN ⊥AC.由于BN ∩MN=N,故AC ⊥平面MBN.又BM ⊂平面MBN,所以AC ⊥BM. 在直角△BAN 中,AN=AB ·cos ∠BAC=12,从而NC=AC-AN=32.由MN ∥PA,得PM MC =AN NC =13.19.(2014江西,19,12分)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥BC,A 1B ⊥BB 1. (1)求证:A 1C ⊥CC 1;(2)若AB=2,AC=√3,BC=√7,问AA 1为何值时,三棱柱ABC-A 1B 1C 1体积最大?并求此最大值.答案 (1)证明:由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC, 又BB 1⊥A 1B,故BB 1⊥平面BCA 1,则BB 1⊥A 1C, 又BB 1∥CC 1, 所以A 1C ⊥CC 1. (2)解法一:设AA 1=x,在Rt △A 1BB 1中,A 1B=√A 1B 12-BB 12=√4-x 2. 同理,A 1C=√A 1C 12-CC 12=√3-x 2.在△A 1BC 中,cos ∠BA 1C=A 1B 2+A 1C 2-BC 22A 1B ·A 1C=-x 2√(4-x )(3-x ),sin ∠BA 1C=√12-7x 2(4-x 2)(3-x 2),所以S △A 1BC =12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C=√12-7x 22.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S △A 1BC ·AA 1=x √12-7x 22. 因为x √12-7x 2=√12x 2-7x 4=√-7(x 2-67)2+367,故当x=√67=√427,即AA 1=√427时,体积V 取到最大值3√77. 解法二:过A 1作BC 的垂线,垂足为D,连接AD.由于AA 1⊥BC,A 1D ⊥BC, 故BC ⊥平面AA 1D,BC ⊥AD. 又∠BAC=90°,所以S △ABC =12AD ·BC=12AB ·AC,得AD=2√217. 设AA 1=x,在Rt △AA 1D 中,A 1D=√AD 2-AA 12=√127-x 2, S △A 1BC =12A 1D ·BC=√12-7x 22.从而三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=S △A 1BC ·AA 1=x √12-7x 22. 因为x √12-7x 2=√12x 2-7x 4=√-7(x 2-67)2+367,故当x=√67=√427,即AA 1=√427时,体积V 取到最大值3√77. 20.(2013课标Ⅱ,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点. (1)证明:BC 1∥平面A 1CD;(2)设AA 1=AC=CB=2,AB=2√2,求三棱锥C-A 1DE 的体积.答案 (1)证明:连接AC 1交A 1C 于点F, 则F 为AC 1中点.由D 是AB 中点,连接DF,则BC 1∥DF. 因为DF ⊂平面A 1CD,BC 1⊄平面A 1CD, 所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=2√2得∠ACB=90°,CD=√2,A1D=√6,DE=√3,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以V C-A1DE =13×12×√6×√3×√2=1.【三年模拟】时间:50分钟分值:60分一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2018广东佛山一模,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.212B.15 C.332D.18答案C2.(2020届河南顶级名校摸底考试,6)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,若某个鳖臑的三视图均是直角边长为1的等腰直角三角形(如图所示),则该鳖臑表面中最大面的面积为()A.√22B.1C.√2D.1+√2答案A3.(2019全国大联考,8)已知半球O的半径r=2,正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半球O,其中底面ABC在半球O的大圆面内,点A1,B1,C1在半球O的球面上.若正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为6√3,则其侧棱的长是()A.√6B.2C.√3D.√2答案D4.(2020届安徽A10联盟摸底考试,10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.23B.43C.2D.4答案B5.(2019安徽黄山模拟,9)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥内切球的表面积为()A.(12-8√2)πB.(12-6√2)πC.(10-6√2)πD.(8-4√2)π答案A6.(2019江西九江一模,8)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.43B.83C.4D.163答案D7.(2020届百师联盟开学摸底考试,12)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,异面直线AC与PD所成的角的余弦值为√105,则四棱锥外接球的表面积为()A.48πB.12πC.36πD.9π答案D8.(2020届西北工大附中9月月考,9)在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,△ABC是斜边AB=2√3的直角三角形,PA=PB=√7,则三棱锥外接球的表面积为()A.16πB.65π4C.65π16D.49π4答案D9.(2018云南玉溪一中期中,11)已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上,且PA⊥平面ABC,若该三棱锥的体积为2√33,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则球的表面积等于()A.5πB.20πC.8πD.16π答案B二、填空题(每小题5分,共15分)10.(2018陕西部分重点中学摸底检测,14)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为.答案1411.(2020届广西桂林十八中9月月考,16)已知球的直径DC=4,A,B是球面上的两点,∠ADC=∠BDC=π6,则三棱锥A-BCD的体积的最大值是.答案212.(2020届广西柳州重点中学摸底考试,15)菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,将△BCD沿对角线BD翻折,使得二面角C-BD-A 的大小为120°,已知A、B、C、D四点在同一球面上,则球的表面积等于.答案84π。
专题八 立体几何 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积答案
专题八 立体几何第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积答案部分1．B 【解析】∵过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为，所以该圆柱的表面积为2212ππ⨯⨯+⨯=．故选B ．2．B 【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长16．画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则2=MS ，4=SN ，则从M 到N=B ．SNM图① 图②3．C 【解析】连接1BC ，因为AB ⊥平面11BB C C ，所以130AC B ∠=，1AB BC ⊥，所以1ABC ∆为直角三角形．又2AB =，所以1BC =，又112B C =，所以1BB==22V =⨯⨯=4．A 【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A ．5．B 【解析】设等边三角形ABC 的边长为x ，则21sin 60932x =6x =． 设ABC ∆的外接圆半径为r ，则62sin 60r=，解得r =，所以球心到ABC ∆所在平面的距离2d ==，则点D 到平面ABC 的最大距离146d d =+=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值max 116633ABC V S ∆=⨯=⨯=B ． 6．C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积1(12)2262V =⨯+⨯⨯=．故选C ．7．C 【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，DBA P易知，BC AD ∥，1BC =，2AD AB PA ===，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PAD ∆，PAB ∆为直角三角形，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PA BC ⊥，又BC AB ⊥，且PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ．BC PB ⊥，∴PBC ∆为直角三角形，容易求得3PC =，CD =，PD =，故PCD ∆不是直角三角形，故选C ．解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P ABCD -，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C ．PDCBA8．B 【解析】圆柱的轴截面如图，1AC =，12AB =，所以圆柱底面半径r BC ==，那么圆柱的体积是22314V r h πππ==⨯⨯=，故选B ． CBA9．D 【解析】借助立方体可知所求三棱锥为下图粗线部分该几何体的体积为11(35)41032V =⨯⨯⨯=．选D ． 10．A 【解析】该几何体是由一个高为3的圆锥的一半，和高为3的三棱锥组成（如图），其体积为：21111(13)(213)132322ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．选A ．11．B 【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为221π36π3463π2V =⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B ． 12．C 【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积21111133V =⨯⨯=．设半球的半径为R，则2R =R =，所以半球的体积321423V π=⨯⨯=．故该几何体的体积12136V V V =+=+．故选C ． 13．A 【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故37428833r ππ⨯=，所以2r =，表面积227341784S r r πππ=⨯+=，选A ． 14．C 【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l =，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．15．B 【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体，上下底面是边长为3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3、该边上的高为6，故面积都为18，左右两个侧面是矩形，边长为3，故面积都为2(9+18+16．C 【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，∴体积3322231223=⨯⨯+=V ，故选C ． 17．D 【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 18．A 【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A ．19．D 【解析】如图，设正方形的棱长为1，则截取部分为三棱锥111A A B D -，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15．A 1AC20．B 【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中，该四面体是如图所示的三棱锥P ABC -，表面积为211222224⨯⨯⨯+⨯=+．21．A 【解析】由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此长方体底面对角线长为2x ，高为h ，则由三角形相似可得，212xh-=，所以22h x =-，(0,1)x ∈，长方体体积2232216)2(22)2()327x x x V h x x ++-==-=长方体≤，当且仅当22x x =-，即23x =时取等号，2121233V ππ=⨯⨯=圆锥，故材料利用率为16827293ππ=，选A ． 22．B 【解析】由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为22222422016r r r r ππππ+++=+，所以2r =．23．B 【解析】如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A BCD -，最长的棱为6AD ==，选B ．24．C 【解析】原毛坯的体积2(3)654V ππ=⨯⨯=，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积2212(2)4(3)234V V V πππ'=+=⨯⨯+⨯⨯=，故所求比值为10127V V '-=． 25．A 【解析】如图，将边长为2的正方体截去两个角，∴21226112212S =⨯⨯-⨯⨯+=+表26．A 【解析】圆柱的正视图是矩形，∴选A ．27．D 【解析】由三视图画出几何体的直观图，如图所示，则此几何体的表面积1232S S S S S S =-+++正方形斜面，其中1S 是长方体的表面积，2S 是三棱柱的水平放置的一个侧面的面积，3S 是三棱柱的一个底面的面积，可求得2138()S cm =，选D ．28．C 【解析】由题意可知AD BC ⊥，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面11DB C ，又2sin 603AD =⋅=111111121332A B DC B DC V AD S -∆=⋅=⨯=， 故选C ．29．A 【解析】圆柱的底面半径为1，母线长为1，2112S ππ=⨯⨯=侧． 30．B 【解析】直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为l 的14圆柱，所以该几何体的体积为321221284ππ-⨯⨯⨯⨯=-． 31．C 【解析】由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积22S rh ππ==．32．B 【解析】由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．33．A 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A ． 34．A 【解析】还原后的直观图是一个长宽高依次为10，6 ，5的长方体上面是半径为3高为2的半个圆柱．35．C 【解析】几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为221353573V πππ=⨯⨯+⨯=36．B 【解析】由三视图可知该几何体的体积：221121232V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=． 37．D 【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，故侧视图可以为D ．38．C 【解析】由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的放倒的一个直四棱柱，如图，所以该四棱柱的表面积12(24)444242S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯24+48=+39．D 【解析】选项A 正确，∵SD ⊥平面ABCD ，而AC 在平面ABCD 内，所以AC SD ⊥．因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，而BD 与SD 相交，所以AC ⊥平面SBD ，所以AC SB ⊥；选项B 正确，因为AB CD ，而CD 在平面SCD 内，AB 不在平面SCD 内，所以AB平面SCD ；选项C 正确，设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则SA 与平面SBD 所成的角ASO ∠，SC 与平面SBD 所成的角CSO ∠，易知这两个角相等；选项D 错误，AB 与SC 所成的角等于SCD ∠，而DC 与SA 所成的角等于SAB ∠，易知这两个角不相等．40．C 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和．2(10810282)2(6882)360S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 41．B 【解析】该几何体上半部是底面边长为4cm ，高为2cm ，的正四棱柱，其体积为344232()cm ⨯⨯=；下半部分是上、下底面边长分别为4cm ，8cm ，高为2cm 的正四棱台，其体积为1224(164864)233⨯+⨯+⨯=，故其总体积为2243203233+=． 42．13【解析】解法一 连接11A C ，交11B D 于点E ，则111AE BD ⊥，11A E BB ⊥，则1A E ⊥平面11BB D D ，所以1A E 为四棱锥111A BB D D -的高，且1A E =矩形11BB D D 的，1，故11111133A BB D D V -=⨯=． 解法二 连接1BD ，则四棱锥111A BB D D -分成两个三棱锥111B A DD -和111B A B D -111111111111111111132323A BB D D B A DD B A B D V V V ---=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．43．43【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正，则该正八面体的体积为214233⨯⨯=． 44．36π【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥． 因为平面SAC ⊥平面SBC ，所以OA ⊥平面SBC ． 设OA r =，3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=，所以球的表面积为2436r ππ=．45．14π【解析】球的直径是长方体的体对角线，设球O 的半径为R ，所以224π14π.R S R ====46．9π2【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=.47．22π+【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+． 48．32【解析】设球的半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==． 49．3.2【解析】通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积(12)1322S +⨯==，通过侧视图可知四棱柱的高1h =， 所以该四棱柱的体积32V Sh ==．50．80 ；40【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，22262244242280S =⨯+⨯+⨯⨯-⨯=表，3244240V =+⨯⨯=．51．83π【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．52．12【解析】由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则21623h ⨯⨯=，解得1h =2=，该六棱锥的侧面积为1122122⨯⨯=． 53．结合三视图有PA ⊥平面ABC ，2PA =，AB BC ==2CA =，所以PB ==，PC ==，∴三棱锥最长棱的棱长为54．32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是12,r r ，母线长分别是12,l l ．则由1294S S =，可得1232r r =．又两个圆柱的侧面积相等，即112222rl r l ππ=，则112223l r l r ==， 所以111222923432V S l V S l ==⨯=． 55【解析】设正方体的棱长为a2r =，即球半径2r a =．若球的体积为92π，即349)32ππ=，解得a =56．1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的 相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24． 另：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=，所以121:24V V =． 57．38【解析】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为()243+41+31+2-2=38ππ⨯⨯⨯⨯． 58．92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的表面积是12(25)4(2544922S =⨯⨯+⨯++++⨯=．59111322sin 603332ABC VPA S ∆=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=．60．13【解析】由圆锥底面面积是这个球面面积的316，得223416r R ππ=，所以2r R =，则小圆锥的高为2R，大圆锥的高为32R ，所以比值为13．61．【解析】(1)由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ． 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC ．EMP QDCBA(2)由已知可得，3===DC CM AB ，=DA ． 又23BP DQ DA ==，所以BP = 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE=13DC ． 由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，1=QE ． 因此，三棱锥Q ABP -的体积为11113451332-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△Q ABP ABP V QE S ．62．【解析】（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥，CD PD ⊥．由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．PAB C DE（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ． 由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ．设AB x =，则由已知可得AD =，PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积 31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =． 从而2PA PD ==，AD BC ==PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 6062222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+ 63．【解析】（Ⅰ）证明：PD ⊥平面,,ABCD PD PCD ⊂∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD MD =⊂平面ABCD ，MD CD ⊥，∴MD ⊥平面PCD ，,,,,,CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF ⊂∴⊥⊥⊂平面又平面MD MF M =，∴CF MDF ⊥平面．（Ⅱ）00,,60,30,CF MDF CF DF PCD CDF ⊥∴⊥∠=∴∠=平面又易知11==,22CF CD 从而12,,,244DE CFEF DC DE PEDP CP∴=∴=∴=∥12CDES CD DE∆=⋅=，22MD====11.338216M CDE CDEV S MD-∆∴=⋅=⋅=64．【解析】（Ⅰ）由已知得ABC DBC∆≅∆，因此AC DC=，又G为AD的中点，CG AD⊥；同理BG AD⊥；因此AD⊥平面BCG,又EF AD∥,∴EF⊥平面BCG．CD（Ⅱ）在平面ABC内，做AO CB⊥，交CB的延长线于O，由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BCD，又G为AD的中点，因此G到平面BCD 的距离h是AO的一半，在AOB∆中，sin603AO AB=⋅=1132D BCG G BCD DBGV V S h--∆==⨯⨯=．65．【解析】（Ⅰ）连结1AC，交1A C于点O，连结DO，则O为1AC的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥1BC，又因为OD⊂平面1A CD，1BC⊄平面1A CD，所以1BC//平面1A CD；（Ⅱ）由题意知CD⊥平面11ABB A．再由12AA AC CB===，AB=90ACB∠=，CD=1A D DE=13A E=．故22211A D DE A E+=，即1DE A D⊥所以111132C A DEV-=⨯=．66．【解析】（Ⅰ）证明：连接AC ，交于BD 于O 点，连接PO ．因为底面ABCD 是菱形，所以,AC BD BO DO ⊥=，由PB PD =知，PO BD ⊥．再由PO AC O ⋂=知， BD ⊥面APC ，因此BD PC ⊥．（Ⅱ）解：因为E 是P A 的中点，所以1122P BCE C PEB C PAB B APC V V V V ----=== 由2PB PD AB AD ====知，ABD PBD ≅因为60BAD ∠=,所以1PO AO AC BO ====.又222,PA PO AO PA PO AC =+=⊥即. 故132APC S PO AC =∙=. 由（1）知，1111,2232P BCE B APC APC BO APC V V BO S --⊥==∙∙∙=面因此． 67．【解析】（1）由已知可得AE =3，BF =4，则折叠完后EG =3，GF =4，又因为EF =5，所以可得EG GF ⊥，又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG .（2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G -EFCD 的高， 所以所求体积为11124516335CDEF S GO ⋅=⨯⨯⨯=． 68．【解析】（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD ．又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC ．在直角梯形PDAQ 中可得DQ =PQ =2PD ，则PQ ⊥QD所以PQ ⊥平面DCQ .（II ）设AB =a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a =由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ ，△DCQ 2， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3V a = 故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1．。
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2019最新空间几何体的三视图、表面积与体积
A 卷
一、选择题
1．(2018·湖南长郡中学模拟一)某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为()
A．64 B．80 C．96 D．128
2．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C－ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()
A．1
2B．
2
2C．
2
4D．
1
4
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()
A．14π
3B．
10π
3C．
8π
3D．
5π
3
4．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()
A．a3
3B．
a3
4C．
a3
6D．
a3
12
5．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()
A．π
2＋1B．
π
2＋3C．
3π
2＋1D．
3π
2＋3
6．(2018·汕头一模)小明与爸爸放假在家做蛋糕，小明做了一个底面半径为10 cm的等边圆
锥(轴截面为等边三角形)状蛋糕，现要把1 g芝麻均匀地全撒在蛋糕表面，已知1 g芝麻约有300粒，则贴在蛋糕侧面上的芝麻约有()
A．100粒B．200粒C．114粒D．214粒
7．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶
端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的7
8时，小球与该三棱锥各
侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()
A．7π
6B．
4π
3C．
2π
3D．
π
2
8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的顶点都在球O的球面上，AB＝2，AA1＝4，则球O的表面积为()
A．32π
3B．32π C．64π D．
64π
3
9．(2017·全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为____．
10．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为____．
11．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直
径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为____．
12．圆台上、下底面半径和母线的比为1∶4∶5，高为8，那么它的侧面积为____．
13．(2018·日照一模)如图，在几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，EA⊥AB，CB∥DA，F 为DA上的点，EA＝DA＝AB＝2CB，M是EC的中点，N为BE的中点．
(1)若AF＝3FD，求证：FN∥平面MBD；
(2)若EA＝2，求三棱锥M－ABC的体积．
B 卷
一、选择题
14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图，且该
几何体的体积为8
3，则该几何体的俯视图可以是()
15．如图，圆锥的底面直径AB＝2，母线长VA＝3，点C在母线VB上，且VC＝1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到达点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()
A．13 B．7C．43
3D．
33
2
16．(2018·河南六市高三下学期第一次联考)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个
表面中，最大面的面积为( )
A ．215
B ．15
C ．2
D ．4
17．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝b <a ，若Q 是A 1D 1上的定点，P 在C 1D 1上滑动，则四面体PQEF 的体积( )
A ．是变量且有最大值
B ．是变量且有最小值
C ．是变量无最大最小值
D ．是常量
18．(2018·福建高三4月检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为( )
A ．64－32π
3
B ．64－8π
C ．64－
16π
3
D ．64－
8π3
19．(2018·齐齐哈尔一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．1213＋62＋18
B．913＋82＋18
C．913＋62＋18
D．913＋62＋12
20．如右图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8 cm，底面边长为12 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为()
A．36π cm2B．64π cm2C．80π cm2D．100π cm2
21．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A－BCD 中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是()
22．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____．
23．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等且
V1 V2＝3
2，则
S1
S2的值是____．
24．(2018·厦门高三上学期期末)某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为
____．
25．(2018·长沙高三统考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝1，BC＝CD ＝5，以直线AB为轴，将四边形ABCD旋转一周，则所得旋转体的体积为____．
26．(2018·河南六市高三下学期第一次联考)如图已知棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝5，SB＝7，点E是棱AD的中点，点F在SC棱
上，且SF
SC＝λ，SA∥平面BEF.
(1)求实数λ的值；
(2)求三棱锥F－EBC的体积.。