有理数的乘方
有理数的乘方
这样捏合到第 7 次后可拉出128根面条。
生活与数学（二）
珠穆朗玛峰是世 界的最高峰，它 的海拔高度是 8848米。
≈
异想天开
把一张足够大的 厚度为0．1毫米 的纸，连续对折 30次的厚度能超 过珠穆朗玛峰。 这是真的吗？
有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1 次后，厚度为2×0.1毫米。
1次
2次 30次
二、如果：x2＝64，x是几？x3＝64，x是几？ 答：如果：x2＝64，x是8或-8； x3＝64，x是4。
小结 & 练习
☞
想一想
１ 三、(－1) n 当n偶数时，结果为＿＿＿ －１ 当n奇数时，结果为＿＿＿ 0 (+1)2005 －(－ 1)2006=___
小结 & 练习
☞
考考你
1.一个数的平方为16,这个数是________
回顾 & 思考
பைடு நூலகம்
学以&致用
创设 & 情境 观察 & 发现
探索 & 交流
小结 &练习 乘方& 故事
生活&数学
回顾 & 思考☞
有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,
两个有理数相乘
异号得负,绝对值相乘. 任何数与0相乘,积仍为0.
几个有理数相乘
积的符号是由负因数的个数决定
口诀：偶为正， 奇为负 乘积为1的两个有理数互为倒数
偶为正，奇为负
10n等于1后面加n个0
小结 & 练习☞
一、写出下列各幂的底数与指数:
4 (1)在64中,底数是___,指数____; 6 a 4 (2)在a4中,底数是___,指数是____； -6 (3)在(-6)5中,底数是 ___, 指______; 5 2 (4)在-25中,底数是____,指数是____; 5
有理数的乘方
有理数的乘方有理数乘方 1． 求n 个相同因数的积的运算叫做乘方。
2．乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。
一般地，在n a 中，a 取任意有理数，n 取正整数。
应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。
当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂。
3． 我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，n a 就是表示n 个a 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。
n a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅例1 计算：（1）32； （2）()32-； (3)()42-； (4)()52-； ☆注：2就是12，指数1通常不写。
观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？ （1） 横向观察正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零。
（2） 纵向观察互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。
（3） 任何一个数的偶次幂是什么数？任何一个数的偶次幂都是非负数。
你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？ 当0a >时，0n a >（n 是正整数）； 当0a =时，0n a =（n 是正整数）. （以上为有理数乘方运算的符号法则）底数幂()22nn a a =-（n 是正整数）； ()2121n n a a --=--（n 是正整数）20n a ≥（a 是有理数，n 是正整数）例2 计算（1）()234⨯-； （2）()()3432-⨯-； （3）()()4326423-÷-÷；（4）()()()2212009111n n +---+-（n 为正整数）。
例3 计算：（1）()23-， ()33-， 5[(3)]--（2）23-， 33-， ()53--；（3）()24--， ()35--， 34()3--， 234-；（4）2223()3-⨯-， 2[(2)(3)]-⨯-， 23(3)⨯-；引导学生纵向观察第（1）题和第（2）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，()na -的底数是a -，表示n 个()a -相乘，n a -是n a 的相反数，这是()na -和n a -的区别。
有理数的乘方
1.5.1乘方（一）
教学目标：1、知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算；
2、知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂。
重点：正确理解乘方的意义，能利用乘方的运算法则进行有理数的乘方运算。
重点：会进行有理数的乘方运算，弄清（－a ）n 与－a n 的区别
教学过程：
教师归纳：（1）a ×a 可记为a2 （2）a ×a ×a 可记为a3
（3）2×2×2×2×2×2可记为25 （4）a ×a ×a ×a ×…×a （n 个a ）可记为an
乘方的概念
（1）乘方的意义 求n 个相同的因数a
a 叫做底数，n 叫做指数。
（2）乘方的读法 把a n 读作a 的n 次方或者a 的n 次幂
其中一个数可以看作这个数本身的一次方。
讲解课本P41例1
教师：请同学们计算下列各题：（12 ）5，（35 ）5，（－23 ）4，（355 ）
一个学生区别（35 ）5和（355 ）有什么不同。
教师归纳：负数的奇次幂是负数；负数和偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。
当底数是负数或分数时，要加括号。
二、巩固知识
课本P42练习
三、总结
本节课主要学习了乘方中的底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂，掌握乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算。
四、布置作业
课本P47 习题1.5第1题
底数 幂。
有理数的乘方
1．(－4)3的底数是什么？指数是什么？幂是多少？
2．23和32的意义相同吗？
3．(－2)3、－23、－(－2)3分别表示什么意义？
4．(－)4、－分别表示什么意义？
例题讲解
例1计算：
（1）①37；②73；③(－3)4；④(－4)3．
（2）①()5；②()3；③(－)4．
课堂教学具体环节
例2计算并思考幂的符号如何确定：
课题
2.7有理数的乘方（1）
课型
新授
授课时数
1
主备人
朱从帅
主备内容
个人备课
教材分析
运用几个具有相同特征的算式，引出乘方的概念，同时揭示乘方和乘法的关系．
类似于乘法是求几个相同加数的和的运算，乘法是比加法高一级的运算，乘方是求几个相同因数的积的运算，乘方是比乘法高一级的运算．
主要教学方法与活动设计
及时巩固对乘方有关概念的理解，同时引导学生理解乘方
不具有交换律，当底数是分数和负数时，底数应放在括号内．
教学目标
1．知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算；
2．知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂；
3．会用科学记数法表示较大的数．
教学重难点
1．有理数乘方的意义，求有理数的正整数指数幂；
2．用科学记数法表示较大的数．
预习情况反馈
你还能举出类似的实例吗？
2×2×2×2×2×2记作26，读作“2的6次方”；
7×7×7可记作73；读作“7的3次方”．
一般地， 记作an，读作“a的n次方”．
求相同因数的积的运算叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．
26、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的6次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数，6、3叫做指数．
有理数的乘方
n
乘方的结果叫做幂。 n 在 a 中， a 叫做底数， n叫做指数。 a n读作 a 的 n 次方，也可以读作 a 的 n 次幂。 幂
a
n
指数 因数
因数的个数
底数
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1、有理数的乘方的意义 求n个相同因数的积的运算叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。 幂
在小学，对底数 a 我们只能取正数，进入 中学后，我们学习了有理数，那么a还可取那 些数呢？
0和负数 02
03
(-2)4
(-3)5
① (-2)(-2)(-2)
1 1 1 1 ② (+ )(+ )(+ )(+ ) 3 3 3 3
①和 ②式中乘法有什么特点和共同点？
① 求 3个相同因数 -2 的积的运算
② 求 4个
相同因数
1 3
的积的运算
共同点：求几个相同的因数的积的运算。
aa a a a a2 3个 a 相加可记为： 棱长为 a 的正方体的体积可记为： 3 aaa a a a a a3 4个 a相加可记为： 那么4个 a 相乘可记为： aaaa ? a a a a a4
(5) a2n-1 = (6) a2n
≥
课堂小结
作乘法运算看 2 ×2 ×2 = 8 因数是2 因数的个数为3 积是8 作乘方运算看 23 = 8 底数是2 指数是3 幂是8
运 算 运算结果
加 和
减
差
乘
积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
除
商
乘方
幂
测试反馈
① -52中底数是 -5，指数是2。 ( ×) ② 一个有理数的平方总是大于0的。 ( × ) ③ (-1)2001+(-1)2002 = 0 ( √ )
有理数的乘方公式
有理数的乘方公式完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
有理数的乘方法则：同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。
a^m×a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n均为自然数）幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n=a^(m×n)积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
(a×b)^n=a^n×b^n有理数的乘方运算：1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。
3、零的零次幂无意义。
4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。
5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。
6、0的任何正整数次幂都得0.有理数的乘法运算1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
2、任何数与零相乘，都得零。
3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。
4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。
5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。
有理数的乘方
-32-(-2)2×(-4)+(－1)2020
8×(－12)3+ (－4)×(－3)－(－1)2021
课堂小结
2.能够正确进行有理数的乘方运算
捏合前捏一次后Fra bibliotek捏两次后
2
2×2=22
捏三次后
2×2×2=？
捏十次之后呢？
？
1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
即 a×a×……×a = an
n个
2.在an中，a叫做底数，n叫做指数，把an读作a 的n次幂（或a的n次方）
幂
a n 指数 因数的个数
底数 因数
1.定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
即 a×a×……×a = an
n个
2.在an中，a叫做底数，n叫做指数，把an读作a的n次幂 （或a的n次方）
3.有理数乘方的运算法则 （1）正数的任何次幂都是_正__数 ， （2）负数的奇次幂是_负__数，负数的偶次幂是_正__数. （3）0的任何正整数次幂都是_0__.
温馨提示：幂的底数 是分数或负数时，底 数应该添上括号！
(－5)2底数是___，指数是___，(－5)2读作 ，或 -5；2；-5的2次方；-5的2次幂
注意：(－5)2 =25 －52 = － 25
4.24
（3）23=2×2×2=8
（4）24=2×2×2×2=16
你能迅速的判断下列各幂的正负吗？
有理数的乘方与开方计算
有理数的乘方与开方计算在数学中，我们经常会涉及到有理数的乘方与开方计算。
有理数是整数与分数的统称，包括正数、负数和零。
有理数的乘方与开方运算，是数学中非常重要且基础的概念。
本文将详细探讨有理数的乘方与开方计算方法，帮助读者更好地理解并掌握这一知识点。
有理数的乘方运算包括正数幂、负数幂和零次幂。
首先，让我们来看一下正数的乘方运算。
当一个有理数的正数次幂时，只需将底数连乘该数的次数即可。
例如，2的3次方，即2乘以2乘以2，结果为8。
同理，-3的4次方，即负三乘以负三乘以负三乘以负三，结果为81。
而有理数的负数次幂，则需要借助幂数的倒数来表示，例如，2的-2次方等于1除以2的2次方，结果为1/4。
其次，有理数的零次幂均为1。
无论底数为何有理数，其零次幂都等于1，这是一个重要的数学规律。
比如，7的0次方、-5的0次方、0的0次方，它们的结果均为1。
有理数的开方运算也是乘方运算的逆运算。
开方运算可以将一个数分解成若干个相同的因数相乘的形式。
例如，开2次方即为对一个数求平方根，开3次方即为对一个数求立方根。
当底数为正数时，开方运算存在两个解，一个为正值，一个为负值。
而当底数为负数时，开方运算的结果为虚数。
比如，开4的平方根，结果为2和-2；开-8的立方根，结果为2i和-2i。
了解有理数的乘方与开方计算方法，可以帮助我们更好地解决实际生活中的问题。
数学是一门重要的学科，它在我们的日常生活中扮演着至关重要的角色。
通过不断学习和探索，我们可以更好地理解数学知识，提升自己的数学素养。
希望本文对读者有所帮助，让我们一起努力学习，探索数学的奥秘！。
有理数的乘方
第一章有理数的乘方教学目标：知识技能目标：1、知道乘方与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算。
2、知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整指数幂。
过程方法目标：1、培养学生观察、分析、比较、归纳、概括的能力。
2、通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
3、渗透转化思想。
情感态度目标：1、学会与人合作，并能与他人交流过程和结果。
2、培养学生勤思、认真和勇于探索的精神。
3、能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。
4、在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点：乘方的符号法则及其运算。
教学难点：理解幂、底数、指数的概念。
教学过程：（一）创设情境引入新课师：将一张报纸对折再对折（报纸不得撕裂）直到无法对折为止。
猜猜看，这时报纸有几层？生：做一做对折1次，有2层，即2×1=2对折2次，有4层，即2×2=4对折3次，有8层，即2×2×2=8对折4次，有16层，即2×2×2×2=16师：有没有更好的表达方式呢？这就是我们今天要研究的课题——有理数的乘方。
老师在黑板上书写课题：有理数的乘方（二）合作交流探索新知你还能举出类似的例子吗？例如：1.正方形的边长为６厘米，它的面积是多少？2.正方体的棱长为６厘米，它的体积是多少？3.某种细菌在培养过程中每半小时由一个分裂成２个，经过4小时，１个细菌可以繁殖成多少个？由折纸实验中教师在黑板上书写出2×2×2……×2等于多少？显然这样的书写计算都很麻烦，人们在社会和科学的实践中，通常都是寻找一种既简洁又美观的表达形式。
以上问题可以写成1. 6×6=622. 6×6×6=63（多媒体展示）3. 2×2×2×2×2×2×2×2=2８（1）讲一讲师:求相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂．相同的因数叫做底数，相同的因数的个数叫做指数．一般地，在a n中，a取任意有理数，n取正整数．(2)读一读26读作( )或 ( ) （多媒体展示）(3)提醒1. 26不能写成62; 73不能写成372. a1=a 指数是1时通常省略不写3.当底数是负数或分数时，必须加括号，把它看成一个整体。
有理数的乘方在教材的地位和作用
有理数的乘方在教材的地位和作用：
有理数的乘方在教材中具有重要地位和作用。
它是有理数运算的一种基本形式，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算后引入的。
以下是其在教材中的地位和作用的详细解释：
1.地位：有理数的乘方既是有理数乘法的推广和延续，又是后续学习有理数的混合运算、科学记数
法和开方的基础。
它起到了承前启后、铺路架桥的作用，将之前学过的有理数运算与后续要学习的内容紧密地联系在一起。
2.作用：通过有理数的乘方的学习，学生可以进一步加深对有理数运算的认识，提高有理数的混合
运算能力。
此外，它还为学生今后学习数的开方以及实数、代数式、方程和函数等更为复杂的数学知识打下坚实的基础。
有理数的乘方的概念
有理数的乘方的概念针对小学生的文章《有理数的乘方，其实很有趣！》小朋友们，今天我们来一起认识一个新的数学知识——有理数的乘方。
你们看，如果有 2 个 2 相乘，我们可以写成2×2，结果是 4。
那要是有 3 个 2 相乘呢？这时候就可以写成2×2×2，结果是 8。
但是这样写是不是有点麻烦呀？所以我们就有了一个更简单的写法，那就是2³，这个 3 就表示有 3 个 2 相乘。
比如说，5 个 3 相乘，就可以写成 3⁵。
那 3⁵等于多少呢？就是3×3×3×3×3，算一算，结果是 243。
再给你们讲个小故事。
小兔子种萝卜，第一天种了 2 颗萝卜籽，第二天种的是第一天的 2 倍，第三天种的又是第二天的 2 倍。
那第三天小兔子种了几颗萝卜籽呢？我们就可以用2³来算，结果是 8 颗。
是不是很神奇呀？小朋友们，有理数的乘方是不是很有趣呢？《神奇的有理数乘方世界》小朋友们，你们知道吗？数学里有一个很神奇的东西，叫有理数的乘方。
比如说，我们有 3 个 5 相乘，写起来就是5×5×5，这样是不是有点麻烦？别担心，我们可以写成5³。
就像搭积木一样，乘方就是把相同的数字一块一块地往上堆。
比如 2 的 4 次方，就是2×2×2×2，等于 16。
想象一下，你有一堆糖果，每次都翻倍，翻倍的次数就是乘方的指数。
比如说，一开始你有 1 颗糖，翻 3 次倍，那就是2³ = 8 颗糖啦。
再比如，教室里的灯，一排有 4 盏，一共有 3 排，那灯的总数就是4³ = 64 盏。
小朋友们，有理数的乘方是不是像魔法一样神奇呀？《走进有理数乘方的奇妙之旅》小朋友们，让我们一起踏上有理数乘方的奇妙之旅吧！先想想，如果有一堆苹果，每次都变成原来的 3 倍，那会怎么样呢？这就和有理数的乘方有关系啦。
有理数乘方的定义
有理数乘方的定义
有理数乘方是指一种由有理数和次幂组成的表示方式，例如4的3次方，表示为4，其中4是有理数，3是次幂，这样的组合叫做有
理数乘方。
有理数乘方的定义
有理数乘方的定义是有理数和次幂的组合，它可隐含在运算式中，形式如下：a，其中a是有理数，n是次幂。
有理数乘方可以用来表
示多项式，因为多项式中的每个变量都可以用有理数乘方的形式表示。
有理数乘方的概念
有理数乘方的最基本概念是，如果有一个数值a，把其乘以a本身n次，就可以得到a的n次幂。
即可以用下面的公式描述：
a=a×a×a×……×a (n个a)
有理数乘方的运算
有理数乘方的运算可以分为乘方少的方法和乘方多的方法，乘方少的方法是指乘方小于等于2的情况，一般可以直接算出，比如：a=a ×a，a=a×a×a，a=a×a×a×a等等。
乘方多的方法则有很多种，
如乘方展开式、乘方公式、积和减、型积分等，这些方法都可以用来求解有理数乘方的值。
有理数乘方的应用
有理数乘方可以用来表示多项式，可以用来解题，并求出多项式的根。
此外，有理数乘方也可以用来解决有关函数、微分方程、概率等问题。
另外，根据有理数乘方的定义，可以很容易地将变量代入相
应的公式中，从而轻松解决问题。
结论
有理数乘方是一种表示方式，由有理数和次幂组成，可以用来表示多项式，并用来解题、解决函数、微分方程和概率问题等。
有理数的乘方
有理数的乘方2.6有理数的乘方1.乘方的概念求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在 n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
幂指数2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
注意：（－a ）n与－a n的区别和联系；a b n 与(ab)n 的区别2.7有理数的混合运算1.运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
2.科学计数法把一个大于10的数表示成 n a 10⨯的形式（其中101<≤a ， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。
一、填空题1．对于(－2)6，6是______的指数，底数是______，(－2)6＝______.对－26，6是____的指数，底数是____，－26＝______．2．计算：(1)34＝______； (2)－34＝______； (3)(－3)4＝______；(4)－(－3)4＝______；=32)5(3______； =3)32)(6( ______； =-3)32)(7(______；=--3)2()8(3______；3．当n 为正奇数时，(－a )n ＝______；当n 为正偶数时，(－a )n ＝______4．－12的计算结果是( )． (A)1 (B)－11 (C)－1 (D)－2 5．－0.22的计算结果是( )． (A)－0.04 (B)0.04(C)0.4(D)－0.46．312-的计算结果是( )．(A)91 (B)31-(C)91-(D)317．下列各式中，计算结果得0的是( )． (A)22＋(－2)2 (B)－22－22 (C)2221)21(--(D)2221)21(+-8．下列各数互为相反数的是( )．(A)32与－23 (B)32与(－3)2(C)32与－32 (D)－32与－(－3)2 三、计算题 9．6×(－2)2÷(－23)10．222232)32(2)2(-+--11．(3×2)2＋(－2)3×5－(－0.28)÷(－2)212．)2131()1()3(3322-⨯---÷-13．|32|)2.0(1)1.0(1323--+--- 14．234)2(21])43()21[(1-+--+综合运用一、选择题15．下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0；②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m )2；③对于任何有理数m 、n (m ≠n )，都有(m －n )2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m )3． (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 16．下列说法中，正确的是( )．(A)一个数的平方一定大于这个数 (B)一个数的平方一定是正数 (C)一个数的平方一定小于这个数 (D)一个数的平方不可能是负数17．设n 为自然数，则：(1)(－1)2n －1＝______；(2)(－1)2n ＝______；(3)(－1)n ＋1＝______．18．当n 为正奇数时，(－a )n ＝______；当n 为正偶数时，(－a )n ＝______． 19．用“＞”或“＜”填空：(1)－32________(－2)3； (2)｜－3｜3________(－3)2；(3)(－0.2)2________(－0.2)4；(4)2)21(________2)31(20．如果－a ＞a ，则a 是________；如果｜a 3｜＝a 3，则a 是________．如果｜a 2｜＝－｜a 2｜，则a 是________；如果｜－a ｜＝－a ，则a 是________． 三、解答题21．某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．请根据你所学知识，描述一下细胞的数量是呈什么方式增长的?并计算5小时后1个细胞可以分裂成多少个细胞．拓展探究22．已知22×83＝2n ，则n 的值为( )．(A)18 (B)11 (C)8 (D)7 23．根据数表1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7 ……可以归纳出一个含有自然数n 的等式，你所归纳出的等式是_____________． 24．实验、观察、找规律计算：31＝______；32＝______；33＝______；34＝______；35＝______；36＝______；37＝______；38＝______． 由此推测32004的个位数字是______科学记数法课堂学习检测一、填空题1．把下列各数用科学记数法表示出来： (1)10＝__________； (2)200＝__________； (3)8600＝__________；(4)600800＝__________． 2．把下列用科学记数法表示的数还原： (1)1.0×102＝__________； (2)1.1×103＝__________； (3)2.1×106＝__________；(4)3.008×105＝__________．3．你对地球和太阳的大小了解多少?请完成下列填空：(1)地球的半径大约是6370千米，用科学记数法表示为________米．(2)太阳的半径大约是6.96×105千米，精确到整数，大约是________万千米．(3)地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为________米．4．(1)用四舍五入法，求1.549的近似值(保留两个有效数字)是________；(2)用四舍五入法，求7531000的近似值(保留两个有效数字)是________．5．测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他的身高的精确值在________米与________米之间(保留四位有效数字)．6．3.05万是精确到________位的近似数．二、填空题7．下列是科学记数法的是()．(A)50×106(B)0.5×104(C)－1.560×107(D)1.5108．已知：a＝1.1×105，b＝1.2×103，c＝5.6×104，d＝5.61×102，将a，b，c，d按从小到大顺序排列正确的是()．(A)a＜b＜c＜d (B)d＜b＜c＜a (C)d＜c＜b＜a(D)a＜c＜b＜d 9．“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电1300000000度，这个数用科学记数法表示，正确的是()．(A)1.30×109(B)1.3×109(C)0.13×1010(D)1.3×1010综合运用一、选择题10．下列说法正确的是()．(A)近似数1.60和近似数1.6的有效数字一样(B)近似数1.60和近似数1.6的精确度一样(C)近似数250百和25000的精确度一样(D)近似数8.4和0.8的精确度一样11．下列说法正确的是()．(A)2.46万精确到万位，有三个有效数字(B)近似数6百和600精确度是相同的(C)317500精确到千位可以表示为31.8万，也可表示为3.18×105(D)0.0502共有5个有效数字，它精确到万分位二、填空题(用乘方形式表示结果)12．求近似值：①3.14159(精确到0.001)_________________；②0.008003(保留2个有效数字)_________________；③528187(精确到万位)_________________；④101001000(保留3个有效数字)_________________．三、解答题13．我们经常会看到“光年”和“纳米”这两个名称．你知道它们的含义吗?(1)光年(1ight year)是天文学中使用的距离单位，符号是L. y．，主要用于度量天体间的距离．1光年是光在真空中一年所走的距离：真空中光速为299792.458千米/秒，1年≈60×60×24×365.25秒，请你计算一下1光年大约是多少千米(保留六位有效数字)．(2)光年是一个较大距离的单位，而纳米(nanometer)则是表示微小距离的单位，符号是nm ．，主要用于度量微粒的大小．1纳米9101=米，即1米＝109纳米．请你写出纳米和分米、厘米、毫米之间的换算关系．1厘米＝______纳米，1毫米＝______纳米．14．已知1 km 2的土地上，1年内从太阳那里能得到相当于燃烧1.3×108kg 煤所产生的能量．那么我国960万km 2的土地上1年内从太阳那里获得的能量相当于新开发1个年产煤多少吨的煤矿?拓展探宄15．你相信吗? 有人说：“将一张纸对折，再对折，重复下去，第43次后纸的厚度便相当于地球到月球的距离．”已知一张纸厚0.006cm ，地球到月球的距离约为3.85×108m ．用计算器算一下这种说法是否可信．作业布置1、你能求出1021018125.0⨯的结果吗?2、若a 是最大的负整数，求2003200220012000a a a a +++的值。
有理数的乘方
2
）根
(2)面条拉扣两次后是（ 2 2 ）根
(3)面条拉扣三次后是（ 2 2 2 ）根
(4)面条拉扣四次后是（ 2222 ）根
(5)面条拉扣五次后是（ 2 2 2 2 2 ）根
乘方:
像 22222 这样, 求相
同因数乘积的运算, 叫做乘方。
2 2 2 记作：？ 读作：？
6个2
2 2 2 记作：？ 读作：？
7, 指数
,13指数
4。
5。
在 (5)4 中, 底数是 ,5指数 。4
在 33中, 底数是 3, 指数 。3
在
1 3
2
中,
底数是
1 3,
指数
。2
【例1】计算
特别地, a的2次方称为“a的平方”； a的3次方称为“a的立方”。
【例2】计算
（1）(1 )5 2
（4） 33
5
（2） 3 53
_________的立方等于它本身。
【例3】填空
5. (+1)2003 －(－ 1)2002=___ 6. － 14+1=______
7. 12n _____,12n1 _____.
n为正整数
【例4】计算
(1) 32 (2)3, (2) 32 23, (3)(8) (2)3, (4) 32 ,
2.7 有理数的乘方（一）
手工拉面是我国的传统面食.制作时,拉面师 傅将一团和好的面,揉搓成1根长条后,手握两端 用力拉长,然后将长条对折,再拉长,再对折,每次 对折称为一扣,如此反复操作,连续扣六七次后便 成了许多细细的面条.假如一拉扣了6次,你能算 也共有多少根面条吗?
拉扣后面的根数:
(1)面条拉扣一次后是（
有理数的乘方
有理数的乘方(1)【知识清单】 一、有理数的乘方1.一般地，在数学上我们把n 个相同的因数a 相乘的积记做a n，即n an a a a a =⨯⋅⋅⋅⨯⨯ 个2.求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.3.在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，读作“a 的n 次方”或“a 的n 次幂”.4.注意：①一个数可以看作是本身的一次方，如2=21；②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数.二、乘方的运算性质：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③任何数的偶数次幂都是非负数；④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。
【经典例题】例题1、计算23)3()3(---的结果是( )A ．-18B ．18C ．36D ．-36 【考点】有理数的乘方.【分析】原式利用乘方的意义计算，相减即可得到结果． 【解答】原式=-27-9 =-36． 故选D ．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．例题2、定义一种新的运算a △b =a b ，如3△4=43=64，那么请试求2△［3△(-2)］=______． 【考点】有理数的乘方．【分析】首先根据运算a △b =a b ，把所求的式子转化为一般形式的运算，然后计算即可求解．【解答】2△［3△(-2)］ =[]23)2(-=(-8)2 =64． 故答案是：64．【点评】本题考查了有理数的乘方运算，理解题意和新运算a △b =b a 的使用方法是关键． 【夯实基础】1、-32等于( )A ．9B ．-9C ．6D ．-6 2、下列各组数中，相等的一组是( )A ．23与32B ．-24与(-2)4C ．-33与(-3)3D ．(-3×4)2与(-3×42) 3、若a 为任意有理数，则下列四组数字都不可能是a 2的末位数字的是( )A ．3，5，9，0B ．5，6，7，8C ．2，3，7，8D ．1，4，8，94、比较(-3)2和-32，下列说法正确的是( )A ．它们底数相同，指数也相同B ．它们底数相同，但指数不相同C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ．它们的意义不同，结果不等5、一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第11次后剩下的绳子的长度为 米．6、 有理数m 在数轴是位置如图所示，则将m ，m1，m 2 ，-m 按从大到小的顺序排列为 ． 7、① (-0.125)2019×82020= ；②2019)31(-的底数是 ，指数是 . 8、计算：(1) (-1)2019×(-5)； (2)-(-6)2÷(-2)3；(3) -23÷94-(-2)4+32÷()721-.9、观察下列计算过程：2321434112112⨯==-=-； 3432989113112⨯==-=-；4543161516114112⨯==-=-；…根据以上的规律计算：)201811()411()311()211(2222-⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯-第6题图【提优特训】10、下列说法正确的是( ) A ．绝对值是本身的数是正数B ．倒数是本身的数是±1C ．一个数的立方等于它的平分则这个数是0D ．立方等于本身的数是±1 11、若(a -3)2+|4-b |=0，则b a 的值为( ) A ．7B ．12C ．64D ．8112、与算式77+77+77+77+77+77+77的运算结果相等的是( ) A ．78B ．87C ．497D ．49813、下列各式：a +1，a 4，a 4-1，2+a ，a 2+0.1，(a +5)2，3- (-a )2 在值中，一定是正数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 14、若a 、b 互为相反数(a 、b 均不为0)，c 、d 互为倒数，且063=+m ，则[]3333)1313(mcd b a m b a -÷+÷+的值为 ．15、当12+16(a -b )2取最小值时，a ，b 之间的关系是 ，最小值是 ．当1-17(a +b )2取最大值时，a ，b 之间的关系是 ，最大值是 ．16、为了求1+5+52+53+…+510的值，可令M =1+5+52+53+…+510，则5M =5+52+53+54+…+511，因此，5M -M =511-1，所以M =41511-，即1+5+52+53+…+510=41511-，仿照以上推理计算：1+6+62+63+…+62019的值是 ．1+x +x 2+x 3+…+x 2019的值是 ． 17、计算(1)(-2)4﹣(-2)3 (2)｜-32-2｜-(-18)÷(-3)2(3) -(-3)2-2÷(-1)3+(-2)3×(-3)2．18、请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题． 13=1213+23=9=32=(1+2)2 13+23+33=36=62=(1+2+3)2 13+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2(1)13+23+33+…+103= ；(2)13+23+33+…+n 3= ； (3)计算：+103+113+123+…+203的值．19、如果a =36，b =-7，试确定a 2019 +b 2018的末位数字是多少20、阅读下列材料，然后解决问题： (1)观察算式：152=1×(1+1)×100+52=225， 252=2×(2+1)×100+52=625， 352=3×(3+1)×100+52=1225， …(2)观察算式1252=15625，2352=55225，4952=245025，…，写出末尾是五的三位数的二次幂的规律21、探索发现 计算下面两组算式：① (3×5)2 32×52， ②[]35)3(⨯- (-3)3×53.③[]3)5()3(-⨯- (-3)3×(-5)3(1)每组算式的结果是否相等？(2)想一想，当n 为正整数时，(a ×b )n 等于什么？【中考链接】22、(2018•天津)计算(-3)2的结果等于( )A ．5B ．-5C ．9D ．-923、(2018•金华绍兴)利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a ，b ，c ，d ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a ×23+b ×22+c ×21+d ×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5，表示该生为5班学生．表示6班学生的识别图案是( )A ．B ．C ．D ．24、(2018•杭州临安)20．(3分)已知：2+32=22×32，3+83=32×83，4+154=42×154，5+245=52×245，…，若10+a b =102×ab符合前面式子的规律，则a +b = ．参考答案1、B2、C3、C4、D5、11)21(6、-m >m 2>m m 1>7、①-0.125 ②31- ，2019 10、B 11、C 12、A 13、A 14、27 15、a =b ， 12 a =-b ， 116、5162020- 112020--x x 22、C 23、B 24、1098、计算：(1) (-1)2019×(-5)； (2)-(-6)2÷(-2)3；(3) -23÷94-(-2)4+32÷()721-. 解：(1)原式=-1×(-5)=5； (2)原式=-(-6)2÷(-2)3 =-36÷(-8) =4.5； (3)原式=-8×49+9÷()79- =-8×49-9×97=-18-7=-25. 9、观察下列计算过程：2321434112112⨯==-=-；3432989113112⨯==-=-；4543161516114112⨯==-=-；… 根据以上的规律计算：)201811()411()311()211(2222-⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯-解：)201811()411()311()211(2222-⨯⋅⋅⋅⨯-⨯-⨯- =2321⨯3432⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯45432018201920182017⨯=2018201921⨯=40362019. 17．计算(1)(-2)4﹣(-2)3 (2)｜-32-2｜-(-18)÷(-3)2(3) -(-3)2-2÷(-1)3+(-2)3×(-3)2． 解：(1)原式=16-(-8)=16+8=24； (2)原式=|-9-2|- (-18)÷9 =11+2=13；(3)原式=-9-2÷(-1) +(-8)×9 =-9+2-72=-79.18．请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题． 13=1213+23=9=32=(1+2)2 13+23+33=36=62=(1+2+3)2 13+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2(1)13+23+33+…+103= (1+2+3+…+10)2 ；(2)13+23+33+…+n 3= (1+2+3+…+n )2 ； (3)计算：+103+113+123+…+203的值．解：(3) 13+23+33+…+93+103+113+123+…+203-(13+23+33+…+93) =(1+2+3+…+20)2-(1+2+3+…+9)2 =212-102 =341.19、如果a =36，b=-7，试确定a 2019 +b 2018的末位数字是多少 解：6任何次方运算后个位数都是6；∵7的n 次方的个位数是7、9、1循环的，2018÷3=672 余2 ∴7 2018次方个位是9， ∵(-7)2018次方是正数， ∴(-7)2018个位数也是9， ∵6+9=5，∴a 2019 +b 2018个位数也5. 20、阅读下列材料，然后解决问题： (1)观察算式：152=1×(1+1)×100+52=225， 252=2×(2+1)×100+52=625， 352=3×(3+1)×100+52=1225， …依此规律，第n 个等式(n 为正整数)为_100×n ×(n +1)+25_____．(2)观察算式1252=15625，2352=55225，4952=245025，…，写出末尾是五的三位数的二次幂的规律由125²=15625， 235²=55225，495²=245025 125²前几位12×13=156 ；后两位5×5=25 235²前几位23×24=552 ；后两位5×5=25 495²前几位49×50=2450 ；后两位5×5=25末尾是5的三位数二次幂的规律是：前两位看成a 把a ×(a +1)的结果作前几位数，后两位是25. 21、探索发现 计算下面两组算式：① (3×5)2 32×52， ②[]35)3(⨯- (-3)3×53.③[]3)5()3(-⨯- (-3)3×(-5)3(1)每组算式的结果是否相等？(2)想一想，当n 为正整数时，(a ×b )n 等于什么？ 解：(1)相等 (2) (a ×b )n =a n ×b n有理数的乘方(2)【知识清单】科学计数法(每年中考的热点)1.把一个大于10的数表示成a(1≤a<10)与10的幂相乘的形式，叫做科学计数法.2.10的n次幂，在1的后面有n个0.3.用科学计数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.【经典例题】例题1、已知地球表面积约为5.1亿km2，用科学记数法可表示为()A. 5.1×1010m2B. 5.1×1014m2C. 5.1×1013m2D. 5.1×1011m2【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】5.1亿=5 1000 0000=5.1×108km2=5.1×1014m2，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．例题2、截止2010年，我国约有7.4×107辆民用汽车，按平均每辆车的车身长为5m计算，让这些汽车头尾相接排列，大约能排多长?相当于几座万里长城的长度(长城的长度按5.13×103km计算)?【考点】科学计数法的乘、除、乘方的简单的混合运算．【分析】首先根据题意求出7.4×107辆民用汽车的长度，再求出这个长度是5.13×103多少倍即可求解．【解答】7.4×107×5=3.7×105 km，3.7×105÷5.13×103≈72.答：这些汽车头尾相接排列，大约能排3.7×105 km；相当于72座万里长城的长度.【点评】本题考查了科学计数法的乘、除、乘方的简单的混合运算，正确运用大数的运算方法是解题关键．【夯实基础】1、‘天河一号’由国防科技大学与滨海新区于2010年9月联合研制成功，具有超强的运算能力，持续速度达每秒2566万亿次浮点运算、峰值速度4700万亿次，则4700万亿用科学计数法表示为()A．47×1014次B．4.7×1015次C．0.47×1013次D．470×1012次2、若n为自然数，则10n表示的数为()A．10个n相乘所得的积B．1的后面有(n 1)个0C．1的后面有n个0D．1的后面有(n+1)个03、数7.35×10n+1有()A．(n-1)位B．n位C．(n+1)位D．(n+2)位4、南海资源丰富，其面积相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍．其中渤海、黄海和东海总面积约为116.667万平方千米，用科学记数法表示南海面积约为()平方千米.A．0.35×108B．3.5×107 C．3.5×106D．35×1055、若76000能用科学计数法表示为a×10n，则a-n= .6、(1)用科学计数法表示下列各数：①2330= ；②5532000= ；③-452100= ；④1503.23= .(2)下列用科学记数法表示的数，原数各是什么数？①3.5×105= ；②-7.25×104= ；③3.017×106= ．78、计算(结果仍用科学记数法表示)：(1) 5.6×104-3.7×103.(2) (-2.1×105)×(3.6×104)．(3) (1.56×106)÷(-3×103)．9、光年是天文学中使用的距离单位，主要用于度量太阳系外天体的距离，1光年是指光在真空中行走一年的距离，真空中光速约为3×105km/s.若星球M与星球P相距1.6光年请求出星球M 与星球P相距是多少km (一年取365天)？【提优特训】10、某粮食储备库存放粮食4.2×105 t ，则它的原数为( )A ．4200000 kgB ．42000000 kgC ．4200000000 kgD ．420000000 kg11、计算(-2)2018＋(-2)2019的结果是( )A ．-1B ．-2C ．-22018D ．2201912、下列各数是用科学记数法表示的是( )A ．31×105B ．0.103×106 C. 43×108 D ．-7.13×106 13、用“<”连接：-2×103，(-2)3×10，(-2)×(-10)3正确是 ( )A ．-2×103<(-2)3×10<(-2)×(-10)3B ．(-2)×(-10)3<(-2)3×10<-2×103C ．(-2)3×10<-2×103<(-2)×(-10)3D ．-2×103<(-2)×(-10)3<(-2)3×1014、若-6040000=-6.04×x 10，则x = ．15、计算22018×52019= ．16、在1︰1600000的地图上，量得A 至B 的距离约为12厘米，那么这两地的实际距离 为 千米．17多少个水分子?500克呢?18、探究计算：(1) 102，103，104，105.(2) (-10)2，(-10)3，(-10)4，(-10)5.(3) 0.12，0.13，0.14，0.15.(4) (-0.1)2，(-0.1)3，(-0.1)4，(-0.1)5.观察计算结果，你发现了什么规律？19、现在有两种给钱的方法：一种是一天给你1元，一直给你20年；另一种是第1年给1分钱，第2年给2分钱，第3年给4分钱，第4年给8分钱，第5年给16分钱，以此类推，一直给20年．问：哪一种方法得到的钱多(一年按365天计算，210＝1024)?21、观察下列各式，然后解决问题：1=1=21-1，1+2=3=22-1，1+2+22=7=23-1，1+2+22+23=15=24-1，1+2+22+23+24=31=25-1，…， (1)根据以上规律填空：①1+21+22+23+24+25+26=(127)=)(2-1； ②1+2+22+23+…+2n -1+2n =)(2-1(2)计算：24+25+ (299)【中考链接】 22、(2019•山西•3分)五台山景区空气清爽，景色宜人.“五一”小长假期间购票进山游客12万人次，再创历史新高.五台山景区门票价格旺季168元/人.以此计算，“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示为( )A.2.016×108元B.0.2016×107元C.2.016×107元D.2016×104元23、(2019•湖北天门•3分)据海关统计，今年第一季度我国外贸进出口总额是70100亿元人民币，比去年同期增长了3.7%，数70100亿用科学记数法表示为( )A ．7.01×104B ．7.01×1011C ．7.01×1012D ．7.01×101324、(2019•湖南邵阳•3分)据海关统计：2019年前4个月，中国对美国贸易顺差为5700亿元．用科学记数法表示5700亿元正确的是( )A ．5.7×1011元B ．57×1010元C ．5.7×10﹣11元D ．0.57×1012元 25、(2019•浙江衢州•3分)浙江省陆域面积为101800平方千米，其中数据101800用科学记数法表示为( )A. 0.1018×105B. 1.018×105C. 0.1018×105D. 1.018×10626、(2019•广东深圳•3分)预计到2025年，中国5G 用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为( )A.4.6×109B.46×107C.4.6×108D.0.46×10927、(2019安徽)(4分)2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为( )A ．1.61×109B ．1.61×1010C ．1.61×1011D ．1.61×1012参考答案1、B2、C3、D4、B5、3.6 10、D 11、C 12、D 13、A 14、6 15、5×102018 16、192 22、C 23、C 24、A 25、B 26、C 27、B6、(1)用科学计数法表示下列各数：① 2330= 2.33×103 ；②5532000= 50532×106 ；③-452100= ×105 ；④1503.23= 1.50323×103 .(2)下列用科学记数法表示的数，原数各是什么数？①3.5×105＝350000；②-7.25×104③3.017×106＝3017000．78、计算(结果仍用科学记数法表示)：(1)5.6×104-3.7×103.解：原式=56000-3700=52300=5.23×104.(2)(-2.1×105)×(3.6×104)．解：原式=-(2.1×3.6)×(105×104)=-7.56×109.(3)(1.56×106)÷(-3×103)．解 原式=361031056.1⨯-⨯30001560000-= =-520=-5.2×102.9、光年是天文学中使用的距离单位，主要用于度量太阳系外天体的距离，1光年是指光在真空中行走一年的距离，真空中光速约为3×105 km/s.若星球M 与星球P 相距1.6光年请求出星球M与星球P相距是多少km (一年取365天)？解：∵365×24×60×60=31536000(s)，1光年=31536000×3×105=9.4608×1012(km)∴9.4608×1012×1.6=1.513728×1013(km)星球M与星球P相距是1.513728×1013km.17少个水分子?500克呢?3解：3.3344×10221000=1.00032×1020；3.3344×1022×500=1.6672×1025.20个水分子，500克水中约含有1.6672×1025个水分子.18、探究计算：(1) 102，103，104，105.(2) (-10)2，(-10)3，(-10)4，(-10)5.(3) 0.12，0.13，0.14，0.15.(4) (-0.1)2，(-0.1)3，(-0.1)4，(-0.1)5.观察计算结果，你发现了什么规律？解：(1) 102=100，103=1000，104=10000，105=100000.(2) (-10)2=100，(-10)3=－1000，(-10)4=10000，(-10)5=－100000.(3) 0.12=0.01，0.13=0.001，0.14=0.0001，0.15=0.00001.(4) (-0.1)2=0.01，(-0.1)3=-0.001，(-0.1)4=0.0001，(-0.1)5=-0.00001.规律：①10n表示1后面有n个0；②0.1n表示1前面有n个0(包括小数点前面的1个0)；③负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数，正数的任何次幂都是正数．19、现在有两种给钱的方法：一种是一天给你1元，一直给你20年；另一种是第1年给1分钱，第2年给2分钱，第3年给4分钱，第4年给8分钱，第5年给16分钱，以此类推，一直给20年．问：哪一种方法得到的钱多(一年按365天计算，210＝1024)?解：方法一：365×1×20=7300(元)．方法二：0.01×1＋0.01×21＋0.01×22＋…＋0.01×219=0.01(1＋21＋22＋23＋ (219)=0.01(220-1)=10485.75(元)．∴方法二得到的钱多．解：∵10n = 999…99(n 个9)+1= 9×111…11(n 个1)+1 ，∴3×10n +6 =3×9×111…11(n 个1)+3×1+6= 9×333…33(n 个3)+9 ，∴96103+⨯n = 333…33(n 个3)+1 是整数. 故961032019+⨯= 333…34(2018个3). 21、观察下列各式，然后解决问题：1=1=21-1，1+2=3=22-1，1+2+22=7=23-1，1+2+22+23=15=24-1，1+2+22+23+24=31=25-1，…，(1)根据以上规律填空：①1+21+22+23+24+25+26=(127)=)7(2-1；②1+2+22+23+…+2n -1+2n =)1(2+n -1(2)计算：24+25+ (299)29+210+…+299=(1+2+22+23+24+25+...+299)-(1+2+22++ (28)=2100-1-(29-1)=2100-29.。
有理数的乘方
1.5．1 有理数的乘方教学任务分析教学目标知识技能掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算．数学思考在运算过程中能合理使用运算律简化运算，体会运算律的作用．解决问题在理解有理数乘方的基础上进行有理数准确计算．情感态度在探索有理数的乘方法则的过程中培养学生的探索精神，同时培养学生良好的学习习惯．重点有理数的乘方法则的发现和有理数的混合运算．难点乘方法则的发现，混合运算中最佳运算方法的寻找．教学流程安排活动流程图活动内容和目的问题1 复习有理数的乘法问题2 引入乘方问题3 计算问题4 计算探索问题5 解决问题问题6 独立计算、思考问题7 巩固练习问题8 解决相关问题小结、作业创设情境、自主探索，引入本节课的研究问题．探索乘方法则．探索幂的符号，培养探索精神．区别底数和幂，加深对幂的认识．通过计算总结在有理数混合运算时运算顺序．通过巩固练习加深对新知的理解和掌握．知识拓展创新、培养学生思维的深刻性以及灵活性．培养归纳能力、巩固新知．教学过程设计一、创设情境、自主探索，引入本节课的研究问题问题1：几个不是0的有理数相乘，积的符号是由什么确定的？学生探索活动：学生回忆，经过回忆发现积的符号是由负因数的个数确定的，若负因数的个数为偶数时，积的符号为正；当负因数的个数为奇数时，积的符号为负．问题2：2×2×……×2（10个2）我们可以如何表示？你能举出类似的例子吗？学生探索活动：学生根据小学中学过的正方形的面积a·a，读作a的平方（二次方），即：a2，立方体的体积a·a·a，读作a的立方(或a的三次方)，即a3，依次可以猜想：2×2×……×2（10个2）＝210，表示10个2相乘．根据学生所举的例子的共同特点（求几个相同因式乘积的运算），由学生自主进行归纳．学生归纳（必要时教师进行启发补充等）：归纳1：n相同的因数相乘，即aa……a（n个a）记作：a n，读作a的n次方．归纳2：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在a n中，a叫作底数，n叫作指数，当a n看作一个结果时，也可以读作a的n次幂．注意：一个数可以看成这个数本身的一次方实际上是一种规定．也可以这样来理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是1，就是指只有一个因数．二、知识应用、巩固新知、引出新的要探究的问题问题3：计算：（1）（－4）3；（2）（－2）4；（3）；（4）（－1）7．学生活动：乘方就是几个相同因数的积的运算，故可用有理数的乘法运算来进行乘方运算．解答过程略．注意：表示负数的乘方，书写时一定要把整个负数（连同符号）用括号括起来，例如，（-4）×（-4）×（-4）×（-4）=（-4）3．问题4：不计算下列各式的值，你能确定其符号吗？你能得到什么规律吗？说出你的根据．（1）（－2）51；（2）（－2）50；（3）250；（4）251．教师活动设计：这两个问题主要让学生探索乘方的符号法则，开始时一部分学生可能找不到解决问题的思路，此时可以让学生充分的思考，必要时可以进行适当的讨论，然后进行交流，学生在交流中逐步得到正确的结果，从而归纳出一定的规律．注意：－250和（－2）50的区别．学生活动：学生独立思考，在独立思考的基础上进行交流，发现可以利用“几个不是零的有理数的积的符号”法则来确定乘方法则，（－2）51表示有51个－2相乘，当然有奇数个（51个）负因数，于是结果的符号应是负号，而（－2）50表示有50个－2相乘，当然有偶数个（50个）负因数，结果的符号应是正号，再进一步归纳．归纳：（1）正数的任何次幂是正数；（2）负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数；（3）0的任何次幂等于零；l的任何次幂等于1．从而可得有理数乘方的符号法则．问题5：解决下列问题，你能从中发现什么？（1）2×32和（2×3）2有什么区别？各等于什么？（2）32与23有什么区别？各等于什么？（3）-34和(-3)4有什么区别？各等于什么？学生活动设计：（1）2×32表示2与3的平方之积，等于18；而（2×3）2表示2与3的积的平方，等于36．注意：没有括号时，应按先乘方，再乘除，后加减的顺序计算．（2）32表示3的2次幂；而23表示2的3次幂，它们的结果分别是9和8．（3）-34表示4个3相乘的积的相反数或3的4次幂的相反数；而(-3)4则表示4个(-3)相乘的积或(-3)的4次幂，结果分别是-81和81．因此，不要出现-34= (-3)4这样的错误．归纳：在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．三、知识混合应用、培养学生的综合计算的能力以及灵活运用知识的能力问题6：计算下列各题，请总结在有理数混合运算时运算顺序应是怎样的？(1)3+22×(－) ；(2)-72十2×(－3)2＋(－6)÷(－)2；（3）(－3)2×[ ] ．教师活动：（１）鼓励学生独立完成；（２）指定三名学生到黑板演示；（３）待黑板上学生完成后，教师评析：1）强调运算顺序；2）注意－72＝－（7×7）＝－49；（4）第（3）小题还可以运用乘法分配律来计算．学生活动：学生独立完成上述问题的解决，在解决问题的过程中进一步熟练法则，同时体会在运算过程中应该遵循一定的运算顺序，从而归纳出有理数混合运算时的运算顺序．归纳运算顺序：1. 先乘方、再乘除、最后加减；2. 同级运算，从左到右进行；3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．问题7：巩固练习：(1)8十(－3)2×(－2)；(2)100÷(－2)2－(－2)÷(－)；(3)－34÷2×(－)2．四、拓展创新、引导学生解决新的问题，培养学生思维的灵活性和深刻性问题8：解决下列问题：1．观察下列三行数－2，4，－8，16，－32，64……①；0，6，－6，18，－30，66……②；－1，2，－4，8，－16，32……③．（1）第①行数是按什么规律排列的？（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行数的第10个数，计算这3个数的和．学生活动设计：让学生充分观察、独立思考（必要时可以让学生进行小范围讨论），对于第一个问题，通过观察发现第①行数的排列规律为：－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6……对于第二个问题，对比第②行与第①行对应位置的数可以发现第②行的数是第①行对应位置的数加2，即：－2＋2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，（－2）5+2，（－2）6+2……．对比第③行与第①行对应位置的数可以发现第③行的数是第①行对应位置的数0.5倍，即：－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，（－2）5×0.5，（－2）6×0.5……．对于第三个问题，首先可以确定第①行中的第10个数为（－2）10，于是可以得到第②行的第10个数是（－2）10＋2，同理利用得到第③行第10个数是（－2）10×0.5．于是有：（－2）10+[（－2）10＋2]+[（－2）10×0.5]=2562．〔解答〕略．2．有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1 次后，厚度为2×0.1毫米．（1）对折2次后，厚度为多少毫米？（2）对折20次后，厚度为多少毫米？学生活动设计：探索：根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米．当考虑对折20次时的厚度时，给学生充分思考的时间和空间，同时必要时可以让学生进行讨论，经过讨论可以发现（关键时老师提醒、启发）对折3次时厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米……归纳：对折20次应是220×0.1毫米．教师活动设计：在上述问题的解决过程中教师要作好参与者、引导者的角色，当学生没有思路时应适时的引导和启发，开拓学生的思路，帮助学生更好的解决问题．五、小结与作业小结：1. 有理数的乘方；2. 乘方的符号法则；3. 有理数的混合运算．作业：第54页练习；第58页习题1.5 第1、3、11题．。
有理数的乘方
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=；−3爱Fra bibliotek2若a
n
> 0
，n为奇数，则a （ ）．
智
．
康
20
18
/0
=
；(−1)
2n
=
．
4
=
；(−3)
4
=
；−(−3)
4
=
．
三、有理数混合运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 【知识拓展】 （1）在运算过程中，通常将带分数化为假分数，小数化为分数，再进行乘方、乘除运算．另外有些运算可以同时进 行，以简化解题． （2）通常把六种基本的代数运算分成三级．第一级运算时加和减，第二级运算时乘和除，第三级运算是乘方，运算 顺序的规定是，先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算． 计算下列各式： 1
有理数的乘方
一、乘方的定义
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a 中，a 叫做底数，n叫做指数．当a 看做a 的n次方
n n
的结果时，也可以读作“a 的n次幂”．例如在6 中，底数是6，指数是4，6 读作“6的4次方”，或“6的4次幂”．
4 4
(−2)
5
表示（ ）．
A. 5个−2 相乘的积 B. −2 乘5的积 C. 2个−5 相乘的积 D. 5个−2 相加的和
二、乘方运算法则
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 1 设n为自然数，则：(−1)
6/ 12
1.10 有理数的的乘方
3 关于式子(－5)4，下列说法错误的是( C ) A. 表示(－5)×(－5)×(－5)×(－5) B. －5是底数，4是指数 C. －5是底数，4是幂 D. 4是指数，(－5)4是幂
知1－练
（来自《典中点》）
知识点 2 有理数的乘方运算
1.计算，填表．
知2－导
(－2)1 (－2)2 (－2)3 (－2)4 (－2)5 (－2)6 ··· ···
3 5
3 5
3 5
5
;
底数 3 表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数． 5
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
乘方式与乘积式的互化是理解乘方意义的关键；乘 方是一种特殊的乘法运算(因数相同)；在将各个因数都 相同的乘积式改为乘方式时，当这个相同因数是负数、 分数，作底数时，要用括号括起来．
是－1.
（来自《点拨》）
1 计算：
(1)
52
，
3 4
3
，
1 10
4
，
1 5
3
；
(2)(－10)2，(－10)3，(－10)4 ，(－10)7.
知2－练
（来自《教材》）
知2－练
解： (1)(－5)2＝(－5)×(－5)＝25；
Leabharlann 3 4（来自《点拨》）
知1－练
1 指出下列各式表示的意义:
43
,
310
,
54
,
1 3
10
,
54
.
解： 43表示3个4的积；310表示10个3的积；
54表示4个5的积；
有理数的乘方
3.3 有理数的乘方
2 ×2 ×… ×2 ×2
10个2
记作210 记作 an
a×a
… ×a ×
×a
n个a 求n个相同因数a的积的运算叫做乘方
学习目标
理解有理数乘方的意义及混合运算的顺序， 会计算有理数的乘方，提高自己的混合运算 能力 独立自学，合作探究，探究有理数乘方运算 的规律和方法 激情投入，全力以赴，体验学习数学的快乐。
( 如：
1) 2
3
、（-3）
2
比一比:
3 3 与3 ( ) 5 5
3
相同吗?
例1 ：计算
想一想：
观察例1的结果，你能
（2）
（3（－3）4 =81
2 2 4 ( ) = 3 （4） 9
发现乘方运算的符号有 什么规律？
1 3 1 (－ ) =－ 2 (5) 8
4。用“>”或“<”或“=”填空 3 (1)若a<0，则 a ___0; 6 (2)若a<0，则 a ___0; (3)若a>0，则 a 5 ___0; 5 (4)若a=0，则 a ___0; 3 (5)若 a <0，则a ___0; 4 (6)若 a >0，则a___0;或a___0.
3.3 有理数的乘方
忆一忆
1、有理数乘法法则是什么？怎样判定几个 不为零的因数乘积的符号？
2、如果正方形的边长是a，它的面积是多
少？如果正方体的棱长是a，它的体积
是多少？
议一议：1个细胞30分钟后分裂成2个，经过5小 时，这种细胞由1个能分裂成多少个？ 细 胞 分 裂 示 意 图
2
2×2
2×2×2
展示小组 5组 2组 4、 6组 7组
有理数的乘方
例1、计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） .
乘法 2×5=10
除法 10÷2=5
乘方 25=32
开方
？5=32
【拓展】
只移动一个数字，使得等式成立.
102－99=1
62－63=1
【赠言】
37.8
0.03
1377.4
0.0006
积勤奋以致千里，
积懒惰以致深渊 。
【练习】
判断：23=2×3=6
判断： －22=(－2)2
幂(-3)2 的底数是 .
填空： (－4)3= .
幂 35的指数是 .
恭喜你中奖了！
⑤
⑥
④
③
①
②
【小结】
减法 5-2=3
2+？=5
2×？=10
2+2+2+2+2=10
2×2×2×2×2=32
加法 2+3=5
an读作a的n次方，也读作a的n次幂.
注意：a1规定为a.
【例题】
例1、计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） .
观察例1，你发现有理数的乘方运算结果的符号有什么规律？
【辨析】
1、（-2）4与-24 （1）它们分别怎么读？ （2）它们的含义分别是什么？ （3）它们的结果分别是多少？
【辨析】
2、（-2）3与-23 （1）它们分别怎么读？ （2）它们的含义分别是什么？ （3）它们的结果分别是多少？
【例题】
例2、计算： （1） ； （2） .
第1格: 1
第2格: 2
第3格: ห้องสมุดไป่ตู้
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有理数的乘方 Prepared on 24 November 2020
学科辅导讲义
1
2
（以上为有理数乘方运算的符号法则）
2n
a（n是正整数）；
n≥（a是有理数，
计算
2
3
4要加括号，不然就是另一种计算了。
15⎝⎭
9
25
5，…，根据前面的各式规律，猜测1357++++为自然数）。
随堂练习 1.当3,5,4a
b
c 时，求下列各代数式的值：2
a
b ； （2ab
b 。
是负数时，判断下列各式是否成立。
2
2
a a ；3
3
a a ；
2.科学记数法
位有什么关系
1
2
1225可写成
2
755625
）请归纳猜想得：10n
）根据上面的归纳猜想，计算出1995。
．给出依次排列的一列数：-1，2，
后面的三项数。
规律。
如（1
猜想（2）n
结论（3）2008
20072008
让学生回忆，做出小结：
1
2
3
27
的数是
320，则3a b 0；
2
1
a ，则a= ；（）在()()
55
5511
23
⎛⎫⎫
--⎪
⎭
，中，最大的数是
）瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据916
,…中得到巴尔末公式，从而打开
2
n
）一个数的平方是4，这个数的立方是（
8 或-8
1的最大值是，其中错误的有（
42; (5); (6)()2
2003718⎛⎫
--+- ⎪⎝⎭
; 1⎛⎫⎛-⨯ ⎪ ⎝⎭⎝2
2⎛⎫
3
42
b
家长签名：。