《三角形的中位线》教案 湘教版

2．4 三角形的中位线
1．了解三角形中位线的定义；
2．掌握三角形的中位线定理；(重点) 3．综合运用平行四边形的判定及三角形的中位线定理解决问题．(难点)
一、情境导入
如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？
二、合作探究
探究点：三角形的中位线
【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长
如图，在△ABC 中，D 、E 分别为
AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点F .若DF ＝3，则AC 的长为(
)
A.3
2
B ．3
C ．6
D ．9
解析：如图，∵D 、E 分别为AC 、BC 的中点，∴DE ∥AB ，∴∠2＝∠3，又∵AF 平分∠CAB ，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD ＝DF ＝3，∴AC ＝2AD ＝2DF ＝6.故选C.
方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是熟记性质并熟练应用．
【类型二】 利用三角形中位线定理求角
如图，C 、D 分别为EA 、EB 的中
点，∠E ＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．110° 解析：∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∴CD 是三角形EAB 的中位线，∴CD ∥AB ，∴∠2＝∠ECD ，∵∠1＝110°，∠
E ＝30°，∴∠ECD ＝∠2＝80°，故选A.
方法总结：根据三角形中位线定理可得出平行关系，所以利用三角形中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．
【类型三】 运用三角形的中位线定理进行证明
如图所示，在四边形ABCD 中，
AC ＝BD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，AC 与BD 交于点O ，EF 分别交AC 、BD 于M 、N .求证：∠ONM ＝∠OMN .
解析：图中有两个中点，但不在同一个三角形中，取AD 的中点P ，连接EP 、FP ，利用三角形的中位线定理即可证明．
证明：取AD 的中点P ，连接EP 、FP ，则EP 为△ABD 的中位线．∴EP ∥BD ，EP ＝1
2BD ，∴∠PEF ＝∠ONM ，同理可知PF 为△ADC 的中位线，∴FP ∥AC ，FP ＝1
2AC ，
∴∠PFE ＝∠OMN ，
∵AC ＝BD ，∴PE ＝PF ，∴∠PEF ＝∠PFE ，∴∠ONM ＝∠OMN .
方法总结：在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题．
【类型四】 构造三角形中位线解题
如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，
E 为AB 的中点，在AB 的延长线上取一点D ，使BD ＝AB ，求证：CD ＝2CE .
解析：直接找CD 与CE 之间的数量关系较困难，可取AC 的中点F ，间接找CD 与CE 之间的数量关系．
证明：取AC 的中点F ，连接
BF .∵BD ＝AB ，∴BF 为△ADC 的中位线，∴DC ＝2BF .∵E 为AB 的中点，AB ＝AC ，∴BE ＝CF ，∠ABC ＝∠ACB .∵BC ＝CB ，∴△EBC ≌△FCB .∴CE ＝BF ，∴CD ＝2CE .
方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
三、板书设计
1．三角形的中位线的概念 2．三角形的中位线定理
本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建
构，实现良性循环.。