2018年高考数学分类题库 (37)

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2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形、选择题B • 305)的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数3 5A 在区间［-，—］上单调递增4 4 3B 在区间［―,］上单调递减45 3C 在区间［予‘专］上单调递增3D 在区间［厅,2 ］上单调递减7.【2018浙江卷5］函数y= 2|x|sin2x 的图象可能是1.【2018全国二卷 6】在厶ABC 中,C cos— 2，BC 1，AC 5，则 AB52.【2018全国二卷 10]若 f(x) cosxsinx 在［a, a ］是减函数，贝U a 的最大值是3.【2018全国三卷 4] 若sin1 … 3，则cos24. 5. 0, C . 【2018全国三卷9］ △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 2 2 2a ，b ，c ,若△ ABC 的面积为-— -，4【2018北京卷7］在平面直角坐标系中，记m 变化时，d 的最大值为d 为点P A. 1(COS 0 sin 0到直线x my 2 0的距离，当B. 2C. 3D.4C . . 296.【2018天津卷6］将函数y sin(2x1. 【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ，则f x 的最小值是 _______________ .2.【2018 全国二卷 15】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a ® __________________ .3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x n在0, n 的零点个数为6 ---------------------------------------------------4. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x n ( 0),若f(x) f (n)对任意的实数x 都成立，则co的最小值为 _________ . 5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x _______________________ )(--)的图象关于直线x -对称，则的值是 ____________________ .2236. 【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 , ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD 1，则4a c 的最小值为 _________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c •若a= 7，b=2, A=60°，贝U sin B= _________ , c= _________.、填空题B .三.解答题1. [2018 全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，ADC 90°, A 45°, AB 2 , BD 5.12. 【2018 北京卷15】在厶ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.(△)求/ A ；(△)求AC边上的高.3. 【2018天津卷15】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinAacos(B ). 6(I)求角B的大小；(II)设a=2, c=3,求b和sin(2A B)的值.4. 【2018江苏卷16】已知，为锐角‘tan 3 ,迹()舟.(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.5. 【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN (P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚U内的地块形状为△ CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚U内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ：3 .求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6. 【2018浙江卷18】已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P345'(I)求sin (a + n 的值; (U)若角B满足sin (a+B=13，求cos B的值・7.【2018上海卷18】设常数a R，函数f(x) a sin 2x c 22cos x(1)若f(x)为偶函数，求a的值; (2) 若〔匸〕1，求方程f(x) 1 .2在区间［，的解.参考答案、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D、填空题 1. 3.3223. 34.235. 7.3 ；37三•解答题 1.解: (1)在厶ABD中，由正弦定理得一BLsin AABsin ADB由题设知,5sin 452 sinADB，所以sin ADB -5由题设知, ADB 90，所以cos ADB 1225 5(2)由题设及(1) 知, cos BDC sin ADB 辽在△ BCD 中,5 由余弦定理得2 2 2BC BD DC 2 BD DC cos BDC 25 8 25. 所以BC 5.32.解：(1)在厶ABC 中,1 n _________________________________ 2—T cosB= —7 ,二 B €( — , n ，二 sinB= 1 cos B<3 7由正弦定理得—sin A bsin B8 -二=<3，二 sinA= £ . T B €( f ,sin A227•- A €( 0,亍)，(n )在厶ABC 中,■/ sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—3 21 (-)71 4.3_ 3.3 2714女口图所示，在△ ABC 中sinC=g ,二 h=BC sinC = 7 3 弓BC14••• AC 边上的高为子.3.解：在厶ABC 中，由正弦定理— sin A—，可得 bsinA asinB sin B又由 bsinA acos(B n ),6得 as in B acos(B n ),6即sinB cos(B ，可得tanB 3 .又因为 B (0 ,可得(n)解：在△ ABC 中,由余弦定理及a =2, c=3, B =^,有 b 2 a 2 c 2 2accosB 7，故 b= J7 .由 bsin A acos(B —), 6可得sin A因为 a<c , 故cosA因此 sin 2 A 2sin AcosA2,cos2 A 2cos A所以，si n(2A B)sin 2Acos Bcos2 A sinB ^^3 73 3 3 2144.解：(1)因为tan4, tan 3汇，所以sin4c o s cos因为sin 22cos1，所以 2cos25，因此,cos222cos7 25(2)因为，为锐角，所以(0, n .又因为cos()寻，所以sin()厂曲( )害，因此tan( ) 2.因为tan -，所以tan232ta n 242 , 1 tan 7因此，tan( ) tan[2 ( )]；+；爲；：；(—5 2115•解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN , 所以OH=10.过O作OE丄BC于E,贝U OE// MN，所以/ COE书故OE=4Ocos0, EC=40sin B,则矩形ABCD 的面积为2X40cos((40sin 0 +10=800(4sin 0 cos 0 +cOs B △ CDP的面积为 1 x 2X 40co(40 - 40sin) 0=1600 (cos 0 - sin 0)cos 0过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .令/GOK=0,则sin0=4 2(0, n)・当濮[0, n)时，才能作出满足条件的矩形所以sin(的取值范围是[〔，1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin 0 cos 0 +cQs平方米，△ CDP的面积为1600 (cos 0 - sin 0)cos0n 的取值范围是[1 , 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0).则年总产值为4k X 800(4sin 0 cos 0 +cbs+Bk x 1600( cos 0 - sin 0 cos 0=8000k (sin 0 cos 0 +)s [ 0, n)2设 f ( 0) =sin 0 cos 0 +cos 0€ [ 0, n),2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令 f'( )=0，得 B =,6当9€( (0, n 时，f '( )>0，所以f (0)为增函数;6当0€(J ,匸)时，f '( )<0 ,所以f (0)为减函数,6 2因此，当0=时，f ((取到最大值.6答：当吧时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大•［来源:学§科§网］,］时，即2x(U)由角的终边过点 P( 3,得cos35 55由 sin() —得 cos( )121313由( )得coscos()cossin( )s in,5616所以cos或cos6565 .解：(1) f(x ； )asin 2x2 cos 2 x 1 1 =asi n2x cos2x 1 ,6. ( I)由角的终边过点P(4)得 sin 5所以sin( 冗)sin -5f ( x) a sin(当f (x)为偶函数时：f (x)f( x)，则 a a，解得a 0 o2(2) f ( ) a sin 2 cos —,424由题意f (一)a 13 1 ,4、.3sin 2x 2cos 2 xa .3 , f (x) 3sin2x cos2x1 2sin(2x6)1,令 f (x) 1血，则2sin 2x1151319解得：x ,2424，24或x248. 解: (1) f(x)asin 2x c 22cos x 1 1 = asin2x cos2x 1 , f( x) a sin( 2x)cos(2x)1asin2x cos2x 1当f(x)为偶函数时:f(x)f( x)，则a a，解得a 0。

2018-2022五年全国高考数学立体几何真题分类汇编(试卷版)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题21立体几何解答题一、解答题1．(2022高考北京卷·第17题)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第18题)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．3．(2022年浙江省高考数学试题·第19题)如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．4．(2022新高考全国II 卷·第20题)如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．5．(2022新高考全国I 卷·第19题)如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．6．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第18题)如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．-中，底面ABCD是平行四边7．(2021年高考浙江卷·第19题)如图，在四棱锥P ABCDBC PC的中点，形，120,1,4,∠=︒===M，N分别为,ABC AB BC PA⊥⊥．PD DC PM MD,(1)证明：AB PM⊥；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．-中，底面ABCD是正方形，若8．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题)在四棱锥Q ABCD===．AD QD QA QC2,3(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；--的平面角的余弦值．(2)求二面角B QD A9．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．(1)证明：OA CD ⊥；(2)若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积．10．(2021年高考全国乙卷理科·第18题)如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．(1)求BC ；(2)求二面角A PM B --的正弦值．11．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥(1)证明：BF DE ⊥；(2)当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?12．(2021高考北京·第17题)如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 中点，11B C 与平面CDE 交于点F．(1)求证：F 为11B C 的中点；(2)点M 是棱11A B 上一点，且二面角M FC E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．13．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第18题)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，=．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，AE为底面直径，AE ADPO=．(1)证明：PA⊥平面PBC；--的余弦值．(2)求二面角B PC E14．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第20题)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．15．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．(1)证明：点1C 在平面AEF 内；(2)若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．16．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第20题)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．17．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB，求PB与平面QCD所成角的正弦值．18．(2020年浙江省高考数学试卷·第19题)如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．(I)证明：EF⊥DB；(II)求DF与面DBC所成角的正弦值．19．(2020天津高考·第17题)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．(Ⅰ)求证：11C M B D ⊥；(Ⅱ)求二面角1B B E D --的正弦值；(Ⅲ)求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．20．(2020江苏高考·第24题)在三棱锥A BCD -中，已知CB CD ==,2BD =，O 为BD的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 的中点．(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2)若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值．21．(2020江苏高考·第15题)在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，,E F分别是1,AC B C 的中点．(1)求证：EF 平面11AB C ；(2)求证：平面1AB C ⊥平面1ABB ．22．(2020北京高考·第16题)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(Ⅰ)求证：1//BC 平面1AD E ；(Ⅱ)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．23．(2019年高考浙江·第19题)如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，11A A A C AC ==，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点．(Ⅰ)证明：EF BC ⊥；(Ⅱ)求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．24．(2019年高考天津理·第17题)如图，AE ⊥平面ABCD ，//,//CF AE AD BC ，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．(Ⅰ)求证：BF ∥平面ADE ；(Ⅱ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(Ⅲ)若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．25．(2019年高考上海·第17题)如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，4AD =，3CD =，15AA =.(1)求直线1AC 与平面ABCD 的夹角；(2)求点A 到平面1AMC 的距离.26．(2019年高考全国Ⅲ理·第19题)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；(2)求图2中的二面角B−CG−A 的大小．27．(2019年高考全国Ⅱ理·第17题)如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．()1证明：BE ⊥平面11EB C ；()2若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值．28．(2019年高考全国Ⅰ理·第18题)如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2,60,,,AA AB BAD E M N ==∠=︒分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．(1)证明：//MN 平面1C DE ；(2)求二面角1A MA N --的正弦值．29．(2019年高考江苏·第16题)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：(1)11A B ∥平面1DEC ；(2)1BE C E ⊥．30．(2019年高考北京理·第16题)如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．(Ⅰ)求证：CD ⊥平面PAD ；(Ⅱ)求二面角F–AE–P 的余弦值；(Ⅲ)设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．31．(2018年高考数学江苏卷·第25题)(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；(2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．32．(2018年高考数学江苏卷·第15题)(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：(1)11AB A B C 平面∥；(2)111ABB A A BC ⊥平面平面．33．(2018年高考数学浙江卷·第19题)(本题满分15分)如图，已知多面体111ABCA B C ，111,,A A B B C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．34．(2018年高考数学上海·第17题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设4PO =，OA OB 、是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．35．(2018年高考数学天津(理)·第17题)(本小题满分13分)如图，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，//EG AD 且EG AD =，//CD FG ，且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求二面角E BC F --的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长．36．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19题)(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在的平面垂直，M 是弧CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．37．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．PAB M CO 38．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第18题)(12分)如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DCF ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．(1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．39．(2018年高考数学北京(理)·第16题)(本小题14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,,,,D E F G 分别为1111,,,AA AC A C BB 的中点，AB BC ==，12AC AA ==．(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BEF ；(Ⅱ)求二面角1B CD C --的余弦值；(Ⅲ)证明：直线FG 与平面BCD 相交．。

解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，当n≥2时，S n=2a n﹣1+1，②，﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(17 计数原理、二项式定理)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（17计数原理、二项式定理）一、选择题1．（2018全国新课标Ⅱ理）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A ．112B ．114C ．115D ．1181．【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有210C 45=种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为314515=，故选C ．2．（2018全国新课标Ⅲ理）522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（） A ．10 B ．20 C ．40 D ．802.答案：C 解答：25103552()()2r r r r r r C x C x x--=⋅⋅，当2r =时，1034r -=，此时系数22552240r r C C == .故选C.二、填空1. （2018上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为。

（结果用数值表示）2．（2018浙江）二项式81)2x的展开式的常数项是___________． 14.答案：7 解答：通项1813181()()2r rr r T C x x --+=843381()2r r r C x -=. 84033r -=，∴2r =.∴常数项为2281187()7242C ⨯⋅=⨯=.3．（2018浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)3.答案：1260解答：224121353435337205401260C C A C C C A +=+=.4（2018天津理）在5(x 的展开式中，2x 的系数为 .4．【答案】52 【解析】结合二项式定理的通项公式有：35521551C2C r r r r r r r T x x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得2r =，则2x 的系数为2251151024C 2⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭．5．（2018全国新课标Ⅰ理）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）5.答案：16解答：恰有1位女生，有122412C C =种；恰有2位女生，有21244C C =种，∴不同的选法共有12416+=种.三、解答题古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

解三角形、数列2018全国数学高考分类真题[含答案解析]

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，=2a n﹣1+1，②，当n≥2时，S n﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全08-13

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数三角恒等变换）一、选择题1．（2018北京文）在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（） A ．AB B ．CD C ．EF D ．GH 1．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．2．（2018天津文）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（）（A ）在区间[,]44ππ- 上单调递增（B ）在区间[,0]4π上单调递减（C ）在区间[,]42ππ上单调递增（D ）在区间[,]2ππ 上单调递减2．【答案】A【解析】由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ⎡ππ⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k πππ-≤≤π+∈Z ，即()44k x k k πππ-≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ，令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误；故选A ．3．（2018天津理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（）(A)在区间35[,]44ππ上单调递增 (B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减3．【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为：sin 2sin210ππ5y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则函数的单调递增区间满足：()2π22π2ππ2k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππ4π4πk x k k -≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间满足：()3π2π22π2π2k x k k +≤≤+∈Z ，即()3πππ4π4k x k k +≤≤+∈Z ，令1k =可得一个单调递减区间为5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为44、答案：B解答：222()2cos (1cos )23cos 1f x x x x =--+=+， ∴最小正周期为π，最大值为4.5．（2018全国新课标Ⅱ文）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π5．【答案】C【解析】因为()cos sin 2cos 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由0224k x k π+π≤+≤π+π，()k ∈Z得32244k x k ππ-+π≤≤+π，()k ∈Z ，因此[]30,,44a ππ⎡⎤⊂-⎢⎥⎣⎦，04a 3π∴<≤，从而a 的最大值为43π，故选C ．6．（2018全国新课标Ⅱ理）若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．【答案】A【解析】因为()cos sin 2cos 4f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭错误!未找到引用源。

2018全国各地高考数学试题汇编附解析

2018全国各地高考数学试题汇编（附解析）2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ1．已知集合{0,1,2,8}B=-，那么A B=▲．A=，{1,1,6,8}[答案]{1，8}2．若复数z满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则z的实部为▲．[答案]23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．[答案]904．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．[答案]85．函数()f x=的定义域为▲．[答案][)∞+，26．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． [答案]1037．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ． [答案]6-π8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线，则其离心率的值是 ▲ ． [答案]29．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤ 则((15))f f 的值为 ▲ ．[答案]2210．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．[答案]3411．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ． [答案]-312．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． [答案]313．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 与点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． [答案]914．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． [答案]2715．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．[答案]16．已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． [答案]17．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,A B 均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[答案]18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．[答案]19．记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． [答案]20．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． [答案]2018 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2018年各地高考真题分类汇编数列学生版完整版.doc

（2018年全国一·文科）17．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．（2018年全国二·文科）17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．（2018年全国三·文科）17．（12分）等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．（2018年北京·文科）（15）（本小题13分）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求12e e e n a a a +++L .（2018年天津·文科）（18）（本小题满分13分）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6．（Ⅰ）求S n 和T n ；（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．n S {}n a n 17a =-315S =-{}n a n S n S {}n a 15314a a a ==，{}n a n S {}n a n 63m S =m（2018年江苏）14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．（2018年浙江）10．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>（2018年上海）20．（本题满分15分）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．高考一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。

2018年全国各地高考数学分类试题答案及详细解析

2018年全国各地高考数学分类试题答案及详细解析第一节集合一、选择题：1．（2018北京文）已知集合{}2A x x =<，{}–2,0,1,2B =，则A B =（）A ．{}0,1B ．{}–1,0,1C ．{}–2,0,1,2D ．{}–1,0,1,21．【答案】A【解析】2x <，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=，故选A ． 2．（2018北京理）已知集合A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则A B =（）（A ）{0，1} （B ）{–1，0，1} （C ）{–2，0，1，2} （D ）{–1，0，1，2} 2．【答案】A【解析】2x <，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=，故选A ．3．（2018浙江）已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A （） A ．∅ B ．{1，3} C ．{2，4，5} D ．{1，2，3，4，5}3.答案：C解答：由题意知U C A ={2,4,5}. 4．（2018天津文）设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，则()A B C =（）（A ）{1,1}- （B ）{0,1} （C ）{1,0,1}- （D ）{2,3,4} 4．【答案】C【解析】由并集的定义可得{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C =-．故选C ．5 （2018天津理）设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R A B （）(A) {01}x x <≤ (B) {01}x x << (C) {12}x x ≤< (D) {02}x x <<5．【答案】B【解析】由题意可得{}1Bx x =<R ，结合交集的定义可得(){}01A Bx =<<R ，故选B ．6．（2018全国新课标Ⅰ文）已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（）A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 6．答案：A解答：{0,2}A B ⋂=，故选A.7．（2018全国新课标Ⅰ理）已知集合{}220A x x x =-->，则A =R（）A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥7. 答案：B解答：{|2A x x =>或1}x <-，则{|12}R C A x x =-≤≤.8．（2018全国新课标Ⅱ文）已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =（）A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,78．【答案】C【解析】{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，{}3,5A B ∴=，故选C ．9．（2018全国新课标Ⅱ理）已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．49．【答案】A【解析】223x y +≤，23x ∴≤，x ∈Z ，1x ∴=-，0，1，当1x =-时，1y =-，0，1；当0x =时，1y =-，0，1；当1x =-时，1y =-，0，1；所以共有9个，故选A ．10．（2018全国新课标Ⅲ文、理）已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，10.答案：C解答：∵{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥，{0,1,2}B =，∴{1,2}A B =.故选C.二、填空题：1．（2018江苏）已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么A B = ▲ ．1．【答案】{}1,8【解析】由题设和交集的定义可知，{}1,8A B =．第二节常用逻辑用语一.选择题：1．（2018北京文）设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 1．【答案】B【解析】当4a =，1b =，1c =，14d =时，a ，b ，c ，d 不成等比数列，所以不是充分条件；当a ，b ，c ，d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件．综上所述，“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．故选B ．2．（2018北京理）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 2．【答案】C【解析】2222223333699+6a b a b a b a b a a b b a a b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0a a b b a a b b a b a b -⋅+=⋅+⇔⋅⇔⊥，即“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的充分必要条件．故选C ．3．（2018浙江）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．.答案：A解答：若“//m n ”，平面外一条直线与平面内一条直线平行，可得线面平行，所以“//m α”；当“//m α”时，m 不一定与n 平行，所以“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件.4. （2018上海）已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a1﹤”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件答案：A知识点：一元二次不等式及其解法考查能力：运算求解能力解析：1a 1﹤→a>1或a<0，由子集推导关系可知选择A 。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(不等式)

取得最大值， zmax 3 2 2 0 6 .
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5．（2018
天津文、理）已知 a，b∈R，且
a–3b+6=0，则
2a+
1 8b
的最小值为__________．
5．【答案】 1 4
【解析】由 a 3b 6
0 可知 a
3b
6
，且 2a
1 8b
2a
2 3b
，因为对于任意
y y
4，
则目标函数
1，
z
3x
5
y
的最大值为
y 0，
（）
（A）6 （B）19 （C）21 （D）45
2．【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标
函数在点
A
处取得最大值，联立直线方程：
x y x
5 y 1
，可得点
A
的坐标为
A
2,
3
，
据此可知目标函数的最大值为 zmax 3x 5 y 3 2 5 3 21 ．故选 C．
二、填空
1．（2018 北京文）能说明“若 a b ，则 1 1 ”为假命题的一组 a ， b 的值依次为_________． ab
1．【答案】1， 1 （答案不唯一）
第 1页（共 3页）
【解析】使“若 a b ，则 1 1 ”为假命题，则“若 a b ，则 1 1 ”为真命题即可，只需取 a 1，b 1
x ，2x
0 恒成立，结
合均值不等式的结论可得： 2a 23b 2 2a 23b 2 26 1 ． 4
当且仅当
2a
23b
a 3b 6

高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(三角恒等变换)练习(附答案)

高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（三角恒等变换）练习一、单选题1．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-3．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为985．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）22π5πcoscos 1212-=（）A ．12B C D 6．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．37．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A ．15B C D 8．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈）（）A ．346B ．373C ．446D ．4739．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和210．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．6511．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C sin cos 2c B A =，则tan A 等于（） A ．3B ．13-C ．3或13- D ．-3或1312．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79 C ．79-D ．89-13．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π14．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为415．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -= A ．15B．5C．5D ．116．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD二、多选题17．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（） AB ．32C．2 D．218．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅三、填空题19．（2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．20．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．21．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________． 22．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．23．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.四、解答题24．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.25．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．26．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+27．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．28．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.29．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．30．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）在ABC 中，17,8,cos 7a b B ===-．（1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．31．（2018ꞏ浙江ꞏ高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．32．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.33．（2018ꞏ江苏ꞏ高考真题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．34．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b=，求sin(2B π+的值．35．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．36．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 37．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．38．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.五、双空题39．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）若函数()sin f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．参考答案1．C【要点分析】化简得出()cos 2f x x =，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【过程详解】因为()22cos sin cos 2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.2．D【要点分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【过程详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯-22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-；故选：D3．C【要点分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【过程详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-= 所以()tan 1αβ-=- 故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2πα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（）（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（） sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin =04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =sin =044422πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1, 故选：C. 4．D【要点分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【过程详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98. 故选：D. 5．D【要点分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【过程详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos26π==. 故选：D. 6．C【要点分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【过程详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<，由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 424242αββγγα=<=>=>，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.【名师点睛】思路要点分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 7．A【要点分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【过程详解】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==故选：A.【名师点睛】关键名师点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.8．B【要点分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【过程详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+，由题，易知ADB 为等腰直角三角形，所以AD DB =．所以''100''100AA CC DB A B -=+=+．因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=，所以1004''1)273A B ⨯==+≈，所以''''100373AA CC A B -=+≈．故选：B ．【名师点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．9．C【要点分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【过程详解】由题，()sincos 3s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==故选：C ． 10．C【要点分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【过程详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++ ()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【名师点睛】易错名师点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 11．A【要点分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；【过程详解】 222sin cos tan 222a b c C C C ab +-==⇒=，4C π∴>， 2sin sin sin a b cR A B C===，sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=，sin()sin 22A CB ∴+=⇒=，4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.12．B【过程详解】要点分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.过程详解：227 cos2α12199sin α=-=-= 故选B.名师点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 13．C【过程详解】要点分析:将函数()2f 1tanxtan xx =+进行化简即可过程详解：由已知得()221f sin2,1221(sinxtanx cosx sinxcosx x x k k Z sinx tan x c x osxππ⎛⎫====≠+∈ ⎪+⎝⎭+ ()f x 的最小正周期2T π2π== 故选C.名师点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 14．B【要点分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【过程详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 15．B【要点分析】首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2cos23α=，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得215a =，从而得到5a =，再结合2b a =，从而得到2a b a a -=-=. 【过程详解】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即5a =，所以2a b a a -=-=B. 【名师点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 16．B【要点分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【过程详解】2sin 2cos 21α=α+ ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【名师点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 17．AC【要点分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23b a =或2a b =，即可得解，注意就,M N 在双支上还是在单支上分类讨论.【过程详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支， OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 21NF NF 2a -=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=， 235NA NF 22a a ==， 12NF NF 2a -= 352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ===选C[方法二]：答案回代法A e 2=选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===，则123cos 5F NF ∠=，C e 2=选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=+，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===，则123cos 5F NF ∠=， [方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin ac β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ===若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bc β=-，故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故e == 故选：AC. 18．AC【要点分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP uuur ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【过程详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP = ，故12||||OP OP = ，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α=====，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确； D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC19．45【要点分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【过程详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=cos 1010αα⎫-=⎪⎪⎭，令sin θ=cos θ=，()αθ-=∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 210k παθπθ⎛⎫=++==⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.；45. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.故答案为：10；45. 20．2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【要点分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+2=，即可解出.【过程详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【名师点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.21．32【要点分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得3tan 2α=. 【过程详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开因为5tantan tan 1444ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，解之得3tan 2α=．故答案为：32．［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式551tan tan 1553445tan tan 15544211tan tan 544ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭．故答案为：32．［方法三］：换元法＋两角和的正切公式令54πθα=-，则1tan 5θ=，且54παθ=+．151tan tan5354tan tan 51421tan tan 145πθπαθπθ++⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭--．故答案为：32．【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接；方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式． 22．12-【要点分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【过程详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=-．［方法二］：利用方程思想直接解出sin 1cos ,cos sin αβαβ=-=-，两式两边平方相加得1cos 2β=，则1sin 2α=．又cos 2sin αβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos 2sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1in()s 2αβ+=-．［方法三］：诱导公式＋二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2πβαα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则322k πβπα=++或32()2k k πβππα⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭Z ．若32()2k k πβπα=++∈Z ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k πααβπααα⎛⎫=+=++=-=-=- ⎪⎝⎭．若2()2k k πβπα=--∈Z ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=，得1sin 2α=．又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-⎛⎫===-=- ⎪-⎝⎭，()2k k βαπ=-∈Z ，即22k απβ=-，则2()k k αβπα+=-∈Z ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβπαα+=-=-=-．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=，则cos()0αβ-=或sin()1αβ+=-．若cos()0αβ-=，则()2k k παβπ-=+∈Z ，即()2k k παβπ=++∈Z ．当k 为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-．当k 为奇数时，sin cos αβ=-，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．若sin()1αβ+=-，则2()2k k παβπ+=-∈Z ．则sin sin 2cos 2k παπββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．23．10. 【要点分析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【过程详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭，当tan 2α=时，上式222212=22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.24．(1)1c =(2)sin 4B =(3)sin(2)A B -=【要点分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出；（2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．【过程详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以sin A ==sin sin a b A B =，所以2sin sinb AB a===（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又sin A == 所以1sin 22sin cos 2448A A A ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin B =cos B ==故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭． 25．(1)6π(2)6+【要点分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【过程详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos 2C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=. 26．(1)5π8； (2)证明见解析．【要点分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【过程详解】（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =．（2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得， cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．27．（I ）；（II ）34；（III ）116【要点分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c = （II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【过程详解】（I ）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =b = 2ac ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos24a b c C ab +-===；（III ）3cos 4C = ，sin C ∴==，3sin 22sin cos 2448C C C ∴==⨯=，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭111828216=⨯-⨯=.28．（1）π；（2）12+. 【要点分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =-，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 242y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由三角函数的图象与性质即可得解.【过程详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦⎝，所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cos 22x x x x x x ⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2sin 22cos 2sin 22222242x x x x x π-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值12+.29．（I ）3B π=；（II ）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦ 【要点分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【过程详解】（I ） [方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 24a A b b ⎫==⎪⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc+-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=，即444222222220a b c a c a b b c +++--=，即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=，即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->，∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ） [方法一]：余弦定理基本不等式因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤.由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 622A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.30．（1）∠A =π3；（2）AC边上的高为2．【要点分析】（1）方法一：先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，即可解得AC 边上的高．【过程详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理在ABC 中∵,1πcos ,,π,sin 727B B B ⎛⎫=-∴∈∴==⎪⎝⎭.由正弦定理得7ππsin ,π,0,,.sin sin sin 2223a b A B A A A B A π⎛⎫⎛⎫=⇒=∴=∈∴∈∴∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭［方法二］：余弦定理的应用由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-．因为17,8,cos 7a b B ===-，代入上式可得3c =或5c =-（舍）．所以2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,π)A ∈，所以π3A =．（2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义在△ABC 中，∵sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+=1172⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=， ∴AC边上的高为2．［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义如图1，由（1）得1cos 842AD AC A =∠=⨯=，则14737AB =-⨯=．作BE AC ⊥，垂足为E，则sin 3BE AB A =∠==AC［方法三］:等面积法由（1）得60A ∠=︒，易求CD =1，作CD AB ⊥，易得4=AD ，即3AB =．所以根据等积法有11sin 22AC BE AB AC A ⋅⋅=⋅⋅⋅，即3BE =所以AC 边上的高为2．【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角；（2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出；方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出；方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 31．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【要点分析】要点分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果.【过程详解】过程详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=.（Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±.由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 名师点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.32．（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3. 【要点分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围.【过程详解】（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 22222262x f x x x x x -⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3. 名师点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 33．（1）725-；（2）211-【过程详解】要点分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan 2α，再利用两角差的正切公式得结果. 过程详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=．因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos 5αβ+=-，所以()sin 5αβ+==，因此()tan 2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+．名师点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.34．（1）c =（2）5. 【要点分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【过程详解】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b=，由正弦定理sin sin a bA B =，得cos sin 2B B bb =，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+==⎪⎝⎭【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.35．（1）3A π=；（2）sin C 【要点分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得1sin cos 222C C -=，然后结合辅助角公式可得64ππC =+，据此由两角和差正余弦公式可得sin C =【过程详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-，即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理可得：222b c a bc +-=， 2221cos 22b c a A bc +-∴==，()0,A π∈ ，3A π∴=.（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦由（1）知，23B C π+=2b c +=，2sin 2sin 3πA C C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，1cos 22C C -=，即sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又20,,,3662C C ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以64C ππ-=，即64ππC =+，则sin sin 644ππC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．[方法二]正弦定理+方程思想2b c +=，得sin 2sin B C A ==2sin 2C -，代入22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，得23sin 2sin sin 242C C C ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得24sin 10C C -+=，则sin 4C =．由sin 2sin 0B C =>，得sin 4C >，所以sin 4C =． [方法三]余弦定理令c t a =．由2,b c b c a =+>，得t >将2b c =代入222b c a bc +-=中，可得2230c a -+=，即2310t -+=，解得6t =或6t =（舍去）．所以sin sin c C t a A ===从而sin 4C =． [方法四]摄影定理因为2c b =+，所以1cos 45cos 6022c a b a b ︒=+=+︒，由射影定理得()180456075C ∠=︒-︒+︒=︒，所以sin sin 75C ︒==【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解sin C 的值；方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得sin C 的值；方法三：利用余弦定理求得ct a=的值，然后结合正弦定理可得sin C 的值；方法四：利用摄影定理求得C ∠的值，然后由两角和差正余弦公式求解sin C 的值；【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.36．(1) 3B π=;(2)()82. 【要点分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C 的值域.【过程详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-，。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(数列)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全一、选择题1．（2018北京文、理）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（）AB ．C ．D ．【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，()12n n a n n -+∴=≥∈N ，，又1a f =，则7781a a q f ===，故选D ．2．（2018浙江）已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（） A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>答案：B解答：∵ln 1x x ≤-，∴1234123123ln()1a a a a a a a a a a +++=++≤++-，得41a ≤-，即311a q ≤-，∴0q <.若1q ≤-，则212341(1)(1)0a a a a a q q +++=++≤，212311(1)1a a a a q q a ++=++≥>，矛盾.∴10q -<<，则2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<.∴13a a >，24a a <.3．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12答案：B 解答：11111132433(3)24996732022a d a d a d a d a d a d ⨯⨯+⨯=+++⨯⇒+=+⇒+=6203d d ⇒+=⇒=-，∴51424(3)10a a d =+=+⨯-=-.二、填空1．（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =-【解析】13a =，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-．2．（2018江苏）已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．【答案】27 【解析】设=2k n a ，则()()()12211+221+221+222k k n S -⎡⎤⎡⎤=⨯-⨯-+⋅-+++⎣⎦⎣⎦()()1122121221212222212k k k k k ---++⨯--=+=+--，由112n n S a +>得()()()22211122212212202140k k k k k -+--+->+-->，，1522k -≥，6k ≥，所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时()()()25251211+221+21+22222n S m m +⎡⎤=⨯-⨯-+-+++=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >．由()251221221m m ++->+，224500m m -+>，22m ∴≥，527n m =+≥，得满足条件的n 最小值为27．3．（2018上海）记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12 圆锥曲线与方程)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（12圆锥曲线与方程）一、选择题1．（2018浙江）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是（）A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)1．.答案：B解答：∵2314c =+=，∴双曲线2213x y -=的焦点坐标是(2,0)-，(2,0).2. （2018上海）设P 是椭圆 ²5x +²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）（A ）2（B ）2（C ）2（D ）43．（2018天津文、理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（）（A ）22139x y -= （B ）22193x y -=（C ）221412x y -= （D ）221124x y -= 3．【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c ，()0c >，则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得2b y a =±，不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得22122bc b bc b d c a b --=+，22222bc b bc b d c a b ++==+，则12226bcd d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率：2229112c b e a a a==++，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=．故选A ．4．（2018全国新课标Ⅰ文）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（） A ．13B ．12C ．22D ．2234、答案：C解答：知2c =，∴2228a b c =+=，22a =，∴离心率22e =.5．（2018全国新课标Ⅰ理）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |=（）A ．32B ．3C ．23D ．45. 答案：B解答：渐近线方程为：2203x y -=，即33y x =±，∵OMN ∆为直角三角形，假设2ONM π∠=，如图，∴3NM k =，直线MN 方程为3(2)y x =-.联立333(2)y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴33(,)22N -，即3ON =，∴3MON π∠=，∴3MN =，故选B.6．（2018全国新课标Ⅰ理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86. 答案：D解答：由题意知直线MN 的方程为2(2)3y x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，与抛物线方程联立有22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得1112x y =⎧⎨=⎩或2244x y =⎧⎨=⎩，∴(0,2),(3,4)FM FN ==，∴03248FM FN ⋅=⨯+⨯=.7．（2018全国新课标Ⅱ文）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A．1-B．2 CD1 7．【答案】D【解析】在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒，设2PF m =，则1222c F F m ==，1PF =，又由椭圆定义可知)1221a PF PF m =+=则离心率212c c e a a===，故选D ．8.(2018全国新课标Ⅱ文、理）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>则其渐近线方程为（）A．y = B．y = C．y =D．y = 8．【答案】A【解析】c e a ==，2222221312b c a e a a -∴==-=-=，b a ∴，因为渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为y =，故选A ．9．（2018全国新课标Ⅱ理）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（）A.23 B ．12 C ．13D ．14 9．【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP得，2tan PAF ∠，2sin PAF ∴∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，2225sin 3c a c PAF ∴===+-∠ ⎪⎝⎭， 4a c ∴=，14e =，故选D ．10．（2018全国新课标Ⅲ文）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为（）AB ．2C ．2D ．10．答案：D解答：由题意c e a ==1ba=，故渐近线方程为0x y ±=，则点(4,0)到渐近线的距离为d ==.故选D.11．（2018全国新课标Ⅲ理）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（） A ．5 B ．2C ．3D ．211．答案：C解答：∵2||PF b =，2||OF c =，∴ ||PO a =；又因为1||6||PF OP =，所以1||6PF a =；在2Rt POF ∆中，22||cos ||PF bOF cθ==； ∵在12Rt PF F ∆中，2222121212||||||cos 2||||PF F F PF bPF F F cθ+-==⋅⋅，∴222222222224(6)464463322b c a bb c a b c a c a b c c+-=⇒+-=⇒-=-⋅ 223c a ⇒=3e ⇒=.二、填空1．（2018北京文）已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．1．【答案】()1,0【解析】1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得，24p =，2p =，12p=， ∴焦点坐标为()1,0．2．（2018北京文）若双曲线()222104x y a a -=>5，则a =_________． 2．【答案】4【解析】在双曲线中，2224c a b a =++，且5c e a ==245a +，22454a a +=，216a ∴=，04a a >∴=．3．（2018北京理）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．3．【答案】31-；2【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，所以椭圆M 的离心率为23113c a ==-+．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，222πtan 33n m ∴==，222222234m n m me m m ++∴===，2e ∴=．4. （2018上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为。

高考最新-2018年全国高考试题分类汇编及解析(数学)数列、解析几何、立体几何解析几何部分参考答案精

2018年全国高考试题分类汇编免费教育资源网解析几何部分参考答案、选择题二、填空题1．22x2y2411．用代数的方法研究图形的几何性质2 152 .2x y2 112． 5 23 1 13．44．5 14．[－1，3]15．455(0,-1) 1 2 a 1 216．2x－ y+4=06．x 2+(y+1) 2=1 1－2 ≤ a≤1+ 2 17．213 18．11[ ,0) (0, ]7( ,13)10 1048．(5,0) 19．22(x 1)2 (y 1)2 259．22(x－ 2)2+(y+3) 2=520．12210． (x－ 2)2+(y+3) 2=5三、解答题1．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，综合解题能力 .满分 14 分 .解：（ I）由 C 与 t 相交于两个不同的点，故知方程组x2y2 1,2y21,a x y 1.平面向量的运算等解析几何的基本思想和有两个不同的实数解 .消去 y 并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ① ⋯⋯ 2 分双曲线的离心率即离心率 e 的取值范围为 ( 6, 2) ( 2, ). 6分II)设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), P 1(0,1)2. 本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。

满分 12 分。

解：(Ⅰ) C 的焦点为 F(1， 0)，直线 l 的斜率为 1，所以 l 的方程为y x 1.22将 y x 1代入方程 y 2 4x ，并整理得 x 26x 1 0.设A (x 1, y 1),B (x 2,y 2),则有 x 1 x 2 6,x 1x 2 1.OA OB (x 1, y 1) (x 2,y 2) x 1x 2 y 1y 2 2x 1x 2 (x 1 x 2) 1 3. | OA ||OB | x 12y 12x 22y 22x 1x 2[x 1x 2 4(x 1 x 2) 16] 41.OA OB 3 14 cos(OA, OB) . |OA| |OB | 41314 所以 OA 与OB 夹角的大小为 arccos3 14. 41(Ⅱ)由题设 FB AF 得 (x 2 1,y 2)(1 x 1, y 1),即x 2 1 (1 x 1), ①y2y1.②所以 21 a 20. 4 2 24a 4 8a 2(1 a 2) 0.解得 0 a 2且a 1.e1 a 212 1. 0 a 2且 a 1, a 255 PA 5 PB, (x 1,y 1 1) 5(x 2,y 2 1). 12 12由此得 x 1 152x 2. 8分由于 x 1，x 2 都是方程①的根，且所以 17 x 2 12 22 1a12 17.13.14分 5 x 222a 2 2a 2 2891 a2 .消去, x 2 ,得 1 a 2 60 由 a 0,所以 a2a 2y12 4x1,y22 4x2, ∴ x22x1. ③联立①、③解得x2 ，依题意有0.∴B（ ,2 ）,或B（ , 2 ）,又 F（1，0），得直线 l方程为( 1)y 2 (x 1)或( 1)y 2 (x 1),当[4,9]时，l 在方程 y轴上的截距为2或 1由②得y22 2y12，2 2 2 11 可知2在[4，9]上是递减的，4,4 23,3 134,4直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为[ 43 3] [3,4].4] [4,3]. 以及综合. 满分 14 分 .解：（ 1）由题设有m 0,c m.设点 P的坐标为（x0,y0），由PF1 PF2，得y0x0 cy0x0 c1，化简得x02y02m. ①2 将①与x0 m1y021联立，解得 2x02m 1 2,y0由m 0,x021 0,得 m 1. 所以 m 的取值范围是1.2）准线 L 的方程为m 1.设点 Q的坐标为（x1,y1），则m x1m 1.mm1m |QF2 | x1 c m|PF| c x m x2 m1 |QF2| 22m m 1.将x0 代入②，化简得.满分 12 分 .2m1代入②，化简得由题设 |QF 2| | PF 2 |2 3 ，得 mm 21 2 3 ，无解 .将 x.满分 12 分 .m|QF 2 | 1m m 2 1.|PF 2 | m m 21由题设 ||QPF F22 || 2 3 ，得 m m 21 2 3.解得 m=2.从而 x 03, y 02,c 2, 得到 PF 2 的方程22y ( 3 2)(x 2).4．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力满分 12 分 . 解： y ′ =2x+1.直线 l 1 的方程为 y=3 x － 3.设直线 l 2过曲线 y=x 2+x －2 上的点 B( b, b 2+b －2),则 l 2的方程为y=(2b+1) x －b 2－2 1因为 l 1⊥ l 2，则有 2b+1= ,b 1 231 x所以直线 l 2的方程为 y2 322II )解方程组 y 3x 3,1 22yx391 x, 6 5 y2(1, 5).(6, 2).221，0)、 ( ,0).3所以直线 l 1和 l 2 的交点的坐标为 l 1、l 2与 x 轴交点的坐标分别为(2 32 125．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力解：直线 l 的方程为 x y1，即 bx ay ab 0.aba 1ly 1 2(y 2 2),∴y 1 y 24d1b(a 1)a 2b 2同理得到点(－ 1， 0) b(a 1)2到直线 l 的距离 d 2a2 bs d 1 d 22ab2aba 2b 2由 s4c,得 2ab 4c,5 c 5即 5a c 2 a 2 2c 2.于是得 5 e 2 1 2e 2,即4e 425e 225 0.解不等式，得 54 e 25.由于 e 1 0,所以 e 的取值范围是25 e 5.26．(Ⅰ)由已知条件 ,可设抛物线的方程为 y 2∵点 P(1,2) 在抛物线上 , ∴ 222p 1, 得 p =2.2故所求抛物线的方程是 y 2准线方程是 x=-- 1.(Ⅱ ) 设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB , ∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 ,∴k PA k PB .由 A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)在抛物线上 ,得2 y14x 1, ① 4x 2, ②2 y 2 221221 y2 14 2 y2y 1 1 4 y 1由① --②得直线 AB 的斜率y2 y1 4 4kAB1（x1 x2）. （14 分）x2 x1 y1 y2 47．本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力、满分 14 分。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04 导数及其应用)

x
则曲线 y 2ln x 在点 1,0 处的切线的斜率为 k f 1 2 ，则所求切线方程为 y 0 2 x 1 ，即 y 2x 2 ．
4．（2018 全国新课标Ⅱ理）曲线 y 2 ln(x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．
4．【答案】 y 2x
x
,1
1
1,1a
f x
0
f x
Z
极大值
]
f x 在 x 1处取得极大值，不合题意． ③当 x1 x2 ，即 a 1时， f x ， f x 随 x 的变化情况如下表：
x
,1 a
1 a
1 a
,1
f x
0
1 a 0 极小值
1 0
1 a
,
Z
1,
f x
Z
极大值
]
极小值
Z
f x 在 x 1处取得极小值，即 a 1满足题意．
1 x
1)2 k 1
4
16
0 ，得 h(x) 有两个极值点 x1, x2 (x1 x2 ) ，
∴
1 x1
1 4
，∴ 0
x1
16 .
可知 h(x) 在 (0, x1) 递增， (x1, x2 ) 递减， (x2 , ) 递增，
∴ h(x1) kx1
x1
ln x1
a
( 2
1 x1
1) x1
（1）证明：函数 f (x) x 与 g(x) x2 2x 2 不存在“S 点”；
（2）若函数 f (x) ax2 1与 g(x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f (x) x2 a ，g(x) bex ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函数 f (x) 与 g(x)

2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案7-不等式

2018年全国各地高考数学分类汇编word版含答案7-不等式一、选择题（共5小题；共25分）1. 设变量x，y满足约束条件x+y≤5,2x−y≤4,−x+y≤1,y≥0,则目标函数z=3x+5y的最大值为 A. 6B. 19C. 21D. 452. 设x∈R，则“x3>8”是“ x >2”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设x∈R，则“x−12<12”是“x3<1”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 设集合A=x,y x−y≥1,ax+y>4,x−ay≤2，则 A. 对任意实数a，2,1∈AB. 对任意实数a，2,1∉AC. 当且仅当a<0时，2,1∉AD. 当且仅当a≤32时，2,1∉A5. 已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln a1+a2+a3．若a1>1，则A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a4二、填空题（共7小题；共35分）6. 若变量x，y满足约束条件2x+y+3≥0,x−2y+4≥0,x−2≤0,则z=x+13y的最大值是．7. 若x，y满足约束条件x−2y−2≤0,x−y+1≥0,y≤0,则z=3x+2y的最大值为．8. 若x，y满足约束条件x−y≥0,2x+y≤6,x+y≥2,则z=x+3y的最小值是，最大值是．9. 已知a,b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18的最小值为．10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120∘，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．11. 若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是．12. 已知a∈R，函数f x=x2+2x+a−2,x≤0−x2+2x−2a,x>0．若对任意x∈−3,+∞，f x≤ x 恒成立，则a的取值范围是．三、解答题（共2小题；共26分）13. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族 S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当 S 中 x % 0<x <100 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f x = 30,0<x ≤302x +1800x −90,30<x <100（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?（2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g x 的表达式；讨论 g x 的单调性，并说明其实际意义．14. 设 a n 是首项为 a 1，公差为 d 的等差数列， b n 是首项为 b 1，公比为 q 的等比数列．（1）设 a 1=0，b 1=1，q =2，若 a n −b n ≤b 1 对 n =1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范围；（2）若 a 1=b 1>0，m ∈N ∗，q ∈ 1, 2m，证明：存在 d ∈R ，使得 a n −b n ≤b 1 对n =2,3,⋯,m +1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b 1，m ，q 表示）．答案第一部分1. C2. A3. A4. D5. B第二部分 6. 37. 68. −2，89. 1410. 911. 312. 18,2第三部分13. （1）由题意 2x +1800x −90>40，因为 30<x <100，解得 45<x <100．（2）当 0<x ≤30 时，g x =30⋅x %+40 1−x % =40−x 10; 当 30<x <100 时，g x = 2x +1800−90 ⋅x %+40 1−x % =x 2−13x +58, 所以 g x = 40−x 10,0<x ≤30x 250−1310x +58,30<x <100．当 0<x <32.5 时，g x 单调递减；当 32.5≤x <100 时，g x 单调递增．说明当 S 中有少于 32.5% 的成员自驾时，通勤时间人均递减；当自驾成员大于 32.5% 时，人均通勤时间递增；当自驾成员为 32.5% 时，人均通勤时间最少．14. （1）由条件知：a n = n −1 d ，b n =2n−1．因为 a n −b n ≤b 1 对 n =1,2,3,4 均成立，即 n −1 d −2n−1 ≤1 对 n =1,2,3,4 均成立，即1≤1，1≤d≤3，3≤2d≤5，7≤3d≤9，得73≤d≤52．因此，d的取值范围为73,52．（2）由条件知：a n=b1+n−1d，b n=b1q n−1．若存在d，使得a n−b n ≤b1n=2,3,⋯,m+1成立，即b1+n−1d−b1q n−1 ≤b1n=2,3,⋯,m+1，即当n=2,3,⋯,m+1时，d满足q n−1−2n−1b1≤d≤q n−1n−1b1．因为q∈1,2m，则1<q n−1≤q m≤2，从而q n−1−2n−1b1≤0，q n−1n−1b1>0，对n=2,3,⋯,m+1均成立．因此，取d=0时，a n−b n ≤b1对n=2,3,⋯,m+1均成立．下面讨论数列q n−1−2n−1的最大值和数列q n−1n−1的最小值（n=2,3,⋯,m+1）．①当2≤n≤m时，q n−2n−q n−1−2n−1=nq n−q n−nq n−1+2n n−1=n q n−q n−1−q n+2n n−1，当1<q≤21时，有q n≤q m≤2，从而n q n−q n−1−q n+2>0 .因此，当2≤n≤m+1时，数列q n−1−2n−1单调递增，故数列q n−1−2n−1的最大值为q m−2m．②设f x=2x1−x，当x>0时，fʹx=ln2−1−x ln22x<0，所以f x单调递减，从而f x<f0=1．当2≤n≤m时，q nnq n−1=q n−1n≤21n1−1n=f1n<1，因此，当2≤n≤m+1时，数列q n−1n−1单调递减，故数列q n−1n−1的最小值为q mm．因此，d的取值范围为b1q m−2m ,b1q mm．。

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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共 4页，选择题部分1至2页；非选择题部分 3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1 •答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2•答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

台体的高其中R 表示球的半径选择题部分(共40 分)、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集 U={1 , 2, 3, 4, 5}, A={1 , 3}，则 e u A=参考公式：若事件A , B 互斥，则P(A B) P(A) P(B) 若事件A , B 相互独立，则P(AB) P(A)P(B) 若事件A 在一次试验中发生的概率是 p ，则n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k 次的概率巳(k) Vp k (1 p)nk (k 0,1,2丄,n)1 --------------台体的体积公式 V -(S SS 2 S 2)h3其中S 1,S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示柱体的体积公式V Sh 其中S 表示柱体的底面积，锥体的体积公式V -Sh3其中S 表示锥体的底面积，球的表面积公式 2S 4 R 2球的体积公式h 表示柱体的高h 表示锥体的咼 A .2x2 .双曲线- B • {1 , 3}2 y =1的焦点坐标是 C . {2 , 4, 5} D • {1 , 2, 3, 4, 5}6 .已知平面 a,直线 m , n 满足 m a, nA .充分不必要条件C .充分必要条件7 .设0<p<1，随机变量E 的分布列是A • (- 2 , 0), ( .2 , 0) C . (0，-2), (0,2 )3 .某几何体的三视图如图所示(单位:B . (-2, 0), (2, 0) D . (0,-2), (0, 2)cm ),则该几何体的体积(单位：cm 3)是A . 2B . 4 24 .复数—— (i 为虚数单位)的共轭复数是1 iA . 1+iB .1- iC . 6D . 8C . - 1+iD .-1- iB .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件则当p 在(0, 1)内增大时， A . D ( E 减小B . D ( E 增大C .D ( E)先减小后增大D . D (E 先增大后减小8 •已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE 与BC所成的角为 SE 与平面ABCD 所成的角为聲二面角S-AB-C 的平面角为％,则 A • 01W02W03B • 03<&<01C .D . 02<93<9in9 .已知a , b , e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量 a 与e 的夹角为一，向量b 满足b 2-4e ・ b+3=0 ,3则|a- b|的最小值是 A .3-1B . . 3+1C . 2D . 2- ,310.已知a i ,a 2,a 3,a 4成等比数列，且印 a ? a 3In 佝非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分。

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(09 解三角形)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（09解三角形）一、选择题1．（2018全国新课标Ⅰ理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则（）A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 31. 答案：A解答：取2AB AC ==,则BC =∴区域Ⅰ的面积为112222S =⨯⨯=，区域Ⅲ的面积为231222S ππ=⋅-=-，区域Ⅱ的面积为22312S S π=⋅-=，故12p p =.2．（2018全国新课标Ⅱ文、理）在ABC △中，cos2C 1BC =，5AC =，则AB =（）A ．BCD ．2．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=-⎝⎭，所以22232cos 125215325c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，c ∴=A ．3．（2018全国新课标Ⅲ文、理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π63．答案：C解答：2222cos 1cos 442ABCa b c ab C S ab C ∆+-===，又1s i n 2ABC S ab C ∆=，故t a n 1C =，∴4C π=.故选C.二、填空1．（2018北京文）若ABC △)222a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠=_________；c a的取值范围是_________．1．【答案】60o ；()2+∞,．【解析】)2221sin 2ABC S a c b ac B +-=V Q，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos B B ∴3B π∠=，则21sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，3B π∠=，06A π∴<∠<，)1tan 0tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，，故()2,ca ∈+∞．2．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．2．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，111a c+=，因此()11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9．3．（2018浙江）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若ab =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．3．.答案：73 解答：由正弦定理sin sin a bA B =2sin B=，所以sin 7B =. 由余弦定理，222cos 2b c a A bc +-=，得214724c c+-=，所以3c =.4．（2018全国新课标Ⅰ文）△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．4.解答：根据正弦定理有：sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，∴2sin sin 4sin sin sin B C A B C =，∴1sin 2A =.∵2228b c a +-=，∴2224cos 2b c a A bc bc +-===，∴bc =，∴1sin 2S bc A ==.三、解答题1．（2018北京理）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．1．【答案】（1）π3A ∠=；(2) AC．【解析】（1）在ABC △中，17cosB =-Q ，π,2B ⎛⎫∴∈π ⎪⎝⎭，sin B ∴=由正弦定理得7sin sin sin a b A B A =⇒=，sin A ∴． π,2B ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭Q ，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴∠=．（2）在ABC △中，()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+Q 1172⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．如图所示，在ABC △中，sin hC BC=Q，sin 7h BC C =⋅=， AC ∴．2．（2018天津理）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小；（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.2．【答案】（1）π3；（2）b =，()sin 2A B -=【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由sin cos 6πb A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得sin cos 6πa B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin co πs 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tan B =．又因为()0,πB ∈，可得π3B =．（2）在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，π3B =，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．所以，()11sin 2sin 2cos cos2sin 27A B A B A B -=-=-=3．（2018全国新课标Ⅰ理）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .3.答案：（1；（2）5. 解答：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得：52sin 45sin ADB =∠,∴sin 5ADB ∠=,∵90ADB ∠<,∴cos 5ADB ∠==.（2）2ADB BDC π∠+∠=,∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠， ∴cos cos()sin 2BDC ADB ADB π∠=-∠=∠,∴222cos 2DC BD BC BDC BD DC+-∠=⋅⋅,2=∴5BC =. 古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。