有理数的概念

第二讲有理数的概念

知识点一：负数

大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？

学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的。

在我们实际生活中，还有很多不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示。比如说：

某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，我们能把它们区分清楚吗？

我们说是不能的，它们是具有相反意义的两个量。现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多。例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．

同学们能举例子吗？

我们要怎样区别相反意义的量才好呢？

待学生思考后，请学生回答、评议、补充。

教师小结

现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃，把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)．这样，只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了。

现在请同学们用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量：

高于海平面8848米，记作米；低于海平面155米，记作米；

教师讲解：什么叫做正数？什么叫做负数？

正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-”号的数(负数小于0)．0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．正、负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号．

例1:下列哪些是正数？哪些是负数？

-3.6，-4，0，9651，-0.1．

练习1: 任意写出6个正数与6个负数，并分别把它们填入相应的大括号里：正数集合：｛…｝，

负数集合：｛…｝．

正、负数表示的意义是人为规定的，在使用时应联系生活实际，其表示的是两个具有相反意义的量。

例2：

（1）在知识竞赛中,如果+10分表示加10分,那么扣20分怎样表示?

（2）某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?

（3）在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02,那么－0.03克表示什么?

（4）如果向东运动4m记作+4m，那么向西运动7m应记作什么？若在原地不动又记作什么？

练习2：

（1）如果零上5℃记作＋5 ℃，那么零下3 ℃记作______________.

（2）东、西为两个相反方向，如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示 ___________，物体原地不动记作________。

（3）某仓库运进面粉7.5吨，记作+7.5吨，那么运出 3.8吨应记作_______________。

知识点二:有理数的概念

引进负数后，数的范围扩大了．过去我们说整数只包括自然数和零，引进负数后，我们把自然数叫做正整数，自然数前加上负号的数叫做负整数，因而整数包括正整数(自然数)、负整数和零，同样分数包括正分数、负分数。在这里我们就引进了一个新的概念：有理数。

1、有理数的定义：整数和分数统称为有理数。

2、有理数的分类：

按定义分：分为整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）。

按符号分：分为正有理数（正整数、正分数）、零、负有理数（负整数、负分数）

注意：在对有理数进行分类时，必须按同一标准进行分类，不能混淆标准。

例3：把下列各数分别填入相应的集合中：

5%，999，-3，14，6，0，-5/7，1/2，400%.

整数集合：

分数集合：

正分数集合：

负分数集合：

练习3:在-1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是。

知识点三：数轴

温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？

与学生讨论温度计的表示方法及读法。

如果我们将温度计水平放置，两端无限延长，规定温度高于零为正方向，那我们就引入了一个新的知识点：

一．数轴

1、定义：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右为正方向，就得到数轴原点、正方向和单位长度。

2、三要素：原点、正方向和单位长度。

3、注意：同一数轴的单位长度要统一；数轴与位置没有关系。

4、规定：原点右边的部分叫做正半轴，原点左边的部分叫做负半轴。

二．数轴的画法

1、 画一条水平直线

2、 在直线的适当位置取一点为原点，并用0表示这点

3、 确定向右的方向为正方向，用箭头表示出来

4、 选取适当的长度作为单位长度。

练习：请同学们以1为单位长度，画一个数轴。

三．有理数与数轴上点的关系

任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。

四．比较大小（数轴）：

1、数轴从左至右依次增大，所以先在数轴确定两个（或多个）数的位置，然后按它的特点 进行判断。数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边

的大。正数大于0，负数小于0，

正数大于负数。 2、比较两个负数的大小

三大步骤：（1)先分别写出两负数的绝对值；（2）比较这两个绝对值的大小。(3)绝对值 大的反而小。

3、有理数大小的比较法则

正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两负数绝对值大的反而小。

例四：按从小到大的顺序把下列各数排列起来：2/3，-5，0，4，-3，8，-3/2 练习四：在数轴上标出-3，1，1/2，0，-0.5并将这些数用“>”连接起来。

五．相反数

代数定义：只有符号不同的两个数，我们称其中一个为另一个的相反数，这两数也互称为相反数。 0的相反数是0。

几何定义： 两个互为相反数的数在数轴上分别到原点的距离相等。

例五：如12与-12互为相反数。

练习五：1/2的相反数是 。

六．绝对值

代数定义：一个 正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。用 式子表示为：

|a|=⎩⎨⎧<-≥)

0()0(a a a a 。