附--倒立摆简介与模型

倒立摆简介

倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。

倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台，也可以是两维运动平台。通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。

倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。

同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。

直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。

由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。

一. 系统组成及参数：

倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成。控制输入为驱动力F （N），是由拖动小车的直流伺服电机提供的；被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角θ（rad）和小车的位移x（m）。

实际倒立摆系统的模型参数：

M：小车的质量，1.096kg；

m：摆杆的质量，0.109kg；

b：小车的摩擦系数，0.1N/(m/sec)；

L ：摆杆的中心到转轴的长度，0.25m

J：摆杆对重心的转动惯量，0.0034kg m2；

T ：采样周期，0.005秒；

二．设计指标：

摆的角度小于0.02rad，响应时间小于1秒

倒立摆系统的数学模型

应用牛顿—欧拉法对倒立摆进行数学建模。 1．小车的运动方程

对小车进行受力分析，如图1所示。图中P 和N 分别表示摆杆运动在水平方向和垂

直方向上对小车的作用力(N)，f v 是小车的摩擦力，等于x b &。

图1 小车的受力分析图

根据牛顿定律，小车水平方向上的力平衡方程为：

2

2t d x

d M P x b F =--&

(1)

2．摆的运动方程

摆的运动由水平方向、铅直方向以及旋转方向的运动构成。以小车与摆的节点为坐标原点取坐标系，对摆杆进行受力分析，如图2所示。

图2 摆的受力分析图

摆杆水平方向上的力平衡方程如下

θ

θθθθθθθθθθsin cos )sin cos ()cos ()

sin (2222

⋅-⋅+=⋅⋅-⋅+=⋅+=+=&&&&&&&&&&&&mL mL x m L L x m L x t

d d

m

L x t

d d m P (2) 将式(2)代入式(1)就得到系统的第一个运动方程

x

b mL F ml x m M &&&&&&-⋅+=⋅++θθθθsin cos )(2 (3)

摆杆垂直方向上的力平衡方程如下

)

sin cos ()

cos (222

θθθθθ⋅+⋅-==-&&&mL L t

d d m mg N 即)sin cos (2θθθθ

⋅+⋅-=&&&mL mg N (4)

由定轴转动定律：

θω&&J dt

d J

M == 得摆杆的转矩平衡方程式为

θθθ&&J PL NL =-cos sin (5)

将式(2)(4)代入式(5)，约去P 和 N ，得到系统的第二个方程： θθθsin )(cos 2mgL J mL x mL =++&&&& (6) 由式(3)与式(6)联列得到一级倒立摆动力学非线性方程组 ⎪⎩

⎪⎨⎧-+=++=++x b mL F mL x m M mgL J mL x mL &&&&&&&&&&

θθθθθθθsin cos )(sin )(cos 22 (7) 因o 5≤θ，故可假设θθ≈sin 和1cos ≈θ，并忽略2θθ&⋅项，得倒立摆系统线性方程

⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++x

b F mL x m M mgL J mL x mL &&&&&&&&&

θθθ)()(2 (8) 对方程(8)进行Laplac e 变换得到：

()

)()()(222s X mLs s mgL s s J mL -=-+θθ (9)

())()()()(22s F s mLs s bsX s X s m M =+++θ (10)

由式(9)可得

()

)()(22s s g mL J mL s X θ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡++-= (11)

将式(11)代入式(10)，整理得摆角的传函为：

)()

(s F s θ = -()

()s

q

bmgL s q mgL m M s q J

mL b s q mLs -+-++232

42 (12) 其中()()222L m J mL m M q -++=。

将式(12)代入式(11)，得小车位移的传函为：

()

()

()q

bmgL s q mgL m M s q J

mL b s q

mgL

s q J mL s F s X -

+-++-

+=22

322)()( (13)