附--倒立摆简介与模型
倒立摆
北京信息科技大学控制系统计算机辅助设计实践报告学生姓名：薛燕彬学号：170223班级：研1702班院（系）：自动化学专业：控制工程倒立摆实验一、倒立摆简介倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
二、倒立摆分类倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。
现在由中国的大连理工大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。
因此，中国是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。
三、倒立摆控制目标倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
四、实验题目要求有倒立摆控制系统通过给小车底座施加控制量，保持摆杆直立或使摆杆的摆脚跟踪指定的轨迹。
倒立摆系统如图所示：图1倒立摆模型动态模型为图2动态模型图在此系统中，g=9.8m2/s是重力加速度，M是小车的质量，m是摆杆的质量，l是摆长的一半，u为施加的外力，即控制量。
M=1kg，m=0.1kg，l=0.5m。
X1为输出摆角θ，X2为输出摆角速度θ。
摆角与输入的关系如下图3摆角与输入关系图将M=1kg，m=0.1kg，l=0.5m。
带入图3摆角与输入关系图中的方程式中，并化简可得如下方程式：θ=647sinθ−122θ2cosθsinθ44−3cosθ+6cosθ44−3cosθu（1）五、实验内容本实验采用PID控制器对系统进行控制，其系统结构如下图所示图2 PID控制系统结构图在本次实验中，我们的实验目的就是使倒立摆与地面垂直，保持直立状态，因此，输入的期望目标值r=0，但是，现实世界中倒立摆要受到外界力的干扰，这里将这个外力视为u，PID在有外力的情况下进行对系统的控制，可以通过改变PID参数实现对系统的控制。
倒立摆简介
倒立摆是验证控制方法和理论的实验平台，倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案、倒立摆最初研究开始于20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后人们又参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。
三级倒立摆是由一、二级倒立摆演绎而来，它的实物系统控制实现已经是公认的难题。
北京航空航天大学张明廉教授领导的课题组应用“拟人智能控制理论”，于1994年8月成功地实现单电机控制的三级倒立摆。
这一成功，证实了“拟人智能控制理论”的正确性，并表明了在没有精确数学模型和不需要推理机的前提下，对一类复杂被控对象是可以控制的。
三级倒立摆控制的成功，对空间运动体的控制有直接参考价值。
北师大模糊系统与模糊信息研究中心暨复杂系统智能控制实验室采用李洪兴教授提出的“变论域自适应模糊控制”理论，成功地实现了四级倒立摆控制仿真实验，并于 2002年8月11日实现了全球首例四级倒立摆实物系统控制。
而由此项理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
各级倒立摆简介如下：1、单级摆：结构相对简单，控制相对容易，控制算法比较简单。
适合本科生实验教学。
2、二级摆：结构相对复杂，控制难度相对大，控制算法也相对复杂。
可适合于研究生实验教学需要，也可以作为专业教师研究新型的控制算法之用。
3、三级摆：结构复杂，控制难度大，控制算法复杂。
主要适于理论研究、实验仿真之用。
4、四级摆:比三级倒立摆更复杂。
主要适用于半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面。
此前，实现的一级至四级倒立摆均为直线运动倒立摆。
直线运动倒立摆实现的是在一个平面上的摆动，轨道较长、传动环节较多、占地空间较大，实践中常常由于传动机构的故障或误差，而不是控制方法本身的问题导致平衡控制失败。
倒立摆模型
摆杆/小车铰接点与摆杆质心的距离
l 0.25m
摆杆绕其质心的转动惯量
I 0.0034kg m2
备注：可忽略了空气阻力以及小车与摆杆之间铰接点上的摩擦力矩。
表 1. 实验装置参数
现基于现代控制理论，按照如下步骤实现对研究直线一级倒立摆的控制方 法：1）建立直线一级倒立摆的运动方程；2）推导状态空间方程；3）分析能控
F
M
g
a. 小车的受力分析
b. 摆杆的受力分析
图2. 小车与摆杆的受力分析
小车在水平方向运动，则通过对小车的水平受力分析，可以得到以下方程：
(1) 摆杆作平面运动，可以分解为质心的平动和绕质心转动，由水平方向的受力 分析，可以得到下式：
即，
(2)
带入方程（1）得：
(3) 再由摆杆的垂直方向的受力分析，得到下式：
即， 又由摆杆对质心的力矩平衡方程有：
2
(4) (5)
直线一级倒立摆控制方法
由于
，所以等式左边有负号。最后，整理方程 (4)，(5)，可得： (6)
由于 ，则有
. 用 u 代表输入，也就是作用在
小车上的作用力，整理方程(3)，(6)可以得到一级倒立摆的运动方程
(7) 2. 系统的状态空间方程
为求系统的状态空间方程，对方程（7）进行拉氏变换，得到：
1
直线一级倒立摆控制方法
及能观性；4）计算状态反馈矩阵及状态观测矩阵；5）通过离线仿真分析验证上 述控制算法的有效性；6）通过上机实验观察其实际控制效果。 1. 建立直线一级倒立摆的运动方程
对小车和摆杆进行受力分析如图 2，其中，N 和 P 为小车与摆杆相互作用力 的水平和垂直两个方向的分量。
N
P
倒立摆数学模型(word文档良心出品)
1单级倒立摆的数学模型的建立：小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。
电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。
导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。
轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。
图1 单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下[]：M 小车质量 1.096Kg ；m 摆杆质量 0.109Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m /secI 摆杆质量 0.0034kg*m*ml 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mT 采样频率 0.005s下面N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：N x b F x M --=&&& (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()θθθθθsin cos sin 222&&&&&ml ml x m N l x dtd m N -+=+= （2） 把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2&&&& （3）为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：()θcos 22l dtd m mg P =- θθθθcos sin 2&&ml ml mg P --=- （4）力矩平衡方程如下：θθ&&I Nl Pl =--cos sin （5）方程中力矩的方向，由于φπθ+=，θφθφsin sin ,cos cos -=-=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： ()θθθcos sin 2x ml mgl ml I &&&&-=++ （6）假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1〈〈φ，则可进行近似处理：0,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θφθθ用u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ&&&&&&&&&2（7）对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+)()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I φφφ （8）（推到时假设初始条件为0）则，摆杆角度和小车位移的传递函数为： mgl s ml I mls s X s -+=222)()()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s X s φ摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： ()mgl s ml I mls A s -+=22)()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s A s φ摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：22432222()()()()()()ml s s q b I ml M m mgl bmgl F s s s s s q q qq M m I ml m l φ=+++--⎡⎤=++-⎣⎦将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32()2.35655()0.088316727.9169 2.30942s s F s s s s φ=+-- 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：222222222201000()00()()()00010()00()()()x x I ml b m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：0100000.08831670.62931700.8831670001000.23565527.82850 2.356551000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：'0100000001000103300044x x x x u gl l φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&&&&&& '1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：0100000001000100029.4031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 2系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：Bu AX X+=& Du CX y +=系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B A AB B n 1,...,,-是线性无关的，或n ×n 维矩阵[]B A AB B n 1-M ΛM M 的秩为n 。
倒立摆模型数学模型推导
倒立摆模型数学模型推导倒立摆模型是一种经典的数学模型，它可以用来描述倒立摆的运动规律。
倒立摆是一个由一个质点和一个固定在一根杆上的支点组成的系统，其特点是质点可以在杆的竖直方向上自由运动。
倒立摆模型的推导过程可以帮助我们更好地理解倒立摆的运动行为。
我们需要确定倒立摆模型中的各个物理量。
倒立摆模型包括杆的长度l、质点的质量m、杆与竖直方向夹角θ以及杆与竖直方向的角速度ω。
我们假设杆是质量均匀分布的，忽略空气阻力和摩擦力的影响。
根据牛顿第二定律和力的平衡条件，我们可以得到倒立摆的运动方程。
首先考虑沿杆方向的受力平衡，可以得到以下方程：m * l * ω^2 * sinθ = m * g * sinθ进一步考虑垂直于杆方向的受力平衡，可以得到以下方程：m * l * ω * cosθ = m * g * cosθ + T其中，T表示杆对质点的拉力。
由于杆是刚性的，因此可以认为杆上各点的速度相同，即杆的线速度为v = l * ω。
根据牛顿第二定律，可以得到以下方程：m * l * ω * cosθ = m * g * cosθ + T = m * a其中，a表示质点的加速度。
将上述方程带入到沿杆方向的受力平衡方程中，可以得到以下方程：m * l * ω^2 * sinθ = m * g * sinθ + m * a * sinθ进一步化简上述方程，可以得到倒立摆的运动方程：l * ω^2 + g * sinθ = a * sinθ倒立摆的运动方程是一个非线性微分方程，可以通过数值解或近似解的方法求解。
在实际应用中，可以利用控制理论和控制算法来实现倒立摆的控制。
倒立摆模型的推导过程可以帮助我们更好地理解倒立摆的运动规律。
通过倒立摆模型，我们可以研究倒立摆的稳定性、控制方法以及应用领域等问题。
倒立摆模型不仅在物理学和工程学中有广泛的应用，也成为了控制理论和控制工程的经典案例之一。
总结起来，倒立摆模型是一种用数学方法描述倒立摆运动规律的模型。
倒立摆的动力学模型
倒立摆的动力学模型倒立摆是一个经典的物理实验，同时也是控制系统领域中的一个重要研究对象。
本文将介绍倒立摆的动力学模型以及相关的理论背景。
一、背景介绍倒立摆是由一个杆和一个连接在其上方的质点组成的，它在重力作用下呈现出不稳定的平衡状态。
倒立摆的动力学模型可以通过建立质点与杆之间的力学关系来描述。
二、质点的动力学方程假设质点质量为m，位置用x表示，杆的最低点为平衡位置，根据牛顿第二定律，可以得到质点的动力学方程：m * d^2x / dt^2 = Fg + Fc其中Fg表示质点受到的重力，Fc表示质点受到的摩擦力。
重力可以表示为：Fg = -mg * sinx摩擦力一般可以近似为：Fc = -b * dx / dt其中b为摩擦系数。
将上述方程带入质点的动力学方程中，可以得到：m * d^2x / dt^2 + b * dx / dt + mg * sinx = 0这就是质点的动力学方程。
三、杆的动力学方程杆的运动可以由转动惯量和力矩平衡来描述。
假设杆的质量为M，长度为l，转动惯量为I，杆绕其一端的转动中心转动，可以得到杆的动力学方程：I * d^2θ / dt^2 = -Mgl * sinθ其中θ表示杆的角度。
四、控制方法倒立摆的控制方法可以分为开环和闭环控制。
开环控制是通过输入外部力或力矩来控制摆的位置或角度，而闭环控制是通过测量摆的位置或角度，并根据目标位置或角度来调整输入力或力矩。
闭环控制往往使用PID控制器。
PID控制器是一种经典的控制器，可以根据目标位置与当前位置之间的差异来调整输入力或力矩，从而实现对倒立摆的控制。
五、应用领域倒立摆的研究在控制系统领域具有广泛的应用。
例如，在工业自动化中，倒立摆可以用来模拟和控制各种平衡问题。
此外，倒立摆还可以用于教育和科普领域，帮助人们更好地理解动力学和控制原理。
六、结论倒立摆的动力学模型是控制系统领域中一个重要的研究对象。
通过建立质点与杆之间的力学关系，可以得到质点和杆的动力学方程。
倒立摆拉格朗日建模方法
倒立摆拉格朗日建模方法倒立摆是一种常见的动力学系统，具有广泛的应用。
倒立摆借助控制算法可以实现平衡控制，因此在工业机器人、机械臂、自行车等控制系统中具有重要的意义。
而拉格朗日建模方法是研究动力学系统的常用方法之一，下面将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法。
倒立摆的拉格朗日建模方法是基于拉格朗日动力学原理进行的。
拉格朗日原理主要包括两部分：拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程。
其中，拉格朗日第一方程是关于系统广义力的方程，而拉格朗日第二方程是关于系统的广义力的运动方程。
首先，我们需要确定倒立摆的广义坐标。
对于倒立摆来说，可以选择摆杆的倾斜角度和摆杆的角速度作为广义坐标。
假设摆杆的倾斜角度为θ，摆杆的角速度为ω，那么可以得到广义坐标集合{θ,ω}。
接下来，我们需要确定倒立摆的拉格朗日函数。
拉格朗日函数是广义坐标的函数，它描述了系统的动能和势能之间的关系。
倒立摆的拉格朗日函数可以表示为L=T-U，其中T表示系统的动能，U表示系统的势能。
同时，我们还需要确定系统的动能和势能。
对于倒立摆来说，系统的动能可以表示为T = 1/2 * m * l^2 * ω^2，其中m表示摆杆的质量，l表示摆杆的长度，ω表示摆杆的角速度。
系统的势能可以表示为U = m * g * l * (1 - cosθ)，其中g表示重力加速度，θ表示摆杆的倾斜角度。
通过上述步骤，我们可以得到倒立摆的拉格朗日函数为L = 1/2 * m * l^2 * ω^2 - m * g * l * (1 - cosθ)。
然后，我们可以使用拉格朗日第一方程和拉格朗日第二方程来得到倒立摆的运动方程。
拉格朗日第一方程可以表示为∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') =Q，其中q表示广义坐标集合，q'表示广义坐标的导数，∂表示偏导数，d/dt表示对时间的导数，Q表示系统的广义力。
拉格朗日第二方程可以表示为d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0。
倒立摆建模与控制
2倒立摆系统的模型建立2.1 倒立摆特性●非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似线性模型，线性化处理后再进行控制。
也可以利用非线性控制理论对其进行控制。
●不确定性模型误差以及机械传动间隙，各种阻力带来实际系统的不确定性。
实际控制中一般通过减少各种误差降低不确定性，如施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定性因素。
●耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。
●开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定平衡点，垂直向下为稳定平横点。
●约束限制由于机构的限制，如运动模块的行程限制，电机力矩限制等。
为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机的功率尽量要求最小。
行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车撞边现象[22]。
2.2 一阶倒立摆数学模型倒立摆系统是典型的运动的刚性系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面分别采用牛顿力学方法和拉格朗日方法建立直线型一级，二级倒立摆系统的数学模型。
2.2.1 一级倒立摆物理模型在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线型一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示：皮带轮图2.1 单级倒立摆系统物理模型2.2.2 一级倒立摆数学模型 各符号代表的意义及相关的数值：表2.1 一级倒立摆参数表参 数 参数意义 参数值 M 小车质量 1.096Kg m 摆杆质量 0.13Kg b 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m I 摆杆转动惯量 0.0034Kg*m*mf 加到小车上的力 x小车位置φ摆杆与竖直向上方向的夹角通过对系统中小车和摆杆进行受力分析，分别可得到以下运动方程：2()cos sin F M m x bx ml ml θθθθ=++-+ (2.1) 22()sin cos 2sin (sin cos )I ml mgl mlx ml θθθθθθθθ+-=++ (2.2)22222cos sin cos 2sin sin 2sin cos M m ml x F bx ml ml ml I ml mgl ml θθθθθθθθθθ+-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2.3) 2.3 二阶倒立摆数学模型2.3.1 二级倒立摆物理模型如图2.3所示为直线型二级倒立摆物理模型皮带轮图2.3二级倒立摆系统的物理模型倒立摆装置主要由沿导轨运动的小车和固定到小车上的两个摆体组成。
倒立摆_精品文档
倒立摆1. 引言倒立摆（Inverted Pendulum）是一种经典的控制理论问题，它是指一个固定在支点上的杆子上方挂着一个质点，而质点受到重力的作用下，能够垂直于杆子方向做摆动的系统。
倒立摆在控制理论和机器人领域中具有重要意义，是研究控制策略和平衡控制的经典案例。
在本文中，我们将介绍倒立摆的基本原理、数学建模方法以及控制策略。
2. 基本原理倒立摆是一个多输入多输出系统，它受到外部输入（控制力）的作用下，通过控制杆子的倾斜角度，使质点能够保持在垂直方向上平衡。
倒立摆系统的基本原理可以用以下方程描述：ml^2θ'' + mgl sin(θ) = u - bθ'其中，m是质点的质量，l是杆子的长度，θ是杆子与垂直方向的夹角，u是施加在杆子上的控制力，b是阻尼系数，g是重力加速度。
3. 数学建模方法为了对倒立摆进行控制，我们需要对其进行数学建模。
首先，我们可以把倒立摆系统分解为两个自由度：质点在杆子上的位置和杆子的角度。
然后，我们可以利用拉格朗日方程进行建模。
对于质点在杆子上的位置，拉格朗日方程可以表示为：mx'' = N - mg - mθ'^2l sin(θ) - mlθ'' cos(θ)对于杆子的角度，拉格朗日方程可以表示为：ml^2θ'' = u - bθ'将以上两个方程联立，我们可以得到完整的倒立摆系统的数学模型。
4. 控制策略为了使倒立摆保持平衡，我们需要设计合适的控制策略。
常见的控制策略包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器等。
PID控制器是一种广泛应用的控制策略，它通过调节比例、积分和微分三项来实现控制。
在倒立摆系统中，PID控制器可以通过测量杆子的角度和角速度，来调整施加在杆子上的控制力。
模糊控制器是一种基于模糊逻辑的控制策略，它通过模糊化输入和输出以及定义一系列模糊规则来实现控制。
在倒立摆系统中，模糊控制器可以根据当前的角度和角速度来确定施加在杆子上的控制力。
倒立摆
倒立摆的分类
直线倒立ห้องสมุดไป่ตู้系统
a一级倒立摆 b二级倒立摆
平面
c三级倒立摆
d四级倒立摆
环形
直线
环形倒立摆系列 平面倒立摆系列
直线倒立摆
环形倒立摆
平面倒立摆
倒立摆的特性
虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特 性：
１、非线性
２、不确定性
３、耦合性 ４、开环不稳定性 ５、约束限制
2 2 2 q ( M m)( I ml ) m l
0.02725 s 2 X ( s) 0.0102125 s 2 0.26705
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
( s)
将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
( s)
F (s)
2.35655s s 0.0883167 s 2 27.9169s 2.30942
以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：
0 x x 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 3g 4l
0 0 x 0 1 x ' 1 0 u 3 0 4l
方程中力矩的方向， 由于
2
（5） 故等式 ，cos cos , sin sin ，
前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和 N，得到第二个运动方程：
mgl sin ml cos I ml x
（6）
假设 与 1（单位是弧度）相比很小，即 1，则可进行近似处理：
倒立摆控制方法
倒立摆控制方法倒立摆是一种经典的控制系统问题，它是指一个竖直放置的杆子上面安装了一个质量集中在一点上的小球，通过控制杆子底部的电机或者其他形式的能源输入来控制小球在杆子上面做周期性运动。
倒立摆广泛应用于机器人、汽车、飞行器等领域，其控制方法也是研究自适应控制、非线性控制等领域的重要课题。
本文将介绍倒立摆的基本模型和常见的控制方法。
一、倒立摆模型1.单自由度倒立摆模型单自由度倒立摆模型是指小球只能在竖直方向上运动，并且可以忽略小球与杆子之间的滑动摩擦力和空气阻力。
这种模型可以用如下图所示的简单结构来表示：其中，m为小球质量，l为杆长，g为重力加速度，θ为小球相对竖直方向偏离角度。
2.多自由度倒立摆模型多自由度倒立摆模型是指考虑了小球与杆子之间滑动摩擦力和空气阻力等因素，可以用如下图所示的结构来表示：其中，x为小球与竖直方向的位移，θ为小球相对竖直方向偏离角度，u为输入控制量。
二、常见的倒立摆控制方法1.线性控制方法线性控制方法是指利用线性系统理论来设计控制器，使得系统能够稳定运行。
常见的线性控制方法包括PID控制器、LQR控制器等。
（1）PID控制器PID控制器是一种经典的线性反馈控制器，其输出信号由比例、积分和微分三个部分组成。
对于单自由度倒立摆模型，其PID控制器可以表示为：其中，Kp、Ki和Kd分别表示比例、积分和微分增益系数。
（2）LQR控制器LQR（Linear Quadratic Regulator）是一种基于最优化理论的线性反馈控制方法。
对于单自由度倒立摆模型，其LQR控制器可以表示为：其中，Q和R分别为状态权重矩阵和输入权重矩阵。
2.非线性控制方法非线性控制方法是指利用非线性系统理论来设计控制器，使得系统能够稳定运行。
常见的非线性控制方法包括滑模控制、自适应控制等。
（1）滑模控制滑模控制是一种基于变结构控制理论的非线性反馈控制方法，其主要思想是通过引入一个滑动面来实现系统稳定。
对于单自由度倒立摆模型，其滑模控制器可以表示为：其中，s为滑动面，sgn为符号函数。
倒立摆的概述
第一章引言1.1倒立摆系统概述1.1.1倒立摆系统所谓倒立摆，就是让摆处于倒置不稳定状态，需要人为不停地控制使其处于倒置的动态平衡的一种特殊的摆。
倒立摆系统可以抽象的看作是一种重心在上，而支点在下的控制问题，在没有外力干涉其状态的情况下，倒立摆系统很容易且很快速就能发生复杂、不可预知的变化。
因此，在相关研究领域，倒立摆是机器人技术、控制理论和计算机控制等多方面有机结合，其控制系统更是一种非常复杂的快速、多变量、非线性、强耦合、自然不稳定系统。
1.1.2倒立摆系统的分类最早的倒立摆仅仅只是单级直线型的。
随着科技的进步和控制理论的发展，人们在此基础上又进行了拓展。
现在的倒立摆系统已经又传统的直线一级倒立摆发展成很多种不同的倒立摆系统。
倒立摆的分类可以有很多种方法，根据不同的分类角度，可以分成不同形式的倒立摆。
下面，简单的介绍一下倒立摆的“家族成员”：1.倒立摆系统按照摆杆的运动形式来分可以分为以下几种：（1）直线倒立摆；（2）环形倒立摆；（3）平面倒立摆。
2.依据摆杆数目不同，可以把倒立摆系统分为有一级倒立摆、二级倒立摆、三级倒立摆和四级倒立摆，甚至还有级数更高的倒立摆。
倒立摆的级数越高，控制的难度就越大。
所以一级倒立摆通常用于控制理论的基础实验，而多级倒立摆多用于控制算法的研究；3.据多级摆杆间连接形式的不同，可以把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆；4.依据运动轨道的不同，可以把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立摆和水平轨道的倒立摆；5.依据摆杆材质的不同，可以把倒立摆系统分为刚性倒立摆和柔性倒立摆；1.1.3倒立摆的特性倒立摆系统结构样式多种多样，分类方式繁多，但不管倒立摆系统具有怎样的形式和结构，倒立摆系统都是一种复杂的快速、非线性、多变量、强耦合、自然不稳定系统。
而这些特性也是倒立摆系统控制的难点和研究热点所在。
倒立摆系统的特性如下：（1）非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。
倒立摆的发展及应用
倒立摆的发展及应用倒立摆是一种由质点和杆组成的物理模型，通过将杆绕其一端固定在支架上，使其余一端悬空自由摆动。
它是研究动力学和控制理论的重要实验工具，也是机器人自平衡控制、运动控制以及姿态控制的经典问题之一。
倒立摆的发展历史可以追溯到19世纪初期，最早的研究者是牛顿力学的先驱之一，法国科学家拉纳德（Jean-Baptiste le Rond d'Alembert）。
他在力学原理中首次提出了倒立摆的方程。
随后，很多物理学家和工程师对倒立摆问题进行了深入研究。
倒立摆由于自身简单而又富有挑战性的动力学特性，成为了控制理论的研究者们喜欢研究的对象之一。
早期的研究主要集中在理论分析与数值模拟，例如通过线性化、非线性控制理论、庞加莱映射和哈密顿函数等，来研究倒立摆在平衡点附近的稳定性和摆动特性。
随着计算机技术的发展，倒立摆的研究进一步得到推进。
使用更精确的模型和更高阶的控制算法，研究者们能够实现倒立摆在各种不同任务空间中的平衡。
倒立摆技术也得到了广泛的应用，尤其是在机器人控制领域。
机器人的自平衡控制是倒立摆应用的一个重要领域。
通过倒立摆的原理和算法，可以实现机器人在不平衡的环境中保持平衡。
倒立摆技术在机器人行业中有着广泛的应用，如服务机器人、工业机器人、人形机器人等。
这些机器人可以通过控制倒立摆来保持姿态稳定，完成各种任务，如搬运物品、执行精密操作等。
倒立摆还有一些其他的应用。
在航天器中，倒立摆可以用来对抗失重环境下的姿态变化，保持飞行器的稳定。
在汽车工业中，倒立摆技术可以用于改进悬挂系统和车辆稳定性控制。
此外，倒立摆还可以用于能量收集和转换，通过摆动转换为电能。
总之，倒立摆作为一种物理模型，通过研究其动力学和控制特性，对机器人控制、运动控制和姿态控制等领域有着重要而广泛的应用。
随着技术的进步和研究的深入，倒立摆技术将继续在各个领域发挥重要的作用。
倒立摆
目录1 绪论 (2)1.1概述 (3)1.2倒立摆简介 (3)1.3系统的设计任务及要求 (3)2 单级倒立摆的控制方案 (4)2.1 经典控制理论的方法及其特点 (4)3 软件介绍 (6)3.1 MATLAB软件简介 (6)3.2 MATLAB的指令介绍 (9)3.3 SIMULINK简介 (10)3.4 SIMULINK各模块介绍 (11)3.5 创建SIMULINK模型 (12)4 倒立摆系统的建模 (14)4.1 模型特征 (14)4.2 线性化方法 (16)4.3系统的可控性、可观测性分析 (19)5 控制器的设计及仿真 (24)5.1 控制目标 (24)5.2 PD控制器及其性能分析 (24)5.3 PID控制器及其性能分析 (28)5.4 LQR控制器及其性能分析 (35)5.5 3种控制器的比较 (36)6 小结 (38)7 致谢 (40)8 参考文献 (41)第1章绪论第1.1节概述在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，倒立摆就是这样一个被控制对象倒立摆系统是一个多变量快速，非线性和自然不稳定系统，在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题，系统的鲁棒性问题，随动问题，镇定问题及跟踪问题等。
倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉。
倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度，小车位移和稳定时间直接度量，其实验效果直观，显著。
当新的控制理论与方法出现后可以用倒立摆对其正确性和实用性加以物理验证，并对各种方法进行快捷，有效，生动的比较。
早在60 年代人们就开始了对倒立摆系统的研究1966 年Schaefer 和Cannon 应用Bang Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。
在60 年代后期，作为一个典型的不稳定，严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定，非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视。
倒立摆拉格朗日建模方法(一)
倒立摆拉格朗日建模方法(一)倒立摆拉格朗日建模介绍倒立摆是一种经典的控制系统问题，它常用于教育和研究领域。
拉格朗日建模是一种用来描述力学系统动力学的数学方法。
本文将详细介绍倒立摆的拉格朗日建模方法，包括各种方法的详细说明。
方法一：拉格朗日方程1.第一步：定义坐标系。
倒立摆通常使用极坐标系，其中θ表示摆杆的角度。
2.第二步：确定系统的势能能量。
根据重力势能的定义，势能能量可以表示为mgL(1 - cosθ)，其中m是摆杆的质量，g是重力加速度，L是摆杆的长度。
3.第三步：确定动能能量。
动能能量可以表示为2θ2，其中L是摆杆的长度。
4.第四步：应用拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以表示为d/dt(∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ = ∂V/∂θ，其中T是系统的总动能，V 是系统的总势能。
通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程。
方法二：线性化方法1.第一步：使用欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程可以表示为∑(∂L/∂qi)d q̇i = q之力 - q之耗散，其中L是拉格朗日函数，qi是系统的广义坐标，q i̇是广义速度。
2.第二步：线性化倒立摆方程。
在小角度下，可以通过将sinθ近似为θ，将cosθ近似为1来线性化倒立摆方程。
3.第三步：线性化的拉格朗日方程可以简化为M q̇ = τ - C q̇ -Gq，其中M是质量矩阵，q̇是广义加速度，τ是外部输入力矩，C是速度相关的阻尼矩阵，G是重力矩阵。
方法三：控制方法1.第一步：设计控制器。
倒立摆系统可以用PID控制器来控制。
PID控制器包括比例部分、积分部分和微分部分，可以通过调整各个部分的参数来实现系统的稳定控制。
2.第二步：实施控制。
将PID控制器的输出作为输入力矩τ，通过不断调整输入力矩来控制倒立摆的角度。
3.第三步：闭环控制。
通过实施闭环控制，将实际角度与目标角度进行比较，并根据误差调整控制器的输出，以实现系统的精确控制。
方法四：倒立摆模拟1.第一步：选择合适的模拟软件。
倒立摆基本原理
倒立摆基本原理前言倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备。
学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。
倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。
二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志上都会有大量的优秀论文出现。
第一部分倒立摆系统介绍一、倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
倒立摆简介
倒立摆简介-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN倒立摆是验证控制方法和理论的实验平台，倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案、倒立摆最初研究开始于20世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后人们又参照双足机器人控制问题研制二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。
三级倒立摆是由一、二级倒立摆演绎而来，它的实物系统控制实现已经是公认的难题。
北京航空航天大学张明廉教授领导的课题组应用“拟人智能控制理论”，于1994年8月成功地实现单电机控制的三级倒立摆。
这一成功，证实了“拟人智能控制理论”的正确性，并表明了在没有精确数学模型和不需要推理机的前提下，对一类复杂被控对象是可以控制的。
三级倒立摆控制的成功，对空间运动体的控制有直接参考价值。
北师大模糊系统与模糊信息研究中心暨复杂系统智能控制实验室采用李洪兴教授提出的“变论域自适应模糊控制”理论，成功地实现了四级倒立摆控制仿真实验，并于?2002年8月11日实现了全球首例四级倒立摆实物系统控制。
而由此项理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
各级倒立摆简介如下：1、单级摆：结构相对简单，控制相对容易，控制算法比较简单。
适合本科生实验教学。
2、二级摆：结构相对复杂，控制难度相对大，控制算法也相对复杂。
可适合于研究生实验教学需要，也可以作为专业教师研究新型的控制算法之用。
3、三级摆：结构复杂，控制难度大，控制算法复杂。
主要适于理论研究、实验仿真之用。
4、四级摆:比三级倒立摆更复杂。
主要适用于半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面。
?此前，实现的一级至四级倒立摆均为直线运动倒立摆。
倒立摆机器人系统的数学模型描述
倒立摆机器人的模型倒立摆动力学模型示意图如图1.1所示。
图1.1倒立摆动力学模型示意图表1.1 参数说明参数名称参数定义1l 主动臂的长度1c l主动臂相对于连接点到质心的距离2c l 欠驱动臂相对于连接点到质心的距离1q主动臂相对于坐标轴的角度2q 欠驱动臂相对于主动臂的角度1I 主动臂相对于质心转动惯量2I 欠驱动臂相对于质心转动惯量1m 主动臂质量2m 欠驱动臂质量g重力加速度拉格朗日动力学方程拉格朗日方程以广义坐标为自变量，通过拉格朗日函数来表示。
拉格朗日体系分析力学处理问题时以整个力学系统作为对象，用广义坐标来描述整个力学系统，着眼于能量概念。
对于机械系统，其拉格朗日函数都可以定义成该系统动能k E 和势能p E 之差，即：k pL E E =-(1.1)系统的动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示。
系统的动力学方程（第二类拉格朗日方程）为：d L Ldt qq τ∂∂=-∂∂ (1.2)由于势能不含速度项，因此动力学方程也可以写成：pk k E E E d dt q q qτ∂∂∂=-+∂∂∂ (1.3)由此可见，对于Pendubot 系统，其拉格朗日运动方程则为：()()()1,,[ 0]()()()1,2T i i i d K q q K q q P q dt q q qi τ∂∂∂-+=∂∂=∂(1.4)其中，(),K q q为Pendubot 系统的动能之和，()P q 为Pendubot 系统的势能总和。
摆臂受到的力矩为τ，只有摆臂与电机相连接的主动关节受力，而另一个关节是欠驱动的。
由于两杆均为刚体，所以摆臂的动能与势能可根据每一根杆的总质量与相对于重心的惯量来唯一确定。
欠驱动机械臂动力学模型根据式(1.4)，分析Pendubot 摆臂的动能和势能。
计算平移动能的一般表达式为22mv K =。
由上图可知，系统两个摆臂的角速度可以表示为：11212ωωqq q ==+ ， (1.5)对于系统的主动臂，其平移动能可以直接描述成以下形式：22111112c K m l q =(1.6)由于系统的势能大小与机械臂的质心位置有关系，这里可以用y 坐标来表示摆臂的其位置高度，于是势能可以直接描述为：1111 sin()c P m l g q =(1.7)对于系统的欠驱动臂，要先得到其质心位置的笛卡儿坐标表达式，然后通过微分处理得到关节角速度。
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倒立摆简介倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。
许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。
倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，其基本模块既可是一维直线运动平台或旋转运动平台，也可以是两维运动平台。
通过增加角度传感器和一节倒立摆杆，可构成直线单节倒立摆、旋转单节倒立摆或两维单节倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两节直线倒立摆和两节旋转倒立摆。
倒立摆的控制技巧和杂技运动员倒立平衡表演技巧有异曲同工之处，极富趣味性，学习自动控制课程的学生通过使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。
由于倒立摆系统机械结构简单、易于设计和制造，成本廉价，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为常见的控制教学设备。
同时由于倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象，并不断从中发掘出新的控制理论和控制方法。
因此，倒立摆系统也是进行控制理论研究的理想平台。
直线运动型倒立摆外形美观、紧凑、可靠性好。
除了为每个子系列提供模块化的实现方案外，其控制系统的软件平台采用开放式结构，使学生建立不同的模型，验证不同的控制算法，供不同层次的学生进行实验和研究。
由于采用了运动控制器和伺服电机进行实时运动控制，以及齿型带传动，固高公司的倒立摆系统还是一个典型的机电一体化教学实验平台，可以用来进行各种电机拖动、定位和速度跟踪控制实验，让学生理解和掌握机电一体化产品的部件特征和系统集成方法。
一. 系统组成及参数：倒立摆系统由水平移动的小车及由其支撑的单节倒立摆构成。
控制输入为驱动力F （N），是由拖动小车的直流伺服电机提供的；被控制量是摆杆与垂直位置方向夹角θ（rad）和小车的位移x（m）。
实际倒立摆系统的模型参数：M：小车的质量，1.096kg；m：摆杆的质量，0.109kg；b：小车的摩擦系数，0.1N/(m/sec)；L ：摆杆的中心到转轴的长度，0.25mJ：摆杆对重心的转动惯量，0.0034kg m2；T ：采样周期，0.005秒；二．设计指标：摆的角度小于0.02rad，响应时间小于1秒倒立摆系统的数学模型应用牛顿—欧拉法对倒立摆进行数学建模。
1．小车的运动方程对小车进行受力分析，如图1所示。
图中P 和N 分别表示摆杆运动在水平方向和垂直方向上对小车的作用力(N)，f v 是小车的摩擦力，等于x b &。
图1 小车的受力分析图根据牛顿定律，小车水平方向上的力平衡方程为：22t d xd M P x b F =--&(1)2．摆的运动方程摆的运动由水平方向、铅直方向以及旋转方向的运动构成。
以小车与摆的节点为坐标原点取坐标系，对摆杆进行受力分析，如图2所示。
图2 摆的受力分析图摆杆水平方向上的力平衡方程如下θθθθθθθθθθθsin cos )sin cos ()cos ()sin (2222⋅-⋅+=⋅⋅-⋅+=⋅+=+=&&&&&&&&&&&&mL mL x m L L x m L x td dmL x td d m P (2) 将式(2)代入式(1)就得到系统的第一个运动方程xb mL F ml x m M &&&&&&-⋅+=⋅++θθθθsin cos )(2 (3)摆杆垂直方向上的力平衡方程如下)sin cos ()cos (222θθθθθ⋅+⋅-==-&&&mL L td d m mg N 即)sin cos (2θθθθ⋅+⋅-=&&&mL mg N (4)由定轴转动定律：θω&&J dtd JM == 得摆杆的转矩平衡方程式为θθθ&&J PL NL =-cos sin (5)将式(2)(4)代入式(5)，约去P 和 N ，得到系统的第二个方程： θθθsin )(cos 2mgL J mL x mL =++&&&& (6) 由式(3)与式(6)联列得到一级倒立摆动力学非线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=++x b mL F mL x m M mgL J mL x mL &&&&&&&&&&θθθθθθθsin cos )(sin )(cos 22 (7) 因o 5≤θ，故可假设θθ≈sin 和1cos ≈θ，并忽略2θθ&⋅项，得倒立摆系统线性方程⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++xb F mL x m M mgL J mL x mL &&&&&&&&&θθθ)()(2 (8) 对方程(8)进行Laplac e 变换得到：())()()(222s X mLs s mgL s s J mL -=-+θθ (9)())()()()(22s F s mLs s bsX s X s m M =+++θ (10)由式(9)可得())()(22s s g mL J mL s X θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-= (11)将式(11)代入式(10)，整理得摆角的传函为：)()(s F s θ = -()()sqbmgL s q mgL m M s q JmL b s q mLs -+-++23242 (12) 其中()()222L m J mL m M q -++=。
将式(12)代入式(11)，得小车位移的传函为：()()()qbmgL s q mgL m M s q JmL b s qmgLs q J mL s F s X -+-++-+=22322)()( (13)倒立摆系统设计与仿真一．系统的开环特性将实际系统参数M =1.096、m =0.109、b =0.1、L =0.25、J =0.0034代入式(12)和式(13)，并用u 来代表被控对象的输入力，从而得到倒立摆系统的数学模型为3094.28285.27088.03566.2)()()(23--+-==s s s ss u s s G θθ (16) 3094.28285.270883.03094.28832.0)()()(232--+-==s s s s s u s X s G x (17) 当)()(t t u δ=时，对应的响应曲线如下：可见，响应发散，系统不稳定，故需要进行闭环控制系统设计。
二．系统PID 控制器设计1. 对摆杆角度的控制采用如下结构图：考虑到r (t)=0，将上面系统框图变成如下形式：图中K (s)是控制器传递函数，G θ(s)是摆角的传递函数。
将K (s)、G θ(s)分别表示如下)()()(s D s N s K k k =，)()()(s D s N s G θθθ= (18) 式中)()(s D s N k k 和分别表示K (s)的分子分母多项式，)()(s D s N θθ和分别表示G θ(s)的分子分母多项式。
则摆杆的角度为)()()()()(1)()()()()(1)()(s F s D s N s D s N s D s N s F s G s K s G s k k θθθθθθθ-=-=)()()()()()()(s F s N s N s D s D s D s N k k k θθθ-=(19)具体设计时，根据式(15)可设i p d k K s K s K s N ++=2)(、s s D k =)(， K p 、K i 和K d分别为比例、积分、微分系数，其中ipi T K K =，d p d T K K =。
由式(16)知s s N 3566.2)(-=θ、3094.28285.27088.0)(23--+=s s s s D θ。
应用试凑法仔细调节PID参数(K p 、K i 和K d )，使)()(t t f δ=时的响应满足控制指标要求。
f (t)=Frf2. 对小车位移的控制采用如下结构图：考虑到r(t)=0，将上面系统框图变成如下形式：)()()()()(1)()()()()(1)()(sFsDsNsDsNsDsNsFsGsKsGsXkkxxxθθθ-=-=)()()()()()()()()()(sFsDsNsNsDsDsDsDsDsNxkxkkxθθθ-=(20)由式(17)知3094.28832.0)(2-=ssNx,3094.28285.27088.0)(23--+=ssssDx，可见)()(sDsDx=θ，所以式(20)可简化为)()()()()()()()(sFsNsNsDsDsDsNsXkkkxθθ-=(21)具体设计时，调节PID参数，使小车的位移稳定。
三．PID参数的确定1．取K p=1000、K i=50、K d=5f(t)=F+ u(t)θ(t)r(t)=0K(s) Gθ(s)x(t)G x(s)f(t)=F+u(t)θ(t)K(s) Gθ(s)x(t)G x(s)可见系统稳定，但响应振荡强，且不满足精度要求。
2．取K p=500、K i=30、K d=10可见系统响应振荡减弱，且不满足精度要求。
3．取K p=500、K i=30、K d=50可见系统响应无振荡，且满足精度要求。
最后，根据实际情况选K p=350、K i=10、K d=50。
M=1.096。