(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法

教学过程

构造全等三角形几种方法

在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。

一、延长中线构造全等三角形

例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。

∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。

又∵∠1＝∠2，AD＝DE，

∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。

∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，

∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形

例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。

证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。如图4。

∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，

∴△ABD≌△AED（SAS）。

∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。

而∠AED＝∠C＋∠EDC，

∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。

∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。

三、作平行线构造全等三角形

例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。

证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。

则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。

∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。

∵BE＝CD，∴EM＝CD。

又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，

∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。

四、作垂线构造全等三角形

例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。

证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。

∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，

∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。

∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，

∴△ABM≌△CAF（ASA）。

∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。

∵AM＝CM，∴CF＝CM。

∵∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD，

∴△MCD≌△FCD（SAS）。所以∠F＝∠DMC。

∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。

五、沿高线翻折构造全等三角形

例5. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。

证明：把△ADC沿高AD翻折，点C落在线段DB上的E点处，即：在DB 上截取DE＝DC，连接AE。如图10。

∴△ADC≌△ADE（SAS）。AC＝AE，∠C＝∠AED。

∵∠AED＞∠B，∴∠C＞∠B。从而AB＞AC。

六、绕点旋转构造全等三角形

例6. 如图11，正方形ABCD中，∠1＝∠2，Q在DC上，P在BC上。求证：PA＝PB＋DQ。

证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABM，即：延长CB到M，使BM＝DQ，连接AM。如图12。

∴△ABM≌△ADQ（SAS）。

∴∠4＝∠2＝∠1，∠M＝∠AQD。

∵AB∥CD，∴∠AQD＝∠BAQ＝∠1＋∠3＝∠4＋∠3＝∠MAP。

∴∠M＝∠MAP。

∴PA＝PM＝PB＋BM＝PB＋DQ（因BM＝DQ）。

【课堂练习】

1、如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

2、如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.F为CD中点求证：CD=2CE

3、如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

4、已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

5、已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

6、如图，已知C为线段AB上的一点，∆ACM和∆CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：∆CEF是等边三角形。

A

B C

D

A B

C

M

N

E

F

1

2

7、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF

8、如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．

求证： CG AE ；

9、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．

求证：BD ＝CG ．

A E

B M C

F

10、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE

11、

已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2

12、 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE

13、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

F

E

D

C

B A A

B C D E

F 2 1