(整理)重积分的应用

第四节 重积分的应用1求半径为a 的球的表面积。

解 取上半球面方程为z=222y x a --，则它在x0y 面上的投影区域D=(){}222,a y x y x ≤+。

由x z ∂∂=222y x a x --- , x z ∂∂=222yx a y--- 得221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a ---因为这函数在闭区域D 上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。

所以先取区域D 1=(){}222,b y x y x ≤+(0<b<a)为积分区域，算出相应于D 1上的球面面积A 1后，令b →a 取A 1的极限○1就得半球面的面积。

A 1=dxdy yx a a D 2221--⎰⎰利用极坐标，得 A 1=θρρρd d a a D 221-⎰⎰=⎰⎰-πρρρθ2022ba d d a=⎰-ba d a 0222ρρρπ=2()22b a a a --π于是 ()222122lim lim a b a a a A ab a b ππ=--=→→ 这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为 A 24a π=2,设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为h=3600km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同。

试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径R=6400km ）解 取低心为坐标原点，低心到通讯卫星中心的连线为z 轴，建立坐标系，如图9-40所示。

通讯卫星覆盖的曲面∑是上半球面被半顶角为a 的圆锥面所截得的部分。

的方程为⎰⎰⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xyD Dxydxdyyy x R Rdxdy y z x z A 222221其中∑是曲面在xOy 面上的投影区域，(){}α2222sin ,R y x y x D xy ≤+= 利用极坐标 得()απρρρπρρρθπααc o s 122220s i ns i n2222-=-=-=⎰⎰⎰R d R R d R R d A R R由于hR R+=αcos ，代入上式 得 hR h R h R R R A +∙=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22212ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为()()5.42104.6362103624662≈∙+∙=+=h R h RA π% 又以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔π32角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面。

3．求位于两圆θρsin 2=和θρsin 4=之间的均匀薄片的质心（图9-41） 解 因为闭区域D 对称于y 轴，所以质心C ()y x ,必位于y 轴上，于是0=x 再按公式 ⎰⎰=Dyd A y σ1计算y 。

由于闭区域D 位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A π3=。

再利用极坐标计算积分：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====DDd d d d d yd πθθππθθρρθθθρθρσ0sin 4sin 204227sin 356sin sin 因此 3737==ππy 所求质心是C ⎪⎭⎫ ⎝⎛37,0类似的，占有空间有界闭区域Ω、在点()z y x ,,处的密度为()z y x ,,ρ（假定()z y x ,,ρ在上Ω连续）的物体的质心坐标是()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ===dv z y x z Mz dv z y My dv z y x x Mx ,,1,1,,,1ρρρ其中 ()⎰⎰⎰Ω=dv z y x M ,,ρ4．求军于半球体的质心。

解 取半球体的对称轴为z 轴，原点取在球心上，又设求半径为a ，则半球体所占空间闭区域(){}0,,,2222≥≤++=Ωz a z y x z y x 显然，质心在z 轴上，故0==y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==zdv Vdv z Mz 11ρ其中332a V π=为半球体的体积442sin 2sin cos sin cos 44022202032a a drr d d d drd rr zdv πϕπϕϕϕθθϕϕϕπππ=∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙==∙=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ因此，a z 83=，质心为⎪⎭⎫⎝⎛a 83,0,05．求半径为a 的均匀半圆薄片（面密度为常量μ）对于其直径边的转动惯量。

解 取坐标系如图9-42所示，则薄片所占闭区域 (){}0,,222≥≤+=y a y x y x D而所求转动惯量即半圆薄片对于x 轴的转动惯量x I 。

24002402323241241sin 4sin sin Ma a d a d d d d d y I aDDx =∙=∙====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πμθθμρθρθμθρθρμσμππ其中μπ221a M =为半圆薄片的质量。

类似的，占有空间有界闭区域Ω，在点处的密度为()z y x ,,ρ（假定()z y x ,,ρ在上Ω连续）的物体对于x ，y ，z 轴的转动惯量为()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=ΩΩdvz y x y x I dv z y x z x I dvz y x z y I z y x ,,,,,,222222ρρρ6．求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量。

解 取球心为坐标原点，z 轴与轴l 重合，又设求的半径为a ，则球体所占空间闭区域(){}2222,,a z y x z y x ≤++=Ω 所求转动惯量即球体对于z 轴的转动惯量为()()Ma a d a drr d d d drd r d drd r r r dvy x I az 25035204334222222222523452sin 52sin sin sin sin sin cos sin =∙=∙∙===+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩρπϕϕπρϕϕθρθϕϕρθϕϕθϕθϕρρπππ其中ρπ334a M =为球体的质量。

7．设半径为R 的匀质球占有空间闭区域(){}2222,,R z y x z y x ≤++=Ω。

求它对位于()()R a a M >,0,00处的单位质量的质点的引力。

解 设球的密度为0ρ，由球体的对称性及质量分布的均匀性知，所求引力沿z 轴的分量为()[]()()[]()()[]()()220323022022020023220232220232221343222221222112222222aMG a R G a R R R G a az R d a z a R G dz a az R za a z G a z d d dz a z G a z y xdxdydz a z G dv a z y xaz G F R R RR RRz R RRz R y x Z -=∙∙-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=-+-=-++-=-++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------≤+Ωρπρπρπρπρρρθρρρπ其中0334ρπR M =为球的质量。

上述结果表明：均匀球对球外一点的如同球的质量集中于球心时两质点间的引力。

第五节第六节 含参数变量的积分1． 设()()dy yxy x x x ⎰=2sin φ，求()x ,φ解 应用尼茨公式，得()()()xxx x x x x x x x x x dy xy x x xy x xx x2323223,sin 2sin 3sin sin 21sin 2sin cos sin 22-=-+=∙-∙+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰φ2． 求()b a dx xx x I ab <<-=⎰0,ln 1解 因为⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==xx x ydy x ab bay x x ln ln 所以 ⎰⎰=ba y dy x dx I 1这里函数()y x y x f =,在矩形R [][]b a ,1,0⨯=上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有11ln 111111++=+=+==⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰a b dy y dy y dx x dy I bababayy x3．4． 计算定积分()⎰++=1211ln dx x x I解 考虑含参变α的积分所确定的函数()()⎰++=1211ln dx x x ααϕ 显然，()()I ==1,00ϕα。

根据公式（4） 得 ()()()⎰++=102,11dx xx xααϕ把被积函数分解为部分公式 得到 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-+=++22221111111x x x x x x ααααα 于是()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙+++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-+=⎰⎰⎰42ln 211ln 11111112101010222,πααααααααϕx dx x xdxx dx上式在[]1,0上对α积分 得到()()()⎰⎰⎰++++++-=-1010102221412ln 2111ln 01αααπαααααϕϕd d d即 I=2ln 422ln 4422ln πππ+-=∙+∙+-I I 从而 I 2ln 8π=。