均值定理专题归纳与训练.doc
(完整word版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
2.利用均值定理求最值
4x 9 y 当且仅当 , 即x =15 , y=10时,x+y取 y x
得最小值25.
题型二:配凑定值, 求最值 2 x 7 x 10 1.设x＞0，则函数 y 的最小 x 值是 2 10 7 .
10 x 6 x 10 2.函数 y 的最小值是 3
x3
.
注意验证等号能否成立!
恒成立，则a的取值范围是__________.
1 1 (2010’四川)设a>b>0，则 a ab a(a b )
2
的最小值是(
A.1 B.2
)
C.3 D.4
题型三:两数和与积同时出现的题目
1.若正数a、b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范
围是___________. [6, ) 2.(2010’浙江)若正实数x,y满足xy=2x+y+6，则
18 xy的最小值是__________.
3.(07’北京)如果正数a，b，c，d 满足 a+b=cd=4，那么（ A ） Ａ．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值唯一 Ｂ．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值唯一 Ｃ．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值不唯一 Ｄ．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值不唯一
∴ x+y的最小值为24.
此 解 法 是 否 正 确
多次利用均值定理时,不要忽视“相等”
4 9 3.已知正数x、y满足 1 ,求x+y的最小值. y x
正解：
4 9 x y ( x y )( ) y x 4x 9 y 13 y x 4x 9 y 2 13 25 y x
均值定理例题
均值定理例题
（原创实用版）
目录
1.均值定理的概念和定义
2.均值定理的性质和特点
3.均值定理的例题解析
4.均值定理的应用领域和实际意义
正文
【均值定理的概念和定义】
均值定理，是概率论中的一个重要定理，主要用于计算离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望。
均值定理给出了随机变量的期望值与其概率密度之间的关系，是概率论中重要的理论工具。
【均值定理的性质和特点】
均值定理的性质主要有以下几点：
1.对于任意的实数 x，随机变量 X 的数学期望 E(X) 满足 E(X)≤x。
2.对于任意的实数 x，随机变量-X 的数学期望 E(-X) 满足 E(-X)
≤-x。
3.随机变量 X 的数学期望 E(X) 与-X 的数学期望 E(-X) 满足
E(X)+E(-X)=0。
【均值定理的例题解析】
例题：设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，求 E(X)。
解：由均值定理，E(X)=∫xf(x)dx（负无穷到正无穷）。
【均值定理的应用领域和实际意义】
均值定理在概率论中有着广泛的应用，它是计算随机变量期望的重要工具，也是研究随机过程，随机分析的基础。
均值定理练习
⒈⑴y＝x2＋3x＋1x(x＞0)的最小值；⑵y＝2－x－4x(x＞0)的最大值；⑶f(x)＝x＋4x－2(x＞2)的最小值；⑷y＝14－x－x(x＞4)的最大值；⑸y＝2x＋1x－3(x＞3)的最小值；⑹y＝x2－4x＋52x－4(x≥52)的最小值⒉⑴当0＜x＜4时，求y＝x(8－2x)的最大值。
⑵已知：0＜x＜2，求y＝x(2－x)的最大值，并求出此时的x的值。
⑶求y＝3x(8－3x)(0＜x＜2)的最大值⑷求y＝4x(3－2x)( 0＜x＜32)的最大值⒊⑴正数x、y,4x ＋9y＝1,求x·y的最大值⑵正数x、y,8x＋1y＝1,求x＋2y的最小值⑶正数x，y有x＋2y＝1，求1x ＋1y的最小值.⒋已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值．⒌已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值是()⒍设x＋3y＝2，求函数z＝3x＋27y的最小值是() 6⒎求y＝2x＋2－x的最小值.⒏设x＞1，y＞1，且lg(xy)＝4，求lgx·lgy的最大值为________．*⒐设x＞0，y＞0，x＋y＝1,求log2x＋log2y的最大值⒑若a ＞b ＞1，P ＝lgalgb ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则A .R ＜P ＜QB .P ＜Q ＜RC .Q ＜P ＜R D.P ＜R ＜Q例1（1）已知0＜x ＜13，求函数y =x (1－3x )的最大值;（2）求函数y =x ＋1x 的值域.1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋81x 2的值最小?最小值是多少?4.x +3y -2=0，则3x +27y +1的最小值为 ( ) A.7 B.339 C.1+2 2D.5 变式训练1当x ＞-1时，求f (x)=x+1x ＋1的最小值. 变式训练2求函数f (x)=x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值. 例3求f (x )=3+lgx +4lgx 的最小值（0＜x ＜1）.变式训练1已知x ＜54，求函数y=4x －2+14x －5的最大值.变式训练2当x ＜32时，求函数y=x+82x －3的最大值. 例2已知x ＞0,y ＞0，且1x +9y =1，求x+y 的最小值.1.已知a ＞0,b ＞0，1a +3b =1，则a +2b 的最小值为( ) A.7+2 6B.2 3C.7+2 3D.141a ＋1b ＝1,求a ＋b 的最小值 a ＋b ＝2,求1a ＋1b 的最小值 a ＋b ＝1,求8a ＋2b 的最小值。
均值不等式知识点及练习（二）
均值不等式知识点及练习（二）均值不等式专题练习一、知识点回顾1、重要不等式：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”号）2、定理：如果b a ,都是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”号）评述：1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称2b a +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3、均值不等式的一些变形式⑴整式形式：2,2222b a ab b a ab +≤??+≤ ⑵根式形式：ab b a 2≥+ ⑶分式形式：2,0,≥+>∈x y y x xy R y x 则且⑷倒数形式：21,≥+∈+aa R a 则二、习题训练（一）选择题1.当x>1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．(－∞,2]B ．[2,+∞)C ．[3,+∞)D ．(－∞,3]2.已知正整数b a ,满足304＝＋b a ，使得b a 11+取最小值时，则实数对（),b a 是（）A ．(5，10）B ．（6，6）C ．（10，5）D ．（7，2）3.若0,0>>b a 且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是（）A ．211>ab B ．111≤+b a C ．2≥ab D ．81122≤+ba4.已知圆()2212x y +-=上任一点P (),x y ，其坐标均使得不等式x y m ++≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）（A ）[)1,+∞（B ）(],1-∞（C ）[)3,-+∞(D)(],3-∞-5.已知a,b 为正实数，且b a b a 11,12+=+则的最小值为（） A ．24B ．6C ．3－22D ．3+226.若yx y x y x 21,14,0,0+=+>>则且的最小值为（） A ．9B ．28C ．249+D ．247.已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为 A.2 B.4 C.6D.88.已知且,0b a <<直线022=+-by ax 始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，下列不等式正确的是（）A ．1log 2>aB ．2log log 22->+b aC ．0)(log 2<-a bD ．1)(log 2<+b a a b9若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为 A ．14B ．12C ．2D ．410设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 1411.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（）A ．18 B. 6 C. 32 D. 24312.已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4C. 92D. 112（二）填空题13若对任意0x >，231x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是_____14.已知t o >,则函数2t 41t y t -+=的最小值为 ___________15若x ≥0，y ≥0，且x+2y=1，则2x 2+3y 2的最小值是___________16已知函数)10(31≠>-=+a a a y x 且的图象恒过定点A ，且点A 在直线01=++ny mx 上，若0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为 ______________. 17.当)2,1(∈x 时，不等式042 <++mx x 恒成立，则m 的取值范围是。
高三文理科第一轮总复习讲义：16.均值定理(讲义+习题)
1 ab ) ， r ( f (a ) f (b)) ，则下列关系 2 2
1 ） 。 2
第 3 页 共 3 页
【一轮复习】16．均值定理 【知识要点归纳】 1.均值定理
2.常见化简方法
3.对勾函数
【经典例题】 例 1： （1）证明： lg x log x 10 2
( x 1)
（2）证明：若 a b 1
则 ab
1 4
例 2：求函数的最值 y = x +
1 ( x ³ 0) x +1
第 1 页 共 3 页
a a 1 2 x ≥ 2 2x 2 a 2 1 a ，所以选 A x x 8
3.已知 a 0, b 0 ，则 A．2
1 1 2 ab 的最小值是（ a b
C．4 D．5
）
B． 2 2
答案： C， 因为
Байду номын сангаас
1 1 1 1 1 1 1 2 ab 2 2 ab 2( ab ， ab ) 4 当且仅当 ， 且 即 a=b=1 a b ab ab ab a b
C． y e 2e
D． y log 2 x 2 log x 2
第 2 页 共 3 页
答案：C 2． “ a
a 1 ”是“对任意的正数 x ， 2 x ≥ 1 ”的（ x 8
B．必要不充分条件
）
A．充分不必要条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A，
a
a 1 1 a 1 2x 2x 2 2x 1 ， 另 一 方 面 对 任 意 正 数 x ， 2 x ≥1 只 要 x 8x 8x x 8
均值定理专题归纳
基本不等式一、基础知识：1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. 22222ab a b a b ab a b ++≤≤≤+ （当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”二、简单应用：例1、求下列函数的值域 (1) 22132y x x =+（2）1y x x=+练：若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 三、常用方法1、 凑例2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.例3、当时，求(82)y x x =-的最大值.练：（1）203x <<，求函数(23)y x x =-的最大值.（2）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.2、整体代换“1”例4、已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。
练：（1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求11x y+的最小值( 2 ) 已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值4、换元 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.练：设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 .四、综合练习1、已知,x y 为正实数，且2212y x +=，求21x y +的最大值.2、已知,a b 为正实数，230b ab a ++=，求函数1y ab=的最小值.3、已知0,0,()1a b ab a b >>-+=，求a b +的最小值。
4、已知,x y 为正实数，3210x y +=，求函数32w x y =+的最大值.5、求函数152152()22y x x x =-+-<<的最大值。
2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习(含答案解析)
2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习（含答案解析）知识梳理1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值． 2．均值不等式 如果,a b都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。
二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定 三等：必须验证等号成立的条件。
4.均值不等式相关拓展推式：（12112a b a b++（2）ab b a 222≥+（3）)0(21>≥+a a a（4）()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一 均值不等式的内容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．12x x+≥B．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =−≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +−=−≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D变式1-1．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y +且仅当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．变式1-2．已知0x >，0y >，则下列式子一定成立的是（ ）A2+≥x yB ．2+≥x y C ．2≥+xy x y D 22≥+x y 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，由基本不等式可得2x y+≥A 错； 对于B 选项，因为222x y xy +≥，所以()()2222222x y x y xy x y +≥++=+，所以，22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2+x y，B 错；对于C 选项，因为0x >，0y >，由基本不等式可得x y+≥=，2xyx y≥+，C 错； 对于D 选项，因为222x y xy +≥，()()2222x y x y +≥+，由不等式的性质可得()()2222x y xy x y ≥++，则(22x y x y +≥+22≥+x y，D 对. 故选：D.变式1-3．对于0s <，0t <，下列不等式中不成立的是（ ） A ．11s t+≥B ．2st t s+≥C ．22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A ，令a ＝－1s ， b ＝－1t，则1s ＋1t＝－a －b ＝－(a ＋b )≤－s t =取等号，不成立；对于B ，st >0,t s >0，所以s t ＋ts≥2，当且仅当s t =取等号，成立；对于C ，st ＝(－s )(－t )≤2222s t s t −−+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当s t =取等号，成立；对于D ，22222222124422s t s t st s t s t st +++++⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当s t =取等号，成立． 故选：A变式1-4．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A ．2a b +B 2a b +C2a b + D 2a b + 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+， 而222()24a b a b ++−＝2()4a b −＞0，∴2a b +故选：B题型战法二 均值不等式的简单应用典例2．若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为0a >，0b >且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时取等号；故选：A变式2-1．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．5 C ．32D ．52【答案】D 【解析】 【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为2510a b +=≥52ab ≤，当且仅当5,12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值为52. 故选：D变式2-2．已知0a >，0b >，2a b +=，则lg lg a b +的最大值为（ ） A ．0 B ．13C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：2lg lg lg lg 2a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭. 【详解】∵0a >，0b >，2a b +=，∴2lg lg lg lg 02a b a b ab +⎛⎫+=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝1时，取等号.故选：A.变式2-3．设0a >，0b >，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a b +的最小值为（ ） A．1 B ．2 C ．4 D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出1ab =，再利用基本不等式求解. 【详解】解：因为lg a 和lg b 的等差中项是0，所以lg lg lg()0,1a b ab ab +==∴=，所以2a b +≥=，当且仅当1a b ==时取等号. 所以a b +的最小值为2. 故选：B变式2-4．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（ ）A ．27B ．C ．12D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为0x >，0y >，23x y +=，则29333x y x y +=+≥当且仅当232x y ==时，等号成立，因此，93x y +的最小值为故选：D.题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用典例3．已知正数a ，b 满足222a b +=，则下列结论错误．．的是（ ）． A ．1ab ≤ B ．2a b +≤C 2D ．112ab+≤【答案】D 【解析】 【分析】A 、B 、C 选项结合均值不等式证明即可，D 选项举出反例即可说明错误. 【详解】A ：222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，又因为222a b +=，所以22ab ≥，即1ab ≤，故A 正确；B ：()2222224a b a b ab ab +=++=+≤，当且仅当a b =时，等号成立，因为0,0a b >>，所以2a b +≤，故B 正确；C 2224a b =++≤+=，当且仅当a b =时，等号成立，2，故C 正确；D ：若1,2a b ==，则112a b +>，故D 错误；故选：D.变式3-1．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．112ab > B ．228a b +≥ C 2≥ D ．111a b+≤【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意0,0a b >>，且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，所以114ab ≥，所以A 选项错误. ()22221628a b a b ab ab +=+−=−≥，所以B 选项正确.2=，所以C 选项错误1141a b a b ab ab++==≥，所以D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 变式3-2．若0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2212a b +≤ B 12C ．14ab≥ D ．114a b+≤【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件利用基本不等式分析判断即可 【详解】因为0a>，0b>，且1a b+=，所以1a b=+≥12，当且仅当12a b==时取等号，所以B错误，12，得14ab≤，所以14ab≥，当且仅当12a b==时取等号，所以C正确，所以22211()212122a b a b ab ab+=+−=−≥−=，当且仅当12a b==时取等号，所以A错误，由0a>，0b>，且1a b+=，得()1111224b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⎝=⎪⎭，当且仅当12a b==时取等号，所以D错误，故选：C变式3-3．已知A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用．由0,0a b≥≥,且2a b+=，∴222224()22()a b a b ab a b=+=++≤+，∴222a b+≥．变式3-4．已知0a>，0b>，4a+=，则下列各式中正确的是（）A．11a b+≤14B．11a b+>1 C 2 D．1ab≥1【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.【详解】当2a b==时，111a b+=，所以AB选项错误，同时1114ab=<，所以D选项错误.对于C4222a b+==，当且仅当2a b==时等号成立.所以C 选项正确. 故选：C题型战法四 均值不等式“1”的妙用典例4．已知0x >，0y >，21x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A．3+B ．12 C ．8+D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，所以()112233y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2y xx y =，即21,2x y ==时，等号成立. 故选：A.变式4-1．已知正数a ，b 满足1b +=，则19ab+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．20【答案】C 【解析】 【分析】运用的“1的妙用”和基本不等式即可求解. 【详解】 由已知条件得()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1016≥=， 当且仅当9b a a b =，1a b +=时，即14a =，34b =时等号成立. 故选：C .变式4-2．若正实数x ，y 满足12+=y x ，则4x y+的最小值是（ ） A ．4 B ．92C ．5D ．9【答案】B 【解析】 【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：因为x ，y 是正实数，所以0xy >故有(41141419552222x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4xy xy =，即32x =，43y =时取到等号. 故选：B.变式4-3．已知0x >，0y >，且420x y xy +−=，则2x y +的最小值为（ ）A ．16 B ．8+C ．12 D ．6+【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241xy +=，乘“1”得24822(2)8816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A变式4-4．设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95【答案】B 【解析】将2m n +=拼凑为11144m n +++=，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可. 【详解】 ∵2m n +=，∴()()114m n +++=，即11144m n +++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++54≥94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立.故选：B .题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别典例5．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x +… B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4C ．当0x >2D ．当0ab ≠时，2baa b+…【答案】C 【解析】 【分析】A 选项：取特值，当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，由此可判断； B 选项：当sin 1x =时，4sin 5sin x x+=，由此可判断；CD 选项：取特值1a =，1b =−计算可判断.解：A 选项：当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，故A 错误； B 选项：当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin (0,1]x ∈，∴当sin 1x =时，4sin 5sin x x +=，故B 错误；C选项：当0x >0>，2，1时，取等号，故C 正确；D 选项：当1a =，1b =−时，0ab ≠，2b a a b+=−，故D 错误. 故选：C.变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．44x x+≥ B ．1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D ．222x x −+≥【答案】D 【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，取2x =−，则44x x+=−<，故A 错. 对于B ，取1x e −=，则1ln 22ln x x+=−<，故B 错..对于C ，取1a b ==−112a b+=>−=，故C 错.对于D ，由基本不等式可得222x x −+≥=，当且仅当0x =时等号成立， 故选：D.变式5-2．已知函数()4(0)f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4−D ．()f x 有最大值4− 【答案】D 【解析】根据基本不等式即可求出． 【详解】解：0x <Q ，0x ∴−>，()()44f x x x x x ⎡⎤∴=+=−−+⎢⎥−⎣⎦4≤−−， 当且仅当()4x x −=−，即2x =−时取等号，()f x ∴有最大值4−.故选：D ．变式5-3．若12x −<<，则12x x +−的（ ） A ．最小值为0 B ．最大值为4 C ．最小值为4 D ．最大值为0【答案】D 【解析】 【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解 【详解】因为12x −<<，所以20x −<，则11222022x x x x ⎛⎫+=−−+≤−= ⎪−−⎝⎭， 当且仅当122x x−=−，即1x =时取等号，此时取得最大值0， 故选：D ．变式5-4．已知1≥x 时，函数4y x x=+的最小值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】根据基本不等式，即可求出函数的最小值. 【详解】当1≥x 时，44y x x =+≥=， 当且仅当4x x=，即2x =时，等号成立. 故选：C.【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.题型战法六 分式最值问题典例6．已知52x ≥，则()2452x x f x x −+=−有A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】 【详解】依题意()122f x x x =−+−，类比对钩函数1y x x =+的性质可知，当122x x −=−，即3x =时，函数取得最小值为2.点睛：本题主要考查分离常数法，考查对钩函数的性质.对于分子分母都有x 的式子，可以采用分离常数的方法，将分子变简单.对钩函数1y x x=+在区间()0,1上递减，在()1,+∞上递增，而函数()122f x x x =−+−是由1y x x=+函数图像整体向右平移两个单位所得，故3x =时，函数取得最小值为2.变式6-1．若0x <，则231x x +−的最大值是（ ）A ．2B ．2−C ．4D ．4−【答案】B 【解析】 【分析】将所求的代数式整理为223(1)2(1)4412111x x x x x x x +−+−+==−++−−−，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为0x <，所以10x −>()()2212143412111x x x x x x x −+−++==−++−−− 412221x x ⎛⎫=−−++≤−=− ⎪−⎝⎭， 当且仅当411x x−=−，即1x =−时，等号成立， 故选：B.变式6-2．若11x −<< ，则22222x x y x −+=−有（ ）A ．最大值1−B ．最小值1−C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x −<<，则012x <−<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x −+=−⋅=−−+≤−⋅=−−−，当且仅当111x x−=−，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x −+=−有最大值1−.故选：A变式6-3．设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2C ．1D ．3【答案】C 【解析】 【分析】计算得出143xy x y z y x=+−，利用基本不等式可求得xyz的最大值.【详解】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则2243z x xy y =−+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=−++−，当且仅当20y x =>时取等号. 故xyz的最大值为1. 故选：C.变式6-4．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz−的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】由2221x y z ++=可得出22212z x y xy −=+≥，利用不等式的性质结合基本不等式可求得58xyz−的最小值. 【详解】2221x y z ++=，22212z x y xy ∴−=+≥，()225854254141xy xy z z ∴−=−⨯≥−−=+，由于x 、y 、z均为正数，则25841144xy z z z z z −+≥=+≥=， 当且仅当0140x y z z =>⎧⎪⎨=>⎪⎩时，即当12x y z ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，58xyz−的最小值是4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.题型战法七 均值不等式的综合应用典例7．已知直线()100ax by ab +−=>过圆()()22122022x y −+−=的圆心，则11a b+的最小值为（ ） A．3+B ．3−C ．6 D ．9【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得21a b +=，由()11112a b a b a b⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心()1,2；直线()100ax by ab +−=>过圆的圆心，()210a b ab ∴+=>；()111122333a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），11a b∴+的最小值为3+故选：A.变式7-1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =−，当角A取最大值时，则sin C =（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得()22234a b c =−，结合余弦定理可得cos A ,角A 最大，即有2292a c = ，由此化简222cos 2a b c C ab +−==答案. 【详解】由题意得，()22234a b c =−， 故()222222374cos 28b c b c b c A bc bc +−−+==227b c =时取等号，即(0,),cos A A π∈=,角A 最大,此时2292a c =，故2229712cos 322a b c C ab +−+−== 而(0,)C π∈,所以sin C = 故选：B ．变式7-2．等比数列{}n a 的各项都是正数，等差数列{}n b 满足98b a =，则（ ） A ．313612a a b b +>+ B ．313612a a b b +≥+ C ．313612a a b b +≠+ D ．大小不定 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项、等差中项，结合基本不等式求解. 【详解】因为数列{}n a 是各项都为正数的等比数列， 所以3813,,a a a 成等比数列，所以31382+≥=a a a ， 又数列{}n b 是等差数列， 所以6912,,b b b 成等差数列， 所以61292+=b b b ， 又因为98b a =， 所以313612a a b b +≥+， 故选：B 变式7-3．函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1【答案】B【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式将函数解析式构造为可以使用基本不等式的形式即可利用基本不等式求其最小值． 【详解】∵22211cos22cos 1112cos 2cos y x x x x =+=+−≥=， 当且仅当2212cos 2cos x x=，即21cos 2x =时取等号﹒故选：B ．变式7-4．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ−的最小值是（ ）A ．21B ．4C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定,λμ的关系，即31144λμ+=，可得134λλμλ−=+−，再利用基本不等式求最值即可．【详解】由条件可得()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+， ∵,,0,0AM AB AN AC λμλμ==>>， ∴3144AD AM AN λμ=+， 因为,,M D N 三点共线，∴311 44λμ+=，∴134μλ=−，∵130,0,40λμμλ>>=−>，∴34λ>，则133444λλλμλλ⎛⎫−=−−=+−≥⎪⎝⎭；当且仅当3λλ=，即λ=故1λμ−的最小值是4；故选：C．。
均值定理(一)
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
均值定理9大题型总结陈剑
均值定理9大题型总结陈剑一、概述均值定理是微积分中的重要概念之一，它是导数与积分之间的桥梁。
均值定理的核心思想是通过求取函数在某个区间上的平均值，来推导函数在该区间内某一点的特殊性质。
本文将对均值定理的9大题型进行总结和探讨，以帮助读者更好地理解和应用均值定理。
二、均值定理的基本概念在探讨均值定理的九大题型之前，我们首先需要了解均值定理的基本概念。
均值定理主要包括三个基本定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这三个定理都是基于函数在某个区间上的平均值来推导函数在该区间内某一点的性质。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理中最基本也是最常用的一个定理。
它表明，如果函数在某个区间上连续且可导，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该点的导数等于函数在整个区间上的平均斜率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广。
它表明，如果两个函数在某个区间上连续且可导，并且其中一个函数在该区间内不为零，那么在这个区间内一定存在一个点，使得两个函数的导数之比等于两个函数在整个区间上的函数值之比。
3. 罗尔中值定理罗尔中值定理是均值定理中的另一个重要定理。
它表明，如果函数在某个区间上连续且可导，并且在该区间的两个端点上取到相同的函数值，那么在这个区间内一定存在一个点，使得该点的导数等于零。
三、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理是均值定理中最常用的一个定理，它可以应用于求解函数的极值、判断函数的单调性等问题。
1. 求解函数的极值通过拉格朗日中值定理，我们可以将函数的极值问题转化为导数的问题。
具体步骤如下： 1. 求出函数在给定区间上的导数； 2. 列出导数的表达式，并令导数等于零； 3. 解方程，求出导数为零的解； 4. 将解代入原函数，求出对应的函数值；5. 比较函数值，得出极值。
通过拉格朗日中值定理，我们可以判断函数在给定区间上的单调性。
具体步骤如下：1. 求出函数在给定区间上的导数； 2. 列出导数的表达式，并求出导数的符号变化区间； 3. 根据导数的符号变化，得出函数的单调性。
高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解
1 高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理一、选择题1在下列各函数中， 最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4e x －2 2已知x >0， y >0， 且2x ＋1y＝1， 若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥4或m ≤－2 B ．m ≥2或m ≤－4 C ．－2<m <4 D ．－4<m <2(理)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5， 若存在两项a m ， a n 使得a m a n ＝4a 1， 则1m ＋4n 的最小值为( )A.32 B.53 C.256D ．不存 3“a ＝14”是“对任意的正数x ， 均有x ＋a x≥1”的( ) A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4设a ， b ∈R ， 则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件5．若a >0， b >0， a ， b 的等差中项是12， 且α＝a ＋1a ， β＝b ＋1b， 则α＋β的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．56若直线2ax －by ＋2＝0(a >0， b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4， 则1a ＋1b的最小值是( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(理)半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点， AB ， AC ， AD 两两互相垂直， 则△ABC 、△ACD 、△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( )A ．8B ．16C ．32D ．647(文)已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距， 则b ＋c a的取值范围是( ) A ．(1， ＋∞) B ．(2， ＋∞)C ．(1， 2) D ．(1， 2](理)已知F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0， b >0)的左、右焦点， P 为双曲线右支上的任意一点， 若|PF 1|2|PF 2|的值为8a ， 则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1， ＋∞) B ．(1,2] C ．(1， 3] D ．(1,3]8已知a ， b ∈R ＋， a ＋b ＝1， M ＝2a ＋2b ， 则M 的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．49已知全集R ， 集合E ＝{x |b <x <a ＋b 2}， F ＝{x |ab <x <a }， M ＝{x |b <x ≤ab }， 若a >b >0， 则集合M 等于( )A ．E ∩F B ．E ∪F C ．E ∩(∁R F ) D ．(∁R E )∩F2 10已知△ABC 中， 点D 是BC 的中点， 过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ>0)， AC →＝μAF →(μ>0)， 则1λ＋4μ的最小值是( )A9 B.72 C5 D.92(理)如图在等腰直角△ABC 中， 点P 是斜边BC 的中点， 过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ， 若AB →＝mAM →， AC →＝nAN →， 则mn 的最大值为( )A.12B ．1C ．2D ．3二、填空题 11已知b >0， 直线b 2x ＋y ＋1＝0与ax －(b 2＋4)y ＋2＝0互相垂直， 则ab 的最小值为________．14设M 是△ABC 内一点， 且AB →·AC →＝23， ∠BAC ＝30°， 定义f (M )＝(m ， n ， p )， 其中m ， n ， p 分别是△MBC ， △MCA ， △MAB 的面积．若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ， 则1x ＋4y 的最小值是________设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ， B ， 则AB 的最小值为______．12已知t >0， 则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 已知三个函数y ＝2x ， y ＝x 2， y ＝8x 的图象都过点A ， 且点A 在直线x m ＋y 2n＝1(m >0， n >0)上， 则log 2m ＋log 2n 的最小值为________．已知x >0， y >0， lg2x ＋lg8y ＝lg2， 则xy 的最大值是___三、解答题15．已知α、β都是锐角， 且sin β＝sin αcos(α＋β)．(1)当α＋β＝π4， 求tan β的值；(2)当tan β取最大值时， 求tan(α＋β)的值．16．如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内以活活被整死；堂堂大元帅受辱骂；……这哪里还有什么尊重可言！3、用在设问句后。
均值定理练习题
均值定理练习题一、选择题1. 均值定理，又称为算术平均数定理，是关于一个数列的哪一项与该数列的算术平均数的关系？A. 第一项B. 中项C. 最后一项D. 任意一项2. 对于一个包含n个数的数列，若数列中存在一个数a，使得a等于数列的算术平均数，那么a是数列的：A. 唯一中项B. 唯一最大项C. 唯一最小项D. 任意一项3. 如果一个数列的中项是a，数列的算术平均数是b，那么a和b的关系是：A. a > bB. a < bC. a = bD. 无法确定4. 一个数列的算术平均数是50，数列中包含10个数，那么数列的总和是：A. 450B. 500C. 550D. 6005. 如果一个数列的中项是25，且数列的算术平均数也是25，那么这个数列：A. 包含2个数B. 包含3个数C. 包含5个数D. 包含10个数二、填空题6. 若数列{a_n}的第k项是a_k，且a_k是数列的中项，那么数列的算术平均数A可以表示为A = _______。
7. 对于一个包含奇数个数的数列，其中项的值等于数列的_______。
8. 如果一个数列的算术平均数是40，且数列中包含15个数，那么数列的第8项（中项）的值是_______。
9. 一个数列中，如果所有数都相等，那么这个数列的中项和算术平均数的值是_______。
10. 若数列{a_n}的算术平均数是30，且数列中包含20个数，那么数列的总和是_______。
三、计算题11. 给定数列：2, 4, 6, 8, 10，求该数列的算术平均数和中项。
12. 一个数列的算术平均数是35，且数列中包含8个数，如果数列的第4项是37，求数列的第5项。
13. 已知数列：-3, 0, 3, 6, 9，求该数列的算术平均数，并判断该数列的中项是否等于算术平均数。
14. 一个数列的中项是20，且数列的算术平均数也是20，如果数列包含6个数，求数列的所有项。
15. 给定数列：1, 3, 5, 7, 9, 11，求该数列的算术平均数，并找出数列的中项。
高一数学均值定理的应用试题
高一数学均值定理的应用试题1.设，函数的最小值为（）A．10B．9C．8D．【答案】B.【解析】，当且仅当，时，等号成立，∴的最小值诶9.【考点】基本不等式求最值.2.若正数满足，则的最小值是（）A．B．C．5D．6【答案】C.【解析】∵，∴，∴，当且仅当，时等号成立，∴的最小值是.【考点】基本不等式求最值.3.下列结论正确的是 ( )A．当时，B．的最小值为C．当时，D．当时，的最小值为【答案】D【解析】A,错误，当时，不能确定的符号，当时，，不成立；B，错误，欲取得最小值2当且仅当时取得，即，所以时不能取得最小值2；C，错误，即，当时，不等式成立．所以选D．【考点】均值不等式成立的条件．4.若则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选项中整理得，即与已知矛盾，排除;选项中两边平方得，即与已知矛盾，排除；选项中中错误，应该是，排除；【考点】基本不等式；5.已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由；【考点】基本不等式；6.若实数a、b满足，则3a+3b的最小值是 .【答案】6【解析】因为，则当且仅当a=b=1时等号成立故答案为：67. .若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A．6B．9C．2D．12【答案】A【解析】解：∵a+b=2∴3a+3b≥ =6当且仅当a=b=1时等号成立故答案为A8.已知直线过点（2，1），其中是正数，则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为直线过点（2,1），则有2m+n-1=0,2m+n=1,m>0,n>0,则mn,选C9.设a>b>c>0，则的最小值是________【答案】4【解析】解：原式=10.建造一个容积8，深为长的游泳池，若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则游泳池的最低总造价为__________元．【答案】1760【解析】解：设长x，则宽4 x ，造价y=4×120+4x×80+16x ×80≥1760，当且仅当：4x×80="16" x ×80，即x=2时取等号．故答案为：176011.已知，求的最小值为【答案】【解析】解：因为，求12.设，若，，则的最大值是A．2B．C．1D．【答案】C【解析】解：因为设，若，，则的最大值是1，选C13.函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为同时小于零，可见选B14.已知，则的最小值是【答案】4【解析】解：因为，则15.求函数（）的最小值【答案】【解析】本试题主要是考查了均值不等式的运用。
均值定理例题
均值定理例题
一个物体在 t=2s 到 t=5s 时间内沿直线运动，速度 v(t) = t^2 -2t m/s。
求该物体在此时间段内的平均速度。
根据均值定理，平均速度可以通过计算物体所经过的总位移除以所经过的总时间来得到。
位移可以通过对速度函数进行积分来计算。
首先对速度函数进行积分得到位移函数：
s(t) = ∫(t^2 - 2t) dt
= 1/3 * t^3 - t^2 + C
其中C 是积分常数，根据初始条件t=2s 时s=0，可以求解C：
0 = 1/3 * (2^3) - 2^2 + C
C = 8/3 - 4 = -4/3
所以位移函数为：
s(t) = 1/3 * t^3 - t^2 - 4/3
物体在 t=2s 到 t=5s 时间内的总位移为：
s(5) - s(2) = (1/3 * 5^3 - 5^2 - 4/3) - (1/3 * 2^3 - 2^2 - 4/3)
= (125/3 - 25 - 4/3) - (8/3 - 4/3 - 4/3)
= (125/3 - 32/3) - (8/3 - 2/3)
= 93/3 - 6/3
= 87/3
所以物体在 t=2s 到 t=5s 时间内的总位移为 87/3 m。
完成时间为 t=5s 到 t=2s 的总时间为 5-2 = 3s。
所以物体在 t=2s 到 t=5s 时间内的平均速度为：平均速度 = 总位移 / 总时间
= (87/3) / 3
= 87/9
= 9.67 m/s。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
均值不等式的应用一．均值不等式1. （ 1）若 a,bR ，则 a 2 b 2 2ab (2)若 a, bR ，则 aba 2b 2 （当且仅当 a b 时取“ =”）22. (1) 若a, bR* ，则ab ab (2)若a,bR * ，则 a b 2 ab （当且仅当 a b 时取“ =”）2*a b (3) 若 a,b R ，则 ab22( 当且仅当 ab 时取“ =”）3. 若x，则x 12 ( 当且仅当 x 1时取“ =”） ; 若x0 ，则 x12( 当且仅当 x 1 时取“ =”） ;xx若 x 012即 x1 1 b 时取“ =”），则 x2或 x-2( 当且仅当axxx4. 若 ab0 ，则ab2 ( 当且仅当 ab 时取“ =”）若 ab 0 ，则ab 2即 ab 2或ab -2(当b abab a b a22且仅当 ab 时取“ =”） 5.若 a,b2ab （当且仅当 a b 时取“ =”）R ，则 (a b)22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ．（ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例 1：求下列函数的值域 (1)2 11y ＝3x＋ x 2（2）y ＝x ＋x2技巧一：凑项例 2：已知 x5 ，求函数 y 4x 21的最大值 .44 x5技巧二：凑系数 例 3. 当 时，求 y x(8 2x) 的最大值 .变式：设 0x3，求函数 y4x(3 2x) 的最大值 .2技巧三： 分离 例 4. 求 yx 2 7x 10 ( x 1) 的值域 .x 1技巧四：换元 求 yx 2 7 x 10 ( x1) 的值域 .x 1技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x) xa的单调性。
x例 5：求函数 yx 2 5 的值域 .x 2 4练习． 1. 求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值 .x 2 3x 10)（）y 2x1, x3 (3) y 2sin x1 , x (0, )x2x 3sin x2．已知0 x 1，求函数y x(1 x) 的最大值.；3．0 x 2 ，求函数y x(2 3x) 的最大3值 .条件求最值 1. 若实数满足 a b 2 ，则3a3b的最小值是.变式：若 log 4 x log 4 y1 12 ，求的最小值 . 并求 x,y 的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知x 0, y 0 ，且19 1 ，求x y 的最小值。
x y变式：（1）若x, y R且2 x y 1，求1 1的最小值x y( 2 ) 已知 a, b, x, y R 且ab 1，求 x y 的最小值x y技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2＋y 2 ＝，求 x ＋y 2 的最大值.2 1 11技巧八：已知a，b 为正实数， 2b＋ab＋ a＝ 30，求函数 y＝ab的最小值 .变式： 1. 已知 a>0，b>0，ab－( a＋ b) ＝1，求 a＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方5、已知 x， y 为正实数， 3x＋ 2y＝10，求函数 W＝3x ＋2y 的最值 .变式 : 求函数y2 x 15 2 x(1x5)的最大值。
2 2应用二：利用均值不等式证明不等式1．已知a, b,c为两两不相等的实数，求证： a 2b2c2ab bc ca 2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例 6：已知 a、b、c R ，且a。
求证： 1 1 1b c 1a1 11 8b c应用三：均值不等式与恒成立问题例 7：已知x 0, y 0 且19 1，求使不等式x y m 恒成立的实数m的取值范围。
x y应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例 8：若 a b 1, Plg a lg b,Q1(lg a lg b), R lg(a b) ，则 P,Q, R 的大小关系是.22均值不等式的应用一．均值不等式221.（1）若 a,b R ，则 a 2 b 22ab (2) 若 a,bR ，则 aba b（当且仅当 ab 时取“=”）22. (1) 若*，则 a bab(2) 若*，则（当且仅当a b 时取“ ”）a, b R2a, b Ra b 2 ab=a2*，则 abb( 当且仅当 ab 时取“ =”）(3) 若 a, b R23. 若 x 0 ，则x1 2 ( 当且仅当 x 1 时取“ ”） 若 x 0 ，则 x 12 (当且仅当x1x= ; x时取“ =”） ; 若 x12即 x11-2 ( 当且仅当 ab 时取“ =”）0 ，则 x2或 x xxx4. 若 ab 0 ，则ab 2 (当且仅当 a b 时取“ =”）ba若 ab0 ，则ab 2即 a b 2或 a b -2 ( 当且仅当 a b 时取“ ”）b a b aba=R ，则 ( ab )225. 若 a, b 2 2 a 2 b（当且仅当 a b 时取“ =”）注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例 1：求下列函数的值域（1） yx 2 1 2y x 1＝3 ＋2x （2） ＝ ＋x21 21解：（1）y ＝3x ＋2x 2 ≥2 3x ·2x 2 ＝ 6 ∴值域为[6 ，+∞）111 1（2）当 x ＞ 0 时， y ＝x ＋x ≥ 2x ·x ＝ 2；当 x ＜0 时， y ＝ x ＋ x = －（－ x － x ）1≤－ 2 x ·x = －2 ∴值域为（－∞，－ 2] ∪[2 ，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例 2：已知 x5，求函数y 4 x 21 的最大值。
44 x 5解：因 4x 50 ，所以首先要“调整”符号，又 (4 x 2)g1不是常数，所以对 4x 2 要进行4x5拆、凑项，Q x 5 , 5 4 x 0 ， y 4 x 215 4 x1 32 3 144 x 55 4 x当且仅当 5 4 x 1 ，即 x 1 时，上式等号成立，故当 x 1 时， y max 1。
5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例 3. 当时，求 y x(8 2x) 的最大值。
解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。
注意到 2x (8 2 x) 8 为定值，故只需将凑上一个系数即可。
yx(82x)当，即 x ＝2 时取等号 当 x ＝2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设 0 x3，求函数 y4x(3 2x) 的最大值。
232 2x(3 2x) 22x 3 2x2解：∵ 0 x∴ 3 2x 0 ∴ y 4x(3 2x)9222当且仅当 2x3 2x, 即 x3 0,3时等号成立。
4 2技巧三： 分离例 4. 求 yx 27x 10 ( x 1) 的值域。
x 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（ x ＋1）的项，再将其分离。
当, 即时 , y 2 （ x 1) 45 9 （当且仅当 x ＝1 时取“＝”号）。
x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋ 1，化简原式在分离求最值。
y 2）25t 4 t 4 5 (t 1) 7(t1 +10 = ttt t当, 即 t=时, y 2 45 9 （当 t=2 即 x ＝1 时取“＝”号）。
tt评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利 用不等式求最值。
即化为 ymg( x)A B(A 0,B 0) ，g(x) 恒正或恒负的形式，然后运g(x)用均值不等式来求最值。
a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x) xx的单调性。
例 5：求函数 yx 25的值域。
x 24x 2 4 t (t 2) ，则 y25x 21 1 解：令 x 44 t (t 2)x 2 4x 2 t因 t 0, t 1 1 ，但 t1解得 t1不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性。
tt因为 y t1在区间 1,单调递增，所以在其子区间 2,为单调递增函数，故 y5 。
t2所以，所求函数的值域为5 , 。
2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值 .（1） y x23x 1,( x0) （2） y 2xx1, x 3 (3) y 2sin x1 , x (0, )x3sin x2．已知 0 x 1，求函数 yx(1 x) 的最大值 . ； 3． 0 x2，求函数 yx(2 3x) 的最大3值 .条件求最值1. 若实数满足 a b 2 ，则 3a 3b 的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3a 3b 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解： 3a 和 3b 都是正数， 3a 3b ≥ 2 3a 3b 2 3a b6当 3a 3b 时等号成立，由 ab 2 及 3a 3b 得 a b 1即当 a b 1时，3a3b 的最小值是 6．变式：若 log 4 x1 1log 4 y 2 ，求的最小值 . 并求 x,y 的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知 x 0, y 0，且19 1 ，求 x y 的最小值。
x y错解 ：0, y 0，且19 1 ， x y1 9x y2 92 xy12 故x y min 12 。
．．Q xx y x y xy错因：解法中两次连用均值不等式，在xy 2 xy 等号成立条件是 xy ，在19 29等号成立x y xy条件是19 即 y 9x , 取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：Q x 0, y 0,19 1， x yx y1 9 y 9x10 6 10 16x yx yx y当且仅当y9x 时，上式等号成立，又 1 9 1 ，可得 x 4, y 12 时， x y min 16 。