均值定理专题归纳与训练.doc

均值不等式的应用

一．均值不等式

1. （ 1）若 a,b

R ，则 a 2 b 2 2ab (2)

若 a, b

R ，则 ab

a 2

b 2 （当且仅当 a b 时取“ =”）

2

2. (1) 若

a, b

R

* ，则

a

b ab (2)

若

a,b

R * ，则 a b 2 ab （当且仅当 a b 时取“ =”）

2

*

a b (3) 若 a,b R ，则 ab

2

2

( 当且仅当 a

b 时取“ =”）

3. 若

x

，则

x 1

2 ( 当且仅当 x 1时取“ =”） ; 若

x

0 ，则 x

1

2

( 当且仅当 x 1 时取“ =”） ;

x

x

若 x 0

1

2即 x

1 1 b 时取“ =”）

，则 x

2或 x

-2

( 当且仅当

a

x

x

x

4. 若 ab

0 ，则

a

b

2 ( 当且仅当 a

b 时取“ =”）若 ab 0 ，则

a

b 2即 a

b 2或

a

b -2(当

b a

b

a

b a b a

2

2

且仅当 a

b 时取“ =”） 5.

若 a,b

2

a

b （当且仅当 a b 时取“ =”）

R ，则 (

a b

)

2

2

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所

谓“积定和最小，和定积最大” ．

（ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

应用一：求最值

例 1：求下列函数的值域 (1)

2 1

1

y ＝3x

＋ x 2

（2）y ＝x ＋x

2

技巧一：凑项

例 2：已知 x

5 ，求函数 y 4x 2

1

的最大值 .

4

4 x

5

技巧二：凑系数 例 3. 当 时，求 y x(8 2x) 的最大值 .

变式：设 0

x

3

，求函数 y

4x(3 2x) 的最大值 .

2

技巧三： 分离 例 4. 求 y

x 2 7x 10 ( x 1) 的值域 .

x 1

技巧四：换元 求 y

x 2 7 x 10 ( x

1) 的值域 .

x 1

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数

f ( x) x

a

的单调性。

x

例 5：求函数 y

x 2 5 的值域 .

x 2 4

练习． 1. 求下列函数的最小值，并求取得最小值时，

x 的值 .

x 2 3x 1

0)（）

y 2x

1

, x

3 (3) y 2sin x

1 , x (0, )

x

2

x 3

sin x

2．已知0 x 1，求函数y x(1 x) 的最大值.；3．0 x 2 ，求函数y x(2 3x) 的最大

3

值 .

条件求最值 1. 若实数满足 a b 2 ，则3a3b的最小值是.

变式：若 log 4 x log 4 y

1 1

2 ，求的最小值 . 并求 x,y 的值

x y

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知x 0, y 0 ，且1

9 1 ，求x y 的最小值。x y

变式：（1）若x, y R且2 x y 1，求1 1

的最小值x y

( 2 ) 已知 a, b, x, y R 且a

b 1，求 x y 的最小值x y

技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2＋y 2 ＝，求 x ＋y 2 的最大值

.

2 1 1

1

技巧八：已知a，b 为正实数， 2b＋ab＋ a＝ 30，求函数 y＝ab的最小值 .

变式： 1. 已知 a>0，b>0，ab－( a＋ b) ＝1，求 a＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知 x， y 为正实数， 3x＋ 2y＝10，求函数 W＝3x ＋2y 的最值 .

变式 : 求函数

y2 x 15 2 x(

1

x

5

)的最大值。

2 2

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知a, b,c为两两不相等的实数，求证： a 2b2c2ab bc ca 2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例 6：已知 a、b、c R ，且

a

。求证： 1 1 1

b c 1

a

1 11 8

b c

应用三：均值不等式与恒成立问题

例 7：已知x 0, y 0 且1

9 1，求使不等式x y m 恒成立的实数m的取值范围。x y