三角形中位线中的常见辅助线
初中数学三角形中14种辅助线添加方法
初中数学三角形中14种辅助线添加方法在三角形中，常用的辅助线有中线、高线、中垂线、角平分线等。
下面是三角形中14种辅助线添加方法：1. 三角形中线的添加方法：在三角形的每个顶点上作一条连接对边中点的线段，则这些线段交于一点，且该点到三角形各顶点的距离相等，即为三角形的重心。
2. 三角形中垂线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂足分别为A、B、C，则三个垂足所在直线相交于一点，为三角形的垂心。
3. 三角形高线的添加方法：从三角形的顶点向所对边作垂线，垂线所在直线与所对边的交点称为底部端点，连接三个底部端点，则构成一个矩形，其中两个对角线分别为三角形的两个高。
4. 角平分线的添加方法：从角的顶点向其对边作角平分线，将角平分为两个相等的角，且角平分线上的任意一点到两侧边的距离相等。
5. 外接圆的添加方法：三角形三边的中垂线交于一点，则以该点为圆心，三角形三个顶点分别为圆上的三个点的圆称为三角形的外接圆。
6. 内切圆的添加方法：三角形三条边所在直线的交点为内心，以内心为圆心，作内切圆，该圆与三角形的三边相切。
7. 垂直平分线的添加方法：从线段的中点向垂直于该线段的方向作一条线段，则该线段垂直于原线段且平分其长度。
8. 外角平分线的添加方法：从三角形的一顶点作一条射线，使其不在所在直线内，将相邻两个角的外部划分成两个大小相等的角，则这条射线为该顶点所对的角的外角平分线。
9. 旁切圆的添加方法：以三角形的某一边为半径，在其外侧作一条与该边平行的直线，使其与另外两边所在直线相交，其交点则为旁切圆心。
10. 中位线的添加方法：连接三角形任意两个顶点，则连接这两个顶点的中点的线段称为三角形的中位线，三角形三条中位线交于一点，即为三角形重心。
11. 等腰三角形的中线、高线和垂心重合。
12. 等边三角形的中线、高线、垂心和外心重合。
13. 直角三角形的垂心落在斜边上，且斜边上的高线与斜边垂直。
14. 任意三角形的外心到三个顶点的距离相等。
初中几何辅助线大全-最全
三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE （AAS ）∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。
）二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CEAE FABCDE17-图O与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。
∵BE ⊥CF （已知）∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中，∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知）∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。
八年级数学上册第12章三角形中常见辅助线的作法(人教版)
三角形中常见辅助线的作法
1、延长中线构造全等三角形
例1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD 的取值范围．
提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．
2、引平行线构造全等三角形
例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．
求证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法较多，如：
①作DG∥AE交BC于G；
②作EH∥BA交BC的延长线于H；
再通过证三角形全等得DF＝EF．
3、作连线构造等腰三角形
例3 如图3，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．
求证：BD=DE=CE．
提示：连结DC，证△ECD是等腰三角形．
4、利用翻折，构造全等三角形．
例4 如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB＋BD．
提示：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B＇处，再证BD=B＇D ＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇，△B＇DC是等腰三角形，于是结论可证．
5、作三角形的中位线
例5 如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N．求证：∠BME＝∠CNE．提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF．则OE∥AB，OF∥CD，故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．且OE=OF，故∠1＝∠2，可得证．。
全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．D C BAED F CB A3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
中位线
三角形、梯形的中位线常见辅助线及题型【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。
求证：MD ⊥MC 。
【例2】如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。
【问题一】 E 、F 为凸四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的中点，若EF ＝)(21CD AB ，问：ABCD 为什么四边形？请说明理由。
（1）若AD ∥BC ，则凸四边形ABCD 为平行四边形； （2）若AD 不平行于BC ，则凸四边形ABCD 为梯形。
例2图 QPMDCBA问题图GFEDCBA 例 1 图MDCB ACAE F 一、填空题：1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 的中点，EF ∥AB 交BC 于F ，若EF=3，求AB 的长.2、如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点.（1）线段AD 叫做△ABC 的 ，线段DE 叫做△ABC 的 ，DE 与AB 的位置和数量关系是 _________ ; （2）图中全等三角形有 _________________ ; （3）图中平行四边形有 ___________ .3、 三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 .4、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。
5、一个等腰梯形的周长为100cm ，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm ，那么这个梯形的面积是 。
6、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。
7、直角梯形的中位线长为a ，一腰长为b ，且此腰与底所成的角为600，则这个梯形的面积为 。
11、如图，直角梯形ABCD 的中位线EF ＝a ，垂直于底的腰AB ＝b ，则图中阴影部分的面积是 。
9、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝300，∠C ＝600，E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BC 、DA 的中点，已知BC ＝7，MN ＝3，则EF ＝ 。
全等三角形经典辅助线做法汇总
全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
三角形中两中点，连接则成中位线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法4）（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2 ）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
三角形中位线中的常见辅助线
三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一:倍长中线解读:凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的.方法二：构造中位线解读:凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边,从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形,或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读:只要出现直角三角形，或直角,则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系.其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点,都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点；②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”,这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．CEDBA典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线,AE 是ABD △的中线,且AB BD =，求证:2AC AE =．举一反三1. 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A举一反三1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N A2. 已知:在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．MN ABEF DC(N )M F EDCBA(1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时,点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ,连结HE 、HF ，求证:AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系?请证明．【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒,BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA举一反三1.如图所示,在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线,相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1)DEM FDN ∆∆≌; （2）PAE PBF ∠=∠．3. 已知:在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PNMCBA4. 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点．（1)求证MB MC =．（2)设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．。
三角形的中位线知识、方法总结
三角形的中位线知识、方法总结
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线，这个定义有双重性，既是性质，也是判定。
需要注意的是，三角形中位线与中线是不同的，中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的线段。
三角形中位线定理表明，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理可以用来证明平行关系、倍分关系，以及转移线段和转移角。
常用的辅助线是连接中点和构造中位线，可以分离基本图形，如全等和平行四边形。
可以用两种证明方法证明三角形中位线定理。
第一种方法是延长中位线，构造一个全等三角形，证明出两边平行，从而得出结论。
第二种方法是连接四边形的对角线，证明出中点四边形是平行四边形，从而得出结论。
中点三角形是由原三角形的三边中点顺次连接而成的新三角形。
中点三角形的各个边长分别是原三角形三边长的一半，
且分别平行，角的度数与原三角形分别相等。
四个三角形都全等，中点三角形周长是原三角形的周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。
中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
中点四边形是由任意四边形各边中点顺次连接而成的四边形。
不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
可以连接对角线，构造中位线，证明出中点四边形是平行四边形。
(完整版)三角形中位线中的常见辅助线
三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．CEDBA典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．举一反三1. 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A举一反三1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N AMN ABEF DC(N )M F EDCBA2. 已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA举一反三1.如图所示，在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： （1）DEM FDN ∆∆≌； （2）PAE PBF ∠=∠．3. 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PNMCBA4. 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点．（1）求证MB MC =．（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．EMDCBA EM DCBAEDEDBC5. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图2所示，若AB≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； （3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．图1 图2 图3图【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．图①NM EDCB A图②NMEDCBA举一反三1. （1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥ （2）如图2，BD CE 、分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变； （3）如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变。
中点常见的辅助线
（五）条件中无中点时，完善图形得中位线：
如图，△ABC边长分别为AB=14，BC=16，AC=26，P为∠A的平分线AD 上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，则PM的值是_______．
练习：
在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D，E为AB的中点,求证：DE=
1 BC 2
（三）添加三角形的第三边，构建中位线：
如图，已知E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H为AC 边上的两个三等分点，连EG、FH，且延长后交于点D， 求证：四边形ABCD是平行四边形
（四）添加三角形的另一边并取中点，构建中位线： 在四边形ABCD中，E、F、M分别是AB、CD、BD的中点，AD=BC． 求证：∠EFM=∠FEM．
A
B
E
D
C
3、等腰三角形：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合（三线合一）。
3、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点， N为AC中点，求证：MN⊥AC．
C D A N M B
四、两个或多个中点常见的辅助线： 当图中有多个中点时，同时还要考虑中位线，
中点常见的辅助线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与中点有关的辅助线
1、三角形的中线：延长中线至一倍，构建全等三角形 2、直角三角形：斜边上的中线等于斜边的一半 3、等腰三角形：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、 底边上的中线互相重合（三线合一）。 4、三角形的中位线：平行于第三边，并且等于第 三边的一半。
1、三角形的中线：延长中线至一倍，构建全等三角形
1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=2， AC=4，则AD的取值范围是________．
A
B
三角形中位线中的常见辅助线(1)
三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。
其他位置的也要能看出常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =． 举一反三1. 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．2. 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．【例2】 已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠． 举一反三1. 已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．2. 已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．【例3】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．举一反三EDE DB C1.如图所示，在三角形ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ．过E 、 F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌；（2）PAE PBF ∠=∠．3. 已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =4. 如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE 的中点． （1）求证MB MC =．（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论． 5. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图2所示，若AB≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．图1 图2 图3【例4】 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．举一反三1. （1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥ （2）如图2，BD CE 、分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变； （3）如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变。
初二数学-三角形问题中常见的辅助线作法总结讲课稿
初二数学-三角形问题中常见的辅助线作法总结三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
常见辅助线作法
辅助线的作法正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法： 方法一：从已知出发作出辅助线：例1．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，求证：AF=FC 21分析：题设中含有D 是BC 中点，E 是AD 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：（1）过D 点作DN ∥CA ，交BF 于N ，可得N 为BF 中点，由中位线定理得DN=FC 21，再证△AEF ≌△DEN ，则有AF=DN ，进而有AF=FC 21（2）过D 点作DM ∥BF ，交AC 于M ，可得FM=CM ，FM=AF ，则有AF=FC 21方法二：分析结论，作出辅助线例2：如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径， 求证：AB ·AC=AE ·AD分析：要证AB ·AC=AE ·AD ，需证ACAEAD AB =（或AC AD AE AB =），需证△ABE ∽△ADC （或△ABD ∽△AEC ）， 这就需要连结BE （或CE ），形成所需要的三角形，同时得∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C （或∠B=∠E ） 因而得证。
方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线例3：过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ； 求证：AE ∶ED=2AF ∶FB分析：已知D 是BC 中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AE ∶ED ，则应有一条与EF 平行的直线。
所以，过D 点作DM ∥EF 交AB 于M ，可得FMAFFM AF ED AE 22==，再证BF=2FM 即可。
方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。
全等三角形的辅助线的常见添法
全等三角形的辅助线的常见添法一、前言全等三角形是初中数学中一个重要的概念，其性质和应用十分广泛。
在解决全等三角形相关问题时，辅助线的运用是非常常见的方法之一。
本文将介绍几种常见的全等三角形辅助线添法。
二、中线中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
在全等三角形的证明中，经常使用到中线。
1. 作平移假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作平移使得BC重合于EF，即可证明ABC和DEF完全重合。
2. 作垂线假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。
可以在BC上取一点M，在EF上作MN垂直于EF，并延长至交于P，则BP=FP，CP=EP，因此可以通过SAS（边-角-边）准则证明ABC和DEF完全重合。
三、高线高线是从一个顶点向对边所在直线作垂线所得到的线段。
在证明两个直角三角形相似时常用到高线。
1. 作垂心假设有两个直角三角形ABC和DEF，需要证明它们相似。
可以在ABC 中作垂心H，连接AH、BH、CH，并在DEF中作DH垂直于EF，延长至交于K，则AK=DK，因此可以通过AA（角-角）准则证明ABC 和DEF相似。
2. 作中线假设有两个三角形ABC和DEF，其中BC=EF，需要证明它们相似。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作垂线PH 垂直于MN且交于O，则PO为MN的中线。
由于BM=FN，BO=EO（因为PH平分MN），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。
四、角平分线角平分线是从一个顶点出发将角分成两个相等的角所得到的线段。
在证明两个三角形相似时常用到角平分线。
1. 作等腰三角形假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠BAC=∠EDF且AC=DF，需要证明它们相似。
可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，并连接AN、BM以及CN与AM的交点为P，则AP=PN（因为AP是∠BAC 的平分线），BP=PM（因为BP是∠ABM的平分线），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。
(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧
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第十二讲 全等三角形的常用辅助线作法---完美版(备用版)
第十二讲全等三角形的常用辅助线作法【知识梳理】：1、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
2、三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
3、常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
【专题精讲】：例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。
求证：BD=2CE。
思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。
解答过程：（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。
求证：ΔABC是等腰三角形。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。
2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。
解答过程：（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
专题：三角形全等常用辅助线及模型(答案)
专题：三角形全等常用辅助线及模型※题型讲练考点一三角形全等常见辅助线一：倍长中线法1．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB+AC>2AD；(2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．解：(1)延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．∵D为BC的中点，∴CD=BD．又∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB．∴AC=EB．∵AB+BE>AE，∴AB+AC>2AD．(2)∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<2AD<AB+AC．∵AB=5，AC=3，∴2<2AD<8．∴1<AD<4．2．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，M为BC的中点，求证：(1)DE=2AM；(2) AM⊥DE．证明：(1)延长AM至点N，使MN=AM，连接BN．∵M为BC的中点，∴BM=CM．又∵AM=MN，∠AMC=∠NMB，∴△AMC≌△NMB(SAS)，∴AC=BN，∠C=∠NBM，∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD．∵AD=AC，AC=BN，∴AD=BN．又∵AB=AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)，∴DE=NA．又∵AM=MN，∴DE=2AM．(2)互余证法，证明略；3．如图，△ABC中，BD=AC，∠ADC=∠CAD，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．解：延长AE到M，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△CEA∴∠C=∠MDE, DM=AC又BD=AC∴DM=BD,又∠ADB=∠C +∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，∠ADC=∠CAD∴∠ADM=∠ADB∴△ADM≌△ADB∴∠BAD=∠MAD即AD平分∠BAE考点二三角形全等常见辅助线二：截长补短法1．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的延长线交AP于点D．求证：AD+BC=AB．证明：在AB上截取AF=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠FAE，在△DAE和△FAE中，∴△DAE≌△FAE(SAS)，∴∠AFE=∠ADE．∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C=180°，∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠EFB=∠C．∵BE平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∴△BEF≌△BEC(AAS)，∴BC=BF，∴AD+BC=AF+BF=AB．2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°．求证：EF＝FD＋BE．证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°．∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝60°，∠DAG＋∠FAD＝60°．即∠GAF＝60°，∴∠EAF＝∠GAF＝60°．∴△EAF≌△GAF．∴EF＝GF＝FD＋DG，∴EF＝FD＋BE．考点三三角形全等常见模型一：一线三等角1．如图，在△ABC中，AB＝AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM＝∠B，若AP＝MP，求证：PB＝MC.证明：∵∠B＋∠BAP＝∠APM＋∠CPM，∠B＝∠APM，∴∠BAP＝∠CPM.∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∴∠B＝∠C，又∵AP＝PM，∴△APB≌△PMC.∴PB＝MC 2．如图，一次函数y=－23x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，以AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．则过B，C两点的直线表达式为y=15x+4．3．(1)已知，如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E，则线段BD、CE、DE之间的关系是：DE＝BD＋CE ；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问(1)中结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．图①图②解：(1)DE＝BD＋CE．(2)当α为任意钝角时，结论DE＝BD＋CE仍成立，理由：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，⎩⎨⎧∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠AEC，AB＝CA，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE．考点四三角形全等常见模型二：手拉手1．如图，△ABC，△CDE是等边三角形，B，C，E三点在同一直线上，连接AE、BD交于点O．(1)求证：AE=BD；(2)求∠BOE的度数；(3)若BD和AC交于点M，AE和CD交于点N，求证：CM=CN．解：(1)∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠BCD=∠ACE=120°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD．(2) ∠BOE的度数为120°；(3)∵△ACE≌△BCD，∴∠CBD=∠CAE．∵∠ACN=180°-∠ACB-∠DCE=60°，∴∠BCM=∠ACN．在△BCM和△ACN 中，∴△BCM≌△ACN(ASA)，∴CM=CN．2．如图，∠BAD =∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．(1)求证：BC=DE．(2)求∠EAF的度数；(3)若AC=10，求四边形ABCD的面积．解：(1)易证△ABC≌△ADE(SAS)，∴BC=DE．(2) ∠EAF的度数为135°；(3) 四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积=50．※课后练习1．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E．AD=3，BE=1，则DE的长是 2 ．2．如图，C为线段AE上的一个动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ；④DE=DP．其中正确的是①②③．(填序号)3．如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE．求证：AD=AE．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE．4．正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF．证明：延长EB使得BG=DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，由AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，BG＝DF，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵∠EAF=45°∴∠GAE=∠EAF=45°在△AEG和△AEF中，AE＝AE，∠GAE=∠EAF，AG＝AF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF=GE= BG+BE即BE+DF=EF．5．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD=AB，∠ADB= ∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC=2AE．解：延长AE到M ，使EM=AE，连结DM易证△DEM≌△BEA∴∠B=∠MDE, DM=AB又CD=AB∴DM=CD,又∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ADB，∠ADB=∠BAD∴∠ADM=∠ADC∴△ADM≌△ADC∴AC=AM=2AE6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O．(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD．解：(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°；(2)在AC上截取AF＝AE，连接OF，∵AE＝AF，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝∠DOC＝60°，∴∠AOF＝∠COF＝60°，在△OFC和△ODC中，⎩⎨⎧∠FOC＝∠DOC＝60°，OC＝OC，∠3＝∠4，∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴FC＝DC，∵AF＋FC＝AC，∴AC＝AE＋CD．7．Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上分别在点C 的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF．(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图1，线段BF，AD所在直线的位置关系为垂直，线段BF，AD的数量关系为相等．(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图2，则(1)中的结论是否仍然成立?如果成立请证明；如果不成立，请说明理由．解：(2)成立．理由如下：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠ACD=∠BCF，∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．8．如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D 是中点，求证：BE+CF＞EF．证明：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG∵在△DFC和△DGB中，DF=DG∠CDF=∠BDGDC=DB，∴△DFC≌△DGB（SAS），∴BG=CF，∵在△EDF和△EDG中DF=DG∠FDE=∠GDE=90°DE=DE∴△EDF≌△EDG（SAS），∴EF=EG在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE＞EG又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF＞EF．9．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：画∠MAB、∠NBA的平分线交于E(1)求∠AEB的度数；(2)过点E作一直线交AM于D，交BN于C，求证：DE=CE；(3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明理由．解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，∵AM∥BN，EF∥BC，∴EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．所以①成立。
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三角形中位线中的常见•CAL・FENGHAL・(YI三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合） 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于列一边的直线必平分第三边.直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段,方法二J 构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取列一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形 中位线的目的。
从而达到将条件进行转化的目的。
方法三：构造三线台解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现 两个等腰三角形.从而转化线段关系。
常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点；②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的0"题中有中点，莫忘中位线与此很柑近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延"，这两个是常用几何思 想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来-平移也有类似作用.集他位置的也要能看出其他位苣的也要能看出典型例题【例1】已知：AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，且初= 3D.求证：AC = 2A£.举一反三2•如右下图，在MBC中，若ZB = 2ZC, AD丄BC,£为3€；边的中点.求证：AB=2DE .2•在中，ZACS=90% AC = -BC.以BC 为底作等腰宜角AfiCD • £是仞 的中点，求证:AE 丄EB 且AE = BE ・【例2】 已知四边形初CD 的对角线AC = BD^ E 、F 分别是BC 的中点，连结£F 分别交AC 、BD 于M 、N ，求证：ZAMN = ZBNM ・举一反三2•已知四边形MCD 中，AC<BD. E 、F 分别是初、的中点，EF 交AC 于M ： EF 交BD F N 、AC 和〃D 交于G 点.求证：ZCAfiV>ZCW .D2•已知：在A4BC 中，BC>AC.动点D 绕"BC 的顶点A 逆时针旋转，且AD = BC.连结DC ・过AB. DC 的中点「F 作直线，直线£F 与宜线血、BC 分别柑交于点M 、N •（1）如图触当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合•取AC 的中点连结比、HF ，求证：ZAMF = ZBNE（2）当点D 旋转到图2中的位置时，ZAMF 与ZBNE 有何数量关系请证明.【例3】 如图，在五边形MCDE 中，ZABC = ZA£D = 90% ZR4C = Z£4D> F 为CD 的中点.求证:BF=EF ・D举一反三1•如图所示，在三角形ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、已使DE=DF.过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P,设线段PA、PB的中点分别为N・求证:(1)bDEMmbFDN ；(2)"AE="BF・E F3•已知；在MBC 中，分别以初、为斜边作等腰直角三角形和C4N, P 是边3(?的中点.求证：PM = PN4•如图所示，已知WD 和都是宜角三角形，且ZABD = /4CE = 90\连接DE,设M 为必的中(1)求证 MB = MC •(2)设ZMD = ZC4£.固出RtAABD.让RtMCF 移至图示位置，此时MB = MC 是否成立请址明你的 结论・ECB5•在△ABC中，AB=AC,分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME(1) 如图1所示，若AB=AC,则MD和ME的数量关系是(2) 如图2所示，若ABHAC尖他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系请给出证明过程:(3) 在任意AABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向AABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME,请在图3中补全图形，并宜接判断AMED的形状.【例4】以AABC的两边初、AC为腰分别向外作等腰RtMBD和等腰RMCE • ^1BAD = ZCAE=9GP.连接歴• M、N分别是BC、滋的中点.探究：AM打DE的位置关系及数量关系・（1）如图①当比4BC为直角三角形时，AM与加的位置关系是.是_______ :（2）将图①中的等腰用WD绕点A沿逆时针方向旋转少（（）<0<90）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由.E图①E图②:线段AM与DE的数量关系EEC举一反三1. (1)如图1, BD、CE分别是AABC的外角平分线, 过点A作AD丄BD、肚丄CE,垂足分别为D、E、连接DE.求证：DE//BC ,DE==(AB + BC + AC)(2)如图2・BD、C£分别是 WC的内角平分线，其他条件不变:(3)如图3, BD为八拙C的内角平分线，CE为八初C的外角平分线，其他条件不变0则在图2、图3两种情况下, DE、BC还平行吗它与3C三边又有怎样的数量关系请你写出猜测，并给与证明.2 •已知比4肚中，ZACB = 90r M 边上的高线CH 与AABC 的两条内角平分线AM . BN 分别交于几0两点加、QN 的中点分别为£. F ・求证：EF 〃 m举一反三【例5】等腰梯形/1^（：»中・AB//CD. AC = BD. AC ^jBD 交于点°,别是Q4、BC 、OD 的中点，求证：AP0?是正三角形.ZAOB = 60r P 、0、R 分1. AD是 WC的中线，F是Q的中点，的延长线交人（?于£・求证：AE = -AC.【例6】如左下图，在梯形MCD中，AB//CD, E、F分别是AC . BD中点•求证j EE//AB.且EF = ：(AB-CD)・2•在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问= Z 4BC = 45% 分别以AB.BC 为边向外作 WD 和A5CE ,且 DA = DB, EB = EC 、ZADB = ZBEC=9QP •连接DE 交初于点厂探究线段》尸与£F 的数量关系。
小慧同学的思路是：过点D 作DG 丄初于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，ZABC = 30% ZADB = ZBEC = g小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题:（1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系（2）如图2,若ZABC = 3（r, ZADB = ZBED = （^\原问题中的尖他条件不变，你在（1）中得到 的结论是否发生变化请写出你的猜想并加以证明;（3）如图3.若ZADB = ZBEC = 2ZABC.原问题中的苴他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化请写出你的猜想并加以证明。
举一反三 题：如图1.已知AABC,ItE图3真题演练2•已知J ZMOB中，AB = OB = 2.△COD中，CD=OC=3. ZABO=ZZ)CO•连接AD、BC、,点N、P分别为AO、DO、BC的中点.（1）如图1,若A、O、C三点在同一直线上，且A ABO = 60 .则的形状是-‘此时竟an （2）如图2,若A、0、C三点在同一宜线•上，且Z初O=2a・证明△PMN〜 30,并讣•算菩的D C值（用含d的式子表示）：A BCE 和A ACF 都是等边三角形，M 、W 分别是CE 、CF 的中点.(1)求证：△DMN 是等边三角形: (2〉连接瓯 0是£尸中点，CP 丄EF 于点P.求证：DP=DQ同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下而两位同学的解题思路作为参考:小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线:小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等.如何构造出相应的三角形呢她考虑将^NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.(3)在图 2 中，固 将△COD 绕点O 旋转，宜接写出PM 的最大值・ D2•如图，D 是A ABC 中A8边的中点,3. iiA ABC中，D为5C边的中点，在三角形内部取一点P,使得Z 48P=Z ACP.过点P作PF丄于点E, PF丄&C于点a（1）如图九当AB=AC时，判断的DEEJDF的数量关系，宜接写出你的结论:（2）如图2,当AB^AC.貝它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变请说明理由.4•探究问题：已知AD、BF分別为AMC的边BC、人C上的中线，且AD、BE交于点0.（1）A ABC为等边三角形，如图1,则A0 : 00=（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若A ABC为一般三角形（如图2）,⑴中的结论仍成立，请你给予证明.（3）运用上述探究的结果，解决下列问题:如图3,在△ABC中，点f是边&C的中点，A0平分Z BAC^AD丄5f于点几若AD=BE=4.求J “ABC的周长.C 5•如图1.在四边形ABCD中，AB = CD. E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA. CQ的延长线交于点M、N、则ZBME = ZCNE（不需证明）•（温馨提示：在图1中，连结BD.取的中点丹，连结HE、HF,根据三角形中位线世理，证明HE = HF,从而Z1 = Z2＞再利用平行线性质，可证得ABME = ZCNE・）问题一：如图2,在四边形ADBC中・A3与CD相交于点0, AB = CD. E、F分別是BC、AD的中点，连结分别交DC、AB于点M、N,判断△0MN的形状，请宜接写出结论.问题二：如图3,在△ABC中，AC>AB,「£>点在AC上，AB = CD. E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与34的延长线交于点G，若Z£FC = 60\连结GD，判断ZkAGD的形状并证明.C6.我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备下而的性质: 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1 •请你用此性质解决下而的问题.已知：如图，点0为等腰宜角三角形A3C的重心，Z如 = 90%宜线川过点0,过A、B、C三点分别作宜线加的垂线，垂足分別为点D、E、F.（1）当直线山与〃C平行时（如图1〉，请你猜想线段处、CF和2三者之间的数量关系井证明:ZABO = ZDCO = 30。