实变函数论4 n维空间中的点集、聚点、内点、界点(课堂PPT)

U(x,)U(xi,i), i 1,2. （iv）若x y,存在U(x,)和U(y,),使U(x,) U(y,)
（ i） i y U ( x ,) , 0 使 U ( y ,) U ( x ,);
证仅 明证 i） i （ 令 (y,x)则 , 0.若 z U (y,)则 , (z,y),从(而 z,x)(z,y)(y,x) (),故 z U (x,),于U 是 (y,) U (x,).6
⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） 则称(X,d)为度量空间.
(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，若（Y,d）也是 一个度量空间，称（Y,d）为 (X,d) 的子空间。
定义 2 设 x1, x2 , x3, 是 R N 中的一列点
(点列 x1, x2 , x3,
可记作
x n n1
或
xn
1
,
有时简记作 xn),
x0 R N . 若对于含 x0 的任一邻域U ,
总存在自然数 K, 使当 n K 时xn U ,
就称 x0 为点列 xn 的极限, 称 xn 是一个
b .若 A B ， 则 d (A , B ) 0 ； 反 之 则 不 一 定 成 立 ，
如 A n 1 /n ,B n 1 /n （ 都 是 闭 集 ）
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定 义4 一 个 非 空 的 点 集A的 直 径 定 义 为
(A)supd(x,y).
xA yA
定5义 设 M为 RN中一 ,若 点存 集在 I使 开 IM 区 , 间 则M 称 是有 . 界集
第4讲 n维空间中的点集
目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题。
重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理。
1
⒈度量空间
定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射， 且满足
定 义 5' 设 M 为 R N中 一 点 集 , 若 (M ) ,
则 称 M 是 有 界 集 .
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定义
分量都是实数的有序 N 数组（x1, x2 ,
,
x
）
N
之
全体称为 R N 空间, 简称 R N . N 称为 R N 的维数.
R N 的元素 x （x1, x2 ,
,
x
）
N
又
称
为
RN
的点,
点 x 的第 i 个分量又称为它的第 i 个坐标
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I （ a x 2 1 , x x 2 2 , b ,2 x ,N ） ,|a a 1 N x x 1 N b 1 b ,N ,
（ 1 ）
把 （ 1 ） 中 任 意 多 个 “ ” 号 换 成 “ ” , 相 应 的 点 集 I统 称 为 区 间 ，
（i）(x,y)0; (x,y)0当且仅当xy; （ii）(x, y) (y,x); （iii）(x,y)(x,z)(z,y). （三角不等式）
3
例：
n
⑴欧氏空间（R n , d）,其中 d(x,y) (xi yi)2 i1
1 (x ,y ) m a ixx i y i;
n
2 (x ,y ) x i y i;
2
定义 对于 RN 中的任意两点 x (x1, x2,..., xN ) 及
y ( y1, y2,..., yN ), 我们把非负实数
1
N i1
( xi
yi
பைடு நூலகம்
)2
2
称为 x 与 y 的欧几里德距离, 简称 x 与 y 的距离,
记作 (x, y) 或者 d(x, y).
命题 距离有如下三条基本性质：
（ 1）
称为开区间, 记作（a1,b1;a2,b2; ;aN,bN）. 若把（1）中的诸不等式换成 ai xi bi, i 1,2,
称I 为闭区间, 记作[a1,b1;a2,b2; ;aN,bN]. 若把（1）中的诸不
, N, 则
等式换成 ai xi bi, i 1,2, , N，则 称I 为半开区间,记作(a1,b1;a2,b2; ;aN,bN].
i 1
⑵离散空间(X , d)，其中
d(x,y){10
xy xy
⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续函数 全体), 其中 d(x,y)m|a x(tx )y(t)|
atb
4
定义 1 设 x0 RN , 0. RN 中到 p0 的距离小于 的所有点组成之集
U (p 0,) {p|d(p 0,p )}
称为以 p0 为中心以 为半径的球形邻域, 简称 p0 的 邻域, 记作 U( p0, ). 当没必要指出 p0 和 时,就简称为球形邻域或邻域.
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命题 球形邻域有如下四条基本性质：
（i）xU(x,); （ii）yU(x,), 则存在 0使U(y,)U(x,); （iii）若xU(x1,1),xU(x2,2), 则 0使
（当点记为 x 时，它的第 i 个坐标通常记为 xi）.
点（0，0， ，0）称为 R N 的原点, 记作 .
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定 义 6 设ai、 bi 是 实 数 , ai bi (i1,2, ,N).RN中 的 点集
I（ ax21 ,xx22 ,,bx2,N） |,aa1N x1x Nb 1,bN,
收敛于 x0 的点列, 记作
lim
n
xn
x0
或
xn
x0 .
定 义 2' 设xnn 1是 RN中 的 一 点 列 , x0RN. 若
lni m d(xn,x0)0,
称 x0为 点 列 xn的 极 限 , 记 作lni m xnx0或 xn x0.
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定 义 3 两 个 非 空 的 点 集A,B的 距 离 定 义 为 d(A,B)infd(x,y).
xA yB
定 义 3 ' 两 个 非 空 的 点 集 A ,B 的 , 若 A = { x } ,则 点 到 集 合 的 距 离 定 义 为 d (x ,B ) in fd (x ,y ) .
y B
注 ： a . 若 x B , 则 d x , B 0 ; 反 之 则 不 一 定 成 立 ， 如 x 0 , B 0 , 1 .