实变函数论4 n维空间中的点集、聚点、内点、界点(课堂PPT)
实变函数论之集合与点集
实变函数论之集合与点集集合与点集实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的讨论.1.1 集合及相关概念大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：R表示全体实数形成的集合；C 表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5}; 一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定的某集合A及某对象a,若a 是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属于集合A,记为a A.给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记为A B 或B A;进而,若同时有A B和B A，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集.例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.{1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1 集合及相关概念共23=8个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是：C0n+C1n+…+C n n=2n,其中C k n=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为2 A.1.1.1 集合的运算我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算, 并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种.定义1.1.1 任意给定集合A和B,集合{x|x∈A或x∈B}称为A与B 的并集,并集也称为和集,记为A∪B,或A+B;集合{x|x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB; 推而广之,给定集合族{Aα}α∈Γ,其中Γ是指标集,则此集合族的并集与交集分别为∪α∈ΓAα={x|α∈Γ,x∈Aα}; (1.1)∩α∈ΓAα={x|α∈Γ,x∈Aα}. (1.2) 集合{x|x∈A且x B}称为A与B的差集,又称补集，记为A\\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知A B,则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, SB 简记为B c.而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B.例 1.1.2 设A j=x0≤x≤1+1j,j=1,2,…,B i=x-1+1i≤x≤1-1i,i=1,2,…,C k=x-1k<x∩nj=1A j=x0≤x≤1+1n, ∪mi=1B i=x-1+1m≤x≤1-1m,∩pk=1C k=x-1p<x<1p.其中n,m,p∈N.由此知∩∞j=1A j={x|0≤x≤1}, ∪∞i=1B i={x|-1<x集合的并、交、差（补）运算满足下面的运算律：定理1.1.1 (1) 交换律A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;特别地A∩A=A, A∪A=A, A∪=A, A∩=.(2) 结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C, A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.(3) 分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);一般地A∩∪α∈ΓBα=∪α∈Γ(A∩Bα).(4) 大小关系(A∩B)A(A∪B).(5) 若AαBα,α∈Γ,则∪α∈ΓAα∪α∈ΓBα, ∩α∈ΓAα∩α∈ΓBα;特别地,若AαC或C Bα,α∈Γ,则∪α∈ΓAαC, C∩α∈ΓBα.证明下面仅证A∩∪α∈ΓBα=∪α∈Γ(A∩Bα).任取x∈A∩∪α∈ΓBα,则x∈A且α0∈Γ,使得x∈Bα0,于是x∈∪α∈Γ(A∩Bα),由x的任意性得A∩∪α∈ΓBα∪α∈Γ(A∩Bα).反过来,任取x∈∪α∈Γ(A∩Bα),则α0∈Γ,使得x∈A∩Bα0,即x∈A且x∈Bα0,从而x∈A 且x∈∪α∈ΓBα,故x∈A∩∪α∈ΓBα,由x的任意性得∪α∈Γ(A∩Bα)A∩∪α∈ΓBα.综合起来,等式成立.□以下给出关于余集计算的部分性质. 定理1.1.2 (1) A-B=A∩SB;(2) 若A B,则SA SB,B\\A=B∩A c;(3) 对偶律（德摩根（De Morgan）律）若A,B X,则(A∪B)c=A c∩B c, (A∩B)c=A c∪B c.一般地∩α∈ΓAαc=∪α∈ΓA cα,∪α∈ΓAαc=∩α∈ΓA cα.证明下面仅证对偶律：若A,B X,则(A∪B)c=A c∩B c,其余结合相关定义类似可得.事实上,由补集定义,(A∪B)c={x|x∈X且x A∪B}={x|x∈X,x A且x B}={x|x∈X,x∈A c且x∈B c}=A c∩B c.□德摩根律使我们通过余集的运算把并集变为交集,把交集变为并集.这种转化在集合的运算及论证中是很有用的.1.1.2 集合列的上极限和下极限众所周知,数列可以讨论极限.类似地,集合列也可以讨论极限.以下我们给出集合列及其极限的定义.定义1.1.2 一列集合{A n} (n=1,2,…）称为集合列,也可记为{A n}∞n=1.属于上述集合列中无限多个集的元素的全体所形成的集称为该集合列的上极限,或称为上限集,记为lim n→∞A n,或lim n→∞ sup A n;对于上述集合列,那些除了有限个下标外,属于该集合列中每个集合的元素的全体形成的集称为这个集合列的下极限,或称为下限集,记为</x</x<1p.</xlim n→∞A n或lim n→∞ inf A n.等价地,lim n→∞ sup A n={x|对于任意的自然数n,存在k≥n,使得x∈A k},lim n→∞ inf A n={x|存在n0∈N,当n≥n0时,x∈A n}.由此知,lim n→∞ inf A n lim n→∞ sup A n.进而,对于给定集合列{A n},若其上、下极限相等,则称集合列{A n}收敛,其极限即为它的上（或下）极限,记为lim n→∞A n.集合列的上（下）极限可以用“并”与“交”运算来表达. 定理1.1.3 给定集合列{A n},则lim n→∞sup A n=∩∞n=1∪∞k=nA k, lim n→∞ inf A n=∪∞n=1∩∞k=nA k.证明利用lim n→∞sup A n={x|n∈N,k≥n,使得x∈A k} (1.3)来证明关于上极限的等式,关于下极限的情况可类似证得.记A=lim n→∞sup A n,B=∩∞n=1∪∞m=nA m.事实上,设x∈A,则对任意取定的n,存在m>n,使得x∈A m,即对任意n,总有x∈∪∞m=nA m,故x∈B,继而A B.反之,设x∈B,则对任意的n>0,总有x∈∪∞m=nA m,即总存在m(m≥n),使得x∈A m,故x∈A,继而B A,从而A=B,另一等式可同样证明.□若集合列{A n}满足：A n A n+1,n∈N,则称{A n}是单调增加集合列；若A n A n+1,n∈N,则称之为单调减少集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.具体地,若{A n}为单调增加集合列,则lim n→∞A n=∪∞n=1A n;若{A n}为单调减少集合列,则lim n→∞A n=∩∞n=1A n.例 1.1.3 设{A n}是如下一列点集：A2m+1=0,2-12m+1〗, m=0,1,2,…,A2m=0,1+12m〗, m=1,2,….我们来确定{A n}的上、下极限.因为闭区间\中的点属于每个A n,n=1,2,…,而对于开区间(1,2)中的每个点x,必存在自然数N(x),使得当n>N(x)时,有1+12nN(x)时,x A2n,但x∈A2n+1.换言之,对于开区间(1,2)中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即{A n}中有无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即{A n}中不含有x的集合不会是有限个.又区间\lim n→∞ sup A n=\n→∞ inf A n=\.例1.1.4 设{A n}为：当n=2k时,A2k=(x,y)0≤x≤2k,0≤y≤12k, k∈N;当n=2k+1时,A2k+1=(x,y)0≤x≤12k+1,0≤y≤2k+1, k∈N.则lim n→∞ sup A n={(x,0)|x≥0}∪{(0,y)|y≥0}; lim n→∞ inf A n={(0,0)}.定义1.1.3 设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”(x,y)(其中x∈A,y∈B)形成的集合为A与B的直积集或笛卡儿（Descartes）积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},其中(x,y)=(x′,y′)是指x=x′,y=y′,X×X也记为X 2.例 1.1.5 设A={1,2,3},B={4,5}，则A×B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.例1.1.6 \×\为平面上单位闭正方形.例1.1.7 Q×Q=Q Q2为平面上有理点集.习题习题1. 试证：(1) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(2) (A\\B)∪B=(A∩B)\\B的充要条件是B=;(3) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C).2. 证明：(1) A△B=B△A;(2) (A△B)△C=A△(B△C);(3) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);(4) 对任意的A,B,存在C使得A△C=B.3. 设{A n}是一集合列，作B1=A1,B n=A n-∪n-1k=1A k,n=2,3,…,试证{B n}互不相交,且∪ni=1A i=∪nj=1B j,n=1,2,…,∞.4. 设f(x),g(x)是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k≠0.则(1) {x: f(x)≥a}=∩∞n=1x: f(x)>a-1n;(2) {x: |f(x)g(x)|>a}{x: |f(x)|>k}∪x: |g(x)|>ak.5. 试证：(1) ∪∞i=1(A\\B i)=A∩∞i=1B i; (2) ∩∞i=1(A\\B i)=A∪∞i=1B i.6. 设A2n-1=0,1n,A2n=(0,n),n=1,2,….求出集合列{A n}的上限集和下限集.7. 设A n=E,n=2k-1,F,n=2k, k=1,2,…,求集合列A n的上限集和下限集.8. 设A n=mn: m为整数,n=1,2,…,试证lim n→∞ supA n=Q,lim n→∞ inf A n=Z.9. 设{f n(x)}是\上的一列函数,且存在E\使得lim n→∞f n(x)=1, x∈\\\E,0, x∈E.令E n=x∈\: f n(x)≥12,求集合lim n→∞E n.10. 设{f n(x)}以及f(x)是定义在R上的实值函数,则使{f n(x)}不收敛于f(x)的一切点x所形成的集合为∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx: |f n(x)-f(x)|≥1k. 11. 设εk>0 (k=1,2,…) ,εk随着k→∞单调下降趋于0.f(x),f n(x) (n=1,2,…）定义在E上,lim n→∞f n(x)=f(x)(x∈E),试证：对任意的a有(1) E\=∪∞k=1lim n→∞E\;(2) E\=∩∞k=1lim n→∞E\;(3) E\=∪∞k=1lim n→∞E\.注： E\={x∈E|f(x)>a}.1.2 映射、基数与可数集1.2 映射、基数与可数集我们都知道,实数是可以比较大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的差别呢？直观地想,如果是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个元素的集合,集合的大小该怎么比较呢？全体实数构成的集合就一定比全体正实数构成的集合大吗？在对集合的定义和基础运算有了一定的了解之后,我们接下来就介绍一下用以刻画集合大小的概念：基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的最后,我们还将向大家介绍一种最常见的集合：可数集.1.2.1 映射大家都熟悉函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化.定义1.2.1 给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,则称这个对应为映射.若用φ表示这种对应,则记为φ: X→Y并称φ是从X到Y的一个映射.此时,x∈X在Y 中对应元y称为x在映射φ下的像,x称为y的一个原像,记为y=φ(x).进而,y的原像集为{x|y=φ(x),x∈X},记为φ-1(y).φ(X)={y|y=φ(x),x∈X}Y称为映射φ: X→Y的值域,而X为定义域.特别地,若φ(X)=Y，则称映射φ是满射,也称为到上的映射(X到Y 上的映射)；若对于每个y∈φ(X)其原像集φ-1(y)是单点集,等价地,若x1,x2∈X,当φ(x1)=φ(x2)时必有x1=x2,则称该映射是单射,也称为一一映射.注1.2.1 一一映射存在逆映射,即φ-1: φ(X)→X,φ-1(y)=x,当φ(x)=y 时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应.给定映射φ: X→Y,及A X,Bφ(X),则A的像集为φ(A)={y|y=φ(x),x∈A},B的原像集为φ-1(B)={x|φ(x)∈B}.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式：φ∪α∈ΓAα=∪α∈Γφ(Aα), φ∩α∈ΓAα∩α∈Γφ(Aα);φ-1∪α∈ΓAα=∪α∈Γφ-1(Aα), φ-1∩α∈ΓAα=∩α∈Γφ-1(Aα).例1.2.1 给定非空集合X,定义其非空子集A上的特征函数为χA(x)=1,x∈A,0,x A.于是A→χA是从X的幂集2X到{0,1}上的映射.而且可以利用特征函数来反馈集合本身的特征：χA(x)≤χB(x)A B,χA(x)χB(x)=0A∩B=.1.2.2 基数给定一个集合,若它只含有限个元素则称为有限集；否则,就称为无限集.对于有限集来说,若不考虑元素的具体特性,则所含元素的个数是一个基本而重要的量,因与元素个数有关的问题一般会涉及元素个数的比较.两个有限集是否含有相同数量的元素可用能否建立一一对应来衡量.受此启发,尽管对于无限集来说谈论个数没有实际意义,但比较两个无限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一对应来度量.定义1.2.2 给定集合A,B,若存在从A到B的一一对应,则称集合A 与B对等,记为A～B.对等关系有下述性质. 定理1.2.1 任给集合A,B,C,有(1) （自反性）A～A;(2) （对称性）若A～B,则B～A;(3) （传递性）若A～B,且B～C,则A～C.符合上述三条的关系称为等价关系.因此,集合之间的对等是一种等价关系.下面,我们描述性地给出集合基数的概念.定义1.2.3 设A,B为给定两个集合,如果A～B,那么就称集合A与集合B的基数或者势相同.记为=.因此,对等的集合具有相同的基数（势）.特别地,当A是非空有限集时,则存在某自然数n0使得A与{1,2,…,n0}一一对应,而{1,2,…,n0}由n0唯一确定,于是可以认为=n0.由此知,基数（势）的概念是通常元素个数的推广.以下给出一些常见的集合的例子.例1.2.2 (0,1)～R.事实上,令φ:x→tanπx-π2,则易知φ建立了(0,1)与R之间的一一对应.例1.2.3 任意两个圆周上的点集具有相同的基数.事实上,不妨令任给的两个圆同圆心,于是让从圆心出发的同一条射线与两个圆的交点相互对应,则该对应是一一对应.有了集合大小的概念--基数,接下来,我们给出基数大小比较的法则.定义1.2.4 给定两个集合A和B,若存在B的子集B1使得A～B1,则称A的基数不大于B的基数,记为≤;若≤,并且≠,此时称A的基数小于B的基数,记为<.自然数可以比较大小,类似地,基数也可以比较大小.即,对于任意给定的两个基数α,β,关系式α<β,α=β,α>β,这三者中有且仅有一式成立.证明要涉及集合论的公理系统,超出本教材范围,故略.对于自然数a,b,若a≤b且b≤a则a=b.对于基数也有类似的结论,也就是说集合的大小在某种意义下也是可以比较的. 定理1.2.2（伯恩斯坦（Bernstein）定理）给定集合A,B,若≤且≥,则=.证明由题设,存在双射φ: A→φ(A)B,及双射ψ: B→ψ(B) A.下面用迭代法寻找A′A及B′B,使得φ(A′)=B\\B′,同时ψ(B′)=A\\A′.为此,考虑下面的方程组：φ(A′)=B\\B′, ψ(B′)=A\\A′,等价地A′=A\\ψ(B′), B′=B\\φ(A′). (1.4) 为了求解方程组(1.4),运用迭代法,逐次作A1=A\\ψ(B), B1=B\\φ(A1),A2=A\\ψ(B1), B2=B\\φ(A2),A n=A\\ψ(B n-1), B n=B\\φ(A n),由上述构造知,A i A,B i B,i=1,2,….注意到ψ是一一映射,于是有ψ∩∞i=1B i=∩∞i=1ψ(B i),再结合德摩根律,有∪∞i=1A i=∪∞i=1(A\\ψ(B i-1))=A∩∞i=1ψ(B i-1)=Aψ∩∞i=1B i-1=Aψ∩∞i=1B i,此处记B0=B.类似地,可得∩∞i=1B i=∩∞i=1(B\\φ(A i))=Bφ∪∞i=1A i.从而,式(1.4)有解A′=∪∞i=1A i, B′=∩∞i=1B i.定义映射Φ(x)=φ(x),x∈A′,ψ-1(x),x∈A\\A′.由上述构造知,φ(A′)=B\\B′,ψ-1(A\\A′)=B′,于是Φ是满射.至于Φ的单射性由φ及ψ的单射性即得.因此,Φ是从A到B上的一一对应.从而,A～B.□推论1.2.1 设A B C,A～C,则A～B,B～C.证明以A～B为例,设φ是A和C之间的一个一一对应,令A*={x: x∈A,φ(x)∈B},则A*A,A*～B,取B*=A,则自然有B*～A.于是由伯恩斯坦定理有A～B.1.2.3 可数集本小节我们给出最常见的一种无穷集合--可数集的定义,并研究其相关性质.定义1.2.5 与自然数集对等的集合称为可数集,或称为可列集.于是任意的可数集A均可写成A={a1,a2,…,a n,…},反之,这种形式的集合均为可数集.可数集的基数记为0.下面的定理表明,可数集的基数在无限集中是最小的. 定理1.2.3 任意无限集均包含可数子集.证明设A是任意给定的无限集,任意取定a1∈A,因A\\{a1}仍然是无限集,再任意取定a2∈A\\{a1},依次类推,在A\\{a1,a2}中取出a3,…,在A\\{a1,a2,…,a n}中取出a n+1,照此继续,即得A的可数子集{a1,a2,…,a n,…}.进一步,我们有下述定理.□ 定理1.2.4 若X是一个无限集,Y是有限集或可数集,则X∪Y=.证明因X∪Y=X∪(Y\\X),故不妨设X∩Y=.若Y是可数集,记Y={y1,y2,…}.由于X是无限集,由定理1.2.3知,X有可数子集X1={x1,x2,…},于是有分解X=X1∪(X\\X1).令φ: X∪Y→X,使得φ(x n)=x2n,φ(y n)=x2n-1,n=1,2,…;φ(x)=x,x∈X\\X 1.由此构造知φ是X与X∪Y之间的一一对应;若Y为有限集,则对应的X1取为与Y有相同个数的X中的有限集,然后类似于上面的证明即得.□众所周知,有限集不可能和它的任意真子集建立一一对应关系.无限集与有限集的本质区别就在于此,即下面的定理. 定理1.2.5 集合X是无限集的充要条件是,存在X的真子集Y有Y～X.证明因若X是有限集时,X不可能与它的任意真子集对等,由此得证充分性；下证必要性：任取X的一个有限子集A,因X是无限集,故X\\A 亦是无限集,利用定理1.2.4得,X\\A=(X\\A)∪A=,记Y=X\\A,得证.□下面一系列定理关心的是集合及其子集的可数性问题. 定理1.2.6 可数集的子集如果不是有限集,则一定是可数集.证明设A是可数集,A1是A的一个无限子集.首先,因A1A,故A1≤;其次,因A1是无限集,由定理1.2.3可知,≤A 1.于是由伯恩斯坦定理得,A1=,即A1是可数集.□ 定理1.2.7 设A为可数集,B为有限或可数集,则A∪B为可数集.证明设A={a1,a2,…},B={b1,b2,…,b n}或B={b1,b2,…,b n,…}.(1) 先设A∩B=,由于可数集总可排成无穷序列,当B有限时,A∪B={b1,b2,…,b n,a1,a2,…}；当B可数时,A∪B={a1,b1,a2,b2,…,a n,b n,…},可见A∪B总可以排成无穷序列，从而是可数集.(2) 一般情况下,此时令B*=B-A,则A∩B*=, A∪B*=A∪B.由于B至多可数,故B*作为B的子集,也至多可数（有限集或可数集）,由(1)的证明知,A∪B*可数,故A∪B也可数.□推论1.2.2 设A i(i=1,2,…,n)是有限集或可数集,则∪ni=1A i也是有限集或可数集,但如果至少有一个A i是可数集,则∪ni=1A i必为可数集. 定理1.2.8 可列个可数集的并集是可数集.证明设{A n} (n=1,2,…）是一列可数集.(1) 先设A i∩A j=(i≠j),因为A i都是可数集,于是可记A n={a n1,a n2,…,a nk,…}, n,k=1,2,…, 从而∪∞n=1A n中元素可按下述方式排成一列：∪∞n=1A n={a11,a21,a12,a31,a22,a13,a41,…,a ij,…},规则是：a11排第一位,当i+j>2时,a ij排在第j+∑i+j-2k=1k位.因此∪∞n=1A n是可数集（注：当部分A i是有限集时仍适用）.(2) 一般情况下,各A i可能相交,令A*1=A1,A*i=A i-∪i-1j=1A j (i≥2),则A*i∩A*j=(i≠j)且∪∞i=1A i=∪∞i=1A*i.由A i可数易知A*i都是有限集或可数集,如果只有有限个A*i不为空集,则由推论1.2.2 易知∪∞i=1A*i为可数集（因为至少A*1=A1为可数集）;如果有无限多个（必为可数个）A*i不为空集,则由(1)知∪∞i=1A i=∪∞i=1A*i也是可数集,故在任何场合∪∞n=1A n都是可数集.□推论1.2.3 (1) 有限集与可数集的并是一可数集;(2) 有限个可数集的并是一可数集;(3) 可数个互不相交的非空有限集的并是一可数集;(4) 可数个可数集的并是一可数集.例1.2.4 整数集,有理数集均为可数集.事实上,整数集Z=N∪(-N),其中-N为负自然数全体的集合. 因映射f: N→-N,f(n)=-n,建立了N与-N 之间的一一对应,故-N是可数集.于是由定理1.2.7知Z是可数集.对于有理数集,记Q+为正有理数全体的集；Q-为负有理数全体的集,于是Q=Q+∪Q-∪{0}.令A n=1n,2n,3n,… (n=1,2,…),则A n (n∈N）是一列可数集,而Q+=∪∞n=1A n,从而由定理1.2.8知Q+亦可数；又Q-与Q+通过映射f(x)=-x (x∈Q+）建立了一一对应,于是Q-也可数.再利用定理1.2.7即得Q是可数集.由例1.2.4易得下面一些今后很有用的结论：有理系数多项式全体所构成的集合是可数集；R中无限个互不相交的开区间所形成的集是可数集.事实上,在每一个开区间中任意取定一个有理数,由题设可知开区间与取定的有理数是一一对应的.因此这些有理数形成Q的一个无限子集,记为Q1,由定理1.2.6得Q1可数,从而得证.注1.2.2 若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集,即A={a x1,x2,…,x n|x k=x k(1),x k(2),x k(3),…;k=1,2,…,n},则A为可数集.例1.2.5 元素(n1,n2,…,n k)是由k个正整数所组成的集合,其全体构成一可数集A={(n1,n2,…,n k)|n i∈Z+}.例 1.2.6 整系数多项式a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n的全体是一可数集.记a a0,a1,…,a n=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n,则整系数多项式的全体可记为∪∞n=1A n，为可数集,其中A n={a a0,a1,…,a n}.代数数的全体是一个可数集（所谓代数数,就是整系数多项式的根）.事实上,整系数多项式的全体可数,而每一个整系数多项式只有有限个根,故代数数的全体是一个可数集.例1.2.7 N与R不对等,即N≠R.若不然,存在N与R的一个一一对应,将与N中n对应的元素(n)记为r n,则R上至少有一个单位长度的区间不含r1,不妨设此区间为I1=\,将\分为三等分,则0,13〗,23,1〗中至少有一个不含r2,以I2表示这个区间,将I2三等分,其左、右两个区间中至少有一个区间不含r3,记为I3,依此类推,可得一串闭区间{I n},满足：(1) I1I2I3…,且I n的长度趋于0;(2) r n I n,n=1,2,….由闭区间套定理知∩∞i=1I n≠,但对任意的m,r m∩∞i=1I n,换言之,∩∞i=1I n不在R中,这是不可能的.这一矛盾说明,N与R不可能对等.例1.2.8 R上任一单调函数的不连续点全体的集至多可数,即或为空集,或为有限集,或为可数集.不妨设f(x)是单调递增函数.若f(x)在R上连续,则其不连续点集为空集；若存在间断点x1,由柯西（Cauchy）收敛原理可知,f(x1-0)与f(x1+0)均存在,于是f(x1-0)=lim x→x1-f(x)<lim x→x1+f(x)=f(x1+0).表明x1对应开区间(f(x1-0),f(x1+0)).对于两个不同间断点x1和x2,由函数f(x)的单调性可得,开区间(f(x1-0),f(x1+0))与(f(x2-0),f(x2+0))互不相交.进而,由上面的分析知,f(x)的不连续点集与上述开区间形成的集合之间存在一一对应,于是,或为有限集,或为可数集.1.2.4 不可数集与连续基数对于一个无限集,若不是可数集,则称之为不可数集. 定理1.2.9 开区间(0,1)是不可数集.证明用反证法：假若(0,1)是可数集,则可记(0,1)={a(1),a(2),a(3),…}.而每个a(i) (i=1,2,…）均可按下述方式唯一表示成十进制纯小数：a(1)=0.a(1)1a2(1)a3(1)…,a(2)=0.a(2)1a(2)2a3(2)…,a(3)=0.a1(3)a(3)2a3(3)…,规定,上述各数不能从某位起全为0.令0.b1b2b3…满足：b n=1,当a(n)n≠1;b n=2,当a(n)n=1. 由上述构造知,0.b1b2b3…∈(0,1),但0.b1b2b3…{a(1),a(2),a(3),…}这与假设(0,1)={a(1),a(2),a(3),…}矛盾.□由前面的例1.2.2及定理1.2.9得,实数集R是不可数集.今后用c表示实数集R的基数,称之为连续基数（势）.而且由定理1.2.9知c>0.例1.2.9 (a,b)=c,其中a,b∈R.事实上,令φ(x)=a+x(b-a),x∈(0,1),则φ建立了(0,1)与(a,b)之间的一一对应,于是(a,b)=(0,1)=c.类似地,可证(-∞,0)=(0,+∞)=\=(a,b\]=\=\=(0,1)=c.下面的定理关心的是连续基数的性质问题. 定理 1.2.10 设A1,A2,…,A n,…是一列互不相交的集合,它们均有连续基数,则并集∪∞n=1A n也有连续基数.证明注意到\N及\N,故∪∞n=1A n～∪∞n=1\即∪∞n=1A n有连续基数.□由定理1.2.10易知,平面R2有连续基数,即R2=c. 类似地有R n=R∞=c,此处R∞是指可数个R的笛卡儿积.定理1.2.3告诉我们,可数集在无限集中间基数最小,那么有没有最大的基数呢？答案是否定的,即下面的结论. 定理1.2.11 任给一个非空集合A,2A是其幂集,即由A的所有子集形成的集合.则2A>.证明假若A～2A,则存在一一对应φ: A→2 A.于是对于每个a∈A,都唯一存在A的子集φ(a)与之对应.作A的子集A0={x∈A|xφ(x)}.根据假定,应有A中元素a0与A0对应.由此,若a0∈A0，则与A0的定义矛盾；若a0A0，则由A0的定义知a0又应该属于A0,矛盾.于是A与2A不对等.进而,单点集全体形成2A的真子集,记为A ~,显然A ~～A,因此2A>.□例1.2.10 {0,1}N=c,其中{0,1}N记从自然数集N 到两点集{0,1}的所有映射形成的集.事实上,对于任意的f∈{0,1}N,令φ: f→∑∞n=1f(n)2n,则φ是从{0,1}N到(0,1\]的一一映射,于是有{0,1}N≤(0,1\];另一方面,每个x∈(0,1\]均可唯一表示(规定下面二进制表达式中必须出现无限多个1)为x=∑∞n=1x n2n, x n∈{0,1}.令f x(n)=x n,n∈N,则f x∈{0,1}N.进而,定义映射φ: x→f x,x∈(0,1\],则φ是从(0,1\]到{0,1}N的一一映射,于是有(0,1\]≤{0,1}N,再利用伯恩斯坦定理即得{0,1}N=(0,1\]=c.注意到N=0,例1.2.10用记号表示,即20=c.既然没有最大的基数,那么限定在0与c之间情况又如何呢？集合论的奠基者康托尔于1878年提出下面的猜想：在0与c之间没有基数存在,即不存在集合X,使得0<习题习题1. 设f: X→Y是一个满射,证明下列3个命题等价：(1) f是一一映射;(2) 对任意的A,B X,有f(A∩B)=f(A)∩f(B);(3) 对任意的A,B X,若A∩B=,则f(A)∩f(B)=.2. 设f: X→Y,证明f是满射的充要条件是,对任意的A Y,有f(f-1(A))=A.3. 设映射f: X→Y,AαX,BαY,α∈I(I为指标集),试证：(1) f∪α∈IAα=∪α∈If(Aα);(2) f∩α∈IAα∩α∈If(Aα);(3) 若Bα1Bα2,则f-1(Bα1)f-1(Bα2),αi∈I,i=1,2;(4) f-1∪α∈IBα=∪α∈If-1(Bα);(5) f-1∩α∈IBα=∩α∈If-1(Bα);(6) f-1(Y-Bα)=f-1(Y)-f-1(Bα).4. 设E是X的子集,定义在X上的特征函数为χE(x)=1,x∈E,0,x∈X-E.如果A,B,A n(n=1,2,…)都是X的子集.证明：(1) χA∪B(x)=χA(x)+χB(x)-χA(x)·χB(x);(2) χA∩B(x)=χA(x)·χB(x);(3) χA-B(x)=χA(x)(1-χB(x));(4) χlim n→∞ sup A n(x)=lim n→∞ sup χA n(x);(5) χlim n→∞ inf A n(x)=lim n→∞ inf χA n(x).5. 设A1A2,B1B2,φ1,φ2分别是A1到B1,A2到B2的一一映射,问是否一定存在A2\\A1到B2\\B1的一一映射?6. 试构造(0,1)与\7. 试构造出一个从无理数集Q c到实数集R之间的一一映射.8. 试证：若集合A中每个元素由n个独立的记号决定，各记号跑遍一可数集B,即A={a x1x2…x n|x k∈B,k=1,2,…,n},则A为可数集.9. 平面点集A中任意两点之间的距离都大于某一固定常数d,且d>0,则A至多为可数集.10. 设A=B∪C,=c,则B与C中至少有一个集合的势为c.11. 如果A=∪∞n=1A n,=c,则至少有一个A n的势为c.12. 试证：若A B,且A～A∪C,则有B～B∪C.13. 证明： \上的全体无理数作成的集合其基数是c.14. 证明：若E是可列集,则E中存在可列个互不相交的真子集.15. 若f(x)是R上的实值函数,则集合A1={x|x∈R,f(x)在x处不连续,但右极限f(x+0)存在}是可数集.16. 证明\上的连续函数全体C\的势为c.17. 若对任意有限个x: x1,x2,…,x n,M>0,使得∑ni=1f(x)≤M成立,试证,能使f(x)≠0的x的集合至多为可数集.18. 证明(a,b)上的凸函数在除一个至多可数集的点外都是可微的.1.3 R n中的点集1.3 R n中的点集1.3.1 n维欧氏空间R n R是实数集,其几何表示即数轴；R2={(x,y)|x,y∈R}是有序实数对全体形成的集合,其几何表示即坐标平面.对于任意的x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R2,定义两种线性运算：(1) 加法,x+y=(x1+y1,x2+y2);(2) 数乘,αx=(αx1,αx2),α∈R.则R2关于这两种运算构成线性空间,(0,1),(1,0)是R2的一组基,因个数为两个,故R2称为二维线性空间.因平面上的点与从原点出发以该点为终点的向量一一对应,故R2又称为向量空间,其中的元素又称为向量.平面几何（欧几里得（Euclid）几何）及平面解析几何就是建立在R2基础之上的.推而广之,有下面的定义.定义 1.3.1 n维欧氏空间为集合{x=(x1,x2,…,x n)|x i∈R, i=1,2,…,n(n∈N)},记为R n,或记为R×R×…×R,共n个R.类似地,R n关于上述加法及数乘运算构成一个线性空间,e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,e n=(0,0,…,0,1)为R n 的一组基.沿用二维线性空间的称谓,R n也称为n维向量空间,其中的元素称为点或向量.对于任意的x=(x1,x2,…,x n),y=(y1,y2,…,y n)∈R n,定义d(x,y)=∑ni=1(x i-yi)212, 则d(x,y)有下述3条性质：(1) 正定性,d(x,y)≥0,且d(x,y)=0x=y;(2) 对称性,d(x,y)=d(y,x);(3) 三角不等式,d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).这3条性质是距离的本质刻画,因此,上面定义的d(·)是R n上的一种距离,于是(R n,d(·))称为距离空间.性质(1), (2)由定义立得；性质(3)的证明要用到下述柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式.引理1.3.1（柯西-施瓦茨不等式)。
第一节 n维欧氏空间 实变函数课件
y,必有O(x,12 x )
O(
y,
1 2
y
)
否则, 若z O(x,12x ) O( y,12 y )
则d (x,( z, ,
y)
1 2
x
1 2
y
max{ x ,
y}
这与（*）式矛盾，
所以
{O(
x,
1 2
x
)
|
x
A}
是一簇两两不交的开区间，
从而A至多可数。
⒊聚点的等价描述
第二章 n 维空间中的点集
第一节 n维欧氏空间
⒈度量空间
定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射， 且满足
⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）
则称(X,d)为度量空间.
⒉欧氏空间中各类点的定义
点P0的δ邻域： O( p0 , ) { p | d ( p0 , p) }
P0为 E的接触点： 0,有O( p0, ) E
记 E 为 E的闭包（接触点全体）
P0为 E的聚点： 0, 有O( p0 , ) (E { p0})
记 E' 为 E的导集（聚点全体） 接触点、聚点 不一定属于E
定义：称点列{pn}
收敛于p0
,
记为：lnim
pn
p 0
若
lim
n
d
(
pn
,
p0
)
0,
即 0, N 0, n N , 有pn O( p0 , )
Pn P0 δ
定理：下列条件等价：
《实变函数论》课件
共轭内积和正交函数系
1
内积的概念和性质
实内积空间的定义和内积的基本性质。
2
共轭内积和正交函数
共轭内积的作用和正交函数的性质。
3
正交函数系的判定
判断一组函数是否为正交函数系的条件。
度量空间和完备空间的概念和定理
度量空间的概念
距离、度量、度量空间的 基本概念和性质。
完备空间的定义
完备空间的定义和完备空 间的常见例子。
完备空间的性质
完备空间的性质和完备性 的判定方法。
巴拿赫空间及其应用
巴拿赫空间的定义
泛函分析的应用
巴拿赫空间的定义和典型例子。
泛函分析在数学和物理领域中 的应用。
范数空间和巴拿赫空间
范数空间、巴拿赫空间之间的 关系和性质。
实变函数论
一、实变函数的概念和基本性质
连续函数及其性质
连续函数定义
函数连续的必要条件与充分条 件。
连续函数的常见性质
一致连续函数
闭区间上的连续函数一致连续， 最值和介值定理。
一致连续函数的定义和主要性 质。
变量的极限和连续性
1
函数的连续性
2
间断点的分类和连续函数的性质。
3
函数的极限
点极限、上极限、下极限的定义和性 质。
反常极限
无穷极限、无穷小量的定义和应用。
可积函数的概念和定理
可积函数的定义
黎曼可积函数与可积性的条件。
黎曼积分的性质
可积函数的性质，可积函数与连续函数的关系。
积分中值定理
黎曼积分中值定理的证明和应用。
点集上的函数
连通集与间断点
闭集与开集
连通集的性质和间断点的判定。 闭集、开集的定义和性质。
实变函数论PPT课件
VS
牛顿-莱布尼兹公式
对于任何给定的连续函数，在区间上的定 积分都可以通过求和的方式计算，该求和 公式称为牛顿-莱布尼兹公式。
微分与积分的应用举例
微分的应用
积分的应用
在物理学中，微分被广泛应用于计算速度、 加速度、位移等物理量；在经济学中，微分 被用于计算边际成本、边际收益等经济指标。
在物理学中，积分被广泛应用于计算面积、 体积、能量等物理量；在经济学中，积分被 用于计算总成本、总收入等经济指标。
实数集合R在通常的度量下是连 续的，即任意两个不同的实数之 间都存在其他实数。
在实数集合R中，任意两个不同 的实数之间都存在无限多的其他 实数。
实数的运算性质
加法性质
实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数x、y和z， 有x+y=y+x、(x+y)+z=x+(y+z)。
01
乘法性质
实数的乘法满足结合律，即对任意实数 x、y和z，有(x*y)*z=x*(y*z)。
有限覆盖定理
如果E是一个闭区间，{[a(n),b(n)}是一个开区间族，且E被 {[a(n),b(n)}覆盖，那么存在一个有限的子集族 {[a(n_i),b(n_i)}使得E被它覆盖。
03
集合论基础
集合的定义与性质
总结词
集合的基本概念和性质
详细描述
集合是由某些确定的元素所组成的，具有明确的概念和性质。集合可以通过列举法或描述法进行定义，并具有确 定性、互异性和无序性等基本性质。
实变函数论ppt课件
目录
• 引言 • 实数理论 • 集合论基础 • 测度论基础 • 可测函数与积分理论 • 微分与积分定理 • 实变函数论的应用
实变函数课件
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。
实变函数论ppt课件
21
第27讲 Lp-空间简介
| f (x) g(x) || f (x) | | g(x) | a.e.[E]
这意味着 f (x) 与 g (x) 的符号在E上几乎处处
1
相 同， 从而由 | f (x) | c p | g(x) | a.e.[E] 得
1
1
f (x) c p g (x) a.e.[E] 所以 f (x) c p g(x) a.e.[E] ，
由上面的讨论，显见对任意 f , g Lp (E，) 有
0 ( f , g)
7
第27讲 Lp-空间简介
即 是Lp (E) Lp (E) 上非负的有限函数。它是不是Lp (E) 上的距离呢？为此，设 ( f , g) 0 ，则得
1
[ | f (x) g(x) |p dx] p 0 ， E
则显然有 [ f ] [g] 。这样， 作为 Lp (E) Lp (E)
上的函数的确满足距离定义中的（i），至于（ii）则是
显而易见的，所以只需验证它是否满足（iii）。
10
第27讲 Lp-空间简介
为方便起见，以后也用 f 记 [ f ]，只要说f Lp (E)
则指的就是与 f 几乎处处相等的函数类[ f ] ，若
证毕。
由定理2不难看到 Lp (E) Lp (E上) 的函数
满足三角不等式，即对任意 f , g, h Lp (E) ，
22
第27讲 Lp-空间简介
有 ( f , g) ( f , h) (h, g) 。 1
事实上， ( f , g) [ |f (x) g(x) |p dx] p 1
|f g |p dx 0 ，且
p 1
，注意到
p
实变函数论4 n维空间中的点集、聚点、内点、界点(课堂PPT)
E 的 内 点 必 为 E 的 聚 点 , 但 E 的 聚 点 未 必 是 E 的 内 点 .
E 的 聚 点 可 能 属 于 E 也 可 能 不 属 于 E , 但 E 的 孤 立 点 一 定 属 于 E . E 的 边 界 点 不 是 聚 点 E 便 是 孤 立 点 .
U(x,)U(xi,i), i 1,2. （iv）若x y,存在U(x,)和U(y,),使U(x,) U(y,)
（ i） i y U ( x ,) , 0 使 U ( y ,) U ( x ,);
证仅 明证 i） i （ 令 (y,x)则 , 0.若 z U (y,)则 , (z,y),从(而 z,x)(z,y)(y,x) (),故 z U (x,),于U 是 (y,) U (x,).6
（ 1）
称为开区间, 记作（a1,b1;a2,b2; ;aN,bN）. 若把（1）中的诸不等式换成 ai xi bi, i 1,2,
称I 为闭区间, 记作[a1,b1;a2,b2; ;aN,bN]. 若把（1）中的诸不
, N, 则
等式换成 ai xi bi, i 1,2, , N，则 称I 为半开区间,记作(a1,b1;a2,b2; ;aN,bN].
22
*定理4 （波尔察诺-外尔斯特拉斯（Bolzano-
Weierstrass）定理）若 E是 R n 中一 个有界的无穷集合，则 E 至少有一个 聚点 P ，即 E。 *定理5 若E，ERn, 则 E 至少有一个 界点，即 E 。
p 0
证明：(3) (2) (1)显然，下证 (1)(3) 16
命 题 1x 0是 E 的 聚 点 E 中 存 在 着 一 列 异 于 x 0的 点 x 1 ,x 2 ,x 3 , 收 敛 于 x 0 .
实变函数论4 n维空间中的点集、聚点、内点、界点
收敛于 x0 的点列, 记作
lim
n
xn
x0
或
xn
x0 .
定 义 2' 设xnn 1是 RN中 的 一 点 列 , x0RN. 若
lni m d(xn,x0)0,
称 x0为 点 列 xn的 极 限 , 记 作lni m xnx0或 xn x0.
精品课件
定 义 3 两 个 非 空 的 点 集A,B的 距 离 定 义 为 d(A,B)infd(x,y).
i 1
⑵离散空间(X , d)，其 中
d(x,y){10
xy xy
⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续 函数
全体), 其中 d(x,y)m|a x(tx )y(t)| a t b
精品课件
定义 1 设 x0 RN , 0. RN 中到 p0 的距离小于 的所有点组成之集
xA yB
定 义 3 ' 两 个 非 空 的 点 集 A ,B 的 , 若 A = { x } ,则 点 到 集 合 的 距 离 定 义 为 d (x ,B ) in fd (x ,y ) .
y B
注 ： a . 若 x B , 则 d x , B 0 ; 反 之 则 不 一 定 成 立 ， 如 x 0 , B 0 , 1 .
定 义 5' 设 M 为 R N中 一 点 集 , 若 (M ) ,
则 称 M 是 有 界 集 .
精品课件
定义
分量都是实数的有序 N 数组（x1, x2 ,
,
x
）
N
之
全体称为 R N 空间, 简称 R N . N 称为 R N 的维数.
R N 的 元 素 x （x1, x2 ,
最新实变函数课件课件ppt
执业医师法
医务科
主要内容
概述 医师的权利和义务 医师执业规则 医师考核与培训 医师的法律责任
一、执业医师的权利和义务
医师的权利 1、在注册的执业范围内，进行医学诊查、疾
病调查、医学处置、出具相应的医学证明 文件，选择合理的医疗、预防、保健方案 2、按照国务院卫生行政部门规定的标准，获 得与本人执业活动相当的医疗设备基本条 件； 3、从事医学研究、学术交流，参加专业学术 团体；
二、医师执业规则
5、拒绝受贿及不正当利益 • 第27条：医师不得利用职务之便，索取、
非法收受患者财物或者牟取其他不正当利 益。 •
二、医师执业规则
• 刑法第163条【非国家工作人员受贿罪】公 司、企业或者其他单位的工作人员利用职 务上的便利，索取他人财物或者非法收受 他人财物，为他人谋取利益，数额较大的， 处五年以下有期徒刑或者拘役；数额巨大 的，处五年以上有期徒刑，可以并处没收 财产。
实变函数课件
•达布上和与下和
上积分（外包） 达布上和的极限
b
n
a f(x)dx|T l||i |m 0i1Mixi
xi-1 xi
b
n
(R) a
f(x)dx |T l| || i0m i1f(i)xi
•
Riemann积分
下积分（内填） 达布下和的极限
b
n
a f(x)dx|T l||i | m 0i1mixi
十分危重，身体处于危险状态的患者。 • 对急危患者，医师应当采取紧急措施进行
诊治；不得拒绝急救处置。
二、医师执业规则
遗弃患者的法律责任： • 拒绝救治或不负责任延误抢救和诊治，造
成严重后果的，由县级以上人民政府卫生 行政部门给予警告或者责令暂停六个月以 上一年以下执业活动；情节严重的，吊销 其执业证书；构成犯罪的，依法追究刑事 责任（过失致人死亡罪）
实变函数论课件24讲
04
实变函数的微分
实变函数的微分定义
实变函数的微分概念 微分的基本性质 微分与导数的关系 微分的应用
实变函数的微分性质
实变函数的微分定义 微分性质：可加性、可数性、可交换性 微分与导数的关系 微分在函数逼近中的应用
物理学：实变函数论在物理学中也有着重要的应用，例如在量子力学、热力学等领域 中，实变函数论可以用来描述一些物理现象。
工程学：实变函数论在工程学中也有着广泛的应用，例如在电气工程、机械工程等领 域中，实变函数论可以用来解决一些实际问题。
经济学：实变函数论在经济学中也有着重要的应用，例如在金融工程、计量经济 学等领域中，实变函数论可以用来描述一些经济现象和解决一些实际问题。
投资组合优化：实变函数论可以用于优化投资组合，提高投资收益并降低风险。
信用评级：实变函数论可以用于评估借款人的信用等级，帮助金融机构做出更明智的贷款 决策。
金融衍生品定价：实变函数论可以用于定价金融衍生品，如期权、期货等，为金融机构提 供更准确的定价模型。
在其他领域的应用
数学分析：实变函数论是数学分析的重要分支，在数学分析中有着广泛的应用。
实变函数在复分析中的应用
添加标题
添加标题
实变函数在概率论中的应用
添加标题
添加标题
实变函数在微分方程中的应用
在工程中的应用
实变函数在工程力学中的应用
实变函数在流体力学中的应用
实变函数在电气工程中的应用
实变函数在计算机科学中的应 用
在金融中的应用
风险度量和管理：实变函数论提供了一种量化风险的方法，帮助金融机构更好地管理风险。
实变函数论 PPT课件
第1讲 集合及其运算
目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本运算； 熟悉一些常用集合的符号；准确理解集合序列的 上、下限集。 重点与难点：集合序列的上、下限集。
基本内容： 一．背景 1．Cantor的朴素集合论 2．悖论 3．基于公理化的集合论
集合及其运算
• 集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数 学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的 基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有 部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分 割地联系在一起。
A B，则称A与B互不相交，显然 xAB
当且仅当 xA且 xB 。
对于一簇集合 {A}A，可类似定义其交集，
即
A A { x|对每 A ,有 x 一 A }
集合及其运算
3.并运算
假设A，B是两个集合，所谓A与B的并集（或
和集），指的是由A与B中所有元素构成的集合，
记作
，换句话说 ，
AB
集，则称A-B为B关于A的余集，记作CAB。
集合及其运算
应该注意的是，此处并未要求B是A的子集。假
如B是A的子集，则称A-B为B关于A的余集，记作
CAB。需要指出的是，我们讲某个集合的余集时， 要弄清相对于哪个集合的余集，特别是涉及到多
个集合时，尤其应注意。有时，我们总是限定在
某个固定集合A内讨论一些子集，在这种情况下，
集合及其运算
• 然而，任何一门学科的发展都不可能是帆风顺的， 也不可能是完美无缺的，正是集合论，曾经给数 学界带来了极大的恐慌，因为自从康托尔以相当 随便的方式阐述了集合论（即现在人们所说的相 互集合论）之后，人们逐渐发现它存在着不可调 和的矛盾。如罗素（Bertrand Russell）于1918年 叙述的著名“理发师”悖论，以及理查德（Jules Richard）编造的“理查德”悖论等等，都曾经常 常困扰了数学家们。
实变函数论课件4
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
定理9（i）假设M是由两个元素 p, q ( p q ) 作成 的元素序列全体，则 的元素序列 体，则 M C 。 （ii）若 Q 是可数集，则 Q 的子集全体所 构成的集合F有连续势 构成的集合F有连续势。
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
目的：掌握连续势及其基本性质，了解连 续连续势的性质。
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
一. 连续势的例 问题1：有限集或可数集的一切子集构 成的集具有大于该集的势，由 此我们可以作出何种猜测？
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
证明：略
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
二．不存在最大势
M 的一切子集 定理10 定理 10 设 M 是一集合，
所构成的集合记作
，则
M 。
定理10 说明不存在最大势。 说明不存在最大势
第4讲 连续势的集合、P进位表数法
三． 进位表数法 三．P进位表数法 略
第02章 多维空间中的点集
第二章 多维空间中的点集第一节 n 维空间及点集一、n 维空间1、 n 维空间nR ——},,,|),,,{(2121R R ∈=n n n x x x x x x .并称),,,(21n x x x x =为nR 中的点，)0,,0,0( =o 称为原点.2、x 与y 的距离),(y x ρ——设),,,(21n x x x x =,n n y y y y R ∈=),,,(21 ,定义 ∑=-=ni i i y x y x 12)(),(ρ.3、距离的性质设),,,(21n x x x x =,),,,(21n y y y y =,n n z z z z R ∈=),,,(21 ,那么 (1) 0),(≥y x ρ, 且等号成立当且仅当y x =；(2) ),(),(x y y x ρρ=；(3) ),(),(),(y z z x y x ρρρ+≤.4、点0x 的δ的邻域——}),( | {),(00δρδ<=x x x x N .简记为)(0x N . 而}),(0 | {),(00δρδ<<=x x x x N称为点0x 的去心邻域.5、点集(1) 点集——由nR 中的点组成的集合.(2) 有界点集K ∈E ——0>∃K ..t s E x ∈∀,有K x i ≤||,)(n N i ∈.而所有有界点集组成的集族用K 表示.、点x 的模——∑===ni ixo x x 12),( ρ.二、n 维空间中的点设集合nE R ⊂,n a R ∈ 1、内点(1) a 为E 的内点——E a N ⊂∃)(. (2)E 的内点集——}|{的内点为E x x E = .2、边界点(1) a 为E 的边界点——)(a N ∀, φ≠E a N )(且φ≠c E a N )(.(2) E 的边界——}|{的边界点为E x x E =∂.3、聚点(1) a 为E 的聚点——)(a N ∀, E a N )(是无穷集. (2) E 的导集——}|{的聚点为E x x E ='. (3) E 的闭包——E E E '= . (4) 离散集合E ——φ='E .4、孤立点(1) a 为E 的孤立点——E a ∂∈,但E a '∉.(2) E 的孤立点集——}|{ˆ的孤立点为E x x E =.孤立集合E ——EE ˆ=. 显然, φ='E ⇒EE ˆ=, 反之不然.4、定理(1) E a '∈ ⇔ ∃互异点列E a k ⊂}{..t s 0),(→a a k ρ,∞→k .也写成a a k →,∞→k . (a 称为极限点)证明：“⇐”0>∀δ,由于0),(→a a k ρ,∞→k ,+∈∃N m ..t s m k >时 δρ<),(a a k ,即),(δa N a k ∈,m k >,因E a k ⊂}{且是互异点列,可见E a N ),(δ是无穷集, ∴E a '∈.“⇒”因E a N )1,(是无穷集,则E a ∈∃1..t s 1),(1<a a ρ.}1{-∈∀+N k ,因E ka N )1,(是无穷集, 可见φ≠--},,,{)1,(121k a a a E ka N从而E a k ∈∃..t s 01),(→<ka a k ρ,∞→k .显然E a k ⊂}{且是互异点列.(2) E a '∈⇔)(a N∀,φ≠E a N)(.证明：“⇒”因E a '∈,则)(a N ∀,E a N )(是无穷集, 从而}{)(a E a N - 也是无穷集, 于是φ≠E a N)(.“⇐”反证.假设E a '∉,则),(δa N ∃..t s E a N ),(δ是有限集,不妨设},,,{}{),(21m a a a a E a N =-δ,取0),(min 1>='≤≤a a k m k ρδ,显然φδ='E a N),(这与条件)(a N ∀,φ≠E a N)(不符. ∴E a '∈.(3) E a '∈⇔a N ∍∀邻域,φ≠)(a E N . 其中}{)(a E a E -=. 证明：“⇐”显然. “⇒” a N ∍∀邻域,N a N ⊂∃)(,E a '∈,有φ≠E a N )(,当然φ≠)()(a E a N,于是φ≠)(a E N.(4) B A ⊂ ⇒B A '⊂'.证明：A a '∈∀,由于)(a N ∀,A a N )(是无穷集,而B A ⊂,可见A a N B a N )()(⊃也是无穷集, 于是B a '∈∴B A '⊂'.(5) B A B A ''=' )(.证明：显然)(,'⊂''B A B A ⇒)('⊂''B A B A .反过来,)('∈∀B A c ,∃互异点列B A c k ⊂}{..t s 0),(→c c k ρ,∞→k .不妨设A c '∉∀,有A c k }{是有限集,B c k }{是无穷集, 即∃互异点列B c i k ⊂}{..t s 0),(→c c i k ρ,∞→i .这样,B A B c ''⊂'∈ ,说明B A B A ''⊂' )(. ∴B A B A ''=' )(.(6) Bolzano-Weierstrass 定理：无穷n E R ⊂∈K⇒ φ≠'E .证明：因n E R ⊂∈K ,则0>∃M ..t s )}(,|| |{0n N i M x x I E i ∈≤=⊂. 由于E 无穷,显然E I 0无穷,于是E I a 01∈∃;将1-k I 等分成n2个部分,其中存在一个部分E I k 无穷,且1)()}(,2|| |{-⊂∈≤-=∈∃k k k i i k k I n N i Mt x x I a 互异,+∈N k . 由闭矩形套定理知, n k kIa R ⊂∈∃∞= 0.显然022),(),(),(22→≤+=kk k k k nM a t t a a a ρρρ,∞→k ,即E a '∈, ∴φ≠'E .(7) EE ˆ=⇔E a ∈∀,0>∃δ..t s φδ=E a N),(. 证明：“⇒”EE a ˆ=∈∀,有E a '∉,那么0>∃δ..t s φδ=E a N),(.⇐”已知E a ∈∀,0>∃δ..t s φδ=E a N),(,有E a '∉,又显然φδ≠=}{),(a E a N ,φδδ≠=),(),(a N E a N c,从而EE ˆ⊂. 反过来,若E a ˆ∈∀,有,E a '∉,于是 0>∃δ..t s φδ=E a N),(, 而E a ∂∈,知φδ≠E a N ),(,可见φ≠E a }{,有E a ∈,从而E E⊂ˆ,∴E E ˆ=.(8) EE ˆ=⇔φ='E E . 证明：EE ˆ=⇔E a ∈∀,0>∃δ..t s φδ=E a N),( ⇔E a ∈∀,E a '∉⇔c E E )('⊂⇔φ='E E .第二节 开集、闭集与完备集一、开集与闭集1、开集O ∈E ——E E ⊂. 而所有开集组成的集族用O 表示.2、闭集C ∈E ——E E ⊂'. 而所有闭集组成的集族用C 表示. 显然,C ∈E ⇔E E =.3、性质(1) C ∈'E , C ∈E .证明：①)(''∈∀E a ,),(δa N∀,φδ≠'∈∃E a N b),(⇒E b '∈⇒取0)},(),,(min{>-=b a b a b ρδρδ,φδ≠E b N b),(,注意到),(b b N x δ∈∀,有δρδρρρ<+<+≤<),(),(),(),(0a b a b b x a x b ,可见),(δa N x∈,即),(),(δδa N b N b⊂.⇒φδ≠E a N),(⇒E a '∈⇒E E '⊂'')(⇒C ∈'E . ② E E E E E E E E E E E ='⊂'=''⊂'''=''=' )()()(C ∈E .(2) C ∈F ⇒ O ∈c F ； O ∈G ⇒ C ∈c G . 证明：① c F x ∈∀⇒F x ∉,由于F F ⊂'⇒F x '∉⇒)(x N ∃,φ=F x N )(⇒c F x N ⊂)(,而c F x ∈⇒c F x N ⊂)(⇒ )(c F x ∈⇒ )(c c F F ⊂⇒O ∈c F .② )('∈∀cG x ⇒)(x N ∀,φ≠cG x N)(⇒)(x N∀,G x N ⊂/)(⇒G x ∉,而 G G ⊂⇒G x ∉ ⇒c G x ∈⇒c c G G ⊂')(⇒C ∈c G .(3) C ∈i F ,I i ∈ ⇒ C∈∈ Ii i F .证明：iIi iF F F ⊂=∈ ⇒iF F '⊂',又已知iiF F ⊂' ⇒F F F F Ii iIi i=⊂'='∈∈ ⇒C ∈=∈F F Ii i.(4) O ∈i G ,I i ∈ ⇒O ∈∈ Ii i G .证明：已知O ∈iG ,则 O ∈=∈∈c Ii c iIi i G G )( .(5) C ∈i F ,)(m N i ∈ ⇒ C∈= mi i F 1.证明：已知C ∈i F ,则 mi imi imi iFF F 111)(===⊂'='⇒C ∈= mi i F 1.(6) O ∈i G ,)(m N i ∈ ⇒ O ∈= mi i G 1.证明：已知O ∈i G ,则O ∈===c mi c i m i iG G)(11.(7) Borel 有限覆盖定理：C K ∈F ,M 是一族开邻域, M 完全覆盖了F ,则在M 中必存在有限多个邻域}{i N ,)(m N i ∈也完全覆盖了F . 证明：反证.假设M 不存在有限多个邻域覆盖F .因n F R ⊂∈K ,则0>∃M ..t s )}(,|| |{0n N i M x x I E i ∈≤=⊂.显然F I 0不存在M 的有限覆盖; 将1-k I 等分成n2个部分,其中存在一个部分F I k 不存在M 的有限覆盖当然无穷,那么1)()}(,2|| |{-⊂∈≤-=∈∃k k k i i k k I n N i Mt x x I a 互异,+∈N k . 由闭矩形套定理知, n k kIa R ⊂∈∃∞= 0, 同样有F F a a k ⊂'∈→.这样M ∈∃a N 开邻域..t s a N a ∈,因 ∞=∈k kIa ,r I ∃..t s a r N I a ⊂∈当然有a r N F I ⊂ ,这与F I r 不存在M 的有限覆盖矛盾, 可见在M 中必存在有限多个邻域}{i N ,)(m N i ∈完全覆盖F .二、完备集1、自密集E ——E E '⊂.2、完备集E ——E E '=.3、无处稠密集E ——E 不包含任何邻域.4、Cantor 集合C(1) Cantor 集合C ——设]1,0[0=A ,将1-k A 中剩下的闭区间都均分成三段并将所有中间段的开区间之并记为k B ,令k k k B A A -=-1,+∈N k , 集合 ∞=-=1]1,0[k kBC 称为Cantor 集合.(2) C ∈C ,即C 是闭集. 证明：O ∈k B O ∈⇒∞= 1k kBC ∈⇒∞= 1)(k c k B⇒C ∈=-=∞=∞= 11)(]1,0[]1,0[k c k k k B B C .(3) C C '⊂,即C 是自密集.证明：C x ∈∀,x N ∍∀邻域,在剩下的m2个闭区间x Bmk k∍-= 1]1,0[中,当m 充分大时,必有其中的一个闭区间m I ,满足N I x m ⊂∈，注意到m I 的两个端点必在C 中,这样φ≠)(x C N,于是C x '∈, C C '⊂.(4) C 是完备集. 证明：由(2)(3)显然.(5) C 是无处稠密集. 证明：显然.三、Borel 集1、G δ集——nR 中可数个开集的交. 用}|{集δδG G G =表示δG 集类.2、F σ集——n R 中可数个闭集的并. 用}|{集σσF F F =表示σF 集类.3、n 维Borel 集类——F(A)B =n ，其中：}|{中开区间为n I I R =A ,)}(,|),,,{(21n N i b x a x x x I i i i n ∈<<= .4、性质(1) 开集、闭集、δG 集、σF 集等都是Borel 集；(2) Borel 集类n B 对集合的所有运算均封闭.四、点集间的距离1、A 与B 之间的距离),(B A ρ—— 设A 与B 均非空, 定义 },|),(inf{),(B y A x y x B A ∈∈=ρρ.2、点a 到集B 的距离),(B a ρ—— 设B 非空, 定义}|),(inf{)},({),(B y y a B a B a ∈==ρρρ.3、性质(1) 0),(≥B A ρ；(2) φ≠AB ⇒0),(=B A ρ, 反之不然.4、定理(1) 非空C ∈B A ,,K ∈B ⇒B b A a ∈∈∃,..t s ),(),(B A b a ρρ=. 证明：①因},|),(inf{),(B y A x y x B A ∈∈=ρρ, +∈∀N m ,B y A x m m ∈∈∃,..t smB A y x B A m m 1),(),(),(+<≤ρρρ. ②若}|{+∈=N m y Y m 是有限集,则∃子序列B Y b y k m ⊂∈=，显然b y k m →； 若K ∈⊂∈=+B m y Y m }|{N 是无穷集,则B B Y b ⊂'⊂'∈∃,且∃子序列Y y k m ∈..t s b y k m →.③若}|{+∈=N k x X k m 是有限集,则∃子序列A X a x ik m ⊂∈=，显然a x ik m →；若A k x X k m ⊂∈=+}|{N 是无穷集, 注意到K ∈B , 由于)0,(),()0,(k k k k m m m m y y x x ρρρ+<M B A ++≤1),(ρ, 有K ∈X ,A A X a ⊂'⊂'∈∃,且∃子序列X x ik m ∈..t s a x ik m →.④因),(),(),(),(),(b y y x x a b a B A ik ik ik ik m m m m ρρρρρ++≤≤0),(001),(),(),(+++→+++≤B A m B A b y x a iik ik k m m ρρρρ, ∴),(),(B A b a ρρ=,B b A a ∈∈,.(2) ∀非空nE R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .(3) 非空⊕C K ∈21,F F ⇒ ∃⊕O ∈21,G G ..t s 11G F ⊂,22G F ⊂. 证明：由条件知,21,F b F a ∈∈∃,b a ≠..t s 0),(),(21>==b a F F d ρρ.令 O ∈<=}2),(|{dF x xG k k ρ,k k G F ⊂, .2,1=k 下面证明φ=21G G .反证.假设φ≠∈∃21G G c ,有),(22),(),(),(b a d dd b c c a b a ρρρρ==+<+≤矛盾,因此有φ=21G G .五、一维开集、闭集、完备集的构造 以下讨论的点集均为R 中的点集.1、非空C K ∈F ⇒ F 中必有一最大点和一最小点.证明：仅证F 中必有一最大点.由条件知,F a M ∈∃,F b ∉∃,b a < ..t s}|inf{),(F x x b F b a b M ∈-==-ρ,这样, F x ∈∀,有M a b x b -≥-或M a x ≤,可见M a 为F 中的最大点.2、非空O K ∈G ⇒ ∃⊕开区间i I ,.,,2,1m i =..t s mi iIG 1==.其中, +∈N m 或 ∞=m .证明：①O K ∈∈∀G x ,),(x x βα∃ ..t s G x x x ⊂∈),(βα, 记}inf{x x a α=, }sup{x x b β=, G x xxx xx J ⊂∈=),(),(βαβα, 显然G b a x x ∉,,下面证明x x x J b a =),(.显然),(x x x b a J ⊂,反过来，),(x x b a t ∈∀,不妨设 x x b x t a <≤<， 则x x βα,∃ ..t s x x x x b x t a <<≤<<βα,于是 x x x J t ⊂∈),(βα，这样x x x J b a =),(. 显然 G J b a x x x x ⊂=∈),(. ②G y x ∈∀,,必有y x J J =或φ=y x J J .若φ≠∈∃y x J J t ,显然y x t J J I =为区间, 有G I J J y x t y x ⊂=∈ ,,这样x t J I ⊂,y t J I ⊂,于是y t x J I J ==.③集合}|{G x J x ∈=M 至多可数}{k I 且⊕.这样 m k k IG 1=⊂,由②可将M 中相同的区间去掉组成集合M M =Λ∈='}|{λλJ , 而Λ∈∀λ,Q ∈∃λq ..t s λλJ q ∈, 显然λλq ↔于是a ≤Λ,即M M '=至多可数}{k I 且⊕.④ 显然k I G ⊃,有 m k k I G 1=⊃,所以 m i i I G 1==. 其中, +∈N m 或 ∞=m .3、非空C K ∈F ⇒∃⊕开区间i I ,.,,2,1m i = (邻接区间)及 ],[μν ..t s ∑=-=mi i I F 1],[μν. 其中, +∈N m 或 ∞=m . 证明：由条件知,F ∈∃μν,..t s ],[μν⊂F ,有O K ∈=-=-=c F F F G ),(),(],[μνμνμν,于是∃⊕开区间i I ,.,,2,1m i =..t s m i i I G 1==,故 ∑=-=m i i IF 1],[μν, 其中, +∈N m 或 ∞=m .4、设非空C K ∈F ,那么F 是完备集 ⇔ ∑=-=mi i I F 1],[μν. 其中, +∈N m 或 ∞=m .P38.12. 设)(P f 是定义于n R 上的实函数.证明)(P f 在n R 上连续的充分必要条件是对于1R 中任何开集G ,})(;{)(1G P f P G f∈=∆-都是n R 中的开集. 证明：“必要性” )(1G fQ -∈∀⇒G Q f a ∈=)(, 由于G 是1R 中的开集⇒0>∃ε..t s G a a ⊂+-),(εε, 因)(P f 在n R 上连续,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δρ<),(Q P 时, ε<-|)()(|Q f P f ,即G a a P f ⊂+-∈),()(εε,有)(1G f P -∈,从而)(}),(;{),(1G f Q P P Q U -⊂<=δρδ,所以)(1G f -是n R 中的开集.“充分性”n Q R ∈∀,令)(Q f a =,0>∀ε,由于),(εa U G =是1R 中的开集,知)(1G f -是n R 中的开集,由于G Q ∈,则0>∃δ..t s )(),(1G f Q U -⊂δ,从而当δρ<),(Q P 时,)(1G f P -∈,G P f ∈)(,那么ε<-|)()(|Q f P f ,所以在)(P f 在n R 上连续.。
n维欧氏空间中的点集
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
10
5
2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
E
设有点集 E 及一点 P :
• 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
O.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
二、Rn中点列的极限
2007年8月
则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D 。。
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
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例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
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⑵离散空间(X , d)，其中
d(x,y){10
xy xy
⑶ C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续函数 全体), 其中 d(x,y)m|a x(tx )y(t)|
atb
4
定义 1 设 x0 RN , 0. RN 中到 p0 的距离小于 的所有点组成之集
U (p 0,) {p|d(p 0,p )}
（i）(x,y)0; (x,y)0当且仅当xy; （ii）(x, y) (y,x); （iii）(x,y)(x,z)(z,y). （三角不等式）
3
例：
n
⑴欧氏空间（R n , d）,其中 d(x,y) (xi yi)2 i1
1 (x ,y ) m a ixx i y i;
n
2 (x ,y ) x i y i;
称为以 p0 为中心以 为半径的球形邻域, 简称 p0 的 邻域, 记作 U( p0, ). 当没必要指出 p0 和 时,就简称为球形邻域或邻域.
5
命题 球形邻域有如下四条基本性质：
（i）xU(x,); （ii）yU(x,), 则存在 0使U(y,)U(x,); （iii）若xU(x1,1),xU(x2,2), 则 0使
第4讲 n维空间中的点集
目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题。
重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理。
1
⒈度量空间
定义：设X为一非空集合，d : X×X→R为一映射， 且满足
（ 1）
称为开区间, 记作（a1,b1;a2,b2; ;aN,bN）. 若把（1）中的诸不等式换成 ai xi bi, i 1,2,
称I 为闭区间, 记作[a1,b1;a2,b2; ;aN,bN]. 若把（1）中的诸不
, N, 则
等式换成 ai xi bi, i 1,2, , N，则 称I 为半开区间,记作(a1,b1;a2,b2; ;aN,bN].
定 义 5' 设 M 为 R N中 一 点 集 , 若 (M ) ,
则 称 M 是 有 界 集 .
9
定义
分量都是实数的有序 N 数组（x1, x2 ,
,
x
）
N
之
全体称为 R N 空间, 简称 R N . N 称为 R N 的维数.
R N 的元素 x （x1, x2 ,
,
x
）
N
又
称
为
RN
的点,
点 x 的第 i 个分量又称为它的第 i 个坐标
b .若 A B ， 则 d (A , B ) 0 ； 反 之 则 不 一 定 成 立 ，
如 A n 1 /n ,B n 1 /n （ 都 是 闭 集 ）
8
定 义4 一 个 非 空 的 点 集A的 直 径 定 义 为
(A)supd(x,y).
xA yA
定5义 设 M为 RN中一 ,若 点存 集在 I使 开 IM 区 , 间 则M 称 是有 . 界集
2
定义 对于 RN 中的任意两点 x (x1, x2,..., xN ) 及
y ( y1, y2,..., yN ), 我们把非负实数
1
N i1
( xi
yi
)22Βιβλιοθήκη 称为 x 与 y 的欧几里德距离, 简称 x 与 y 的距离,
记作 (x, y) 或者 d(x, y).
命题 距离有如下三条基本性质：
（当点记为 x 时，它的第 i 个坐标通常记为 xi）.
点（0，0， ，0）称为 R N 的原点, 记作 .
10
定 义 6 设ai、 bi 是 实 数 , ai bi (i1,2, ,N).RN中 的 点集
I（ ax21 ,xx22 ,,bx2,N） |,aa1N x1x Nb 1,bN,
收敛于 x0 的点列, 记作
lim
n
xn
x0
或
xn
x0 .
定 义 2' 设xnn 1是 RN中 的 一 点 列 , x0RN. 若
lni m d(xn,x0)0,
称 x0为 点 列 xn的 极 限 , 记 作lni m xnx0或 xn x0.
7
定 义 3 两 个 非 空 的 点 集A,B的 距 离 定 义 为 d(A,B)infd(x,y).
xA yB
定 义 3 ' 两 个 非 空 的 点 集 A ,B 的 , 若 A = { x } ,则 点 到 集 合 的 距 离 定 义 为 d (x ,B ) in fd (x ,y ) .
y B
注 ： a . 若 x B , 则 d x , B 0 ; 反 之 则 不 一 定 成 立 ， 如 x 0 , B 0 , 1 .
U(x,)U(xi,i), i 1,2. （iv）若x y,存在U(x,)和U(y,),使U(x,) U(y,)
（ i） i y U ( x ,) , 0 使 U ( y ,) U ( x ,);
证仅 明证 i） i （ 令 (y,x)则 , 0.若 z U (y,)则 , (z,y),从(而 z,x)(z,y)(y,x) (),故 z U (x,),于U 是 (y,) U (x,).6
定义 2 设 x1, x2 , x3, 是 R N 中的一列点
(点列 x1, x2 , x3,
可记作
x n n1
或
xn
1
,
有时简记作 xn),
x0 R N . 若对于含 x0 的任一邻域U ,
总存在自然数 K, 使当 n K 时xn U ,
就称 x0 为点列 xn 的极限, 称 xn 是一个
⑴ d(x,y)≥ 0，d(x,y)=0当且仅当x = y（正定性） ⑵ d(x,y)=d(y,x) （对称性） ⑶ d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y)（三角不等式） 则称(X,d)为度量空间.
(X,d)为度量空间，Y是X的一个非空子集，若（Y,d）也是 一个度量空间，称（Y,d）为 (X,d) 的子空间。
11
I （ a x 2 1 , x x 2 2 , b ,2 x ,N ） ,|a a 1 N x x 1 N b 1 b ,N ,
（ 1 ）
把 （ 1 ） 中 任 意 多 个 “ ” 号 换 成 “ ” , 相 应 的 点 集 I统 称 为 区 间 ，