山东省泰安市2013届高三上学期期末考试 理科数学 Word版含答案
【Word版解析】山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理试题
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试卷类型高三年级质量检测数学试题(理科)2012.11一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 585︒的值为B. D. 【答案】B【解析】sin 585sin 225sin(18045)sin 452==+=-=-,选B. 2.全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4,4,5U M N ===,则()U C M N ⋃等于 A.{}1,3,5B.{}2,4,6C.{}1,5D.{}1,6【答案】D【解析】{2,3,4,5}M N = ,所以(){1,6}U M N = ð,选D. 3.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为 A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数 【答案】D【解析】全称命题的否定式特称命题,所以“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”选D.4.已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为3π,那么3a b + 等于D.4【答案】C【解析】因为2223323a b a b a b +=++,所以231923cos 133a b π+=++⨯= ,所以3a b +=C.5.如图,设A 、B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50m ,045,105ACB CAB ∠=∠= ,则A 、B 两点的距离为A.B.C.D.2【答案】B【解析】因为045,105ACB CAB ∠=∠= ,所以30ABC ∠=,所以根据正弦定理可知,sin sin AC AB ABC ACB =,即50sin 30sin 45AB=,解得AB =,选B.6.已知()sin cos 0,αααπ-=∈,则tan α等于A.1-B.2-C.2D.1【答案】A【解析】由sin cos αα-=1αα=,即sin()14πα-=,所以2,42x k k Zπππ-=+∈,所以32,4x k k Z ππ=+∈,所以33tan tan(2)tan 144k ππαπ=+==-,选A. 7.在等差数列{}n a 中,912162a a =+,则数列{}n a 的前11项和S 11等于A.24B.48C.66D.132【答案】D 【解析】由912162a a =+得912212a a =+,即6121212a a a +=+,所以612a =.又11111611()112a a S a +==,所以11611132S a ==,选D.8.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数:()()()()()()()2122232422log 1,log 2,log ,log 2f x x f x x f x x f x x =+=+==,则“同形”函数是A.()2f x 与()4f xB.()1f x 与()3f xC.()1f x 与()4f xD.()3f x 与()4f x【答案】A【解析】因为422()log (2)1log f x x x ==+,所以22()log (2)f x x =+,沿着x 轴先向右平移两个单位得到2log y x =的图象,然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到422()log (2)1log f x x x ==+,根据“同形”的定义可知选A.9.如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6下列向量的数量积中最大的是A.1213PP PP ⋅B.1214PP PP ⋅C.1215PP PP ⋅D.1216PP PP ⋅【答案】A 【解析】设正六边形的边长为1,则1213133cos302PP PP PP PP ===,121412141cos 60212PP PP PP PP ==⨯=,12151215cos900PP PP PP PP ==,121612161cos1202PPPP PP PP ==- ,所以数量积最大的选A.10.若函数()x xf x ka a -=-(a >0且1a ≠)在(,-∞+∞)上既是奇函数又是增函数,则()log ()a g x x k =+的图象是【答案】C【解析】1()xxx x f x ka aka a-=-=-是奇函数,所以(0)0f =,即10k -=,所以1k =,即1()x x f x a a =-,又函数1,xx y a y a==-在定义域上单调性相同,由函数是增函数可知1a >,所以函数()log ()log (1)a a g x x k x =+=+,选C.11.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π,若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数,则函数()f x 的图像 A.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线512x π=对称 【答案】D【解析】函数的最小周期是π,所以2T ππω==,所以2ω=,所以函数()sin(2)f x x ϕ=+,向右平移3π得到函数2()sin[2()]sin(2)33f x x x ππϕϕ=-+=+-,此时函数为奇函数,所以有2,3k k Z πϕπ-=∈,所以23k πϕπ=+,因为2πϕ<,所以当1k =-时,233k ππϕπ=+=-,所以()sin(2)3f x x π=-.由2232x k πππ-=+,得对称轴为512x k ππ=+,当0k =时,对称轴为512x π=,选D. 12.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数,且当()()0,0x f x xf x '>+>(其中()f x '是()f x 的导函数),设1122log 4log 4,,a f b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1lg 5c ⎛⎫= ⎪⎝⎭115f g ⎛⎫⎪⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系是 A.c a b >> B.c b a >>C.a b c >>D.a c b >>【答案】C【解析】令函数()()F x xf x =,则函数()()F x x f x =为偶函数.当0x >时,'()()'()0F x f x xf x =+>,此时函数递增,则122(log 4)(log 4)(2)(2)a F F F F ==-=-=,b F =,1(lg )(lg 5)(lg 5)5c F F F ==-=,因为0lg512<<,所以a b c >>,选C.二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上. 13.2(2)x x e dx -⎰=___.___.【答案】25e - 【解析】2222200(2)()415x x x e dx x e e e -=-=-+=-⎰.14.设数列{}n a 的前n 项的和为n s ,且()111,31,2,n n a a S n +===⋅⋅⋅,则24log S 等于__._. 【答案】6【解析】因为113n n n n a S S S ++=-=,所以14n n S S +=,所以数列{}n S 是以111,4S a q ===为公比的等比数列,所以344S =,所以3242log log 46S ==.15.已知函数()11sin cos 244f x x x x =--的图像在点()00,A x y 处的切线斜率为1,则0tan x =___.___.【答案】【解析】函数的导数11'()cos 24f x x x =-+,由0011'()cos 1244f x x x =-+=得001cos 122x x -+=,即0sin()16x π-=,所以02,62x k k Zπππ-=+∈,即022,3x k k Z ππ=+∈.所以022tan tan(2)tan 33x k πππ=+==. 16.已知实数a ,b 满足等式23ab=,给出下列五个关系式中:①0;b a <<②0;a b <<③0;a b <<④0;b a <<⑤.a b =则所有可能..成立的关系式的序号为___.___.【答案】①②⑤【解析】在同一坐标系下做出函数()2,()3x x f x g x ==的图象如图,由图象可知,①,②,⑤正确.三、解答题:本大题共6个小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1,S 22,S 33S 成等差数列,且44027S =求数列{}n a 的通项公式.18.(本小题满分12分)已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,()(),cos ,1m A n A ==,且m n ⊥ .(1)求角A 的大小;(II )若2,a ABC =∆b ,c.19.(本小题满分12分)已知集合A 为函数()()()l g 1l g 1f x x x =+--的定义域,集合{}22120B x a ax x =---≥.(I )若112A B xx ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,求a 的值; (II )求证2a ≥是A B φ⋂=的充分不必要条件.20.(本小题满分12分)已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->,直线12,x x x x ==是函数()y f x =的图像的任意两条对称轴,且12x x -的最小值为2π. (I )求ω的值;(II )求函数()f x 的单调增区间; (III )若()23f α=,求5sin 46πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.21.(本小题满分13分)如图,在M 城周边已有两条公路12,l l 在O 点处交汇,现规划在公路12,l l 上分别选择P ,Q两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过M 城,已知3,45OM km POM =∠=︒∠MOQ=30°,设,.OP xkm OQ ykm ==(I )求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域; (II )试确定点P 、Q 的位置,使POQ ∆的面积蛤小. 22.(本小题满分13分) 已知函数()()()ln ,10af x x xg x x a x=+=-->. (I )求函数()()()F x f x g x =+在(]0,e 上的最小值;(II )对于正实数m ,方程()22mf x x =有唯一实数根,求m 的值.。
【Word版解析】山东省泰安市2013届高三上学期期末考试 数学文
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高三年级考试数学试题(文)2013.1一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}1,0,1,0,1,2M N =-=,则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为A.{}0,1B. {}1,0,1-C. {}1,2-D.{}1,0,1,2-【答案】C【解析】阴影部分为{}x x M N x M N ∈∉ 且,所以{1,0,1,M N =- ,{0,1}M N = ,所以{}{1,2}x x M N x M N ∈∉=- 且,选C.2.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为A.13B.12C.16D.1【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为1的正方形,高为1的四棱锥,所以体积为1111133⨯⨯⨯=,选A. 3.设0.533,log 2,cos2a b c ===,则 A.c <b a < B.c a b << C.a <b c <D.b <c a <【解析】0.531=>,,30log 21<<,,cos 20<,所以c b a <<,选A.4.设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-= ,若a b ⊥ ,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于A.13-B.13C.3-D.3【答案】B【解析】因为a b ⊥,所以2c o s s i n a b αα=-= ,即t a n 2α=。
所以t a n 1211t a n ()41t a n 123πααα---===++,选B. 5. “1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当0m =时,直线0x my +=为0x =,此时两直线不垂直,所以0m ≠,所以0x my +=的斜率为1m -,若直线垂直,则有11m-=-,即1m =,所以“1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件 ,选C.6.下列函数()f x 中,满足“对任意的()1212,0,,x x x x ∈+∞<当时,都有()()12f x f x <”的是 A.()1f x x=B.()244f x x x =-+C.()2xf x = D.()12log f x x =【答案】C【解析】由条件可知函数在(0,)+∞,函数()f x 递增,所以选C.7.函数212sin 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是 A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为2π的奇函数【解析】212s i n ()c o s 2()c o s (2)s i n 2442y x x x x πππ=--=-=-=,所以周期222T πππω===,所以函数为奇函数,所以选B. 8.下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以错误。
2013年高考理科数学山东卷(含详细答案)
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数学试卷 第1页(共45页) 数学试卷 第2页(共45页) 数学试卷 第3页(共45页)绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B );如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则2(i)a b += ( )A .54i -B .54i +C .34i -D .34i + 2.设集合{||1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}x B y y x ==∈,则A B =( ) A .[0,2] B .(1,3)C .[1,3)D .(1,4) 3.函数()f x( )A .1(0,)2B .(2,)+∞C .1(0,)(2,)2+∞D .1(0,][2,)2+∞4.用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A .方程30x ax b ++=没有实根B .方程30x ax b ++=至多有一个实根C .方程30x ax b ++=至多有两个实根D .方程30x ax b ++=恰好有两个实根5.已知实数x ,y 满足x y a a <(01a <<),则下列关系式恒成立的是( )A .221111x y >++ B .22ln(1)ln(1)x y +>+ C .sin sin x y >D .33x y >6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B.C .2D .47.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ( )A .6B .8C .12D .188.已知函数()|2|1f x x =-+,()g x kx =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A .1(0,)2B .1(,1)2C .(1,2)D .(2,)+∞9.已知x ,y 满足约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩≤≥当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值时,22a b +的最小值为( )A .5B .4CD .210.已知>0a b >,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 与2C 的则2C 的渐近线方程为 ( )A.0x = B0y ±= C .20x y ±= D .20x y ±=第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 .12.在ABC △中,已知t a n A B A C A = ,当π6A =时,ABC △的面积为 .13.三棱锥P ABC -中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V ,P ABC -的体积为2V ,则12V V = . 14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20,则22a b +的最小值为 .15.已知函数()()y f x x =∈R .对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈,()y h x =满足:对任意x I ∈,两个点(,())x h x ,(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”,且()()h x g x >恒成立,则实数b 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)已知向量a (,cos2)m x =,b (sin 2,)x n =,函数()f x =a b ,且()y f x =的图象过点π(12和点2π(,2)3-. (Ⅰ)求m ,n 的值;(Ⅱ)将()y f x =的图象向左平移ϕ(0π)ϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图象,若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.17.(本小题满分12分)姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页(共45页) 数学试卷 第5页(共45页) 数学试卷 第6页(共45页)如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,60DAB ∠= ,AB =22CD =,M 是线段AB 的中点.(Ⅰ)求证:1C M 平面11A ADD ;(Ⅱ)若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值.18.(本小题满分12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其它情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13;对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)令114(1)n n n n nb a a -+=-,求数列{}n b 的前n 项和n T .20.(本小题满分13分)设函数2e 2()(ln )x f x k x x x =-+(k 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).(Ⅰ)当0k ≤时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.21.(本小题满分14分)已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF △为正三角形. (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)若直线1l l ,且1l 和C 有且只有一个公共点E . (ⅰ)证明:直线AE 过定点,并求出定点坐标;(ⅱ)ABE △的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.3 / 15数学试卷 第10页(共45页) 数学试卷 第11页(共45页) 数学试卷 第12页(共45页)5 / 15数学试卷第16页(共45页)数学试卷第17页(共45页)数学试卷第18页(共45页)7 / 15数学试卷第22页(共45页)数学试卷第23页(共45页)数学试卷第24页(共45页)59 / 15数学试卷第28页(共45页)数学试卷第29页(共45页)数学试卷第30页(共45页)。
山东省泰安市高三数学上学期期末考试 理
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泰安市高三期末考试数学试题(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ,则正确表示集合M ={ x ∈R |0≤x ≤2}和集合N ={ x ∈R |x 2-x =0}关系的韦恩(Venn )图是2. 命题:“若-1<x <1,则x 2<1”的逆否命题是A. 若x ≥1或x ≤-1,则x 2≥1 B. 若x 2<1,则-1<x <1 C. 若x 2>1,则x >1或x <-1 D. 若x 2≥1,则x ≥1或x ≤-13. 同时满足两个条件:①定义域内是减函数 ②定义域内是奇函数的函数是A. f (x )=-x |x |B. f (x )= x3C. f (x )=sin xD. f (x )=ln x x4. 设m 、n 表示不同直线,α、β表示不同平面,下列命题正确的是A. 若mα,m n ,则n αB. 若m ⊂α,n ⊂α,m β,n β,则αβC. 若α⊥β, m ⊥α,m ⊥n ,则n βD. 若α⊥β, m ⊥α,nm ,n ⊄β,则n β5. 已知x ,y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,+,,则z =13y x -+的最大值A.3B.76 C.13 D.-236.已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线y 2=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于A.5x 2-45y 2=1B.22154x y -= C.22154y x -= D. 5x 2-54y 2=1 7.等差数列{a n }的前n 项和S n ,若a 3+ a 7- a 10=8, a 11- a 4=4,则S 13等于 A.152 B.154 C.156 D.158 8.若把函数sin y x x =-的图象向右平移m (m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是A.3π B.23π C.6π D.56π 9.已知a ,b ,c ∈R +,若c a b a b b c c a+++,则A.c <a <bB. b <c <aC. a <b <cD. c <b <a10.设函数f (x )=313log ,0log (),0x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩若f (m )<f (-m ),则实数m 的取值范围是A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)11.已知函数f (x )在R 上可导,且f (x )=x 2+2xf ′(2),则f (-1)与f (1)的大小关系为 A. f (-1)= f (1) B. f (-1)>f (1) C. f (-1)< f (1) D.不确定12.在△ABC 中,AB =2,AC =1,BD =DC ,则AD BD ⋅的值为 A.-23 B. 23 C.-34 D. 34二、填空题:(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题纸的相应位置上.)13.由两条抛物线y 2=x 和y =x 2所围成的图形的面积为 . 14.右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积为 .15.已知A (1,2),B (3,4),C (-2,2),D (-3,5),则向量AB 在向量CD 上的投影为 .16.圆心在曲线2(0)y x x=上,且与直线2x +y +1=0相切的面积最小的圆的方程为 .三、解答题:本大题共6个小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置. 17.(本小题满分12分) 已知2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+- (Ⅰ)求函数f (x )的单调增区间(Ⅱ)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且a =1,b +c =2,f (A )=12,求△ABC 的面积.18.(本小题满分12分)如图,平面ABCD ⊥平面PAD ,△APD 是直角三角形, ∠APD =90°,四边形ABCD 是直角梯形,其中BC AD ,∠BAD =90°,AD =2 BC ,且AB=BC =PD=2,O 是AD 的中点,E ,F 分别是PC ,OD 的中点. (Ⅰ)求证:EF平面PBO ;(Ⅱ)求二面角A - PF - E 的正切值. 19.(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足: a 1=λ,a n+1=23a n +n -4,b n =(-1)n(a n -3n+21),其中λ为实数,n 为正整数.(Ⅰ)证明:对任意实数λ,数列{a n }不是等比数列; (Ⅱ)证明:当λ≠-18时,数列{b n }是等比数列. 本小题满分12分)某企业科研课题组计划投资研发一种新产品,根据分析和预测,能获得10万元~1000万元的投资收益.企业拟制定方案对课题组进行奖励,奖励方案为:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金也不超过投资收益的并用函数y= f (x )模拟这一奖励方案.(Ⅰ)试写出模拟函数y= f (x )所满足的条件;(Ⅱ)试分析函数模型y= 4lg x -3是否符合奖励方案的要求?并说明你的理由. 21.(本小题满分12分)已知椭圆22221(0)x y ab a b+=的离心率为e 12) (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l :y =kx+m (k ≠0,m >0)与椭圆交于P ,Q 两点,且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ 面积的最大值及此时直线l 的方程.22.(本小题满分14分)已知函数32(1)()ln (1)x x x f x a x x ⎧-+=⎨≤⎩(Ⅰ)求f (x )在[-1,e ](e 为自然对数的底数)上的最大值;(Ⅱ)对任意给定的正实数a ,曲线y= f (x )上是否存在两点P ,Q ,使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y 轴上?高三数学试题(理)参考答案及评分标准一、选择题题 号12345678910 11 12 答 案 BDADADCCAD B C 二、填空题13.1315. 5 16. (x-1)2+(y-2)2=5三、解答题17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)因为f (x )=2sin(2)2cos 16x x π-+-=12cos2cos222x x x -+12cos22x x + =sin(2)6x π+………………………………………………………(3分) 所以函数f (x )的单调递增区间是〔,36k k πππ-π+〕(k Z ∈)……………………(5分)(Ⅱ)因为f (x )=12,所以1sin(2)62A π+=又1302666A A ππππ+,所以 从而52,663A A πππ+==故……………………………………………………………(7分) 在△ABC 中,∵a =1,b +c =2,A =π3∴1=b 2+c 2-2bc cos A ,即1=4-3bc .故bc =1……………………………………………………………………………………(10分) 从而S △ABC =1sin 2bc A =……………………………………………………………(12分)18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)取BP 中点G ,连EG ,由E 为PC 中点故EG 1,2BC 又F 为OD 中点 ∴OF =1122OD BC∴EGOF ,故四边形OFEG 为平行四边形…………(3分)∴EF ∥GO 则EF ∥面PBO ……………………………(4分) (Ⅱ) 连CO ,OP ,则BA ∥CO ,又AB ⊥AD ,面ABCD ⊥面APD∴CO ⊥面APD 故面COP ⊥面APD ………………………………………………………(6分)过E 作EN ⊥OP 于N ,则EN ⊥面APD 过N 作NH ⊥PF 于H ,连EH ,则EH ⊥PF ,故∠NHE 为二面角A -PF -E 的平面角……………………………………(8分)由于E 为PC 中点,故EN=12CO=12AB=1 ∵∠APD=90°,AD =4,PD =2由O 为AD 的中点,故OD =2,又F 为OD 的中点,可知PF ⊥AD 从而NH ∥OD 又N 是DP 的中点 ∴H 为PF 的中点 ∴NH=12OF=12……………………………………………………………………………(11分)∴tan ∠NHE=NENH=2 ∴二面角A -PF -E 平面角的正切值为2. ………………………………………………(12分)19.解:(Ⅰ)证明 假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列,则有a 22= a 1a 3,……(2分)即22224443449490,3999λλλλλλλ⎛⎫⎛⎫-=-⇔-+=-⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾.所以 对于任意λ,{a n }不是等比数列. ………………………………………………(6分)(Ⅱ)证明 因为b n +1=(-1)n +1[a n +1-3(n +1)+21]=(-1) n +122143n a n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-22(1)(321).33n n n a n b -⋅-+=-……………………………………………………(10分)又λ≠-18,所以b 1=-(λ+18)≠0. ………………………………………………………(11分)由上式知b n ≠0,所以12(*).3n n b n N b +=-∈ 故当λ≠-18时,数列{ b n }是以-(λ+18)为首项,-23为公比的等比数列. ………(12分) 20. 解:(Ⅰ)由题意,模拟函数y =f (x )满足的条件是:(1) f (x )在[10,1000]上是增函数;(2)f (x )≤9;(3)f (x )≤15x . …………(3分)(Ⅱ)对于y =4 lg x-3,显然它在[10,1000]上是增函数,满足条件(1),…………………(4分)又当10≤x ≤1000时,4lg10-3≤y ≤4lg1000-3,即y ∈[1,9],从而满足条件(2). ……(5分) 下面证明:f (x )≤15x ,即4lg x-3≤15x 对于x ∈[10,1000]恒成立. ……………………(6分) 令g (x )= 4lgx-3-15x(10≤x ≤1000),则g ′(x )=4120lg .lg1055e x x x --= ………………(8分)∵e1lg lg 10,20lg 10,10,2ee ∴=∴≥则x∴e -x <0,∴g ′(x ) <0对于x ∈[10,1000]恒成立.∴g(x )在[10,1000]上是减函数…………………………………………………………(10分)∴g(x )在[10,1000]时,g (x )≤g(10=4lg10-3-15×10, 即4lg x-3-15x ≤0,即4lg x -3≤15x 对于x ∈[10,1000]恒成立.从而满足条件(3). 故函数模型y =4lgx -3符合奖励方案的要求. …………………………………………………(12分)21.解:(Ⅰ)∵e=2 ∴c=2 a ∴b 2=a 2-c 2=14a 2故所求椭圆为:222241x y a a+=…………………………………………………………………(1分)又椭圆过点12) ∴22311a a+= ∴a 2 =4. b 2=1 ∴2214x y +=……………(3分)(Ⅱ)设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2),PQ 的中点为(x 0,y 0)将直线y =kx +m 与2214x y += 联立得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-4=0222216(41)0,41k m k m ∆=+-+即 ①又x 0=12120224,214214x x km y y my k k +-+===++………………………………………(5分)又点[-1,0)不在椭圆OE 上, 依题意有0001,(1)y x k-=---整理得3km =4k 2+1 ②……………………………………………………………………(7分)由①②可得k 2>15,∵m >0, ∴k >0,∴k …………………………………………(8分)设O 到直线l 的距离为d ,则S △OPQ =1122d PQ ⋅==(10分)当211,2OPQk =∆时的面积取最大值1,此时k m =∴直线方程为y ……………………………………………………………(12分)22.解:(Ⅰ)因为f (x )=32(1)ln (1)x x x a x x ⎧-+⎨≥⎩① 当-1≤x <1时,f ′(x )=- x (3x -2),解f ′(x )>0得0<x <23:解f ′(x ) <x <0或23<x <1 ∴f (x )在(-1,0)和(23,1)上单减,在(0,23)上单增,从而f (x )在x=23处取得极大值f (23)=427…………………………………………………(3分)又∵f (-1)=2,f (1)=0,∴f (x )在[-1,1)上的最大值为2. …………………………………………………………(4分) ② 当1≤x ≤e 时,f (x )=a ln x , 当a ≤0时,f (x )≤0;当a >0时,f (x )在[1,e ]单调递增;∴f (x )在[1,e ]上的最大值为a. ……………………………………………………………(6分)∴当a ≥2时,f (x )在[-1,e ]上的最大值为a ;当a <2时,f (x )在[-1,e ]上的最大值为2. ………………………………………………(8分)(Ⅱ)假设曲线y = f (x )上存在两点P ,Q 满足题意,则P ,Q 只能在y 轴两侧,不妨设P(t , f (t ))(t >0),则Q (-t ,t 3+t 2),且t ≠1………………………………………………………………(9分) ∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形∴OP OQ ⋅=0,即- t 2+f (t )(t 3+t 2)=0(*)…………………………………………………(10分)是否存在P ,Q 等价于方程(*)是否有解.① 若0<t <1,则f (x )=- t 3+t 2,代入方程(*)得:- t 2+(-t 3+t 2)(t 3+t 2)=0,即:t 4-t 2+1=0,而此方程无实数解,………………………………………………………(11分)②当t>1时,∴f(t)=a ln t,代入方程(*)得:- t2+ a ln t·(t3+t2)=0,即:1(1)l n,t ta=+……………………………………………………………………………(12分)设h(x)=(x+1)ln x(x≥1),则h′(x)=ln x+1x+1>0在[1,+∞)恒成立.∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,从而h(x)≥h(1)=0,则h(x)的值域为[0,+∞).∴当a>0时,方程1a=(t+1)ln t有解,即方程(*)有解.……………………………(13分)∴对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上总存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.………………………………………………(14分)。
山东省泰安市2013届高三第三次模拟考试 数学(理)
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第I 卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()3,z i i i i +=-+为虚数单位,则z 等于 A.12i +B.12i -C.12i -+D.12i --2.已知全集{}()(){}{}21,2,3,4,5,120,1,U A x x x B x x a a A ==--===+∈集合,则集合()U C A B ⋃等于 A.{}1,2,5B.{}3,4C.{}3,4,5D.{}1,23.已知3,0,cos ,tan 254ππααα⎛⎫⎛⎫∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则等于A.7B.17C.7-D.17-4.已知某8个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5,此时这9个数的平均数为x ,方差为2s ,则A.25,2x s =<B.25,2x s =>C.2x >5,s <2D.2x >5,s >25.设x,y 满足约束条件1,22,2323,x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则的最大值是A.6B.172C.7D.2946.如图所示的程序框图,程序运行时,若输入的10S =-,则输出S 的值为 A.8 B.9 C.10 D.117.已知非零向量a ,b 满足1,30b b b a a =-且与的夹角为,则的取值范围是A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[)1,+∞D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.已知命题()()31:""2p a x x a --<是“函数f =log +1的图象经过第二象限”的充分不必要条件,命题:,q a b 是任意实数,若11,.11a b a b ++>则<则 A.“p 且q”为真 B.“p 或q”为真 C.p 假q 真D.p ,q 均为假命题9.设函数()[]()cos ,x f x x e x ππ=⋅∈-的图象大致是10.2名男生和3名女生站成一排照相,若男生甲不站两端,3名女生中有且只有两名相邻,则不同的排法种数是 A.36 B.42 C.48 D.6011.已知双曲线()22221x y a a b-=>0,b >0的右焦点为F (2,0),设A,B 为双曲线上关于原点对称的两点,AF 的中点为M ,BF 的中点为N ,若原点O 在以线段MN 为直径的圆上,若直线AB 斜率为377,则双曲线离心率为 A.3B.2C.5D.412.已知()f x 是以2为周期的偶函数,当[]()0,1x f x x ∈=时,,那么在区间()1,3-内,关于x 的方程()()f x kx k k R =+∈有4个根,则k 的取值范围为A.1304k k ≤=<或B.104k ≤< C.13046k k =<<或D.104<k <第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.不等式211x x --≥的解集是 ▲ .14.某几何体的三视图如右图,其正(主)视图中的曲线部分为半个圆孤,则该几何体的体积为 ▲ .15.已知函数()x x e af x e b+=+是定义域上的奇函数,则a b +的值为 ▲ .16.对于各项均为整数的数列{}n a ,如果()1,2,3,i a i i +=⋅⋅⋅为完全平方数,则称数列{}n a 具有 “P 性质”.不论数列{}n a 是否具有“P 性质”,如果存在{}n a 不是同一数列的{}n b ,且{}n b 同时满足下面两个条件:①123123,,,,,,,,n n b b b b a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是的一个排列;②数列{}n b 具有“P 性质”,则称数列{}n a 具有“变换P 性质”.下面三个数列:①数列{}n a 的前n 项和()213n n S n =-;②数列1,2,3,4,5;③1,2,3,…,11.具有“变换P 性质”的为 ▲ . 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.17.(本小题满分12分) 已知函数()73sin cos ,.44f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期和最小值; (2)已知()()()44cos ,cos ,0.552f πβαβααββ-=+=-≤<<求的值.18.(本小题满分12分)为贯彻“激情工作,快乐生活”的理念,某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有5次选题答题的机会,选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题的正确率为23. (1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率;(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X ,试写出X 的分布列,并求X 的数学期望.19.(本小题满分12分)已知三棱柱ABC —111A B C ,底面三角形ABC 为正三角形,侧棱1AA ⊥底面11,24ABC AB AA E AA ==,,为的中点,F 为BC 的中点.(1)求证:直线AF//平面1BEC ;(2)求平面BEC 1和平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的通项公式为13n n a -=,在等差数列{}()*0,n n b b n N ∈中,>12311223315,b b b a b a b a b ++=+++且又、、成等比数列.(1)求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .21.(本小题满分12分)设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率12e =,右焦点到直线211x y d a b +==的距离,O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A,B 两点,证明,点O 到直线AB 的距离为定值,并求弦AB 长度的最小值.22.(本小题满分13分) 已知函数()2,.x f x e kx x R =-∈ (1)若()()10,12k f x =∈+∞,求证:当x 时,>; (2)若()()0f x +∞在区间,上单调递增,试求k 的取值范围;(3)求证:()4*444422*********e n N n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+∈ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<。
山东2013年高考理数试题及答案
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绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
注意事项:1. 答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)*P(B)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i(2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A, y∈A }中元素的个数是( ) A. 1B. 3C. 5D.9(3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+错误!未找到引用源。
,则f(-1)= ( )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2(4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为错误!未找到引用源。
,底面积是边长为错误!未找到引用源。
的正三棱柱,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )(A)错误!未找到引用源。
(B)错误!未找到引用源。
山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学文
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高三年级考试数学试题(文)2013.1一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}1,0,1,0,1,2M N =-=,则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为A.{}0,1B. {}1,0,1-C. {}1,2-D.{}1,0,1,2-【答案】C【KS5U 解析】阴影部分为{}x x MN x M N ∈∉且,所以{1,0,1,2}M N =-,{0,1}M N =,所以{}{1,2}x x M N x M N ∈∉=-且,选C.2.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为A.13B.12C.16D.1【答案】A【KS5U 解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为1的正方形,高为1的四棱锥,所以体积为1111133⨯⨯⨯=,选A. 3.设0.533,log 2,cos 2a b c ===,则A.c <b a <B.c a b <<C.a <b c <D.b <c a <【KS5U 解析】0.531=>,,30log 21<<,,cos20<,所以c b a <<,选A.4.设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=,若a b ⊥,则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 A.13-B.13C.3-D.3【答案】B【KS5U 解析】因为a b ⊥,所以2c o s s i n 0a b αα=-=,即t a n 2α=。
所以t a n 1211t a n ()41t a n 123πααα---===++,选B.5. “1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【KS5U 解析】当0m =时,直线0x my +=为0x =,此时两直线不垂直,所以0m ≠,所以0x my +=的斜率为1m -,若直线垂直,则有11m-=-,即1m =,所以“1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件 ,选C.6.下列函数()f x 中,满足“对任意的()1212,0,,x x x x ∈+∞<当时,都有()()12f x f x <”的是A.()1f x x = B.()244f x x x =-+C.()2xf x =D.()12log f x x =【答案】C【KS5U 解析】由条件可知函数在(0,)+∞,函数()f x 递增,所以选C.7.函数212sin 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是 A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为2π的奇函数【KS5U 解析】212s i n ()c o s 2()c o s (2)s i n2442y x x x x πππ=--=-=-=,所以周期222T πππω===,所以函数为奇函数,所以选B. 8.下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【KS5U 解析】A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以错误。
2013年山东高考理科数学(解析版+Word版)
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2013年山东理科数学(解析版)本777试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
注意事项:1. 答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P(A)+P(B);如果事件A ,B 独立, 那么P (AB )=P(A)*P(B) 第Ⅰ卷 (共60分) 一、选择题(1)复数z 满足(3)(2)5(z i i --=为虚数单位),则z 的共轭复数z 为 (A) 2i + (B) 2i - (C) 5i + (D)5i - 答案:D.解析:由(3)(2)5z i --=得,532z i=+-,化简得5z i =+,5z i =-. (2)已知集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D)9 答案:C.解析:000,011,022,101,110,121,202,211,220-=-=--=--=-=-=--=-=-=,所以{}2,1,0,1,2B =--. (3) 已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, 21()f x x x=+,则(1)f -= (A) 2- (B)0 (C)1 (D)2 答案:A.解析:已知函数()f x 为奇函数,所以,(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-.(4) 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,,若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π答案:B.解析:设侧棱长为h ,则9,44h ==32,1,tan 3PA A PA A PA π'''=∠=∠=.(5) 将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图像,则ϕ的一个可能取值为 (A )34π (B )4π (C )0 (D )4π-答案:B.解析:将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移8π个单位得sin(2)4y x πϕ=++,得到一个偶函数的图像,42k k Z ππϕπ+=+∈,ϕ=4π.(6) 在平面直角坐标系xoy中,M为不等式组220,210,380.x yx yx y--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为(A)2(B) 1(C)13-(D)12-(A)2 (B)1 (C )(D )答案:C.解析:画出可行域,由斜率的定义可得直线OM 斜率的最小值为.(7)给定两个命题,p q 若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的(A )充分而不必条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 答案:A解析:因为p ⌝是q 的必要而不充分条件,不妨令1p x ⌝>:,:2q x >,则1p x ≤:,:2q x ⌝≤,则p 是q ⌝的充分而不必条件。
立体几何 位置关系
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2.已知m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个命题: ①若m ∥n ,n ⊂α,则m ∥α; ②若m ⊥n ,m ⊥α,n ⊄α,则n ∥α; ③若α⊥β,m ⊥α,n ⊥β,则m ⊥n ;④若m ,n 是异面直线,m ⊂α,n ⊂β,m ∥β,则n ∥α. 其中正确的命题有( ).A .①②B .②③C .③④D .②④解析 对于①,m 有可能也在α上,因此命题不成立;对于②,过直线n 作垂直于m 的平面β,由m ⊥α,n ⊄α可知β与α平行,于是必有n 与α平行,因此命题成立;对于③,由条件易知m 平行于β或在β上,n 平行于α或在α上,因此必有m ⊥n ;对于④,取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立.综上可知选B. 答案 B1.(北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题)设,m n 是不同的直线,,αβ是不同的平面,下列命题中正确的是( )A .若//,,m n m n αβ⊥⊥,则αβ⊥B .若//,,m n m n αβ⊥⊥,则//αβC .若//,,//m n m n αβ⊥,则α⊥βD .若//,,//m n m n αβ⊥,则//αβCC 中,当//,//m m n α,所以,//,n α或,n α⊂当n β⊥,所以α⊥β,所以正确。
5. 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ,使l与棱AB ,AD ,AA 1所成的角都相等,这样的直线l 可以作( ).A .1条B .2条C .3条D .4条解析 第一类:通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC 1,第二类:在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等,有3条,合计4条. 答案 D7.在空间中,有如下命题:①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线; ②若平面α内任意一条直线m ∥平面β,则平面α∥平面β;③若平面α与平面β的交线为m ,平面β内的直线n ⊥直线m ,则直线n ⊥平面α;④若点P 到三角形三个顶点的距离相等,则点P 在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心. 其中正确命题的个数为( ).A .1B .2C .3D .4解析 命题①不正确,互相平行的两条直线在同一平面内的射影还可以是一条直线或者是两个点;命题②正确,在α内取两条相交直线,则为面面平行的判定定理,要注意若把“任意”改为“无数”,则命题不正确,因为这无数条线可以是平行直线;命题③不正确,这两个平面可以相交但不垂直,若要结论成立,需α⊥β;命题④正确,设P 到三个顶点距离P A =PB =PC ,P 点射影为O ,则OA =OB =OC ,故为△ABC 的外心.故正确命题为②④,答案为B. 答案 B2 .(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A .若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B .若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC .若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D .若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥答案D ;ABC 是典型错误命题,选D .3 .(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))已知nm ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 ( )A .βα//,且α//lB .βα⊥,且β⊥lC .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l答案D 解析 由m ⊥平面α,直线l 满足l ⊥m ,且l ⊄α,所以l ∥α, 又n ⊥平面β,l ⊥n ,l ⊄β,所以l ∥β.由直线m ,n 为异面直线,且m ⊥平面α,n ⊥平面β,则α与β相交,否则,若α∥β则推出m ∥n ,与m ,n 异面矛盾.故α与β相交,且交线平行于l .故选D . 4 .(山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题)设a,b 是不同的直线,βα、是不同的平面,则下列命题:①若βα//,//,b a b a 则⊥ ②若ββαα⊥⊥a a 则,,// ③若αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④若βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,b a b a 其中正确命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3【答案】B【 解析】①当,//,a b a α⊥时b 与β可能相交,所以①错误.②中a β⊥不一定成立.③中a α⊂或//a α,所以错误.④正确,所以正确的个数有1个,所以选 B . 5 .(山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理)下列命题正确的是 ( )A .若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B .若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C .若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D .若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C 【解析】 ( ) A .若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以错误.B 中,若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误.C 正确.D 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,所以错误.所以命题正确的为C,选 6.(【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 )已知m,n 是空间两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,则下列命题正确的是 ( )A .若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nB .若=,=,//m n m n αγβγ,则//αβC .若,,m βαβ⊂⊥则m α⊥D .若,//,m m βα⊥则αβ⊥【答案】D【解析】根据线面垂直的判和性质可知,D 正确.7.(山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理( )A .)设,m n 是两条不同直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题正确的是( )A .//,////,//m n m n αβαβ且则B .,m n αβαβ⊥⊥⊥且,则m n ⊥C .,,m n m n αβ⊥⊂⊥,则αβ⊥D .,,//,//m n m n ααββ⊂⊂,则//αβ【答案】B【解析】A 中直线,m n 也有可能异面,所以不正确.B 正确.C 中,αβ不一定垂直,错误.D 当,m n 相交时,结论成立,当,m n 不相交时,结论错误.所以选 B .8. 如图,正方体AC1的棱长为1,过点A 作平面A 1BD 的垂线,垂足为点H .则以下命题中,错误的命题是( ).A .点H 是△A 1BD 的垂心B .AH 垂直于平面CB 1D 1C .AH 延长线经过点C 1D .直线AH 和BB 1所成角为45°解析 对于A ,由于AA 1=AB =AD ,所以点A 在平面A 1BD 上的射影必到点A 1、B 、D 的距离相等,即点H 是△A 1BD 的外心,而A 1B =A 1D =BD ,故点H 是△A 1BD 的垂心,命题A 是真命题;对于B ,由于B 1D 1∥BD ,CD 1∥A 1B ,故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1,而AH ⊥平面A 1BD ,从而AH ⊥平面CB 1D 1,命题B 是真命题;对于C ,由于AH ⊥平面CB 1D 1,因此AH 的延长线经过点C 1,命题C 是真命题;对于D ,由C 知直线AH 即是直线AC 1,又直线AA 1∥BB 1,因此直线AC 1和BB 1所成的角就等于直线AA 1与AC 1所成的角,即∠A 1AC 1,而tan A 1AC 1=21=2,因此命题D 是假命题. 答案 D9.如图是一个几何体的三视图.若它的体积是33,则a =________.解析 12×2×a ×3=33,解得a = 3. 答案310.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号). ①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.解析 如图四边形BB 1D 1D 为矩形;四面体A 1-AB 1D 1满足选项③;四面体B 1-ACD 满足选项④;四面体A -BD 1D 满足选项⑤. 答案 ①③④⑤8.(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题)如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点, E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点,若1//A P 平面,AEF 则线段1A P 长度的取值范围是( )A .B .C .D .B 1C 1D 1A 1FE BCD AB取11B C 的中点M,1BB 的中点N,连结11,,A M A N MN ,可以证明平面1//A MN 平面AEF ,所以点P 位于线段MN 上,把三角形1A MN 拿到平面上,则有11A M A N ===MN ==P 位于,M N 时,1A P最大,当P 位于中点O 时,1A P 最小,此时14AO ,所以111AO A P A M ≤≤1A P ≤1A P长度的取值范围是,选B.13.在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为DD 1,DB 的中点. (1)求证:EF ∥平面ABC 1D 1; (2)求证:EF ⊥B 1C .证明 (1)连接BD 1,如图所示,在△DD 1B 中,E ,F 分别为DD 1,DB 的中点,则EF ∥D 1B , ∵D 1B ⊂平面ABC 1D 1,EF ⊄平面ABC 1D 1, ∴EF ∥平面ABC 1D 1.(2)∵B 1C ⊥AB ,B 1C ⊥BC 1,AB ∩BC 1=B , ∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1,又BD 1⊂平面ABC 1D 1,∴B 1C ⊥BD 1, 又EF ∥BD 1,∴EF ⊥B 1C .9.(北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习(二)数学(文)试题)如图,四边形ABCD 为矩形,⊥AD 平面ABE ,2==BE AE ,22=AB . (Ⅰ)求证:CE AE ⊥;(Ⅱ)设M 是线段AB 的中点,试在线段CE 上确定一点N ,使得//MN 平面ADE.(共13分)证明:(Ⅰ)∵22,2===AB EB AE ,∴222AB BE AE =+,∴BE AE ⊥∵⊥AD 平面ABE ,∴AE AD ⊥,又AD BC //,∴AE BC ⊥, 又E BE BC =⋂, ∴⊥AE 平面BCE , ∴CE AE ⊥(Ⅱ)设BE 的中点为F ,CE 的中点为N ,连接NF MF MN ,,,又M 是AB 的中点,∴AE MF //,AD BC NF ////.∵⊄MF 平面ADE ,⊂AE 平面ADE , ∴//MF 平面ADE同理可证//NF 平面ADE , 又F NF MF =⋂,∴平面//MNF 平面ADE , ∴//MN 平面ADE所以,当N 为CE 中点时,//MN 平面ADE12.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)在所给直观图中连接BC ′,证明:BC ′∥平面EFG . 解:(1)如图.(2)证明:在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,连接AD ′,则AD ′∥BC ′.因为E ,G分别为AA ′,A ′D ′中点,所以AD ′∥EG ,从而EG ∥BC ′.又EG ⊂平面EFG ,BC ′⊄平面EFG ,所以BC ′∥平面EFG.10.(北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题) 如图1,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,36BC AC ==,.D 、E 分别是AC AB 、上的点,且//DE BC ,将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置,使1A D CD ⊥,如图2. (Ⅰ)求证: //BC 平面1A DE ; (Ⅱ)求证: BC ⊥平面1A DC ;(Ⅲ) 当D 点在何处时,1A B 的长度最小,并求出最小值.(Ⅰ)证明:11//,,DE BC DE A DE BC A DE ⊂⊄面面1//BC A DE ∴面 …………………………4分(Ⅱ)证明: 在△ABC 中,90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………9分(Ⅲ)设DC x =则16A D x =-由(Ⅱ)知,△1ACB ,△1A DC 均为直角三角形.图1 图2A 1BCDEG ABC DEFO1A B =1A B ==………………12分当=3x 时,1A B的最小值是即当D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为14分11.(北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题)在四棱锥E ABCD -中,底面ABCD 是正方形,,AC BD O 与交于EC ABCD F 底面,^为BE 的中点.(Ⅰ)求证:DE ∥平面ACF ; (Ⅱ)求证:BD AE ^;(Ⅲ)若,AB =在线段EO 上是否存在点G ,使CG BDE 平面^?若存在,求出EGEO的值,若不存在,请说明理由. OFEDCBA解:(I )连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点,所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以DE ∥平面ACF ………….4分(II) 证明:由EC ABCD BD ABCD 底面,底面,^ 所以,EC BD ^由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC EC ACE 平面,翘所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面,Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III) 在线段EO 上存在点G ,使CG BDE 平面^. 理由如下: 如图,取EO 中点G ,连接CG . 在四棱锥E ABCD -中,,2AB CO AB CE ===, 所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分 由(II )可知,,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以,,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面,^?因为,CG EO CG ACE 平面,^所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段EO 上存在点G ,使CG BDE 平面^. 由G 为EO 中点,得1.2EG EO =…………………………………………… 14分12.(北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题)在长方体1111ABCD-A BC D 中,12AA=AD=,E 是棱CD 上的一点. (Ⅰ)求证:1AD ⊥平面11A B D ; (Ⅱ)求证:11B E AD ⊥;(Ⅲ)若E 是棱CD 的中点,在棱1AA 上是否存在点P ,使得DP ∥平面1B AE ?若存在,求出线段AP 的长;若不存在,请说明理由.A 1B 1CBD 1C 1ADE解:(Ⅰ)在长方体1111ABCD-A BC D 中,因为11A B ⊥面11A D DA ,所以111A B AD ⊥. ………………………………………………………………2分 在矩形11A D DA 中,因为12AA=AD=,所以11AD A D ⊥.……………………4分 所以1AD ⊥面11A B D . ………………………………………………………5分 (Ⅱ)因为E CD ∈,所以1B E ⊂面11A B CD ,由(Ⅰ)可知,1AD ⊥面11A B CD , …………………………………………7分 所以11B E AD ⊥. …………………………………………………………………8分 (Ⅲ)当点P 是棱1AA 的中点时,有DP ∥平面1B AE . ………………………9分 理由如下:在1AB 上取中点M ,连接PM,ME . 因为P 是棱1AA 的中点,M 是1AB 的中点, 所以PM ∥11A B ,且1112PM A B =.……10分 又DE ∥11A B ,且1112DE A B =. 所以PM ∥DE ,且PM DE =, 所以四边形PMED 是平行四边形,所以DP ∥ME .…………………………11分 又DP ⊄面1B AE ,ME ⊂面1B AE ,所以DP ∥平面1B AE . …………………………………………………………13分 此时,1112AP A A ==. …………………………………………………………14分13.(北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题)如图,在菱形ABCD 中, MA⊥平面ABCD ,且四边形ADNM 是平行四边形. (Ⅰ)求证:AC ⊥BN ;(Ⅱ)当点E 在AB 的什么位置时,使得//AN 平面MEC ,并加以证明.A 1B 1CBD 1C 1ADEPM解:(Ⅰ)连结BD ,则AC BD ⊥.由已知DN ⊥平面ABCD , 因为DNDB D =,所以AC ⊥平面NDB . 又因为BN ⊂平面NDB ,所以AC BN ⊥. ………………………………………………6分 (Ⅱ)当E 为AB 的中点时,有//AN 平面MEC .……7分CM 与BN 交于F ,连结EF .由已知可得四边形BCNM 是平行四边形, F 是BN 的中点,因为E 是AB 的中点,所以//AN EF .……………………10分 又EF ⊂平面MEC ,AN ⊄平面MEC ,所以//AN 平面MEC .……………………13分14.(北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题)如图,三棱柱111C B A ABC —中,⊥1AA 平面ABC ,AB ⊥BC , 点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点.(Ⅰ)求证:MN //平面 BCC 1B 1; (Ⅱ)求证:平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1.1AA BCDENMABCDENMF:(Ⅰ)连结BC 1∵点M , N 分别为A 1C 1与A 1B 的中点,∴MN ∥BC 1.........................................................4分∵11111, MN BCC B BC BCC B ⊄⊂平面平面, ∴MN ∥平面BCC 1B 1..................................... ....6分 (Ⅱ)∵1AA ABC ⊥平面,BC ⊂平面ABC ,∴1AA BC ⊥....................................................................................................... 9分 又∵AB ⊥BC ,1AA AB A =,∴11BC A ABB ⊥平面........................................................................................ 12分 ∵1BC A BC ⊂平面,∴平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1................................................................................ 13分15.(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90BAC ∠=︒,1AB AC AA ==,且E 是BC 中点. (I )求证:1//A B 平面1AEC ;(Ⅱ)求证:1B C ⊥平面1AEC .解:(I) 连接A C 1交AC 1于点O ,连接EOEC 1B 1A 1CBA因为1ACC A 1为正方形,所以O 为A C 1中点 又E 为CB 中点,所以EO 为1A BC ∆的中位线,所以1//EO A B ………………3分 又EO ⊂平面1AEC ,1A B ⊄平面1AEC所以1//A B 平面1AEC ………………6分 (Ⅱ)因为AB AC =,又E 为CB 中点,所以AE BC ⊥ ………………8分 又因为在直三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥底面ABC , 又AE ⊂底面ABC , 所以1AE BB ⊥, 又因为1BB BC B =,所以AE ⊥平面11BCC B ,又1B C ⊂平面11BCC B ,所以AE ⊥1B C ………………10分 在矩形11BCC B 中, 111tan tan CB C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C ∠=∠, 所以11190CB C EC B ∠+∠=,即11B C EC ⊥ ………………12分 又1AE EC E =,所以1B C ⊥平面11BCC B ………………14分16.(北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CC 1⊥底面ABC ,AC =BC =2,AB =CC 1=4,M 是棱CC 1上一点. (Ⅰ)求证:BC ⊥AM ;(Ⅱ)若M ,N 分别为CC 1,AB 的中点,求证:CN //平面AB 1M . N MB 1A 1C 1CBA证明:(Ⅰ)因为 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ,所以 CC 1⊥BC . …………………………………………1分 因为 AC =BC =2,AB =所以 由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC . ……………………………2分 又因为AC ∩CC 1=C ,所以 BC ⊥平面ACC 1A 1. ……………………4分 因为 AM ⊂平面ACC 1A 1,所以 BC ⊥AM . ……………………6分(Ⅱ)过N 作NP ∥BB 1交AB 1于P ,连结MP ,则NP ∥CC 1. ………………8分 因为 M ,N 分别为CC 1, AB 中点, 所以 112CM CC =,112NP BB =. …………9分因为 BB 1=CC 1,所以 NP =CM . ……………………10分 所以 四边形MCNP 是平行四边形.…………11分所以 CN //MP . ……………………12分 因为 CN ⊄平面AB 1M ,MP ⊂平面AB 1M , ……………………13分 所以 CN //平面AB 1 M . ……………………14分17.(北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题)如图,直三棱柱111C B A ABC -中,BC AC ⊥,21===CC BC AC ,M ,N 分别 为AC ,11C B 的中点. (Ⅰ)求线段MN 的长;(Ⅱ)求证:MN // 平面11A ABB ;(Ⅲ)线段1CC 上是否存在点Q ,使⊥B A 1平面MNQ ?说明理由.PN MB 1A 1C 1CBA(Ⅰ)证明:连接CN .因为 111C B A ABC -是直三棱柱,所以 ⊥1CC 平面ABC , ………………1分 所以 1AC CC ⊥. ………………2分 因为 BC AC ⊥, 所以 ⊥AC 平面11BCC B . ………………3分因为 1=MC ,CN == 所以6=MN .………………4分(Ⅱ)证明:取AB 中点D ,连接DM ,1DB . ………………5分在△ABC 中,因为 M 为AC 中点,所以BC DM //,BC DM 21=. 在矩形11B BCC 中,因为 N 为11C B 中点,所以BC N B //1,BC N B 211=.所以 N B DM 1//,N B DM 1=.所以 四边形N MDB 1为平行四边形,所以 1//DB MN . ………………7分因为 ⊄MN 平面11A ABB ,⊂1DB 平面11A ABB , ………………8分所以 MN // 平面11A ABB . ………………9分 (Ⅲ)解:线段1CC 上存在点Q ,且Q 为1CC 中点时,有⊥B A 1平面MNQ . ………11分证明如下:连接1BC .在正方形C C BB 11中易证 1BC QN ⊥.又⊥11C A 平面C C BB 11,所以 QN C A ⊥11,从而⊥NQ 平面11BC A .…………12分 所以 1A B QN ⊥. ………………13分 同理可得 1A B MQ ⊥,所以⊥B A 1平面MNQ .故线段1CC 上存在点Q ,使得⊥B A 1平面MNQ . ………………14分18.(北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版))(本小题满分14分)在长方体1111ABCD A B C D -中,AB BC =, E 为棱1BB 上一点. (Ⅰ)证明:1AC D E ⊥;(Ⅱ)是否存在一点E ,使得1B D ∥平面AEC ?若存在,求1B EBE的值;若不存在,说明理由.ABCD A 1B 1C 1D 1E(本小题满分14)(Ⅰ)证明:连接BD∵1111ABCD A B C D -是长方体,∴1D D ⊥平面ABCD ,………………1分 又AC ⊂平面ABCD ∴1D D AC⊥………………2分OABCDA 1B 1C 1D 1E在长方形ABCD 中,AB BC =∴BD AC ⊥ ……………3分又1BDD D D = ………………4分∴AC ⊥平面11BB D D ,………………5分 而1D E ⊂平面11BB D D ………………6分∴1AC D E⊥………………7分(Ⅱ)存在一点E ,使得1B D ∥平面AEC ,此时11B EBE=. ………………8分 当11B EBE=时,E 为1B B 中点 设BD 交AC 于点O ,则O 为BD 中点连接OE ,在三角形1BB D 中, OE ∥1B D………………10分1B D ⊄平面AEC ,OE ⊂平面AEC ………………13分∴1B D ∥平面AEC ………………14分。
2013年普通高等学校招生统一考试山东省数学(理)卷文档版
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绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
注意事项:1. 答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)*P(B)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i(2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A, y∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9(3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x) =x2+ ,则f(-1)= ()(A)-2(B)0 (C)1(D)2(4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面积是边长为的正三棱柱,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )(A)(B)(C)(D)(5)将函数y=sin(2x +φ)的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为(A)(B)(C)0 (D)(6)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组:2x-y-2≥0,x+2y-1≥0,3x+y-8≤0,所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为(A)2 (B)1 (C)(D)(7)给定两个命题p,q。
【2013泰安市一模】山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测 数学(理)试题
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泰安市高三第一轮复习质量检测数学试题(理科)2013.3一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}{}1,1,124xA B x =-=≤<,则A B ⋂等于A.{}1,0,1-B.{}1C.{}1,1-D.{}0,1【答案】B{}124{02}x B x x x =≤<=≤<,所以{1}A B ⋂=,选B.2.复数311i i-+(i 为虚数单位)的模是B.C.5D.8【答案】A31(31)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i ---+===+++-,所以31121i i i-=+=+,选A. 3.如果椭机变量()()21,,310.4N P ζσζ---≤≤-=且,则()1P ζ≥等于A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【答案】D因为()()31110.4P P ζζ-≤≤-=-≤≤=,所以()()()1311110.40.410.122P P P ζζζ--≤≤---≤≤--≥===,选D.4.下列结论错误..的是 A.命题“若2340x x --=,则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分条件C.命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题D.命题“若220m n +=,则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或” 【答案】C命题“若0m >,则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为“若方程20x x m +-=有实根,则0m >”。
若方程20x x m +-=有实根,则140m ∆=+≥,解得14m ≥-。
所以14m ≥-时,不一定有0m >,所以C 错误。
5.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是A.4B.5C.6D.7【答案】B第一次35116,n k =⨯+==;第二次168,22n k ===;第三次84,32n k ===;第四次42,42n k ===;第五次21,52n k ===此时满足条件输出5k =,选B.6.当4x π=时,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是 A.奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.偶函数且图像关于点(),0π对称 C.奇函数且图像关于直线2x π=对称D.偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C当4x π=时,函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值,即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈,即32,4k k Z πϕπ=-+∈,所以()()3si n ()04fxA x A π=->,所以333()sin()sin 444y f x A x A x πππ=-=--=-,所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称,选C.7.在,2ABC AB ∆∠= 中,A=60,且ABC ∆BC 的长为B.3D.7【答案】A11sin 6022222S AB AC AC =⨯⋅=⨯⨯=,所以1AC =,所以2222cos603BC AB AC AB AC =+-⋅= ,,所以BC =,选A.8.已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=则向量a b 与的夹角为A.2π B.3πC.4π D.6π 【答案】B2()2a b a a b a ⋅-=⋅-= ,所以3a b ⋅= ,所以31cos ,162a b a b a b ⋅<>===⨯,所以,3a b π<>= ,选B.9.若,,0,a b R ab ∈>且则下列不等式中,恒成立的是A.a b +≥B.11a b +>C.2b a a b +≥D.222a b ab +>【答案】C因为0ab >,所以0,0b a a b >>,即2b a a b +≥,所以选C. 10.设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3,且123,x x x <<则下列结论正确的是 A.11x >-B.20x <C.32x >D.201x <<【答案】D∵函数()()3402f x x x a a =-+<<,∴f ′(x )=3x 2﹣4.令f ′(x )=0,得 x=±.∵当3x <-时,'()0f x >;在(,33-上,'()0f x <;在()3+∞上,'()0f x >.故函数在(,-∞)上是增函数,在(上是减函数,在)+∞上是增函数.故(f 是极大值,f 是极小值.再由f (x )的三个零点为x 1,x 2,x 3,且123,x x x <<得 x 1<﹣,﹣<x 2,x 3>.根据f (0)=a >0,且f ()=a ﹣<0,得>x 2>0.∴0<x 2<1.选D.11.直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3[,)4ππC.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B直线的斜截式方程为221111y x a a =--++,所以斜率为211k a =-+,即21tan 1a α=-+,所以1tan 0α-≤<,解得34παπ≤<,即倾斜角的取值范围是3[,)4ππ,选B. 12.设奇函数()[]1,1f x -在上是增函数,且()11f -=-,若函数,()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立,则当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是 A.22t -≤≤B.1122t -≤≤ C.202t t t ≤-=≥或或D.11022t t t ≤-=≥或或【答案】C因为奇函数()[]1,1f x -在上是增函数,且()11f -=-,所以最大值为(1)1f =,要使()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立,则2121t at ≤-+,即220t at -≥,即(2)0t t a -≥,当0t =时,不等式成立。
2013年高考理科数学山东卷-答案
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【考点】函数的奇偶性. 4.【答案】B 【解析】如图所示,P 为正三角形 A1B1C1 的中心,设 O 为△ABC 的中心,由题意知: PO 平面ABC ,连 接 OA,则 PAO 即为 PA 与平面 ABC 所成的角.在正三角形 ABC 中, AB BC AC 3 ,
【提示】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出
n 的值.
【考点】循环结构的程序框图 14.【答案】 1
3
3, x 2 【解析】设 y | x 1| | x 2 | 2x 1, 1 x 2 利用函数图象可知| x 1| | x 2 |1的解集为[1,+) .而在
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】由
(z
3)(2
i)
5 ,得
z
5(2 i) (2 i)(2
i)
3
5
i
,∴
z
5
i
,故选
D.
【提示】利用复数的运算法则求得 z,即可求得 z 的共轭复数 z . 【考点】复数代数形式的四则运算. 2.【答案】C 【解析】当 x 0 , y 0 时, x y 0 ;当 x 0 , y 1时, x y 1;当 x 0 , y 2 时, x y 2 ; x 1 , y 0 时, x y 1;当 x 1 , y 1时, x y 0 ;当 x 1 , y 2 时, x y 1;当 x 2 , y 0 时,x y 2 ,当 x 2 , y 1时,x y 1;当 x 2 , y 2 时,x y 0 .根据集合中元素的互异性知,
2013山东高考数学(理科)答案
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学 答案(1)答案D. 解:由题得i 25)i 2(5i 253z +=+=-=-,所以i 5z +=所以i 5z -=。
该题计算简单,熟练后口算即得答案,但应注意让求的是共轭复数,第一个题要稳住,不要看错呦(*^__^*) 嘻嘻……。
(2)答案C.解:对应x=y 时,元素为0;对应1-0、2-1时,元素为1;对应0-1、1-2时,元素为-1;对应2-0时,元素为2;对应0-2时,元素为-2.共5个.该题要看清B 的元素是y x -的结果,稍加列举便可得到答案。
(3)答案A.解:由题得2)1(f )1(f -==--。
关于该类题可以考察周期函数(比较复杂),但是本题目实在是太简单了!尼玛,这不是送分,是直接拿分砸你,我次奥,$_$。
(4)答案B.解:该题只需小算立刻得出结果。
由题三角形面积为433(利用公式2a 43S =,可以在平时就把这个玩意背下来的,很多有用的公式在之前都可以背的,亲)则P P '长为3S /49=,在这里就可以直接选答案B 了,( ⊙o ⊙ )纳尼?,在一个直角三角形(边长比为1:3:2)中,与3对应的角就是3π。
那如果P A ''对应的不是1的边而是3的边呢?请看底面正三角形边长为3,而P P '又怎能超过之,所以...你懂得。
其实13a 2132P A =⋅⋅=''。
选择、填空你也敢浪费时间,有这功夫还不如借揪头发乘机瞅瞅考场妹子。
soga.(5)答案B.解:原函数平移后变为)4x 2sin())8x (2sin(y ϕ+π+=ϕ+π+=,所以Z k ,k 24∈π+π=ϕ+π,即Z k ,k 4∈π+π=ϕ,答案立刻被鲁出。
其实这种题亦可以出的稍微复杂一些的,出题的老湿主算很照顾你们了。
本老歪屌湿是不会有这么好肚量的(∩_∩)。
(6)答案C.解:当你拿到这个题时怎么破?①画图,②联立求点,③三找到最小值的点代入求解。
2013年高考理科数学山东卷试题与答案word解析版
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷) 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 答案:D解析:由题意得z -3=52i-=2+i ,所以z =5+i.故z =5-i ,应选D. 2. 答案:C解析:当x ,y 取相同的数时,x -y =0;当x =0,y =1时,x -y =-1;当x =0,y =2时,x -y =-2;当x =1,y =0时,x -y =1;当x =2,y =0时,x -y =2;其他则重复.故集合B 中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C. 3. 答案:A解析:因为f (x )是奇函数,故f (-1)=-f (1)=2111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-2,应选A. 4. 答案:B解析:如图所示,由棱柱体积为94.设P 在平面ABC上射影为O ,则可求得AO 长为1,故AP 2=故∠PAO =π3,即PA 与平面ABC 所成的角为π3. 5. 答案:B解析:函数y =sin(2x +φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数πsin 28y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=πsin 24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象,又πsin 24y x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=为偶函数,故πππ42k ϕ+=+,k ∈Z ,∴ππ4k ϕ=+,k ∈Z .若k =0,则π4ϕ=.故选B. 6. 答案:C解析:不等式组表示的区域如图阴影部分所示,结合斜率变化规律,当M 位于C 点时OM 斜率最小,且为13-,故选C.7. 答案:A解析:由题意:q ⇒⌝p ,⌝pq ,根据命题四种形式之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件.故选A. 8. 答案:D解析:因f (-x )=-x ·cos(-x )+sin(-x )=-(x cos x +sin x )=-f (x ),故该函数为奇函数,排除B ,又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭,y >0,排除C ,而x =π时,y =-π,排除A ,故选D. 9. 答案:A解析:该切线方程为y =k (x -3)+1,即kx -y -3k +1=0=1,得k =0或43,切线方程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为(1,1),93,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,故所求直线的方程为2x +y -3=0.故选A.10. 答案:B解析:构成所有的三位数的个数为11191010C C C =900,而无重复数字的三位数的个数为111998C C C =648,故所求个数为900-648=252,应选B. 11. 答案:D解析:设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,21''2x y x p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故在M点处的切线的斜率为0x p =故M 1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.由题意又可知抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭,双曲线右焦点为(2,0),且1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(2,0)三点共线,可求得pD. 12. 答案:B解析:由x 2-3xy +4y 2-z =0得2234x xy y z -+即xy z≤1,当且仅当x 2=4y 2时成立,又x ,y 为正实数,故x =2y .此时将x =2y 代入x 2-3xy +4y 2-z =0得z =2y 2,所以222121211+1x y z y y y ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭,当1=1y ,即y =1时,212x y z+-取得最大值为1,故选B. 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.答案:3解析:第1次运行将F 0+F 1赋值给F 1,即将3赋值给F 1,然后将F 1-F 0赋值给F 0,即将3-1=2赋值给F 0,n 增加1变成2,此时1113F =比ε大,故循环,新F 1为2+3=5,新F 0为5-2=3,n 增加1变成3,此时1115F =≤ε,故退出循环,输出n =3. 14.答案:13解析:设y =|x +1|-|x -2|=3,2,21,12,3,1,x x x x ≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩利用函数图象(图略)可知|x +1|-|x -2|≥1的解集为[1,+∞).而在[-3,3]上满足不等式的x 的取值范围为[1,3],故所求概率为311333-=-(-).15.答案:712解析:∵AP =λAB +AC ,AP ⊥BC ,又BC =AC -AB ,∴(AC -AB )·(AC +λAB )=0.∴AC 2+λAB ·AC -AB ·AC -λAB 2=0,即4+(λ-1)×3×2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭-9λ=0,即7-12λ=0,∴λ=712.16.答案:①③④三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.解:(1)由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b 2=(a +c )2-2ac (1+cos B ), 又b =2,a +c =6,cos B =79, 所以ac =9,解得a =3,c =3. (2)在△ABC 中,sin B9=. 由正弦定理得sin A=sin 3a Bb =. 因为a =c ,所以A 为锐角. 所以cos A13=. 因此sin(A -B )=sin A cos B -cos A sin B=27. 18.(1)证明:因为D ,C ,E ,F 分别是AQ ,BQ ,AP ,BP 的中点, 所以EF ∥AB ,DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF 平面PCD ,DC ⊂平面PCD , 所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ ∩平面PCD =GH , 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ,所以AB ∥GH .(2)解法一:在△ABQ 中,AQ =2BD ,AD =DQ , 所以∠ABQ =90°,即AB ⊥BQ .因为PB ⊥平面ABQ , 所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ =B , 所以AB ⊥平面PBQ .由(1)知AB ∥GH ,所以GH ⊥平面PBQ . 又FH ⊂平面PBQ ,所以GH ⊥FH . 同理可得GH ⊥HC ,所以∠FHC 为二面角D -GH -E 的平面角. 设BA =BQ =BP =2,连接FC ,在Rt △FBC 中,由勾股定理得FC, 在Rt △PBC 中,由勾股定理得PC又H 为△PBQ 的重心,所以HC=133PC =. 同理FH=3.在△FHC 中,由余弦定理得cos ∠FHC =5524995529+-=-⨯.故二面角D -GH -E 的余弦值为45-.解法二:在△ABQ 中,AQ =2BD ,AD =DQ , 所以∠ABQ =90°.又PB ⊥平面ABQ ,所以BA ,BQ ,BP 两两垂直.以B 为坐标原点,分别以BA ,BQ ,BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设BA =BQ =BP =2,则E (1,0,1),F (0,0,1),Q (0,2,0),D (1,1,0),C (0,1,0),P (0,0,2). 所以EQ =(-1,2,-1),FQ =(0,2,-1),DP =(-1,-1,2),CP =(0,-1,2).设平面EFQ 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1), 由m ·EQ =0,m ·FQ =0, 得1111120,20,x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取y 1=1,得m =(0,1,2).设平面PDC 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2), 由n ·DP =0,n ·CP =0, 得2222220,20,x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取z 2=1,得n =(0,2,1). 所以cos 〈m ,n 〉=4||||5=·m n m n .因为二面角D -GH -E 为钝角, 所以二面角D -GH -E 的余弦值为45-. 19.解:(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1,“甲队以3∶1胜利”为事件A 2,“甲队以3∶2胜利”为事件A 3,由题意,各局比赛结果相互独立,故P (A 1)=328327⎛⎫= ⎪⎝⎭,P (A 2)=2232228C 133327⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, P (A 3)=22242214C 133227⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827,以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以P (A 4)=22242214C 1133227⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3, 根据事件的互斥性得P (X =0)=P (A 1+A 2)=P (A 1)+P (A 2)=1627, 又P (X =1)=P (A 3)=427, P (X =2)=P (A 4)=427, P (X =3)=1-P (X =0)-P (X =1)-P (X =2)=327. 故X 的分布列为所以EX =0×1627+1×427+2×27+3×27=9.20.解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d , 由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1得11114684,21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1=1,d =2.因此a n =2n -1,n ∈N *. (2)由题意知,T n =12n nλ--, 所以n ≥2时,b n =T n -T n -1=12112222n n n n n n ------+=. 故c n =b 2n =21222n n --=11(1)4n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭,n ∈N *.所以R n =0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭0+1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1+2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2+3×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3+…+(n -1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n -1,则14R n =0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1+1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2+2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3+…+(n -2)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n -1+(n -1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n , 两式相减得34R n =14⎛⎫ ⎪⎝⎭1+14⎛⎫ ⎪⎝⎭2+14⎛⎫ ⎪⎝⎭3+…+14⎛⎫ ⎪⎝⎭n -1-(n -1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n =11144(1)1414nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭--⨯ ⎪⎝⎭- =1131334nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭, 整理得R n =1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以数列{c n }的前n 项和R n =1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭.21.解:(1)f ′(x )=(1-2x )e -2x, 由f ′(x )=0,解得x =12. 当x <12时,f ′(x )>0,f (x )单调递增; 当x >12时,f ′(x )<0,f (x )单调递减.所以,函数f (x )的单调递增区间是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,最大值为111e 22f c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)令g (x )=|ln x |-f (x )=|ln x |-x e -2x-c ,x ∈(0,+∞).①当x ∈(1,+∞)时,ln x >0,则g (x )=ln x -x e -2x-c , 所以g ′(x )=22e e21x xx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 因为2x -1>0,2e xx>0,所以g ′(x )>0.因此g (x )在(1,+∞)上单调递增.②当x ∈(0,1)时,ln x <0,则g (x )=-ln x -x e -2x-c . 所以g ′(x )=22e e21x xx x -⎛⎫-+- ⎪⎝⎭. 因为e 2x∈(1,e 2),e 2x>1>x >0,所以2e xx -<-1.又2x -1<1,所以2e xx-+2x -1<0,即g ′(x )<0.因此g (x )在(0,1)上单调递减.综合①②可知,当x ∈(0,+∞)时,g (x )≥g (1)=-e -2-c .当g (1)=-e -2-c >0,即c <-e -2时,g (x )没有零点, 故关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为0;当g (1)=-e -2-c =0,即c =-e -2时,g (x )只有一个零点, 故关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为1;当g (1)=-e -2-c <0,即c >-e -2时, 当x ∈(1,+∞)时,由(1)知g (x )=ln x -x e -2x -c ≥11ln e 2x c -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>ln x -1-c ,要使g (x )>0,只需使ln x -1-c >0,即x ∈(e 1+c,+∞);当x ∈(0,1)时,由(1)知g (x )=-ln x -x e -2x -c ≥11ln e 2x c -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭>-ln x -1-c ,要使g (x )>0,只需-ln x -1-c >0,即x ∈(0,e -1-c);所以c >-e -2时,g (x )有两个零点,故关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为2. 综上所述,当c <-e -2时,关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为0;当c =-e -2时,关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为1;当c >-e -2时,关于x 的方程|ln x |=f (x )根的个数为2. 22.(1)解:由于c 2=a 2-b 2,将x =-c 代入椭圆方程2222=1x y a b+,得2b y a =±,由题意知22=1b a ,即a =2b 2.又c e a ==,所以a =2,b =1.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)解法一:设P (x 0,y 0)(y 0≠0). 又F 1(,0),F 2,0), 所以直线PF 1,PF 2的方程分别为lPF 1:y 0x -(x 0yy 0=0, lPF 2:y 0x -(x 0yy 0=0.由于点P 在椭圆上,所以220014x y +=,=.因为m2<x 0<2,=所以m =034x .因此3322m -<<.解法二:设P (x 0,y 0).当0≤x 0<2时,①当0x =时,直线PF 2的斜率不存在,易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭. 若P 12⎫⎪⎭,则直线PF 1的方程为0x -=.m =,因为m所以m =若P 12⎫-⎪⎭,同理可得m =.②当x 0时,设直线PF 1,PF 2的方程分别为y =k 1(x),y =k 2(x).=,221221111k k +=+. 因为220014x y +=, 并且k 1,k 2,222=22==.因为为m,0≤x 0<2且x 0=.整理得m =34x , 故0≤m <32且m综合①②可得0≤m <32.当-2<x 0<0时,同理可得32-<m <0. 综上所述,m 的取值范围是33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)设P (x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y -y 0=k (x -x 0).联立22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=(-)⎩整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x +4(20y -2kx 0y 0+220k x -1)=0.由题意Δ=0,即220(4)x k -+2x 0y 0k +1-20y =0.又220014x y +=, 所以22016y k +8x 0y 0k +20x =0,故k =004xy -.由(2)知00012000211x x x k k y y y +=+=, 所以121211111kk kk k k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ =000042=8y xx y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭, 因此1211kk kk +为定值,这个定值为-8.。
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泰安市2012-2013学年高三上期末考试
理科数学
(考试时间:120分钟 满分:150分 )
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
) 1. 3
8tan
π
的值为 A.
3
3 B.-
3
3 C.
3
D.-3
2.已知全集R U =,集合{}{}3|,5,4,3,2,1≥∈==x R x B A ,右图中阴影部分所表示的集合为
A. {}
1 B. {}2,1
C. {}32,1,
D. {}21,0,
3.如果b a >,则下列各式正确的是 A. x b x a lg lg ⋅>⋅ B. 2
2bx ax > C. 2
2
b a >
D. x
x
b a 22⋅>⋅
4.直线02:=--+a y ax l 在x 轴和y 灿上的截距相等,则a 的值是 A.1
B.-1
C.-2或-1
D. -2或1
5.如图,设A 、B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50m ,
105,45=∠=∠CAB ACB 后,就可以计算出A 、
B 两点的距离为 A. m 250 B. m 350 C. m 225
D.
m 2
2
25
6.已知圆C 经过点A (5,1),B (1,3)两点,圆心在x 轴上,则C 的方程是 A. 50)2(2
2
=+-y x B. 10)2(2
2=++y x C. 50)2(2
2
=++y x
D. 10)2(2
2
=+-y x
7.下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是 A. x y 3log = B. 3
x y = C. x
e y =
D. x y cos =
8.命题“存在R x ∈,使042
<-+a ax x ,为假命题”是命题“016≤≤-a ”的
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
9.设l 、m 、n 为不同的直线,βα、为不同的平面,有如下四个命题: ①若βαβα//,l ,l 则⊥⊥ ②若βαβα⊥⊂⊥l ,l 则, ③若n l n m m l //,,则⊥⊥
④若n m n m ⊥⊥则且βαβα////,
A.0
B.1
C.2
D.3
10.某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名,x 和y 须满足约束条件⎪⎩
⎪⎨
⎧<≤-≥-.6,2,
52x y x y x 则该校招聘
的教师人数最多是 A.6
B.8
C.10
D.12
11.已知函数①x x y cos sin +=,②x x y cos sin 22=,则下列结论正确的是 A.两个函数的图象均关于点(4
π
-
,0)成中心对称图形
B.两个函数的图象均关于直线4
π
-=x 成轴对称图形
C.两个函数在区间(4
π
-
,
4
π
)上都是单调递增函数 D.两个函数的最小正周期相同 12.已知数列{}n a 满足:n n n a a a a +==
+2
11,2
1,用[x]表示不超过x 的最大整数,则 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++⋯++++111
111201121a a a 的值等于
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.已知向量)2,3(),2,1(-==b ,若)3//()(b b k -+,则实数k 的取值为 ▲ 。
14.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11=a ,公差d=2, 242=-+k k S S ,则k= ▲ 。
15.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸(单位:cm ),可得这个几何体的体积是 ▲ 。
16.已知函数)(x f y =是定义在R 上的增函数,函数)1(-=x f y 的图象关于点(1,0)对称,若对任意的R y x ∈,,不等式0)8()216(22<-+++y y f x x f 恒成立,则22y x +的取值
范围是 ▲ 。
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
) 17.(本小题满分12分)
已知数列{}n a 是等比数列,n S 为其前n 项和。
(I )设16
21
,2363==
S S ,求n a ; (II )若7104,,S S S 成等差数列,证明471,,a a a 也成等差数列。
18.(本小题满分12分)
在∆ABC 中,C B 、A 、∠∠∠所对的边分别为a 、b 、c ,且满足.35
5
22cos
=⋅=AC AB ,A .6=+c b
(I )求a 的值;
(II )求
A
C B A 2cos 1)
4sin()4sin(2-+++π
π的值。
19.(本小题满分12分)
将如图1的直角梯形ABEF (图中数字表示对应线段的长度)沿直线CD 折成直二面角,连结部分线段后围成一个空间几何体,如图2所示。
(I )证明:直线BE //平面ADF ;
(II )求面FBE 与面ABCD 所成角的正切值。
20.(本小题满分12分)
如图所示,某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ;另一侧修建一条观光大道,它的前一段OD 是以O 为顶点,x 轴为对称轴,开口向右的抛物线的一部分,后一段DBC 是函数
]8,4[),2
,0,0)(sin(∈<
Φ>>Φ+=x A x A y π
ωω时的图象,
图象的最高点为OC DF B ⊥),33
8,5(,垂足为F 。
(I )求函数)sin(Φ+=x A y ω的解析式;
(II )若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ,问点P 落在曲线OD 上何处时,水上乐园的面积最大? 21.(本小题满分12分)
已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2
3
,且短轴长为2。
(I )求椭圆方程;
(II )过点(m ,0)作圆122=+y x 的切线交椭圆于A 、B 两点,试将AB 表示为m 的函数,并求AB 的最大值。
22.(本小题满分14分)
已知函数.ln 1
2
2)(),,(ln )(2x x x x g R b a bx ax x x f -+-=
∈--= (I )当1-=a 时,)(x f 与)(x g 在定义域上的单调性相反,求b 的取值范围; (II )设21,x x 是函数)(x f y =的两个零点,且,21x x <求证.)(2
212
1b x x a x x ++<+
参考答案及评分标准
一、选择题:每小题5分,共60分
二、填空题 13.3
1-
14.5
15.3
3
5cm π
16.(3,7)
三、解答题:共6小题,满分74分.
17.(本小题满分12分)。