初三中考二次函数专题复习
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案
中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1.下列函数中,是二次函数的是()A.y=x2+1x B.y=12x(x-1) C.y=-2x-1 D.y=x(x2+1).2.抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是()A.(2,−3)B.(−2,3)C.(2,3)D.(−2,−3)3.把抛物线y=5x2向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线是()A.y=5(x−2)2+3B.y=5(x+2)2−3C.y=5(x+2)2+3D.y=5(x−2)2−34.函数y=ax2与y=﹣ax+b的图象可能是()A. B. C. D.5.函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3且k≠0 D.k≤36.若A(−5,y1),B(1,y2),C(2,y3)为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y2<y1<y3D.y3<y1<y27.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①b>0;②当x>0,y随着x 的增大而增大;③(a+c)2﹣b2<0;④a+b≥m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个8.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,为使该服装店平均每天的销售利润最大,则每件的定价为()A.21元B.22元C.23元D.24元二、填空题9.将二次函数y=x2-2x化为y=(x-h)2+k的形式,结果为10.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(-1,0),(3,0),则此抛物线的对称轴是直线.11.将二次函数y=x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是.12.飞机着陆后滑行的距离y (单位:m)关于滑行时间t (单位:s)的函数解析式是y=60t-65t2,从飞机着陆至停下来共滑行米.13.已知如图:抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52,74)、B(0,3)两点,则关于x的不等式ax2+bx+c<kx+n的解集是三、解答题14.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1,−5)、B(3,t)两点.(1)求y1与y2的函数关系式;(2)直接写出当y1<y2时,x的取值范围;(3)点C为一次函数y1图象上一点,点C的横坐标为n,若将点C向右平移2个单位,再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上,求n的值.15.某品牌服装公司新设计了一款服装,其成本价为60(元/件).在大规模上市前,为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y(件)与销售价格x(元/件)之间的关系,进行了市场调查,部分信息如表:销售价格x(元/件)80 90 100 110日销售量y(件)240 220 200 180(1)若y与x之间满足一次函数关系,请直接写出函数的解析式(不用写自变量x的取值范围);(2)若该公司想每天获利8000元,并尽可能让利给顾客,则应如何定价?(3)为了帮助贫困山区的小朋友,公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元,该公司应该如何定价,才能使每天获利最大?(利润用w表示)16.如图,抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线:l:y=−x−1与y轴交于点C,与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5,−6),已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动.点(不与A、D重合).(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE∥x轴交直线l于点E,作PF∥y轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的动点,以NC为一边且顶点为N,C,M,P的四边形是平行四边形,直接写出所有符合条件的M点坐标.17.如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x轴,过跳台终点作水平线的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,图中的抛物线C1:y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出,滑出后沿一段抛物线C2:y=−14x2+bx+c 运动.(1)当小张滑到离A处的水平距离为8米时,其滑行高度为10米,求出b,c的值;(2)在(1)的条件下,当小张滑出后离的水平距离为多少米时,他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米?2(3)若小张滑行到坡顶正上方,且与坡顶距离不低于4米,求b的取值范围.18.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4,0)、B(−3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.(2)如图①,点D是x轴下方抛物线上的动点,且不与点C重合.设点D的横坐标为m,以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S,求S与m之间的函数关系式.(3)如图②,连结BC,点M为线段AB上一点,点N为线段BC上一点,且BM=CN=n,直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形.参考答案 1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 8.B9.y =(x −1)2−1 10.x =1 11.a <5 12.75013.x <−52或x >014.(1)解:把点A(1,−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7;把点B(3,t)代入y 1=2x −7中,得t =−1 ∴A(1,−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中,得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1; (2)x <1或x >3(3)解:∵点C 为一次函数y 1图象上一点,∴C(n ,2n −7)将点C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2,2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1,得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15.(1)y=-2x+400(2)解:由题意,得:(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100,x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元(3)解:由题意,得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时,w 有最大值,最大值为8450. 答:当一件衣服定为135元时,才能使每天获利最大. 16.(1)解:∵直线l :y =−x −1过点A∴A(−1,0)又∵D(5,−6)将点A ,D 的坐标代入抛物线表达式可得:{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4.∴抛物线的解析式为:y =−x 2+3x +4. (2)解:如图设点P(x ,−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴,PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5,−x 2+3x +4),F(x ,−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5,PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18. ∴当x =2时,PE +PF 取得最大值,最大值为18.(3)符合条件的M 点有三个:M 1(4,−5),M 2(2+√14,−3−√14), M 3(2−√14,−3+√14). 17.(1)解:由题意可知抛物线C 2:y=−14x 2+bx+c 过点(0, 4)和(8, 10) 将其代入得:{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114,c=4(2)解:由(1)可得抛物线Cq 解析式为: y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时,运动员与小山坡的竖直距离为52米,依题意得: −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得: m 1=10,m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时,运动员与小山坡的竖直距离为为52米. (3)解:∵抛物线C 2经过点(0, 4) ∴c=4抛物线C 1: y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时,运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6. ∴b ≥15618.(1)解:把A(4,0)、B(−3,0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4. (2)解:当x =0时y =−4∴C(0,−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8. (3)解:n =52,n =2511,n =3011.。
中考复习必备-二次函数总复习
字母符号
a>0 a
a<0 b=0 b b与a同号 b与a异号 c=0
c>0
c c<0 b2 b2-4ac=0 - b2-4ac>0 4a c b2-4ac<0
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
⑤解析式的求法: 确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,由于二次函数解析式有三 个待定系数a,b,c(或a,h,k或a,x1,x2),因而确定二次函数解析式需要 已知三个独立的条件: a.已知抛物线上任意三个点的坐标时,选用一般式比较方便. b.已知抛物线的顶点坐标时,选用顶点式比较方便. c.已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1,x2)时,选用交点式比 较方便.
命题点4 二次函数的实际应用
3.(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果 园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单 棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们 之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式; (2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750 千克? (3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?
命题点1 二次函数的图象与性质 1.(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a 的图象可能是( C )
2.(2016·阜新10题3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列选项中正 确的是( B ) A.a>0 B.b>0 C.c<0 D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根
九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)
二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地,自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: y =ax 2+bx +c (a ≠0),则称y 为x 的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一般式:y =ax 2+bx +c (a ≠0)顶点式:y =a (x -h ) 2+k (a ≠0),此时抛物线的顶点坐标为P (h ,k )交点式:y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)仅用于函数图像与x 轴有两个交点时,x 1、x 2为交点的横坐标,所以两交点的坐标分别为A (x 1,0)和 B (x 2,0)),对称轴所在的直线为x=2x 21+ 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: h =-a 2b ,k =a 4b -4ac 2 ; x 1, x 2=a24ac -b b -2± ;x 1+x 2=-a 2b 三、二次函数的图像从图像可以看出,二次函数的图像是一条抛物线,属于轴对称图形。
四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形,对称轴为直线 x = -a2b ,对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。
特别地,当b =0时,抛物线的对称轴是y 轴(即直线x =0)2.抛物线有一个顶点P ,坐标为P (-a 2b ,a 4b -4ac 2)。
当x =-a 2b 时,y 最值=a4b -4ac 2,当a >0时,函数y 有最小值;当a <0时,函数y 有最大值。
当-a 2b =0时,P 在y 轴上(即交点的横坐标为0);当Δ= b 2-4ac =0时,P 在x 轴上(即函数与x 轴只有一个交点)。
3.二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小(即形状)。
当a >0时,抛物线开口向上;当a <0时,抛物线开口向下。
|a |越大,则抛物线的开口越小。
对于两个抛物线,若形状相同,开口方向相同,则a 相等;若形状相同,开口方向相反,则a 互为相反数。
4.二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置,四字口诀为“左同右异”,即: 当对称轴在y 轴左边时,a 与b 同号(即ab >0);当对称轴在y 轴右边时,a 与b 异号(即ab <0)。
2025年中考复习 二次函数综压轴题专题训练——关于线段周长问题(学生版)
2025年中考复习二次函数综压轴题专题训练--关于线段周长问题1.如图,抛物线y=-13x2+43x+4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标,并直接写出线段BC所在直线的函数表达式;(2)点P是线段BC上方抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,交BC于点N求线段PN长的最大值.2.已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+3.(1)若该函数图象经过(-1,4).①求a的值;②设抛物线与x轴正半轴交于点B,交y轴于点C,点P是直线x=-1上的动点,求PB+PC的最小值.(2)在-2≤x≤1时,该函数的最大值与最小值之差为12,求a的值.3.如图,二次函数的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为5,0.,顶点C的坐标为2,9(1)求二次函数的解析式和直线BD的函数解析;(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.(3)P是线段BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限内时,求线段PM长度的最大值.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3的图像交x轴于点A-3,0,交y和点B33,0轴于点C,连接BC.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上一点,过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,点E是直线BC上一点,且在PD右侧,满足DE=DP,求△DEP周长的最大值及此时点P的坐标;(3)将抛物线y=ax2+bx-3沿BC方向平移2个单位后,得到一个新的抛物线y ,点M为新抛物线y 上一点,点M关于直线BC的对称点为M ,连接MM ,CM ,当∠CM M=60°时,直接写出所有符合条件的点M的横坐标.5.在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c=与x轴交于点A-5,0,B(点A在点B的左侧),与y 轴交于点C0,5.(1)求该抛物线的解析式;(2)如图1,若点P是第二象限内抛物线上一动点,求△P AC面积的最大值;(3)在对称轴上找一点Q,使△BCQ的周长最小,求点Q的坐标;(4)如图2,若点M是抛物线上一点,点N是抛物线对称轴上一点,A、C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标,请说明理由.6.综合探究如图,在平面直角坐标系中.直线y =kx k ≠0 与抛物线y =ax 2+c a ≠0 交于A 8,6 ,B 两点,点B 的横坐标为-2.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一动点,过点P 作x 轴的平行线,与直线AB 交于点C .连接PO ,设点P 的横坐标为m .①若点P 在x 轴上方,当m 为何值时,OC =CP ;②若点P 在x 轴下方,求△POC 周长的最大值.7.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A4,0,B-3 2 ,0,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点D是OC的中点,点E为x轴上一点,F为对称轴上一点,一动点P从点D出发,沿D-E -F-C运动,若要使点P走过的路径最短,请求出点E、F坐标,并求出最短路径;(3)如图2,直线y=x与抛物线交于点M,问抛物线上是否存在点Q(点M除外),使得∠QCA=∠MCA?若存在,请求出点Q坐标;若不存在,说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过点A -1,0 ,点B 2,3 .(1)求此二次函数的解析式;(2)当-2≤x ≤2时,求二次函数y =-x 2+bx +c 的最大值和最小值;(3)点M 为此函数图象上任意一点,其横坐标为m ,过点M 作MN ∥x 轴,点N 的横坐标为-m +3.已知点M 与点N 不重合,且线段MN 的长度随m 的增大而减小.①求m 的取值范围;②当MN ≤5时,直接写出线段MN 与二次函数y =-x 2+bx +c -1≤x <32的图象交点个数及对应的m 的取值范围.9.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c(b和c是常数)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且OB>OA,OB=OC=3.(1)求b,c的值;(2)如图2,点P是直线BC下方抛物线上的一点(不与点B,C重合),过点P作PD⊥x轴于点D,PD与BC交于点Q.若PQ=2DQ,求点P的坐标;(3)当二次函数y=x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+1时,此函数的最大值与最小值的差为3,求此时m的值.10.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,其中点A的坐标为-3,0,与y轴交于点C,点D-2,-3在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出P A+PD的最小值;(3)若抛物线上有一动点Q,使△ABQ的面积为6,求点Q的坐标.11.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC的直角顶点C和另一个顶点A-1,0均在x轴上,AC= BC=5,抛物线y=ax2-2ax+c经过A、B两点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与A、B重合),过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q,当线段PQ的长度最大时,求点P的坐标;(3)若点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q,是否存在点P,使以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标:如果不存在,请说明理由.12.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2a≠0与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),且A点坐标为-2,0,直线BC的解析式为y=-12x+2.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点P为线段BC上方抛物线上的任意一点,过点P作PD∥AC交AB于点D,求2PD+ DB的最大值及此时点P的坐标;(3)如图2,将原抛物线水平向右平移,使得平移后的抛物线y 恰好经过原点,则抛物线与原抛物线交于点K,连接AK,过B作直线BE∥AK交y轴于点E,设F是直线BE上一点,点K关于直线AF的对称点为K ,试探究,是否存在满足条件的点F,使得点K 恰好落在直线BE上,如果存在,求出点K 的坐标;如果不存在,请说明理由.13.如图,二次函数y=ax2+bx+c a≠0,的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点D,点B的坐标为3,0顶点C的坐标为1,4.(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;(2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;(3)在抛物线上是否存在异于点B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为22?若存在求出点Q的坐标;若不存在请说明理由.14.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A-3,0两点,且与x轴的另一个交点为B,对称轴,C0,4为直线x=-1.(1)求抛物线的表达式;(2)已知点M是抛物线对称轴上一点,当△MBC的周长最小时,求M点的坐标.(3)D是第二象限内抛物线上的动点,设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标;(4)若点P在抛物线对称轴上,是否存在点P,使以点B,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.15.如图,已知抛物线经过原点O,与x轴上另一交点为A,它的对称轴为x=2与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B-2,m,且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式;(2)求证:①CB=CE;②D是BE的中点;(3)在该抛物线上是否存在一点P,使得PB=PE.若存在,求出点P的横坐标m;若不存在,请说明理由.16.已知,如图在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,OA=23.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.(1)求点C的坐标;(2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;(3)若抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M.问:是否存在点P,使得PD=MC?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.17.如图,二次函数的图像与x轴交于A-3,0,点C,D是二次函数图两点,交y轴与点C0,3和B1,0象上的一对对称点,一次函数的图像过点B,D.(1)求二次函数解析式;(2)求出顶点坐标和点D的坐标;(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M,使△BCM的周长最小?若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.(4)若Q是线段BD上任意一点,过点Q作PQ⊥x轴交抛物线于点P,则点P坐标为多少时,PQ最长?18.综合与探究如图,已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D,对称轴是直线l,且与x轴交于点H.(1)求点A,B,C,D的坐标;(2)若点P是该抛物线对称轴l上的-个动点,求△PBC周长的最小值;(3)若点E是线段AC上的一个动点(E与A,C不重合),过点E作x轴的垂线,与抛物线交于点F,与x轴交于点C.则在点E运动的过程中,是否存在EF=2EG?若存在,求出此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.19.如图,抛物线与y轴交于点A(0,-2),顶点为B(1,-3).(1)求抛物线对应的函数解析式.(2)抛物线的对称轴上是否存在一点C,使△ABC的面积为3?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在x轴上有一点P,使得△P AB的周长取最小值,求出点P的坐标.20.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴分别交于A -2,0 、B 6,0 两点,与y 轴交于点C 0,4 ,顶点为点G ,连接AC 、BC ,点P 为直线BC 上方抛物线上一动点,连接AP 交BC 于点M .(1)求抛物线的函数表达式及顶点G 的坐标;(2)当PM AM 的值最大时,求点P 的坐标及PM AM的最大值;(3)如图2,在(2)的条件下,EF 是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段(点E 在点F 上方),连接CE 、AF ,当四边形ACEF 周长取最小值时,求点E 的坐标;在此条件下,以点G 、E 、H 、P 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出点H 的坐标.21.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c a≠0两点,的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A1,0,C0,3与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使MA+MC的值最小,求点M的坐标;(3)设P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.22.如图1,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+3相交于点B和C,点B在x轴上,点C在y轴上,抛物线与x轴的另一个交点为A.(1)求抛物线y=-x2+bx+c的解析式;(2)如图2,将直线BC绕点B逆时针旋转90°交y轴于点D,在直线BD上有一点P,求△ACP周长的最小值及此时点P的坐标;(3)如图3,将抛物线y=-x2+bx+c沿射线CB方向平移2个单位长度得到新抛物线y ,在新抛物线y 上有一点N,在x轴上有一点M,试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形?若存在,写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.23.如图,抛物线y=-x2+bx+c经过B(3,0)、C(0,3)两点,与x轴负半轴相交于点A.(1)求抛物线的解析式:(2)D为抛物线的顶点.P为对称轴右侧抛物线上一点,连接PC、BD交于点E,若BE=CE,求点P的坐标:(3)点Q为x轴上方抛物线上一动点,点G是抛物线对称轴与x轴的交点.直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.以下两个结论:①GM+GN为定值:②GM-GN为定值.请找出正确的结论,并求出该定值.24.如图1,抛物线y=43x2+83x-4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,∠BAC的平分线与y轴交于点D,与抛物线交于点Q,点P是线段AB上一点,过点P作x轴的垂线,分别交AD,AC于点E、F,连接OE,OF.(1)当△OEF面积最大时,求P点的坐标.(2)在(1)的条件下,在直线PF上取点M,在y轴上取点N,当BN+MN+MQ最小时,求出N的坐标.(3)如图2,将抛物线y沿着射线AC方向平移得到y ,y 的图象恰好经过点C,在抛物线y 的对称轴上取点G,在抛物线y 上取点K,在(2)的条件下,是否存在以P、N、K、G为顶点的平行四边形,如果存在直接写出k点坐标,如果不存在请说明理由.25.如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-1,0,与y轴交于点C.,B3,0(1)求抛物线的解析式;(2)设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点.①当P为抛物线的顶点时,求证:△PBC直角三角形;②求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标;③过点P作PN⊥x轴,垂足为N,PN与BC交于点E.当PE+2CE的值最大时,求点P的坐标.26.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2),点D在y轴负半轴上,且OD=OB,点P,Q为抛物线上的点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当PC⊥BD时,求点P的坐标;(3)如图2,若∠QBD=90°,点E,F分别为△BDQ的边DQ,BD上的动点,且QE=DF,连接BE,QF,求BE+QF的最小值.27.如图1,已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A-1,0和点B,与y轴交于点C,连接AC,过B、C两点作直线.(1)求a的值.(2)如图1,将直线BC向下平移m m>0个单位长度,交抛物线于B 、C 两点.在直线B C 上方的抛物线上是否存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线B C 的距离最大,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P在抛物线上,且∠PBC+∠ACO=45°请直接写出直线BP的表达式.28.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x-2与x轴,y轴分别交于点A,B,抛物线y=x2+bx+c经过点B,且与直线l的另一个交点为C8,n.(1)求n的值和抛物线的解析式.(2)已知P是抛物线上位于直线BC下方的一动点(不与点B,C重合),过P点作PF垂直于x轴交直线BC于点F,设点P的横坐标为a.当a为何值时,线段PF有最大值,求出其最大值及此时点P的坐标.(3)在抛物线上是否存在点M,使△BMC是以BC为直角边的直角三角形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.29.如图,抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线y=-12x+2过B、C两点,连接AC.(1)求抛物线的解析式;(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E,求线段DE的长度最大值.(3)点M3,2是抛物线上的一点,点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,点P为抛物线对称轴上一动点,在(2)的条件下,(即当线段DE的长度最大时),求△PDM的周长最小值.(4)在抛物线上找点P,x轴上找点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,直接写出点P 的坐标.30.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于两点A-12,0,B(点A在B左边),交y轴于C,点P3,7 2是抛物线上一点.(1)求抛物线的关系式;(2)在对称轴上找一点M,使MA+MC的值最小,求点M的坐标;(3)如图2,抛物线上是否存在点Q,使∠QCP=45°?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.31.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C(0,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点P是抛物线上位于第四象限内一动点,PD⊥BC于点D,求PD的最大值及此时点P的坐标;(3)如图2,点E是抛物线的顶点,点M是线段BE上的动点(点M不与B重合),过点M作MN⊥x轴于N,是否存在点M,使△CMN为直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.31。
2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)
2024成都中考数学一轮复习专题二次函数解答压轴题一、解答题1.(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数2y x bx c =-++.(1)当4,3b c ==时,①求该函数图象的顶点坐标.②当13x -≤≤时,求y 的取值范围.(2)当0x ≤时,y 的最大值为2;当0x >时,y 的最大值为3,求二次函数的表达式.2.(2023·浙江·统考中考真题)已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数,0)a ≠的图像上.(1)当1m =-时,求a 和b 的值;(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上,当21m -<<-时,求n 的取值范围;(3)求证:240b a +=.5(1)求二次函数的表达式;(2)求四边形ACDB 的面积;(3)P 是抛物线上的一点,且在第一象限内,若ACO PBC ∠=∠6.(2023·山东烟台·统考中考真题)如图,抛物线2y ax =+(1)求直线AD 及抛物线的表达式;(2)在抛物线上是否存在点M ,使得ADM △是以若不存在,请说明理由;(3)以点B 为圆心,画半径为2的圆,点P 为7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,二次函数268y x x =-+的图像与x 轴分别交于点,A B (点A 在点B 的左侧),直线l 是对称轴.点P 在函数图像上,其横坐标大于4,连接,PA PB ,过点P 作PM l ⊥,垂足为M ,以点M 为圆心,作半径为r 的圆,PT 与M 相切,切点为T .(1)求点,A B 的坐标;(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等,且M 不经过点()3,2,求PM 长的取值范围.8.(2023·山东东营·统考中考真题)如图,抛物线过点()0,0O ,()10,0E ,矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧),点C ,D 在抛物线上,设(),0B t ,当2t =时,4BC =.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t 为何值时,矩形ABCD 的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ,H ,且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时,求抛物线平移的距离.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)P 是抛物线上一动点(不与点A ,B ,C 重合),作①如图,若点P 在第三象限,且tan 2CPD ∠=,求点②直线PD 交直线BC 于点E ,当点E 关于直线PC 周长.10.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图,抛物线(1)求抛物线解析式及B ,(2)以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,求点(3)该抛物线对称轴上是否存在点11.(2023·四川达州·统考中考真题)如图,抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -.(1)求抛物线的解析式;(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点,求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标;(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点,点N 为坐标平面内一点,是否存在以BC 为边,点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.12.(2023·四川泸州·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y ax 2x c =++与坐标轴分别相交于点A ,B ,()0,6C 三点,其对称轴为2x =.(1)求该抛物线的解析式;(2)点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点,直线AF 分别与y 轴,直线BC 交于点D ,E .①当CD CE =时,求CD 的长;②若CAD ,CDE ,CEF △的面积分别为1S ,2S ,3S ,且满足1322S S S +=,求点F 的坐标.(1)求此抛物线的解析式.(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时,求m的值.∠的边与x轴平行时,求点P与点Q的纵坐标的差.(3)当PAQ(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为(1)求该抛物线的表达式;(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点,过点P作PD(3)在(2)的条件下,将该抛物线向右平移5个单位,Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以Q15.(2023·四川凉山·统考中考真题)如图,已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点,与y 轴交于点C .直线33y x =-+过抛物线的顶点P .(1)求抛物线的函数解析式;(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ,与直线BC 交于点F .①当EF 取得最大值时,求m 的值和EF 的最大值;②当EFC 是等腰三角形时,求点E 的坐标.16.(2023·四川成都·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -,与y 轴交于点(0,1)A ,直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ,C 两点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形,求点B 的坐标;(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线,交直线AB 于点D ,交直线AC 于点E .试探究:是否存在常数m ,使得OD OE ⊥始终成立?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.(1)如图2,若抛物线经过原点O .①求该抛物线的函数表达式;②求BE EC的值.(2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等?若能,求符合条件的点P 的横坐标;若不能,试说明理由.(1)求这个二次函数的表达式;(2)在二次函数图象上是否存在点P ,使得由;(3)点Q 是对称轴l 上一点,且点Q 的纵坐标为(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当:3:5BM MQ =时,求点N 的坐标;(3)如图2,当点Q 恰好在y 轴上时,P 为直线1l 下方的抛物线上一动点,连接设OQE 的面积为1S ,PQE 的面积为2S .求21S S 的最大值.(1)求抛物线的表达式;(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时,连接BP交AC标及PDDB的最大值;(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M,连接PC,将好落在y轴上时,请直接写出此时点M的坐标.33(1)求点,,D E C 的坐标;(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <,连接①求证:DFC △是直角三角形;②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点K 坐标.28.(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A 在y 轴正半轴上.(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =(a 为常数,且0a ≠)的图象上.①=a ________;②如图1,已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上,且AD y ⊥轴,求菱形的边长;③如图2,已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上,点B 、D 在y 轴的同侧,且点B 在点D 的左侧,设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ,试探究n m -是否为定值.如果是,求出这个值;如果不是,请说明理由.(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =(a 为常数,且0a >)的图象上,点B 在点D 的左侧,设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ,直接写出m 、n 满足的等量关系式.(1)请求出抛物线1Q 的表达式.(2)如图1,在y 轴上有一点()0,1D -,点E 在抛物线1Q 上,点F 为坐标平面内一点,是否存在点边形DAEF 为正方形?若存在,请求出点,E F 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,将抛物线1Q 向右平移2个单位,得到抛物线2Q ,抛物线2Q 的顶点为(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,直线11:y OP y x x =交BF 于点G ,求BPG BOGS S △△的最大值;(3)如图2,四边形OBMF 为正方形,PA 交y 轴于点E ,BC 交FM 的延长线于求点P 的横坐标.31.(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图,抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(0,3)A C -两点,并交x 轴于另一点B ,点M 是抛物线的顶点,直线AM 与轴交于点D .(1)求该抛物线的表达式;(2)若点H 是x 轴上一动点,分别连接MH ,DH ,求MH DH +的最小值;(3)若点P 是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点Q ,使得以D ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接..写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.32.(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1,平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -,(2,0)B 和(0,2)C ,连接BC ,点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点,过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ,交x 轴于点N .(1)直接写出....抛物线和直线BC 的解析式;(2)如图2,连接OM ,当OCM 为等腰三角形时,求m 的值;(3)当P 点在运动过程中,在y 轴上是否存在点Q ,使得以O ,P ,Q 为顶点的三角形与以B ,C ,N 为顶点的三角形相似(其中点P 与点C 相对应),若存在,直接写出....点P 和点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点交x轴于点D,求与12PK PD+的最大值及此时点2①求证:23DO EO =.②当点E 在线段OB 上,且BE =35.(2023·山西·统考中考真题)如图,二次函数直线与该函数图象交于点()1,3B (1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标;(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点,过点P 作直线PE 设点P 的横坐标为m .①当12PD OC =时,求m 的值;②当点P 在直线AB 上方时,连接OP ,过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ,36.(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于,A B 两点(A 在B 的左边),交y 轴于点C .(1)直接写出,,A B C 三点的坐标;(2)如图(1),作直线()04=<<x t t ,分别交x 轴,线段BC ,抛物线1C 于,,D E F 三点,连接CF .若BDE 与CEF △相似,求t 的值;(3)如图(2),将抛物线1C 平移得到抛物线2C ,其顶点为原点.直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点,过OG 的中点H 作直线MN (异于直线OG )交抛物线2C 于,M N 两点,直线MO 与直线GN 交于点P .问点P 是否在一条定直线上?若是,求该直线的解析式;若不是,请说明理由.(1)直接判断AOB 的形状:AOB 是_________三角形;(2)求证:AOE BOD △≌△;(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >.将经过B ,C 两点的抛物线21y ax =物线2y .①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点,求t 的值;(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点,当PAC △(3)如图2,取线段OC 的中点D ,在抛物线上是否存在点若不存在,请说明理由.(1)直接写出结果;b =_____,c =_____,点A 的坐标为_____,tan ABC ∠=______;(2)如图1,当2PCB OCA ∠=∠时,求点P 的坐标;(3)如图2,点D 在y 轴负半轴上,OD OB =,点Q 为抛物线上一点,90QBD ∠=︒,点E ,F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点,QE DF =,记BE Q F +的最小值为m .①求m 的值;②设PCB 的面积为S ,若214S m k =-,请直接写出k 的取值范围.(1)求抛物线的解析式.(2)过点M 作x 轴的垂线,与拋物线交于点N .若04t <<,求NED 面积的最大值.(3)抛物线与y 轴交于点C ,点R 为平面直角坐标系上一点,若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形,请求出所有满足条件的点R 的坐标.41.(2023·四川·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数2y ax bx =++交于点()2,0A -,()4,0B ,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)已知E 为抛物线上一点,F 为抛物线对称轴且90BFE ∠=︒,求出点F 的坐标;(3)如图2,P 为第一象限内抛物线上一点,连接运动过程中,12OM ON +是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.42.(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①,抛物线29y ax bx =+-与x 轴交于点()30A -,,()6,0B ,与y 轴交于点C ,连接AC ,BC .点P 是x 轴上任意一点.(1)求抛物线的表达式;(2)点Q 在抛物线上,若以点A ,C ,P ,Q 为顶点,AC 为一边的四边形为平行四边形时,求点Q 的坐标;(3)如图②,当点(),0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时(点P 与点A ,B 不重合),自点P 分别作∥PE BC ,交AC 于点E ,作PD BC ⊥,垂足为点D .当m 为何值时,PED V 面积最大,并求出最大值.43.(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知:y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++.(1)若函数的图象与坐标轴...有两个公共点,且4a b =,则a 的值是___________;(2)如图,若函数的图象为抛物线,与x 轴有两个公共点()2,0A -,()4,0B ,并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ,连接PA ,PB ,PC ,BC ,其中PA 交y 轴于点D ,交BC 于点E .设PBE △的面积为1S ,CDE 的面积为2S .①当点P 为抛物线顶点时,求PBC 的面积;②探究直线l 在运动过程中,12S S -是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.(1)求抛物线的解析式;(2)若32m<<,当m为何值时,四边形CDNP是平行四边形?(3)若32m<,设直线MN交直线BC于点E,是否存在这样的m值,使值;若不存在,请说明理由.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点D 是线段OC 上的一动点,连接AD 好落在抛物线的对称轴上时,求点D 的坐标;(3)如图2,动点P 在直线AC 上方的抛物线上,过点F ,过点F 作FG x ⊥轴,垂足为G ,求2FG +(1)求二次函数的表达式;(2)如图1,求AOD △周长的最小值;(3)如图2,过动点D 作DP AC ∥交抛物线第一象限部分于点P ,连接,PA PB ,记PAD 与△为S ,当S 取得最大值时,求点P 的坐标,并求出此时S 的最大值.(1)求抛物线和一次函数的解析式.(2)点E ,F 为平面内两点,若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形,且点E 在点F 的左侧.F 两点是否存在?如果存在,请直接写出所有满足条件的点E 的坐标:如果不存在,请说明理由.(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ,此抛物线的图象与两点(M 点在N 点左侧).点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方.已知点P 的横坐标为P 作PD NC ⊥于点D .求m 为何值时,12CD PD +有最大值,最大值是多少?50.(2023·四川南充·统考中考真题)如图1,抛物线23y ax bx =++(0a ≠)与x 轴交于()1,0A -,()3,0B 两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,以B ,C ,P ,Q 为顶点的四边形为平行四边形,求点P 的坐标;(3)如图2,抛物线顶点为D ,对称轴与x 轴交于点E ,过点()1,3K 的直线(直线KD 除外)与抛物线交于G ,H 两点,直线DG ,DH 分别交x 轴于点M ,N .试探究EM EN ⋅是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.51.(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ,且经过点()2,6C -.(1)求抛物线的表达式;(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ,射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ,点Q 关于x 轴的对称点为Q ',求APQ '△的面积;(3)点M 是y 轴上一动点,当AMC ∠最大时,求M 的坐标.52.(2023·四川广安·统考中考真题)如图,二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ,,交y 轴于点C ,点B 的坐标为()1,0,对称轴是直线=1x -,点P 是x 轴上一动点,PM x ⊥轴,交直线AC 于点M ,交抛物线于点N .(1)求这个二次函数的解析式.(2)若点P 在线段AO 上运动(点P 与点A 、点O 不重合),求四边形ABCN 面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.(3)若点P 在x 轴上运动,则在y 轴上是否存在点Q ,使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.53.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21:23L y x x =--的顶点为P .直线l 过点()()0,3M m m ≥-,且平行于x 轴,与抛物线1L 交于A B 、两点(B 在A 的右侧).将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ,抛物线2L 交y 轴于点C ,顶点为D .(1)当1m =时,求点D 的坐标;(2)连接BC CD DB 、、,若BCD △为直角三角形,求此时2L 所对应的函数表达式;(3)在(2)的条件下,若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动,且EF CD =,以EF 为一边作正方形EFGH ,连接CG ,写出CG 长度的最小值,并简要说明理由.54.(2023·云南·统考中考真题)数和形是数学研究客观物体的两个方面,数(代数)侧重研究物体数量方(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标;(2)点P为第三象限内抛物线上一点,作直线AC,连接PA 标;(3)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N,求证:无论存在一点E,使得MEN∠为直角.(1)求a 的值.(2)将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度,交抛物线于在定点D ,无论m 取何值时,都是点D 到直线B C ''的距离最大,若存在,请求出点请说明理由.(3)抛物线上是否存在点P ,使45PBC ACO ∠+∠=︒,若存在,请求出直线58.(2023·湖北十堰·统考中考真题)已知抛物线28y ax bx =++过点()4,8B 和点()8,4C ,与y 轴交于点A .(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接,AB BC ,点D 在线段AB 上(与点,A B 不重合),点F 是OA 的中点,连接FD ,过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ,连接EF ,当DEF 面积是ADF △面积的3倍时,求点D 的坐标;(3)如图2,点P 是抛物线上对称轴右侧的点,(),0H m 是x 轴正半轴上的动点,若线段OB 上存在点G (与点,O B 不重合),使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠,求m 的取值范围.59.(2023·吉林长春·统考中考真题)在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线22y x bx =-++(b 是常数)经过点(2,2).点A 的坐标为(,0)m ,点B 在该抛物线上,横坐标为1m -.其中0m <.(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标;(2)当点B 在x 轴上时,求点A 的坐标;(3)该抛物线与x 轴的左交点为P ,当抛物线在点P 和点B 之间的部分(包括P 、B 两点)的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时,求m 的值.(4)当点B 在x 轴上方时,过点B 作BC y ⊥轴于点C ,连结AC 、BO .若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点(不包括四边形AOBC 的顶点),设这两个交点分别为点E 、点F ,线段BO 的中点为D .当以点C 、E 、O 、D (或以点C 、F 、O 、D )为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时,直接写出所有满足条件的m 的值.60.(2023·湖北·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -,与y 轴交于点C ,顶点为D ,连接BC .(1)抛物线的解析式为__________________;(直接写出结果)(2)在图1中,连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ,求CEB ∠的度数;(3)如图2,若动直线l 与抛物线交于,M N 两点(直线l 与BC 不重合),连接,CN BM ,直线CN 与BM 交于点P .当MN BC ∥时,点P 的横坐标是否为定值,请说明理由.61.(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与探究如图,抛物线2y x bx c =-++上的点A ,C 坐标分别为()0,2,()4,0,抛物线与x 轴负半轴交于点B ,点M 为y 轴负半轴上一点,且2OM =,连接AC ,CM .(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式;【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程:___________,___________【技能训练】(2)如图2,已知抛物线21y x =上一点()()000,0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的参考答案一、解答题222(3)如图,P是抛物线上的一点,且在第一象限,当⊥交BP于连接PB,过C作CE BC∵5OC OB ==,则OCB 为等腰直角三角形,由勾股定理得:52CB =,∵ACO PBC ∠=∠,∴tan tan ACO PBC ∠=∠,即1552CE CE CB ==,∴2CE =由CH BC ⊥,得90BCE ∠=︒,【点拨】此题是一次函数,二次函数及圆的综合题,掌握待定系数法求函数解析式,直角三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,求两图象的交点坐标,正确掌握各知识点是解题的关键.A7.【答案】(1)()2,0,y=【分析】(1)令0(2)由题意可得抛物线的对称轴为假设M 过点()3,2N ,则有以下两种情况:①如图1:当点M 在点N 的上方,即∴2683m m -+=,解得:m =∵4m >∴5m =;②如图2:当点M 在点N 的上方,即∴2681m m -+=,解得:m =∵4m >∴32m =±;综上,32PM m =-=或2.∴当M 不经过点()3,2时,1【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点,掌握分类讨论思想是解答本题的关键.∵直线GH平分矩形ABCD的面积,∴直线GH过点P..由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,=.∴PQ CH∵四边形ABCD是矩形,∴P是AC的中点.33⎝∴90,PEC CED ∠=∠=︒。
初三二次函数复习
二次函数总复习(一)一.知识要点回顾:1、二次函数)0(2≠++=a c .bx ax y 的性质:2、求二次函数解析式的三种基本方法:1、一般式:若已知二次函数图像上任意三点的坐标,则设一般式c .bx ax y ++=2。
2、顶点式:若已知二次函数图像的顶点坐标、或对称轴、最大(小)值,则设顶点式k h x a y +-=2)(。
3、交点式:若已知二次函数图像的交点坐标A(x 1,0)、B (x 2,0)、或与x 轴的交点有关,则设交点式)()(21x x x x a y --=二、典型例题解析: 专题一:求二次函数解析式例1、已知一抛物线与x 轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C (2,8)。
(1)求该函数的表达式; (2)求该抛物线的顶点坐标。
函 数二次函数)0(2≠++=a c bx ax y图 象a ﹥0a ﹤0性 质(1)抛物线开口向上,且向上无限延伸(2)顶点坐标(,2ab -a b ac 442-) 对称轴是直线abx 2-=(3)当abx 2->时,y 随x 增大而增大;当abx 2-<时,y 随x 增大而减小。
(4)抛物线的顶点是抛物线上的最低点.当a bx 2-=时,y 有最小值, ab ac y 442-=最小值(1)抛物线开口向下,且向下无限延伸 (2)顶点坐标(,2ab -a b ac 442-) 对称轴是直线ab x 2-=(3)当ab x 2->时,y 随x 增大而减小;当ab x 2-<时,y 随x 增大而增大。
(4)抛物线的顶点是抛物线上的最低点.当a bx 2-=时,y 有最大值, ab ac y 442-=最大值巩固提升:1、已知抛物线过A(1,0),B(0,-3),且对称轴是直线x=2,则其解析式为:2、如图,已知二次函数221y x x =--的图象的顶点为A .二次函数2y ax bx =+的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ,它的顶点B 在函数221y x x =--的图象的对称轴上. (1)求点A 与点C 的坐标;(2)当四边形AOBC 为菱形时,求函数2y ax bx =+的关系式.3、如图,在平面直角坐标系中,OB OA ⊥,且2OB OA =,点A 的坐标是(12)-,. (1)求点B 的坐标;(2)求过点A O B 、、的抛物线的表达式;xy O 1 2 3 2 11- 1- 2-221y x x =--AO11xy(3)连接AB ,在(2)中的抛物线上求出点P ,使得ABP ABO S S =△△.专题二:二次函数的平移:例2、抛物线y=12x 2 +3x+2.5的图像是由抛物线y=12x 2向 (左,右)平移 个单位,再向 (上,下)平移 个单位得到。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中,可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如,当函数与x轴交于两点时 ,可以计算这两点之间的面积;当函数与y轴交于一点时,可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用,例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标,然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题,可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计,旨在帮助学生巩固基础知识,提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面,包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等,确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难,逐步引导学生深入理解二次函 数,从简单的计算到复杂的综合题,逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数,其中$a, b, c$是 常数,且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$,并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词:根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时,开口向上
初三九年级 二次函数专题复习
基础知识知识点一、二次函数的有关概念1、二次函数的概念:一般地,我们把形如c bx ax y ++=2(其中c b a ,,是常数,0≠a )的函数叫做二次函数,其中a 称为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项。
x 称为自变量,y 称为因变量。
知识点二、二次函数的基本性质 1、二次函数的图像:抛物线。
2、二次函数的常见的几种表达式 ①、一般式:c bx ax y ++=2②、顶点式:()k h x a y +-=2a b h 2-= ab ac k 442-=3、抛物线的三要素:开口方向(与a 有关系)、对称轴(与a 、b 有关系)、顶点()k h ,。
4、二次函数的基本性质5、二次函数c bx ax y ++=2与()k h x a y +-=2之间的转化6、二次函数的平移7、二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 正负的判定a :看开口方向 0>a 开口向上;0<a 开口向下。
b :看对称轴 对称轴在y 轴左边,则与a 正负相同,对称轴在y 轴右边,则与a 正负相反。
c :看于y 轴的交点 0>c 于y 轴交于正半轴; 0<c 于y 轴交于负半轴。
知识点四:二次函数解析式的求法 1、设一般式:c bx ax y ++=2一般题目提供已知三个点坐标,则设所求抛物线解析式一般式,将已知条件带入解析式,得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组,解方程组求出a 、b 、c 的值即可得到解析式。
2、设顶点式:()k h x a y +-=2一般题目提供已知一个点和顶点坐标,则设所求抛物线解析式顶点式,将已知条件带入解析式,得到一个关于a 的一元一次方程,求出a 即可得到解析式。
知识点四:二次函数的实际问题 二次函数的实际应用题解题步骤:1、分析:分析此题的类型:行程问题、销售问题……2、提取:提取题目中的已知条件,并标记:如行程问题,则跟速度、时间、路程有关,应标清楚是什么量。
中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案
中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案一、单选题1.二次函数y=x 2﹣2x+4化为y=a (x ﹣h )2+k 的形式,下列正确的是( )A .y=(x ﹣1)2+2B .y=(x ﹣1)2+3C .y=(x ﹣2)2+2D .y=(x ﹣2)2+42.抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的对称轴和顶点坐标分别是( ).A .x=1,(1,﹣4)B .x=1(1,4)C .x=﹣1,(﹣1,4)D .x=﹣1,(﹣1,﹣4)3.把y=4x 2﹣4x+2配方成y=a (x ﹣h )2+k 的形式是( )A .y=(2x ﹣1)2+1B .y=(2x ﹣1)2+2C .y=(x ﹣ 12)2+1D .y=4(x ﹣ 12)2+24.若把抛物线y =x 2-2x +1先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得到的抛物线的函数关系式为y =ax 2+bx +c ,则b 、c 的值为( ) A .b =2,c =-2 B .b =-8,c =14 C .b =-6,c =6D .b =-8,c =185.直角坐标平面上将二次函数y=x 2-2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为( ) A .(0,0)B .(1,-1)C .(0,-1)D .(-1,-1)6.将二次函数y=x 2+4x ﹣8化为y=(x+m )2+n 的形式正确的是( )A .y=(x+2)2+8B .y=(x+2)2﹣8C .y=(x+2)2+12D .y=(x+2)2﹣127.若b<0,则二次函数y=x 2-bx-1的图象的顶点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限8.通过配方法将二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)化成y=a (x ﹣h )2+k 的形式,此二次函数可变形为( )A .y=a (x+ b 2a )2+ 4ac−b 24aB .y=a (x ﹣ b 2a )2+ 4ac−b 24aC .y=a (x+ b 2a )2+ b 2−4ac 4aD .y=a (x ﹣ b 2a )2+ b 2−4ac 4a9.将二次函数y=x 2﹣2x+3化为y=(x ﹣h )2+k 的形式,结果为( )A .y=(x+1)2+4B .y=(x+1)2+2C .y=(x ﹣1)2+4D .y=(x ﹣1)2+210.抛物线y=﹣ 15 x 2+ 25x ﹣1,经过配方化成y=a (x ﹣h )2+k 的形式是( )A .y =15(x +1)2−45B .y =15(x −1)2+45C .y =15(x −1)2−45D .y =15(x +1)2+4511.如图,在 ΔABC 中 ∠B =90° ,tan ∠C =34,AB=6cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.若P,Q 两点分别从A,B 两点同时出发,在运动过程中 ΔPBQ 的最大面积是( )A .18cm 2B .12cm 2C .9cm 2D .3cm 212.如图,在平面直角坐标系中抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2(x ﹣h )2+k ,则下列结论正确的是( )A .h >0,k >0B .h <0,k >0C .h <0,k <0D .h >0,k <0二、填空题13.二次函数 y =−x 2+2x +3 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点, P 为它的顶点,则S △PAB = .14.把二次函数的表达式y=x 2﹣6x+5化为y=a (x ﹣h )2+k 的形式,那么h+k= 15.将二次函数y=x 2﹣2x+4化成y=(x ﹣h )2+k 的形式,则y= . 16.若二次函数y=x 2+bx+5配方后为y=(x ﹣2)2+k ,则b+k= .17.若将二次函数y=x 2﹣2x+3配方为y=(x ﹣h )2+k 的形式,则y= . 18.已知抛物线的表达式是y =2(x +2)2−1,那么它的顶点坐标是 ;三、综合题19.如图,抛物线的顶点M 在x 轴上,抛物线与y 轴交于点N ,且OM=ON=4,矩形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上,C 、D 在x 轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)设点A的横坐标为t(t>4),矩形ABCD的周长为l,求l与t之间函数关系式.20.已知二次函数y= 2x2 -4x-6.(1)用配方法将y= 2x2 -4x-6化成y=a (x-h) 2 +k的形式;并写出对称轴和顶点坐标。
2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题(含答案)
2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题一.定点问题(共3小题)1.已知抛物线y=x2﹣2mx﹣3(m为常数).(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示);(2)当m≥1时,求抛物线顶点到x轴的最小距离;(3)当m=0时,点A,B为该抛物线上的两点,顶点为D,直线AD的解析式为y1=k1x+b1,直线BD的解析式为y2=k2x+b2,若k1k2=﹣,求证:直线AB过定点.2.已知抛物线y=x2+bx+c关于直线x=1对称,且过点(2,1).(1)求抛物线的解析式;(2)过D(m,﹣1)的直线DE:y=k1x+b1(k>0)和直线DF:y=k2x+b2(k2<0)均与抛物线有且只有一个交点.①求k1k2的值;②平移直线DE,DF,使平移后的两条直线都经过点R(1,0),且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点,若M、N分别为GH,PQ的中点,求证:直线MN必过某一定点.3.在平面直角坐标系中,抛物线l:y=x2﹣2mx﹣2﹣m(m>0)与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N,且OC=3ON(1)求m的值;(2)设点G是抛物线在第三象限内的动点,若∠GBC=∠ACO,求点G的坐标;(3)将抛物线y=x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位,得到抛物线l′,设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点,射线PO、QO分别交直线y=﹣2于点P′、Q′,设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′,且x P′⋅x Q′=4,求证:直线PQ经过定点.二.定值问题(共2小题)4.过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A,且抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图(1),点E是直线AB上方抛物线上一点,连接AB,BE,AE,若△ABE的面积为4,求点E的坐标;(3)如图(2),设直线y=kx﹣2k(k≠0)与抛物线交于C,D两点,点D关于直线x=2的对称点为D',直线CD'与直线x=2交于点P,求证:BP的长为定值.5.已知抛物线C1:y=mx2+n与x轴于A,B两点,与y轴交于点C,△ABC为等腰直角三角形,且n=﹣1.(1)求抛物线C1的解析式;(2)将C1向上平移一个单位得到C2,点M、N为抛物线C2上的两个动点,O为坐标原点,且∠MON=90°,连接点M、N,过点O作OE⊥MN于点E.求点E到y轴距离的最大值;(3)如图,若点F的坐标为(0,﹣2),直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,设点G的横坐标为b,点H的横坐标为a,则a﹣b是定值吗?若是,请求出其定值,若不是,请说明理由.三.线段之积(共2小题)6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c,交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧,其中A点坐标(﹣1,0);交y轴负半轴于点C,C点坐标(0,﹣3).(1)求出抛物线的解析式;(2)如图1,若抛物线上有一点D,∠ACD=45°,求点D的坐标.(3)如图2,点P是第一象限抛物线上一点,过点P的直线y=mx+n(n<0)与抛物线交于另外一点Q,连接AP、AQ,分别交y轴于M、N两点.若OM•ON=2,试探究m、n之间的数量关系,并说明理由.7.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(2,0),C(0,﹣1).(1)求抛物线的解析式;(2)D为抛物线y=ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A,B重合的动点.①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F,与直线BD交于点G,点F关于x轴的对称点为F′,求证:GF′的长度为定值;②当∠BAD=45°时,过线段AD上的点H(不含端点A,D)作AD的垂线,交抛物线于P,Q两点,求PH•QH的最大值.四.线段数量关系(共5小题)8.抛物线C:y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C.(1)直接写出点A,B的坐标;(2)如图1,直线y=x+1经过点A,交抛物线于另一点N,点D在抛物线上,满足△DAN的面积与△CAN的面积相等,求点D的横坐标;(3)如图2,将抛物线C向上平移,使其顶点M在x轴上,得到抛物线C1,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线C1上两点(P点在Q点左侧),直线PQ交抛物线C1对称轴于点E,过点Q作y轴的平行线分别交x轴,直线PM于F,H两点,EH交x轴于点G,求证:EG=GH.9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).(1)若抛物线经过点(﹣1,1)且对称轴为直线x=1,求a,c所满足的数量关系;(2)抛物线与y轴交于点,顶点为Q(2,0),过点的直线与抛物线交于E,F两点(点E在点F的左侧).①求△EQF面积的最小值;②过点E作x轴的垂线,垂足为M,直线EM与直线FQ交于点N,连接PM,求证:PM∥QN.10.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(4,0),C(﹣1,0)两点,与y轴交于点B,点P为抛物线上的一个动点,连接AB,BC,PA,PC,PC与AB相交于点Q.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第一象限内抛物线上的一个动点.设△APQ的面积为S1,△BCQ的面积为S2.求S1﹣S2的最大值,并求此时点P的坐标;(3)过点P作PD垂直于x轴于点D,与线段AB交于点N.设点D的横坐标为m,且2<m<4,PD中点为点M,AB中点为点E,若,求m的值.11.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(4,0),与y轴交于点B,对称轴为,点P是x轴上一点,过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.(1)求二次函数的表达式;(2)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)时,求点P的坐标;(3)分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点M、N,矩形EMNF与此抛物线相交,抛物线被截得的部分图象记作G,G的最高点的纵坐标为m,最低点纵坐标为n,当m﹣n=2OP时,求点P的坐标.12.已知抛物线y=﹣﹣2x+3n(n>0)与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧);与y轴交于点C,顶点为D.(1)如图1,若n=1.①则D的坐标为;②当m≤x≤0时,抛物线的最小值为3,最大值为4,则m的取值范围为.(2)如图2,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2nd.①求证:AC∥PB.②连接AP、OD、OQ、DQ,若AP=QB,PQ=4n,试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化?并说明理由.五.面积问题(共5小题)13.已知抛物线C1:y=﹣x2﹣2x﹣1,抛物线C2经过点A(﹣1,0),B(m+1,0)(m>0),E为抛物线C2的顶点,M(x M,0)是x轴正半轴上的点.(1)若E在抛物线C1上,求点E的坐标;(用含m的式子表示)(2)若抛物线C2:y=x2﹣mx+n,与y轴交于点C.①点D(m,y D)在抛物线C2上,当AM=AD,x M=5时,求m的值;②若m=2,F是线段OB上的动点,过F作GF⊥CF交线段BC于点G,连接CE,GE,求△CGE面积的最小值.14.如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A的坐标为(﹣2,0)和原点O,将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求抛物线解析式,判断点B是否在抛物线上;(2)连接AB,作点O关于AB的对称点O′,求四边形AOBO′的面积;(3)点P(n,0)是x轴上一个动点,过P点作x轴的垂线交直线AB于点M,交抛物线于点N,将△ANB的面积记为S,若≤S≤,求n的取值范围.15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)连接AC,BC,点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点(不与B,C重合),①求△BCD面积的最大值;②若∠ACO+∠BCD=∠ABC,求点D的坐标.16.在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点B(4,0),与y轴交于点C,点P 抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点P为第一象限内抛物线上的点,过点P作PH⊥AB,垂足为H,作PE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F,设△PHF的面积为S1,△BEF的面积为S2,当时,求点P的坐标;(3)点N为抛物线对称轴上的动点,是否存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN?若存在,请直接写出点N 坐标,若不存在,请说明理由.17.抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0)两点,C是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.(1)求抛物线解析式;(2)如图1,当OP=OA时,D是点C关于抛物线对称轴的对称点,M是抛物线上的动点,它的横坐标为m(﹣1<m<4),连接DM,CM,DM与直线AC交于点N.设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2,求的最大值.(3)如图2,直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为n.求的值.2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题(答案)一.定点问题(共3小题)1.已知抛物线y=x2﹣2mx﹣3(m为常数).(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示);(2)当m≥1时,求抛物线顶点到x轴的最小距离;(3)当m=0时,点A,B为该抛物线上的两点,顶点为D,直线AD的解析式为y1=k1x+b1,直线BD的解析式为y2=k2x+b2,若k1k2=﹣,求证:直线AB过定点.【答案】(1)(m,﹣m2﹣3);(2)抛物线顶点到x轴的最小距离为4;(3)直线AB过定点(0,﹣).2.已知抛物线y=x2+bx+c关于直线x=1对称,且过点(2,1).(1)求抛物线的解析式;(2)过D(m,﹣1)的直线DE:y=k1x+b1(k>0)和直线DF:y=k2x+b2(k2<0)均与抛物线有且只有一个交点.①求k1k2的值;②平移直线DE,DF,使平移后的两条直线都经过点R(1,0),且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点,若M、N分别为GH,PQ的中点,求证:直线MN必过某一定点.【答案】(1)y=x2﹣2x+1;(2)①k1k2=﹣4;②证明见解答过程.3.在平面直角坐标系中,抛物线l:y=x2﹣2mx﹣2﹣m(m>0)与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N,且OC=3ON(1)求m的值;(2)设点G是抛物线在第三象限内的动点,若∠GBC=∠ACO,求点G的坐标;(3)将抛物线y=x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位,得到抛物线l′,设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点,射线PO、QO分别交直线y=﹣2于点P′、Q′,设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′,且x P′⋅x Q′=4,求证:直线PQ经过定点.【答案】(1)m=1;(2)点G的坐标为;(3)见解析.二.定值问题(共2小题)4.过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A,且抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图(1),点E是直线AB上方抛物线上一点,连接AB,BE,AE,若△ABE的面积为4,求点E的坐标;(3)如图(2),设直线y=kx﹣2k(k≠0)与抛物线交于C,D两点,点D关于直线x=2的对称点为D',直线CD'与直线x=2交于点P,求证:BP的长为定值.【答案】(1)解析式为:y=x2﹣2x;(2)E1(0,0),E2(6,6);(3)证明见解答过程.5.已知抛物线C1:y=mx2+n与x轴于A,B两点,与y轴交于点C,△ABC为等腰直角三角形,且n=﹣1.(1)求抛物线C1的解析式;(2)将C1向上平移一个单位得到C2,点M、N为抛物线C2上的两个动点,O为坐标原点,且∠MON=90°,连接点M、N,过点O作OE⊥MN于点E.求点E到y轴距离的最大值;(3)如图,若点F的坐标为(0,﹣2),直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,设点G的横坐标为b,点H的横坐标为a,则a﹣b是定值吗?若是,请求出其定值,若不是,请说明理由.【答案】(1)y=x2﹣1;(2);(3)定值1.三.线段之积(共2小题)6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c,交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧,其中A点坐标(﹣1,0);交y轴负半轴于点C,C点坐标(0,﹣3).(1)求出抛物线的解析式;(2)如图1,若抛物线上有一点D,∠ACD=45°,求点D的坐标.(3)如图2,点P是第一象限抛物线上一点,过点P的直线y=mx+n(n<0)与抛物线交于另外一点Q,连接AP、AQ,分别交y轴于M、N两点.若OM•ON=2,试探究m、n之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)D(4,5);(3)m、n之间的数量关系为n+3m=2.理由间接性.7.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(2,0),C(0,﹣1).(1)求抛物线的解析式;(2)D为抛物线y=ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A,B重合的动点.①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F,与直线BD交于点G,点F关于x轴的对称点为F′,求证:GF′的长度为定值;②当∠BAD=45°时,过线段AD上的点H(不含端点A,D)作AD的垂线,交抛物线于P,Q两点,求PH•QH的最大值.【答案】(1)y=x2﹣x﹣1;(2)①F′G=为定值;②PH•QH的最大值为:.四.线段数量关系(共5小题)8.抛物线C:y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C.(1)直接写出点A,B的坐标;(2)如图1,直线y=x+1经过点A,交抛物线于另一点N,点D在抛物线上,满足△DAN的面积与△CAN的面积相等,求点D的横坐标;(3)如图2,将抛物线C向上平移,使其顶点M在x轴上,得到抛物线C1,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线C1上两点(P点在Q点左侧),直线PQ交抛物线C1对称轴于点E,过点Q作y轴的平行线分别交x轴,直线PM于F,H两点,EH交x轴于点G,求证:EG=GH.【答案】(1)A(﹣1,0),B(3,0);(2)3或;(3)见解析.9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).(1)若抛物线经过点(﹣1,1)且对称轴为直线x=1,求a,c所满足的数量关系;(2)抛物线与y轴交于点,顶点为Q(2,0),过点的直线与抛物线交于E,F两点(点E在点F的左侧).①求△EQF面积的最小值;②过点E作x轴的垂线,垂足为M,直线EM与直线FQ交于点N,连接PM,求证:PM∥QN.【答案】(1)3a+c=1;(2)①4;②见解答.10.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(4,0),C(﹣1,0)两点,与y轴交于点B,点P为抛物线上的一个动点,连接AB,BC,PA,PC,PC与AB相交于点Q.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第一象限内抛物线上的一个动点.设△APQ的面积为S1,△BCQ的面积为S2.求S1﹣S2的最大值,并求此时点P的坐标;(3)过点P作PD垂直于x轴于点D,与线段AB交于点N.设点D的横坐标为m,且2<m<4,PD中点为点M,AB中点为点E,若,求m的值.【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)S1﹣S2的最大值为,点P的坐标为:(,);(3)m=.11.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(4,0),与y轴交于点B,对称轴为,点P是x轴上一点,过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.(1)求二次函数的表达式;(2)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)时,求点P的坐标;(3)分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点M、N,矩形EMNF与此抛物线相交,抛物线被截得的部分图象记作G,G的最高点的纵坐标为m,最低点纵坐标为n,当m﹣n=2OP时,求点P的坐标.【答案】(1);(2)(﹣1,0),,;(3)P(6,0).12.已知抛物线y=﹣﹣2x+3n(n>0)与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧);与y轴交于点C,顶点为D.(1)如图1,若n=1.①则D的坐标为(﹣1,4);②当m≤x≤0时,抛物线的最小值为3,最大值为4,则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 .(2)如图2,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2nd.①求证:AC∥PB.②连接AP、OD、OQ、DQ,若AP=QB,PQ=4n,试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化?并说明理由.【答案】(1)①(﹣1,4);②﹣2≤m≤﹣1;(2)①证明见解析过程;②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化,理由见解析过程.五.面积问题(共5小题)13.已知抛物线C1:y=﹣x2﹣2x﹣1,抛物线C2经过点A(﹣1,0),B(m+1,0)(m>0),E为抛物线C2的顶点,M(x M,0)是x轴正半轴上的点.(1)若E在抛物线C1上,求点E的坐标;(用含m的式子表示)(2)若抛物线C2:y=x2﹣mx+n,与y轴交于点C.①点D(m,y D)在抛物线C2上,当AM=AD,x M=5时,求m的值;②若m=2,F是线段OB上的动点,过F作GF⊥CF交线段BC于点G,连接CE,GE,求△CGE面积的最小值.【答案】(1)E(m,﹣m2﹣m﹣1);(2)①m=3﹣1;②6﹣6.14.如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A的坐标为(﹣2,0)和原点O,将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求抛物线解析式,判断点B是否在抛物线上;(2)连接AB,作点O关于AB的对称点O′,求四边形AOBO′的面积;(3)点P(n,0)是x轴上一个动点,过P点作x轴的垂线交直线AB于点M,交抛物线于点N,将△ANB的面积记为S,若≤S≤,求n的取值范围.【答案】(1)y=x2+x;点B在抛物线上,理由见解答过程;(2)2;(3)≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤.15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)连接AC,BC,点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点(不与B,C重合),①求△BCD面积的最大值;②若∠ACO+∠BCD=∠ABC,求点D的坐标.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①△BCD面积的最大值为;②D(,﹣).16.在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点B(4,0),与y轴交于点C,点P抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点P为第一象限内抛物线上的点,过点P作PH⊥AB,垂足为H,作PE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F,设△PHF的面积为S1,△BEF的面积为S2,当时,求点P的坐标;(3)点N为抛物线对称轴上的动点,是否存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN?若存在,请直接写出点N 坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2);(3)存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN;N的坐标是或.17.抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0)两点,C是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.(1)求抛物线解析式;(2)如图1,当OP=OA时,D是点C关于抛物线对称轴的对称点,M是抛物线上的动点,它的横坐标为m(﹣1<m<4),连接DM,CM,DM与直线AC交于点N.设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2,求的最大值.(3)如图2,直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为n.求的值.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2);(3).。
中考二次函数专题复习
中考二次函数专题复习(总19页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--中考二次函数专题复习一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2.⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。
3.y a x h =-的性质: 左加右减。
4.y a x h k =-+的性质:1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,;⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a-=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a=-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,. 当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a>-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac ba-.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a=-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a-.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大;⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02ba -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02ba ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02ba -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异”总结:3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正;⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0;⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---;2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-;()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+.5. 关于点()m n ,对称()2y a x h k=-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-. ② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >;2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;3. 二次函数常用解题方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系师生共同学习过程:知识梳理:练习:1.抛物线2y x=-+的对称轴是()3(1)2A.1x=x=-C.2x= B.1D.2x=-2.要得到二次函数222=-的图象().y x xy x=-+-的图象,需将2A.向左平移2个单位,再向下平移2个单位B.向右平移2个单位,再向上平移2个单位C.向左平移1个单位,再向上平移1个单位D.向右平移1个单位,再向下平移1个单位最新考题1.(2009年四川省内江市)抛物线3-y的顶点坐标是()=x)2(2+A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)2.(2009年泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数2y=的图象向上平2x移2个单位,所得图象的解析式为A.2=x22+yy B.222-=xC.2)2(2+y=xy D.2)2(2-=x知识点2:二次函数的图形与性质例1:如图1所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0)且与y轴交于负半轴.第(1)问:给出四个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0,其中正确的结论的序号是 .第(2)问:给出四个结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.例2:抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点,(1)求出m的值并画出这条抛物线;(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方(4)x取什么值时,y的值随x的增大而减小?思路点拨:由已知点(0,3)代入y=-x2+(m-1)x+m即可求得m的值,即可知道二次函数解析式,并可画出图象,然后根据图象和二次函数性质可得(2)(3)(4).解:(1)由题意将(0,3)代入解析式可得m=3,∴ 抛物线为y=-x2+2x+3.图象(图2):(2)令y=0,则-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3;∴ 抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0).∵ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴ 抛物线顶点坐标为(1,4);(3)由图象可知:当-1<x<3时,抛物线在x轴上方;(4)由图象可知:当x>1时,y的值随x值的增大而减小.练习:1.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确...的是()A.h m= B.k n= C.k n>D.00h k>>,2.函数y =ax +1与y =ax 2+bx +1(a ≠0)的图象可能是( )最新考题1.(2009深圳)二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若点A (1,y 1)、B (2,y 2)是它图象上的两点,则y 1与y 2的大小关系是()A . 21y y <B .21y y =C .21y y >D .不能确定2.(2009北京)如图,C 为⊙O 直径AB 上一动点,过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB 于点F,EG⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时,设AF=x ,DE=y ,下列中图象中,能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( )3.(2009年台州)已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表:x … 1- 0 1 3 … y … 3- 1 3 1 …A .抛物线开口向上B .抛物线与y 轴交于负半轴C .当x =4时,y >0D .方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间F G O ACDD 1111xo y y o x y o x x o y知识点3:二次函数的应用例1:如图,从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:米)与小球运动时间t(单位:秒)的函数关系式是29.8 4.9h t t=-,那么小球运动中的最大高度h=最大.随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x,y)都在一个二次函数的图像上(如图6所示),则6楼房子的价格为元/平方米.思路点拨:观察函数图像得:图像关于x4=对称,当x2y=2080=时,元.因为x=2到对称轴的距离与x=6到对称轴的距离相等。
中考复习专题二次函数分类讲解复习以及练习题含答案
1、二次函数的定义定义: y=ax2 + bx + c a 、 b 、 c 是常数, a ≠ 0 定义要点:①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式练习:1、y=-x2,y=2x2-2/x,y=100-5 x2,y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个;2.当m_______时,函数y=m+1χ - 2χ+1 是二次函数2、二次函数的图像及性质例2:已知二次函数1求抛物线开口方向,对称轴和顶点M 的坐标;2设抛物线与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点,求C,A,B 的坐标;抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值y=ax2+bx+ca>0y=ax 2+bx+ca<0由a,b 和c 的符号确定由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=直线abx 2-=直线23212-+=x x y3x为何值时,y随的增大而减少,x为何值时,y有最大小值,这个最大小值是多少4x为何值时,y<0x为何值时,y>03、求抛物线解析式的三种方法1、一般式:已知抛物线上的三点,通常设解析式为________________y=ax2+bx+ca≠02,顶点式:已知抛物线顶点坐标h, k,通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=ax-h2+ka≠03,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点x1,0、x2,0,通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=ax-x1x-x2 a≠0练习:根据下列条件,求二次函数的解析式;1、图象经过0,0, 1,-2 , 2,3 三点;2、图象的顶点2,3, 且经过点3,1 ;3、图象经过0,0, 12,0 ,且最高点的纵坐标是3 ;例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点3,-6;求a、b、c;解:∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时,x=1∴顶点坐标为 1 , 2∴设二次函数的解析式为y=ax-12+2又∵图象经过点3,-6∴-6=a 3-12+2 ∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2x-12+2即: y=-2x2+4x4、a,b,c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:1a的符号:由抛物线的开口方向确定2C的符号:由抛物线与y轴的交点位置确定.3b的符号:由对称轴的位置确定4b2-4ac的符号:由抛物线与x轴的交点个数确定5a+b+c的符号:因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时,对应的y值决定;当x=1时,y>0,则a+b+c>0当x=1时,y<0,则a+b+c<0当x=1时,y=0,则a+b+c=06a-b+c的符号:因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时,对应的y值决定;当x=-1,y>0,则a-b+c>0当x=-1,y<0,则a-b+c<0当x=-1,y=0,则a-b+c=0练习1、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c的符号为A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<02、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c的符号为A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=03、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c 、△的符号为A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0熟练掌握a,b, c,△与抛物线图象的关系上正、下负左同、右异4.抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象经过原点和二、三、四象限,判断a、b、c的符号情况:a 0,b 0,c 0.5.抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象经过原点,且它的顶点在第三象限,则a、b、c满足的条件是:a 0,b 0,c 0.6.二次函数y=ax2+bx+c中,如果a>0,b<0,c<0,那么这个二次函数图象的顶点必在第象限先根据题目的要求画出函数的草图,再根据图象以及性质确定结果数形结合的思想7.已知二次函数的图像如图所示,下列结论;⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是A 1个B 2个C 3个D 4个要点:寻求思路时,要着重观察抛物线的开口方向,对称轴,顶点的位置,抛物线与x轴、y轴的交点的位置,注意运用数形结合的思想;5、抛物线的平移左加右减,上加下减 练习⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象; 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x-32的图象; ⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到函数y=2x+12+2的图象;引申:3由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+66二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b2-4ac 的关系我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.二次函数y=ax2+bx +c 的图象和x 轴交点的横坐标,便是对应的一元二次方程ax2+bx +c=0的解;二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: 1有两个交点b2 – 4ac > 0 2有一个交点b2 – 4ac= 0 3没有交点 b2 – 4ac< 0若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有交点,则b2 – 4ac ≥0例1如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=____,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有____个交点.2已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=____.y=x 24125(2--=x y .2422,1aacb b x -±-=∴3一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是____.7二次函数的综合运用1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同a=1或-1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为1,5或1,-5所以其解析式为:1 y=x-12+52 y=x-12-53 y=-x-12+54 y=-x-12-5 展开成一般式即可.2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是-2,0,求原抛物线的解析式. 分析:1由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过1,0 2 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线练习题1.直线y =3 x -1与y =x -k 的交点在第四象限,则k 的范围是………………A k <31 B 31<k <1 C k >1 D k >1或k <1 提示由⎩⎨⎧-=-=k x y x y 13,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.23121k y k x 因点在第四象限,故21k ->0,231k -<0.∴ 31<k <1.答案B .点评本题应用了两函数图象交点坐标的求法,结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等.2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图,则下列各式中成立的个数是…………1abc <0; 2a +b +c <0; 3a +c >b ; 4a <-2b . A1 B2 C3 D4 提示由图象知a <0,-ab2>0,故b >0,而c >0,则abc <0.当x =1时,y >0,即a +c -b >0;当x =-1时,y <0,即a +c -b <0. 答案B .点评本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系.因a <0,把4a <-2b 两边同除以a ,得1>-ab 2,即-a b 2<1,所以4是正确的;也可以根据对称轴在x =1的左侧,判断出-a b 2<1,两边同时乘a ,得a <-2b ,知4是正确的.3.若一元二次方程x 2-2 x -m =0无实数根,则一次函数y =m +1x +m -1的图象不经过………………………………………………………………………………… A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限提示由=4+4 m <0,得m +1<0,则m -1<0,直线过第二、三、四象限. 答案A .点评本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质.注意,题中问的是一次函数图象不经过的象限.4.如图,已知A ,B 是反比例函数y =x2的图象上两点,设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S 1,S 2,则……………………………………………………………… A S 1=S 2 B S 1>S 2 C S 1<S 2 D 上述A 、B 、C 都可能 提示因为S APOQ =|k |=2,S MONB =2,故S 1=S 2. 答案A .点评本题可以推广为:从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线,由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k |.5.若点A 1,y 1,B 2,y 2,C ,y 3在反比例函数y =-xk 12+的图象上,则A y 1=y 2=y 3B y 1<y 2<y 3C y 1>y 2>y 3D y 1>y 3>y 2提示因-k 2+1<0,且-k 2+1=y 1=2 y 2=y 3,故y 1<y 2<y 3.或用图象法求解,因-k 2+1<0,且x 都大于0,取第四象限的一个分支,找到在y 轴负半轴上y 1,y 2,y 3 的相应位置即可判定. 答案B .点评本题是反比例函数图象的性质的应用,图象法是最常用的方法.在分析时应注意本题中的-k 2+1<0.6.直线y =ax +c 与抛物线y =ax 2+bx +c 在同一坐标系内大致的图象是……A B C D提示两个解析式的常数项都为c ,表明图象交于y 轴上的同一点,排除A,B .再从a 的大小去判断. 答案D .点评本题综合运用了一次函数、二次函数的性质.B 错误的原因是由抛物线开口向上,知a >0,此时直线必过第一、三象限.7.已知函数y =x 2-1840 x +1997与x 轴的交点是m ,0n ,0,则m 2-1841 m +1997n 2-1841 n +1997的值是…………………………………………… A1997 B1840 C1984 D1897提示抛物线与x 轴交于m ,0n ,0,则m ,n 是一元二次方程x 2-1840 x +1997=0的两个根.所以m 2-1840 m +1997=0,n 2-1840 n +1997=0,mn =1997.原式=m 2-1840 m +1997-mn 2-1840 n +1997-n =mn =1997. 答案A .点评本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系,应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点,并要灵活地把所求代数式进行适当的变形. 8.某乡的粮食总产量为aa 为常数吨,设这个乡平均每人占有粮食为y 吨,人口数为x ,则y 与x 之间的函数关系为……………………………………………A B C D 提示粮食总产量一定,则人均占有粮食与人口数成反比,即y =xa.又因为人口数不为负数,故图象只能是第一象限内的一个分支. 答案D .点评本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用.A 错在画出了x <0时的图象,而本题中x 不可能小于0. 二填空题每小题4分,共32分9.函数y =12-x +11-x 的自变量x 的取值范围是____________. 提示由2 x -1≥0,得x ≥21;又x -1≠0,x ≠1.综合可确定x 的取值范围.答案x ≥21,且x ≠1.10.若点Pa -b ,a 位于第二象限,那么点Qa +3,ab 位于第_______象限. 提示由题意得a >0,a -b <0,则b >0.故a +3>0,ab >0. 答案一.11.正比例函数y =kk +112--k k x 的图象过第________象限.提示由题意得k 2-k -1=1,解得k 1=2,k 2=-1舍去,则函数为y =6 x . 答案一、三.点评注意求出的k =-1使比例系数为0,应舍去.12.已知函数y =x 2-2m +4x +m 2-10与x 轴的两个交点间的距离为22,则m =___________.提示抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式||a ∆来求.本题有∆=)10(4)42(22--+m m =5616+m =22,故m =-3. 答案-3.点评抛物线与x 轴两交点间距离的公式为||a ∆,它有着广泛的应用.13.反比例函数y =xk的图象过点Pm ,n ,其中m ,n 是一元二次方程x 2+kx +4=0的两个根,那么P 点坐标是_____________.提示Pm ,n 在双曲线上,则k =xy =mn ,又mn =4,故k =4. 答案-2,-2.点评本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用.由题意得出k =mn =4是关键.14.若一次函数y =kx +b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6,相应函数值y 的范围是-11≤y ≤9,则函数解析式是___________.提示当k >0时,有⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 69211,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.625b k当k <0时,有⎩⎨⎧+-=+=-b k b k 29611,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.425b k答案y =25x -6或y =-25x +4.点评因k 是待定字母,而k 的不同取值,导致线段分布象限不一样,自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同.故本例要分k >0时自变量最大值对应函数最大值,与k <0时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论. 15.公民的月收入超过800元时,超过部分须依法缴纳个人收入调节税,当超过部分不足500元时,税率即所纳税款占超过部分的百分数相同.某人本月收入1260元,纳税23元,由此可得所纳税款y 元与此人月收入x 元(800<x <1300)间的函数关系为____________. 提示因1260-800=460,46023=5%,故在800<x <1300时的税率为5%. 答案y =5%x -800.点评本题是与实际问题相关的函数关系式,解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税,而是超过800元的部分才纳税,故列函数式时月收入x 须减去800. 16.某种火箭的飞机高度h 米与发射后飞行的时间t 秒之间的函数关系式是h =-10 t 2+20 t ,经过_________秒,火箭发射后又回到地面.提示火箭返回地面,即指飞行高度为0,则-10 t 2+20 t =0,故t =0或t =20. 答案20.点评注意:t =0应舍去的原因是此时火箭虽在地面,但未发射,而不是返回地面. 三解答题17.6分已知y =y 1+y 2,y 1 与x 成正比例,y 2 与x 成反比例,并且x =1时y =4,x =2时y =5,求当x =4时y 的值.解设y 1=k 1x ,y 2=xk 2,则y =k 1x +xk 2.把x =1时y =4,x =2时y =5分别代入上式,得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22542121k k k k ,解得∴ 函数解析式为y =2 x +x 2. 当x =4时,y =2×4+42=217.∴ 所求的y 值为217.点评本题考查用待定系数法求函数解析式.关键在于正确设出y 1,y 2 与x 的函数解析式.注意两个比例系数应分别用k 1,k 2 表示出来,而不能仅用一个k 值表示.18.6分若函数y =kx 2+2k +1x +k -1与x 轴只有一个交点,求k 的值. 提示本题要分k =0,k ≠0两种情况讨论.解当k =0时,y =2 x -1,是一次函数,此时,直线与x 轴必有一个交点.当k ≠0时,函数为二次函数,此时,=4k +12-4 kk -1=12 k +4=0.∴ k =-31. ∴ 所求的k 值为0或-31. 点评注意,当问题中未指明函数形式,而最高次项系数含字母时,要注意这个系数是否为0.函数图象与x 轴有一个交点包括两种情形:当函数是一次函数时,直线与x 轴必只有一个交点;当函数是二次函数时,在=0的条件下,图象与x 轴只有一个交点.19.8分已知正比例函数y =4 x ,反比例函数y =xk.1当k 为何值时,这两个函数的图象有两个交点k 为何值时,这两个函数的图象没有交点2这两个函数的图象能否只有一个交点若有,求出这个交点坐标;若没有,请说明理由. 解由y =4 x 和y =xk ,得 4 x 2-k =0,=16 k .1当>0,即k >0时,两函数图象有两个交点;当<0,即k <0时,两函数图象没有交点;2∵ 比例系数k ≠0,故≠0.∴ 两函数图象不可能只有一个交点.20.8分如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图,横断面的地平线为x 轴,横断面的对称轴为y 轴,桥拱的D ′GD 部分为一段抛物线,顶点G 的高度为8米,AD 和AD ′是两侧高为米的立柱,OA 和OA ′为两个方向的汽车通行区,宽都为15米,线段CD 和CD ′为两段对称的上桥斜坡,其坡度为1∶4.1求桥拱DGD ′所在抛物线的解析式及CC ′的长.2BE 和B ′E ′为支撑斜坡的立柱,其高都为4米,相应的AB 和A ′B ′为两个方向的行人及非机动车通行区,试求AB 和A ′B ′的宽.3按规定,汽车通过桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不可小于米,今有一大型运货汽车,装载上大型设备后,其宽为4米,车载大型设备的顶部与地面的距离为7米,它能否从OAOA ′安全通过请说明理由.分析欲求函数的解析式,关键是求出三个独立的点的坐标,然后由待定系数法求之.所以关键是由题中线段的长度计算出D 、G 、D ′的坐标,当然也可由对称轴x =0解之.至于求CC ′、AB 、A ′B ′的数值,则关键是由坡度的定义求解之;到底能否安全通过,则只需在抛物线的解析式中令x =4,求出相应的y 值,即可作出明确的判断.解1由题意和抛物线的对称轴是x =0,可设抛物线的解析式为y =ax 2+c .由题意得G 0,8,D 15,∴ ⎩⎨⎧=+=.5.52258c a c∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8901c a∴ y =2901x -+8.又 AC AD =41且AD =, ∴ AC =×4=22米.∴ CC ′=2C =2×OA +AC =2×15+22=74米.∴ CC ′的长是74米.2∵ BC EB =41,BE =4, ∴ BC =16.∴ AB =AC -BC =22-16=6米.A ′B ′=AB =6米.3此大型货车可以从OAOA ′区域安全通过.在y =2901x -+8中,当x =4时,y =-901×16+8=45377,而 45377-7+=4519>0, ∴ 可以从OA 区域安全通过. 21.8分已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象抛物线G 经过-5,0,0,25,1,6三点,直线l 的解析式为y =2 x -3.1求抛物线G 的函数解析式;2求证抛物线G 与直线l 无公共点;3若与l 平行的直线y =2 x +m 与抛物线G 只有一个公共点P ,求P 点的坐标.分析1略;2要证抛物线G 与直线l 无公共点,就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解;3直线y =2 x +m 与抛物线G 只有一个公共点,就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解,求出这组解,就得P 点的坐标.解1∵ 抛物线G 通过-5,0,0,25,1,6三点, ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==--=cb ac c b a 6255250,解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.25321c b a∴ 抛物线G 的解析式为y =21x 2+3 x +25. 2由⎪⎩⎪⎨⎧++=-=25321322x x y x y , 消去y ,得21x 2+x +211=0, ∵ =12-4×21×211=-10<0, ∴ 方程无实根,即抛物线G 与直线l 无公共点.3由⎪⎩⎪⎨⎧++=+=2532122x x y m x y ,消去y ,得21x 2+x +25-m =0. ① ∵ 抛物线G 与直线y =2 x +m 只有一个公共点P ,∴ =12-4×21×25-m =0. 解得m =2. 把m =2代入方程①,解得x =-1. 把x =-1代入y =21x 2+3 x +25,得y =0. ∴ P -1,0.点评本题综合运用了二次函数解析式的求法.抛物线与直线的交点等知识,其关键是把函数问题灵活转化为方程知识求解.。
2023年中考数学专题复习:二次函数综合题训练(含答案)
9.如图,在平面直角坐标系中,直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 .抛物线 经过点 、 .
(1)求抛物线解析式及顶点 坐标;
(2) 为抛物线第一象限内一点,使得 面积最大,求 面积的最大值及此时点 的坐标;
3.(1)
(2)
(3)存在,
(4) 或
4.(1)
(2)①最大值为8,m=2;②存在, 或
5.(1)C(0,6);抛物线的解析式为y=−x2+5x+6
(2)P(3,12)
(3)点N的坐标为( , )或( , )
6.(1)y= x2﹣3x﹣8,点B坐标(8,0),点E坐标(3,﹣4)
(2)存在,F
(3)﹣ 或﹣
(3)将抛物线沿射线AC方向平移 个单位长度,若点F为新抛物线对称轴上一点,在平面直角坐标系内是否存在点M,使以点B、C、F、M为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
12.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 的图像与x轴交于点A( ,0)、B(4,0),与y轴交于点C.
(3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运点的三角形是等腰三角形?直接写出所有符合条件的t值.
3.如图,已知A(﹣2,0)、B(3,0),抛物线y=ax2+bx+4经过A、B两点,交y轴于点C.点P是第一象限内抛物线上的一动点,点P的横坐标为m.过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.过点P作PN⊥BC,垂足为点N.
(3)在(2)的条件下,有一条长度为 的线段 落在 上( 与点 重合, 与点 重合),将线段 沿 轴正方向以每秒 个单位向右平移,设移动时间为 秒,当四边形 周长最小时,求 的值.
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1: 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
(1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。
(2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两
点,求C,A,B的坐标。
(3)x为何值时,y随的增大而减少,x为何值时,
y有最大(小)值,这个最大(小)值是多少?
(4)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0?
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点:
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a,b,c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义: y=ax² + bx + c ( a 、 b 、 c 是常数, a ≠ 0)
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
中考二次函数专题复习一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。
3.y a x h =-的性质: 左加右减。
4.y a x h k =-+的性质:1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大;⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧;当0b =时,02ba -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02ba ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧;当0b =时,02ba -=,即抛物线的对称轴就是y 轴;当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧.总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异”总结:3. 常数项c ⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---;2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+.5. 关于点()m n ,对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ; 3. 二次函数常用解题方法总结:⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数;下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系 师生共同学习过程:知识梳理:练习:1.抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是( ) A .1x =B .1x =-C . 2x =D .2x =-2.要得到二次函数222y x x =-+-的图象,需将2y x =-的图象( ). A .向左平移2个单位,再向下平移2个单位 B .向右平移2个单位,再向上平移2个单位 C .向左平移1个单位,再向上平移1个单位 D .向右平移1个单位,再向下平移1个单位 最新考题1.(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是( ) A .(2,3) B .(-2,3) C .(2,-3) D .(-2,-3) 2.(2009年泸州)在平面直角坐标系中,将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位,所得图象的解析式为A .222-=x y B .222+=x yC .2)2(2-=x y D .2)2(2+=x y 知识点2:二次函数的图形与性质例1:如图1所示,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0)且与y 轴交于负半轴.0∆> 抛物线与x 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0∆= 抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0∆<抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.第(1)问:给出四个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0,其中正确的结论的序号是 .第(2)问:给出四个结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.例2:抛物线y=-x 2+(m -1)x+m 与y 轴交于(0,3)点,(1)求出m 的值并画出这条抛物线;(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标;(3)x 取什么值时,抛物线在x 轴上方?(4)x 取什么值时,y 的值随x 的增大而减小?思路点拨:由已知点(0,3)代入y=-x 2+(m -1)x+m 即可求得m 的值,即可知道二次函数解析式,并可画出图象,然后根据图象和二次函数性质可得(2)(3)(4). 解:(1)由题意将(0,3)代入解析式可得m=3, ∴ 抛物线为y=-x 2+2x+3. 图象(图2):(2)令y=0,则-x 2+2x+3=0,得x 1=-1,x 2=3; ∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1,0),(3,0). ∵ y=-x 2+2x+3=-(x -1)2+4, ∴ 抛物线顶点坐标为(1,4);(3)由图象可知:当-1<x<3时,抛物线在x 轴上方;(4)由图象可知:当x>1时,y 的值随x 值的增大而减小. 练习:1.如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确...的是( ) A .h m =B .k n =C .k n >D .00h k >>,2.函数y =ax +1与y =ax 2+bx +1(a ≠0)的图象可能是( )最新考题1.(2009深圳)二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若点A (1,y 1)、B (2,y 2)是它图象上的两点,则y 1与y 2的大小关系是() A . 21y y < B .21y y = C .21y y > D .不能确定2.(2009北京)如图,C 为⊙O 直径AB 上一动点,过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点,且∠ACD=45°,DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时,设AF=x ,DE=y ,下列中图象中,能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( )3.(2009年台州)已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表:x … 1- 0 1 3 … y … 3- 1 3 1 …A .抛物线开口向上B .抛物线与y 轴交于负半轴C .当x =4时,y >0D .方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 知识点3:二次函数的应用例1:如图,从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度h (单位:米)与小球运动时间t (单位:秒)的函数关系式是29.8 4.9h t t =-,那么小球运动中的最大高度h =最大 .FG O A C DB C D 1111x o y y o x y o x xo y随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x ,y )都在一个二次函数的图像上(如图6所示),则6楼房子的价格为 元/平方米.思路点拨:观察函数图像得:图像关于x 4=对称, 当x 2y=2080=时,元.因为x=2到对称轴的距离 与x=6到对称轴的距离相等。