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天津市九年级上学期数学期末考试试卷

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2022-2023学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2022-2023学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷(含解析)

…………线…………线2022-2023学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( ) A.B.C.D.2. 下列事件中，属于不可能事件的是( )A. 通常加热到100℃时，水沸腾B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C. 掷一次骰子，向上一面的点数是6D. 任意画一个三角形，其内角和是360° 3. 用配方法解一元二次方程x 2−6x −4=0，下列变形正确的是( ) A. (x −6)2=−4+36 B. (x −6)2=4+36 C. (x −3)2=−4+9D. (x −3)2=4+94. 一元二次方程x 2+4x −3=0的两根为x 1、x 2，则x 1⋅x 2的值是( ) A. 4B. −4C. 3D. −35. 正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为( ) A. 30°B. 60°C. 120°D. 180°6. 某学校准备建一个面积为200m 2的矩形花圃，它的长比宽多10m ，设花圃的宽为x m.则可列方程为( )A. x(x −10)=200B. 2x +2 (x −10)=200C. x(x +10)=200D. 2x +2(x +10)=2007. 已知关于x 的方程x 2+mx +1=0根的判别式的值为12，则m 的值是( ) A. ±3B. 3C. 4D. ±48. 将抛物线y =5x 2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是( ) A. y =5(x +2)2+3 B. y =5(x +2)2−3 C. y =5(x −2)2+3D. y =5(x −2)2−39. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为( ) A. 120° B. 180° C. 240° D. 300°10. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………x … −1 0 1 3 … y…−3131…则下列判断中正确的是( )A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y 轴交于负半轴C. 当x =4时，y >0D. 方程ax 2+bx +c =0的正根在3与4之间11. 如图，MN 是⊙O 的直径，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠ACM =60°，B 点是AN⏜的中点，P 点是MN 上一动点，若⊙O 的半径为1，则PA +PB 的最小值为( )A. 1B. √22C. √2D. √3−112. 如图，点A 的坐标为(−3,2)，⊙A 的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ 切⊙A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为( )A. (0,2)B. (0,3)C. (−2,0)D. (−3,0)第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 不透明袋子中装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______ ．14. 如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB ⏜的中点，则∠A 的大小为______(度)．15. 生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了210件，则全组共有______名同学．16. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上的两个点，OC//AG.若∠GAC =28°，则∠BOC 的大小=______度．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 如图，从y =ax 2的图象上可以看出，当−1≤x ≤2时，y 的取值范围是______ ．18. 在RtΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =6．(1)如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长= ______ ； (2)如图②，点D 是边AC 上一点D 且AD =2√3，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD′，点F 始终为BD′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转______ 度时，线段CF 的长最大，最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。

天津市九年级上册期末数学试卷(word解析版)

天津市九年级上册期末数学试卷(word解析版)

知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为 172 cm ，方差为 k cm2 ，第二天，小明来 到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是 172 cm ，此时全班同学身高的方差为
k ' cm2 ，那么 k ' 与 k 的大小关系是（ ）
A． k ' k
B． k ' k
C． k ' k
D．无法判断
8．不透明袋子中有 2 个红球和 4 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出 1个球是红球的概率是（ ）
A． 1 3
B． 1 4
C． 1 5
D． 1 6
9．如图，在⊙O 中，AB 为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD 等于（ ）
A．20°
B．40°
C．70°
D．80°
10．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，连接 AB，若∠B＝
D．4
12．如图，在矩形
中，
，
，若以 为圆心，4 为半径作⊙ .下列四个点
中，在⊙ 外的是( )
A．点
B．点
C．点
D．点
13．已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，CM 是它的中线，以 C 为圆
心，5cm 为半径作⊙C，则点 M 与⊙C 的位置关系为( )
A．点 M 在⊙C 上 B．点 M 在⊙C 内 C．点 M 在⊙C 外 D．点 M 不在⊙C 内
14．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝1
B．x2+3xy＝6
C．x+ 1 ＝4 x
D．x2＝3x﹣2
15．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；

天津市部分区2022届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

天津市部分区2022届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

2021~2022学年度第一学期期末考试九年级数学一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. B.C. D.【答案】C2. 下列图形是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B3. 已知x=1是关于x一元二次方程的一个根，则m的值是（）A. 5B. ﹣5C. ﹣4D. 4【答案】D4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（）A. 80°B. 76°C. 62°D. 52°【答案】B5. 据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）A. y＝2.4（1+2x）B. y＝2.4（1-x）2C. y＝2.4（1+x）2D. y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2【答案】C6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）A. 开口向上B. 当x＝2时，y有最小值是3C. 对称轴是D. 顶点坐标是（-2，3）【答案】D7. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）A B.C. 且D. 且【答案】B8. 若是关于x的二次函数，则a的值是（）A. 1B. -5C. -1D. -5或-1【答案】B9. 抛物线上有、两点，则和的大小关系一定为（）A. B.C. D.【答案】A10. 如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC=8，AP=2，则⊙O的半径长为（）A. 5B. 6C. 10D.【答案】A11. 如图，正方形OABC顶点B在抛物线y＝的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（ ）A. 2B.C.D.【答案】C12. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 已知x1，x2是一元二次方程的两根，则_____．【答案】814. 有三张形状、大小、质地都相同的卡片，正面分别标有数字-1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，则抽取的卡片数字是负数的概率为______．【答案】15. 如图，矩形ABCD中，，．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为______．【答案】116. 在半径为2的圆中，求内接正三边形的边长为_____________．【答案】17. 一个圆锥侧面展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的底面积是___cm2．【答案】18. 如图，正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点．已知，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 解下列方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)．【答案】（1）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）x1＝1，x2＝2．【详解】解：（1）x2+4x﹣1＝0，∵a＝1，b＝4，c＝﹣1，∴△＝42﹣4×1×(﹣1)＝20＞0，则x＝＝＝﹣2，即x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）(x﹣1)(x+3)＝5(x﹣1)，(x﹣1)(x+3)﹣5(x﹣1)＝0，(x﹣1)(x﹣2)＝0，则x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2．20. 如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．【答案】（1）如图所示，△A1B1O即为所求；见解析；（2）线段AO旋转时扫过的面积为．【详解】解：（1）根据题意，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，如图所示，△A1B1O即为所求；（2）根据勾股定理：线段AO旋转时扫过的面积为：＝．21. 如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA 的位置关系.【答案】相切【详解】试题分析：利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可试题解析：相切，理由如下：过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O=30°，OC=6，∴DC=3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．22. 五名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．为了抽签在盒中放五个看上去完全一样的纸团，每个纸团里面分别写着表示出场顺序的数字1，2，3，4，5．把纸团充分搅拌后，小军先抽，他任意（随机）从盒中抽取一个纸团．请思考以下问题：（1）抽到的数字有几种可能的结果？（2）抽到的数字是1的概率是多少？（3）抽到的数字会是0吗？（4）抽到的数字小于6的概率是多少？（5）抽到的数字不大于4的概率是多少？【答案】（1）有五种可能的结果（2）抽到的数字是1的概率是（3）不可能（4）抽到的数字小于6的概率是1（5）抽到的数字不大于4的概率为【小问1详解】解：共有五个数字，每个数字都有可能被抽到，所以有五种可能的结果；【小问2详解】解：数字1，2，3，4，5中，数字1只有1个，故抽到的数字是1的概率是；【小问3详解】解：数字1，2，3，4，5中，没有数字0，故不可能抽到数字0；【小问4详解】解：∵数字1，2，3，4，5均小于6，∴抽到的数字小于6的概率是1；【小问5详解】解：∵数字1，2，3，4，5中，数字不大于4有1，2，3，4，共4个，∴抽到的数字不大于4的概率是.23. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 件．（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？【答案】（1）100；（2）y＝﹣5x+550；（3）当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．【详解】解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为：50+10×=100（件），故答案为：100；（2）依题意得：，∴y与x的函数关系式为y=－5x+550；（3）依题意得：y(x－50)=4000，即(－5x+550)(x－50)=4000，解得：x1=70，x2=90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元．24. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点C，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若直径AB＝10，弦AC＝6，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）4．连结OD，∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，得出OD∥AC，得到∠ODE＝90°，从而得证.在Rt△AFO中，利用勾股定理：AF2＋OF2＝AO2，得出的长，四边形ODEF是矩形，从而得到的长.试题解析：连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD．∴DE是⊙O的切线．（2）解：作OF⊥AC，垂足为F．在Rt△AFO中，AF2＋OF2＝AO2，∴32＋OF2＝52，∴OF＝4，∵∠AED＝∠ODE＝∠OFE＝90°，∴四边形ODEF是矩形，∴DE＝OF＝4．25. 如图，已知抛物线y= - x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标，【答案】（1）m＝2，（1，4）；（2）6；（3）（1，2）．【详解】解：（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，解得：m＝2，则函数对称轴为：x＝﹣＝1，代入y= - x2+2x+3，y= 4，则顶点的坐标为（1，4）；（2）函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），AB=4，OC=3，△ABC的面积为．（3）点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，故点P（1，2）．。

2022-2023学年天津市南开中学九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年天津市南开中学九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年天津市南开中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题）1．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件中，是随机事件的是（）A．画一个三角形，其内角和是180°B．明天太阳从西方升起C．任意选择电视的某一频道，正在播放动画片D．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天3．如图，过原点O的直线与反比例函数的图象相交于点A、B，根据图中提供的信息可知，这个反比例函数的解析式为（）A．y＝3x B．y＝﹣3x C．D．4．一个不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号为1，2，3，5．从中任意摸出一个球，记下编号后不放回，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝8，DB＝4，AE＝6，则AC的长为（）A．14B．12C．10D．96．某种药品经过了两次降价，从每盒54元降到每盒42元．若平均每次降低的百分率都为x，则根据题意，可得方程（）A．54（1﹣x）2＝42B．54（1﹣x2）＝42C．54（1﹣2x）＝42D．42（1+x）2＝547．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O是它的内切圆．则⊙O的半径为（）A．1B．2C．3D．2.58．已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数y＝的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y29．若双曲线的一个分支位于第三象限，则k的取值范围是（）A．k≠2B．k≥2C．k＞2D．k＜210．如图，∠AOB＝90°，∠B＝35°，将△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A'OB'，旋转角为α．若点A'落在AB上，则旋转角α的大小是（）A．40°B．50°C．60°D．70°11．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使P A+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：①abc＜0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x＝﹣1，x＝3；③当x＞0时，y随x增大而减小；④a+2b＝c；⑤y最大值＝．其中正确的有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题（本大题共6小题）13．若方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2+x1x2＝．14．以方程x2﹣4x+3＝0的两根分别为腰和底的等腰三角形的周长为．15．已知两个相似三角形的周长比为2：3，若较大三角形的面积等于18cm2，则较小三角形面积等于．16．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝°．17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB＝30°，CD＝6，则阴影部分面积为．18．如图，由小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A，B，C三个格点，（1）线段AB的长度为；（2）用无刻度的直尺，在⊙O上找一点D，使点D平分（保留画图痕迹）．三、解答题（本大题共7小题）19．将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是；（2）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍数的概率．20．已知：正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，（1）当x＝﹣3时，求反比例函数y＝的值；（2）当﹣3＜x＜2时（x≠0），反比例函数y＝的取值范围是；（3）当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是．21．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2＝AD•BD．（1）求∠A+∠B的度数；（2）若BD＝3CD，△ACD的面积为2，求△ABC的面积．22．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．（1）如图1，点D在⊙O上，且AC＝CD，若∠CDA＝24°，求∠BOD；（2）如图2，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，若⊙O的直径为6，AC＝3，求EA．23．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于64元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）分析数量关系填表：每台售价（元）606162…60+x 月销售量（台）300290280…（2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围；（3）当售价定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大？最大利润是多少？24．平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点B（6，6），P 是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．（1）如图（1）当OP＝2时，求点Q的坐标；（2）如图（2），设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S．求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；（3）当BP+BQ＝8时，求点Q的坐标（直接写出结果即可）．25．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（6，0），交y轴于点D（0，﹣3）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为抛物线l1的对称轴上一动点，连接P A，PC，当∠APC＝90°时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M 自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．2022-2023学年天津市南开中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题）1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．2．【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，不符合题意；B、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意；C、任意选择电视的某一频道，正在播放动画片，是随机事件，符合题意；D、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天，是必然事件，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．【分析】根据中心对称的性质求出A点的坐标，再用待定系数法求函数解析式．【解答】解：因为A、B是反比例函数和正比例函数的交点，所以A、B关于原点对称，由图可知，A点坐标为（1，3），设反比例函数解析式为y＝，将（1，3）代入解析式得：k＝1×3＝3，可得函数解析式为y＝．故选：C．【点评】从图中观察出A、B两点关于原点对称是解题的关键．另外对待定系数法因该有正确的认识：先设出某个未知的系数，然后根据已知条件求出未知系数的方法叫待定系数法．4．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的结果有6种，∴两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是＝，故选：B．【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．【分析】利用平行线分线段成比例计算出EC，然后计算AE+CE即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴EC＝3，∴AC＝AE+CE＝6+3＝9．故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6．【分析】设平均每次降价的百分率为x，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的54元降至42元，可列方程．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，54（1﹣x）2＝42．故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键知道经过了两次降价，降价前和降价后的价格，可列方程．7．【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积得出S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，代入求出即可．【解答】解：BC＝5，AC＝12，由勾股定理得：AB＝13，如图，连接OA、OB、OC、OF，由⊙O是△ABC的内切圆．可以设OD＝OE＝OF＝R，∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴×AC×BC＝×AB×OF+AC×OE+BC×OD，∴5×12＝13R+12R+5R，∴R＝2．答：R的值是2．故选：B．【点评】本题主要考查对正方形的判定，三角形的内切圆与内心，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．8．【分析】先判断出m2+1是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数k＞0时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小判断出y1、y2、y3的大小关系，然后即可选取答案．【解答】解：∵m2≥0，∴m2+1≥1，是正数，∴反比例函数y＝的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，∵（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在反比例函数图象上，∴0＜y2＜y1，y3＞0，∴y2＜y1＜y3．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，本题先判断出比例系数m2+1是正数是解题的关键．9．【分析】反比例函数的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．【解答】解：∵双曲线的一个分支位于第三象限，∴k﹣2＞0，解得k＞2，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y＝（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．10．【分析】由∠AOB＝90°，∠B＝35°，得出∠A＝55°，由旋转的性质可得OA＝OA′，进而求出∠AOA′的度数，即可得出旋转角α的大小．【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝55°，∵△AOB绕点O顺时针旋转角度得到△A′OB′，∴OA＝OA′，∠AOA'＝α，∴∠A＝∠AA'O＝55°，∴∠AOA′＝70°，即旋转角α的大小可以是70°，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后的两个三角形是全等三角形及等腰三角形的性质是解决问题的关键．11．【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．【解答】解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出P A+PC＝BC，故此选项错误；B、如图所示：此时P A＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出P A+PC＝BC，故此选项错误；C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出P A+PC＝BC，故此选项错误；D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出P A+PC＝BC，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．12．【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；由函数的性质可判断③；由于x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，再利用b＝﹣2a得到c＝﹣3a，则可对④⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故③不正确；∵当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，∴a+2b﹣c＝a﹣4a+3a＝0，即a+2b＝c，所以④正确；∵当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，函数有最大值y＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝c+c＝c，所以⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键．二、填空题（本大题共6小题）13．【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣2，则原式＝﹣3﹣2＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．14．【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．【解答】解：解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，当1为腰，3为底时，不能构成等腰三角形；当3为腰，1为底时，能构成等腰三角形，周长为3+3+1＝7．故周长为7．故答案为：7．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．15．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为2：3，∴两个相似三角形的相似比是2：3，∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较大三角形的面积等于18cm2，∴较小三角形的面积为8cm2，故答案为：8cm2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．16．【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，设正十边形内接于⊙O，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4＝×360°＝108°，∴∠A4A1A7＝×108°＝54°．故答案为：54．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．17．【分析】根据题意得出△COB是等边三角形，进而得出CD⊥AB，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．【解答】解：连接BC，∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，又∵CO＝BO，∴△COB是等边三角形，∵E为OB的中点，∴CD⊥AB，∵CD＝6，∴EC＝3，∴sin60°×CO＝3，解得：CO＝2，故阴影部分的面积为：＝4π．故答案为：4π．【点评】此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO的长是解题关键．18．【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）作线段AC的垂直平分线交⊙O于点D，点D即为所求．【解答】解：（1）AB＝＝2，故答案为：2；（2）如图，点D即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共7小题）19．【分析】（1）牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌中是小于3的有2张，再利用概率公式可得答案；（2）首先列出树状图，然后再确定组成的两位数，进一步分析是3的倍数的数的个数，进而可得答案．【解答】解：（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是＝；故答案为：；（2）列表格如下：十位个位A234 A11121314221222324331323334441424344共得到16个数，其中是3的倍数的是12，21，24，33，42，共5个，∴P（这个两位数是3的倍数）＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．【分析】（1）求出交点坐标，再求出反比例函数的关系式，代入计算即可得出答案；（2）求出当x＝﹣3，x＝2时，相应的反比例函数的值，再根据反比例函数图象得出答案即可；（3）根据对称性求出两个交点坐标，根据两个函数图象及交点坐标得出答案．【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标是2，∴这个交点的横坐标x＝y＝2，即这个交点的坐标为（2，2），∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的关系式为y＝，当x＝﹣3时，y＝﹣，即当x＝﹣3时，反比例函数y＝的值为﹣；（2）当x＝2时，y＝＝2，当x＝﹣3时，y＝﹣，由反比例函数的图象可知，当﹣3＜x＜0时，即图象在第三象限，y＜﹣，当0＜x＜2时，即图象在第一象限，y＞2，∴当﹣3＜x＜2时（x≠0），反比例函数y＝的取值范围是y＜﹣或y＞2，故答案为：y＜﹣或y＞2；（3）由对称性可知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交点A（2，2），B （﹣2，﹣2），所以当正比例函数值大于反比例函数值时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞2．【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象的交点坐标，理解反比例函数、一次函数的图象和性质是正确解答的前提．21．【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC＝∠BDC＝90°，相似三角的判定方法证明△ADC ∽△CDB，其性质得，∠A＝∠BCD，最后余角的性质，角的和差求出∠ACB的度数为90°，继而可得结论；（2）根据相似三角形的性质可得△ACD的面积：△BCD的面积＝1：9，求出△BCD的面积即可得出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵CD2＝AD•BD，∴AD：CD＝CD：BD，∴△ADC∽△CDB，∴∠A＝∠BCD，又∵∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，又∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°；（2）由（1）可知，△ADC∽△CDB，AD：CD＝CD：BD，∵BD＝3CD，∴AD：CD＝CD：BD＝1：3，即CD＝3AD，∴△ACD的面积：△BCD的面积＝1：9，∵△ACD的面积为2，∴△BCD的面积为18，∴△ABC的面积为20．【点评】本题综合考查了垂直的定义，余角的性质，相似三角形的判定与性质，角的和差等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质．22．【分析】（1）如图①，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠CDA＝24°，＝，根据圆周角定理即可得到结论；（2）如图②，连接OC，BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠B＝30°，得到∠CAB＝60°，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，求得∠ECA＝30°，于是得到结论．【解答】解：（1）如图①，连接OC，∵AC＝CD，∠CDA＝24°，∴∠CAD＝∠CDA＝24°，＝，∴∠COD＝∠AOC＝2×24°＝48°，∴∠AOD＝96°，∴∠BOD＝180°﹣96°＝84°；（2）如图②，连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∴∠ECA＝30°，∴∠E＝∠CAO﹣∠ACE＝30°，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC＝3．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．【分析】（1）由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，由此填空即可；（2）由销售利润＝每件商品的利润×（300﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于64元，可得自变量的取值；（3）利用公式法结合（2）得到的函数解析式可得二次函数的最值．【解答】解：（1）61﹣60＝1，300﹣290＝10，以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，所以当每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，则月销售量为300﹣10x，故答案为：300﹣10x；（2）由题意得：y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，∵每件售价不能高于64元，∴0≤x≤4，∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x2+100x+6000（0≤x≤4，x为整数）；（3）由（2）知，y＝﹣10x2+100x﹣6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，∵﹣10＜0，0≤x≤4，∴当x＝4时，y有最大值，最大值为6240，此时60+x＝64，答：当售价定为64时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，最大利润是6240元．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝﹣时取得．24．【分析】（1）如图（1），过P点作PG⊥x轴，垂足为G，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H．证明Rt△AQH≌Rt△APG．即可求点Q的坐标；（2）如图（2），过P点作PG⊥x轴，垂足为G．根据勾股定理可得AP2＝AG2+PG2＝（6﹣x）2+x2，整理得AP2＝2x2﹣12x+36．由S△APQ＝AP•AQ，S＝x2﹣6x+18＝（x﹣3）2+9．进而可求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；（3）根据BP+BQ＝，可得BP+OP＝．因为OB＝，说明点P在OB的延长线上．可得OP﹣BP＝OB＝．联立方程组可得BP和OP的长，结合（1）进而可求点Q的坐标．【解答】解：（1）如图（1），过P点作PG⊥x轴，垂足为G，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H．∵四边形OABC是正方形，∴∠AOB＝45°．∵B（6，6），∴OA＝6．在Rt△OPG中，，∴OG＝PG＝2．∴AG＝OA﹣OG＝4．∵△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，∴∠P AQ＝90°，AQ＝AP，∴∠P AG+∠QAH＝90°，∵∠P AG+∠APG＝90°，∴∠APG＝∠QAH，∴△AQH≌△APG（AAS）．∴AH＝PG＝2，QH＝AG＝4．∴Q（8，4）；（2）如图（2），过P点作PG⊥x轴，垂足为G．∵△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，∴AP＝AQ，∠P AQ＝90°．∵P（x，y），∠POG＝45°，∴OG＝PG＝x，∴AG＝6﹣x．在Rt△APG中，根据勾股定理，AP2＝AG2+PG2＝（6﹣x）2+x2，整理得AP2＝2x2﹣12x+36．∵S△APQ＝AP•AQ，∴S＝x2﹣6x+18＝（x﹣3）2+9．∴当S取最小值时，有x＝3，∴P（3，3）；（3）Q（13，﹣1）．理由如下：如图（3），∵△AOP绕点A旋转得到△ABQ，∴OP＝BQ．∵BP+BQ＝，∴BP+OP＝．∵OB＝，∴点P在OB的延长线上．∴OP﹣BP＝OB＝．由解得：OP＝，BP＝．∴，∴AG＝OG﹣OA＝1，同（1）：Rt△AQH≌Rt△APG，∴AH＝PG＝7，QH＝AG＝1，∴OH＝OA+AH＝6+7＝13，∴Q（13，﹣1）．【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质﹣旋转、二元一次方程组、三角形的面积、勾股定理、特殊角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考几何压轴题．25．【分析】（1）通过解方程﹣x2+2x+3＝0得A（﹣1，0）设交点式y＝a（x+1）（x﹣6），然后把D点坐标代入求出a的值即可得到得抛物线l2的解析式；（2）先求出C（0，3）和抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，则设P（1，t），利用两点间的距离公式和勾股定理得到12+（t﹣3）2+22+t2＝10，然后解方程求出t即可得到点P的坐标；（3）抛物线l2与抛物线l1经过的另一个交点为F，如图2，先通过解方程x2﹣x﹣3＝﹣x2+2x+3得F（4，﹣5），设M（x，x2﹣x﹣3），则N（x，﹣x2+2x+3），讨论：当﹣1≤x＜4时，MN＝﹣x2+x+6；当4≤x≤6时，MN＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣，然后分别利用二次函数的性质求出两种情况下的MN的最大值，再比较大小即可得到点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0）设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），把D（0，﹣3）代入得a•1•（﹣6）＝﹣3，解得a＝，所以抛物线l2的解析式为y＝（x+1）（x﹣6），即y＝x2﹣x﹣3；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，设P（1，t），则AC2＝12+32＝10，PC2＝12+（t﹣3）2，P A2＝22+t2，∵∠APC＝90°，∴PC2+P A2＝AC2，即12+（t﹣3）2+22+t2＝10，整理得t2﹣3t+2＝0，解得t1＝1，t2＝2，∴点P的坐标为（1，1）或（1，2）；（3）抛物线l2与抛物线l1经过的另一个交点为F，如图2，解方程x2﹣x﹣3＝﹣x2+2x+3得x1＝﹣1，x2＝4，则F（4，﹣5），设M（x，x2﹣x﹣3），则N（x，﹣x2+2x+3），当﹣1≤x＜4时，MN＝﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，此时x＝时，MN有最大值；当4≤x≤6时，MN＝x2﹣x﹣3﹣（﹣x2+2x+3）＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣，此时x＝6时，MN有最大值21；所以点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为21．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求抛物线与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式和勾股定理．。

2022-2023学年天津市第二十一中学九年级上学期期末考试数学试卷带讲解

2022-2023学年天津市第二十一中学九年级上学期期末考试数学试卷带讲解

2022-2023学年天津二十一中九年级（上）期末数学试卷一、选择题1.如所示图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．2.如果2是方程20x c -=的一个根，那么常数c 是（）A.2B.4C.4- D.4或4-B【分析】把2x =代入方程20x c -=，即可求解．【详解】解：∵2是方程20x c -=的一个根，∴220c -=，解得：4c =．故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．3.如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，F 是CB 延长线上一点，△ADE ≌△ABF ，则可把△ABF 看作是以点A 为旋转中心，把△ADE （）A.顺时针旋转90°后得到的图形B.顺时针旋转45°后得到的图形C.逆时针旋转90°后得到的图形D.逆时针旋转45°后得到的图形A【分析】由旋转的性质可求解．【详解】解：∵E是正方形ABCD中CD边上任意一点，F是CB延长线上一点，△ADE≌△ABF，∴可把△ABF看作是以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°后得到的图形，故选：A．【点睛】本题考查图形旋转的性质，理解基本性质是解题关键．4.掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是（）A.1B.67 C.12D.0C【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），时间确定了则概率是不变的，而频率是改变的，根据此特点可得答案．【详解】解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是1 2.故选C．【点睛】本题考查概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．5.若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（）A.23B.4C.33D.123A【分析】首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】如图：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°，∵圆内接正六边形ABCDEF的周长为24，∴AB=4，则AM=2，因而3正六边形的边心距是3.故选A ．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．6.对于二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+4，下列说法不正确的是（）A.开口向下B.当x >1时，y 随x 的增大而减小C.函数图象与x 轴交于点（﹣1，0）和（3，0） D.当x ＝1时，y 有最小值4D【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A 、B 、D ，令0y =，解关于x 的一元二次方程则可判定C ．【详解】解：2(1)4y x =--+ ，10a =-< ，∴开口向下，故A 说法正确，不合题意；当1x时，y 随x 的增大而减小，故B 说法正确，不合题意；令0y =可得22(1)4230x x x --+=--=，解得：11x =-，23x =，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0)，故C 说法正确，不合题意；∵对称轴为1x =，顶点坐标为(1,4)，∴当1x =时，y 有最大值，最大值为4，故D 不正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．7.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(6,6)A ，(8,2)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为（）A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(12,12)A【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C 点坐标．【详解】解：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A （6，6），B （8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为：（3，3）．故选：A ．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．8.如图，四边形ABCD 是矩形，E 是边BC 延长线上的一点，AE 与CD 相交于点F ，则图中的相似三角形共有（）A.4对B.3对C.2对D.1对B 【分析】根据相似三角形的判定方法即可解决问题.【详解】解：∵∠E ＝∠E ，∠FCE ＝∠D ，∴△CEF ∽△ADF ；∵∠E 是公共角，∠B ＝∠FCE ，∴△ABE ∽△CEF ；∴△ABE ∽△ADF ．故有3对．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．9.如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC=50°，则∠CDB 大小为()A.25°B.30°C.40°D.50°A【详解】由垂径定理，得： AC BC=；∴∠CDB=∠AOC=25°；故选A ．10.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD DB =，则下列结论中正确的是()A.12AE AC = B.12DE BC = C.13ADE ABC =的周长的周长 D.13ADE ABC =的面积的面积C【详解】试题分析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵AD ：DB=1：2，∴AD ：AB=1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C 正确．故选C ．考点：相似三角形的判定与性质．11.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E 是AC 上一点，AE=5，ED ⊥AB ，垂足为点D ，则AD 的长为()A.254B.6C.245D.4D【分析】先证明△ADE ∽△ACB ，得出对应边成比例，即可求出AD 的长．【详解】解：∵ED ⊥AB ，∴∠ADE=90°=∠C ，∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ，∴AD AFAC AB =，即5810AD =，解得：AD=4．故选D ．考点：相似三角形的判定与性质．12.函数2y x px q =-++的图象与x 轴交于(,0)a ，(,0)b 两点，若1a b >>，则（）A.1p q +>B.1p q += C.1p q +< D.0pq >A【分析】结合条件和二次函数图象可知当x=1时，对应的y 值小于0，可得到关于p ，q 的关系式，可得到答案．【详解】解：∵抛物线2y x px q =-++中二次项系数为−1<0，∴抛物线开口向下．由y=-x 2+px+q 的图象与x 轴交于（a ，0）和（b ，0）且a ＞1＞b 得，当x=1时，y ＞0，∴-12+p+q ＞0，∴p+q ＞1，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数与二次方程的关系，掌握二次函数图象在x=1时，对应的y ＜0是解题的关键，注意结合图形来理解．二、填空题13.如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠B ＝75°，则∠AOC 的大小为__度．150．【分析】根据圆周角定理即可解决问题．【详解】∵ =AC AC，∴∠AOC ＝2∠B ＝150°，故答案为150．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”，“1”，“2”，“4”，“5”，“5”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是______．13【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的有2种情况，所以掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是2163=．故答案为：13【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A 的概率()P A =事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P （必然事件）1=；P （不可能事件）0=是解题的关键．15.用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．2【详解】解： 扇形的弧长=0208161π⨯=2πr ，∴圆锥的底面半径为r=2．故答案为2．16.二次函数()2213y x =--+的顶点坐标是__________．（1，3）【分析】根据题目中函数的解析式可以得到此二次函数的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵y =-2（x -1）2+3，∴二次函数y =-2（x -1）2+3的图象的顶点坐标是（1，3）故答案为：（1，3）．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．17.如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A =55°，∠E =30°，则∠F =_____．40°【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF =∠A +∠E =85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD =180°﹣∠A =125°，然后再根据三角形外角性质求∠F ．【详解】解：∵∠A =55°，∠E =30°，∴∠EBF =∠A +∠E =85°，∵∠A +∠BCD =180°，∴∠BCD =180°﹣55°=125°，∵∠BCD =∠F +∠CBF ，∴∠F =125°﹣85°=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质；三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ΔABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上．（Ⅰ）线段AB 的长等于_______________；（Ⅱ）请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足PAC PBC PCB ∠∠∠==，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．①.（Ⅰ）2；②.（Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点E F ，，连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB与网格线相交于点D ，连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足PAC PBC PCB ∠=∠=∠．【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可求出AB 的长（Ⅱ）先确定圆心，根据∠EAF=090取格点E 、F 并连接可得EF 为直径，与AC 相交即可确定圆心的位置，先在BO 上取点P,设点P 满足条件，再根据点D 为AB 的中点，根据垂径定理得出OD ⊥AB ，再结合已知条件ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=得出20PAC PBC PCB ∠=∠=∠= ，设PC 和DO 的延长线相交于点Q ，根据ASA 可得OPQ OPA ∆≅∆,可得OA=OQ ，从而确定点Q 在圆上，所以连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP 即可找到点P【详解】（Ⅰ）解：2AB ==故答案为2（Ⅱ）取圆与网格线的交点E F ，，连接EF ，与AC 相交于点O ，∵∠EAF=090，∴EF 为直径,∵圆心在边AC 上∴点O 即为圆心∵AB 与网格线的交点D 是AB 中点，连接OD 则OD ⊥AB ，连接OB ，∵BAC 30∠︒=,OA=OB∴∠OAB=∠OBA=030，∠DOA=∠DOB=060，在BO 上取点P ，并设点P 满足条件，∵ABC 50∠︒=∵20PAC PBC PCB ∠=∠=∠= ，∴∠APO=∠CPO=040，设PC 和DO 的延长线相交于点Q ，则∠DOA=∠DOB=∠POC=∠QOC=060∴∠AOP=∠QOP=0120，∵OP=OP,∴OPQ OPA∆≅∆∴OA=OQ,∴点Q 在圆上，∴连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ,则点P 即为所求【点睛】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．三、解答题19.（Ⅰ）解方程()()230x x --=；（Ⅱ）无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由．（Ⅰ）122,3x x ==；（Ⅱ）无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根，理由见解析【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）先把方程整理为一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：（Ⅰ）()()230x x --=∴20,30x x -=-=，解得：122,3x x ==；（Ⅱ）无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根，理由如下：()()2320x x p ---=，整理得：22560x x p -+-=，∵21,5,6a b c p ==-=-，∴()()22224546140b ac pp∆=-=---=+>，∴无论p 取何值，方程()()2320x x p ---=总有两个不相等的实数根．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式是解题的关键．20.已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点．连接AC ，DO ．（1）如图①，求∠BOD 及∠A 的大小；（2）如图②，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，交⊙O 于点H ，若⊙O 的半径为2．求CH 的长．（1）60BOD ︒∠=，60A ︒∠=（2）23【分析】（1）直接利用半圆所对的圆心角为180︒，半圆所对的圆周角为90︒求解即可；（2）先求出COA 是等边三角形，再求出1OF AF ==，CF HF =，最后利用勾股定理求解即可．【小问1详解】∵点C ，D 是半圆O 的三等分点，且半圆所对的圆心角为180︒，圆周角为90︒∴180603BOD ︒︒∠==，290603A ︒︒∠=⨯=，∴60BOD ︒∠=，60A ︒∠=．【小问2详解】如图，连接OC ，∴OA OC =，∵60A ︒∠=，∴COA 是等边三角形，∵CFAB ⊥，∴1OF AF ==，CF HF =，∴2222213CF OC OF =-=-=，∴3CH =CH 的长为23【点睛】本题考查了圆的相关概念，涉及圆周角和圆心角、垂径定理、等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是牢记相关概念，正确作出辅助线构造直角三角形并利用勾股定理求解．21.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．（1）；（2）证明见解析【分析】（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD＝AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD＝∠OAD＝90°，从而解决问题．【详解】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP＝90°．在Rt△PAB中，AB＝2，∠P＝30°，∴BP＝2AB＝2×2＝4．由勾股定理，得AP===．（2）如图，连接OC、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ACP＝180°﹣∠BCA＝90°，在Rt△APC中，D为AP的中点，∴12CD AP AD==，∴∠4＝∠3，∵OC＝OA，∴∠1＝∠2，∵∠2+∠4＝∠PAB＝90°，∴∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°，即OC⊥CD，∴直线CD是⊙O的切线．【点睛】本题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识．熟练掌握切线的性质及判定方法是解题的关键.22.如图，一幅长8cm 、宽6cm 的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的38．求彩条的宽度．水平彩条宽度为1cm ，竖直彩条的宽度为2cm ．【分析】水平彩条宽度为xcm ，则竖直彩条的宽度为2xcm ，由面积关系列出方程，解方程即可．【详解】解：设水平彩条宽度为xcm ，则竖直彩条的宽度为2xcm ，由题意得：38622868x x x x +⨯-⨯=⨯⨯，整理得：21090x x -+=，解得：1x =，或9x =（不合题意舍去），∴1x =，22x =，答：水平彩条宽度为1cm ，则竖直彩条的宽度为2cm ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的面积；由题意列出方程是解题的关键．23.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？销售单价为35元时，半月内获得的利润最大，最大利润是4500元【分析】设销售单价为x 元，销售利润为y 元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：设销售单价为x 元，销售利润为y 元，根据题意得：()()204002030y x x =---⎡⎤⎣⎦()()20100020x x =--220140020000x x =-+-()220354500x =--+200-< ，∴当35x =时，y 有最大值，最大值为4500，所以，销售单价为35元时，半月内获得的利润最大，最大利润是4500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能够构建二次函数解决最值问题．24.在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点()0,0O ，点()6,0A ，点()0,8B ．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ，记旋转角为()090αα︒<<︒．（1）如图1，当30α=︒时，求点D 的坐标；（2）如图2，当点E 落在AC 的延长线上时，求点D 的坐标；（3）当点D 落在线段OC 上时，求点E 的坐标．（1）(6-，3)；（2）(65，185；（3）(12,8)【分析】（1）过点D 作DG x ⊥轴于G ，由旋转的性质得出6AD AO ==，30OAD α=∠=︒，8DE OB ==，由直角三角形的性质得出132DG AD ==，AG ==，得出6OG OA AG =-=-，即可得出点D 的坐标为(6-，3)；（2）过点D 作DG x ⊥轴于G ，DHAE ⊥于H ，则GA DH =，HA DG =，由勾股定理得出10AE ===，由面积法求出245DH =，得出65OG OA GA OA DH =-=-=，由勾股定理得出185DG =，即可得出点D 的坐标为(65，18)5；（3）连接AE ，作EG x ⊥轴于G ，由旋转的性质得出DAE AOC ∠=∠，AD AO =，由等腰三角形的性质得出AOC ADO ∠=∠，得出DAE ADO ∠=∠，证出//AE OC ，由平行线的性质的GAE AOD ∠=∠，证出DAE GAE ∠=∠，证明()AEG AED AAS ∆≅∆，得出6AG AD ==，8EG ED ==，得出12OG OA AG =+=，即可得出答案．【详解】解：（1）过点D 作DG x ⊥轴于G ，如图所示：点(6,0)A ，点(0,8)B ．6OA ∴=，8OB =，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，6AD AO ∴==，30OAD α=∠=︒，8DE OB ==，在Rt ADG ∆中，132DG AD ==，AG ==6OG OA AG ∴=-=-，∴点D 的坐标为(6-，3)；（2）过点D 作DG x ⊥轴于G ，DH AE ⊥于H ，如图所示：则GA DH =，HA DG =，8DE OB == ，90ADE AOB ∠=∠=︒，10AE ∴===， 1122AE DH AD DE ⨯=⨯，6824105AD DE DH AE ⨯⨯∴===，246655OG OA GA OA DH ∴=-=-=-=，185DG ===，∴点D 的坐标为(65，185；（3）连接AE ，作EG x ⊥轴于G，如图所示：由旋转的性质得：DAE AOC ∠=∠，AD AO =，AOC ADO ∴∠=∠，DAE ADO ∴∠=∠，//AE OC ∴，GAE AOD ∴∠=∠，DAE GAE ∴∠=∠，在AEG ∆和AED ∆中，90AGE ADE GAE DAE AE AE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEG AED AAS ∴∆≅∆，6AG AD ∴==，8EG ED ==，12OG OA AG ∴=+=，∴点E 的坐标为(12,8)．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．25.如图，抛物线y =﹣12x 2+mx +n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．(1)抛物线的解析式为：y =﹣12x 2+32x +2(2)存在，P 1（32，4），P 2（32，52），P 3（32，﹣52）(3)当点E 运动到（2，1）时，四边形CDBF 的面积最大，S 四边形CDBF 的面积最大=132．【分析】（1）将点A 、C 的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m 、n 的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD 的值，以点C 为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于P 1；以点D 为圆心CD 为半径作圆交对称轴于点P 2，P 3；作CH 垂直于对称轴与点H ，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B 点的坐标，从而可求出BC 的解析式，从而可设设E 点的坐标，进而可表示出F 的坐标，由四边形CDBF 的面积=S △BCD +S △CEF +S △BEF 可求出S 与a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y =﹣12x 2+mx +n 经过A （﹣1，0），C （0，2）．解得：322m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y =﹣12x 2+32x +2；（2）∵y =﹣12x 2+32x +2，∴y =﹣12（x ﹣32）2+258，∴抛物线的对称轴是x =32．∴OD =32．∵C （0，2），∴OC =2．在Rt △OCD 中，由勾股定理，得CD =52．∵△CDP 是以CD 为腰的等腰三角形，∴CP 1=CP 2=CP 3=CD ．作CH ⊥x 轴于H ，∴HP 1=HD =2，∴DP 1=4．∴P 1（32，4），P 2（32，52），P 3（32，﹣52）；（3）当y =0时，0=﹣12x 2+32x +2，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0）．设直线BC 的解析式为y =kx +b ，由图像，得240b k b =⎧⎨+=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：y =﹣12x +2．如图2，过点C 作CM ⊥EF 于M ，设E （a ，﹣12a +2），F （a ，﹣12a 2+32a +2），∴EF =﹣12a 2+32a +2﹣（﹣12a +2）=﹣12a 2+2a （0≤x ≤4）．∵S 四边形CDBF =S △BCD +S △CEF +S △BEF =12BD •OC +12EF •CM +12EF •BN ，=12×52×2+12a （﹣12a 2+2a ）+12（4﹣a ）（﹣12a 2+2a ），=﹣a 2+4a +52（0≤x ≤4）．=﹣（a ﹣2）2+132∴a =2时，S 四边形CDBF 的面积最大=132，∴E （2，1）．【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值。

天津市滨海区2022年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案

天津市滨海区2022年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案

天津市滨海新区2022年九年级上学期《数学》期末试卷及答案一、选择题本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是（）A. B. C. D. 【答案】A【详解】一元二次方程化成一般形式为：它的二次项系数和一次项系数分别是5，-4故选：A ．2. 抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ）A. 向上，轴B. 向上，轴C. 向下，轴D. 向下，轴【答案】B【详解】 ，所以抛物线开口向上，，所以对称轴为 ，对称轴为轴．故选：B ．2514x x -=54-，45-，51-，1-4，2514x x -=25410x x --=∴213y x =x y x y 13a = 0b = 02bx a =-=y3. 下列语句描述的事件为随机事件的是（）A. 通常加热到时，水沸腾B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C. 任意画一个三角形，其内角和是D. 从三张扑克牌J ，Q ，K 中取出一张是A【答案】B 【详解】A. 通常加热到时，水沸腾是必然事件，不符合题意；B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意；C. 任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，不符合题意；D. 从三张扑克牌J ，Q ，K 中取出一张是A 是不可能事件，不符合题意．故选：B ．4. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】C【详解】A ．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B ．此图案仅是中心对称图形，不符合题意；C ．此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；D ．此图案既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．100C ︒360︒100C ︒360︒5. 抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ）A. （3，5）B. （﹣3，5）C. （3，﹣5）D. （﹣3，﹣5）【答案】B【详解】抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），故选B ．6. 下列各点中与点关于原点对称的是（）A. B. C. D. 【答案】B【详解】与点关于原点对称的点的坐标是：．故选：B ．7. 不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出个球，摸出红球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【详解】红球数量为5个，总的球数量为8个，∴从中随机摸出一球为红球的概率是．故选：D ．(2,1)A -(2,1)(2,1)-(2,1)--(1,2)-(2,1)A -(2,1)-185833858588. 如图，在中，，，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】在中，，故选：A ．9. 如图，在中，，，则的度数是（）A. B. C. D. 【答案】DO e »»=A B A C 75C ∠=︒A ∠30°40︒50︒60︒O e »»=A B A C 75C ∠=︒75B C ∴∠=∠=︒180A B C ∠+∠+∠=︒ 18030A B C ∴∠=︒-∠-∠=︒O e OA BC ⊥50AOC ∠=︒ADB ∠50︒30°20︒25︒【详解】连接OB，，，，故选：D ．10. 如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米【答案】C 【详解】设道路的宽为x,根据题意得20x+33x−x 2=20×33−510整理得x 2−53x+150=0解得x=50(舍去)或x=3所以道路宽为3米.故选C.OA BC ⊥ 50AOC ∠=︒50AOB ∴∠=︒1252ADB AOB ∴∠=∠=︒11. 如图，在△中，，，点是的内心，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【详解】∵点是的内心，∴BO 平分，CO 平分，∴，，∴．故选A ．12. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标为，其中，．下列结论：①，②，③中，正确的结论有（）ABC 60ABC ∠=︒50∠=°ACB O ABC V BOC ∠125︒120︒130︒135︒O ABC V ABC ∠ACB ∠1230C CBO AB ∠=∠=︒1225B BCO AC ∠=∠=︒012518CBO BCO BOC ∠=︒-∠=∠-︒20y ax bx c a =++≠（）(1,2)-x 12x x ，121x --＜＜201x ＜＜420a b c -+＜20a b -＜284b a ac +＞A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【详解】根据题意得：当x=-2时，y ＜0，∴，故①正确；∵二次函数的图象与轴交点的横坐标为，其中，．开口向下，∴抛物线的对称轴，a ＜0，∴，∴，故②正确；∵二次函数的图象经过点，且对称轴在直线x=-1的右侧，∴抛物线的顶点的纵坐标大于2，∴，∵a＜0，∴，∴，故③正确；∴正确的有①②③，共3个．故选：D420a b c -+＜20y ax bx c a =++≠（）x 12x x ，121x --＜＜201x ＜＜12bx a =->-2b a >20a b -＜20y ax bx c a =++≠（）(1,2)-2424ac b a ->248ac b a -<284b a ac +＞二、填空题本大题共6小题，每小题3分，共18分．13. 抛物线可以由抛物线先向左平移个单位，再向下平移___________个单位得到的．【答案】3【详解】抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数图象的解析式为：．故答案为：3．14. 在数学考试中，单项选择题（每个题目只有4个备选答案）是试卷的重要组成部分，当你遇到完全不会做的选择题时，如果你随便选择一个答案，那么你答对的概率为_________．【答案】【详解】根据题意得：答对的概率为．故答案为：15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．【答案】【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴∆，解得<2．故答案为：k<2．()223y x =+-2y x =22y x =()223y x =+-141414x 22230x x k ++-=k 2k ＜()224230k =--＞k16. 中，，则的内切圆的半径长是_________．【答案】2【详解】设△ABC 的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r ，∵AB＝13，AC ＝5，BC ＝12，∴AB 2＝AC 2+ BC 2，根据勾股定理的逆定理得△ABC 是直角三角形，∠C=90°，∴，根据三角形的面积公式可得：，∴15r=30，即r=2，故答案为：2．17. 当或（）时，代数式的值相等，则时，代数式的值为_________．【答案】3【详解】由抛物线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵当或（）时，代数式的值相等，∴当或（）时，抛物线的函数值相等，∴以a 、b 为横坐标的点关于直线x=2对称，∴，ABC V 13,5,12AB AC BC ===ABC V 1302ABC S AC BC =⋅=V 1115131215222ABC AOC AOB BOC S S S S r r r r =++=⨯+⨯+⨯=V V V V x a =x b =a b ¹243x x -+x a b =+243x x -+()224321y x x x =-+=--x a =x b =a b ¹243x x -+x a =x b =a b ¹243y x x =-+22a b +=∴a+b=4，∵，∴x=4，当x=4时，，即时，代数式的值为3．故答案为：318. 如图，为边长为的等边三角形，点分别为和的中点，点为内部一点，且，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接．（1）当三点共线时，线段的长度为_________；（2）在旋转过程中，线段的最小值为_________．【答案】①. ②. 1【详解】（1）是等边三角形,边长为，，为的中点，x a b =+244433y =-⨯+=x a b =+243x x -+ABC V 6DE ，AC BCF ABC V 2DF =BF BF B 60︒BG EG B F D 、、BFEG 2ABC ∆ 66AB AC ∴==D Q AC,,，，点、、三点共线，，，线段的长度为；(2)如图,作线段的中点,连接,作,连接,将线段绕点按逆时针方向旋转得到,连接,此时的值最小，是等边三角形,边长为，， ，点为的中点，点为的中点，点为的中点，，，，,，，132AD CD AC ∴===BD AC ⊥90ADB ∴∠=︒BD ∴=== B F D 2DF =2BF BD DF ∴=-=-∴BF 2-AB H DH 2DF =BF BF B 60︒BG EG EG ABC ∆ 66AB AC ∴==60ABC ∠=︒ D AC E BC H AB BD AC ∴⊥132BE BC ==132BH AB ==90ADB ∴∠=︒BH BE =132DH AB ∴==，，由旋转可知: ,，，，在和中，，，，在旋转过程中,线段的最小值为1.三、解答题本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19. （1）因式分解法解方程：；（2）配方法解方程：．【答案】（1）；（2）【详解】（1），解：提公因式，得，于是得，．2DF = 321HF DH DF ∴=-=-=BF BG =60FBC ∠=︒60ABC FBG ∴∠=∠=︒HBF EBG ∴∠=∠BHF ∆BEG ∆BH BEHBF EBGBF BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BHF BEG SAS ∴∆≅∆1HF EG ∴==∴EG 220x x -=21090x x ++=121=02x x =，12=9=1x x --，220x x -=2-10x x =（）02-10x x ==或121=02x x =，（2），解：移项，得，配方，得，，由此可得，．20. 如图，在半径为的中，弦的长为．（1）求的度数；（2）求点到的距离．【答案】（1） （2）到的距离为【小问1详解】解：在，，∵，∴为等边三角形，∴；【小问2详解】过点 作于点，21090x x ++=210=9x x +﹣22210+5=-95x x ++25=16x +（）54x +=±12=9=1x x --，4O e AB 4AOB ∠O AB 60AOB ∠=︒OAB O e 4OA OB ==4AB =OAB V 60AOB ∠=︒O OC AB ⊥C在，于点，∴，∵ ，∴，在中，，，∴，∴到的距离为21. 甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字和，乙口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字，和．从两个口袋中各随机取一个小球．请用画树状图或列表的方法求：（1）取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是多少？（2）取出的个小球上的数字全是偶数的概率是多少？【答案】（1） （2）【小问1详解】解：根据题意，可以画出如下的树状图O e OC AB ⊥C 12AC AB =4AB =2AC =Rt OAC △4AO =2AC =OC ==O AB 2123345221216所有可能出现的结果共有种等可能结果，取出个小球上的数字之和是奇数有种，∴取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是；【小问2详解】解：取出个小球上的数字全是偶数有种，∴取出的个小球上的数字全是偶数的概率是．【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．22. 已知：内接于，．（1）如图①，点在上，若，求和的大小；（2）如图②，点在外，是的直径，与⊙相切于点，若，求的大小．【答案】（1） （2）62323162=21216ABD △O e »»AB AD =C e O 60BCD ∠=︒ABD ∠ADB ∠C e O BD e O BC O B 50BCD ∠=︒CDA ∠30ABD ADB ∠=∠=︒85CDA ∠=︒【小问1详解】解：∵四边形内接于，，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：∵与相切于点，∴，∴∵在中，，∴∵是的直径，∴，∵，∴，，∴．23. 某村种的水稻2018年平均每公顷产8000kg ，2020年平均每公顷产9680kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．ABCD O e 60BCD ∠=︒180120BAD BCD ∠=︒-∠=︒»»=AB AD AB AD =1(180)302ABD ADB BAD ∠=∠=︒-∠=︒BC O e B BD BC ⊥90CBD ∠=︒Rt BCD ∆50BCD ∠=︒9040BDC BCD ∠=︒-∠=︒BD O e 90BAD ∠=︒»»=AB AD AB AD =190452ABD ADB ∴∠=∠=⨯︒=︒454085CDA ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x ．（1）用含的代数式表示：①2019年种的水稻平均每公顷的产量为_________kg ；②2020年种的水稻平均每公顷的产量为_________kg ；（2）根据题意，列出相应方程_________；（3）解这个方程，得_________；（4）检验：_________；（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为_________%．【答案】（1），（2）（3）（4）当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去（5）10【小问1详解】解：根据题意，①2019年种的水稻平均每公顷的产量为kg ；②2020年种的水稻平均每公顷的产量为kg ；故答案为：；；【小问2详解】解：由题意，可列出方程：；x ()80001x +()280001x +()2800019680x +=120.1 2.1x x ==-，()80001x +()280001x +()80001x +()280001x +()2800019680x +=故答案为：；【小问3详解】解：，解得：；故答案为：；【小问4详解】解：检验：当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去；故答案为：当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去；【小问5详解】解：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为；故答案为：10；24. 四边形和四边形均为正方形，正方形绕点A 顺时针旋转．（1）正方形绕点A 顺时针旋转到如图①位置时，且三点在同一直线上，则和的数量关系是_________；和的位置关系是_________；（2）正方形绕点A 顺时针旋转到如图②位置时，且点落在线段上．①求证：；②若，求的长；的()2800019680x +=()2800019680x +=120.1 2.1x x ==-，120.1 2.1x x ==-，0.110%x ==ABCD AEFG AEFG AEFG D A E 、、DG BE DG BE AEFG F DG ABE ADG V V ≌10,2AB DF ==BF（3）如图③，若，，正方形绕点A 顺时针旋转过程中，取的中点，连接，记的面积为S ，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1），（2）①见解析；②（3）【小问1详解】根据题意，得：∵四边形和四边形均为正方形∴，，和中∴∴，如图，延长DG ，交BE 于点K∵10AB =6AG =AEFG DG M CM CDM V DG BE =DG BE ⊥14BF =1040S ≤≤90DAB BAE ∠=∠=︒ABCD AEFG AD AB =AG AE =90BAE ∠=︒DAG △BAE V 90AD ABDAB BAE AG AE=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()DAG BAE SAS V V ≌DG BE =ADG ABE ∠=∠90BAE ∠=︒∴∴∴故答案为：，【小问2详解】①∵四边形和均为正方形，∴∴，即在和中∴；②∵∴，∵∴点三点在一条直线上设正方形边长为，则，在中，由勾股定理得，即，整理得：，解得：．90ABE AEB ∠+∠=︒()18090DKE ABE AEB ∠=︒-∠+∠=︒DG BE⊥DG BE =DG BE⊥ABCD AEFG =90AB AD AE AG BAD EAG ===，，∠∠BAD EAD EAG EAD ∠-∠=∠-∠BAE DAG∠=∠ABE △ADG V =AB ADBAE DAGAE AG=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS V V ≌ABE ADGV V ≌90AEB AGD ∠=∠=︒90AEF ∠=︒,,B E F AEFG x 2DG BE x ==+Rt ADG V 222AD AG DG =+()22210=2x x ++22480x x +-=()1268x x ==-，舍∴；【小问3详解】如图，过点G 作，交延长线于点Q ，过点M 作∴∵点为的中点∴为的中位线∴∵，，正方形形∴，∵∴∴当点G 在直线AB 左侧时，∴当点G 在直线AB 右侧时，∴8614BF BE EF =+=+=GQ DA ⊥DA MP DA ⊥//MP GQ M DG MP DQG V 12DP DQ =10AB =6AG =ABCDcos 6cos AQ AG GAQ GAQ =⨯∠=⨯∠10DA CD AB ===0GAQ ∠≥0cos 1GAQ ≤∠≤06AQ ≤≤10DQ DA AQ AQ=-=-410DQ ≤≤10DQ DA AQ AQ=+=+1016DQ ≤≤综上，∴∵ ∴．25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点是第一象限的抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点作于点．①若，求点坐标；②过点作轴于点，交于点，连接，当的周长取得最大值时，抛物线上是否存在一点，使，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）①点D 的坐标为(2，3)；②存在，点P 的坐标为，，【小问1详解】解：把两点代入抛物线则，416DQ ≤≤28DP ≤≤152S CD DP DP =⨯=1040S ≤≤23y ax bx =++x ()3,0A ()1,0B -y C AC D D DE AC ⊥E DE CE =D D DH x ⊥H AC F 、DC DA DEF V P PAC ACD S S =△△P 2y x 2x 3=-++315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭()()3,01,0A B -，23y ax bx =++933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得．∴抛物线的解析式为；【小问2详解】解：①连接CD ，当x ＝0时，y ＝3，即OC ＝3，∵OC＝OA ＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠CAO＝45°．∵DE⊥AC，DE ＝CE ，∴△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE＝45°，∴∠DCE＝∠OAC＝45°，即CD∥OA．∴点C 和D 的纵坐标都等于3．把y ＝3代入抛物线解析式得，，解得（舍去），，∴点D 的坐标为（2，3）．12a b =-⎧⎨=⎩2y x 2x 3=-++2y x 2x 3=-++2233x x -++=10x =22x =②∵DF⊥x 轴，∴DH⊥OA，∵∠CAO＝45°，∴∠AFH＝45°，∵DE⊥AC，∠DFE＝∠AFH＝45°，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴则△DEF 的周长等于．∵，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3．设点D 的坐标为，，则．∴当时，DF 取得最大值，此时△DEF 的周长取得最大值．点D 的坐标为．∵，∴点P 和D 到直线AC 的距离相等．容易得知点P 和D 重合时符合题意，此时P 的坐标为．作直线l 和k 都和直线AC 平行，且到直线AC 的距离都相等，则直线l 的解析式为DE EF DF=)1DE EF DF DF ++=+()()3,00,3A C ，()2,23m m m -++(),3F m m -+()22239233324DF m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭32m =315,24⎛⎫⎪⎝⎭PAC ACD S S =△△315,24⎛⎫⎪⎝⎭，直线k 的解析式为．联立直线与抛物线得，解得，则点P 的坐标为，．综上所述：符合题意得点P 的坐标为，，．214y x=-+34y x =-+34y x =-+2y x 2x 3=-++23922x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12x x ==315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭。

天津市河北区2022年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案

天津市河北区2022年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案

天津市河北区2022年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一、选择题本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.答案：D答案解析：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2. 下列事件中，是必然事件的是（）A. 掷一枚硬币，正面朝上B. 购买一张彩票，一定中奖C. 任意画一个三角形，它的内角和等于180度D. 存在一个实数，它的平方是负数答案：C【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．根据定义即可解决．答案解析：A ．掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；B ．购买一张彩票，一定中奖是随机事件；C ．任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；D ．存在一个实数，它的平方是负数是不可能事件；故选：C ．3. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ）A. x 2+2x+1=0B. x 2+x+2=0C. x 2﹣1=0D. x 2﹣2x﹣1=0答案：B答案解析：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B ．4. 抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A. (3，4)B. (－3，4)C. (3，－4)D. (2，4)答案：A答案解析：根据 的顶点坐标为 ，易得抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐2()y a x h k =-+(,)h k标是（3，4）.故选A.5. 抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ）A. 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B. 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C. 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D. 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度答案：D答案解析：抛物线y=x 2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选D ．6. 如图，在Rt ABC 中，BAC ＝，将ABC 绕点A 顺时针旋转后得到A （点B 的对应点是点，点C 的对应点是点），连接C ．若C ＝，则B 的大小是（ ）A. 32°B. 64°C. 77°D. 87°答案：C 答案解析：根据旋转可得：，则，∆∠90 ∆90 ∆B C ''B 'C 'C '∠C 'B '32o ∠90AC AC CAC ='∠'=︒，45ACC AC C ∠'=∠'=︒则 ，则，则根据旋转图形的性质可得：．故选：C.7. 如图，⊙O 是∆ABC 的外接圆，半径为，若，则的度数为（）A. 30°B. 25°C. 15°D. 10°答案：A答案解析：连接OB 和OC ，∵圆O 半径为2，BC=2，∴△OBC 为等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°，故选A．453213B C A AC C CC B ''∠'=∠'-∠'=︒-︒=︒180180901377AB C B AC B C A ''''∠''=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒77B AB C ∠=∠''=︒2cm 2cm BC =A ∠8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( )A. B. C. D. 答案：C 答案解析：根据平行四边形的性质可知∠B=∠AOC，根据圆内接四边形的对角互补可知∠B+∠D=180°，根据圆周角定理可知∠D=0.5∠AOC，因此∠B+∠D=∠AOC+0.5∠AOC=180°，解得：∠AOC=120°，因此∠ADC=60°．故选：C ．9. 在等腰三角形ABC 中，AC=BC=2，D 是AB 边上一点，以AD 为直径的⊙O 恰好与BC 相切于点C ，则BD 的长为（ ）A. 1B.C. 2D.45︒50︒60︒75︒答案：B答案解析：如图，连接OC，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，∴∠COB＝2∠B，∵⊙O与BC相切于点C，∴∠OCB＝90°，∴∠COB+∠B＝2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝30°，BC，∴OB＝2OC故选：B．10. 已知二次函数y ＝a （x+1）（x﹣m）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x<-1时，y 随x 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）①当x ＞2时，y 随x 的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a ＜0；③若（﹣2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④若图象上两点（，y 1），（+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，则1＜m≤．A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①③④答案：D答案解析：①：∵二次函数y ＝a （x+1）（x﹣m）（a 为非零常数，1＜m ＜2），∴x 1＝﹣1，x 2＝m ，x 1＜x 2，又∵当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴a＜0，开口向下，∴当x ＞2＞x 2时，y 随x 的增大而减小，故①正确；②：∵二次函数y ＝a （x+1）（x﹣m）（a 为非零常数，1＜m ＜2），当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴a＜0，若图象经过点（0，1），则1＝a （0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m ＜2，141432∴﹣1＜a ＜﹣ ，故②错误；③：又∵对称轴为直线x ＝，1＜m ＜2，∴0＜＜ ，∴若（﹣2021，y 1），（2021，y 2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y 1＜y 2，故③正确；④若图象上两点（，y 1），（+n ，y 2）对一切正数n ，总有y 1＞y 2，1＜m ＜2，∴该函数与x 轴的两个交点为（﹣1，0），（m ，0），∴0＜≤，解得1＜m≤ ，故④正确；∴①③④正确；②错误．故选：D ．二、填空题本大题共8个小题，每小题3分，共24分．11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为__________．答案：答案解析：∵点与点关于原点对称，∴点的坐标为；故答案为：1212m-+12m-+12141412m-+1432()2,1A -B B ()2,1-()2,1A -B B ()2,1-()2,1-12. 大小、形状完全相同的5张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是______．答案：答案解析：背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这5个字，从中随机抽取一张，共有5种情况，“中”只有一种情况，随机抽取一张，背面恰好写着“中”字的概率是．故答案为：．13. 如图，设A(-2，y 1)、B(1，y 2)、C(2，y 3)是抛物线y=-(x+1)2+m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________(用“>”连接)．答案：y 1>y 2>y 3答案解析：由抛物线的解析式可知，其对称轴为x=-1∵点A 和点B 以及点C 的横坐标分别为-2,1，2∴点C 距离x=-1最远，点A 距离x=-1最近又∵抛物线的开口向下∴y 1＞y 2＞y 3，故答案为：y 1＞y 2＞y 3.15151514. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____．答案：2答案解析：扇形的弧长==2πr，∴圆锥的底面半径为r=2．故答案为2．15. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O 是这段弧的圆心，C 是上一点，．垂足为D ，，，则这段弯路的半径是______m ．答案：答案解析：设这段弯路的半径是rm ，，则OA=OC=rm ，，∵OC⊥AB， ∴， 在Rt△AOD 中，由勾股定理得：，解得：，则这段弯路的半径是100m ，故答案为100。

2022-2023学年天津市海河中学九年级上学期期末考试数学试卷含详解

2022-2023学年天津市海河中学九年级上学期期末考试数学试卷含详解

初三年级数学学科期末考试一、选择题（本大题共12小题，共36．0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.用配方法解方程2420x x ++=，下列配方正确的是（）A.()222x -= B.()222x += C.()222x -=- D.()226x -=3.已知O 的半径为2cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 和O 的位置关系为（）A.点P 在圆外B.点P 在圆上C.点P 在圆内D.不能确定4.如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥于点H ，若60AOC ∠=︒，2OH =，则弦AB 的长为（）A.4B.C. D.5.男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，设该小组有x 支球队，则可列方程为（）A.()16x x -= B.()16x x += C.()1162x x -= D.()1162x x +=6.若()14,A y -，()23,B y -，()31,C y 为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A.123y y y <<B.213y y y << C.312y y y << D.132y y y <<7.如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ．下列结论一定正确的是（） A.AC AD = B.AB EB ⊥ C.BC DE=D.A EBC∠=∠8.如图，边长为3的正六边形ABCDEF 内接于O ，则扇形OAB （图中阴影部分）的面积为（）A.πB.32π C.3π D.94π9.如图，AB 是O 的切线，B 为切点，AO 与O 交于点C ，若35BAO ∠=︒，则OCB ∠的度数为（）A .42.5︒B.55.5︒C.62.5︒D.75︒10.已知一个圆锥的底面半径是5cm ，侧面积是285cm π，则圆锥的母线长是（）A.6.5cmB.13cmC.17cmD.26cm11.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为5，125B ∠=︒，则AOC ∠的度数（）A.60︒B.70︒C.90︒D.110︒12.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc <；②20a b +=；③320b c -<；④2am bm a b +≥+（m 为实数）．其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，共18．0分）13.点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为____．14.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．15.将抛物线22y x =-向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是________．16.已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是___．17.如图，O 是ABC 的内切圆，若58A ∠=︒，则BOC ∠=________．18.如图，在Rt OAB V 中，90,8,10AOB OA AB ∠=︒==，O 的半径为4，点P 是AB上的一动点，过点P 作O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则PQ 的最小值为________．三、计算题（本大题共2小题，共12．0分）19.解下列方程：（1）2230x x --=（2）2(3)7(3)x x x -=-20.如图，已知：AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 是O 的切线，AD CD ⊥于点D ，E 是AB 延长线上的一点，CE 交O 于点F ，连接OC ，AC ，若105DAO ∠=︒，30E ∠=︒．（1）求OCE ∠的度数；（2）若O 的半径为，求线段EF 的长．四、解答题（本大题共5小题，共40．0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.2021年10月16日，神舟十三号载人飞船成功发射，这是中国空间站关键技术验证阶段第六次飞行，也是该阶段最后一次飞行任务．为了让同学们了解更多的航天知识，某校举办航天知识讲座，需要两名引导员，学校决定从A 、B 、C 、D 四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则如下：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“选中A 志愿者”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；（2）求同时选中A 、B 两名志愿者的概率．22.已知AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接BC ，过点O 作OD BC ⊥于D ，交 BC于点E ，连接AE ，交BC 于F ．（1）如图1，求证：2BAC E ∠∠＝．（2）如图2，连接OF ，若1OF AB DF ⊥，＝，求AE 的长．23.如图，D ，E ，F 是Rt ABC △三边上的点，且四边形CDEF 为矩形，6BC =，30A ∠=︒．（1）求AB 的长；（2）设AE x =，则DE =________，EF =________（用含x 的表达式表示）；（3）求矩形CDEF 的面积的最大值．24.在平面直角坐标系中，点()4,0A ，点()0,4B 分别是坐标轴上的点，连接AB ．把ABO 绕点B 逆时针旋转得A BO ''△．点A ，O 旋转后的对应点为A '，O '．记旋转角为α．（1）如图①，当点O '落在AB 边上时，求α的值和点O '的坐标；（2）如图②，当60α=︒时，求AA '的长和点O '的坐标；（3）连接AO '，直接写出在旋转过程中AO A ''△面积的最大值．25.已知点A (2，－3)是二次函数2(21)2y x m x m =+--图象上的点．（1）求二次函数图象的顶点坐标：（2）当14x -≤≤时，求函数的最大值与最小值的差：（3）当3t x t +≤≤时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t 的值．初三年级数学学科期末考试一、选择题（本大题共12小题，共36．0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A. B.C. D.D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A 、不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．2.用配方法解方程2420x x ++=，下列配方正确的是（）A.()222x -= B.()222x += C.()222x -=- D.()226x -=B【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【详解】解：2420x x ++=，242x x +=-，24424x x ++=-+，()222x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．3.已知O 的半径为2cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 和O 的位置关系为（）A.点P 在圆外B.点P 在圆上C.点P 在圆内D.不能确定A【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【详解】解：∵⊙O 的半径为2cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，即3cm OP =，∴点P 在O 外，故选：A ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：若点P 在圆外，则d r >；若点P 在圆上，则d r =；若点P 在圆内，则d r <，反之也成立．4.如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥于点H ，若60AOC ∠=︒，2OH =，则弦AB 的长为（）A.4B.C. D.D【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得AH ==AH BH =，即可得出答案．【详解】解：∵OC AB ⊥，∴AH BH =，∵60AOC ∠=︒，2OH =，∴30OAH =︒∠，∴4OA =，∴AH ===，∴2AB AH ==，故选：D ．【点睛】本题考查了根据垂径定理求值，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，难度不大．5.男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，设该小组有x 支球队，则可列方程为（）A.()16x x -=B.()16x x += C.()1162x x -= D.()1162x x +=C【分析】设该小组有x 支球队，则每个队参加(1)x -场比赛，则共有1(1)2x x -场比赛，从而可以列出一个一元二次方程．【详解】解：设该小组有x 支球队，则共有1(1)2x x -场比赛，由题意得：1(1)62x x -=，故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，关要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有n 支球队参加，那么就有1(1)2n n -场比赛，此类虽然不难求出x 的值，但要注意舍去不合题意的解．6.若()14,A y -，()23,B y -，()31,C y 为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A.123y y y <<B.213y y y << C.312y y y << D.132y y y <<B【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．【详解】解：把()14,A y -，()23,B y -，()31,C y 分别代入245y x x =+-得，1164(4)55y =+⨯--=-；294(3)58y =+⨯--=-；314150y =+⨯-=；则1y ，2y ，3y 的大小关系是213y y y <<，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．7.如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ．下列结论一定正确的是（）A.AC AD= B.AB EB ⊥ C.BC DE = D.A EBC∠=∠D【分析】利用旋转的性质得AC=CD ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，所以选项A 、C 不一定正确再根据等腰三角形的性质即可得出A EBC ∠=∠，所以选项D 正确；再根据∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=0180-∠ACB 判断选项B 不一定正确即可．【详解】解：∵ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，∴AC=CD ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，∴∠A=∠CDA=180ACD 2∠︒-；∠EBC=∠BEC=180BCE2∠︒-，∴选项A 、C 不一定正确，∴∠A =∠EBC ，∴选项D 正确．∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=0180-∠ACB 不一定等于090，∴选项B 不一定正确；故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．8.如图，边长为3的正六边形ABCDEF 内接于O ，则扇形OAB （图中阴影部分）的面积为（）A.πB.32π C.3π D.94πB【分析】根据已知条件可得出AOB 60∠=︒，圆的半径为3，再根据扇形的面积公式2S 360r απ=（α为圆心角的度数）求解即可.【详解】解： 正六边形ABCDEF 内接于O ，60AOB ∴∠︒＝，OA OB ＝，AOB ∴ 是等边三角形，OA OB AB ∴＝＝＝3，∴扇形AOB 的面积260333602ππ⨯==，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点求扇形的面积，熟记面积公式并通过题目找出圆心角的度数与圆的半径是解题的关键9.如图，AB 是O 的切线，B 为切点，AO 与O 交于点C ，若35BAO ∠=︒，则OCB ∠的度数为（）A.42.5︒B.55.5︒C.62.5︒D.75︒C【分析】首先根据切线的性质，可得90OAB ∠=︒，即可求得O ∠的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得OCB ∠的度数．【详解】解：AB 是O 的切线，B 为切点，90OBA ∴∠=︒，35BAO ∠=︒ ，90903555O BAO ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，OB OC = ，()()111801805562.522OBC OCB O ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等边对等角及三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解决问题的关键．10.已知一个圆锥的底面半径是5cm ，侧面积是285cm π，则圆锥的母线长是（）A.6.5cmB.13cmC.17cmD.26cmC【分析】根据圆锥侧面积公式S rl π=，其中r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线长，将数据直接代入求出即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径是5cm ，侧面积为285cm π，圆锥侧面积公式S rl π=，∴585l ππ=，解得：()17cm l =，故选：C ．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面积公式的有关计算，解决问题的关键是正确记忆圆锥的侧面积公式，以及各字母所代表的意义．11.如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，O 的半径为5，125B ∠=︒，则AOC ∠的度数（）A.60︒B.70︒C.90︒D.110︒D【分析】连接OA 、OC ，根据“圆内接四边形对角互补”可求得D ∠的度数，根据圆周角定理即可求得AOC ∠．【详解】解：连接OA 、OC ，∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，125B ∠=︒，∴18012555D ∠=︒-︒=︒，∴2110AOC D ∠=∠=︒，故选D【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟练的掌握“圆的内接四边形的对角互补”及圆周角定理是关键．12.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc <；②20a b +=；③320b c -<；④2am bm a b +≥+（m 为实数）．其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个C【分析】由抛物线的对称轴的位置判断a b ，的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定20a b +=；当=1x -时，y a b c =-+；然后由图象顶点坐标得出2am bm a b +≥+．【详解】解：①∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴0ab <，∵0c <，∴0abc >，故①错误；②∵对称轴12bx a=-=，∴20a b +=；故②正确；③∵20a b +=，∴12a b =-，∵当=1x -时，0y a b c =-+>，∴102b bc --+>，∴320b c -<，故③正确；④根据图象知，当1x =时，y 有最小值；当m 为实数时，有2am bm c a b c ++≥++所以2am bm a b +≥+（m 为实数）．故④正确．本题正确的结论有：②③④，3个；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当0a >时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab >），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0ab <），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于()0,c ．二、填空题（本大题共6小题，共18．0分）13.点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为____．（1，-2）【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横坐标、纵坐标都互为相反数，进而得出答案．【详解】解：点P （﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，-2）．故答案为：（1，-2）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．14.不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．37【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是37，故答案为37．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n ．15.将抛物线22y x =-向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是________．()211y x =++【分析】根据二次函数“左加右减、上加下减”的平移规律即可得答案．【详解】解：∵将抛物线22y x =-向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，∴平移后的抛物线解析式是()22(1)2311y x x =+-+=++，故答案为：()211y x =++．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：“左加右减，上加下减”，并用规律求函数解析式．16.已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是___．13a >-且0a ≠【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程2230ax x +-=（a≠0）的根的判别式是240b ac -＞即可进行解答【详解】由关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根得2Δ44430b ac a =-=+⨯>，解得13a >-则13a >-且0a ≠故答案为13a >-且0a ≠【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程2230ax x +-=（a ≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根．17.如图，O 是ABC 的内切圆，若58A ∠=︒，则BOC ∠=________．119︒##119度【分析】根据O 是ABC 的内切圆，得出12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，进而得出122ABC ACB ∠+∠=︒，即可得出答案．【详解】解：∵O 是ABC 的内切圆，∴12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，∵58A ∠=︒，∴180122ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴()()11801802BOC OBC OCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠11801221192=︒-⨯︒=︒故答案为：119︒．【点睛】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．18.如图，在Rt OAB V 中，90,8,10AOB OA AB ∠=︒==，O 的半径为4，点P 是AB 上的一动点，过点P 作O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则PQ 的最小值为________．5连接OP ，OQ ，由PQ 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OQ 与PQ 垂直，利用勾股定理列出关系式，由OP 最小时，PQ 最短，根据垂线段最短得到OP 垂直于AB 时最短，利用面积法求出此时OP 的值，再利用勾股定理即可求出PQ 的最小值．【详解】解：连接OP ，OQ ，∵PQ 与圆O 相切，∴∠PQO =90°，∵OQ 不变，∴当OP 最小时，PQ 最小，此时OP 与AB 垂直，∵OA =8，AB =10，∴OB =6，∴OP =OA OB AB⨯=245，∴PQ 4115，故答案为：5．【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．三、计算题（本大题共2小题，共12．0分）19.解下列方程：（1）2230x x --=（2）2(3)7(3)x x x -=-（1）123,1x x ==-（2）172x =-，23x =【分析】（1）先求解24160,b ac =-= ＞再利用求根公式解方程即可；（2）把原方程化为()()23730,x x x -+-=再利用因式分解的方法解方程即可．【小问1详解】1,2,3a b c ==-=- 解：则24160,b ac =-= ＞4216,22b x a -±±∴==123,1x x ∴==-【小问2详解】解：()()23730x x x ---=，∴()()23730,x x x -+-=∴()()2730x x +-=解得172x =-，23x =【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用公式法与因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．20.如图，已知：AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 是O 的切线，AD CD ⊥于点D ，E 是AB 延长线上的一点，CE 交O 于点F ，连接OC ，AC ，若105DAO ∠=︒，30E ∠=︒．（1）求OCE ∠的度数；（2）若O 的半径为，求线段EF 的长．（1）45︒（2）2【分析】（1）根据切线的性质得出OC CD ⊥，从而得出AD OC ∥，由平行线的性质可得：105EOC DAO ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理即可得出答案；（2）作OG CE ⊥于点G ，根据垂径定理可得FG CG =，根据30度角直角三角形即可求出GE =，进而可得EF 的长．【小问1详解】证明：∵CD 是O 的切线，∴OC CD ⊥，∵AD CD ⊥，∴AD OC ∥，∵105DAO ∠=︒，∴105EOC DAO ∠=∠=︒，∵30E ∠=︒，∴1801053045OCE ∠=︒-︒-︒=︒；【小问2详解】解：如图，作OG CE ⊥于点G ，根据垂径定理，得FG CG =，∵OC =，45OCE ∠=︒．∴2CG OG ==，∴2FG =，在R t OGE △中，∵30E ∠=︒，∴4OE =，∴GE =，∴2EF GE FG =-=-．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是综合掌握以上知识．四、解答题（本大题共5小题，共40．0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.2021年10月16日，神舟十三号载人飞船成功发射，这是中国空间站关键技术验证阶段第六次飞行，也是该阶段最后一次飞行任务．为了让同学们了解更多的航天知识，某校举办航天知识讲座，需要两名引导员，学校决定从A 、B 、C 、D 四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则如下：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．（1）“选中A 志愿者”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；（2）求同时选中A 、B 两名志愿者的概率．（1）随机；（2）16．【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A ，B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解： 卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，∴“A 志愿者被选中”是随机事件，故答案为：随机；【小问2详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A 、B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，∴P （A 、B 两名志愿者同时被选中）21126=．【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意区分题目是放回试验还是不放回试验是解题的关键．22.已知AB 是O 的直径，C 为O 上一点，连接BC ，过点O 作OD BC ⊥于D ，交 BC于点E ，连接AE ，交BC 于F ．（1）如图1，求证：2BAC E ∠∠＝．（2）如图2，连接OF ，若1OF AB DF ⊥，＝，求AE 的长．（1）见解析（2）6【分析】（1）先证OE AC ∥，推出CAF AEO ∠=∠，由OA OE =推出OAE E ∠=∠即可证明结论；（2）先证30B EAO E ∠=∠=∠=︒，求出EF AF 、，最后根据AE AF EF =+求解即可．【小问1详解】证明：如图1∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∵OE BC ⊥，∴90ODB ACB ∠=∠=︒，∴OE AC ∥，∴CAF AEO ∠=∠，∵OA OE =，∴AEO OAE ∠=∠，∴2BAC E ∠=∠．【小问2详解】解：如图2：∵OF AB OA OB ⊥=，，∴FA FB=∴FAB FBA ∠=∠，∵CAF EAB ∠=∠，∴2CAB ABC∠=∠∵90ACB ∠=︒∴90CAB B ∠+∠=︒，∴30B EAO E ∠=∠=∠=︒，∴120AOE ∠=︒∴30FOE E ∠=∠=︒∴FO EF =，∵FD OE ⊥，∴2224EF OF DF AF OF =====，，∴426AE AF EF =+=+=．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形等知识，灵活运用特殊三角形的性质是解答本题的挂机．23.如图，D ，E ，F 是Rt ABC △三边上的点，且四边形CDEF 为矩形，6BC =，30A ∠=︒．（1）求AB 的长；（2）设AE x =，则DE =________，EF =________（用含x 的表达式表示）；（3）求矩形CDEF 的面积的最大值．（1）12（2）12x ，2x（3）【分析】(1)直接利用直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可；(2)根据矩形的性质得到90ADE ∠=︒，EF DC =，然后利用勾股定理进行求解即可；(3)利用矩形的面积公式列出式子，再进行配方求解即可【小问1详解】解： 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6BC =，30A ∠=︒，22612AB BC ∴==⨯=；【小问2详解】解： 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6BC =，12AB =，AC ∴=，四边形CDEF 为矩形，90ADE ∴∠=︒，EF DC =，30A ∠=︒ ，1122DE AE x ∴==，2AD x ∴===，2EF DC AC AD ∴==-=，故答案为：12x ，2x -；【小问3详解】解： 四边形CDEF 为矩形，12DE x =，32EF x =，CDEF S DE EF ∴=⋅矩形1322x x ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭24x =-+()21236364x x =--+-()2364x =--+∴当6x =时，矩形CDEF 的面积最大，最大值为．【点睛】本题主要考查的是列代数式，二次函数的最值，矩形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理的有关知识，正确列出代数式是解决本题的关键．24.在平面直角坐标系中，点()4,0A ，点()0,4B 分别是坐标轴上的点，连接AB ．把ABO 绕点B 逆时针旋转得A BO ''△．点A ，O 旋转后的对应点为A '，O '．记旋转角为α．（1）如图①，当点O '落在AB 边上时，求α的值和点O '的坐标；（2）如图②，当60α=︒时，求AA '的长和点O '的坐标；（3）连接AO '，直接写出在旋转过程中AO A ''△面积的最大值．（1）45α=︒，(-；（2）()2O '，AA '=；（3）面积最大时，8AA O S ''=+ 【分析】（1）先判断ABO 是等腰直角三角形，当点O '落在边AB 上时，45α=︒，如图，过O '作O K OB '⊥于K ，则BO K ' 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得点O '的横坐标，纵坐标；（2）根据勾股定理求出AB ，如图，过点O '作O H OB '⊥于点H ，再利用含30︒的直角三角形的性质与勾股定理，可得点A '的坐标；再说明ABA '△为等边三角形，可得AA '的长；（3）先判断AO A ''△面积的最大值时，A BO ''△的位置，再求出面积即可．【小问1详解】解：∵点()4,0A ，点()0,4B ，∴4OA OB ==，ABO 是等腰直角三角形，∴AB ==45ABO ∠=︒．当点O '落在边AB 上时，45α=︒，如图，过O '作O K OB '⊥于K ，则BO K ' 是等腰直角三角形，∴BK O K '=，而4O B OB '==，∴28O K '=，则O K BK '==∴4OK =-，∴点O '的坐标是(-．【小问2详解】如图，过点O '作O H OB '⊥于点H ，在Rt O BH ' 中，∵4O B '=，60OBO '∠=︒，∴30HO B '∠=︒，∴122BH O B '==，O H '==∴422OH =-=，∴()2O '；当60α=︒时，∴60ABA '∠=︒，而AB A B '=，∴ABA '△为等边三角形，∴AA A B AB ''===【小问3详解】如图，以A O ''为底，当高最大时，A O A '' 的面积最大，即当A O B '' 旋转到如图所示的位置时，高最大．则4AO AB BO ''=+=，∴此时(1144822AA O S A O AO '''''==⨯+=+【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，坐标与图形，二次根式的化简，勾股定理等，判断A O B '' 的位置是求A O A '' 的面积最大的关键．25.已知点A (2，－3)是二次函数2(21)2y x m x m =+--图象上的点．（1）求二次函数图象的顶点坐标：（2）当14x -≤≤时，求函数的最大值与最小值的差：（3）当3t x t +≤≤时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t 的值．（1）(3，－4)（2）当－1≤x ≤4时，函数的最大值与最小值的差为16（3）t ＝1或2【分析】（1）把点A 代入解析式中，解得52m =-，再利用配方法化成顶点式解析式即可解得顶点坐标；（2）分别解得当－1≤x ≤4时，函数的最大值与最小值，再求差；（3）当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而减小；②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内；③当t >3时，y 随着x 的增大而增大，分别解得函数对应的最大值，再由函数的最大值与最小值的差为4，列方程，解方程即可解答．【小问1详解】解：∵已知A (2，-3)是二次函数()2212y x m x m =+--图象上的点∴44223m m +--=-解得52m =-∴此二次函数的解析式为：2265(3)4y x x x =-+=--∴顶点坐标为（3，－4）；【小问2详解】∵顶点坐标为（3，－4），∴当x ＝3时，y 最小值＝－4，当x ＝－1时，y 最大值＝12∴当－1≤x ≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；【小问3详解】当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而减小，当x ＝t 时，y 最大值＝t 2-6t +5当x ＝t +3时，y 最小值＝（t +3）2-6（t +3）+5＝t 2-4，t 2-6t +5-（t 2-4）=4﹣t 2+4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝﹣6t +9=4，解得56t =（不合题意，舍去），②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴y 最小值＝－4，i）当0≤t≤32时，在x＝t时，y最大值＝t2-6t+5，∴t2-6t+5－（－4）=4，解得t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去）；ii）当32＜t＜3时，在x＝t+3时，y最大值＝t2－4，∴t2－4－（－4）=4，∴解得t1＝2，t2＝－2（不合题意，舍去），③当t>3时，y随着x的增大而增大，当x＝t时，y最小值=t2-6t+5，当x＝t+3时，y最大值＝t2-4，∴t2-4-（t2-6t+5）=4解得136t （不合题意，舍去），综上所述，t＝1或2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、将一般式解析式转化为顶点式解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．。

天津市2020-2021学年人教版九年级期末数学上册试卷 含解析

天津市2020-2021学年人教版九年级期末数学上册试卷 含解析

九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．109．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm211．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 718．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，即OP＝6，∴点P在⊙O上．故选：B．2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不中心对称图形，故本选项不合题意；D、不中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π【分析】根据弧长公式l＝，计算即可．【解答】解：弧长＝＝，故选：D．4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列表法展示所以36种等可能的结果数，找出向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，然后根据概率公式进行计算．【解答】解：列表如下：共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．故选：D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，∴＝，即＝，解得，DE＝，故选：B．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD＝20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC＝OA，即可求得∠ACO的度数【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C为的中点，∴OC⊥AD，∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝＝＝55°，故选：C．7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．10【分析】直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则把y＝﹣4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＝0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x2+2x+k＝﹣4x+1，即x2+6x+（k﹣1）＝0，则△＝36﹣4（k﹣1）＝0，解得：k＝10．故选：D．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意；故选：A．10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm2【分析】作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH＝PG+PQ+QH ＝9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示：∵△GHM是等边三角形，∴∠MGH＝∠GHM＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠ABC＝120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形，∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形，∴AG＝BH＝3cm，∠MGH＝∠GHM＝60°，∠AGH＝∠FGM＝60°，∴∠BAF+∠AGH＝180°，∴AB∥GH，∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，∴PQ＝AB＝6cm，∠PAG＝90°﹣60°＝30°，∴PG＝AG＝cm，同理：QH＝cm，∴GH＝PG+PQ+QH＝9cm，∴△GHM的面积＝GH2＝cm2；故选：A．11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝α，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∴∠B＝＝90°﹣，故选：C．12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．【解答】解：当0≤t≤2时，S＝＝，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2＜t≤4时，S＝﹣＝，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【解答】解：∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是，故答案为．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件AC2＝DC•BC（答案不唯一）．【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD＝∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠B或∠ADC＝∠BAC；②AC2＝DC•BC；故答案为：AC2＝DC•BC（答案不唯一）．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为4．【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为，可求出AB的长，则DB的长可求出．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴＝，∴＝，∵AD＝4，∴AB＝4．∴DB＝AB﹣AD＝4﹣4．故答案为：4﹣4．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为20cm．【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA＝CE，DE＝DB，然后三角形周长的定义得到△PDC 的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝PA＝10cm，∵CA与CE为⊙的切线，∴CA＝CE，同理得到DE＝DB，∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC∴△PDC的周长＝PA+PB＝20cm，故答案为20cm．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为﹣1 ．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．【解答】解：根据图表可以得到，点（﹣2，7）与（4，7）是对称点，点（﹣1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x＝1，∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点，∴m＝﹣1．18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为﹣1 ．【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣7x﹣30＝0，（x﹣10）（x+3）＝0，x﹣10＝0，x+3＝0，x1＝10，x2＝﹣3．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：（1）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，所有两次摸出的小球标号相同的概率为＝；（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，所以其概率为．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案；（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：（1）连接OD，∵OA为半径的圆与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ADO＝25°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；（2）连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，∴∠AFO＝∠FOD，∵OA＝OF，点F为的中点，∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵OA＝OD＝2，∴OB＝2OD＝4，∴AB＝OA+OB＝6．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，可得，由此即可解决问题；（Ⅱ）由PB∥DC，可得，可得PA的长．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∴，又∵BF＝15，∴，∴；（Ⅱ）解：能．∵四边形ABCD是平行四边形，∴PB∥DC，AB＝DC＝8，∴，∴，∴PA＝．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；（2）设AB＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：x（100﹣2x）＝450解得：x1＝5，x2＝45当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10＜20答：AD的长为10m；（2）设AB＝xm，则S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）∴x＝50时，S的最大值是1250．答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由图形得∠BAE＝∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA＝∠BAD+45°，可得∠BAE＝∠CDA，根据∠B＝∠C＝45°，证明两个三角形相似；（2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；（2）解：成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，则CE＝BH，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，，∴△EAD≌△HAD（SAS）．∴DH＝DE．又∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°，∴BD2+BH2＝HD2，即BD2+CE2＝DE2．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x 轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴＝，∴．∴PE+PA的最小值是3．。

天津市第二耀华中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

天津市第二耀华中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷(含答案解析)

天津市第二耀华中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（）A ．47B ．37C ．27D ．173．如图，点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A ′B ′C ′，点P 在A ′C ′上的对应点P ′的的坐标为（）A ．（4，3）B ．（3，4）C ．（5，3）D ．（4，4）4．已知O 的半径为2cm ，点P 到圆心O 的距离为4cm ，则点P 和O 的位置关系为（）A ．点P 在圆内B ．点P 在圆上C ．点P 在圆外D ．不能确定5．如图，在ABCD Y 中，F 是BC 边上一点，延长DF 交AB 的延长线于点E ，若3AB BE ＝，则:BF CF 等于（）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．2:56．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是()A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x +=7．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点H ，若∠AOC ＝60°，OH ＝1，则弦AB 的长为()A ．BC ．2D ．48．如图，边长为3的正六边形ABCDEF 内接于O ，则扇形OAB （图中阴影部分）的面积为（）A ．πB ．32πC ．3πD ．94π9．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ，若∠BAO=40°，则∠OCB 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．65°D ．75°10．抛物线()221y x c =-+过()12,y -，()20,y ，35,3y ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点，则1y ，2y ，3y 大小关系是（）A ．231y y y >>B ．123y y y >>C ．213y y y >>D ．132y y y >>11．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．48（1﹣x ）2=36B ．48（1+x ）2=36C ．36（1﹣x ）2=48D ．36（1+x ）2=4812．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-和()0m ,，下列结论：（1）0abc <；（2）42a c b +<；（3）b a am =-；（4）11b c m=-.其中正确的是（）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题13．点()1,2-关于原点的对称点的坐标为______．14．已知抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线1x =，请写出一个满足条件的抛物线的解析式______.15．圆锥的母线长为2cm ，底面圆的半径长为1cm ，则该圆锥的侧面积为___________2cm ．16．如图，O 是ABC 的内切圆，若50A ∠=︒，则BOC ∠=______.17．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，2BC =，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转90°得到DEC ，F 是DE 中点，连接AF ，则AF 的长为______．三、解答题18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点A ，B 均在格点上，顶点C 在网格线上，20BAC =︒∠.(1)线段AB 的长等于(2)P 是如图所示的ABC 的外接圆上的动点，当70PCB ∠=︒时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）.19．已知关于x 的方程220x mx m +-=-．(1)当该方程的一个根为1-时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．20．如图ABC 中，36A ∠=︒，AB AC =，BD 是ABC ∠的平分线.求证：2BC CD AC =⋅.21．已知直线l 与⊙O 相切于点C ，，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥l 于点D ．（1）如图①，当直线l 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC =30°，求∠BAC 的大小；（2）如图②，当直线l 与⊙O 相交于点E 、F 时，若∠DAE =18°，求∠BAF 的大小．22．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，连结CO ，过点B 作//BD OC 交O 于点D ，延长AB ，CD 交于点E ．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若4BE =，8DE =，求CD 的长．23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x （元/千克）55606570销售量y （千克）70605040（1）求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？24．如图，PBD △和PAC △都是直角三角形，90DBP CAP ∠=∠=︒．(1)如图1，PA ，PB 与直线MN 重合，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，求DPC ∠的度数；(2)如图2，若45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，PBD △保持不动，PAC △绕点P 逆时针旋转一周．在旋转过程中，当PC BD ∥时，求APN ∠的度数；(3)如图3，()90180BPA a α∠=︒<<︒，点E 、F 分别是线段BD 、AC 上一动点，当PEF!周长最小时，直接写出EPF ∠的度数（用含α的代数式表示）．25．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ，垂足为点N ．设M 点的坐标为(,0)M m ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．B【分析】中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着一个定点旋转180︒后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此定义即可判断．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选B．【点睛】此题考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．2．C【分析】利用红球的个数除以球的总个数解答即可．【详解】解：从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率=2 7．故选：C．【点睛】本题考查了简单事件的概率，属于基础题型，熟知计算的方法是解题关键．3．A【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案．【详解】∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的12，得到△A′B′C′，∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选A．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．4．C【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【详解】∵⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，即4cmOP=，∴点P在O外，故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种，设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：点P 在圆外⇔d r >；点P 在圆上⇔d r =；点P 在圆内⇔d r <．5．B【分析】根据平行四边形的性质可得出AB=CD ，AB CD ，得出DCF EBF ∽，再利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，即BE BFCD CF=，从而可得解.【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，,//AB CD AB CD ∴＝，DCF EBF ∴ ∽，BE BFCD CF∴=，且3AB CD BE ＝＝，:1:3BF CF ∴＝，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点有平行四边形的性质，相似三角形的性质，综合运用各知识点能够更好的解决问题.6．D【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x ++=，289x x +=-，2228494x x ++=-+，所以()247x +=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.7．A【分析】在Rt △AOH 中，由∠AOC ＝60°，解直角三角形求得AH解答即可.【详解】解：∵OC ⊥AB 于H ，∴AH ＝BH ，在Rt △AOH 中，∠AOC ＝60°，OH ＝1，∴AH∴AB ＝2AH ＝故选A.【点睛】本题考查了垂径定理以及解直角三角形，难度不大，掌握相关性质定理是解题关键．8．B【分析】根据已知条件可得出AOB 60∠=︒，圆的半径为3，再根据扇形的面积公式2S 360r απ=（α为圆心角的度数）求解即可.【详解】解： 正六边形ABCDEF 内接于O ，60AOB ∴∠︒＝，OA OB ＝，AOB ∴ 是等边三角形，OA OB AB ∴＝＝＝3，∴扇形AOB 的面积260333602ππ⨯==，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点求扇形的面积，熟记面积公式并通过题目找出圆心角的度数与圆的半径是解题的关键9．C【详解】∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥OA ，即∠OBA=90°．∵∠BAO=40°，∴∠BOA=50°．∵OB=OC ，∴∠OCB=()()11180BOA 180506522︒︒︒-∠=-=︒．故选C ．10．B【分析】根据二次函数解析式判断出二次函数图像的开口方向和对称轴，根据二次函数的性质即可判断出1y ，2y ，3y 的大小关系．【详解】解：抛物线()221y x c =-+的图像开口向上，对称轴是直线1x =，∴当1x <时，y随x 的增大而减小，点35,3y ⎛⎫⎪⎝⎭关于1x =的对称点为2,3y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴123y y y >>．故选B【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．11．D【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x ，然后根据已知条件可得出方程．【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x ，∴二月份的营业额为36（1+x ），三月份的营业额为36（1+x ）×（1+x ）=36（1+x ）2.∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x ）2=48.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律.12．D【分析】根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，0a <，0b >，0c >，∴0abc <，故①正确，符合题意；当2x =-时，420y a b c =-+<，则4a +c ＜2b ，故②正确，符合题意；122b ma -+-=，得b a am =-，故③正确，符合题意；∵该函数图象过点()1,0-，∴0a b c -+=，∴a =b -c,∵()1b a am a m =-=-，∴()()1b b c m =--，整理，得：11b c m=-．故④正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．13．()1,2-【分析】根据对称点的坐标规律作答即可．【详解】点()1,2-关于原点的对称点的坐标为()1,2-，故答案为()1,2-．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．221y x x =-+（答案不唯一）【分析】已知对称轴1x =，设顶点坐标为()1,0，又开口向上，设1a =，根据顶点式写出二次函数解析式，随着设的数不同，解析式也不同，本题答案不唯一．【详解】解：根据题意设顶点坐标为()1,0，二次项系数1a =，由顶点式，得()22121y x x x =-=-+．故答案为：221y x x =-+（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根据题意确定二次函数解析式的方法，需要熟练掌握．15．2π【分析】利用圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：依题意知母线长=2，底面半径r =1，则由圆锥的侧面积公式得S =πrl =π×1×2=2π．故答案为：2π．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．16．115︒【分析】先由三角形内角和定理求出ABC ACB ∠+∠的度数，再由O 是ABC 的内接圆得到12BCO ACB ∠=∠，12CBO ABC ∠=∠，最后根据三角形内角和定理即可求出BOC ∠．【详解】解：∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，50A ∠=︒，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∵O 是ABC 的内切圆，∴ABO CBO ∠=∠，ACO BCO ∠=∠，∴12BCO ACB ∠=∠，12CBO ABC ∠=∠，∴180BOC CBO BCO∠=︒-∠-∠1118022ACB ABC =︒-∠-∠()11802ACB ABC =︒-∠+∠11801302=︒-⨯︒115=︒，故答案为：115︒【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，由三角形的内切圆与内心及三角形内角和定理求出CBO BCO ∠+∠的度数是解决问题的关键．17．52【分析】作FH AC ⊥于H ，如图，利用旋转的性质得2CE BC ==，3CD CA ==，90ECD ACB ∠=∠=︒，再证明FH 为ECD 的中位线，1CH EH ==，1322FH CD ==，然后根据勾股定理计算AF 的长．【详解】解：作FH AC ⊥于H ，如图，∵ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到DEC ，∴2CE BC ==，3CD CA ==，90ECD ACB ∠=∠=︒，∴1AE AC CE =-=，∵点F 是DE 的中点，∴FH 为ECD 的中位线，∴1CH EH ==，1322FH CD ==112AH AE EH =+=+=，在Rt AFH △中，52AF ===.故答案为：52．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心得距离相等；对应点与旋转中心所连线段得夹角等于旋转角；旋转前、后得图形全等．18．(2)见解析【分析】（1）利用勾股定理计算AB 的长；（2）过A 点格线交圆于D 点、E 点，连接DE ，由于=90DAE ∠︒，则DE 为直径，连接格点H 、F ，HF 垂直平分AB ，所以HF 与DE 的交点O 为圆心，连接CO 交圆于P ，连接PB ，由于CP 为直径，根据圆周角定理得到90PBC ∠=︒，20BPC BAC ==︒∠∠，所以70PCB ∠=︒，于是可判断点P 满足条件．【详解】（1）AB =（2）如图，点P 为所作;作图过程为：过A 点格线交圆于D 点、E 点，连接DE ，连接格点H 、F ，HF 交DE 于点O ，连接CO 交圆于P ，连接PB ，则70PCB ∠=︒.【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形外接圆和圆周角定理．19．(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =-代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =-代入方程220x mx m +-=-得120m m ++-=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得213022x x --=∴1x =-或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +-=-，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=---=-+∵()220m -≥∴()2240m ∆=-+>∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键．20．证明见解析【分析】利用等腰三角形得性质和相似三角形得判定与性质解答即可．【详解】证明：∵36A ∠=︒，AB AC =，∴18036722ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，∵BD 是ABC ∠的平分线，∴1362DBC ABD ABC ∠==∠=︒∠，∴36ABD A ∠=∠=︒，∴AD BD =.∵36DBC ∠=︒，72ACB ∠=︒，∴18072BDC DBC C =︒--=︒∠∠∠，∴72BDC C ∠=∠=︒，∴BC BD =，∴AD BC =.∴DBC A ∠=∠，∵C C ∠=∠，∴DBC BAC △∽△，∴BC AC DC BC=，∴2BC CD AC =⋅．【点睛】本题考查了等腰三角形得判定与性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形得判定与性质是解决问题的关键．21．（1）30°；（2）18°【分析】试题分析：（1）如图①，首先连接OC ，根据当直线l 与⊙O 相切于点C ，AD ⊥l 于点D ．易证得OC ∥AD ，继而可求得∠BAC =∠DAC =30°．（2）如图②，连接BF ，由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB =90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF 的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B 的度数，继而求得答案．【详解】解：（1）如图①，连接OC ，∵直线l 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥l ．∵AD ⊥l ，∴OC ∥AD ．∴∠OCA =∠DAC ．∵OA =OC ，∴∠BAC =∠OCA ．∴∠BAC =∠DAC =30°．（2）如图②，连接BF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB =90°．∴∠BAF =90°－∠B ．∴∠AEF =∠ADE +∠DAE =90°+18°=108°．在⊙O 中，四边形ABFE 是圆的内接四边形，∴∠AEF +∠B =180°．∴∠B =180°－108°=72°．∴∠BAF =90°－∠B =180°－72°=18°．22．（1）见解析；（2）CD=12．【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质可得到∠OAC =90°，通过分析证明△CDO ≌△CAO ，可得OD ⊥CE ，即可得到结果；（2）在Rt △ODE 中，根据勾股定理可得圆的半径，根据平行线成比例得.ED EB DC BO，即可得到结果；【详解】（1）证明：连接OD ，∵AC 为⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∴∠OAC =90°．∵BD ∥OC ，∴∠OBD =∠AOC ，∠ODB =∠COD ．∵OB 、OD 为⊙O 的半径，∴OB =OD ．∴∠OBD =∠ODB ．∴∠AOC =∠DOC ．在△CDO 和△CAO 中，=OD OA DOC AOC OC OC ⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDO ≌△CAO （SAS ）∴∠CDO =∠CAO =90°．∴OD ⊥CE 于D ，且OD 是半径，∴CE 是⊙O的切线．（2）解：在Rt △ODE 中，∠ODE =90°，∵222OD DE OE +=，∴()22284r r +=+，∴6r =，∵BD ∥OC ，∴.ED EB DC BO=，又BE =4，DE =8，BO =6r =，∴846DC =，∴1DC =２．【点睛】本题主要考查了圆的切线判定和性质综合，结合三角形全等、勾股定理和平行线分线段成比例进行求解．23．（1）2180y x =+﹣；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+（0k ≠），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2180k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+；（2）由题意得：()()502180600x x --+=，整理得214048000x x -+=：，解得126080x x ==，，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；（3）设当天的销售利润为w 元，则：()()502180w x x =--+22(70)800x =-+﹣，∵﹣2＜0，∴当70x =时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．24．(1)75DPC ∠=︒(2)30APN ∠=︒或150︒(3)2180α-︒【分析】（1）先算出9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，然后根据平角的定义，求出75DPC ∠=︒即可；（2）分点C 在MN 上方和点C 在MN 下方两种情况进行讨论，根据平行线的性质，求出结果即可；（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，根据三角形外角的性质和垂直平分线的性质，求出EPF ∠的度数即可．【详解】（1）解：∵90DBP CAP ∠=∠=︒，45BDP ∠=︒，30ACP ∠=︒，∴9045DPB BDP ∠=︒-∠=︒，9060CPA ACP ∠=︒-∠=︒，∵PA ，PB 与直线MN 重合，∴18075DPC DPB CPA ∠=︒-∠-∠=︒．（2）当点C 在MN 上方时，如图所示：PC BD ∥，45BDP ∠=︒，∴45CDP BDP ∠=∠=︒，∵45DPB ∠=︒，60CPA ∠=︒，∴18030APN BPD CPD CPA ∠=︒-∠-∠-∠=︒；当点C 在MN 下方时，如图所示：∵PC BD ∥，90DBP ∠=︒，∴90BPC DBP ∠=∠=︒，18090CPN BPC ∴∠=︒-∠=︒，∴6090150APN APC CPN ∠=∠+∠=︒+︒=︒；综上分析可知，30APN ∠=︒或150︒．（3）延长PB 截取BG =PB ，在MN 上截取AH =AP ，连接GH ，交BD 于点E ，交AC 于点F ，连接PE 、PF ，此时△PEF 的周长最小，如图所示：∵90DBP CAP ∠=∠=︒，∴DB GP ⊥，CA PH ⊥，∴DB 垂直平分PG ，CA 垂直平分PH ，∴EG =EP ，FP =FH ，∴EGP EPG ∠=∠，PHF HPF ∠=∠，∵∠MPG 是△PGH 的外角，∴MPG EGP PHF EPG FPH ∠=∠+∠=∠+∠，180MPG α∠=︒- ，∴180EPG FPH MPG α∠+∠=∠=︒-，∴()EPF APB EPG FPH ∠=∠-∠+∠()180αα=-︒-2180α=-︒【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据题意作出图形，并进行分类讨论，是解题的关键．25．（1）211433y x x =-++；（2）2PN =+，当2m =时，PN 有最大值，最大值为3．（3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，8,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PN ，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ ；②AC=AQ ；③CQ=AQ ，分别求解即可．【详解】解：（1）将(3,0)A -，(4,0)B 代入24y ax bx =++，得934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解之，得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以，抛物线的表达式为211433y x x =-++．（2）由211433y x x =-++，得(0,4)C ．将点(4,0)B 、(0,4)C 代入y kx b =+，得404k b b +=⎧⎨=⎩，解之，得14k b =-⎧⎨=⎩．所以，直线BC 的表达式为：4y x =-+．由(,0)M m ，得211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，4(),Q m m -+．∴221114443333PQ m m m m m =-+++-=-+∵OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒．∴45PQN BQM ∠=∠=︒．∴2214sin 4533PN PQ m m m m ⎫=︒-+=⎪⎝⎭．2(2)63m =--+．∵06-<∴当2m =时，PN有最大值，最大值为3．（3）存在，理由如下：由点(3,0)A -，(0,4)C ，知5AC =．①当AC CQ =时，过Q 作QE y ⊥轴于点E ，易得222222[4(4)]2CQ EQ CE m m m =+=+--+=，由2225m =，得12m =，2m =（舍）此时，点Q ⎫⎪⎪⎝⎭；②当AC AQ =时，则5AQ AC ==．在Rt AMQ △中，由勾股定理，得22[(3)](4)25m m --+-+=．解之，得1m =或0m =（舍）此时，点()1,3Q ；③当CQ AQ =时，由2222[(3)](4)m m m =--+-+，得252m =（舍）．综上知所述，可知满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，822Q ⎛- ⎝⎭．【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．。

2020-2021学年天津市南开区九年级上学期数学期末试卷及答案

2020-2021学年天津市南开区九年级上学期数学期末试卷及答案

2020-2021学年天津市南开区九年级上学期数学期末试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，理解基本定义是解题关键．2. 下列事件中，是随机事件的是（）A. 画一个三角形，其内角和是180°B. 投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5C. 在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片D. 明天太阳从东方升起【答案】B【解析】【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项判断即可．【详解】解：、画一个三角形，其内角和是，是必然事件；A180、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5，属于随机事件；B、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；C 、明天太阳从东方升起，是必然事件；D 故选：B ．【点睛】本题主要考查随机事件的概念：随机事件是可能发生，也可能不发生的事件．3. 对于反比例函数y=，下列判断正确的是( ) 3xA. 图象经过点(-1，3)B. 图象在第二、四象限C. 不论x 为何值，y>0D. 图象所在的第一象限内，y 随x 的增大而减小【答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的性质：当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，k y x=在每一象限内y 随x 的增大而减小，以及凡是反比例函数经过的点横纵坐标之积进行分k =析即可．【详解】A 、，该选项错误；133k -⨯=-≠B 、∵，∴图象在第一、三象限，该选项错误；30k =>C 、∵，∴当时，，该选项错误；30k =>0x >0y >D 、∵，∴图象所在的第一象限内，y 随x 的增大而减小，该选项正确； 30k =>故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：（1）k y x=反比例函数的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．4. 如图，四边形ABCD 是正方形，点E 、F 分别在线段BC 、DC 上，∠BAE＝25°，若线段AE 绕点A 逆时针旋转后与线段AF 重合，则旋转的角度是（ ）A. 25°B. 40°C. 90°D. 50° 【答案】B【解析】【分析】证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL ），可得∠BAE＝∠DAF＝25°，求出∠EAF 即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°由旋转不变性可知：AE ＝AF ，在Rt△ABE 和Rt△ADF 中，， AB AD AE AF =⎧⎨=⎩∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL ），∴∠BAE＝∠DAF＝25°，∴∠EAF＝90°﹣25°﹣25°＝40°，∴旋转角为40°，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，求出Rt△ABE 和Rt△ADF 全等是解题的关键，也是本题的难点．5. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则AC 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得，解比例方程可求出EC ，最后即AD AE DB EC=可求出AC ． 【详解】∵DE∥BC， ∴，即， AD AE DB EC =643EC=解得：EC ＝2，∴AC＝AE+EC ＝4+2＝6；故选C ．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理及推论和比例的基本性质是解决此题的关键．6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ）A. ∠ADCB. ∠ABDC. ∠BACD. ∠BAD【答案】D【解析】 【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD＝∠BAD，得出∠ACD+∠BAD＝90°，即可得出答案．【详解】解：连接BC ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠ACD+∠BAD＝90°，故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确掌握圆周角定理是解题的关键．7. 已知是反比例函数上的三点，若，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 2y x=123x x x <<，则下列关系式不正确的是 （ ）213y y y <<A. B. C. D. 120x x <130x x <230x x <120x x +<【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数和x 1＜x 2＜x 3，y 2＜y 1＜y 3，可得点A ，B 在第三象限，点C 2y x=在第一象限，得出x 1＜x 2＜0＜x 3，再选择即可．【详解】解：∵反比例函数中，2＞0， 2y x=∴在每一象限内，y 随x 的增大而减小，∵x 1＜x 2＜x 3，y 2＜y 1＜y 3，∴点A ，B 在第三象限，点C 在第一象限，∴x 1＜x 2＜0＜x 3，∴x 1•x 2＞0，x 1•x 3＜0，x 2•x 3＜0，x 1＋x 2＜0，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大．8. 已知k 1＜0＜k 2，则函数y=k 1x 和的图像大致是（ ） 2k y x =A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】∵k 1＜0＜k 2，∴直线过二、四象限，并且经过原点；双曲线位于一、三象限．故选D ．9. 如图，切于点切于点交于点，下列结论中不一定成PA O ,A PB O B PO ，O C 立的是（ ）A. B. 平分PA PB =PO APB ∠C.D.AB OP ⊥2PAB APO ∠=∠【答案】D【解析】 【分析】利用切线长定理证明△PAG≌△PBG 即可得出．【详解】解：连接OA ，OB ，AB ，AB 交PO 于点G ，由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA ＝PB ，又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，从而AB⊥OP．因此A ．B ．C 都正确．无法得出AB ＝PA ＝PB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答．10. 已知二次函数y ＝x 2﹣（m﹣2）x ＋4图象的顶点在坐标轴上，则m 的值一定不是（ ）A. 2B. 6C. ﹣2D. 0【答案】D【解析】【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，再利用该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到关于 的方程，解方程从而可得答案． m 【详解】解：∵二次函数 ()()22222244,24m m y x m x x --⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭∴该函数的顶点坐标为 ()222,4,22m m ⎡⎤---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∵二次函数图象的顶点在坐标轴上， ()224y x m x =--+∴或， 202-=m ()22404m --+=当时， 202-=m 2,m =当时， ()22404m --+=()2216,m -=或24m ∴-=24,m -=-或6m ∴=2,m =-综上：或或2m =6m = 2.m =-故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标在坐标轴上的坐标特点是解题的关键．11. 如图，⊙O 的半径为1，点 O 到直线 的距离为2，点 P 是直线上的一个动点，PA 切⊙O a a 于点 A ，则 PA 的最小值是（ ）A. 1 C. 2【答案】B【解析】 【分析】因为PA 为切线，所以△OPA 是直角三角形．又OA 为半径为定值，所以当OP 最小时，PA 最小．根据垂线段最短，知OP=2时PA 最小．运用勾股定理求解．【详解】解：作OP⊥a 于P 点，则OP=2．根据题意，在Rt△OPA 中，故选：B ．【点睛】此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA 最小时点P 的位置是解题的关键，难度中等偏上．12. 如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），直线y 2＝mx ＋n （m≠0）与抛物线交于A 、B 两点，结合图象分析下列结论：①2a＋b ＝0；②abc＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）．其中正确的是（ ）A. ①②③B. ②④C. ①③④D. ①③⑤【答案】C【解析】 【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a ＜0，由对称轴位置可得b ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c ＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据函数图象得当1＜x ＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对④进行判断；根据抛物线的对称性对⑤进行判断．【详解】∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴抛物线的对称轴为直线x ＝＝1， 2b a∴2a＋b ＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴x＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n （m≠0）交于A （1，3），B 点（4，0）， ∴当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，所以④正确．∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣2，0），所以⑤错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识，考查知识点较多，解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分13. 已知，则________． 45a b =a b=【答案】 54【解析】【分析】由分式的基本性质进行化简，即可得到答案． 【详解】解：由，得． 45a b =54a b =故答案为：． 54【点睛】本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质进行解题．14. 现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是__________．【答案】．12【解析】【分析】找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；能组成三角形的结果有2个（2、6、7，4、6、7，）， ∴能构成三角形的概率为 2142=故答案为．12【点睛】本题考查了树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=． m n 15. 下列y 关于x 的函数中，y 随x 的增大而增大的有_____．（填序号）①y＝﹣2x+1，②y ，③y＝（x+2）2+1（x ＞0），④y＝﹣2（x﹣3）2﹣1（x ＜0） 1x =【答案】③④【解析】【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断.【详解】解：y 随x 的增大而增大的函数有③④，故答案为③④．【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数,二次函数,反比例函数图像性质.16. 如图，菱形的顶点C 的坐标为，顶点A 在x 轴的正半轴上.反比例函数OABC (3,4)的图象经过顶点B ，则k 的值为__． (0)k y x x=>【答案】32【解析】【分析】根据点C 的坐标以及菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值．【详解】∵C（3，4），，∴CB=OC=5，则点B 的横坐标为3+5=8，故B 的坐标为：（8，4），将点B 的坐标代入y=得， k x 4=， k 8解得：k=32．故答案为32．【点睛】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B 的坐标．17. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF ，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和π）．【答案】π 43【解析】 【分析】设正六边形的中心为点O ，连接OD 、OE ，作OH⊥DE 于H ，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH 和正六边形ABCDEF 的面积，再求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF 的面积，即可得出结果．【详解】解：设正六边形的中心为点O ，连接OD 、OE ，作OH⊥DE 于H ，如图所示：∠DOE＝＝60°， 3606∴OD＝OE ＝DE ＝2，∴正六边形ABCDEF 的面积＝＝， 12∠A＝， ()621801206-⨯︒=︒∴扇形ABF 的面积， 2120243603ππ⨯==∴图中阴影部分的面积， 43π=-故答案为：． 43π【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．18. 如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，请借助网格，仅用无刻度的直尺在网格中作出△ABC 的高AH ，并简要说明作图方法（不要求证明）：_____．【答案】取格点M ，N ，分别连接BM ，CN ，BM ，CN 交于点E ，连接AE 并延长交BC 于点H ，则AH 即为所求．【解析】【分析】取格点M ，N ，分别连接BM ，CN ，BM ，CN 交于点E ，连接AE 并延长交BC 于点H ，根据三角形的三条高线交于一点可得AH 即为所求．【详解】如图，取格点M ，N ，分别连接BM ，CN ，BM ，CN 交于点E ，连接AE 并延长交BC 于点H ，则AH 即为所求．∵BM⊥AC，CN⊥AB，∴AH⊥BC．故答案为：取格点M ，N ，分别连接BM ，CN ，BM ，CN 交于点E ，连接AE 并延长交BC 于点H ，则AH 即为所求．【点睛】本题考查了作图—基本作图，解题关键是掌握三角形的三条高线交于一点．三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，放在一个口袋中，随机的摸出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球．（1）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果，并回答两次摸球出现的所有可能结果共有几种．（2）求两次摸出的球的标号相同的概率；（2）求两次摸出的球的标号的和等于4的概率．【答案】（1）树状图见解析，两次摸球出现的所有可能结果共有16种；（2）；（3） 14316【解析】【分析】（1）画出树状图，然后统计一下所有情况即可；（2）根据树状图，统计出两次摸出的球的标号相同种数，利用概率公式列式计算即可得解；（3）根据树状图两次摸出的球的标号的和等于4有3次，根据概率公式列式进行计算即可得解．【详解】解：（1）画树状图如下：两次摸球出现的所有可能结果共有16种；（2）两次摸出的球的标号相同有4种， 所以，（两次摸出的球的标号相同）； P 41164==（3）两次摸出的球的标号的和等于4有3次， 所以，（两次摸出的球的标号的和等于4）． P 316=【点睛】本题考查画树状图，求概率问题，掌握树状图的画法，审清抽出后是否放回，会用树状图统计总体情况，与需要的具体情况，会用概率公式求出现的机会．20. 如图，A 、B 是双曲线上的点，点A 的坐标是（1，4），B 是线段AC 的中点． k y x=（1）求k 的值；（2）求△OAC 的面积．【答案】（1）4；（2）6．【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入求出k 的值；（2）根据中点得出点B 的纵坐标为2，然后求出横坐标，得出点B 和点C 的坐标求出三角形的面积．【详解】解：（1）将A （1，4）代入 得 k=4； k y x=（2）作AD⊥x 轴于点D ，BE⊥x 轴于点E ，∴AD//BE，∵A（1，4），∴AD=4，OD=1．又∵B 为AC 的中点，∴E 为DC 的中点，∴，CE=DE 122BE AD ==∴B 点的纵坐标为2，则有B 点坐标为（2，2）．∴DE=CE=2-1=1，即OC=3，∴C（3，0）∴△OAC 的面积是 =6． 1342⨯⨯【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．21. 如图，在等边三角形ABC 中，点E 为CB 边上一点（与点C 不重合），点F 是AC 边上一点，若AB ＝5，BE ＝2，∠AEF＝60°，求AF 的长度．【答案】 195【解析】【分析】先利用等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝5，再利用三角形外角性质得∠BAE＝∠CEF，则可判断△ABE∽△ECF，于是可利用相似比计算出CF 的长，然后计算AC﹣CF 即可．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝5，∵BE＝2，∴CE＝3，∵∠AEC＝∠BAE＋∠B，即∠AEF＋∠CEF＝∠BAE＋∠B，而∠AEF＝60°，∠B＝60°，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECF， ∴＝，即＝， BE CF AB EC 2CF 53∴CF＝， 65∴AF＝AC﹣CF＝5﹣＝． 65195【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、相似比、线段的和差等知识，解答本题的关键是通过已知条件找到△ABE∽△ECF．22. 在△ABC 中，，以边AB 上一点O 为圆心，OA 为半径的圈与BC 相切于点D ，90︒∠=C 分别交AB ，AC 于点E ，F（I ）如图①，连接AD ，若，求∠B 的大小；25CAD ︒∠=（Ⅱ）如图②，若点F 为的中点，的半径为2，求AB 的长． AD O【答案】(1)∠B=40°；(2)AB= 6.【解析】【分析】（1）连接OD ，由在△ABC 中, ∠C=90°，BC 是切线,易得AC∥OD ,即可求得∠CAD=∠ADO ,继而求得答案;（2）首先连接OF,OD,由AC∥OD 得∠OFA=∠FOD ,由点F 为弧AD 的中点,易得△AOF 是等边三角形,继而求得答案.【详解】解:(1)如解图①,连接OD,∵BC 切⊙O 于点D,∴∠ODB=90°,∵∠C=90°,∴AC∥OD,∴∠CAD=∠ADO,∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO=∠CAD=25°,∴∠DOB=∠CAO=∠CAD＋∠DAO=50°,∵∠ODB=90°,∴∠B=90°－∠DOB=90°－50°=40°;(2)如解图②,连接OF,OD,∵AC∥OD,∴∠OFA=∠FOD,∵点F为弧AD的中点,∴∠AOF=∠FOD,∴∠OFA=∠AOF,∴AF=OA,∵OA=OF,∴△AOF为等边三角形,∴∠FAO=60°,则∠DOB=60°,∴∠B=30°,∵在Rt△ODB中,OD=2,∴OB=4,∴AB=AO＋OB=2＋4=6.【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质.熟练掌握切线的性质是解（1）的关键，证明△AOF为等边三角形是解（2）的关键.23. 如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m，（1）求出s关于x的函数关系式；（2）求s的最大值与最小值．【答案】（1）S ＝﹣x 2＋x （17≤x≤27）；（2）最大值是m 2，最小值是238m 2 1245220258【解析】 【分析】（1）由于平行于墙的边为xm ，则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m ，由面积公式12写出S 与x 的函数关系式，进而求出x 的取值范围；（2）根据二次函数的性质，即可求得当x 取何值时，这个花园的面积有最大值，最大值是多少，根据|27﹣|＜|17﹣|，得到x ＝17时，S 最小，把x ＝17代入解析式求出最小452452值．【详解】解：（1）平行于墙的边为xm ，矩形菜园的面积为ym 2．则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m ，12根据题意得：S ＝x （45﹣x）＝﹣x 2＋x （17≤x≤27）； 1212452（2）∵S＝﹣x 2＋x ＝﹣（x 2﹣45）＝﹣（x﹣）2＋（17≤x≤27）， 12452121245220258∵17≤x≤27，a ＝﹣＜0，12∴当x ＝m 时，S 取得最大值，此时S ＝m 2， 45220258∵|27﹣|＜|17﹣|， 452452∴x＝17m 时，S 取得最小值，此时S ＝238m 2， 答：S 的最大值是m 2，最小值是238m 2． 20258【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二次函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．24. 平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A ，C 在坐标轴上，点B （，），P 是66射线OB 上一点，将绕点A 顺时针旋转90°，得，Q 是点P 旋转后的对应点.AOP ABQ（1）如图（1）当OP = 时，求点Q 的坐标；（2）如图（2），设点P （，）（），的面积为S. 求S 与的函数关系x y 06x <<APQ △x 式，并写出当S 取最小值时，点P 的坐标；（3）当BP+BQ = 时，求点Q 的坐标（直接写出结果即可）【答案】（1）；（2），；（3）．(8,4)Q 2618S x x =-+(3,3)P (13,1)Q -【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质、解直角三角形可得，，再根据2OG PG ==4AG =三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，由此2,4AH PG QH AG ====8OH =即可得出答案；（2）先根据正方形的性质得出，，再根据旋转的性质、勾股定理可得OG PG x ==x y =，，然后根据直角三角形的面积公式可得S 与2221236AP x x =-+,90AP AQ PAQ =∠=︒x 的函数关系式，最后利用二次函数的解析式即可得点P 的坐标；（3）先根据旋转的性质、正方形的性质得出，，从而得出点P BP OP +=OB =在OB 的延长线上，再根据线段的和差可得，然后同（1）的方法可得OP BP ==，，最后根据三角形全等的性质、线段的和差可得7OG PG ===APG QAH ≅ ，由此即可得出答案．1,13QH OH ==【详解】（1）如图1，过P 点作轴于点G ，过Q 点作轴于点HPG x ⊥QHx ⊥∵四边形OABC 是正方形∴45AOB ∠=︒∵(6,6)B ∴6OA =在中，， Rt OPG sin 452PG OP =⋅︒==2OG PG ==∴4AG OA OG =-=∵绕点A 顺时针旋转得到AOP 90︒ABQ ∴， ,AQ AP BQ OP ==PAG BAQ ∠=∠90APG PAG QAH BAQ ∠+∠=∠+∠=︒APG QAH ∴∠=∠在和中，APG QAH 90AGP QHA APG QAH AP QA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()APG QAH AAS ≅ ∴2,4AH PG QH AG ====∴628OH OA AH =+=+=则点Q 的坐标为；(8,4)Q （2）如图2，过P 点作轴于点GPG x ⊥∵绕点A 顺时针旋转得到AOP 90︒ABQ ∴,90AP AQ PAQ =∠=︒∵(,),45P x y POG ∠=︒∴，OG PG x ==x y =∴6AG OA OG x =-=-在中，由勾股定理得：Rt APG △22222(6)AP AG PG x x =+=-+整理得：2221236AP x x =-+∴ 226181122AP AQ A x P S x =⋅==-+整理得：2(3)9S x =-+06x << 由二次函数的性质可知，当时，S 随x 的增大而减小；当时，S 随x 的∴03x <≤36x <<增大而增大则当时，S 取得最小值，最小值为93x =此时3==y x 故点P 的坐标为；(3,3)P （3）∵绕点A 顺时针旋转得到AOP 90︒ABQ ∴OP BQ =∵BP BQ +=∴BP OP +=∵四边形OABC 是正方形，且边长6OA AB ==对角线∴OB ==<∴点P 在OB 的延长线上∴2BP OP OP OB OP OP +=-+=-=解得OP =BP OP OB ∴=-=如图3，过P 点作轴于点G ，过Q 点作轴于点H PG x ⊥QHx ⊥同（1）可得：， 7OG PG ===APG QAH ≅ ，761QH AG OG OA ∴==-=-=7AH PG ==6713OH OA AH ∴=+=+=则点Q 的坐标为．(13,1)Q -【点睛】 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、解直角三角形、三角形全等的判定定理与性质、二次函数的性质等知识点，较难的是题（3），正确得出点P 的位置是解题关键．25. 在平面直角坐标系中，设二次函数，其中；22y x x a a =---0a >（1）若函数y 的图象经过点（1，﹣2），求函数y 的解析式；（2）若抛物线与x 轴的两交点坐标为A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴的交点为C ，满足OC ＝2OB 时，求的值．a （3）已知点和在函数y 的图象上，若m ＜n ，求的取值范围．0(,)P x m (1,)Q n 0x 【答案】（1）；（2）；（3）；2y x x 2=--2a =001x <<【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）由二次函数图象上点的坐标特征，得点A 、B 、C 的坐标，根据OC ＝2OB ，求的值；a （3）根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）函数 的图象经过点（1，﹣2），得 22y x x a a =---22a a --=-整理得：，∴ 得：或；(2)(1)0a a +-=2a =-1a =又由题知，，∴ ；0a >1a =∴ 函数y 的解析式：；2y x x 2=--（2）当时，整理得：；0y =220x x a a ---=()(1)0x a x a +--=解得：或；1x a =-21x a =+图象与x 轴的交点是A ，B ，(,0)a -(1,0)a +当时，，即C ；0x =2y a a =--2(0,)a a --∵OC＝2OB ， ∴；221a a a --=+∵，0a >∴，22(1)a a a +=+整理得：，∴ ，220a a --=(2)(1)0a a -+=解得：或（舍去）；2a =1a =-∴；2a =（3）当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，（1，n ）与（0，n ）关于对称轴对称，由m ＜n ，得： 0＜≤；0x 12当时P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m ＜n ，得＜＜1，120x 综上所述：当m ＜n 时，的取值范围：0＜＜1；0x 0x ∴ 的取值范围：0＜＜1．0x 0x 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式及基本性质，重点理解对称轴的应用及对应一元二次方程的求解．。

天津市滨海新区九年级上期末数学试卷含答案解析

天津市滨海新区九年级上期末数学试卷含答案解析

2022-2023天津市滨海新区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．摸出的是3个白球B．摸出的是3个黑球C．摸出的是2个白球、1个黑球D．摸出的是2个黑球、1个白球3．反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系是（）A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不确定4．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（）A．3πB．6πC．9πD．12π5．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．6．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50°B．60°C．70° D．80°7．抛物线y=2x2﹣2x+1与x轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．边长为a的正三角形的内切圆的半径为（）A． a B． a C． a D． a9．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．510．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．14．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为．15．若反比例函数y=在第一，三象限，则k的取值范围是．16．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=度．17．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．18．如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1．（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形；（2）若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为．三、解答题（本题共7小题，共66分）19．（8分）已知正比例函数y1=kx的图象与反比例函数y2=（k为常数，k ≠5且k≠0）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求这两个函数的解析式；（2）求这两个函数图象的交点坐标．20．（8分）在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．21．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F．（1）求CF的长；（2）求的值．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB 上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．23．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为w元．（Ⅰ）根据题意，填写下表：销售单价x（元）405570 (x)销售量y（件）600……销售玩具获得利润w（元）（Ⅱ）在（Ⅰ）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？（Ⅲ）在（Ⅰ）问条件下，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？此时玩具的销售单价应定为多少？24．（10分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF，现将小长方形CEFD 绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．（1）当边CD′恰好经过EF的中点H时，求旋转角α的大小；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△BCD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的大小；若不能，说明理由．25．（10分）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S 的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2022-2023天津市滨海新区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．摸出的是3个白球B．摸出的是3个黑球C．摸出的是2个白球、1个黑球D．摸出的是2个黑球、1个白球【考点】随机事件．【分析】根据白色的只有两个，不可能摸出三个进行解答．【解答】解：A．摸出的是3个白球是不可能事件；B．摸出的是3个黑球是随机事件；C．摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；D．摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，故选：A．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，则x1与x2的大小关系是（）A．x1＞x2B．x1=x2C．x1＜x2D．不确定【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接利用反比例函数的增减性进而分析得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=﹣的图象上有P1（x1，﹣2），P2（x2，﹣3）两点，∴每个分支上y随x的增大而增大，∵﹣2＞﹣3，∴x1＞x2，故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．4．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（）A．3πB．6πC．9πD．12π【考点】扇形面积的计算．【分析】根据扇形的面积公式S=计算即可．【解答】解：S==12π，故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．5．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．6．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50°B．60°C．70° D．80°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可知，∠BCB′=∠ACA′=20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置∴∠BCB′=∠ACA′=20°∵AC⊥A′B′，∴∠BAC=∠A′=90°﹣20°=70°．故选C．【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．7．抛物线y=2x2﹣2x+1与x轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断抛物线与x轴的交点个数．【解答】解：根据题意得△=（2）2﹣4×2×1=0，所以抛物线与x轴只有一个交点．故选B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．边长为a的正三角形的内切圆的半径为（）A． a B． a C． a D． a【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】根据等边三角形的三线合一，可以构造一个由其内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成的30°的直角三角形，利用锐角三角函数关系求出内切圆半径即可．【解答】解：∵内切圆的半径、外接圆的半径和半边组成一个30°的直角三角形，则∠OBD=30°，BD=，∴tan∠BOD==，∴内切圆半径OD=×=a．故选D．【点评】此题主要考查了三角形的内切圆，注意：根据等边三角形的三线合一，可以发现其内切圆的半径、外接圆的半径和半边正好组成了一个30°的直角三角形．9．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的性质．【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值．【解答】解：∵点A是反比例函数y=图象上一点，且AB⊥x轴于点B，=|k|=2，∴S△AOB解得：k=±4．∵反比例函数在第一象限有图象，∴k=4．故选C．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），故选D．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】圆周角定理；三角形中位线定理；垂径定理．【分析】由圆周角定理可判断①，利用圆的性质结合外角可判断②，利用平行线的性质可判断③，由垂径定理可判断④，由中位线定理可判断⑤，可求得答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，故①正确；∵∠ACE=∠DAB+∠EBA，∠AOC=2∠EBA，∴∠AOC≠∠AEC，故②不正确；∵OC∥BD，∴∠OCB=∠CBD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠CBD，即BC平分∠ABD，故③正确；∴OC⊥AD，∴AF=FD，故④正确；∴OF为△ABD的中位线，∴BD=2OF，故⑤正确，综上可知正确的有4个，故选C．【点评】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质，掌握圆中有关的线段、角的相等是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．12．已知抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）经过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC有交点，其中点B（1，0），点C（3，0），则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段BC（1≤x≤3）有交点，可以得到c的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴，解得6≤c≤14，故选A．【点评】本题考查二次函数的性质、解不等式，明确题意，列出相应的关系式是解题的关键．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13．二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为﹣4．【考点】二次函数的最值．【分析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．【解答】解：二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），所以最小值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是正确掌握二次函数的顶点式，若题目给出是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式．14．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为1：4．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4．故答案为：1：4．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．15．若反比例函数y=在第一，三象限，则k的取值范围是k＞1．【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数在第一，三象限得到k﹣1＞0，求解即可．【解答】解：根据题意，得k﹣1＞0，解得k＞1．故答案为：k＞1．【点评】本题主要考查反比例函数的性质：当k＞0时，函数图象位于第一、三象限，当k＜0时，函数图象位于第二、四象限．16．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=45度．【考点】切线的性质；平行四边形的性质．【分析】连接OD，只要证明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A=45°，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题．【解答】解；连接OD．∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OD，∴∠AOD=90°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，∴∠C=∠A=45°．故答案为45．【点评】本题考查平行四边形的性质、切线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴，解得：x=，则EH=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．18．如图所示，△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1．（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形；（2）若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）延长AO到点D使OD=OA，则点A的对应点为D，同样方法作出点B、C的对应点E、F，则△DEF与△ABC关于点O中心对称；（2）作AB和AC的垂值平分线，它们的交点为△ABC的外心，而△ABC的外接圆为能盖住△ABC的最小圆，然后利用勾股定理计算出MA即可．【解答】解：（1）如图，△DEF为所作；（2）如图，点M为△ABC的外心，MA==，故答案为．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．三、解答题（本题共7小题，共66分）19．已知正比例函数y1=kx的图象与反比例函数y2=（k为常数，k≠5且k ≠0）的图象有一个交点的横坐标是2．（1）求这两个函数的解析式；（2）求这两个函数图象的交点坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把交点的横坐标代入函数解析式，列出一元一次方程，解方程即可；（2）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）∵正比例函数y1=kx的图象与反比例函数y2=（k为常数，k≠5且k≠0）的图象有一个交点的横坐标是2，∴y1=2k，y2=，∵y1=y2，∴2k=，解得，k=1，则正比例函数y1=x的图象与反比例函数y2=；（2），解得，，，∴这两个函数图象的交点坐标为（2，2）和（﹣2，﹣2）．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，灵活运用待定系数法求出函数解析式、掌握正比例函数与反比例函数图象的交点的求法是解题的关键．20．在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率==；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为6，所以刚好是一男生一女生的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．21．（10分）（•天津期末）如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F．（1）求CF的长；（2）求的值．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF的长，求出CF的长度；（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，又AB=，BC=，∴BD==3，∵BE=1.8，∴DE=3﹣1.8=1.2，∵AB∥CD，∴=，即=，解得，DF=，则CF=CD﹣DF=﹣=；（2）∵AB∥CD，∴△DEF∽△BEA，∴=（）2=（）2=．【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．22．（10分）（•南宁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O 在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，在直角三角形OBG 中，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE=2BG．【解答】（1）证明：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，则AC为圆O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，∴四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∵OG⊥BE，OB=OE，∴BE=2BG=12．解得：BE=12．【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．23．（10分）（•塘沽区二模）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x＞40），销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为w元．（Ⅰ）根据题意，填写下表：销售单价x（元）405570 (x)销售量y（件）600450300…1000﹣10x销售玩具获得利润w（元）60001125012000…（1000﹣10x）（x﹣30）（Ⅱ）在（Ⅰ）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？（Ⅲ）在（Ⅰ）问条件下，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？此时玩具的销售单价应定为多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（Ⅰ）利用销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，再结合每件玩具的利润乘以销量=总利润进而求出即可；（Ⅱ）利用商场获得了10000元销售利润，进而得出等式求出即可；（Ⅲ）利用每件玩具的利润乘以销量=总利润得出函数关系式，进而求出最值即可．【解答】解：（1）填表：销售单价x（元）405570 (x)销售量y（件）600450 300…1000﹣10x销售玩具获得利润w（元）600011250 12000…（1000﹣10x）（x﹣30）（Ⅱ）[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000，解得：x1=50，x2=80，答：该玩具销售单价x应定为50元或80元；（Ⅲ）w=[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，∵a=﹣10＜0，∴对称轴为x=65，∴当x=65时，W最大值=12250（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，得出w与x的函数关系式是解题关键．24．（10分）（•天津期末）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF，现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．（1）当边CD′恰好经过EF的中点H时，求旋转角α的大小；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△BCD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的大小；若不能，说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据旋转的性质得CE=CH=1，即可得出结论；（2）由G为BC中点可得CG=CE，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，则∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′=E′D；（3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°．【解答】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CE=CH=1，∴△CEH为等腰直角三角形，∴∠ECH=45°，∴∠α=30°；（2）证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；（3）解：能．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∵CD′=CD′，∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α==135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°则α=360°﹣=315°，即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等【点评】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质．25．（10分）（•昆明）如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S 的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．【解答】解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），把C（0，4）代入：4=﹣2a，a=﹣2，∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m），S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，∵﹣2＜0，∴S有最大值，则S大=6；（3）存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，理由是：分以下两种情况：①当∠BQM=90°时，如图2：∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ．设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，设M（m，﹣2m+4），则MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m，在Rt△OBC中，BC===2，∵MQ∥OC，∴△BMQ∽BCO，∴，即，∴BM=（2﹣m）=2﹣m，∴CM=BC﹣BM=2﹣（2﹣m）=m，∵CM=MQ，∴﹣2m+4=m，m==4﹣8．∴Q（4﹣8，0）．②当∠QMB=90°时，如图3：同理可设M（m，﹣2m+4），过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的解析式为：y=x+，则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），设Q（﹣x，0）（x＞0），∵AE∥QM，∴△ABE∽△QBM，∴①，由勾股定理得：x2+42=2×[m2+（﹣2m+4﹣4）2]②，由以上两式得：m1=4（舍），m2=，当m=时，x=，∴Q（﹣，0）．综上所述，Q点坐标为（4﹣8，0）或（﹣，0）．【点评】本题是二次函数的综合问题，综合性较强；考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用方程组求图象的交点坐标，将函数和方程有机地结合，进一步把函数简单化；同时还考查了相似的性质：在二次函数的问题中，如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解．。

天津市和平区2022年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案

天津市和平区2022年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案

天津市和平区2022年九年级上学期《数学》期末试卷与参考答案一．选择题本大题共12小题，每小题3分，共36分。

1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.答案：A答案解析：B 、C 、D 三个选项的图形旋转后，均不能与原来的图形重合，不符合题意，A 选项是中心对称图形．故本选项正确．故选：A ．2. 对于二次函数y ＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（ ）A. 开口向下B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小C. 函数图象与x 轴交于点（﹣1，0）和（3，0）D. 当x ＝1时，y 有最小值4答案：D答案解析：，，开口向下，180︒2(1)4y x =--+ 10a =-< ∴故A 说法正确，不合题意；当时，随的增大而减小，故B 说法正确，不合题意；令可得，解得：，，抛物线与轴的交点坐标为和，故C 说法正确，不合题意；∵对称轴为，顶点坐标为，当时，有最大值，最大值为4，故D 不正确，符合题意．故选：D ．3. 如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且⊙O 1经过⊙O 2的圆心，则∠O 1AB 的度数为（ ）A. 45°B. 30°C. 20°D. 15°答案：B 答案解析：连接O 1O 2，AO 2，O 1B，1x …y x 0y =22(1)4230x x x --+=--=11x =-23x =∴x (1,0)-(3,0)1x =(1,4)∴1x =y∵O 1B= O 1A∴ ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO 2O 1是等边三角形，∴∠AO 2O 1=60°，∴∠O 1AB=∠AO 2O 1 =30°．故选：B ．4. 根据下列条件，判断△ABC 与△A´B´C´能相似的条件有（ ）①∠C＝∠C´＝90°，∠A＝25°，∠B´＝65°；②∠C＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝4cm ，，A´C´＝9cm ，B´C´＝6cm ；③AB＝10cm ，BC ＝12cm ，AC ＝15cm ，A´B´＝150cm ，B´C´＝180cm ，A´C´＝225cm ；④△ABC 与△A´B´C´是有一个角为80°等腰三角形A 1对B. 2对C. 3对D. 4对答案：C.112112O AB O BA AO O ∠=∠=∠121602=⨯︒90C '∠︒＝答案解析：（1）∵∠C＝∠C´＝90°，∠A＝25°．∴∠B＝65°．∵∠C＝∠C´，∠B＝∠B´．∴．（2）∵∠C＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝4cm ， ，A´C´＝9，B´C´＝6．∴，．∴．（3）∵AB＝10cm ，BC ＝12cm ，AC ＝15cm ，A´B´＝150cm ，B´C´＝180cm ，A´C´＝225cm ；∴．∴．（4）∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故选：C ．5. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管的长为（ ）ABC A B C '''V V ∽90C '∠︒＝2=3AC BC A C B C =''''C C ∠∠'＝ABC A B C '''V V ∽1==15AB AC BC A B A C B C =''''''ABC A B C '''V V ∽A. B. C. D.答案：A答案解析：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，∴设这段抛物线的解析式为y=a （x-1）2+3．∵该抛物线过点（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-．∴y=-（x-1）2+3．∵当x=0时，y=-（0-1）2+3=-+3=，∴水管应长m ．故选：A 6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝50°，将△ABC 绕着点A 顺时针方向旋转得△ADE，AB ，CE 相交于点F ，若AD∥CE 时，则∠BAE 的大小是（ ）9m 419m 839m 1645m 16343434349494A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°答案：C 答案解析：∵将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转得△ADE，∴∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC ，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠AEC=50°，∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE=50°，∴∠EAC=180°-50°-50°=80°，∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=80°-50°=30°，故选：C ．7. 把形状完全相同风景不同的两张图片全部从中剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取两张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为（）A. B. C. D. 答案：B答案解析：设四张小图片分别用A ，a ，B ，b表示，画树状图得：12131423由图可得，共有12种等可能的结果，其中摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的结果共有4种，∴摸取两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为：，故选：B ．8. 如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，且AB CD ，BO ＝3，CO ＝4，则OF 的长为（ ）A. 5 B. C. D. 答案：D答案解析：连接OF ，OE ，OG，41123P ==∥95165125∵AB、BC 、CD 分别与相切，∴，，，且，∴OB 平分，OC 平分，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故选：D ．9. 如图，在平行四边形中，F 是上一点，且，连结并延长交的延长线于点G，则的值为（ ）O e OE AB ⊥OF BC ⊥OG CD ⊥OE OF OG ==ABC ∠BCD ∠12OBC ABC ∠=∠12BCO BCD ∠=∠AB CD ∥180ABC BCD ∠+∠=︒119022OBC BCO ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒90BOC ∠=︒5BC ==11··22OBC S OB OC BC OF ∆==341255OF ⨯==ABCD AD 2AF FD =BF CD BE EGA. B.C. D.答案：C答案解析：根据题意，∵四边形是平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABF∽△DGF，∴，∴，∴，∴，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CGE，∴；故选：C．10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（ ）A. B.12132334ABCD2AB AFDG DF==2AB CD DG==3CG CD DG DG=+=23ABCG=23BE ABEG CG==C. D.答案：C答案解析：∵ ，∴函数图象过，排除D ；∵，，∴，排除A ；由选项B 可知，，对称轴，得，与矛盾，排除B ，故选：C ．11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在第二象限，点B 坐标为（﹣2，0），点C 坐标为（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A´B´C．若点A 的对应点A´的坐标为（2，﹣3），点B 的对应点B´的坐标为（1，0），则点A 坐标为（ ）A. （﹣3，﹣2） B. （﹣2，）C.（﹣，） D. （﹣，2）0a b c ++=()1,00a b c ++=a b c >>0a >0c >12b x a=-=20b a =-<b c >32523252答案：C答案解析：如图，过点A 作AE⊥x 轴于E ，过点A´作A´F⊥x 轴于F ．∵B（-2，0），C （-1，0），B´（1，0），A´（2，-3）∴OB=2，OC=OB´=1，OF=2，A´F=3，∴BC=1，CB´=2，CF=3，∵△ABC∽△A´B´C，∴，∴，∵∠ACE=∠A´CF，∠AEC=∠A´FC=90°，∴△AEC∽△A´FC，∴，∴，∴，∴，故选：C ．12AE BC A F CB ''==32AE =12ECAE CF A F '==32EC =52OE EC OC =+=53(,22A -12. 已知二次函数y ＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m 为常数）．①二次函数图象的顶点始终在直线y ＝﹣x+1上②当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则m=2③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则y 1＜y 2 其中，正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：B答案解析：①证明： 图象的顶点为（m ，-m+1），设顶点坐标为（x ，y ），则x=m ，y=-m+1，∴y=-x+1，即顶点始终在直线y=-x+1上，①正确；②，对称轴，当时，y 随x 的增大而增大，时，y 随x 的增大而增大，，②不正确；③ 与点 在函数图象上，，，21y x m m =---+（）∴10-< x m =∴x m <2x < 2m ∴≥∴()11A x y ，()22B x y ，()()22112211y x m m y x m m ∴=---+=--++，()()221221y y x m x m ∴-=---，∵x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，，，∴，③不正确．故选：B ．二．填空题本大题共6小题，每小题3分，共18分。

2023-2024学年天津市河西区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年天津市河西区九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，岸只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知⊙O的直径为15cm，若直线l与⊙O只有一个交点，那么圆心O到这条直线的距离为（）A．7cm B．7.5cm C．8cm D．10cm2．（3分）2sin60°的值等于（）A．B．C．D．3．（3分）下列是与中国航天事业相关的图标，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（）A．B．1C．D．5．（3分）如图，在△ABC中，若∠C＝90°，则有（）A．B．C．D．6．（3分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是（）A．43°B．35°C．34°D．44°7．（3分）一元二次方程4x2＝5x﹣1的两根之和与两根之积分别为（）A．，B．﹣，C．D．8．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别为（）A．（3，0）和（﹣1，0）B．（﹣3，0）和（1，0）C．（2，0）和（﹣4，0）D．（4，0）和（﹣2，0）9．（3分）一个扇形的半径为24cm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角为（）A．300°B．240°C．180°D．150°10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°；将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（）A．CB＝CD B．DE+DC＝BC C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC11．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB'C′，连接B'C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（）A．B．C．D．12．（3分）如图所示，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为100，小正方形面积为4，则图中∠θ的正切值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）将点P（2，6）绕原点顺时针旋转180°，点P的对应点的坐标为．14．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．15．（3分）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，，AC＝3，则∠A的度数为．16．（3分）若抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，则实数k的值可以是（写出一个即可）．17．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点E，点F为AB边的中点，连接EF，则EF的长为．18．（3分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，线段AB的端点A，B均落在格点上．（Ⅰ）线段AB的长等于；（Ⅱ）经过点A，B的圆交网格线于点C，在上有一点E，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）解方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．20．（8分）学生甲与学生乙学习概率初步知识后设计了如下游戏：学生甲手中有5、7、9三张扑克牌，学生乙手中有6、8、10三张扑克牌．每人从手中取出一张牌进行比较，数字小的为本局获胜．（Ⅰ）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，请列举出所有情况；（Ⅱ）求学生乙本局获胜的概率．21．（10分）请你结合题意，分别画出示意图，并完成解答：（Ⅰ）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，若∠A＝30°，AC＝3，求AB的长；（Ⅱ）在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6，求∠C的正弦．22．（10分）小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB 的长．（结果保留小数点后一位）参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．（Ⅰ）求证：FG是⊙O的切线；（Ⅱ）若⊙O的半径长为，BF＝3，求BE的长．24．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点A出发，以1单位长度/秒的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．（Ⅰ）当点P运动到AB的中点，求此时x的值和△APQ的面积；（Ⅱ）①当0＜x＜2时，求y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤4时，求y与x之间的函数关系式；（Ⅲ）求在运动过程中△APQ面积的最大值．（直接写出结果即可）25．（10分）已知抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m），其中n，m为常数，且n≠m．（Ⅰ）若n＝﹣1，m＝3，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）若抛物线的对称轴为x＝2，且抛物线经过点（1，p）．请你用含m的式子表示p，并求出p的取值范围；（Ⅲ）若n＝1，点M（m，0），抛物线与y轴负半轴交于点G，过点G作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，，点H是EF的中点，当MH的最小值是时，求y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标．2023-2024学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，岸只有一项是符合题目要求的）1．【分析】根据已知直线l与⊙O有唯一的一个交点得出直线与圆相切，即可得出d与r的关系．【解答】解：圆心O到直线l的距离为dcm，∵直线l与⊙O有唯一的一个交点，∴直线与圆相切，∵⊙O的直径为15cm，∴半径为7.5cm，∴d＝r＝7.5cm．故选：B．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据已知直线l与⊙O有唯一的一个交点得出直线与圆相切是解决问题的关键．2．【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【解答】解：2sin60°＝2×＝，故选：A．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握sin60°的值是正确计算的关键．3．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．【分析】构造内切圆半径，三角形边的一半，圆心和顶点连线形成的直角三角形，利用直角三角形的30度特殊角的三角函数即可求解．【解答】解：如图：过O点作OD⊥AB，则AD＝AB＝1，∵∠OAD＝30°，∴OD＝tan30°•AD＝．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心的计算．解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关边长或角．5．【分析】根据锐角三角函数的定义逐项判断即可．【解答】解：已知在△ABC中，若∠C＝90°，那么tan A＝，则A符合题意；sin A＝，则B，D均不符合题意；cos A＝，则C不符合题意；故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．6．【分析】由同弧所对的圆周角相等求得∠A＝∠D＝42°，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠D＝∠A＝42°，∴∠B＝∠APD﹣∠D＝35°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．7．【分析】先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：方程4x2＝5x﹣1化为一般式为4x2﹣5x+1＝0，所以方程4x2＝5x﹣1的两个根之和为，两根之积为．故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．【分析】依据题意，通过解方程x2﹣2x﹣3＝0得到抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点坐标．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．故选：A．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．9．【分析】设扇形的圆心角为n，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的圆心角为n，则＝240π，解得，n＝150°，故选：D．【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．10．【分析】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，则可得出结论．【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠EDC＝60°，∴∠CAD＝∠EDC＝60°，∴∠BAD＝60°，∴AB∥CD．故选：C．【点评】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质及等腰三角形的性质．11．【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD的长度，根据弧长公式即可得出答案．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB′．∴∠AB′D＝30°∴α＝30°，∵AC＝4，∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，∴，∴的长度l＝＝π．故选：B．【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．12．【分析】先由两个正方形的面积分别得出其边长，设AC＝BD＝a，由勾股定理解得a的值，按照正切函数的定义即可求解．【解答】解：∵大正方形的面积是100，小正方形面积是4，∴大正方形的边长是10，小正方形的边长是2，设AC＝BD＝a，如图，在Rt△ABD中，由勾股定理得：a2+（2+a）2＝100，解得a＝6或﹣8（舍去），∴tanθ＝＝．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，明确相关性质及定理是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．【分析】根据两点关于原点的对称的坐标特征：横纵坐标均互为相反数，即可求解．【解答】解：点P（2，6）绕原点O旋转180°后，P点的对应点与点P关于原点对称，则其坐标为（﹣2，﹣6）．故答案为：（﹣2，﹣6）．【点评】本题考查的是坐标与图形变化﹣旋转，熟知平面直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标特征是解题的关键．14．【分析】用绿球的个数除以球的总数即可．【解答】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．15．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，，AC＝3，∴AB＝＝2，∵AB＝2BC，∴∠A＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．16．【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，可以得到Δ＜0，从而可以得到k的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+k与x轴没有交点，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×k＜0，解得，k＞9，故答案为：10（答案不唯一）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确Δ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17．【分析】延长FE交DC于点H，连接CE，根据题意可得EF∥BC，在Rt△CEH中，根据勾股定理即可求解EH，从而求出EF．【解答】解：延长FE交DC于点H，连接CE，如图：∵E为两弧交于点，点F为AB边的中点，∴EF∥BC，∵C是圆心，E在弧上，∴CE＝CB＝2，在Rt△CEH中，EH＝＝，∴EF＝2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．18．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解；（Ⅱ）取圆与格线的交点P，Q，连接PQ，则PQ是直径，连接AC，AB，得到AC，AB 的中点J，K，取格点W，Z，R，S，连接WR，SZ交于点L．连接KL交PQ于点O，作直线JO交AB于点T，连接CT，延长CT交⊙O于点E，点E即为所求．【解答】解：（1）AB＝＝，故答案为：；（Ⅱ）如图，点E即为所求．步骤：取圆与格线的交点P，Q，连接PQ，则PQ是直径，连接AC，AB，得到ACAB 的中点J，K，取格点W，Z，R，S，连接WR，SZ交于点L．连接KL交PQ于点O，作直线JO交AB于点T，连接CT，延长CT交⊙O于点E，点E即为所求．故答案为：取圆与格线的交点P，Q，连接PQ，则PQ是直径，连接AC，AB，得到ACAB 的中点J，K，取格点W，Z，R，S，连接WR，SZ交于点L．连接KL交PQ于点O，作直线JO交AB于点T，连接CT，延长CT交⊙O于点E，点E即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，题目比较难．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．【解答】解：∵（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，∴x﹣3＝5﹣2x或x﹣3＝2x﹣5解之得：x1＝2，x2＝．【点评】解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．20．【分析】（1）利用树状图展示所有9种等可能的结果数；（2）找出学生乙本局获胜的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）画树状图为：共有9种等可能的结果数；（2）学生乙本局获胜的结果数为3，所以学生乙本局获胜的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．21．【分析】（Ⅰ）由锐角的余弦定义得到cos A＝＝，即可求出AB长．（Ⅱ）过A作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得到CH＝BC＝3，由勾股定理求出AH＝＝6，即可得到sin C＝＝．【解答】解：（Ⅰ）如图：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴cos A＝cos30°＝＝，∵AC＝3，∴AB＝2；（Ⅱ）如图：过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴CH＝BC＝3，∴AH＝＝6，∴sin C＝＝＝【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是掌握锐角三角函数定义．22．【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC＝CD，CB＝，可得答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB垂足为D．，在Rt△ACD中，tan A＝tan45°＝＝1，CD＝AD，sin A＝sin45°＝＝，AC＝CD．在Rt△BCD中，tan B＝tan37°＝≈0.75，BD＝；sin B＝sin37°＝≈0.60，CB＝．∵AD+BD＝AB＝63，∴CD+＝63，解得CD≈27（m），AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2（m），CB＝≈＝45.0（m），答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键．23．【分析】（1）由等腰三角形的性质可证∠B＝∠C＝∠OFC，可证OF∥AB，可得结论；（2）由切线的性质可证四边形GFOE是矩形，可得OE＝GF＝2，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：如图，连接OF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，∴∠OFC＝∠B，∴OF∥AB，∵FG⊥AB，∴FG⊥OF，又∵OF是半径，∴GF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OE，∵⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，又∵AB⊥GF，OF⊥GF，∴四边形GFOE是矩形，∴GF＝OE＝EG＝2，在Rt△BFG中，由勾股定理得，BG＝＝＝1，∴BE＝BG+EG＝2+1．【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．【分析】（Ⅰ）由菱形的性质可得AB＝BC＝2，可证△ABC是等边三角形，可得AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，可证△APQ是等边三角形，即可求解；（Ⅱ）①由锐角三角函数可求QH的长，由三角形的面积公式可求解；②由锐角三角函数可求QN的长，由三角形的面积公式可求解；（Ⅲ）由二次函数的性质可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝2，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，∵点P运动到AB的中点，∴AP＝BP＝1，∴x＝＝1，∴AQ＝1，∴AP＝AQ＝1，∴△APQ是等边三角形，＝×12＝；∴S△APQ（Ⅱ）①当0≤x≤2时，如图1，过点Q作QH⊥AB于H，由题意可得BP＝AQ＝x，∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°＝∠ACD，∵sin∠BAC＝，∴HQ＝AQ•sin60°＝x，∴△APQ的面积＝y＝（2﹣x）×x＝﹣（x﹣1）2+；②当2＜x≤4时，如图2，过点Q作QN⊥AC于N，由题意可得AP＝CQ＝x﹣2，∵sin∠ACD＝＝，∴NQ＝（x﹣2），∴△APQ的面积＝y＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x﹣2）2，（Ⅲ）当0≤x≤2时，y＝﹣（x﹣1）2+；∴当x＝1时，y的最大值为；当2＜x≤4时，y＝（x﹣2）2，∴当x＝4时，y的最大值为，∴△APQ面积的最大值为．【点评】本题是四边形综合题，考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25．【分析】（1）n＝﹣1，m＝3时，抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的对称轴为直线x＝＝1，把x＝1代入y＝（x+1）（x﹣3）即得抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）可得＝2，n＝4﹣m，而抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m）经过点（1，p），知p＝（1﹣n）（1﹣m）＝（1﹣4+m）（1﹣m）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，有二次函数性质可得答案；（3）求出G（0，m），直线l为y＝m，连接GM、GH，由H是EF的中点，得GH＝EF＝，故点H在以点G为圆心，为半径的圆上，可得MG＝﹣m，①当MG≥，即m≤﹣1时，满足条件的点H在线段MG上，有MG﹣GH＝﹣m﹣＝，m＝﹣；可得抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+），﹣2m﹣1≤x≤﹣2m即是2≤x≤3，即可知y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（2，）；②当MG＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段GM的延长线上，同类可得y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（，﹣）．【解答】解：（1）n＝﹣1，m＝3时，抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴交点为（﹣1，0），（3，0），∴对称轴为直线x＝＝1，把x＝1代入y＝（x+1）（x﹣3）得y＝2×（﹣2）＝﹣4；∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m）的对称轴为直线x＝，∴＝2，∴n＝4﹣m，∵抛物线y＝（x﹣n）（x﹣m）经过点（1，p），∴p＝（1﹣n）（1﹣m）＝（1﹣4+m）（1﹣m）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，∵n≠m，∴m≠2，∴﹣（m﹣2）2+1＜1，∴p＜1；（3）n＝1时，y＝（x﹣1）（x﹣m），令x＝0得y＝m，∴G（0，m），直线l为y＝m，连接GM、GH，如图：∵H是EF的中点，∴GH＝EF＝，∴点H在以点G为圆心，为半径的圆上，∵M（m，0），G（0，m），∴MO＝﹣m，GO＝﹣m，在Rt△MGO中，MG＝﹣m，①当MG≥，即m≤﹣1时，满足条件的点H在线段MG上，此时MH的最小值为MG﹣GH＝﹣m﹣＝，解得m＝﹣；∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+），﹣2m﹣1≤x≤﹣2m即是2≤x≤3，此时图象在对称轴直线x＝﹣右侧，开口向上，当x＝2时，y＝（2﹣1）×（2+）＝；∴y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（2，）；②当MG＜，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段GM的延长线上，此时MH的最小值为HG﹣MG＝﹣（﹣m）＝，解得m＝﹣；∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+），﹣2m﹣1≤x≤﹣2m即是0≤x≤1，此时图象包含顶点（，﹣），开口向上，∴y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（，﹣）；综上所述，y＝（x﹣n）（x﹣m）在﹣2m﹣1≤x≤﹣2m的图象的最低点的坐标为（2，）或（，﹣）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数图象与系数的关系，动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用。

天津市第二十中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷(含解析)

天津市第二十中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷(含解析)

天津二十中2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（解析版）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）sin60°的值为（ ）A．B．C．D．2．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）下列说法正确的是（ ）A．“购买1张彩票，中奖”是不可能事件B．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3D．某射击运动员射击了九次都没有中靶，故他射击的第十次也一定不中靶4．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有5个红球和4个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是（ ）A．B．C．D．5．（3分）如图，点A（6，3）、B（6，0）在直角坐标系内．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C的坐标为（ ）A．（3，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（2，1）6．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y27．（3分）把抛物线y＝3（x﹣2）2+1的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A．y＝3（x﹣3）2﹣1B．y＝3（x﹣3）2+3C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x﹣1）2+38．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED 的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（ ）A．30°B．40°C．70°D．110°9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，连接BD，AD．若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是（ ）A．15°B．35°C．65°D．75°10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）A．B．C．D．11．（3分）如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；（2）分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD•CE；所有正确结论的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为 ．14．（3分）已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为 ．15．（3分）用一个圆心角为120°，半径为5的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 ．16．（3分）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有 人．17．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点B，C均落在格点上，点A在网格线上，且AC＝．（Ⅰ）线段AB的长等于 ；（Ⅱ）以AB为直径的半圆与边BC相交于点D，在圆上有一点P，使得BP平分∠ABC，请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（1）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2精过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得，3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法．（2）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）+m2+1＝0有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为x1，x2，（x1≠x2），且满足，求实数m的值．20．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m．设CD的长为x m．（1）则AB的长为 m，BC的长为 m，（用含x的代数式表示）（2）若花圃的面积为120m2，求花圃一边AB的长；（3）花圃的面积能达到130m2吗？说明理由．21．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．22．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CD ⊥AF交AF的延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若DC＝6，AB＝13，求AF的长．23．如图，某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心3米处达到最大高度为5米，以水池直径所在的直线为x轴，立柱所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）第一象限第抛物线第顶点坐标为 ，与x轴交点B坐标为 ；（2）求第一象限水柱所在抛物线的函数表达式；（3）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝OA．点B为x轴上一点，现在以B为旋转中心，将PB顺时针旋转60°至BM，连接PM．（1）：①∠PBM＝ ；②求证：△PBM为等边三角形；（2）当PA⊥x轴，B（，0）时，求AM的长；（3）当点B的坐标为（5，0）时，求线段AM的最大值（直接写出结果即可）．25．在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（﹣3，0），B（3，0）．已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a为常数，a≠0），与y轴相交于点C，P为顶点．（1）当抛物线过点A时，求该抛物线的顶点P的坐标；（2）若点P在x轴上方，当∠POB＝45°时，求a的值；（3）在（1）的情况下，连接AC，BC，点E，点F分别是线段CO，BC上的动点，且CE ＝BF，连接AE，AF，求AE+AF的最小值，并求此时点E和点F的坐标．参考答案与试题解析一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）sin60°的值为（ ）A．B．C．D．【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：sin60°＝．故选：B．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．2．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：根据概念，知A、B、D既是轴对称图形，也是中心对称图形；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选：C．【点评】掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．3．（3分）下列说法正确的是（ ）A．“购买1张彩票，中奖”是不可能事件B．“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件C．抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3D．某射击运动员射击了九次都没有中靶，故他射击的第十次也一定不中靶【分析】根据概率的意义进行判定即可得出答案．【解答】解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故本选项错误，不符合题意；B、“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件，故本选项正确，符合题意；C、抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，不能说明正面朝上的概率是0.3，随着实验次数的增多越来越接近于理论数值0.5，故本选项错误，不符合题意；D、射击运动员射击一次中靶与不中靶的可能性不相等，所以他击中靶的概率不是0.5，故本选项错误，不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．4．（3分）不透明袋子中装有9个球，其中有5个红球和4个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】根据袋子中装有9个球，其中2个红球，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵袋子中装有9个球，其中5个红球，∴它是红球的概率是；故选：D．【点评】本题考查了概率的公式．正确记忆概率＝所求情况数与总情况数之比是解题关键．5．（3分）如图，点A（6，3）、B（6，0）在直角坐标系内．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，那么点C的坐标为（ ）A．（3，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（2，1）【分析】根据得A、B的坐标求出OB、AB的长，根据位似的概念得到比例式，计算求出OD、CD的长，得到点C的坐标．【解答】解：∵A（6，3）、B（6，0），∴OB＝6，AB＝3，由题意得，△ODC∽△OBA，相似比为，∴＝＝，∴OD＝2，CD＝1，∴点C的坐标为（2，1），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质以及坐标与图形的性质，掌握位似的两个图形一定是相似形和相似三角形的性质是解题的关键．6．（3分）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【分析】根据k＞0，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．【解答】解：∵k＝2＞0，∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，∴点A，B在第三象限，C在第一象限，∴y2＜y1＜y3；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．7．（3分）把抛物线y＝3（x﹣2）2+1的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A．y＝3（x﹣3）2﹣1B．y＝3（x﹣3）2+3C．y＝3（x﹣2）2﹣1D．y＝3（x﹣1）2+3【分析】找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），∴平移后抛物线的顶点坐标为（1，3），∴平移后抛物线的解析式为y＝3（x﹣1）2+3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出平移后抛物线的解析式是解题的关键．8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AED 的位置，点E与B对应，且CD∥AB，则旋转角的度数为（ ）A．30°B．40°C．70°D．110°【分析】先根据平行线的性质得∠DCA＝BAC＝70°，再根据旋转的性质得∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，则根据等腰三角形的性质得∠ADC＝∠ACD＝70°，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAD＝40°，即可确定旋转角的度数．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，∴∠BAE＝∠CAD，AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＝70°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝40°，∴∠BAE＝∠CAD＝40°，即旋转角的度数为40°．故选：B．【点评】本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，能灵活运用旋转的性质进行推理是解此题的关键．9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，连接BD，AD．若∠ACD＝50°，则∠DBA的度数是（ ）A．15°B．35°C．65°D．75°【分析】根据切线的性质得出∠CAO＝90°，AC＝CD，求出∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣∠ACD）＝65°，求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再求出答案即可．【解答】解：∵CA，CD分别与⊙O相切于点A，点D，∴∠CAO＝90°，AC＝CD，∵∠ACD＝50°，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣∠ACD）＝65°，∴∠DAB＝90°﹣∠CAD＝90°﹣65°＝25°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA＝90°﹣∠DAB＝90°﹣25°＝65°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．【解答】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数y＝﹣cx+b经过第一、二、四象限，故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．11．（3分）如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图：（1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C；（2）分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D；（3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD•CE；所有正确结论的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，利用平行线的判定，相似三角形的性质一一判断即可．【解答】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB，OQ平分∠AOC，故①正确，∴OP⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC＝45°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴∠AOD＝∠OBC＝45°，∴OD∥BC，故②正确，∴＝＜1，∴OE＜EC，故③错误，连接CD．∵∠DCE＝∠DCO，∠CDE＝∠COD＝45°，∴△DCE∽△OCD，∴＝，∴CD2＝OD•CE，∵∠AOD＝∠DOC，∴＝，∴AD＝CD，∴AD2＝OD•CE，故④正确，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①正确；根据一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故②错误；根据对称轴为直线x＝﹣1得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故③错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故④正确．【解答】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴为直线x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故②错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故③错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故④正确，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为　（3，﹣2）　．【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，∵P点坐标为（﹣3，2），∴点P′的坐标（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．14．（3分）已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为　4π　．【分析】连接OA、OB，证出△AOB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径，然后求得周长即可．【解答】解：如图所示，连接OA、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OAM＝60°，∴OM＝OA•sin∠OAM，∴OA＝＝＝2，∴⊙O的周长为4π，故答案为：4π．【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OA是解决问题的关键．15．（3分）用一个圆心角为120°，半径为5的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 ．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长＝＝π＝，∴圆锥的底面半径为π÷2π＝．故答案为：．【点评】本题考查扇形的弧长公式，正确记忆圆锥的弧长等于底面周长是解题关键．16．（3分）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有　9　人．【分析】设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该小组共有x人，则每人需送出（x﹣1）张贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝72，整理得：x2﹣x﹣72＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去），∴该小组共有9人．故答案为：9．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为　3　．【分析】连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，根据等边三角形的性质得到AB＝CB＝4，∠BCH＝ACB＝60°＝30°，根据直角三角形的性质得到BH＝AB＝2，CH＝BC＝×4＝2，由切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝＝，推出当点P运动到H点时，CP最小，于是得到结论．【解答】解：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，∵等边三角形ABC的边长为4，∴AB＝CB＝4，∠BCH＝ACB＝60°＝30°，∴BH＝AB＝2，CH＝BC＝×4＝2，∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，在Rt△CPQ中，PQ＝＝，∵点P是AB边上一动点，∴当点P运动到H点时，CP最小，即CP的最小值为2，∴PQ的最小值为＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等边三角形的性质．18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点B，C均落在格点上，点A在网格线上，且AC＝．（Ⅰ）线段AB的长等于 ；（Ⅱ）以AB为直径的半圆与边BC相交于点D，在圆上有一点P，使得BP平分∠ABC，请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　如图，取AB与格线的交点O，取格点E，F，连接E，F交格线于点G，连接OG交半圆于点P，则点P即为所求　．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理直接求解即可．（Ⅱ）如图，取AB与格线的交点O，取格点E，F，连接E，F交格线于点G，连接OG 交半圆于点P，则点P即为所求．【解答】解：（Ⅰ）由题意AB＝＝，故答案为：．（Ⅱ）如图，点P即为所求作．故答案为：如图，取AB 与格线的交点O ，取格点E ，F ，连接E ，F 交格线于点G ，连接OG 交半圆于点P ，则点P 即为所求．解法二：如图，在AC 上找一点使得CQ ＝QA ＝，取AB 与格线的交点O ，连接OQ 交半圆于点P ，则点P 即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理．角平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（1）小敏与小霞两位同学解方程3（x ﹣3）＝（x ﹣3）2精过程如下框：小敏：两边同除以（x ﹣3），得，3＝x ﹣3，则x ＝6．小霞：移项，得3（x ﹣3）﹣（x ﹣3）2＝0，提取公因式，得（x ﹣3）（3﹣x ﹣3）＝0．则x ﹣3＝0或3﹣x ﹣3＝0，解得x 1＝3，x 2＝0．你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法．（2）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）+m 2+1＝0有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为x1，x2，（x1≠x2），且满足，求实数m的值．【分析】（1）小敏和小霞的做法都是错误的．利用因式分解法求解即可；（2）根据题意和根与系数的关系，可以求得m的值．【解答】解：（1）小敏和小霞的做法都是错误的．正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0的两根，∴x1+x2＝﹣（2m+1），x1，x2＝m2+1，又，∴，∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m2+1）＝15，解得，m1＝2，m2＝﹣4，又Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+1）＝4m﹣3＞0，∴，∴m＝2．【点评】本题考查根与系数的关系、解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法和根与系数的关系．20．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m．设CD的长为x m．（1）则AB的长为　x　m，BC的长为　（32﹣2x）　m，（用含x的代数式表示）（2）若花圃的面积为120m2，求花圃一边AB的长；（3）花圃的面积能达到130m2吗？说明理由．【分析】（1）根据CD的长为x m，则BC的长为（32﹣2x）m；（2）根据花圃的面积为120m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长18m，即可确定AB的长；（3）花圃的面积不能达到130m2，设AB的长为ym，则BC的长为（32﹣2y）m，根据花圃的面积为130m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣4＜0，可得出该方程没有实数根，即花圃的面积能达到130m2．【解答】解：（1）AB的长为x米，BC的长为（32﹣2x）米，故答案为：x，（32﹣2x）；（2）∵0＜32﹣2x≤18，∴7≤x＜16，由题意知x（32﹣2x）＝120，解得x1＝6（舍去），x2＝10，∴花圃一边AB的长为10m．（3）x（32﹣2x）＝130，x2﹣16x+65＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝162﹣4×1×65＝﹣4＜0，∴花圃的面积不能达到130m2，不能围成．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．21．已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD．（Ⅰ）如图①，连接OC，AD．若∠ADC＝56°，求∠CDB及∠COB的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作DB的垂线，交DB的延长线于点E，连接OD．若∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，求∠DCE的大小．【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠CDB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系可得答案；（2）由半径的关系可得∠ODB＝∠OBD，再利用∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°可得∠CDB＝20°，最后根据直角三角形锐角互余可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝56°，∴∠CDB＝90°﹣∠ADC＝90°﹣56°＝34°，在⊙O中，∠COB＝2∠CDB＝2×34°＝68°．（II）∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，即∠ODC+∠CDB＝∠OBD，∵∠ABD＝2∠CDB，∠ODC＝20°，∴20°+∠CDB＝2∠CDB，∴∠CDB＝20°，∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°，在Rt△CDE中，∠DCE＝90°﹣∠CDE＝90°﹣20°＝70°．【点评】本题考查圆的有关概念和性质，熟练掌握圆周角定理和推论是解题关键．22．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C．过点C作CD ⊥AF交AF的延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若DC＝6，AB＝13，求AF的长．【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BF，交AC与点E，首先借助圆周角定理证明四边形CEFD为矩形，由矩形性质可得EF＝CD＝6，OC⊥BF，利用垂径定理即可推导BF＝12；然后在Rt△ABF中，由勾股定理计算AF的长即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠FAB，∴∠FAC＝∠CAO，∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠FAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，∵OC为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接BF，交AC于点E，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠DFE＝180°﹣∠AFB＝90°，∵CD⊥AF，CD⊥OC，∴∠FDC＝∠DCE＝90°，∴四边形CEFD为矩形，∴EF＝CD＝6，∠CEF＝90°，即CE⊥BF，∵OC为⊙O半径，∴BF＝2EF＝2×6＝12，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AF＝＝5．【点评】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，灵活运用相关知识是解题关键．23．如图，某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的正中心有一个竖直的立柱，从立柱的顶端向外喷水，喷出的水恰好落在喷水池的边缘处，已知喷出的水柱为相同的抛物线，且在距离水池中心3米处达到最大高度为5米，以水池直径所在的直线为x轴，立柱所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）第一象限第抛物线第顶点坐标为　（3，5）　，与x轴交点B坐标为　（8，0）　；（2）求第一象限水柱所在抛物线的函数表达式；（3）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？请说明理由．【分析】（1）根据题意写出顶点坐标和与x轴的交点坐标即可；（2）设抛物线顶点式代入点（8，0）解出a值即可得到解析式；（3）令y＝1.8代入抛物线解析式求出x值作答即可．【解答】解：（1）根据题意和图示，第一象限抛物线的顶点坐标为（3，5），根据题意和图示，第一象限抛物线与x轴的交点坐标为（8，0），故答案为：（3，5）；（8，0）．（2）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，解得：，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，（3）为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．理由如下：当y＝1.8时，有，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y＝1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．24．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝OA．点B为x轴上一点，现在以B为旋转中心，将PB顺时针旋转60°至BM，连接PM．（1）：①∠PBM＝　60°　；②求证：△PBM为等边三角形；（2）当PA⊥x轴，B（，0）时，求AM的长；（3）当点B的坐标为（5，0）时，求线段AM的最大值（直接写出结果即可）．【分析】（1）由旋转的性质可得PB＝BM，∠PBM＝60°，可得结论；（2）由锐角三角函数可求∠ABP＝30°，由直角三角形的性质和勾股定理可求解；（3）由“SAS”可证△ABM≌△EBP，可得AM＝EP，则当PE取最大值时，AM有最大值，即可求解．【解答】（1）①解：由旋转的性质得∠PBM＝60°，故答案为：60°；②证明：由旋转的性质得PB＝BM，∠PBM＝60°，∴△PBM是等边三角形；（2）解：∵A（2，0），PA＝OA，PA⊥x轴，∴PA＝2，∠PAB＝90°，∵B（，0），∴OB＝，∴AB＝，∴∠ABP＝30°，∴PB＝2PA＝4，∵△PBM是等边三角形，∴PB＝BM＝4，∠PBM＝60°，∴∠ABM＝90°，∴AM＝＝2，若点P在x轴下方时，同理可求AM＝2，综上所述：AM的长为2或2．（3）解：如图，以AB为边在x轴下方作等边三角形ABE，连接PE，∵点B的坐标为（5，0），点A（2，0），△ABE，△PBM都是等边三角形，∴AB＝AE＝BE＝3，PB＝BM，∠ABE＝∠PBM＝60°，∴∠PBE＝∠ABM，∴△ABM＝△EBP（SAS），∴AM＝EP，∴当PE取最大值时，AM有最大值，∵OA＝AP，∴点P在以点A为圆心，AP为半径的圆上运动，∴当点P，点A，点E共线时，PE有最大值＝2+3＝5，∴AM的最大值为5．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．25．在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（﹣3，0），B（3，0）．已知抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a为常数，a≠0），与y轴相交于点C，P为顶点．（1）当抛物线过点A时，求该抛物线的顶点P的坐标；（2）若点P在x轴上方，当∠POB＝45°时，求a的值；（3）在（1）的情况下，连接AC，BC，点E，点F分别是线段CO，BC上的动点，且CE ＝BF，连接AE，AF，求AE+AF的最小值，并求此时点E和点F的坐标．【分析】（1）运用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，即可得出顶点的坐标；（2）利用配方法或公式法可得抛物线y＝ax2﹣5ax+4 的顶点P的坐标为（，。

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天津市九年级上学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2017八下·莒县期中) 如果一个四边形的两条对角线互相平分且相等，那么它一定是（）
A . 矩形
B . 菱形
C . 正方形
D . 梯形
2. （2分）(2017·普陀模拟) 如图，直线l1∥l2∥l3 ，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的各个三角函数值（）
A . 都缩小
B . 都不变
C . 都扩大5倍
D . 无法确定
4. （2分） (2016九上·磴口期中) A是双曲线y=﹣上一点，过点A向x轴作垂线，垂足为B，向y轴作垂线，垂足为C，则四边形OBAC的面积为（）
A . 6
B . 5
C . 10
D . ﹣5
5. （2分） (2017九上·西湖期中) 下列说法中，正确的是（）．
A . 买一张电影票，座位号一定是奇数
B . 投掷一枚均匀的硬币，正面一定朝上
C . 从，，，，这五个数字中任意取一个数，取得奇数的可能性大
D . 三个点一定可以确定一个圆
6. （2分）(2019·晋宁模拟) 若一次函数y＝kx+b图象经过第一、三、四象限，则关于x的方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（）
A . 有两个不相等的实数根
B . 有两个相等的实数根
C . 没有实数根
D . 只有一个实数根
7. （2分） (2017九上·河东开学考) 下列四边形：①菱形；②正方形；③矩形；④平行四边形．对角线一定相等的是（）
A . ①②
B . ②③
C . ①②③
D . ①②③④
8. （2分）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥ m，y轴∥ n，点A的坐标为（4，2），点B 的坐标为（﹣2，﹣2），则点C的坐标为（）
A . （2，1）
B . （﹣2，1）
C . （2，﹣1）
D . （﹣2，﹣1）
9. （2分）sin60°=（）
A .
B .
C . 1
D .
10. （2分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图完全相同，它一定是（）
A . 长方体
B . 圆柱
C . 圆锥
D . 球体
二、填空题 (共5题；共5分)
11. （1分） (2019九上·潮南期末) 方程x2＝3的解是________．
12. （1分） (2019九上·东台月考) 若菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为________.
13. （1分）一个反比例函数的图象位于第二、四象限．请你写出一个符合条件的解析式是________ ．
14. （1分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=________．
15. （1分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同．小张
通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则可估计袋中白色球的个数是________
三、解答题 (共8题；共70分)
16. （10分） (2018九上·梁子湖期末) 用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2） (x-1)(x+3)=12；
（3）；
（4） .
17. （10分） (2019九下·南关月考) 在春季“植树节”活动中，王亮和李明两位同学想通过摸球的方式来决定谁去参加学校的植树节活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中摸出一个小球，如果所摸出的小球上的数字之和小于6，那么王亮去，否则就是李明去．
（1）用画树状图或列表的方法，求出王亮去的概率；
（2）李明说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请你说明理由．
18. （10分） (2018九下·盐都模拟) 四边形ABCD的对角线交于点 E，且AE＝EC，BE＝ED，以AD为直径的半圆过点E，圆心为O．
（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；
（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD＝6，求弧AE 的长．
19. （5分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，CH⊥AB于点H，AC=3，CH=2，求BC的长．
20. （10分）(2018·清江浦模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B．
（1）求m的值；
（2）若PA=2AB，求k的值．
21. （5分） (2019七下·海淀期中) 有一张面积为100cm2的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为5：3，面积为150cm2 ，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．
22. （5分）(2016·昆都仑模拟) 海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离．
23. （15分） (2018八上·许昌期末) 背景知识：
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，则： .
（1）解决问题：
如图（2），∠ACD = 90°，AC = DC,MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB，试探究线段BA、BC、BD之间的数量关系.
不妨过点C作CE⊥CB,与MN交于点E，易发现图中出现了一对全等三角形，即________≌________，由此可得线段BA、BC、BD之间的数量关系是:________.
（2）类比探究：
将图（2）中的MN绕点A旋转到图（3）的位置，其它条件不变，试探究线段BA、BC、BD之间的数量关系，并证明.
（3）拓展应用：
将图（2）中的MN绕点A旋转到图（4）的位置，其它条件不变，若BD=2，BC= ，则AB的长为________.
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共8题；共70分)
16-1、
16-2、16-3、16-4、17-1、17-2、18-1、
18-2、
19-1、20-1、
20-2、21-1、
22-1、23-1、
23-2、
23-3、
第11 页共11 页。

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