冻土中的热传导

哈尔滨师范大学学年论文题目冻土中的热传导学生孟琳指导教师张宏伟副教授年级2008级专业应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2011年04月论文提要为了解决冻土中的热传导问题，我们设计的几种方案并且找到了切实的解决方案。

将此问题用数学建来解决，我们建立了一个建筑物下热流的完全三维模型，区别出三种不同的热传递模式（辐射、对流和传导）。

同时我们分别考虑了地下的不同层的不同情况。

主要用到物理热学中的热量的传导和数学中的外界值问题来使建筑物和道路下面的顶层永久冰冻。

我们可以讨论地下各层用什么样的材料才能保持永冻，所以我们逐层的研究它的热传导问题，确定出具体的温度及材料。

我们建立了模型讨论了层是均匀的和无水的；层是均匀的但含有呈现冰水混杂状态的水分。

最后为了达到我们心目中的结构由均匀的但不相同的若干层组成，我们将继续假定为理想的温度连接，以致在这里温度和热通量都是连续的。

有了这些建立的模型通过数学手段将其求解从而得到我们想要的结果进而解决了这个实际问题。

它的意义在于可以在这样一个冰冻的地方进行石油的开采。

冻土中的热传导孟琳摘要：为了解决冻土中的热传导问题，我们设计的几种方案并且找到了切实可行的解决方案。

将此问题用数学建来解决，我们建立了一个建筑物下热流的完全三维模型，区别出三种不同的热传递模式（辐射、对流和传导）。

同时我们分别考虑了地下的不同层的不同情况。

主要用到物理热学中的热量的传导和数学中的外界值问题来使建筑物和道路下面的顶层永久冰冻。

我们可以讨论地下各层用什么样的材料才能保持永冻，所以我们逐层的研究它的热传导问题，确定出具体的温度及材料。

我们建立了模型讨论了层是均匀的和无水的；层是均匀的但含有呈现冰水混杂状态的水分。

最后为了达到我们心目中的结构由均匀的但不相同的若干层组成，我们将继续假定为理想的温度连接，以致在这里温度和热通量都是连续的。

有了这些建立的模型通过数学手段将其求解从而得到我们想要的结果进而解决了这个实际问题。

它的意义在于可以在这样一个冰冻的地方进行石油的开采。

关键字：数学建模热量传导外界值问题问题：在北冰洋和阿拉斯加的布鲁克斯岭之间横沃着北斯洛普。

在这块寒、荒芜的冰原上已经发现了石油，而且预期在未来的年代里需要进行大量的石油勘探和开采活动。

在这种活动中很大部分需要工程机构（比如，打井机、输油管、工棚，与此同时还要有道路和机场）的安装。

由于所处的地理位置，在北斯洛普施工，像在北极与南极地带一样，由于场地处于永冻状态而复杂难办。

除了几尺的活性表面层，土壤中的水分永久的保持着冰冻深度可达6000多尺厚。

一年中的大部分时间，顶层都是冰冻的，但在夏日里，土壤中融化的冰平均表面有2~3尺深。

容易想象，如果位于地下的冰融了，那么置于冻土上的人造设备将会陷进土壤中去，如果设备发热，比如输送热油的地下管道，那么问题就变得更加严峻了，所造成的损失也是不可估量的。

方案: 为了解决这个问题。

也就是为了顺利将这种地理位置下的石油顺利开采出来，我们必须保证设备稳固以及开采输送过程中的安全问题。

在解决这些问题的过程中，我们已经逐步的将此问题转化为使建筑物和道路下面的顶层永久冰冻的问题。

一种可能的途径是用某种方式使建筑物和大地隔热，去防止因冰的融化所引起的支撑强度的降低。

这种隔热通常采用如下基本方法，建筑物由沙、石子、木料，可能还有人造材料装配到不同厚度的各个夹层中构成。

如果用这种解决方案，那么我们又将面临新的问题:施工费用问题。

结合地理位置在运输大量建筑材料时，由于此地与材料产地距离很远，用飞机、履带式车辆运输，这样就会撕裂大地的保护层同时也会伤害植被，这样所造成的经济损失是会大大超出我们所能承受的范围。

因此我们要设计出合理的方案使它成为最经济的结构设计。

为了得到适用于这个问题的方法我们将模拟层状介质中的热流的数学模型公式及其应用。

模型：I ）需要一个数学模型来描述建筑在永冻状态下的分层土地之上的结构的内部及其下 面的热流II)建立一个在建筑物之下的热流的三维模型III ）区别出三种不同的热传递模式：辐射、对流和传导 IV)考虑没有水分的同类土质的单层开始。

（1） 热流朝着温度降低的方向流动（2） 在温度变化过程中，物体得到的或失去的热量与物体的质量和温度的变化成正比。

（3） 通过一个面的热率流与这个面的面积和垂直于这个面的温度梯度成正比。

假设μ为控制体积的平均温度，θ为它的含热量，ρ为它的密度，那么，第二个法则可以表示为:∆θ=c ∆μρ∆xA （1） 比例常数c 叫做物质的比热容；ρ∆xA 为控制体积的质量。

第三个法则称为热传导的傅里叶法则。

如果我们假定在层中所考虑的点的临近的热流为严格的垂直的,那 么，对于在指定时刻t 经过时间间隔∆t ，通过面积A 深度为x 的沿x 增加方向的热损失∆θ可以写成：tθ∆∆=-kA x μ∂∂（x ，t ） （2）空气沥青沙子石子湿土（沙子）冻土（沙子）控制体积x x +dx图1-1其中比例常数k 称为物质的传导率。

在图中控制体积的能量平衡。

流经x+∆x 处那 个面的热的总量一定等于在时间间隔t ∆内热损失的总量，即 -kAx μ∂∂（x+∆x ，t ）+kA x μ∂∂（x ，t ）=-c ρ∆xA tμ∆∆ 假定温度随时间光滑的变化，我们就可以取当x ∆，t ∆→o 时的极限，从而得到在空间和时间中一点（x ，t ）处温度μ的傅里叶传导方程：K 22xμ∂∂（x ，t ）=c ρt μ∂∂（x ，t ） （3）在x=X 处，温度保持某个固定值x μ，即μ（x ，t ）=x μ （4） 我们将简单的假设土地顶层的温度是时间的一个确定函数，比如说μ（o ，t ）=α(t)最后我们还需要一个关于土地在我们观察的开始时刻o t 的初始温 度分布。

为了方便起见我们将选择o t =o 并写成μ（x ，o ）=o μ（x ） （6）o μ的实际形式可能因问题而异。

等式（3）~（6）定义了一个适定的初始边界问题。

它关于合理的数据的解存在，而且它能非常好的预言在均匀媒质中的温度场服从一维热流规律。

同时我们还必须知道有关函数α（t ），o μ（x ）以及物理常数k 、c 和ρ。

至此，我们已讨论了层是均匀的和无水的。

下面我们假设这层仍然是均匀的，但是含有呈现冰水混杂的状态的水分。

我们选取图中的沙子层，假定在已知时刻o t ，沙子在直线oo 以上是潮湿的，而在这直线以下是冻结的（这要求()o t α） 032F ，x μ 032F ）。

此刻把沙子看做两层是方便的，对于上一层，方程（3）和边界条件（5）都是成立的，其中k ，c 和ρ的值是就潮湿沙子来测定的。

冻结线以下的那一层，当k ，c 和ρ的值就是冻结沙子的情况来选取时方程（3）也成立。

自然，边界条件（4）继续有效。

为了计算将来时刻的温度分布，我们必须联合所谓的自由界面oo 处潮湿的和冰冻的沙子间的温度和热通量。

潮湿沙子层的底部和冻结沙子层的顶部两者都必定正好具有水的冻结温度（取做032F ）以致sw μ（s （t ），t ）=si μ(s(t),t)=32（7）其中sw 和si 表示沙子的潮湿层和冰冻层，而s （t ）表示在时刻t 时自由界面的位置。

自然，自由界面随时间的推移会移动的。

假定在时间间隔t ∆内，界面向下运动了距离s ∆，那么，融化一块冻结沙子s ∆∙A 用去的热量为：θ=si ρλs ∆∙A 其中si ρ为冻结沙子的密度，而λ为冻结沙子融化的潜热融化所需的热量，又由从潮湿沙子流出的热量减去传导进冰冻沙子的热损失提供。

因此：A sik si xμ∂∂_A sw k sw x μ∂∂=si ρλst ∆∆A 令t ∆→o ，我们找到了第二个自由界面条件为：si k si xμ∂∂—sw k sw x μ∂∂=si ρλ,s （t ） （8）为了找到部分冻结的均匀土质中的温度分布，我们需要同时求出s （t ）上面和下面能成立的两个热方程服从已知界面和界面条件的解{sw μ，si μ，s （t ）}。

到此为止我们所建立的模型还不完全。

我们的心中的结构由均匀的但不相同的若干层组成，这些层可以依次建立在层状土壤上。

对于每一个均匀层，上面的推导都适用。

在两层之间的边界，我们将假定为理想的温度连接，以致在这里温度和热通量都是连续的。

例如，如果在深度x=k x 处，一个界面出现在沙子层和在下面的石子层之间，那么，lim oε→[μ（k x +ε，t ）_μ(k x _ε,t)]=0, lim oε→[gk x μ∂∂(k x +ε，t)_ s k xμ∂∂(k x _ε,t)]=0其中记号s 和g 表示沙子和石子。

我们将假定总共M 个固定的不同的层，在那里存在从深度1i x -一直到i x 的第i 层。

在建筑物下面选取一个具有坐标（深度）x 的点，这个点将落进某个特定的材料层中，比如说，第i 层（可能是石子、土，或诸如此类的其它材料）。

这个点在时刻t的温度为μ（x，t）.它或者在冰点以上或者在冰点以下。

如果μ（x，t） 32o，那么，在这点的水分就是水，而热量参数用γ=ω表明。

如果μ（x，t） 32o，那么，水分呈现为冰，而热量参数用γ=f表明。

潮湿材料和冰冻材料之间的分解线位于深度为s（t）的地方，它落进某一层，比如说第j层。

并且一定被连同所有M层的温度μ（x，t）所确定。

解法：对于这个模型解法是很自由的，可以用格林和诺依曼函数项的表示，但它通常只用于初等计算，因此在解这个模型时我们借助于数值解法。

首先，使用所谓的直线法，它是用一种类常微分方程的边界值问题来替代热方程的。

由于能力有限在此就不给出具体的解法了。

参考文献：[1]蒋汉文，邱信立：热力学原理及应用，同济大学出版社，2001版。

[2]Williamf.Lucas:微分方程模型，国防科技大学出版社，2004版。

[3]王新秀等：热力学与气体动力学基础，西北工业大学出版社，2000版[4]刘来福，曾文艺：数学模型与数学建模，北京师范大学出版，1998版。