2020届四川省乐山市高考数学三模试卷(理科)(有答案)(已审阅)
2023届四川省乐山市高三三模数学(理)试题【含答案】
2023届四川省乐山市高三三模数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--≤，{}4B x x a =-≤≤，且{}43A B x x ⋃=-≤≤，则实数a 的取值范围是（）A ．(]4,2--B ．(]3,2--C ．[]3,3-D ．[]2,3-【答案】D【分析】求出集合A ，利用并集的定义可求得实数a 的取值范围.【详解】因为{}{}26023A x x x x x =--≤=-≤≤，{}4B x x a =-≤≤，且{}43A B x x ⋃=-≤≤，所以，23a -≤≤.故选：D.2．已知向量a ，b满足2a b ⋅=- ，||1b = ，则()2a b b -⋅= （）A ．4-B ．2-C ．0D ．4【答案】A【分析】由数量积的运算律计算．【详解】由已知，()22222214a b b a b b -⋅=⋅-=--⨯=- ．故选：A ．3．工业生产者出厂价格指数（PPI ）反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响．下图是我国2022年各月PPI 涨跌幅折线图．（注：下图中，月度同比是将上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是将上月作为基期相比较的增长率）下列说法中，最贴切的一项为（）A．2021年PPI逐月减小B．2022年PPI逐月减小C．2022年各月PPI同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差D．2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差【答案】D【分析】由折线图数据，结合同比与环比概念、方差大小与数据波动情况的关系进行辨析即可.【详解】对于A，由2022年10月，PPI同比为负可知，2021年10月PPI大于2022年10月PPI，由2022年10月，PPI环比为正可知，2022年10月PPI大于2022年9月PPI，由2022年9月，PPI同比为正可知，2022年9月PPI大于2021年9月PPI，故2021年10月PPI大于2021年9月PPI，PPI逐月减小说法不正确，故选项A错误；对于B，2022年2月、3月等月份，PPI环比均为正，相对于上月有增长，PPI逐月减小说法不正确，故选项B错误；对于C，2022年PPI同比涨跌幅的数据波动幅度明显比环比涨跌幅的数据波动幅度要大，因此2022年各月PPI同比涨跌幅的方差大于环比涨跌幅的方差，故选项C错误；对于D，2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的数据波动幅度明显比下半年各月PPI同比涨跌幅的数据波动幅度要小，因此2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差，故选项D正确.故选：D.4．执行下图所示的程序框图，若输入N的值为8，则输出S的值为（）A ．2-B ．22-C ．0D ．22【答案】C【分析】模拟程序运行，确定程序功能可得结论．【详解】模拟程序运行可得：π2π3π4π5π6π7π8πsin sin sin sin sin sin sin sin 44444444S =+++++++2222101002222=+++---+=，故选：C ．5．将4名成都大运会志愿者分配到三个场馆，每名志愿者只分配到1个场馆，每个场馆至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．6种B ．24种C ．36种D ．48种【答案】C【分析】选2人去一个场馆，其余2人各去一个场馆，即可得．【详解】由题意有且只有2名志愿者去一个场馆，因此不同的分配方案数为2343C A 36=，故选：C ．6．函数()411e ex x x f x +-=+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性和单调性进行辨析即可.【详解】由已知，()411e ex x x f x +-=+定义域为R ，x ∀∈R ，都有x -∈R ，()()()()441111e ee ex x x x x x f x f x -+-----===++，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项B 和选项C.又∵()()()()()()()311113114112211114e e e e 4e e e e e e e ex x x xx x x xx xx xx x x x f x +-+-+-+-+-+-⎡⎤+--+--⎣⎦'==++，令()()()11114ee e e x x x x g x x +-+-=+--，则()()()()()()111111114e e e e e e 33e e xx x x x x x x g x x x x +-+-+-+-'=---+--+=-，当3x >时，()0g x '<，∴()g x 在区间()3,+∞上单调递减，又∵()()()646464054e 9e 5e e e e g ---=+--+-<=，∴当5x >时，()0g x <，∴当5x >时，()0f x '<，∴()f x 在区间()5,+∞单调递减，故排除选项D.故选：A.7．将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，所得图象的函数（）A ．在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．在区间[]π,2π上单调递增D ．在区间3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B【分析】结合函数的周期性可直接判断AC ，求出平移后相应函数的解析式并化简，结合余弦函数性质判断BD ．【详解】函数的最小正周期是2ππ2T ==，选项AC 中区间长度是一个周期，因此不可能单调，图象左右平移后也不可能单调，AC 错；函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，所得图象的函数解析式为πππsin[2()]sin(2)cos 21232y x x x =++=+=，选项B ，3ππ,][2x ∈时，]π2[2π,3x ∈，在此区间上cos 2y x =是减函数，B 正确；选项D ，3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3π5π2[,]22x ∈，在此区间上cos 2y x =不是单调函数，D 错误．故选：B ．8．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知19a =-，2410a a +=-，则n S 的最小值为（）A ．25-B ．35-C ．45-D ．55-【答案】A【分析】由已知求得公差d ，得等差数列前n 项和n S ，结合二次函数知识得最小值．【详解】设公差为d ，则24(9)(9)310a a d d +=-++-+=-，2d =，22(1)(9)210(5)252n n n S n n n n -=⨯-+⨯=-=--，所以5n =时，n S 取得最小值25-．故选：A ．9．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交C 于P ，Q 两点，PH l ⊥于H ，若HF PF =，O 为坐标原点，则PFH △与OFQ 的面积之比为（）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】C【分析】根据给定的条件，求出直线PQ 的方程，与抛物线方程联立求出PF ，QF 的长即可求解作答.【详解】依题意，由PH l ⊥于H ，得||P H H P F F ==，即PFH △是正三角形，60PFx FPH ∠=∠= ，而(2,0)F ，则直线PQ 的方程为3(2)y x =-，由23(2)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理，得2320120x x -+=，令1122(,),(,)P x y Q x y ，解得1226,3x x ==，又准线:2l x =-，因此128||28,||23PF x QF x =+==+=，所以PFH △与OFQ 的面积之比221||sin 60821218||||sin 60223PFH OFQ PF S S QF OF ===⋅⨯ .故选：C.10．在直三棱柱111ABC A B C -中，3AB AC ==，12BC AA ==，点P 满足132CP mCB m CC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中30,2m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则直线AP 与平面11BCC B 所成角的最大值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12【答案】B【分析】分别取11,BC B C 中点1,D D ，分别1,,DA DB DD 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,由空间向量法求线面角的正弦值，然后结合函数知识得最大值。
2023年四川省乐山市高三高考三模理科数学试卷含答案
乐山市高中2023届第三次调查研究考试数学（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}260A x x x =--≤，{}4B x x a =-≤≤，且{}43A B x x ⋃=-≤≤，则实数a 的取值范围是（）A.(]4,2-- B.(]3,2--C.[]3,3- D.[]2,3-2.已知向量a ，b 满足2a b ⋅=-，||1b = ，则()2a b b -⋅= （）A.4-B.2- C.0D.43.工业生产者出厂价格指数（PPI ）反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响．下图是我国2022年各月PPI 涨跌幅折线图．（注：下图中，月度同比是将上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是将上月作为基期相比较的增长率）下列说法中，最贴切的一项为（）A.2021年PPI 逐月减小B.2022年PPI 逐月减小C.2022年各月PPI 同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差D.2022年上半年各月PPI 同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI 同比涨跌幅的方差4.执行下图所示的程序框图，若输入N 的值为8，则输出S 的值为（）A. B.22-C.0D.225.将4名成都大运会志愿者分配到三个场馆，每名志愿者只分配到1个场馆，每个场馆至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.6种B.24种C.36种D.48种6.函数()411e ex xx f x +-=+的图象大致为（）A. B.C. D.7.将函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，所得图象的函数（）A.在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C.在区间[]π,2π上单调递增D.在区间3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增8.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知19a =-，2410a a +=-，则n S 的最小值为（）A.25- B.35- C.45- D.55-9.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交C 于P ，Q 两点，PH l ⊥于H ，若HF PF =，O 为坐标原点，则PFH △与OFQ 的面积之比为（）A.6B.8C.12D.1610.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==，12BC AA ==，点P 满足132CP mCB m CC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中30,2m ⎡⎤∈⎢⎣⎦，则直线AP 与平面11BCC B 所成角的最大值为（）A.π6B.π4C.π3D.5π1211.已知函数e x y ax =-有两个零点1x 、2x ，函数1ln y x x a=-有两个零点2x 、3x ，给出下列4个结论：①12ln x x =；②23e x x =；③31e x x =；④2132x x x ⋅=．其中所有正确结论的序号是（）A.①②B.②③C.①②③D.①②④12.设O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线H ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点．过1F 作圆O ：222x y b +=的一条切线1FT ，切点为T ，线段1FT 交H 于点M ，若124sin 5F MF ∠=，OMT △的面积为1，则H 的方程为（）A.22124x y -= B.22122x y -=C.22116y x -= D.22144x y -=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.7i34i+=+______；14.已知x ，y 满足约束条件2360,220,1,x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则3x y -的最小值为______．15.已知数列{}n a 满足122n n a a +=+，11a =，则n a =______．16.在三棱锥-P ABC 中，2PA PC BA BC ====，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试卷考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某地区为深入贯彻二十大精神，全面推进乡村振兴，进一步优化农产品结构，准备引进一条农产品加工生产线．现对备选的甲、乙两条生产线进行考察，分别在甲、乙两条生产线中各随机抽取了200件产品，并对每件产品进行评分，得分均在[]75,100内，制成如图所示的频率分布直方图，其中得分不低于90产品为“优质品”．（1）求在甲生产线所抽取200件产品的评分的均值（同一区间用区间中点值作代表）；（2）将频率视作概率，用样本估计总体．在甲、乙两条生产线各随机选取2件产品，记“优质品”件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin :sin :sin 2A B C =，2b =．（1）求c 的值；（2）求cos A 的值；（3）求πsin 23A ⎛⎫-⎪⎝⎭的值．19.如图，正方形ABCD 的边长为4，PA ⊥平面ABCD ，CQ ⊥平面ABCD ，2PA CQ ==，M 为棱PD 上一点．（1）是否存在点M ，使得直线//AM 平面BPQ ?若存在，请指出点M 的位置并说明理由；若不存在，请说明理由；（2）当ABM 的面积最小时，求二面角B CM D --的余弦值．20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长等于焦距．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线交C 于P ，Q，交直线x =N ，记OP ，OQ ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若123()1k k k +=，求22||||OP OQ +的值．21.已知函数()(1)e 2x f x x ax =-++．（1）若()f x 在区间(0，1)上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）若0x ≥，()sin cos f x x x ≥+，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积的最大值.[选修45-：不等式选讲]23.已知函数111()212222f x x x x =-++++．（1）画出f （x ）的图象，并写出()6f x ≤的解集；（2）令f （x ）的最小值为T ，正数a ，b 满足a b T +=，证明：22111110Ta b +≥++．乐山市高中2023届第三次调查研究考试数学（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】C【10题答案】【答案】B【答案】D 【12题答案】【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】1i -【14题答案】【答案】112-【15题答案】【答案】1322n -⨯-【16题答案】【答案】)161π-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试卷考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．【17题答案】【答案】（1）91.75分（2）分布列见解析，52【18题答案】【答案】（1）c =（2）528（3）32-【19题答案】【答案】（1）存在，M 为PD 的中点时满足条件（2）214529-【答案】（1）22142x y +=（2）6【21题答案】【答案】（1）(e,)-+∞（2）[)1,+∞（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【22题答案】【答案】（1）2sin 2cos ρθθ=-（21[选修45-：不等式选讲]【23题答案】【答案】（1）作图见解析，{}|62x x -≤≤（2）证明见解析。
四川省乐山市高中2020届高三第三次调查研究考试数学(理)试题+Word版含答案byde
机密★启用前乐山市高中2020届第三次调查研究考试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2,0,1M =-，{}23N x x =∈-<<N ，则M N ⋃=（ ）． A ．{}2,1,0,1,2,3-- B ．{}2,0,1,2,3- C ．{}2,0,1,2-D ．{}2,1,0,1,2--2．已知复数()1i z a a =+-（i 为虚数单位，a ∈R ），则“()0,2a ∈”是“在复平面内z 所对应的点在第一象限”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是奇函数，且0x >时，()2π1sin 2f x x x =+，则()2f -=（ ）． A ．2B ．2-C ．3D ．3-4．已知a =344log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>5．已知向量a r 与向量()4,6m =r 平行，()5,1b =-r ，且14a b ⋅=r r ，则a =r（ ）．A．⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C ．()4,6--D ．()4,66．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的22⨯列联表：附表及公式：()()()()()22n ad cb K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++()2P K k >0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828则下列结论正确的是（ ）．A ．在犯错的概率不超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”B ．在犯错的概率超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”C ．有99.9％以上的把握认为“支付方式与性别有关”D ．有99.9％以上的把握认为“支付方式与性别无关”7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入2x =，2n =，依次输入a 为1，2，4，则输出的S 的值为（ ）．A ．4B ．10C ．11D ．128．数列{}n a 中，已知对任意n *∈N ，1231n n a a a +++=-L ，则22212n a a a +++=L （ ）．A ．912n -B ．912n +C ．922n -D ．922n +9．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点()2,1在“右”区域内，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）．A ．5⎛ ⎝⎭B ．51,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．5⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10．已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC △的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，π3ACD ACB ∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）． A ．26B ．46C ．23D ．4312．已知函数()π4sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，43π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，…，n x ，且123n x x x x <<<<L ，则1231222n n x x x x x -+++++=L （ ）．A ．1190π3B ．1192π3C ．398πD ．1196π3二、填空题：13．已知函数()()3211f x x xf '=+-，则函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为______．14．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为______．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A 、B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线FB 与直线x a =的交点为M ，若2BM FB =u u u u r u u u r ，且AFM △93，则椭圆的标准方程为______．16．我们把一系列向量()1,2,,i a i n =r L 按次序排列成一列，称之为向量列，记作{}i a r ．已知向量列{}i a r满足：()11,1a =r ，()()()11111,,22n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥r，设n θ表示向量1n a -r 与n a r 的夹角，若2πn n n b θ=，对于任意正整数n ()1221111log 122n n n n a b b b ++>-L 恒成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据需求作答． （一）必考题17．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-． （1）求角B 的值；（2）若7a c +=，13b =，求ABC △的面积．18．为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量．（1）若某日播报的AQI 为119，已知轻度污染区AQI 平均值为70，中度污染区AQI 平均值为115，求重试污染区AQI 平均值；（2）如图是2018年11月份30天的AQI 的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI 在[)140,150内．①某校参照官方公布的AQI ，如果周日AQI 小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从11月份AQI 不小于170的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中AQI 值不小于200的天数的分布列和数学期望．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，2π3BAC ∠=，E 、F 分别为AB 、11B C 的中点，G 为线段1CC 上的动点．（1）证明：//EF 平面11AAC C ；（2）当二面角11F AG C --21时，证明：1BF A G ⊥．20．已知抛物线2:4C y x =，过点()2,0P 的直线与抛物线C 相交于M 、N 两点．（1）若点Q 是点P 关于坐标原点O 的对称点，求MQN △面积的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PM 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由． 21．已知函数()2ln 2f x x x ax =+-． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断并说明函数()()3cos g x f x x =-的零点个数．若函数()g x 所有零点均在区间[](),,m n m n ∈∈Z Z 内，求n m -的最小值．（二）选考题22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox ． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知A 、B 是曲线C 上任意两点，且π4AOB ∠=，求OAB △面积的最大值． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=．（13； （2）证明：9412ab bc ac abc ++≥．参考答案1．D【解析】{}{}231,0,1,2N x x =∈-<<=-N ，故{}2,1,0,1,2M N ⋃=--，故选D ． 2．B【解析】在复平面内z 所对应的点在第一象限，有0a >，10a ->，得01a <<， 故“()0,2a ∈”是“在复平面内z 所对应的点在第一象限”的必要不充分条件，故选B ．3．D【解析】因为()f x 是奇函数，所以()()π122sin 4322f f ⎡⎤-=-=-+⨯=-⎢⎥⎣⎦，故选D ． 4．B【解析】由题得140661a ==>=，33444log log 1021b =<=，2.9110133c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故有a c b >>，故选B ． 5．C【解析】因为向量a r 与向量()4,6m =r 平行，可设3,2a k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭r， 由14a b ⋅=r r 可得35142k k -+=，得4k =-，所以()4,6a =--r，故选C ．6．C【解析】由22⨯列联表得到40a =，10b =，25c =，25d =，代入()()()()()22n ad cb K a b c d a c b d -=++++，解得()2210010002509.8950506535K ⨯-=≈⨯⨯⨯，因为6.6359.8910.828<<，所以有99％以上的把握认为“支付方式与性别有关”，故选C ． 7．D【解析】输入1a =时，0211s =⨯+=，011k =+=，此时12k =>不成立； 输入2a =时，1224s =⨯+=，112k =+=，此时22k =>不成立； 输入4a =时，42412s =⨯+=，213k =+=，此时32k =>成立； 输出的S 的值为12，故选D ． 8．A【解析】由1231n n a a a +++=-L ，当2n ≥时，112131n n a a a --+++=-L ，两式相减得()1232n n a n -=⨯≥，又12a =，满足123n n a -=⨯，则123n n a -=⨯．高中学习讲义所以数列{}n a 是首项为12a =，公比3q =的等比数列，则{}2n a 是首项为214a =，29q =的等比数列，故()2221241991192n n na a a --+++==-L ，故选A ． 9．C【解析】双曲线的渐近线为b y x a =±，且“右”区域是由不等式组b y x ab y x a ⎧<⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩所确定，又点()2,1在“右”区域内，于是有21b a <，即12b a >，因此双曲线的离心率2e ⎛⎫=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ． 10．A【解析】由题知点()2,0A ，点()2cos ,2sin B θθ，则()()1122cos 2sin 022S AC BC θθθ=⨯⋅=-⋅≥，故排除A 、B ， 又因为当3π4θ=时，()2S θ>，故选A ．11．B【解析】由题意知A ，B ，C ，D 四点都落在球面上，且AC 为直径， 所以AC 的中点即为球心O ，所以π2ADC ABC ∠=∠=， 因为4AC =，π3ACD ACB ∠=∠=，所以2BC CD ==， 又知2BD =，所以BCD △为正三角形，取BCD △中心H ， 则OH ⊥面BCD ， 所以OH HC ⊥，CH =， 因为2OC =，所以OH =高中学习讲义又因为AC 中点为O ，所以点A 到平面BCD 的距离为点O 到平面BCD 的2倍，即距离为63，故选B ． 12．A【解析】函数()π4sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令ππ2π62x k -=+，得1ππ23x k =+，k ∈Z ， 即()f x 的对称轴方程为1ππ23x k =+，k ∈Z ，因为()f x 的最小正周期为πT =，43π03x ≤≤，当0k =时，可得y 轴右侧第一条对称轴为π3x =，当28k =时，43π3x =，所以()f x 在43π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有28条对称轴， 根据正弦函数性质可知，函数()π4sin 26f x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭与3y =的交点有29个， 且1x ，2x 关于π3对称，2x ，3x 关于5π6对称，...， 即122π26x x +=⨯，235π26x x +=⨯， (282983)26x x +=⨯，以上各式相加得：12328292π5π83π1190π22226663x x x x x ⎛⎫+++++=+++= ⎪⎝⎭L L ， 故选A ．13．330x y ++=【解析】因为()()2321f x x f ''=+，则()()1321f f ''=+，得()13f '=-，则()()11236f =+⨯-=-，故切线方程为()()631y x --=--，即330x y ++=．高中学习讲义14．38【解析】设拼成的正方形得面积为1， 由图知，最大的三角形面积为14，最小的三角形面积为116， 平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍， 由此可得阴影部分的面积为38，则所求的概率为38． 15．22143x y += 【解析】由2BM FB =u u u u r u u u r，且//OB AM （O 为坐标原点），得13OF OB AF AM ==，所以2a c =，3AM b =，b =， 又因为()132AFM S a c b =+⨯=△，解得1c =， 所以2a =，b =22143x y +=． 16．()1【解析】11cos n nn n na a a a θ--⋅=u u u r u u ru u u r u u r()()()11111111,,n n n n n n x y x y x y ------⎛⎫⋅-+ ⎪=221111n n x y --+==，所以π4n θ=，故24n n b =222122n n n=+++++L L ，令()222122f n n n n=+++++L ， 则()()()22222212321122f n f n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+++-+++⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭L L高中学习讲义2202122n n =->++， 所以()f n 单调递增，所以()()min 11f n f ==，则()11log 122n a >-， 因为120a ->，所以102a <<，则212a a ->，解得11a -<<-综上所述，()1a ∈．17．【解析】（1）由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-，由正弦定理得222b c a ac -=-，即222a cb ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==， 因为0πB <<，所以π3B =． （2）由（1）得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 即2213a c ac +-=，所以()2313a c ac +-=，即12ac =，所以11sin 12222ABC S ac B ==⨯⨯=． 18．解：（1）设重度污染区AQI 平均值为x ， 则119970211543x ⨯=⨯+⨯+，解得157x =． （2）①AQI 在[)140,170上的有830308900⨯⨯=天， AQI 在[)170,200上的有530305900⨯⨯=天， AQI 在[)200,230上的有230302900⨯⨯=天，所以11月份AQI 不小于150天的共852114++-=天． 即能参加户外活动的概率为14813015P =-=． ②AQI 不小于170天的共7天，不小于200天的共2天，x 的所有可能取值为0，1，2．高中学习讲义所以x 的分布列为x0 12P27 47 17则24160127777EX =⨯+⨯+⨯=． 19．【解析】（1）证明：取BC 的中点M ，连接EM 、FM ，因为E 、F 分别为AB 、11B C 的中点，所以//EM AC ，1//MF CC ，EM MF M ⋂=，1AC CC C ⋂=， 所以平面//EMF 平面11AAC C ，又因为EF ⊂平面EMF ，EF ⊄平面11AAC C ， 所以//EF 平面11AAC C ．（2）不妨设11AB AC AA ===， 由余弦定理得113B C =，如图建立空间直角坐标系1A xyz -，设()0,1,G h ，131,02B ⎫-⎪⎪⎝⎭，31,12B ⎫-⎪⎪⎝⎭，()1/C 0,1,0EF ， 所以31,,044F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1A FG 的一个法向量为(),,m x y z =r， 则()10,1,AG h =u u u u r ，131,,044A F ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，则1100A G m A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u u r r ，得03104y hz x y +=⎧⎪⎨+=⎪，高中学习讲义可取(,m h =r，易知平面11AGC 的一个法向量为()1,0,0n =r，所以cos ,m n m n m n ⋅===⋅r rr rr r ，解得34h =，此时3,,144BF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，130,1,4A G ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 所以10BF AG ⋅=u u u r u u u u r ，即1BF A G ⊥． 20．【解析】依题意，点Q 的坐标为()2,0Q -，可设()11,M x y ，()22,N x y ， 直线MN 的方程为2x my =+，联立224x my y x=+⎧⎨=⎩，得2480y my --=，则124y y m +=，128y y ⋅=-， 所以12142MQN S y y =⨯⨯-==≥△，即当0m =时，MQN△面积的最小值为 （2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，则以PM 为直径的圆的方程为()()()1120x x x y y y --+-=，将直线x a =代入，得()()21120y y y a a x -+--=，则()()()()2111424120y a a x a x a a ∆=---=-+->⎡⎤⎣⎦，设直线l 与以PM 为直径的圆的交点为()3,A a y ，()4,B a y ， 则341y y y +=，()()3412y y a a x ⋅=--， 于是有34AB y y =-==，当10a -=，即1a =时，2AB =为定值． 故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =．21．【解析】（1）()2ln 2f x x x ax =+-的定义域为()0,+∞，高中学习讲义()2122122ax x f x ax x x-++'=+-=，当0a =时，()210x f x x+'=>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0a <时，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令22210ax a -++=，得x =x =．当10,2x a ⎛+∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增．当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减． （2）当1a =时，()2ln 23cos g x x x x x =+--， 当(]0,1x ∈时，()2ln 2f x x x x =+-单调递增，()()11f x f ≤=，π33cos 3cos13cos32x ≥>=， 则()0g x <，故不存在零点．当π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1223sin g x x x x '=+-+，()122f x x x '=+-在π1,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， 所以()π22π2πf x f ⎛⎫''≥=+- ⎪⎝⎭，π33sin 3sin13sin 62x >>=， 所以()232π0π2g x '>+-+>，所以()g x 单调递增． 又()113cos10g =-<，2πππln π0224g ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，高中学习讲义所以存在唯一的1π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()10g x =．当π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()1223sin g x x x x '=+-+，()2123cos 0g x x x ''=--+<，所以()g x '单调递减， 又π22π302πg ⎛⎫'=+-+>⎪⎝⎭，()1π22π0πg '=+-<， 所以存在0π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，使得()00g x '=， 当0π,2x x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，()00g x '>，()g x 单调递增； 当(]0,πx x ∈，()00g x '<，()g x 单调递减； 又π02g ⎛⎫>⎪⎝⎭，()2πln π2ππ30g =+-+>． 因此，()0g x >在π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上恒成立，故不存在零点． 当(]π,4x ∈时，()2123cos 0g x x x''=--+<， 所以()g x '单调递减，因为()π0g '<，所以()0g x '<，()g x 单调递减． 又()π0g >，()4ln 48163cos40g =+--<， 所以存在唯一的(]2π,4x ∈，使得()20g x =，当()4,x ∈+∞时，()22123320g x x x x x x <-+-+=-++<，故不存在零点．综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且1π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(]2π,4x ∈，因此n m -的最小值为3．22．【解析】（1）消去参数α，得到曲线C 的标准方程为()2224x y -+=，故曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．高中学习讲义（2）在极坐标系Ox 中，设()10,A ρθ，20π,4B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 其中10ρ>，20ρ>，0ππ22θ-<<， 由（1）知：104cos ρθ=，20π4cos 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则OAB △的面积12001ππsin cos 244S ρρθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 即2000004cos 4sin cos 2cos 22sin 2S θθθθθ=-=-+0π2624θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当0π8θ=-时，max 2S =，所以OAB △面积的最大值为2．23．【解析】（1）证明：因为a ，b 为正数，所以a b +≥，同理可得b c +≥a c +≥，则()2a b c ++≥ 当且仅当1a b c ===时，等号成立．3≤．（2）证明：要证9412ab bc ac abc ++≥， 只要证14912a b c++≥即可， 即证()14936a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭， 即证499414936b a a c b c a b c a c b++++++++≥， 即证499422b a a c b ca b c a c b +++++≥，因为44a b b a +≥=，96a c c a +≥=，9412b cc b +≥=， 所以499422b a a c b ca b c a c b+++++≥， 当且仅当12a =，1b =，32c =时等号成立，得证．。
四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）含答案解析
四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2）B．（1，2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ35．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C． +D．+6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．611．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2C．2 D．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（）的值为．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．18．（12分）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．（12分）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O 为坐标原点）．23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2）B．（1，2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x≥4}={x|x≥2}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}={x＞1}，∴A∩B={x|x≥2}=[2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果．【解答】解：∵==1+i∴=1﹣i故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．5．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C． +D．+【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定【考点】BK：线性回归方程．【分析】由样本数据可得，，，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．【解答】解：由题意，=（15+16+18+19+22）=18，=（102+98+115+115+120）=110，xiyi=9993，5=9900，xi2=1650，n（）2=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100故选：B．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．【点评】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】8H：数列递推式．，化为：【分析】S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1a n=2a n，利用等比数列的通项公式可得：a n=2n﹣1.化为：2n﹣1≤2n，即2n ﹣1≤4n．验证n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n，利用二项式定理展开即可得出．2n＞4n．【解答】解：S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．a n=2n﹣1．化为：2n﹣1≤2n，即2n≤4n．n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n=++…+++≥2（+）=n2+n+2，下面证明：n2+n+2＞4n，作差：n2+n+2﹣4n=n2﹣3n+2=（n﹣1）（n﹣2）＞0，∴n2+n+2＞4n，则满足的最大正整数n的值为4．故答案为：C．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3∴p=4故选：B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可．【解答】解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2．可得，故选：C．【点评】本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．11．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2C．2 D．【考点】35：函数的图象与图象变化；3T：函数的值．【分析】由图象的顶点坐标求出A，根据周期求得ω，再由sin[2（﹣）+φ]=0以及φ的范围求出φ的值，从而得到函数的解析式，进而求得f（π）的值．【解答】解：由函数的图象可得A=2，根据半个周期=•=，解得ω=2．由图象可得当x=﹣时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin[2（﹣）+φ]=0．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=，∴f（π）=4，故选A．【点评】本小题主要考查函数与函数的图象，求函数的值，属于基础题．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，运用求根公式和指数函数的值域，解不等式可得a的范围．【解答】解：f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1的导数为f′（x）=2e2x﹣2e x+a，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，即有（e x﹣）2=，即为e x=+或e x=﹣，即有7﹣2a＞0且7﹣2a＜1，解得3＜a＜．故选B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程的解的个数问题的解法，注意运用配方和二次方程求根公式，以及指数函数的值域，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=72．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】可得a1+a8=18，代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：72【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为﹣80．【考点】DB：二项式系数的性质；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据两直线垂直求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x3的系数．【解答】解：直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，∴2a+1×（﹣1）=0，解得a=；∴二项式（﹣）5 =（2x﹣）5展开式的通项公式为T r=•（2x）5﹣r•=（﹣1）r•25﹣r••x5﹣2r，+1令5﹣2r=3，求得r=1，∴展开式中x3的系数为﹣1•24•=﹣80．故答案为：﹣80．【点评】本题主要考查了两条直线垂直以及二项式定理的应用问题，是基础题．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（）的值为﹣1．【考点】3T：函数的值．【分析】根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，可得答案．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（﹣1）=1，f（0）=0，f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1，f（3）=f（2）﹣f（1）=0，f（4）=f（3）﹣f（2）=1，f（5）=f（4）﹣f（3）=1，f（6）=f（5）﹣f（4）=0，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1，故当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故f（）=f（1）=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当x ∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，是解答的关键．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是①④．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据抽象函数的定义结合“关于t函数”的定义和性质分别进行判断即可．【解答】解：①对任一常数函数f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），∴常数函数是“关于t函数”，故①正确，②正比例函数必是一个“关于t函数”，设f（x）=kx（k≠0），存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得k（x+t）=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程无解，故②不正确；③“关于2函数”为f（2+x）=2•f（x），当函数f（x）不恒为0时，有=2＞0，故f（x+2）与f（x）同号．∴y=f（x）图象与x轴无交点，即无零点．故③错误，④对于f（x）=（）x设存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得（）t+x=t（）x，也就是存在t使得（）t（）x=t（）x，也就是存在t使得（）t=t，此方程有解，故④正确．故正确是①④，故答案为①④．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数的定义和性质是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（•乐山三模）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos∠POQ的值．（Ⅱ）利用用割补法求三角形POQ的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．【解答】解：﹙Ⅰ﹚因为，且，所以．所以．（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而，所以==．因为，所以当时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为．【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题．18．（12分）（•乐山三模）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，∴X的分布列为：X050100 150200P∴EX==55（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）（•乐山三模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P（0，0，2），H（，，0），C（0，2，0），B（，﹣1，0），F（0，1，1），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos＜，＞==，即二面角A﹣CP﹣B的余弦值是．【点评】本小题主要考查直线垂直的证明和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（•乐山三模）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围．【解答】解：（I）因为，所以F1为F2Q中点．设Q的坐标为（﹣3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径为2c因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0．设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）．=（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4）又=（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x2﹣x1，k（x2﹣x1））．由于菱形对角线互相垂直，则（）•=0，所以（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0．故（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k]=0．因为k＞0，所以x2﹣x1≠0．所以（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k﹣2m=0．所以（1+k2）（﹣）+4k﹣2m=0．解得m=﹣，即因为k＞，可以使，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．21．（12分）（•乐山三模）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m ∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；（2）因为对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间[1，e]上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x）＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间[1，e]上恒成立，再通过研究f（x）在[1，e]上的单调性求最值，结合（Ⅰ）的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ax﹣=，（Ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a=0时，f′（x）=＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0，结合x＞0，解得，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递减；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述：当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）因为对任意m∈[1，e]，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m∈[1，e]，直线PM的斜率小于0，即，所以f（m）＜1，即f（x）在区间[1，e]上的最大值小于1．又因为f′（x）=ax﹣=，令g（x）=ax2﹣2，x∈[1，e]（1）当a≤0时，由（Ⅰ）知f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）=＜1，所以a＜2，故a≤0符和题意；（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得，①当≤1，即a≥2时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数f（x）的最大值f（e）=，解得a＜，故无解；②当≥e，即时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=＜1，解得a＜2，故0；③当，即时，函数f（x）在（1，）上单调递减；当x ∈（，e）上单调递增，故f（x）在区间x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），所以，即，故．综上所述a的取值范围．【点评】本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题，然后从函数的单调性入手分析，注意本题第二问讨论时的标准，一般要借助于函数图象辅助来解决问题．一方面利用了数学结合思想，同时重点考查了分类讨论思想的应用，有一定难度．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）（•乐山三模）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O 为坐标原点）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C1，C1的平面直角坐标方程，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，能求出曲线C1与C2交点的平面直角坐标．（Ⅱ）作出图形，由平面几何知识求出当|AB|最大时|AB|=2，O到AB 的距离为，由此能求出△OAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程是（θ为参数），∴曲线C1的平面直角坐标方程为（x+2）2+y2=4．又由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，得2x2+4x=0，解得或，∴曲线C1与C2交点的平面直角坐标为（0，0），（﹣2，2）．（Ⅱ）如图，由平面几何知识可知：当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|=2，O到AB的距离为，∴△OAB的面积为S=．【点评】本题考查两曲线交点的平面直角坐标的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的相互转化及应用．23．（•乐山三模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=﹣1，从而解不等式t2﹣3t＞﹣1即可求得实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。
2020年四川省乐山市高考数学三诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年四川省乐山市高考数学三诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合M ={x|x >0}，N ={x|x 2−4≥0}，则M ∪N =( )A. (−∞,−2]∪(0，+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [3,+∞)D. (0,+∞)2. 已知复数z =a +(1−a)i(i 为虚数单位，a ∈R)，则“a ∈(0,2)”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知函数f(x)为奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+1x ，则f(−1)=( )A. −2B. 0C. 1D. 24. 已知a =√64，b =log 54421，c =(13)2.9，则( ) A. a >b >c B. a >c >b C. b >c >a D. c >a >b5. 已知向量a ⃗ =(−2,−1)，b ⃗ =(2,−2)，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +2b ⃗ )等于( )A. 7B. −6C. −10D. −136. 支付宝和微信支付已经成为现如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民(男女居民各50名)喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的2×2列联表：附表及公式：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n =a +b +c +d ．则下面结论正确的是( )A. 有99.9％以上的把握认为“支付方式与性别有关”B. 在犯错误的概率超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”D. 有99％以上的把握认为“支付方式与性别无关”7. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x =3，n =2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =( )A. 8B. 17C. 29D. 838. 数列{a n }满足a 1=2019，且对任意的n ∈N ∗，有a n+1−a n ≤2n ，a n+3−a n ≥7·2n ，则a 2020=( )A. 22019+2018B. 22019+2017C. 22020+2017D. 22020+20189. 双曲线x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A. (1,√52) B. (√52,+∞) C. (1,54)D. (54,+∞)10. 已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆C ：x 2+y 2=4相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，△ABC 的面积为S(θ)，则函数S(θ)的图像大致是( )A. B.C. D.11.在三棱锥A−BCD中，AC⊥底面BCD，BD⊥DC，BD=DC，AC=1，∠ABC=30°，则C到平面ABD的距离是()A. √55B. √155C. √35D. √15312.函数，x∈[0,2π3]的值域是()A. [0,1]B. [0,2]C. [0,√3]D. [√3,2]二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.函数f(x)=x2+3xf′(1)，在点(2,f(2))处的切线方程为______ ．14.如图是我国三国时期著名数学家赵爽弦图，图中大正方形的面积是34，四个全等直角三角形组成的一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，现向大正方形内随机抛一粒绿豆，则绿豆落在小正方形的概率为______．15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若点F到直线AB距离为5√1414b，则该椭圆的离心率为______．16.若|a⃗|=1，|b⃗ |=2，c⃗=a⃗+b⃗ 且c⃗⊥a⃗，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为_________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且(a2+b2−c2)tanC=√3ab．(1)求角C的大小；(2)求√3sinBcosB+cos2B的取值范围．18.追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：(1)从空气质量指数属于[0,50]，(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；(2)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y={0,0≤x≤100,220,100<x≤250,1480,250<x≤300,试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望．19.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在AB上．(1)若D是AB中点，求证：AC1//平面B1CD；(2)当BDAB =13时，求二面角B−B1C−D的余弦值．20.已知点P(1,2)到抛物线C：y2=2px(p>0)准线的距离为2．(Ⅰ)求C的方程及焦点F的坐标；(Ⅱ)设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点．求|MF|⋅|NF|的值．21.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=rcosα+2y=rsinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=π3．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)当0<r<2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围．23.若a，b，c∈R+，且满足a+b+c=2．(1)求abc的最大值；(2)证明：1a +1b+1c≥92．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合M ，N ，再利用并集定义求解． 解：∵集合M ={x|x >0}，N ={x|x 2−4≥0}={x|x ≥2或x ≤−2}，∴M ∪N ={x|x ≤−2或x >0}=(−∞,−2]∪(0，+∞)． 故选：A ．2.答案：B解析：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断和复数的代数表示及其几何意义，属于基础题． 若在平面内复数z 所对应的点位于第一象限，有{a >01−a >0，得0<a <1，即可得出结果．解：若在平面内复数z 所对应的点位于第一象限，有{a >01−a >0，得0<a <1，故“a ∈(0,2)”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的必要不充分条件， 故选B ．3.答案：A解析：解：∵函数f(x)为奇函数，x >0时，f(x)=x 2+1x ， ∴f(−1)=−f(1)=−2， 故选：A ．利用奇函数的性质，f(−1)=−f(1)，即可求得答案． 本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4.答案：B。
2020年四川省乐山市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合M={-1，0，1}，N={x|x2-2x＜0}，则M∩N=（）A. {0}B. {1}C. {0，1}D. {-1，0，1}2.i是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知tanα=，则cos2α的值为（）A. B. C. D.4.已知向量，满足•=0，||=1，||=3，则|-|=（）A. 0B. 2C. 2D.5.已知抛物线y2=ax上的点M（1，m）到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为（）A. y2=2xB. y2=4xC. y2=3xD. y2=5x6.设随机变量X的概率分布表如表，则P（|X-2|=1）=（）X1234P mA. B. C. D.7.已知f（x）=e x-x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），则（）A. p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B. p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C. p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0D. p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤08.已知函数f（x）=A sinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）=cosωx的部分图象如图所示，则（）A. A=1，ω=B. A=2，ω=C. A=1，ω=D. A=2，ω=9.函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A. B.C. D.10.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和 3.1416这两个近似数值．如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的n=24，则p的值可以是（参考数据：=1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305，sin3.75°≈0.0654）（）A. 2.6B. 3C. 3.1D. 3.1411.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 11πD. 5π12.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在（2x-）6的展开式中，二项式系数最大的项为______．14.若正实数a，b满足2a+b=1，则的最小值为______．15.已知函数f（x）=的定义城为R，数列{a n}（n∈N*）满足a n=f（n），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是______．16.在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}中，a2=5，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和为S n．18.每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点“以及“性别”作出调查，得到的情况如在家用餐在餐馆用餐总计女性30男性40总计50100（）完成上述列联表；（2）根据表中的数据，试通过计算判断是否有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别“有关；（3）若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取6人，再在6人中抽取3人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.828K2=n =a+b+c+d19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=AB，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面BD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，求二面角C-SB-D的余弦值．20.设椭圆（a＞b＞0）的离心率为，圆O：x2+y2=2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断|PM|•|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21.已知函数f（x）=（1+a）x2-ln x-a+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜1，求证：当x＞0时，函数y=xf（x）的图象恒在函数y=ln x+（1+a）x3-x2的图象上方．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．23.已知函数f（x）=|x|+|x-1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m-1|恒成立，求实数m的最大值；（Ⅱ）记（Ⅰ）中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：N={x|0＜x＜2}；∴M∩N={1}．故选：B．可求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2.答案：C解析：解：z==-1-i，所以对应的点在第三象限；故选：C．首先化简复数为最简形式，然后根据复数的实部和虚部符号判断位置．本题考查了复数的运算以及其几何意义；属于基础题．3.答案：D解析：解：cos2α=cos2α-sin2α====．故选：D．利用余弦的二倍角公式可求得cos2α=cos2α-sin2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2a，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．4.答案：D解析：解：∵•=0，||=1，||=3，∴=．故选：D．直接利用向量的模的公式求解．本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是基础题．5.答案：B解析：解：由题得点M（1，m）到准线的距离为2，所以1-，∴a=4．所以该抛物线的标准方程为y2=4x．故选：B．根据点M（1，m）到其焦点的距离为2得到点M到准线的距离为2，解方程组即得解．本题主要考查抛物线的定义和标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．6.答案：C解析：解：由|X-2|=1可解得x=3或x=1，再由分布列的性质可得m=1-（++）=，∴P（|X-2|=1）=P（X=1）+P（X=3）=+=故选：C．由题意可得X和的值，代入P（|X-2|=1）=P（X=1）+P（X=3）计算可得．本题考查离散型随机变量及其分布列，属基础题．7.答案：B解析：解：f（x）=e x-x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），是真命题，它的否定是：∃x0∈R，f（x0）≤0．故选：B．判断命题的真假，然后利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查．8.答案：B解析：解：由图象可知，A=1，=1.5，∴A=2，T=6，又6=T=，∴ω=，故选：B．结合图象可知，A=1，=1.5，然后再由周期公式即可求解ω本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．9.答案：D解析：【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用,属于中档题．直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，,得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B．当x=时，函数的值为0，故排除C．故选D．10.答案：C解析：解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥p，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥p，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥p，退出循环，输出n的值为24，故p=3.1，故选：C．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．11.答案：B解析：【分析】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．12.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和三点共线的性质，考查运算能力，属于中档题．将x=c代入双曲线的方程，求得A的纵坐标，由|F2Q|＞|F2A|，结合a，b，c和离心率公式可得e的范围；再由双曲线的定义和恒成立思想，讨论F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|，结合离心率公式可得e的范围，再由e＞1，取交集即可得到所求范围．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2-a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．13.答案：-20x3解析：解：因为（2x-）6的展开式中，共有7项，所以二项式系数最大的项是中间项，即第4项．所以二项式系数最大的项为T4=•（2x）3•=-20x3，故答案为：-20x3．判断二项展开式的项数，即可判断二项式系数最大的项．本题考查二项式定理系数的性质，展开式是奇数项，则中间项二项式系数最大，偶数项，中间两项二项式系数相等且最大，属于基础题．14.答案：解析：解：=（）（2a+b）=2++=．∵a，b是正实数，∴．即的最小值为．当且仅当，即a=b=时“=”成立．故答案为：．把看作（）•1，然后把1换为2a+b，展开后利用基本不等式求最值．本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．15.答案：（3，+∞）解析：解：由题得，∴，解得a＞3．∴实数a的取值范围是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．根据已知得到关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围．本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．16.答案：解析：解：∵，其中0≤x≤1，0≤y≤1，∴动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形∴S=AB×r，其中r为△ABC的内切圆的半径在△ABC中，由余弦定理可得cos A=∴5AB2-12AB-65=0∴AB=5∴∵O是△ABC的内心，∴O到△ABC各边的距离均为r，∴∴r=∴S=AB×r==．故答案为：．根据，其中0≤x≤1，0≤y≤1，可得动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形，S=AB×r，r为△ABC的内切圆的半径，计算AB及r，即可得到结论．本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．17.答案：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，a2=5，a1，a4，a13成等比数列，所以a1+d=5，a42=a1a13，即（a1+3d）2=a1（a1+12d），化简得d2=2d，则d=0或d=2，当d=0时，a n=5；当d=2时，a1=5-d=3，a n=3+2（n-1）=2n+1；（2）由（1）知当a n=5时，S n=5n；当 an=2n+1 时，则 Sn==2n+n2．解析：（1）设等差数列{an}的公差为 d，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程得到 d 和首项的值，即得数列的通项公式；（2）利用等差数列的前 n 项和公式可得所求和．本题主要考查等差数列的通项的求法和等比数列的性质，考查等差数列的前 n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．18.答案：解：（1）所求的 2×2 列联表如下：在家用餐在餐馆用餐总计女性103040男性402060总计5050100（2）K2==16.67＞10.828，故有 99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关． （3）由题意可知 ξ 的可能值为 0，1，2，P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，∴ξ 的分布列为：ξ012P∴Eξ=0× +1× +2× =1．解析：（1）根据表格中数据的关系，完善 2×2 列联表； （2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论； （3）由题意可知 ξ 的可能值为 0，1，2，求出相应的概率值，即可得到 ξ 的分布列和数学期望． 本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验以及离散型随机变量的期望的求法，分布列的求法， 考查计算能力．19.答案：证明：（1）因为∠ABC=90°，BC=CD，所以∠CBD=45°，△BCD 是等腰直角三角形， 故 BD= ，因为 AB= ，∠ABD=45°， 所以△ABD∽△BCD，∠ADB=90°，即 BD⊥AD， 因为侧面 SAD⊥底面 ABCD，交线为 AD， 所以 BD⊥平面 SAD，所以平面 SBD⊥平面 SAD． 解：（2）过点 S 作 SE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E， 因为侧面 SAD⊥底面 ABCD，所以 SE⊥底面 ABCD， 所以∠SDE 是底面 SD 与底面 ABCD 所成的角，即∠SDE=60°， 过点 D 在平面 SAD 内作 DF⊥AD， 因为侧面 SAD⊥底面 ABCD，所以 DF⊥底面 ABCD，第 11 页，共 15 页如图建立空间直角坐标系 D-xyz，设 BC=CD=1，则 B（0，），C（- ， ，0），S（- ，0， ），则 =（0，）， =（- ，- ， ）， =（- ，- ，0），设 =（x，y，z）是平面 SBD 法向量，则，取 x= ，得 =（），设 =（x，y，z）是平面 SBC 的法向量，则，取 x= ，得 =（），|cos＜ ＞|= = = ， 所以二面角 C-SB-D 的余弦值为 ．解析：（1）取 AB 中点 M，连接 DM，可得 DB⊥AD 又侧面 SAD⊥底面 ABCD，可得 BD⊥平面 SAD， 即可得平面 SBD⊥平面 SAD． （2）以 D 为原点，DA，DB 所在直线分别为 x，y 轴建立空间直角坐标系，求出设面 SCB 的法向量 和面 SBD 的法向量．利用向量法即可求解． 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c，由椭圆的离心率为 知，，∴椭圆 C 的方程可设为．易求得，∴点在椭圆上，∴，解得，∴椭圆 C 的方程为；（Ⅱ）当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 ，，由（Ⅰ）知，，，则，∴OM⊥ON．当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），∴，即 m2=2（k2+1）．第 12 页，共 15 页联立直线和椭圆的方程得 x2+2（kx+m）2=6，∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0，得．∵，，∴OM⊥ON．∴=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）==，综上所述，圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于点 M，N，都有 OM⊥ON． 在 Rt△OMN 中，由△OMP 与△NOP 相似得，|OP|2=|PM|•|PN|=2 为定值．解析：（Ⅰ）根据离心率得到，代入椭圆方程，根据题意得知点在椭圆上，并将该点的坐标代入椭圆，可求出 b 的值，进而得出 a 的值，从而求出椭圆 C 的方程；（Ⅱ）对圆 O 在点 P 处的切线的斜率是否存在进行分类讨论．一是斜率不存在时，可得出点 M、N 的坐标，从而求出|PM|•|PN|的值；二是斜率存在时，设该切线方程为 y=kx+m，设点 M（x1，y1），N（x2，y2），由直线 MN 与圆 O 相切得出 m 与 k 之间所满足的关系式，并将直线 MN 的方程与椭圆 C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的运算得出，得出 OM⊥ON，由△OMP 与△NOP 相似得，|OP|2=|PM|•|PN|，于是证出结论． 本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在椭圆中的应用，并结合向量运 算一起考查，考查计算能力，属于难题．21.答案：解：（1）函数 f（x）=（1+a）x2-lnx-a+1 的定义域为：（0，+∞）且 f′（x）=2（1+a）xー =当 a≤-1 时，f′（x）＜0，函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数；当 a＞-1 时，令 f′（x）=0，解得：x=，此时 f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增（2）证明：若 a＜1，则当 x＞0，时，问题转化为不等式： xf（x）＞lnx+（1+a）x3-x2 在（0，+∞）上恒成立， 只需要证明： x[（1+a）x-lnx-a+1]＞lnx+（1+a）x3-x2 在（0，+∞）上恒成立，即证：lnx-x＜- -a+1 在（0，+∞）上恒成立，令 F（x）=lnx-x，g（x）=- -a+1第 13 页，共 15 页因为 F′（x）= -1= ，易得 F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减， ∴F（x）≤F（1）=-1 又因为：g′（x）=- = ，当 0＜x＜e 时，g′（x）＜0，当 x＞e 时，g′（x）＞0， 所以 g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，所以 g（x）≥g（e）=- -a+1，∵a＜1 时，所以- -a+1＞- ＞-1，即 F（x）max＜g（x）min，所以 lnx-x＜- -a+1 在（0，+∞）上恒成立∴当 x＞0 时，函数 y=xf（x）的图象恒在函数 y=lnx+（1+a）x3-x2 的图象上方． 故答案为：（1）当 a≤-1 时，f′（x）＜0，函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数；当 a＞-1 时，令 f′（x）=0，解得：x=，此时 f（x）在（0， （2）见证明．）上递减，在（，+∞）上递增，解析：（1）求出函数求 f′（x），x＞0，由此利用导数性质讨论函数 f（x）的单调性； （2）问题转化为不等式 xf（x）＞lnx+（1+a）x3-x2 在（0，+∞）上恒成立，即证 F（x）max＜g（x） min，恒成立即可． 本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，考查两函数最值的关系，解题时要认真 审题，注意导数性质和构造法的合理运用．是难题，22.答案：解：（Ⅰ）直线 l 的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为 ．所以：，曲线 C1 的参数方程为（θ 为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4．转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ，曲线 C2 的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，第 14 页，共 15 页线 l 交曲线 C1 于 O，A 两点，则：，解得：A（2 ， ），直线和曲线 C2 于 O，B 两点则：，解得：B（4， ），所以：|AB|=|ρ1-ρ2|=4-2 ．解析：（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学 生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：（Ⅰ）由 f（x）=，得 f（x）min=1，要使 f（x）≥|m-1|恒成立， 只要 1≥|m-1|，即 0≤m≤2，实数 m 的最大值为 2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 a2+b2=2，又 a2+b2≥2ab，故 ab≤1， （a+b）2-4a2b2=a2+b2+2ab-4a2b2=2+2ab-4a2b2=-2（ab-1）（2ab+1）， ∵0＜ab≤1，∴（a+b）2-4a2b2=-2（ab-1）（2ab+1）≥0， ∴a+b≥2ab．解析：（Ⅰ）求出 f（x）的最小值，得到关于 m 的不等式，求出 m 的范围即可； （Ⅱ）求出 0＜ab≤1，根据其范围证明即可． 本题考查了绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．第 15 页，共 15 页。
2020届乐山三诊数学(理)试题
2020届乐山三诊理科数学一、选择题：（每小题5分）1．已知集合{}2,0,1M =-，{}23N x x =∈-<<N ，则M N ⋃=（ ）． A ．{}2,1,0,1,2,3-- B ．{}2,0,1,2,3- C ．{}2,0,1,2- D ．{}2,1,0,1,2--2．已知复数()1i z a a =+-（i 为虚数单位，a ∈R ），则“()0,2a ∈”是“在复平面内z 所对应的点在第一象限”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是奇函数，且0x >时，()2π1sin 2f x x x =+，则()2f -=（ ）． A ．2B ．2-C ．3D ．3-4．已知a =344log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>5．已知向量a r 与向量()4,6m =r 平行，()5,1b =-r ，且14a b ⋅=r r ，则a =r（ ）．A．⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C ．()4,6--D ．()4,66．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的22⨯列联表：附表及公式：()()()()()22n ad cb K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++则下列结论正确的是（ ）．A ．在犯错的概率不超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”B ．在犯错的概率超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”C ．有99.9％以上的把握认为“支付方式与性别有关”D ．有99.9％以上的把握认为“支付方式与性别无关”7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入2x =，2n =，依次输入a 为1，2，4，则输出的S 的值为（ ）．A ．4B ．10C ．11D ．128．数列{}n a 中，已知对任意n *∈N ，1231n n a a a +++=-L ，则22212n a a a +++=L （ ）．A ．912n -B ．912n +C ．922n -D ．922n +9．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点()2,1在“右”区域内，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）．A ．51,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．51,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10．已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC △的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，π3ACD ACB ∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）．A．263B．463C．233D．43312．已知函数()π4sin26f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，43π0,3x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()3F x f x=-的所有零点依次记为1x，2x，3x，…，nx，且123nx x x x<<<<L，则1231222n nx x x x x-+++++=L（）．A．1190π3B．1192π3C．398πD．1196π3二、填空题：13．已知函数()()3211f x x xf'=+-，则函数()f x在()()1,1f处的切线方程为______．14．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为______．15．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左焦点为F，A、B分别为C的右顶点和上顶点，直线FB与直线x a=的交点为M，若2BM FB=u u u u r u u u r，且AFM△的面积为932，则椭圆的标准方程为______．16．我们把一系列向量()1,2,,ia i n=rL按次序排列成一列，称之为向量列，记作{}i a r．已知向量列{}i a r满足：()11,1a=r，()()()11111,,22n n n n n n na x y x y x y n----==-+≥r，设nθ表示向量1na-r与nar的夹角，若2πn nnbθ=，对于任意正整数n()1221111log122nn n nab b b++>-L恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据需求作答．（一）必考题17．在ABC△中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且222cos cos sin sin sinC B A A C-=-．（1）求角B的值；（2）若7a c+=，13b=ABC△的面积．18．为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量．（1）若某日播报的AQI 为119，已知轻度污染区AQI 平均值为70，中度污染区AQI 平均值为115，求重试污染区AQI 平均值；（2）如图是2018年11月份30天的AQI 的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI 在[)140,150内．①某校参照官方公布的AQI ，如果周日AQI 小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从11月份AQI 不小于170的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中AQI 值不小于200的天数的分布列和数学期望．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，2π3BAC ∠=，E 、F 分别为AB 、11B C 的中点，G 为线段1CC 上的动点．（1）证明：//EF 平面11AAC C ；（2）当二面角11F AG C --的余弦值为2114时，证明：1BF A G ⊥．20．已知抛物线2:4C y x =，过点()2,0P 的直线与抛物线C 相交于M 、N 两点．（1）若点Q 是点P 关于坐标原点O 的对称点，求MQN △面积的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PM 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由．21．已知函数()2ln 2f x x x ax =+-． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断并说明函数()()3cos g x f x x =-的零点个数．若函数()g x 所有零点均在区间[](),,m n m n ∈∈Z Z 内，求n m -的最小值．（二）选考题22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox ． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知A 、B 是曲线C 上任意两点，且π4AOB ∠=，求OAB △面积的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=．（13； （2）证明：9412ab bc ac abc ++≥．参考答案1．D【解析】{}{}231,0,1,2N x x =∈-<<=-N ，故{}2,1,0,1,2M N ⋃=--，故选D ． 2．B【解析】在复平面内z 所对应的点在第一象限，有0a >，10a ->，得01a <<， 故“()0,2a ∈”是“在复平面内z 所对应的点在第一象限”的必要不充分条件，故选B ． 3．D【解析】因为()f x 是奇函数，所以()()π122sin 4322f f ⎡⎤-=-=-+⨯=-⎢⎥⎣⎦，故选D ． 4．B【解析】由题得140661a ==>=，33444log log 1021b =<=，2.9110133c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故有a c b >>，故选B ． 5．C【解析】因为向量a r 与向量()4,6m =r 平行，可设3,2a k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭r， 由14a b ⋅=r r 可得35142k k -+=，得4k =-，所以()4,6a =--r，故选C ．6．C【解析】由22⨯列联表得到40a =，10b =，25c =，25d =，代入()()()()()22n ad cb K a b c d a c b d -=++++，解得()2210010002509.8950506535K ⨯-=≈⨯⨯⨯，因为6.6359.8910.828<<，所以有99％以上的把握认为“支付方式与性别有关”，故选C ． 7．D【解析】输入1a =时，0211s =⨯+=，011k =+=，此时12k =>不成立； 输入2a =时，1224s =⨯+=，112k =+=，此时22k =>不成立；输入4a =时，42412s =⨯+=，213k =+=，此时32k =>成立； 输出的S 的值为12，故选D ． 8．A【解析】由1231n n a a a +++=-L ，当2n ≥时，112131n n a a a --+++=-L ，两式相减得()1232n n a n -=⨯≥，又12a =，满足123n n a -=⨯，则123n n a -=⨯．所以数列{}n a 是首项为12a =，公比3q =的等比数列，则{}2n a 是首项为214a =，29q =的等比数列，故()2221241991192n n na a a --+++==-L ，故选A ． 9．C【解析】双曲线的渐近线为b y x a =±，且“右”区域是由不等式组b y x ab y xa ⎧<⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩所确定，又点()2,1在“右”区域内，于是有21b a <，即12b a >，因此双曲线的离心率2e ⎛⎫=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ． 10．A【解析】由题知点()2,0A ，点()2cos ,2sin B θθ，则()()1122cos 2sin 022S AC BC θθθ=⨯⋅=-⋅≥，故排除A 、B ， 又因为当3π4θ=时，()2S θ>，故选A ．11．B【解析】由题意知A ，B ，C ，D 四点都落在球面上，且AC 为直径， 所以AC 的中点即为球心O ，所以π2ADC ABC ∠=∠=， 因为4AC =，π3ACD ACB ∠=∠=，所以2BC CD ==， 又知2BD =，所以BCD △为正三角形，取BCD △中心H ， 则OH ⊥面BCD ，所以OH HC ⊥，233CH =， 因为2OC =，所以263OH =．又因为AC 中点为O ，所以点A 到平面BCD 的距离为点O 到平面BCD 的246，故选B ． 12．A【解析】函数()π4sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令ππ2π62x k -=+，得1ππ23x k =+，k ∈Z ， 即()f x 的对称轴方程为1ππ23x k =+，k ∈Z ，因为()f x 的最小正周期为πT =，43π03x ≤≤，当0k =时，可得y 轴右侧第一条对称轴为π3x =，当28k =时，43π3x =，所以()f x 在43π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有28条对称轴， 根据正弦函数性质可知，函数()π4sin 26f x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭与3y =的交点有29个， 且1x ，2x 关于π3对称，2x ，3x 关于5π6对称，…， 即122π26x x +=⨯，235π26x x +=⨯，…，282983π26x x +=⨯， 以上各式相加得：12328292π5π83π1190π22226663x x x x x ⎛⎫+++++=+++= ⎪⎝⎭L L ， 故选A ．13．330x y ++=【解析】因为()()2321f x x f ''=+，则()()1321f f ''=+，得()13f '=-，则()()11236f =+⨯-=-，故切线方程为()()631y x --=--，即330x y ++=． 14．38【解析】设拼成的正方形得面积为1， 由图知，最大的三角形面积为14，最小的三角形面积为116， 平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍， 由此可得阴影部分的面积为38，则所求的概率为38． 15．22143x y += 【解析】由2BM FB =u u u u r u u u r，且//OB AM （O 为坐标原点），得13OF OB AF AM ==，所以2a c =，3AM b =，b =，又因为()132AFM S a c b =+⨯=△，解得1c =， 所以2a =，b =22143x y +=． 16．()1【解析】11cos n nn n na a a a θ--⋅=u u u r u u ru u u r u u r()()()11111111,,n n n n n n x y x y x y ------⎛⎫⋅-+ ⎪=2211112n n x y --+==，所以π4n θ=，故24n n b =222122n n n=+++++L L ，令()222122f n n n n=+++++L ， 则()()()22222212321122f n f n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+++-+++⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭L L 2202122n n =->++， 所以()f n 单调递增，所以()()min 11f n f ==，则()11log 122n a >-， 因为120a ->，所以102a <<，则212a a ->，解得11a -<<-综上所述，()1a ∈．17．【解析】（1）由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-，由正弦定理得222b c a ac -=-，即222a cb ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==， 因为0πB <<，所以π3B =． （2）由（1）得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 即2213a c ac +-=，所以()2313a c ac +-=，即12ac =，所以11sin 12222ABC S ac B ==⨯⨯=． 18．解：（1）设重度污染区AQI 平均值为x ， 则119970211543x ⨯=⨯+⨯+，解得157x =． （2）①AQI 在[)140,170上的有830308900⨯⨯=天， AQI 在[)170,200上的有530305900⨯⨯=天， AQI 在[)200,230上的有230302900⨯⨯=天， 所以11月份AQI 不小于150天的共852114++-=天． 即能参加户外活动的概率为14813015P =-=．②AQI 不小于170天的共7天，不小于200天的共2天，x 的所有可能取值为0，1，2．()8387207C P x C ===，()213237417C C P x C ===，()123237127C C P x C ===， 所以x 的分布列为 x 0 1 2P27 47 17 则24160127777EX =⨯+⨯+⨯=． 19．【解析】（1）证明：取BC 的中点M ，连接EM 、FM ，因为E 、F 分别为AB 、11B C 的中点，所以//EM AC ，1//MF CC ，EM MF M ⋂=，1AC CC C ⋂=，所以平面//EMF 平面11AAC C ，又因为EF ⊂平面EMF ，EF ⊄平面11AAC C ，所以//EF 平面11AAC C ．（2）不妨设11AB AC AA ===，由余弦定理得113B C =，如图建立空间直角坐标系1A xyz -，设()0,1,G h ，131,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1/C 0,1,0EF ， 所以31,,044F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1A FG 的一个法向量为(),,m x y z =r ， 则()10,1,AG h =u u u u r ，131,04A F ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u u r ，则1100A G m A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u u r r，得0104y hz x y +=⎧+=，可取(,m h =r ，易知平面11AGC 的一个法向量为()1,0,0n =r，所以cos ,14m n m n m n ⋅===⋅r r r r r r ，解得34h =，此时3,14BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，130,1,4A G ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 所以10BF AG ⋅=u u u r u u u u r ，即1BF A G ⊥． 20．【解析】依题意，点Q 的坐标为()2,0Q -，可设()11,M x y ，()22,N x y ， 直线MN 的方程为2x my =+，联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，得2480y my --=， 则124y y m +=，128y y ⋅=-， 所以12142MQN S y y =⨯⨯-==≥△， 即当0m =时，MQN △面积的最小值为（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，则以PM 为直径的圆的方程为()()()1120x x x y y y --+-=，将直线x a =代入，得()()21120y y y a a x -+--=，则()()()()2111424120y a a x a x a a ∆=---=-+->⎡⎤⎣⎦， 设直线l 与以PM 为直径的圆的交点为()3,A a y ，()4,B a y ，则341y y y +=，()()3412y y a a x ⋅=--，于是有34AB y y =-==，当10a -=，即1a =时，2AB =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =．21．【解析】（1）()2ln 2f x x x ax =+-的定义域为()0,+∞，()2122122ax x f x ax x x-++'=+-=， 当0a =时，()210x f x x+'=>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0a <时，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令22210ax a -++=，得x =x =．当10,2x a ⎛+∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当12x a ⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增．当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减． （2）当1a =时，()2ln 23cos g x x x x x =+--， 当(]0,1x ∈时，()2ln 2f x x x x =+-单调递增， ()()11f x f ≤=，π33cos 3cos13cos32x ≥>=， 则()0g x <，故不存在零点． 当π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1223sin g x x x x '=+-+， ()122f x x x '=+-在π1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 所以()π22π2πf x f ⎛⎫''≥=+-⎪⎝⎭，π33sin 3sin13sin 62x >>=，所以()232π0π2g x '>+-+>，所以()g x 单调递增． 又()113cos10g =-<，2πππln π0224g ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一的1π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()10g x =． 当π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1223sin g x x x x '=+-+，()2123cos 0g x x x ''=--+<， 所以()g x '单调递减， 又π22π302πg ⎛⎫'=+-+> ⎪⎝⎭，()1π22π0πg '=+-<， 所以存在0π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，使得()00g x '=， 当0π,2x x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()00g x '>，()g x 单调递增； 当(]0,πx x ∈，()00g x '<，()g x 单调递减； 又π02g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()2πln π2ππ30g =+-+>． 因此，()0g x >在π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上恒成立，故不存在零点． 当(]π,4x ∈时，()2123cos 0g x x x''=--+<， 所以()g x '单调递减， 因为()π0g '<，所以()0g x '<，()g x 单调递减．又()π0g >，()4ln 48163cos40g =+--<，所以存在唯一的(]2π,4x ∈，使得()20g x =，当()4,x ∈+∞时，()22123320g x x x x x x <-+-+=-++<，故不存在零点． 综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且1π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(]2π,4x ∈， 因此n m -的最小值为3．22．【解析】（1）消去参数α，得到曲线C 的标准方程为()2224x y -+=， 故曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）在极坐标系Ox 中，设()10,A ρθ，20π,4B ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 其中10ρ>，20ρ>，0ππ22θ-<<， 由（1）知：104cos ρθ=，20π4cos 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则OAB △的面积12001ππsin cos 244S ρρθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 即2000004cos 4sin cos 2cos 22sin 2S θθθθθ=-=-+0π2624θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当0π8θ=-时，max 2S =，所以OAB △面积的最大值为2．23．【解析】（1）证明：因为a ，b 为正数，所以a b +≥，同理可得b c +≥a c +≥，则()2a b c ++≥当且仅当1a b c ===时，等号成立．3≤．（2）证明：要证9412ab bc ac abc ++≥， 只要证14912a b c++≥即可， 即证()14936a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭， 即证499414936b a a c b c a b c a c b++++++++≥， 即证499422b a a c b c a b c a c b+++++≥，因为44a b b a +≥=，96a c c a +≥=，9412b c c b+≥=，所以499422 b a a c b ca b c a c b+++++≥，当且仅当12a=，1b=，32c=时等号成立，得证．。
2020年四川乐山高三三模数学试卷(理科)
．
故选 ．
6. C
解析:
由 列联表得到
，
，
，
，
代入
，
解得
，
因为
，
所以有 以上的把握认为“支付方式与性别有关”．
故选 ．
7. D
解析:
输入
时，
输入
时，
输入
时，
确．
故选 ．
，
，此时
不成立；
，
，此时
不成立；
，
，此时
成立，输出的 的值为 ，故 正
8. A
解析:
由
，当
时，
．两式相减得
，
又
，满足
，
则
，
所以数列 是首项为
值不小于 的天数的分布列和数学期望．
5
19. 如图，在直三棱柱 的中点， 为线段
中， 上的动点．
，
， 、 分别为 、
（ 1 ） 证明：
平面
．
（ 2 ） 当二面角
的余弦值为 时，证明：
．
20. 已知抛物线 ：
，过点
的直线与抛物线 相交于 、 两点．
（ 1 ） 若点 是点 关于坐标原点 的对称点，求
面积的最小值．
，
即
，
所以
，即
，
所以
．
18.（ 1 ） ．
（ 2 ）1
．
2 的分布列为
12
．
解析:
（ 1 ）设重度污染区 平均值为 ，则
，
解得
．
（ 2 ）1
在
上的有
天，
在
上的有
在
上的有
天， 天，
所以 月份 不小于 天的共
四川省乐山市高中2020届高三第三次调查研究考试数学(理)试题(解析版)
乐山市高中2020届第三次调查研究考试理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2,0,1M =-，{}23N x x =∈-<<N ，则M N ⋃=（ ）． A ．{}2,1,0,1,2,3-- B ．{}2,0,1,2,3- C ．{}2,0,1,2-D ．{}2,1,0,1,2--2．已知复数()1i z a a =+-（i 为虚数单位，a ∈R ），则“()0,2a ∈”是“在复平面内z 所对应的点在第一象限”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是奇函数，且0x >时，()2π1sin 2f x x x =+，则()2f -=（ ）． A ．2B ．2-C ．3D ．3-4．已知a =344log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>5．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ）． A．⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C ．()4,6--D ．()4,66．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的22⨯列联表：附表及公式：()()()()()22n ad cb K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++()2P K k >0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828则下列结论正确的是（ ）．A ．在犯错的概率不超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”B ．在犯错的概率超过1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”C ．有99.9％以上的把握认为“支付方式与性别有关”D ．有99.9％以上的把握认为“支付方式与性别无关”7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入2x =，2n =，依次输入a 为1，2，4，则输出的S 的值为（ ）．A ．4B ．10C ．11D ．128．数列{}n a 中，已知对任意n *∈N ，1231n n a a a +++=-，则22212n a a a +++=（ ）．A ．912n -B ．912n +C ．922n -D ．922n +9．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点()2,1在“右”区域内，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）．A ．51,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．51,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭10．已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC △的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．已知A BCD -是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且4AC =，2BD =，π3ACD ACB ∠=∠=，则点A 到平面BCD 的距离为（）． A ．263B ．463C ．233D ．43312．已知函数()π4sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，43π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，…，n x ，且123n x x x x <<<<，则1231222n n x x x x x -+++++=（ ）．A ．1190π3B ．1192π3C ．398πD ．1196π3二、填空题：13．已知函数()()3211f x x xf '=+-，则函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为______．14．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为______．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A 、B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线FB 与直线x a =的交点为M ，若2BM FB =，且AFM △的面积为932，则椭圆的标准方程为______． 16．我们把一系列向量()1,2,,i a i n =按次序排列成一列，称之为向量列，记作{}i a ．已知向量列{}i a 满足：()11,1a =，()()()11111,,22n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥，设n θ表示向量1n a -与n a 的夹角，若2πn n n b θ=，对于任意正整数n ()1221111log 122n n n n a b b b +++>-恒成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据需求作答． （一）必考题17．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin C B A A C -=-．（1）求角B 的值；（2）若7a c +=，13b =，求ABC △的面积．18．为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI ），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量．（1）若某日播报的AQI 为119，已知轻度污染区AQI 平均值为70，中度污染区AQI 平均值为115，求重试污染区AQI 平均值；（2）如图是2018年11月份30天的AQI 的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI 在[)140,150内．①某校参照官方公布的AQI ，如果周日AQI 小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从11月份AQI 不小于170的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中AQI 值不小于200的天数的分布列和数学期望．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，2π3BAC ∠=，E 、F 分别为AB 、11B C 的中点，G 为线段1CC 上的动点．（1）证明：//EF 平面11AAC C ；（2）当二面角11F AG C --的余弦值为2114时，证明：1BF A G ⊥． 20．已知抛物线2:4C y x =，过点()2,0P 的直线与抛物线C 相交于M 、N 两点． （1）若点Q 是点P 关于坐标原点O 的对称点，求MQN △面积的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PM 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由． 21．已知函数()2ln 2f x x x ax =+-．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断并说明函数()()3cos g x f x x =-的零点个数．若函数()g x 所有零点均在区间[](),,m n m n ∈∈Z Z 内，求n m -的最小值．（二）选考题22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox ． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知A 、B 是曲线C 上任意两点，且π4AOB ∠=，求OAB △面积的最大值． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正数，且满足3a b c ++=．（13≤； （2）证明：9412ab bc ac abc ++≥．参考答案1．D【解析】{}{}231,0,1,2N x x =∈-<<=-N ，故{}2,1,0,1,2M N ⋃=--，故选D ． 2．B【解析】在复平面内z 所对应的点在第一象限，有0a >，10a ->，得01a <<， 故“()0,2a ∈”是“在复平面内z 所对应的点在第一象限”的必要不充分条件，故选B ． 3．D【解析】因为()f x 是奇函数，所以()()π122sin 4322f f ⎡⎤-=-=-+⨯=-⎢⎥⎣⎦，故选D ． 4．B【解析】由题得140661a ==>=，33444log log 1021b =<=，2.9110133c ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故有a c b >>，故选B ． 5．C【解析】因为向量a 与向量()4,6m =平行，可设3,2a k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由14a b ⋅=可得35142k k -+=，得4k =-， 所以()4,6a =--，故选C ． 6．C【解析】由22⨯列联表得到40a =，10b =，25c =，25d =，代入()()()()()22n ad cb K a b c d a c b d -=++++，解得()2210010002509.8950506535K ⨯-=≈⨯⨯⨯，因为6.6359.8910.828<<，所以有99％以上的把握认为“支付方式与性别有关”，故选C ． 7．D【解析】输入1a =时，0211s =⨯+=，011k =+=，此时12k =>不成立； 输入2a =时，1224s =⨯+=，112k =+=，此时22k =>不成立； 输入4a =时，42412s =⨯+=，213k =+=，此时32k =>成立； 输出的S 的值为12，故选D ． 8．A【解析】由1231n n a a a +++=-，当2n ≥时，112131n n a a a --+++=-，两式相减得()1232n n a n -=⨯≥，又12a =，满足123n n a -=⨯，则123n n a -=⨯．所以数列{}n a 是首项为12a =，公比3q =的等比数列，则{}2n a 是首项为214a =，29q =的等比数列，故()2221241991192n nna a a--+++==-，故选A．9．C【解析】双曲线的渐近线为by xa=±，且“右”区域是由不等式组by xaby xa⎧<⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩所确定，又点()2,1在“右”区域内，于是有21ba<，即12ba>，因此双曲线的离心率251,bea⎛⎫⎛⎫=+∈+∞⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C．10．A【解析】由题知点()2,0A，点()2cos,2sinBθθ，则()()1122cos2sin022S AC BCθθθ=⨯⋅=-⋅≥，故排除A、B，又因为当3π4θ=时，()2Sθ>，故选A．11．B【解析】由题意知A，B，C，D四点都落在球面上，且AC为直径，所以AC的中点即为球心O，所以π2ADC ABC∠=∠=，因为4AC=，π3ACD ACB∠=∠=，所以2BC CD==，又知2BD=，所以BCD△为正三角形，取BCD△中心H，则OH⊥面BCD，所以OH HC⊥，233CH=，因为2OC=，所以263OH=．又因为AC中点为O，所以点A 到平面BCD 的距离为点O 到平面BCD 的2倍，即距离为3，故选B ． 12．A【解析】函数()π4sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令ππ2π62x k -=+，得1ππ23x k =+，k ∈Z ， 即()f x 的对称轴方程为1ππ23x k =+，k ∈Z ，因为()f x 的最小正周期为πT =，43π03x ≤≤，当0k =时，可得y 轴右侧第一条对称轴为π3x =，当28k =时，43π3x =，所以()f x 在43π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有28条对称轴， 根据正弦函数性质可知，函数()π4sin 26f x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭与3y =的交点有29个， 且1x ，2x 关于π3对称，2x ，3x 关于5π6对称，...， 即122π26x x +=⨯，235π26x x +=⨯， (282983)26x x +=⨯，以上各式相加得：12328292π5π83π1190π22226663x x x x x ⎛⎫+++++=+++=⎪⎝⎭， 故选A ．13．330x y ++=【解析】因为()()2321f x x f ''=+，则()()1321f f ''=+，得()13f '=-，则()()11236f =+⨯-=-，故切线方程为()()631y x --=--，即330x y ++=． 14．38【解析】设拼成的正方形得面积为1， 由图知，最大的三角形面积为14，最小的三角形面积为116， 平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍，由此可得阴影部分的面积为38，则所求的概率为38． 15．22143x y += 【解析】由2BM FB =，且//OB AM （O 为坐标原点）， 得13OF OB AF AM ==，所以2a c =，3AM b =，b =， 又因为()1322AFM S a c b =+⨯=△，解得1c =， 所以2a =，b =22143x y +=． 16．()1 【解析】11cos n n n n na a a a θ--⋅=()()()11111111,,n n n n n n x y x y x y ------⎛⎫⋅-+ ⎪=221111n n x y --+==，所以π4n θ=，故24n n b =21222122n b n n n+=+++++， 令()222122f n n n n=+++++， 则()()()22222212321122f n f n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+++-+++⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭ 2202122n n =->++， 所以()f n 单调递增，所以()()min 11f n f ==，则()11log 122n a >-， 因为120a ->，所以102a <<，则212a a ->，解得11a -<<-综上所述，()1a ∈．17．【解析】（1）由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-，由正弦定理得222b c a ac -=-，即222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==， 因为0πB <<，所以π3B =． （2）由（1）得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 即2213a c ac +-=，所以()2313a c ac +-=，即12ac =，所以11sin 1222ABC S ac B ==⨯= 18．解：（1）设重度污染区AQI 平均值为x ， 则119970211543x ⨯=⨯+⨯+，解得157x =． （2）①AQI 在[)140,170上的有830308900⨯⨯=天， AQI 在[)170,200上的有530305900⨯⨯=天， AQI 在[)200,230上的有230302900⨯⨯=天，所以11月份AQI 不小于150天的共852114++-=天． 即能参加户外活动的概率为14813015P =-=． ②AQI 不小于170天的共7天，不小于200天的共2天，x 的所有可能取值为0，1，2．所以x 的分布列为则240127777EX =⨯+⨯+⨯=． 19．【解析】（1）证明：取BC 的中点M ，连接EM 、FM ，因为E 、F 分别为AB 、11B C 的中点，所以//EM AC ，1//MF CC ，EM MF M ⋂=，1AC CC C ⋂=，所以平面//EMF 平面11AAC C ，又因为EF ⊂平面EMF ，EF ⊄平面11AAC C ，所以//EF 平面11AAC C ．（2）不妨设11AB AC AA ===， 由余弦定理得113B C =，如图建立空间直角坐标系1A xyz -， 设()0,1,G h ，131,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1/C 0,1,0EF ， 所以31,044F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1A FG 的一个法向量为(),,m x y z =， 则()10,1,AG h =，131,04A F ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则1100A G m A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得031044y hz x y +=⎧+=⎩， 可取(,33m h h =-，易知平面11AGC 的一个法向量为()1,0,0n =，所以2cos ,144m n m n m n h ⋅===⋅，解得34h =，此时3,14BF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，130,1,4A G ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以10BF AG ⋅=，即1BF A G ⊥． 20．【解析】依题意，点Q 的坐标为()2,0Q -，可设()11,M x y ，()22,N x y ， 直线MN 的方程为2x my =+，联立224x my y x=+⎧⎨=⎩，得2480y my --=， 则124y y m +=，128y y ⋅=-，所以12142MQN S y y =⨯⨯-==≥△，即当0m =时，MQN △面积的最小值为（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x a =，则以PM 为直径的圆的方程为()()()1120x x x y y y --+-=，将直线x a =代入，得()()21120y y y a a x -+--=， 则()()()()2111424120y a a x a x a a ∆=---=-+->⎡⎤⎣⎦，设直线l 与以PM 为直径的圆的交点为()3,A a y ，()4,B a y ，则341y y y +=，()()3412y y a a x ⋅=--，于是有34AB y y =-==，当10a -=，即1a =时，2AB =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为1x =．21．【解析】（1）()2ln 2f x x x ax =+-的定义域为()0,+∞， ()2122122ax x f x ax x x-++'=+-=，当0a =时，()210x f x x+'=>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0a <时，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令22210ax a -++=，得x =x =．当10,2x a ⎛+∈ ⎝⎭时，()0f x '>，当1,2x a ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增．当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减． （2）当1a =时，()2ln 23cos g x x x x x =+--， 当(]0,1x ∈时，()2ln 2f x x x x =+-单调递增， ()()11f x f ≤=，π33cos 3cos13cos32x ≥>=， 则()0g x <，故不存在零点． 当π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1223sin g x x x x '=+-+， ()122f x x x '=+-在π1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 所以()π22π2πf x f ⎛⎫''≥=+-⎪⎝⎭，π33sin 3sin13sin 62x >>=， 所以()232π0π2g x '>+-+>，所以()g x 单调递增． 又()113cos10g =-<，2πππln π0224g ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一的1π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()10g x =．当π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1223sin g x x x x '=+-+，()2123cos 0g x x x ''=--+<， 所以()g x '单调递减， 又π22π302πg ⎛⎫'=+-+> ⎪⎝⎭，()1π22π0πg '=+-<， 所以存在0π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，使得()00g x '=， 当0π,2x x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()00g x '>，()g x 单调递增； 当(]0,πx x ∈，()00g x '<，()g x 单调递减； 又π02g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()2πln π2ππ30g =+-+>． 因此，()0g x >在π,π2x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上恒成立，故不存在零点． 当(]π,4x ∈时，()2123cos 0g x x x''=--+<， 所以()g x '单调递减， 因为()π0g '<，所以()0g x '<，()g x 单调递减．又()π0g >，()4ln 48163cos40g =+--<，所以存在唯一的(]2π,4x ∈，使得()20g x =，当()4,x ∈+∞时，()22123320g x x x x x x <-+-+=-++<，故不存在零点． 综上，()g x 存在两个零点1x ，2x ，且1π1,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，(]2π,4x ∈， 因此n m -的最小值为3．22．【解析】（1）消去参数α，得到曲线C 的标准方程为()2224x y -+=， 故曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（2）在极坐标系Ox 中，设()10,A ρθ，20π,4B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中10ρ>，20ρ>，0ππ22θ-<<， 由（1）知：104cos ρθ=，20π4cos 4ρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则OAB △的面积12001ππsin cos 244S ρρθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 即2000004cos 4sin cos 2cos 22sin 2S θθθθθ=-=-+0π2624θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当0π8θ=-时，max 2S =，所以OAB △面积的最大值为2．23．【解析】（1）证明：因为a ，b 为正数，所以a b +≥，同理可得b c +≥a c +≥，则()2a b c ++≥当且仅当1a b c ===时，等号成立．3≤．（2）证明：要证9412ab bc ac abc ++≥， 只要证14912a b c++≥即可， 即证()14936a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭， 即证499414936b a a c b c a b c a c b++++++++≥， 即证499422b a a c b c a b c a c b+++++≥，因为44a b b a +≥=，96a c c a +≥=，9412b c c b+≥=， 所以499422b a a c b c a b c a c b+++++≥， 当且仅当12a =，1b =，32c =时等号成立，得证．。
2020年四川省乐山市东坡区高级中学高三数学理模拟试卷含解析
2020年四川省乐山市东坡区高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的一段图象是（）C．D．B2. 已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（）A．0 B．2 C.4 D．6参考答案：D3. 是有零点的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C4. （5分）（2015?西安校级二模）椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），设点P（a，b）（a≠±2），则=1…①，=，=；则==，将①式代入得=﹣，∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈．故选：D．【点评】：本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于中档题．5. 已知集合，，则=（）A. B. C. D. (－1,1]参考答案：B6. 已知函数y=sin4x-cos4x 是一个（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数参考答案：B,故选B.7. 则 ( )A．<< B．<< C． D．<<参考答案：C8. 函数的值域为，则点的轨迹是如图的（）A．线段AB，线段BCB．线段BC，线段COC．线段CO，线段OAD．线段OA，线段AB参考答案：A略9. 设，则有 ( )A． B. C． D.的大小不定参考答案：C10. 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左右两支于点M，N，连结，，若，，则双曲线C 的离心率为（）A．B． C．D．参考答案：B结合题意可知，设，则，，则结合双曲线的性质可得，，，代入，解得，∴，，，对三角形运用余弦定理，得到，解得．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，，则向量在向量方向上的投影是 .参考答案：12. 把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}，据此回答下；列问题：（I）= . （II）若，则n= .参考答案：（Ⅰ）100；（Ⅱ）102913. 现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人. 从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有种不同的选法.参考答案：6014. 在平面直角坐标系xoy中，点P是直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2﹣2x ﹣2y+1=0的两条切线，切点分别是A，B，则|AB|的取值范围为．参考答案：[，2）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线和圆的位置关系，求出两个极端位置|AB|的值，即可得到结论．【解答】解：圆心C（1，1），半径R=1，要使AB长度最小，则∠ACB最小，即∠PCB最小，即PC最小即可，由点到直线的距离公式可得d==2则∠PCB=60°，∠ACB=120°，即|AB|=，当点P在3x+4y+3=0无限远取值时，∠ACB→180°，此时|AB|→直径2，故≤|AB|＜2，故答案为：[，2）．15. 在如图的程序框图中，输出的值为，则，= .参考答案：516. 已知，则a，b，c中最小的是______．参考答案：c【分析】由对数值大小的比较得：b=ln3＞1，又2＜e＜3，所以log32＜log3e＜1，即c＜a＜b，得解．【详解】b=ln3＞1，又2＜e＜3，所以log32＜log3e＜1，即c＜a＜b，故a，b，c中最小的是c．故答案为：c17. 函数的图象与的图象所有交点的横坐标之和等于．参考答案：4试题分析：解：函数与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象当时，，而函数在上出现1．5个周期的图象，在上是单调增且为正数，函数在上单调减，所以在处取最大值，而函数在上为负数与的图象没有交点，所以两个图象在上有两个交点，根据它们有公共的对称中心，可得在区间上也有两个交点如图，，故横坐标之和为4考点：函数的零点与方程的根三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年四川省高考数学三模试卷(理科)及答案解析
四川省高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2） B．（1，2] C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3 B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3 D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ35．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣ C．+D．+6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C 上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．611．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2 C．2 D．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8= ．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（）的值为．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．18．（12分）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA ⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G 在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2） B．（1，2] C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x≥4}={x|x≥2}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}={x＞1}，∴A∩B={x|x≥2}=[2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果．【解答】解：∵==1+i∴=1﹣i故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3 B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3 D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．5．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣ C．+D．+【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定【考点】BK：线性回归方程．【分析】由样本数据可得，，，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．【解答】解：由题意，=（15+16+18+19+22）=18，=（102+98+115+115+120）=110，xiyi=9993，5=9900，xi2=1650，n（）2=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100故选：B．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．【点评】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】8H：数列递推式．【分析】S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=2a nn﹣1.化为：2n﹣1≤2n，即2n≤4n．验证﹣1，利用等比数列的通项公式可得：a n=2n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n，利用二项式定理展开即可得出．2n ＞4n．【解答】解：S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．a n=2n﹣1．化为：2n﹣1≤2n，即2n≤4n．n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n=++…+++≥2（+）=n2+n+2，下面证明：n2+n+2＞4n，作差：n2+n+2﹣4n=n2﹣3n+2=（n﹣1）（n﹣2）＞0，∴n2+n+2＞4n，则满足的最大正整数n的值为4．故答案为：C．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C 上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3∴p=4故选：B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可．【解答】解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2．可得，故选：C．【点评】本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．11．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2 C．2 D．【考点】35：函数的图象与图象变化；3T：函数的值．【分析】由图象的顶点坐标求出A，根据周期求得ω，再由sin[2（﹣）+φ]=0以及φ的范围求出φ的值，从而得到函数的解析式，进而求得f（π）的值．【解答】解：由函数的图象可得A=2，根据半个周期=•=，解得ω=2．由图象可得当x=﹣时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin[2（﹣）+φ]=0．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=，∴f（π）=4，故选A．【点评】本小题主要考查函数与函数的图象，求函数的值，属于基础题．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，运用求根公式和指数函数的值域，解不等式可得a的范围．【解答】解：f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1的导数为f′（x）=2e2x﹣2e x+a，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，即有（e x﹣）2=，即为e x=+或e x=﹣，即有7﹣2a＞0且7﹣2a＜1，解得3＜a＜．故选B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程的解的个数问题的解法，注意运用配方和二次方程求根公式，以及指数函数的值域，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8= 72 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】可得a1+a8=18，代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：72【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为﹣80 ．【考点】DB：二项式系数的性质；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据两直线垂直求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x3的系数．【解答】解：直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，∴2a+1×（﹣1）=0，解得a=；∴二项式（﹣）5 =（2x﹣）5展开式的通项公式为T r+1=•（2x）5﹣r•=（﹣1）r•25﹣r••x5﹣2r，令5﹣2r=3，求得r=1，∴展开式中x3的系数为﹣1•24•=﹣80．故答案为：﹣80．【点评】本题主要考查了两条直线垂直以及二项式定理的应用问题，是基础题．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（）的值为﹣1 ．【考点】3T：函数的值．【分析】根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，可得答案．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（﹣1）=1，f（0）=0，f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1，f（3）=f（2）﹣f（1）=0，f（4）=f（3）﹣f（2）=1，f（5）=f（4）﹣f（3）=1，f（6）=f（5）﹣f（4）=0，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1，故当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故f（）=f（1）=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当x∈N 时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，是解答的关键．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t 使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是①④．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据抽象函数的定义结合“关于t函数”的定义和性质分别进行判断即可．【解答】解：①对任一常数函数f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），∴常数函数是“关于t函数”，故①正确，②正比例函数必是一个“关于t函数”，设f（x）=kx（k≠0），存在t使得f（t+x）=tf （x），即存在t使得k（x+t）=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程无解，故②不正确；③“关于2函数”为f（2+x）=2•f（x），当函数f（x）不恒为0时，有=2＞0，故f（x+2）与f（x）同号．∴y=f（x）图象与x轴无交点，即无零点．故③错误，④对于f（x）=（）x设存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得（）t+x=t（）x，也就是存在t使得（）t（）x=t（）x，也就是存在t使得（）t=t，此方程有解，故④正确．故正确是①④，故答案为①④．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数的定义和性质是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（•乐山三模）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos∠POQ的值．（Ⅱ）利用用割补法求三角形POQ的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．【解答】解：﹙Ⅰ﹚因为，且，所以．所以．（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而，所以==．因为，所以当时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为．【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题．18．（12分）（•乐山三模）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，∴X的分布列为：X050100 150200P∴EX==55（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）（•乐山三模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B 的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P（0，0，2），H（，，0），C（0，2，0），B（，﹣1，0），F（0，1，1），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos＜，＞==，即二面角A﹣CP﹣B的余弦值是．【点评】本小题主要考查直线垂直的证明和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（•乐山三模）设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围．【解答】解：（I）因为，所以F1为F2Q中点．设Q的坐标为（﹣3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径为2c因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0．设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）．=（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4）又=（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x2﹣x1，k（x2﹣x1））．由于菱形对角线互相垂直，则（）•=0，所以（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0．故（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k]=0．因为k＞0，所以x2﹣x1≠0．所以（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k﹣2m=0．所以（1+k2）（﹣）+4k﹣2m=0．解得m=﹣，即因为k＞，可以使，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．21．（12分）（•乐山三模）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；（2）因为对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间[1，e]上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x）＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间[1，e]上恒成立，再通过研究f（x）在[1，e]上的单调性求最值，结合（Ⅰ）的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ax﹣=，（Ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a=0时，f′（x）=＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0，结合x＞0，解得，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递减；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述：当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）因为对任意m∈[1，e]，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m∈[1，e]，直线PM的斜率小于0，即，所以f（m）＜1，即f（x）在区间[1，e]上的最大值小于1．又因为f′（x）=ax﹣=，令g（x）=ax2﹣2，x∈[1，e]（1）当a≤0时，由（Ⅰ）知f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）=＜1，所以a＜2，故a≤0符和题意；（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得，①当≤1，即a≥2时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数f（x）的最大值f（e）=，解得a＜，故无解；②当≥e，即时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=＜1，解得a＜2，故0；③当，即时，函数f（x）在（1，）上单调递减；当x∈（，e）上单调递增，故f（x）在区间x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），所以，即，故．综上所述a的取值范围．【点评】本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题，然后从函数的单调性入手分析，注意本题第二问讨论时的标准，一般要借助于函数图象辅助来解决问题．一方面利用了数学结合思想，同时重点考查了分类讨论思想的应用，有一定难度．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）（•乐山三模）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C1，C1的平面直角坐标方程，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，能求出曲线C1与C2交点的平面直角坐标．（Ⅱ）作出图形，由平面几何知识求出当|AB|最大时|AB|=2，O到AB的距离为，由此能求出△OAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程是（θ为参数），∴曲线C1的平面直角坐标方程为（x+2）2+y2=4．又由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，得2x2+4x=0，解得或，∴曲线C1与C2交点的平面直角坐标为（0，0），（﹣2，2）．（Ⅱ）如图，由平面几何知识可知：当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|=2，O到AB的距离为，∴△OAB的面积为S=．【点评】本题考查两曲线交点的平面直角坐标的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的相互转化及应用．23．（•乐山三模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=﹣1，从而解不等式t2﹣3t＞﹣1即可求得实数t 的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。
2020年四川省乐山市高考数学三诊试卷(理科) (解析版)
2020年乐山市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合M ＝{﹣2，0，1}，N ＝{x ∈N|﹣2＜x ＜3}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣2，0，1，2，3} C ．{﹣2，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知复数z ＝a +（1﹣a ）i （i 为虚数单位，a ∈R ），则“a ∈（0，2）”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数f （x ）是奇函数，且x ＞0时，f(x)=sin πx+12x 2，则f （﹣2）＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣34．已知a =√64，b ＝log 54421，c ＝（13）2.9，则（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b5．已知向量a →与向量m →=（4，6）平行，b →=（﹣5，1），且a →⋅b →=14，则a →=（ ）A ．（4，6）B ．（﹣4，﹣6）C ．(2√1313，3√1313)D ．(−2√1313，−3√1313)6．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如表的2×2列联表：支付方式 性别 支付宝支付 微信支付男 40 10 女2525附表及公式：K 2=n(ad−cb)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d P （K 2＞k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828则下列结论正确的是（ ）A ．在犯错的概率不超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”B ．在犯错的概率超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”C ．有99.9%以上的把握认为“支付方式与性别有关”D ．有99.9%以上的把握认为“支付方式与性别无关”7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入x ＝2，n ＝2，依次输入a 为1，2，4，则输出的S 的值为（ ）A ．4B ．10C ．11D ．128．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+…+a n ＝3n ﹣1，则a 12+a 22+…+a n 2＝（ ） A ．9n −12B ．9n +12C ．9n −22D ．9n +229．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1，√52)B ．(√52，+∞)C ．(1，54)D ．(54，+∞)10．已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆C ：x 2+y 2＝4相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，△ABC 的面积为S （θ），则函数S （θ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知A ﹣BCD 是球O 的内接三棱锥，球O 的半径为2，且AC ＝4，BD ＝2，∠ACD ＝∠ACB =π3，则点A 到平面BCD 的距离为（ ）A ．2√63B ．4√63C ．2√33D ．4√3312．已知函数f （x ）＝4sin （2x −π6），x ∈[0，43π3]，若函数F （x ）＝f （x ）﹣3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n ，则x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n ＝（ ） A ．1190π3B ．1192π3C ．398πD ．1196π3二、填空题：13．已知函数f （x ）＝x 3+2xf '（1）﹣1，则函数f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为 ． 14．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为 ．15．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（{a ＞b ＞0}）的左焦点为F ，A 、B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线FB 与直线x ＝a 的交点为M ，若BM →=2FB →，且△AFM 的面积为9√32，则椭圆的标准方程为 ．16．我们把一系列向量a i →（i ＝1，2，…，n ）按次序排列成一列，称之为向量列，记作{a i →}．已知向量列{a i →}满足：a 1→=（1，1），a n →=（x n ，y n ）=12（x n ﹣1﹣y n ﹣1，x n ﹣1+y n ﹣1）（n ≥2），设θn 表示向量a n−1→与a n →的夹角，若b n =n 2πθn ，对于任意正整数n ，不等式√1b n+1+√1bn+2+⋯+√1b2n＞12log n (1−2a)恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据需求作答．（一）必考题17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2C﹣cos2B＝sin2A﹣sin A sin C．（1）求角B的值；（2）若a+c＝7，b=√13，求△ABC的面积．18．为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量．（1）若某日播报的AQI为119，已知轻度污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI平均值为115，求重度污染区AQI平均值；（2）如图是2018年11月份30天的AQI的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI在[140，150）内．①某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从11月份AQI不小于170的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中AQI值不小于200的天数的分布列和数学期望．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC=2π3，E、F分别为AB、B1C1的中点，G为线段CC1上的动点．（1）证明：EF∥平面AA1C1C；（2）当二面角F﹣A1G﹣C1的余弦值为√2114时，证明：BF⊥A1G．20．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线与抛物线C 相交于M 、N 两点． （1）若点Q 是点P 关于坐标原点O 的对称点，求△MQN 面积的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PM 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由． 21．已知函数f （x ）＝lnx +2x ﹣ax 2． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，判断并说明函数g （x ）＝f （x ）﹣3cos x 的零点个数．若函数g （x ）所有零点均在区间[m ，n ]（m ∈Z ，n ∈Z ）内，求n ﹣m 的最小值． （二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox ． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知A ，B 是曲线C 上任意两点，且∠AOB =π4，求△OAB 面积的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝3． （1）证明：√ab +√bc +√ac ≤3． （2）证明：9ab +bc +4ac ≥12abc ．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M ＝{﹣2，0，1}，N ＝{x ∈N|﹣2＜x ＜3}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣2，0，1，2，3} C ．{﹣2，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】求出集合M ，N ，由此能求出M ∪N ． 解：集合M ＝{﹣2，0，1}，N ＝{x ∈N|﹣2＜x ＜3}＝{﹣1，0，1，2}， 故M ∪N ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， 故选：D ．2．已知复数z ＝a +（1﹣a ）i （i 为虚数单位，a ∈R ），则“a ∈（0，2）”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据复数的几何意义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 解：z ＝a +（1﹣a ）i 对应点的坐标为（a ，1﹣a ）， 若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限， 则{a ＞01−a ＞0得{a ＞0a ＜1，得0＜a ＜1， 则“a ∈（0，2）”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的必要不充分条件， 故选：B ．3．已知函数f （x ）是奇函数，且x ＞0时，f(x)=sin πx +12x 2，则f （﹣2）＝（ ）A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣3【分析】由已知奇函数可得f （﹣2）＝﹣f （2），代入即可直接求解． 解：因为f （x ）是奇函数，所以f(−2)=−f(2)=−[sin π2+12×4]=−3，故选：D ．4．已知a =√64，b ＝log 54421，c ＝（13）2.9，则（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b【分析】先化简，和0，1，b 比较，然后可得出结论．【解答】解析：依题意a =√64=614＞60=1，b =log 54421＜log 541=0，0＜c =(13)2.9＜(13)0=1．故选：B ．5．已知向量a →与向量m →=（4，6）平行，b →=（﹣5，1），且a →⋅b →=14，则a →=（ ）A ．（4，6）B ．（﹣4，﹣6）C ．(2√1313，3√1313)D ．(−2√1313，−3√1313)【分析】设出向量a →，利用向量的数量积转化求解即可． 解：因为向量a →与向量m →=(4，6)平行，可设a →=(k ，32k)， 由a →⋅b →=14可得−5k +32k =14，得k ＝﹣4，所以a →=(−4，−6)， 故选：B ．6．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问100名居民（男女居民各50名）喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如表的2×2列联表：支付方式 性别 支付宝支付 微信支付男 40 10 女2525附表及公式：K 2=n(ad−cb)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +dP （K 2＞k ）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828则下列结论正确的是（ ）A ．在犯错的概率不超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”B ．在犯错的概率超过1%的前提下，认为“支付方式与性别有关”C ．有99.9%以上的把握认为“支付方式与性别有关”D ．有99.9%以上的把握认为“支付方式与性别无关”【分析】由列联表中的数据结合公式求得K 2，再结合临界值表得结论． 解：由2×2列联表得到a ＝40，b ＝10，c ＝25，d ＝25，代入K 2=n(ad−cb)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)， 解得K 2=100×(1000−250)250×50×65×35≈9.89，∵6.635＜9.89＜10.828，∴有99%以上的把握认为“支付方式与性别有关”， 故选：C ．7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入x ＝2，n ＝2，依次输入a 为1，2，4，则输出的S 的值为（ ）A ．4B ．10C ．11D ．12【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得输入a ＝1时，s ＝0×2+1＝1，k ＝0+1＝1，此时k ＝1＞2不成立； 输入a ＝2时，s ＝1×2+2＝4，k ＝1+1＝2，此时k ＝2＞2不成立； 输入a ＝4时，s ＝4×2+4＝12，k ＝2+1＝3，此时k ＝3＞2成立； 输出的S 的值为12． 故选：D ．8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1+a 2+…+a n ＝3n ﹣1，则a 12+a 22+…+a n 2＝（ ）A ．9n −12B ．9n +12C ．9n −22D ．9n +22【分析】由已知条件推导出a n =(3n −1)−(3n−1−1)=2⋅3n−1(n ≥2)，由此求出{a n }为等比数列，首项a 1＝2，公比为q ＝3，从而能求出a 12+a 22+…+a n 2的值． 解：a 1+a 2+⋯+a n =3n −1⋯①当n ≥2，a 1+a 2+⋯+a n−1=3n−1−1⋯②， ①﹣②得a n =(3n −1)−(3n−1−1)=2⋅3n−1(n ≥2)， 又a 1=31−1=2，符合a n =2⋅3n−1， ∴{a n }为等比数列，首项a 1＝2，公比为q ＝3，∴{a n 2}为等比数列，首项a 12=4，公比为q 2＝9，故选：A ． 9．双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1，√52)B ．(√52，+∞)C ．(1，54)D ．(54，+∞)【分析】由于双曲线的一条渐近线方程为：y =bax ，及点（2，1）在“右”区域内，得出b a＞12，从而得出双曲线离心率e 的取值范围．解：双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为：y =ba x ，∵点（2，1）在“右”区域内， ∴b a×2＞1，即b a＞12，∴e =c a =√1+(b a )2＞√52，又e ＞1，则双曲线离心率e 的取值范围是（√52，+∞）．故选：B ．10．已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆C ：x 2+y 2＝4相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，△ABC 的面积为S （θ），则函数S （θ）的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】由题可知，点A（2，0），点B（2cosθ，2sinθ），点C（2cosθ，0），则S(θ)= 12×|AC|⋅|BC|=12(2−2cosθ)⋅2|sinθ|≥0，故排除选项C和D，又因为当θ=3π4时，S（θ）＞2，排除选项B，可得所求图象．解：由题知，点A（2，0），点B（2cosθ，2sinθ），点C（2cosθ，0），则S(θ)=12×|AC|⋅|BC|=12(2−2cosθ)⋅2|sinθ|≥0，故排除选项C和D，又因为当θ=3π4时，S（θ）=12×(2+2×√22)×2×√22=√2+1＞2，排除选项B．故选：A．11．已知A﹣BCD是球O的内接三棱锥，球O的半径为2，且AC＝4，BD＝2，∠ACD＝∠ACB=π3，则点A到平面BCD的距离为（）A．2√63B．4√63C．2√33D．4√33【分析】由题意画出图形，可得∠ABC＝∠ADC＝90°，再由∠ACD＝∠ACB=π3，得到BC、CD、AB、AD的长，取BD中点G，连接AG，CG，得AG⊥BD，CG⊥BD，分别求出三角形AGC与三角形BCD的面积，则由等体积法求A到平面BCD的距离．解：如图，由球O的半径为2，且AC＝4，可知AC为球O的直径，又B，D均在球O的表面上，可得∠ABC＝∠ADC＝90°，又∠ACD＝∠ACB=π3，∴BC＝CD＝2，则AB＝AD=2√3．取BD中点G，连接AG，CG，得AG⊥BD，CG⊥BD，又AG∩CG＝G，∴BD⊥平面AGC，在△BCD中，求得CG=√3，在△ABD中，求得AG=√(2√3)2−12=√11，又AC＝4，由余弦定理可得cos ∠AGC =AG 2+GC 2−AC 22AG×GC =11+3−162×11×3=133，则sin ∠AGC =√1−cos 2∠AGC =√3233．∴S △AGC =12×√11×√3×√3233=2√2．∴V A−BCD =13S △AGC ⋅BD =4√23．又S △BCD =12×2×2×√32=√3，设A 到平面BCD 的距离为h ，由V A−BCD =13S △BCD ⋅h =√33h =4√23，得h =4√63．∴平面BCD 的距离为4√63．故选：B ．12．已知函数f （x ）＝4sin （2x −π6），x ∈[0，43π3]，若函数F （x ）＝f （x ）﹣3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n ，则x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n ＝（ ） A ．1190π3B ．1192π3C ．398πD ．1196π3【分析】函数F （x ）＝f （x ）﹣3的所有零点，转化为函数f （x ）＝4sin （2x −π6），x ∈[0，43π3]与y ＝3的交点问题，求出函数f （x ）的对称轴，根据f （x ）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．解：函数f （x ）＝4sin （2x −π6），x ∈[0，43π3]， 令2x −π6=π2+k π得x =12kπ+π3，k ∈Z ，即f （x ）的对称轴方程为x =12k π+π3，k ∈Z ．∵f （x ）的最小正周期为T ＝π，0≤x ≤43π3， 当k ＝0时，可得第一根对称轴x =π3，当k ＝28时，可得x =43π3，∴f （x ）在[0，43π3]上有29条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数f （x ）＝4sin （2x −π6），x ∈[0，43π3]与y ＝3的交点有29个点，即x 1，x 2关于π3对称，x 2，x 3关于5π6对称，…，即x 1+x 2=2π6×2，x 2+x 3=5π6×2，…，x 28+x 29＝2×83π6， 将以上各式相加得：x 1+2x 2+2x 3+…+2x 28+x 29 ＝2（2π6+5π6+⋯+83π6）＝（2+5+8+…+83）×π3=11903π 故选：A ． 二、填空题：13．已知函数f （x ）＝x 3+2xf '（1）﹣1，则函数f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为 3x +y +3＝0 ．【分析】求得函数f （x ）＝x 3+2xf '（1）﹣1的导数，再令x ＝1，可得切线的斜率，求得f （1），可得切点，再由点斜式方程可得切线的方程． 解：因为f ′（x ）＝3x 2+2f ′（1），则f ′（1）＝3+2f ′（1），得f ′（1）＝﹣3， 则f （1）＝1+2×（﹣3）﹣1＝﹣6， 故切线方程为y ﹣（﹣6）＝﹣3（x ﹣1）， 即3x +y +3＝0． 故答案为：3x +y +3＝0．14．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自于阴影部分的概率为38．【分析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可． 解：设拼成的正方形的面积为1，由图知，最大的三角形面积为14，最小的三角形面积为116，平行四边形的面积是最小三角形面积的2倍，由此可得阴影部分的面积为38，则所求的概率为38．故答案为：38．15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（{a ＞b ＞0}）的左焦点为F ，A 、B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线FB 与直线x ＝a 的交点为M ，若BM →=2FB →，且△AFM 的面积为9√32，则椭圆的标准方程为24+y 23=1 ．【分析】由BM →=2FB →，且OB ∥AM （O 为坐标原点），可得|OF||AF|=|OB||AM|=13，可得a ，c 的关系，及面积的值可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程． 解：由BM →=2FB →，且OB ∥AM （O 为坐标原点）， 得|OF||AF|=|OB||AM|=13，所以a ＝2c ，|AM |＝3b ，b =√3c ，又因为S △AFM =12(a +c)×3b =9√32，解得c ＝1，所以a ＝2，b =√3， 故椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．故答案为：x 24+y 23=1．16．我们把一系列向量a i →（i ＝1，2，…，n ）按次序排列成一列，称之为向量列，记作{a i →}．已知向量列{a i →}满足：a 1→=（1，1），a n →=（x n ，y n ）=12（x n ﹣1﹣y n ﹣1，x n ﹣1+y n ﹣1）（n ≥2），设θn 表示向量a n−1→与a n →的夹角，若b n =n 2πθn ，对于任意正整数n ，不等式√1b n+1+√1bn+2+⋯+√1b2n＞12log n (1−2a)恒成立，则实数a 的取值范围是 （0，√2−1）． 【分析】运用向量的夹角公式，可得θn =π4，b n =n 24，令f(n)=2n+1+2n+2+⋯+22n ，判断f （n ）的单调性，求得f （n ）的最小值，可得关于a 的不等式，解不等式可得所求范围． 解：cosθn =a n−1→⋅a n→|a n−1→||a n →|=(x n−1，y n−1)⋅(12(x n−1−y n−1)，12(x n−1+y n−1))√x n−12+yn−12√[12(xn−1−y n−1)]+[12(x n−2+y n−1)]=12x n−12+12y n−12√n−1n−1√12x n−1+12y n−1=√22，所以θn =π4，故b n =n 24，√1b n+1+√1b n+2+⋯+√1b 2n =2n+1+2n+2+⋯+22n ，令f(n)=2n+1+2n+2+⋯+22n， 则f(n +1)−f(n)=(2n+2+2n+3+⋯+22(n+1))−(2n+1+2n+2+⋯+22n )=22n+1−22n+2＞0， 所以f （n ）单调递增，所以f （n ）min ＝f （1）＝1，则1＞12log n (1−2a)，因为1﹣2a ＞0，所以0＜a ＜12，则1﹣2a ＞a 2， 解得−1−√2＜a ＜−1+√2， 综上所述，a ∈(0，√2−1)． 故答案为：（0，√2−1）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据需求作答．（一）必考题17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A ﹣sin A sin C ． （1）求角B 的值；（2）若a +c ＝7，b =√13，求△ABC 的面积．【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦、余弦定理，即可求得B 的值； （2）利用余弦定理和三角形面积公式，即可求出三角形的面积． 解：（1）由cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A ﹣sin A sin C ， 得sin 2B ﹣sin 2C ＝sin 2A ﹣sin A sin C ，由正弦定理得b 2﹣c 2＝a 2﹣ac ，即a 2+c 2﹣b 2＝ac ，所以cosB =a 2+c 2−b 22ac =12；又因为0＜B ＜π，所以B =π3．（2）由（1）得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝a 2+c 2﹣ac ，即a2+c2﹣ac＝13，所以（a+c）2﹣3ac＝13，即ac＝12，所以S ABC=12acsinB=12×12×√32=3√3．18．为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、4、3个监测站，并以9个监测站测得的AQI 的平均值为依据播报该市的空气质量．（1）若某日播报的AQI为119，已知轻度污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI平均值为115，求重度污染区AQI平均值；（2）如图是2018年11月份30天的AQI的频率分布直方图，11月份仅有1天AQI在[140，150）内．①某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从11月份AQI不小于170的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中AQI值不小于200的天数的分布列和数学期望．【分析】（1）设重度污染区AQI平均值为x，利用频率分布直方图的性质列出方程，能求出重度污染区AQI平均值．（2）①AQI在[140，170）上的有8900×30×30=8天，AQI在[170，200）上的有5 900×30×30=5天，AQI在[200，230）上的有2900×30×30=2天，由此能求出11月份AQI不小于150天的共14天．从而能求出能参加户外活动的概率．②AQI不小于170天的共7天，不小于200天的共2天，x的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）设重度污染区AQI平均值为x，则119×9＝70×2+115×4+3x，解得x＝157．∴重度污染区AQI 平均值为157． （2）①AQI 在[140，170）上的有8900×30×30=8天，AQI 在[170，200）上的有5900×30×30=5天， AQI 在[200，230）上的有2900×30×30=2天，所以11月份AQI 不小于150天的共8+5+2﹣1＝14天． 即能参加户外活动的概率为P =1−1430=815． ②AQI 不小于170天的共7天，不小于200天的共2天， x 的所有可能取值为0，1，2． P(x =0)=C 38C 78=27，P(x =1)=C 32C 21C 73=47， P(x =2)=C 31C 22C 73=17， ∴X 的分布列为：X 0 1 2 P274717∴EX =0×27+1×47+2×17=67． 19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC =2π3，E 、F 分别为AB 、B 1C 1的中点，G 为线段CC 1上的动点． （1）证明：EF ∥平面AA 1C 1C ；（2）当二面角F ﹣A 1G ﹣C 1的余弦值为√2114时，证明：BF ⊥A 1G ．【分析】（1）取BC 的中点M ，连接EM 、FM ，推出平面EMF ∥平面AA 1C 1C ，然后证明EF ∥平面AA 1C 1C ．（2）不妨设AB ＝AC ＝AA 1＝1，建立空间直角坐标系A 1﹣xyz ，设G （0，1，h ），B 1(√32，−12，0)，求出设平面A 1FG 的一个法向量，平面A 1GC 1的一个法向量．利用空间向量的数量积求解二面角，推出h ，然后证明BF →⋅A 1G →=0，得到BF ⊥A 1G ． 【解答】（1）证明：取BC 的中点M ，连接EM 、FM ，因为E 、F 分别为AB 、B 1C 1的中点，所以EM ∥AC ，MF ∥CC 1，EM ∩MF ＝M ，AC ∩CC 1＝C ， 所以平面EMF ∥平面AA 1C 1C ，又因为EF ⊂平面EMF ，EF ⊄平面AA 1C 1C ， 所以EF ∥平面AA 1C 1C ．（2）解：不妨设AB ＝AC ＝AA 1＝1， 由余弦定理得B 1C 1=√3， 如图建立空间直角坐标系A 1﹣xyz ，设G （0，1，h ），B 1(√32，−12，0)，B(√32，−12，1)，C 1（0，1，0），E 、F 分别为AB 、B 1C 1的中点，G 为线段CC 1上的动点．所以F(√34，14，0)，设平面A 1FG 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则A 1G →=(0，1，h)，A 1F →=(√34，14，0)，则，{A 1G →⋅m →=0A 1F →⋅m →=0，可得{y +hz =0√34x +14y =0， 可取m →=(h ，−√3h ，√3)，易知平面A 1GC 1的一个法向量为n →=(1，0，0)，所以cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√4ℎ+3=√2114，解得h =34， 此时BF →=(−√34，34，−1)，A 1G →=(0，1，34)，所以BF →⋅A 1G →=0，即BF ⊥A 1G ．20．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点P （2，0）的直线与抛物线C 相交于M 、N 两点． （1）若点Q 是点P 关于坐标原点O 的对称点，求△MQN 面积的最小值；（2）是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以PM 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程和定值；若不存在，说明理由．【分析】（1）求出点Q 的坐标，可设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），直线MN 的方程为x ＝my +2，联立{x =my +2y 2=4x ，得y 2﹣4my ﹣8＝0，利用韦达定理，结合三角形的面积，求解即可．（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x ＝a ，得到PM 为直径的圆的方程为（x ﹣2）（x ﹣x 1）+y （y ﹣y 1）＝0，将直线x ＝a 代入，得y 2﹣y 1y +（a ﹣2）（a ﹣x 1）＝0，利用韦达定理以及判别式大于0，弦长公式求出|AB |，然后求解直线方程．解：（1）依题意，点Q 的坐标为Q （﹣2，0），可设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 直线MN 的方程为x ＝my +2，联立{x =my +2y 2=4x ，得y 2﹣4my ﹣8＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1•y 2＝﹣8， 所以S △MQN =12×4×|y 1−y 2|=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2√16m 2+32≥8√2， 即当m ＝0时，△MQN 面积的最小值为8√2． （2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为x ＝a ，则以PM 为直径的圆的方程为（x ﹣2）（x ﹣x 1）+y （y ﹣y 1）＝0， 将直线x ＝a 代入，得y 2﹣y 1y +（a ﹣2）（a ﹣x 1）＝0， 则△=y 12−4(a −2)(a −x 1)=4[(a −1)x 1+a(2−a)]＞0， 设直线l 与以PM 为直径的圆的交点为A （a ，y 3），B （a ，y 4）， 则y 3+y 4＝y 1，y 3•y 4＝（a ﹣2）（a ﹣x 1），于是有|AB|=|y 3−y 4|=√4[(a −1)x 1+a(2−a)]=2√(a −1)x 1+a(2−a)， 当a ﹣1＝0，即a ＝1时，|AB |＝2为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为x ＝1． 21．已知函数f （x ）＝lnx +2x ﹣ax 2． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，判断并说明函数g （x ）＝f （x ）﹣3cos x 的零点个数．若函数g （x ）所有零点均在区间[m ，n ]（m ∈一、选择题，n ∈Z ）内，求n ﹣m 的最小值．【分析】（1）求导，分a ＝0，a ＜0及a ＞0分别讨论导函数与0的关系，进而得出单调性情况；（2）求出g （x ），分x ∈（0，1]，x ∈(1，π2]，x ∈(π2，π]，x ∈（π，4]，x ∈（4，+∞）分别讨论零点情况，由此即可得出结论．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=−2ax 2+2x+1x，当a ＝0时，f′(x)=2x+1x＞0，故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； 当a ＜0时，﹣2ax 2＞0，f ′（x ）＞0，故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞0时，令﹣2ax 2+2x +1＝0，解得x 1=1+√1+2a 2a ，x 2=1−√1+2a 2a（舍），当x ∈（0，x 1）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（x 1，+∞）时，f ′（x ）＜0， 故函数f （x ）在（0，x 1）上单调递减，在（x 1，+∞）上单调递增；（2）当a ＝1时，f （x ）＝lnx +2x ﹣x 2（x ＞0），g （x ）＝lnx +2x ﹣x 2﹣3cos x （x ＞0）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝lnx +2x ﹣x 2单调递增，f(x)≤f(1)=1，3cosx ≥3cos1＞3cos π3=32， 则g （x ）＜0，函数g （x ）不存在零点； 当x ∈(1，π2]时，g′(x)=1x +2−2x +3sinx ，f′(x)=1x+2−2x 在(1，π2]上单调递减，∴f′(x)≥f′(π2)=2π+2−π.3sinx ＞3sin1＞3sin π6=32，∴g′(x)＞2π+2−π+32＞0，g （x ）单增，又g(1)=1−3cos1＜0，g(π2)=ln π2+π−π24＞0，∴存在唯一x′∈(1，π2]，使得g （x ′）＝0；当x ∈(π2，π]时，g′(x)=1x +2−2x +3sinx ，g″(x)=−1x 2−2+3cosx ＜0， ∴g ′（x ）单减，又g′(π2)=2π+2−π+3＞0，g′(π)=1π+2−2π＜0，∴存在x 0∈(π2，π]，使得g ′（x 0）＝0， ∴g （x ）在(π2，x 0)递增，在（x 0，π]递减， 又g(π2)＞0，g(π)=lnπ+2π−π2+3＞0， ∴g （x ）＞0在x ∈(π2，π]恒成立，不存在零点； 当x ∈（π，4]时，g″(x)=−1x 2−2+3cosx ＜0， ∴g ′（x ）单减， 又g ′（π）＜0，∴g ′（x ）＜0，g （x ）单减，又g （π）＞0，g （4）＝ln 4+8﹣16﹣3cos4＜0， ∴存在唯一x ''∈（π，4]，使得g （x ''）＝0，；当x ∈（4，+∞）时，g （x ）＜x ﹣1+2x ﹣x 2+3＝﹣x 2+3x +2＜0，故不存在零点； 综上，g （x ）存在两个零点x′∈(1，π2]，x″∈(π，4]， ∴n ﹣m 的最小值为3．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox ． （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知A ，B 是曲线C 上任意两点，且∠AOB =π4，求△OAB 面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）消去参数α，得到曲线C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，故曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ（Ⅱ）根据极径的几何意义、面积公式、三角函数的性质可得．解：（Ⅰ）消去参数α，得到曲线C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，故曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ（Ⅱ）极坐标系OX 中，不妨设A （ρ1，θ0），B （ρ2，θ0+π4），其中ρ1＞0，ρ2＞0，−π2＜θ＜π2，由（Ⅰ）知：ρ1＝4cos θ0，ρ2＝4cos （θ0+π4）， ∴△OAB 的面积S =12ρ1ρ2sin π4=4√2cos θ0cos （θ0+π4），S ＝4cos 2θ0﹣4sin θ0cos θ0＝2cos2θ0﹣2sin θ0+2＝2√2cos （2θ0+π4）+2，当2θ0=−π4时，即θ0=−π8，cos （2θ0+π4）有最大值1，此时S max ＝2+2√2， 故△OAB 的面积的最大值为2+2√2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c ＝3． （1）证明：√ab +√bc +√ac ≤3．（2）证明：9ab +bc +4ac ≥12abc ．【分析】（1）根据基本不等式，借助综合法即可证明， （2）方法一：利用分析法，根据基本不等式即可证明， 方法一：利用分析法，根据柯西不等式即可证明．【解答】证明：（1）∵a ，b ，c 为正数，∴a +b ≥2√ab ，a +c ≥2√ac ，b +c ≥2√bc ，∴2（a +b +c ）≥2√ab +2√bc +2√ac ，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴√ab +√bc +√ac ≤3．（2）方法一：要证9ab +bc +4ac ≥12abc ，只需证1a+4b +9c ≥12， 即证（1a +4b +9c ）（a +b +c ）≥36，即证1+4+9+4a b +b a +9a c +c a +9b c +4c b≥36， 即证4a b +b a +9a c +c a +9b c +4c b ≥22， 因为4a b +b a ≥2√4=4，9a c +c a ≥2√9=6，9b c +4c b ≥2√36=12， ∴4a b +b a +9a c+c a +9b c +4c b ≥22， 当且仅当a =12，b ＝1，c =32取等号，从而9ab +bc +4ac ≥12abc ．方法二：要证9ab+bc+4ac≥12abc，只需证1a +4b+9c≥12，即证（1a +4b+9c）（a+b+c）≥36，根据柯西不等式可得（1a+4b+9c）（a+b+c）≥（√a×√a+√b×√b+√c×√c）2＝（1+2+3）2＝36，当且仅当a=12，b＝1，c=32取等号．从而9ab+bc+4ac≥12abc．。
四川省乐山市高考数学三模试卷(理科)
高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合M={-1，0，1}，N={x|x2-2x＜0}，则M∩N=（）A. {0}B. {1}C. {0，1}D. {-1，0，1}2.i是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知tanα=，则cos2α的值为（）A. B. C. D.4.已知向量，满足•=0，||=1，||=3，则|-|=（）A. 0B. 2C. 2D.5.已知抛物线y2=ax上的点M（1，m）到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为（）A. y2=2xB. y2=4xC. y2=3xD. y2=5x6.（）A. B. C. D.7.已知f（x）=e x-x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），则（）A. p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0B. p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C. p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0D. p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤08.已知函数f（x）=A sinωx（A＞0，ω＞0）与g（x）=cosωx的部分图象如图所示，则（）A. A=1，ω=B. A=2，ω=C. A=1，ω=D. A=2，ω=9.函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A. B.C. D.10.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和 3.1416这两个近似数值．如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的n=24，则p的值可以是（参考数据：=1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305，sin3.75°≈0.0654）（）A. 2.6B. 3C. 3.1D. 3.1411.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. 8πB. 6πC. 11πD. 5π12.设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.在（2x-）6的展开式中，二项式系数最大的项为______．14.若正实数a，b满足2a+b=1，则的最小值为______．15.已知函数f（x）=的定义城为R，数列{a n}（n∈N*）满足a n=f（n），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是______．16.在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}中，a2=5，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和为S n．18.每年圣诞节，各地的餐馆都出现了用餐需预定的现象，致使--些人在没有预定的情况下难以找到用餐的餐馆，针对这种现象，专家对人们“用餐地点“以及“性别”作出调查，得到的情况如表所示：（2）根据表中的数据，试通过计算判断是否有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别“有关；（3）若在接受调查的所有人男性中按照“用餐地点”进行分层抽样，随机抽取6人，再在6人中抽取3人赠送餐馆用餐券，记收到餐馆用餐券的男性中在餐馆用餐的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．K2=n =a+b+c+d19.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=AB，侧面SAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面BD⊥平面SAD；（2）若∠SDA=120°，求二面角C-SB-D的余弦值．20.设椭圆（a＞b＞0）的离心率为，圆O：x2+y2=2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断|PM|•|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21.已知函数f（x）=（1+a）x2-ln x-a+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＜1，求证：当x＞0时，函数y=xf（x）的图象恒在函数y=ln x+（1+a）x3-x2的图象上方．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长．23.已知函数f（x）=|x|+|x-1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m-1|恒成立，求实数m的最大值；（Ⅱ）记（Ⅰ）中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．答案和解析1.【答案】B【解析】解：N={x|0＜x＜2}；∴M∩N={1}．故选：B．可求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：z==-1-i，所以对应的点在第三象限；故选：C．首先化简复数为最简形式，然后根据复数的实部和虚部符号判断位置．本题考查了复数的运算以及其几何意义；属于基础题．3.【答案】D【解析】解：cos2α=cos2α-sin2α====．故选：D．利用余弦的二倍角公式可求得cos2α=cos2α-sin2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2a，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．4.【答案】D【解析】解：∵•=0，||=1，||=3，∴=．故选：D．直接利用向量的模的公式求解．本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由题得点M（1，m）到准线的距离为2，所以1-，∴a=4．所以该抛物线的标准方程为y2=4x．故选：B．根据点M（1，m）到其焦点的距离为2得到点M到准线的距离为2，解方程组即得解．本题主要考查抛物线的定义和标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．6.【答案】C【解析】解：由|X-2|=1可解得x=3或x=1，再由分布列的性质可得m=1-（++）=，∴P（|X-2|=1）=P（X=1）+P（X=3）=+=故选：C．由题意可得X和的值，代入P（|X-2|=1）=P（X=1）+P（X=3）计算可得．本题考查离散型随机变量及其分布列，属基础题．7.【答案】B【解析】解：f（x）=e x-x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），是真命题，它的否定是：∃x0∈R，f（x0）≤0．故选：B．判断命题的真假，然后利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查．8.【答案】B【解析】解：由图象可知，A=1，=1.5，∴A=2，T=6，又6=T=，∴ω=，故选：B．结合图象可知，A=1，=1.5，然后再由周期公式即可求解ω本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的性质和赋值法的应用,属于中档题．直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，,得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B．当x=时，函数的值为0，故排除C．故选D．10.【答案】C【解析】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥p，n=12，S=6×sin30°=3，满足条件S≥p，退出循环，输出n的值为24，故p=3.1，故选：C．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查几何体的折叠问题，几何体的外接球的半径的求法，考查球的表面积，考查空间想象能力．把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和三点共线的性质，考查运算能力，属于中档题．将x=c代入双曲线的方程，求得A的纵坐标，由|F2Q|＞|F2A|，结合a，b，c和离心率公式可得e的范围；再由双曲线的定义和恒成立思想，讨论F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|，结合离心率公式可得e的范围，再由e＞1，取交集即可得到所求范围．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2-a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②e的范围是（1，）．故选：B．13.【答案】-20x3【解析】解：因为（2x-）6的展开式中，共有7项，所以二项式系数最大的项是中间项，即第4项．所以二项式系数最大的项为T4=•（2x）3•=-20x3，故答案为：-20x3．判断二项展开式的项数，即可判断二项式系数最大的项．本题考查二项式定理系数的性质，展开式是奇数项，则中间项二项式系数最大，偶数项，中间两项二项式系数相等且最大，属于基础题．14.【答案】【解析】解：=（）（2a+b）=2++=．∵a，b是正实数，∴．即的最小值为．当且仅当，即a=b=时“=”成立．故答案为：．把看作（）•1，然后把1换为2a+b，展开后利用基本不等式求最值．本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．15.【答案】（3，+∞）【解析】解：由题得，∴，解得a＞3．∴实数a的取值范围是（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．根据已知得到关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围．本题主要考查分段函数和数列的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．16.【答案】【解析】解：∵，其中0≤x≤1，0≤y≤1，∴动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形在△ABC中，由余弦定理可得cos A=∴5AB2-12AB-65=0∴AB=5∴∵O是△ABC的内心，∴O到△ABC各边的距离均为r，∴∴r=∴S=AB×r==．故答案为：．根据，其中0≤x≤1，0≤y≤1，可得动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形，S=AB×r，r为△ABC的内切圆的半径，计算AB及r，即可得到结论．本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．17.【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，a2=5，a1，a4，a13成等比数列，所以a1+d=5，a42=a1a13，即（a1+3d）2=a1（a1+12d），化简得d2=2d，则d=0或d=2，当d=0时，a n=5；当d=2时，a1=5-d=3，a n=3+2（n-1）=2n+1；（2）由（1）知当a n=5时，S n=5n；当a n=2n+1时，则S n==2n+n2．【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程得到d和首项的值，即得数列的通项公式；（2）利用等差数列的前n项和公式可得所求和．本题主要考查等差数列的通项的求法和等比数列的性质，考查等差数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．（2）K2==16.67＞10.828，故有99.9%的把握说明“用餐地点”与“性别”有关．（3）由题意可知ξ的可能值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴Eξ=0×+1×+2×=1．【解析】（1）根据表格中数据的关系，完善2×2列联表；（2）根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论；（3）由题意可知ξ的可能值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到ξ的分布列和数学期望．本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验以及离散型随机变量的期望的求法，分布列的求法，考查计算能力．19.【答案】证明：（1）因为∠ABC=90°，BC=CD，所以∠CBD=45°，△BCD是等腰直角三角形，故BD=，因为AB=，∠ABD=45°，所以△ABD∽△BCD，∠ADB=90°，即BD⊥AD，因为侧面SAD⊥底面ABCD，交线为AD，所以BD⊥平面SAD，所以平面SBD⊥平面SAD．解：（2）过点S作SE⊥AD，交AD的延长线于点E，因为侧面SAD⊥底面ABCD，所以SE⊥底面ABCD，所以∠SDE是底面SD与底面ABCD所成的角，即∠SDE=60°，过点D在平面SAD内作DF⊥AD，因为侧面SAD⊥底面ABCD，所以DF⊥底面ABCD，如图建立空间直角坐标系D-xyz，设BC=CD=1，则B（0，），C（-，，0），S（-，0，），则=（0，），=（-，-，），=（-，-，0），设=（x，y，z）是平面SBD法向量，则，取x=，得=（），设=（x，y，z）是平面SBC的法向量，则，取x=，得=（），|cos＜＞|===，所以二面角C-SB-D的余弦值为．【解析】（1）取AB中点M，连接DM，可得DB⊥AD又侧面SAD⊥底面ABCD，可得BD⊥平面SAD，即可得平面SBD⊥平面SAD．（2）以D为原点，DA，DB所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，求出设面SCB 的法向量和面SBD的法向量．利用向量法即可求解．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为知，，∴椭圆C的方程可设为．易求得，∴点在椭圆上，∴，解得，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由（Ⅰ）知，，，，则，∴OM⊥ON．当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），∴，即m2=2（k2+1）．联立直线和椭圆的方程得x2+2（kx+m）2=6，∴（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0，得．∵，，∴OM⊥ON．∴=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）==，综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OM⊥ON．在Rt△OMN中，由△OMP与△NOP相似得，|OP|2=|PM|•|PN|=2为定值．【解析】（Ⅰ）根据离心率得到，代入椭圆方程，根据题意得知点在椭圆上，并将该点的坐标代入椭圆，可求出b的值，进而得出a的值，从而求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）对圆O在点P处的切线的斜率是否存在进行分类讨论．一是斜率不存在时，可得出点M、N的坐标，从而求出|PM|•|PN|的值；二是斜率存在时，设该切线方程为y=kx+m，设点M（x1，y1），N（x2，y2），由直线MN与圆O相切得出m与k之间所满足的关系式，并将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的运算得出，得出OM⊥ON，由△OMP与△NOP相似得，|OP|2=|PM|•|PN|，于是证出结论．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在椭圆中的应用，并结合向量运算一起考查，考查计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数f（x）=（1+a）x2-ln x-a+1的定义域为：（0，+∞）且f′（x）=2（1+a）xー=当a≤-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞-1时，令f′（x）=0，解得：x=，此时f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增（2）证明：若a＜1，则当x＞0，时，问题转化为不等式：xf（x）＞ln x+（1+a）x3-x2在（0，+∞）上恒成立，只需要证明：x[（1+a）x-ln x-a+1]＞ln x+（1+a）x3-x2在（0，+∞）上恒成立，即证：ln x-x＜--a+1在（0，+∞）上恒成立，令F（x）=ln x-x，g（x）=--a+1因为F′（x）=-1=，易得F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴F（x）≤F（1）=-1又因为：g′（x）=-=，当0＜x＜e时，g′（x）＜0，当x＞e时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（e）=--a+1，∵a＜1时，所以--a+1＞-＞-1，即F（x）max＜g（x）min，所以ln x-x＜--a+1在（0，+∞）上恒成立∴当x＞0时，函数y=xf（x）的图象恒在函数y=ln x+（1+a）x3-x2的图象上方．故答案为：（1）当a≤-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞-1时，令f′（x）=0，解得：x=，此时f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，（2）见证明．【解析】（1）求出函数求f′（x），x＞0，由此利用导数性质讨论函数f（x）的单调性；（2）问题转化为不等式xf（x）＞ln x+（1+a）x3-x2在（0，+∞）上恒成立，即证F（x）＜g（x）min，恒成立即可．max本题考查函数的单调性质的讨论，考查不等式恒成立问题，考查两函数最值的关系，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．是难题，22.【答案】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为．所以：，曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4．转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，线l交曲线C1于O，A两点，则：，解得：A（2，），直线和曲线C2于O，B两点则：，解得：B（4，），所以：|AB|=|ρ1-ρ2|=4-2．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=，得f（x）min=1，要使f（x）≥|m-1|恒成立，只要1≥|m-1|，即0≤m≤2，实数m的最大值为2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2=2，又a2+b2≥2ab，故ab≤1，（a+b）2-4a2b2=a2+b2+2ab-4a2b2=2+2ab-4a2b2=-2（ab-1）（2ab+1），∵0＜ab≤1，∴（a+b）2-4a2b2=-2（ab-1）（2ab+1）≥0，∴a+b≥2ab．【解析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，得到关于m的不等式，求出m的范围即可；（Ⅱ）求出0＜ab≤1，根据其范围证明即可．本题考查了绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．。
四川省乐山市高考数学三模试卷(理科)
四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·吉林期末) 已知复数z满足（是虚数单位），则 =（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·平遥月考) 设集合，，，则（）.A .B .C .D .3. （2分）(2017·安徽模拟) ，则实数a等于（）A . 1B .C . ﹣1D .4. （2分）(2017·安徽模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入的n的值为5，则输出的S的值为（）A . 17B . 36C . 52D . 725. （2分）(2017·安徽模拟) 函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（bx）和f （cx）的大小关系是（）A . f（bx）≤f（cx）B . f（bx）≥f（cx）C . f（bx）＞f（cx）D . 大小关系随x的不同而不同6. （2分）(2017·安徽模拟) 如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·安徽模拟) 如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC和AD的中点，则直线AE和CF所成的角的余弦值为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·青州模拟) 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1F2 ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1 ， e2 ，则e1•e2的取值范围是（）A . （，+∞）B . （，+∞）C . （，+∞）D . （0，+∞）9. （2分） (2016高一下·武汉期末) 已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（）A .B .C . 1D . 210. （2分）(2017·安徽模拟) 定义：F（x，y）=yx（x＞0，y＞0），已知数列{an}满足：an= （n∈N*），若对任意正整数n，都有an≥ak（k∈N*）成立，则ak的值为（）A .B . 2C .D .11. （2分）(2017·安徽模拟) 一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是Rt△PAB，其中PA=6，则该椭圆的短轴长为（）A . 6B . 8C .D . 312. （2分）(2017·安徽模拟) 设函数f（x）满足xf′（x）+f（x）= ，f（e）= ，则函数f（x）（）A . 在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减B . 在（0，+∞）上单调递增C . 在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增D . 在（0，+∞）上单调递减二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）用列举法表示集合A={x∈Q|（x+1）（x﹣）（x2﹣2）=0}为________．14. （1分）已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值为n，则二项式（x﹣）n展开式中x2项的系数为________15. （1分）(2020·盐城模拟) 若，则方程有实根的概率为________.16. （1分）(2017·安徽模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中：①|BM|是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE．其中正确的命题是________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2017高二上·潮阳期末) 已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．18. （10分） (2016高二上·绍兴期末) 如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm 的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大．19. （10分）(2017·安徽模拟) 医生的专业能力参数K可有效衡量医生的综合能力，K越大，综合能力越强，并规定：能力参数K不少于30称为合格，不少于50称为优秀．某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力K的频率分布直方图：（1）求出这个样本的合格率、优秀率；（2）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名．①求这2名医生的能力参数K为同一组的概率；②设这2名医生中能力参数K为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．20. （10分）(2017·安徽模拟) 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1、C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．（1）设，求|BC|与|AD|的比值；（2）若存在直线l，使得BO∥AN，求椭圆离心率e的取值范围．21. （10分）(2017·安徽模拟) 已知函数f（x）=x2+ +alnx（x＞0，a为常数）．（1）讨论函数g（x）=f（x）﹣x2的单调性；（2）对任意两个不相等的正数x1、x2 ，求证：当a≤0时，．22. （10分） (2017高二下·福州期中) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ= sin（）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于M、N两点，求M、N两点间的距离．23. （10分）(2017·安徽模拟) 已知函数f（x）=|x+4|﹣|x﹣1|．（1）解不等式f（x）＞3；（2）若不等式f（x）+1≤4a﹣5×2a有解，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2）B．（1，2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ35．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C． +D．+6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．59．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．611．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2C．2 D．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2017）的值为．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．18．（12分）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．（12分）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．四川省乐山市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．[1，2）B．（1，2]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x≥4}={x|x≥2}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}={x＞1}，∴A∩B={x|x≥2}=[2，+∞）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．复数的共轭复数=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】根据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简形式，把虚部的符号变成相反的符号得到结果．【解答】解：∵==1+i∴=1﹣i故选D．【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题．3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】25：四种命题间的逆否关系．【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．4．已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．5．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，=，=，则=（）A．﹣B．﹣C． +D．+【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】直接利用向量的基本定理判断选项即可．【解答】解：如图：连结CD，OD，∵已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，∴AODC是平行四边形，∴=．故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，是基础题．6．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为y=bx+a，则点（a，b）与直线x+18y=100的位置关系是（）A．a+18b＜100 B．a+18b＞100C．a+18b=100 D．a+18b与100的大小无法确定【考点】BK：线性回归方程．【分析】由样本数据可得，，，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．【解答】解：由题意，=（15+16+18+19+22）=18，=（102+98+115+115+120）=110，xiyi=9993，5=9900，xi2=1650，n（）2=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100故选：B．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．【点评】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．8．已知数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣1，则满足的最大正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】8H：数列递推式．【分析】S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，化为：a n=2a n﹣1，利用等比数列的通项公式可得：a n=2n﹣1.化为：2n﹣1≤2n，即2n≤4n．验证n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n，利用二项式定理展开即可得出．2n＞4n．【解答】解：S n=2a n﹣1，n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，公比为2．a n=2n﹣1．化为：2n﹣1≤2n，即2n≤4n．n=1，2，3，4时都成立．n≥5时，2n=（1+1）n=++…+++≥2（+）=n2+n+2，下面证明：n2+n+2＞4n，作差：n2+n+2﹣4n=n2﹣3n+2=（n﹣1）（n﹣2）＞0，∴n2+n+2＞4n，则满足的最大正整数n的值为4．故答案为：C．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9π，则p=（）A．2 B．4 C．3 D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为9π，∴圆的半径为3又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=3∴p=4故选：B．【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．10．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为（）A．B．C．D．6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可．【解答】解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2．可得，故选：C．【点评】本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．11．函数f（x）=（ω＞0），|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．4 B．2C．2 D．【考点】35：函数的图象与图象变化；3T：函数的值．【分析】由图象的顶点坐标求出A，根据周期求得ω，再由sin[2（﹣）+φ]=0以及φ的范围求出φ的值，从而得到函数的解析式，进而求得f（π）的值．【解答】解：由函数的图象可得A=2，根据半个周期=•=，解得ω=2．由图象可得当x=﹣时，函数无意义，即函数的分母等于零，即sin[2（﹣）+φ]=0．再由|φ|＜，可得φ=，故函数f（x）=，∴f（π）=4，故选A．【点评】本小题主要考查函数与函数的图象，求函数的值，属于基础题．12．已知曲线f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．（3，）C．（﹣∞，）D．（0，3）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，运用求根公式和指数函数的值域，解不等式可得a的范围．【解答】解：f（x）=e2x﹣2e x+ax﹣1的导数为f′（x）=2e2x﹣2e x+a，由题意可得2e2x﹣2e x+a=3的解有两个，即有（e x﹣）2=，即为e x=+或e x=﹣，即有7﹣2a＞0且7﹣2a＜1，解得3＜a＜．故选B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程的解的个数问题的解法，注意运用配方和二次方程求根公式，以及指数函数的值域，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=9﹣a6，则S8=72．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】可得a1+a8=18，代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得a3+a6=18，由等差数列的性质可得a1+a8=18故S8=（a1+a8）=4×18=72故答案为：72【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14．若直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，则二项式展开式中x3的系数为﹣80．【考点】DB：二项式系数的性质；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据两直线垂直求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x3的系数．【解答】解：直线ax+y﹣3=0与2x﹣y+2=0垂直，∴2a+1×（﹣1）=0，解得a=；∴二项式（﹣）5 =（2x﹣）5展开式的通项公式为=•（2x）5﹣r•=（﹣1）r•25﹣r••x5﹣2r，T r+1令5﹣2r=3，求得r=1，∴展开式中x3的系数为﹣1•24•=﹣80．故答案为：﹣80．【点评】本题主要考查了两条直线垂直以及二项式定理的应用问题，是基础题．15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（2017）的值为﹣1．【考点】3T：函数的值．【分析】根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，可得答案．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（﹣1）=1，f（0）=0，f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1，f（3）=f（2）﹣f（1）=0，f（4）=f（3）﹣f（2）=1，f（5）=f（4）﹣f（3）=1，f（6）=f（5）﹣f（4）=0，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1，故当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，故f（2017）=f（1）=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，根据已知分析出当x∈N时，函数值以6为周期，呈现周期性变化，是解答的关键．16．若函数y=f（x）在实数集R上的图象是连续不断的，且对任意实数x存在常数t使得f（x+t）=tf（x）恒成立，则称y=f（x）是一个“关于t的函数”，现有下列“关于t函数”的结论：①常数函数是“关于t函数”；②正比例函数必是一个“关于t函数”；③“关于2函数”至少有一个零点；④f（x）=是一个“关于t函数”．其中正确结论的序号是①④．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据抽象函数的定义结合“关于t函数”的定义和性质分别进行判断即可．【解答】解：①对任一常数函数f（x）=a，存在t=1，有f（1+x）=f（x）=a，即1•f（x）=a，所以有f（1+x）=1•f（x），∴常数函数是“关于t函数”，故①正确，②正比例函数必是一个“关于t函数”，设f（x）=kx（k≠0），存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得k（x+t）=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程无解，故②不正确；③“关于2函数”为f（2+x）=2•f（x），当函数f（x）不恒为0时，有=2＞0，故f（x+2）与f（x）同号．∴y=f（x）图象与x轴无交点，即无零点．故③错误，④对于f（x）=（）x设存在t使得f（t+x）=tf（x），即存在t使得（）t+x=t（）x，也就是存在t使得（）t（）x=t（）x，也就是存在t使得（）t=t，此方程有解，故④正确．故正确是①④，故答案为①④．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数的定义和性质是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•乐山三模）如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（﹣，）．（Ⅰ）若sinα=，求cos∠POQ；（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos∠POQ 的值．（Ⅱ）利用用割补法求三角形POQ的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．【解答】解：﹙Ⅰ﹚因为，且，所以．所以．（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而，所以==．因为，所以当时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为．【点评】本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题．18．（12分）（2017•乐山三模）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为P i（i=1，2），没有中奖的概率为P0，则P1+P2==，即中奖的概率为，∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，P（X=0）=，P（X=50）==，P（X=100）==，P（X=150）==，P（X=200）==，∴X的分布列为：X050100 150200P∴EX==55（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）（2017•乐山三模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC 的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P（0，0，2），H（，，0），C（0，2，0），B（，﹣1，0），F（0，1，1），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos＜，＞==，即二面角A﹣CP﹣B的余弦值是．【点评】本小题主要考查直线垂直的证明和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2017•乐山三模）设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且+=，过A，Q，F2三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．【分析】（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围．【解答】解：（I）因为，所以F1为F2Q中点．设Q的坐标为（﹣3c，0），因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（﹣c，0），半径为2c因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k2）x2+16kx+4=0．设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2）．=（x1+x2﹣2m，k（x1+x2）+4）又=（x2﹣x1，y2﹣y1）=（x2﹣x1，k（x2﹣x1））．由于菱形对角线互相垂直，则（）•=0，所以（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m]+k（x2﹣x1）[k（x1+x2）+4]=0．故（x2﹣x1）[（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k]=0．因为k＞0，所以x2﹣x1≠0．所以（x1+x2）﹣2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k﹣2m=0．所以（1+k2）（﹣）+4k﹣2m=0．解得m=﹣，即因为k＞，可以使，所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．21．（12分）（2017•乐山三模）已知函数f（x）=ax2﹣2lnx，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，利用导数大于0或导数小于0，得到关于x的不等式，解之即可；注意解不等式时要结合对应的函数图象来解；（2）因为对任意m∈[1，e]，直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间[1，e]上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x）＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间[1，e]上恒成立，再通过研究f（x）在[1，e]上的单调性求最值，结合（Ⅰ）的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ax﹣=，（Ⅰ）当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a=0时，f′（x）=＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0，结合x＞0，解得，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递减；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述：当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）因为对任意m∈[1，e]，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m∈[1，e]，直线PM的斜率小于0，即，所以f（m）＜1，即f（x）在区间[1，e]上的最大值小于1．又因为f′（x）=ax﹣=，令g（x）=ax2﹣2，x∈[1，e]（1）当a≤0时，由（Ⅰ）知f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（1）=＜1，所以a＜2，故a≤0符和题意；（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得，①当≤1，即a≥2时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数f（x）的最大值f（e）=，解得a＜，故无解；②当≥e，即时，f（x）在区间[1，e]上单调递减，函数f（x）的最大值为f（1）=＜1，解得a＜2，故0；③当，即时，函数f（x）在（1，）上单调递减；当x∈（，e）上单调递增，故f（x）在区间x∈[1，e]上的最大值只能是f（1）或f（e），所以，即，故．综上所述a的取值范围．【点评】本题重点考查不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题，然后从函数的单调性入手分析，注意本题第二问讨论时的标准，一般要借助于函数图象辅助来解决问题．一方面利用了数学结合思想，同时重点考查了分类讨论思想的应用，有一定难度．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．22．（10分）（2017•乐山三模）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）A，B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C1，C1的平面直角坐标方程，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，能求出曲线C1与C2交点的平面直角坐标．（Ⅱ）作出图形，由平面几何知识求出当|AB|最大时|AB|=2，O到AB的距离为，由此能求出△OAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程是（θ为参数），∴曲线C1的平面直角坐标方程为（x+2）2+y2=4．又由曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，把两式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，得2x2+4x=0，解得或，∴曲线C1与C2交点的平面直角坐标为（0，0），（﹣2，2）．（Ⅱ）如图，由平面几何知识可知：当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时|AB|=2，O到AB的距离为，∴△OAB的面积为S=．【点评】本题考查两曲线交点的平面直角坐标的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的相互转化及应用．23．（2017•乐山三模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥t2﹣3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号，可得f（x）=，再解不等式f（x）≥3即可求得其解集；（2）当x∈[0，1]时，易求f（x）max=﹣1，从而解不等式t2﹣3t＞﹣1即可求得实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴原不等式转化为或或，解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣或x＜﹣2，∴原不等式的解集为：（﹣∞，﹣]∪[6，+∞）；（2）只要f（x）max＜t2﹣3t，由（1）知，当x∈[0，1]时，f（x）max=﹣1，∴t2﹣3t＞﹣1，解得：t＞或t＜．∴实数t的取值范围为（﹣∞，）∪（，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，通过对x范围的分类讨论，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。