高考数学创新题(附答案)

高考数学创新题

一、选择题（共9题）

1．（北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，

在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆

数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间

内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相

等），则

（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 解：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1

2． （福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题：

①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;

②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；

③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.

其中真命题的个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：

2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间，则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ∆中，

01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+->01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+- =2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,o

C ∠=则

222;AC CB AB +=明显不成立，选B.

3．（广东卷）对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=

A.(4,0)

B. (2,0)

C. (0,2)

D. (0,4)-

解析：由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-2

10252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.

4．（辽宁卷）设○

+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○

+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是

(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集

解析： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，

即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。

【点评】本题考查了阅读和理解能力，同时考查了做选择题的一般技巧排除法。

5．（山东卷）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为

（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）18

解：当x ＝0时，z ＝0，当x ＝1，y ＝2时，z ＝6，当x ＝1，y ＝3时，z ＝12，故所有元素之和为18，选D

6．(陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )

A.4,6,1,7

B.7,6,1,4

C.6,4,1,7

D.1,6,4,7

解析：当接收方收到密文14，9，23，28时，

则214292323428a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩，解得641

7

a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，解密得到的明文为C ．

7．(上海卷)如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．已知常数p ≥0，q ≥0，给出下列命题：

①若p ＝q ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且

仅有1个； ②若pq ＝0，且p ＋q ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）

的点有且仅有2个；

③若pq ≠0，则“距离坐标”为（p ，q ）的点有

且仅有4个．

上述命题中，正确命题的个数是 （ ）

（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．

解：选（D ） ① 正确，此点为点O ； ② 正确，注意到,p q 为常数，由,p q 中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q （或p ）； ③ 正确，四个交点为与直线1l 相距为p 的两条平行线和与直线2l 相距为q 的两条平行线的交点；

8．(上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

（A ）48 （B ） 18 （C ） 24 （D ）36

解析：若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A.

二、填空题（共2题）

9． (上海卷)如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分

1

l 2l O M （p ，q ）