求素数的算法及其复杂度分析
求素数的算法
求素数的算法
1. 定义
素数又称质数，是指只能被1和它本身整除的自然数，如2、3、5、7、11等，而4、6、8、9等都不是素数。
2. 筛法
筛法是一种较为简单的求素数的算法，主要原理是先假设所有数都是素数，然后从小
到大开始筛选，将所有能够整除当前数字的数标记为合数，剩余的就是素数。
具体步骤如下：
（1）初始化数组：将从2到n的所有整数存入数组中，初始时都标记为素数。
（2）循环遍历数组：从2开始循环遍历数组，将当前数字标记为素数，然后将所有能够整除当前数字的数标记为合数。
（实际上只需要循环到sqrt(n)即可）
（3）输出素数：遍历数组，输出所有标记为素数的数。
3. 质数判定法
如果只需要判断某一个给定的数是否是素数，那么可以采用质数判定法。
常见的质数
判定法有以下几种：
（1）试除法：从2开始到sqrt(n)依次尝试除n，如果能够整除则不是素数，否则是
素数。
这种方法速度较慢，但实现简单。
（2）根号判定法：如果一个数n不是素数，那么n可以表示为两个整数的乘积，即n = x * y。
这两个整数必然有至少一个小于等于sqrt(n)。
因此，只需要判断是否存在小于等于sqrt(n)的因数即可。
（3）费马小定理：如果n是素数，那么对于任意整数a，a^(n-1) mod n = 1。
根据这个定理，我们可以随机选取一些a进行计算，如果a^(n-1) mod n 不等于 1，则n一定不是素数，否则n可能是素数。
（4）米勒-拉宾素性判定法：该方法是一种基于费马小定理的扩展算法。
具体实现过
程较为复杂，但速度较快，能够判断很大的素数。
素数判断算法
int main() {
bool p[max]={ 0,0,1,1,0,1}; int prim[max]={0}; int j,k=2; memset(p,1,sizeof(p)); for(j=2;j<max;j++)
{ if(p[j]) for(k=j*j;k<max;k+=j) p[k]=0;
首先，介绍一下求 1~n 范围内的素数的筛选法： 素数筛选法，也称“埃拉托色尼(Eratosthenes)筛法”，埃拉托色尼是古希腊著名的数
学家（膜拜一下）。素数筛选法操作如下，首先从 2 开始，将 2+k（k=1，2，3，……n-2） 都对 2 进行整除运算，若（2+k）能整出 2，说明这个数一定是合数，那就将它筛掉；然后
} k=0; for(j=2;j<max;j++)
if(p[j]) prim[k++]=j; for(j=0;j<k;j++) cout<<j<<" "<<prim[j]<<endl; return 0; }
对于素数问题，历史上有许多猜想和论证，部分如下： 最大公约数只有 1 和它本身的数叫做质数（素数）。 至今为止，没有任何人发现素数的分布规律，也没有人能用一个公式计算出所有的素数。 关于素数的很多的有趣的性质或者科学家的努力： 1.高斯猜测，n 以内的素数个数大约与 n/ln(n)相当，或者说，当 n 很大时，两者数量 级相同。这就是著名的素数定理。 2.十七世纪费马猜测，2 的 2^n 次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数， 可惜当 n=5 时，2^32+1 就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。 3.18 世纪发现的最大素数是 2^31-1，19 世纪发现的最大素数是 2^127-1，20 世纪末人 类已知的最大素数是 2^859433-1，用十进制表示，这是一个 258715 位的数字。 4.孪生素数猜想：差为 2 的素数有无穷多对。目前知道的最大的孪生素数是 1159142985 ×2^2304－1 和 1159142985×2^2304＋1。 5.歌德巴赫猜想：大于 2 的所有偶数均是两个素数的和，大于 5 的所有奇数均是三个素 数之和。其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为 1+1 问题。我国 数学家陈景润证明了 1+2，即所有大于 2 的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的 和。国际上称为陈氏定理。
c++ 10000以内素数算法
c++ 10000以内素数算法一、概述本算法是一种用于寻找10000以内素数的C语言程序。
素数是指只有两个正因数（1和它自身）的自然数。
寻找素数的方法通常包括筛选法和埃拉托斯特尼筛法等。
本算法采用筛选法，通过循环遍历每个数，判断是否为素数，最终输出所有素数。
二、算法实现1. 初始化一个数组用来存储已检查过的数（初始化为0），以及一个计数器记录当前正在检查的数。
2. 从2开始循环到10000，每次循环将计数器加1。
3. 如果当前数是素数（即除了1和它自身以外没有其他因数），则将该数添加到已检查过的数数组中，并继续检查下一个数。
4. 如果当前数不是素数，则跳过该数，继续检查下一个数。
5. 检查完所有数后，输出已检查过的数数组中所有不重复的数，即为10000以内的素数。
以下是C语言代码实现：```c#include <stdio.h>int main() {int i, j, flag;int primes[100] = {0}; // 存储已检查过的数的数组int count = 0; // 当前正在检查的数的计数器for (i = 2; i <= 10000; i++) {count++; // 初始化计数器为1flag = 1; // 假设当前数为素数for (j = 2; j < count; j++) {if (i % j == 0) { // 如果存在除1和自身以外的因数，则不是素数flag = 0; // 不是素数，将标记设为0break;}}if (flag) { // 如果最后标记为1，说明是素数primes[count-1] = i; // 将素数添加到数组中}}printf("Prime numbers between 1 and 10000 are: ");for (i = 0; i < count; i++) {printf("%d ", primes[i]);}return 0;}```三、算法评估与优化本算法采用循环遍历的方式查找素数，时间复杂度为O(n^2)，在输入规模较小时表现较好。
素数(质数)判断的五种方法
素数（质数）判断的五种方法素数判断是编写程序过程中常见的问题，所以今天我简单梳理一下常用的素数判断方法。
素数的介绍素数定义质数(prime number)又称素数，有无限个。
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。
根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。
最小的质数是2。
--------360百科第一种：暴力筛选法思路分析根据素数的定义，我们可以简单地想到：若要判断n是不是素数，我们可以直接写一个循环（i从2到n-1，进行n%i运算，即n能不能被i整除，如被整除即不是素数。
若所有的i 都不能整除，n即为素数）。
代码实现booleanisPrime(int n){for(inti=2;i<n;i++){if(n%i==0){returnfalse;break;}}returntrue ;}时间复杂度：O(n)这个时间复杂度乍一看并不乐观，我们就简单优化一下。
booleanisPrime(int n){for( i=2; i<=(int)sqrt(n);i++){if(n%i==0){returnfalse;break;}}returntrue;}时间复杂度：O(sqrt(n))优化原理：素数是因子为1和本身，如果num不是素数，则还有其他因子，其中的因子，假如为a,b.其中必有一个大于sqrt(num) ，一个小于sqrt（num）。
所以必有一个小于或等于其平方根的因数，那么验证素数时就只需要验证到其平方根就可以了。
即一个合数一定含有小于它平方根的质因子。
第二种：素数表筛选法素数表的筛选方法一看就知道素数存储在一个表中，然后在表中查找要判断的数。
找到了就是质数，没找到就不是质数。
思路分析如果一个数不能整除比它小的任何素数，那么这个数就是素数对了，这个方法效率不高，看看就知道思路了。
python求素数的20种算法
python求素数的20种算法20种求素数的算法1. 质数判断法：对于给定的整数n，从2到n-1依次判断n是否能被这些数整除，若都不能整除，则n为质数。
该算法的时间复杂度为O(n)。
2. 埃拉托斯特尼筛法：该算法的基本思想是从2开始，将2的倍数标记为合数，然后再找到下一个未标记的数，将其倍数标记为合数，依此类推，直到找到所有的质数。
时间复杂度为O(nloglogn)。
3. 素数定理：根据素数定理，对于给定的整数n，素数的个数约为n/ln(n)，可以利用这个定理来估算给定范围内的素数个数。
4. 费马素性检验：对于给定的整数n，取一个随机整数a，如果a 的n次方模n等于a，则n可能是素数，否则一定是合数。
该算法的时间复杂度较低，但存在一定的错误概率。
5. 米勒-拉宾素性检验：该算法是费马素性检验的改进算法，通过多次的随机取数进行检验，提高了精确度。
6. 素数分解法：将给定的整数n进行素因数分解，如果分解得到的因子只有1和n本身，则n为质数。
7. Rabin-Miller素性检验：该算法是米勒-拉宾素性检验的改进算法，通过多次的随机取数进行检验，提高了精确度。
8. 欧拉素数检验：根据欧拉定理，如果对于给定的整数n，a的n-1次方模n等于1，则n可能是素数，否则一定是合数。
9. 线性筛法：该算法是埃拉托斯特尼筛法的改进算法，通过线性的方式进行筛选，可以在O(n)的时间复杂度内求解素数。
10. 素数生成器：通过不断地生成大于当前最大素数的数，并判断是否为质数，来生成素数序列。
11. 素数位数统计法：对于给定的整数n，统计从1到n中每个数的位数，然后判断每个位数的数是否为质数。
12. 素数平方和方法：对于给定的整数n，判断是否存在两个质数，使得它们的平方和等于n。
13. 素数和差法：对于给定的整数n，判断是否存在两个质数，使得它们的和或差等于n。
14. 质数的二进制表示法：对于给定的整数n，将n转换为二进制表示，然后判断二进制中是否只包含一个1，若是则n为质数。
素数的算法原理和应用
素数的算法原理和应用概述素数是指只能被1和自身整除的正整数。
素数在密码学、计算机科学和数学研究等领域具有重要的应用。
本文将介绍素数的算法原理以及在实际应用中的一些常见场景。
素数的判断算法判断一个数是否为素数是素数算法的基础。
常用的素数判定算法有两种：试除法和素数筛法。
试除法试除法是最简单直观的素数判定方法。
对于一个待判断的正整数n，只需从2开始遍历到sqrt(n)（即n的平方根）的整数m，检查是否有任何m能整除n。
若能找到能整除n的m，则n不是素数；否则，n是素数。
试除法的时间复杂度为O(sqrt(n))，适用于判断大部分整数是否是素数。
然而，对于非常大的数，这种方法的效率较低。
素数筛法素数筛法通过筛选法来判断素数。
其中最常用的是埃拉托斯特尼筛法。
首先，生成一个长度为n+1的布尔类型数组，将其初始值都设为true。
然后从2开始遍历到sqrt(n)的整数m，在数组中将2的倍数、3的倍数、4的倍数…全部标记为false。
最后，数组中值为true的索引对应的数就是素数。
素数筛法的时间复杂度为O(nloglogn)，虽然比试除法高效，但由于需要生成一个长度为n+1的数组，对于非常庞大的数，也存在一定的限制。
素数的应用素数在密码学、计算机科学和数学研究等领域有广泛的应用。
以下是一些常见的素数应用场景。
密码学中的应用素数在密码学中起到至关重要的作用，特别是在公钥密码学中。
其中一个常见的应用是RSA加密算法。
在RSA算法中，首先需要生成两个大素数p和q，然后计算它们的乘积n=p*q。
n被用作加密和解密过程中的模数，而p和q用于生成公钥和私钥。
素数的随机性应用素数的随机分布属性使其成为生成随机数的重要组成部分。
例如，质数的随机分布性质被广泛应用在随机数生成算法中，确保生成的随机数能够满足安全性和随机性的要求。
整数因子分解素数在整数因子分解中也有重要应用。
由于素数只能被1和自身整除，因此在将一个大数分解成其因子时，可以使用素数的概念来加快计算过程。
素数判定的递归算法
素数判定的递归算法素数判定是一个经典的数学问题，在计算机科学中也有着广泛的应用。
在解决这个问题时，可以使用递归算法来判断一个数是否为素数。
下面是一个使用递归算法进行素数判定的详细解释。
首先，什么是素数？素数又被称为质数，是指除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数。
比如2、3、5、7、11等都是素数。
要判断一个数n是否为素数，一种简单的方法是从2开始到√n进行遍历，判断是否存在能整除n的数。
如果存在，那么n就不是素数；如果不存在，则n是素数。
接下来，我们可以使用递归算法实现素数判定。
首先，我们编写一个辅助函数isDivisible(n, i)，用于判断n是否能被i整除。
该函数返回一个布尔值，即True表示能整除，False表示不能整除。
然后，我们编写一个递归函数isPrime(n, i)，用于判断n是否为素数。
该函数接收两个参数，n为待判定的数，i为当前的除数。
算法的基本思路是：- 如果n小于2，返回False，因为小于2的数都不是素数。
- 如果i大于√n，说明已经遍历完了所有可能的除数，返回True，即n是素数。
- 如果n能被i整除，返回False，即n不是素数。
- 如果n不能被i整除，递归调用isPrime函数，将i加1作为新的除数，继续判断。
最后，我们编写一个外部函数prime(n)，调用isPrime函数来判断n 是否为素数，并返回相应的结果。
该函数是递归算法的入口。
以下是使用Python编写的递归算法判断素数的实现代码：```pythonimport mathdef isDivisible(n, i):if i == 1:return Falseif n % i == 0:return Truereturn isDivisible(n, i-1)def isPrime(n, i=2):if n < 2:return Falseif i > math.sqrt(n):return Trueif isDivisible(n, i):return Falsereturn isPrime(n, i+1)def prime(n):if isPrime(n):print(n, "是素数")else:print(n, "不是素数")#测试prime(7) # 输出：7 是素数prime(12) # 输出：12 不是素数```在这个实现中，isDivisible函数用于判断一个数n是否能被i整除。
判断素数的方法
判断素数的方法首先，最朴素的方法是试除法。
对于一个给定的数n，我们可以从2开始，依次用2、3、4、5……n-1来除以n，如果能够整除，则n不是素数；如果都不能整除，则n是素数。
这种方法的时间复杂度是O(n)，并不是一个高效的方法，特别是在处理大数时，计算量会非常大。
因此，我们需要更高效的方法来判断素数。
其次，我们可以利用素数的性质来判断。
根据素数的定义，我们知道，如果一个数n不是素数，那么它一定可以被分解成两个因数a和b的乘积，即n=ab。
那么a和b中必定有一个小于等于√n。
因此，我们只需要判断2到√n之间的数是否能够整除n即可。
这种方法的时间复杂度是O(√n)，相比于朴素的试除法，效率有了很大的提高。
除此之外，我们还可以利用素数的性质来进行判断。
根据费马小定理，如果p是一个素数，那么对于任意整数a，a的p次方减去a都能被p整除。
这就是费马小定理的内容。
因此，我们可以利用费马小定理来进行素数的判断。
这种方法在RSA加密算法中有着重要的应用。
另外，还有一种更高效的方法，即埃拉托斯特尼筛法。
这是一种用来查找一定范围内所有素数的算法。
其基本思想是从2开始，将每个素数的各个倍数都标记为合数。
这种方法的时间复杂度是O(nloglogn)，是目前已知最高效的素数筛法。
总之，判断素数是一个数论中的重要问题，也是计算机算法中常见的问题之一。
本文介绍了几种常见的判断素数的方法，包括朴素的试除法、利用素数的性质、费马小定理和埃拉托斯特尼筛法。
希望能够帮助大家更好地理解和掌握素数的性质和判断方法。
同时，也希望大家能够在实际应用中灵活运用这些方法，解决相关问题。
素数的算法原理及应用
素数的算法原理及应用简介素数，也称质数，是指除了1和它本身之外没有其他约数的自然数。
素数一直以来都在密码学、计算机科学和数论等领域有着重要的应用。
本文将介绍素数的算法原理及其在实际应用中的重要性。
素数的定义1.素数是只能被1和自身整除的自然数。
2.素数大于1，因为1既不是素数也不是合数。
素数的判断算法方法一：试除法试除法是最简单、直观的判断一个数是否为素数的方法，其基本原理是将待判断的数分别除以小于这个数的平方根的所有素数，如果能整除则不是素数，否则是素数。
这个方法的时间复杂度为O(sqrt(n))。
方法二：埃拉托斯特尼筛法埃拉托斯特尼筛法是一种筛选素数的方法，其基本思想是从2开始，将每个素数的倍数标记为合数，直到筛选完所有范围内的数。
这个方法的时间复杂度为O(n log log n)。
方法三：米勒-拉宾素性测试米勒-拉宾素性测试是一种概率性的素性测试方法，其基本原理是通过对一个数进行多次随机的测试，如果都通过了测试，则该数很大概率上为素数。
这个方法的时间复杂度较低，适用于大整数的素性测试。
素数的应用密码学在密码学中，素数常常用于生成加密密钥。
RSA加密算法就是基于大素数的乘法运算原理，将两个大素数相乘得到的乘积难以分解，从而保证了数据的安全性。
哈希算法在哈希算法中，素数经常被用作哈希函数的取模数。
素数的使用可以减小冲突的概率，提高哈希算法的效率。
赌博游戏素数在赌博游戏中也有着应用。
例如，轮盘赌游戏中，赌注的数值常常被选取为素数，这样可以降低赌客破解出赌注的概率，增加游戏的刺激性。
素数分布猜想素数的分布一直是数论中的一个重要问题。
素数定理是素数分布的基本描述，它给出了小于等于一个正整数x的素数的个数约为x/ln(x)。
这个猜想对于数论研究以及应用具有重要的参考价值。
总结素数作为数学中的重要概念，具有广泛的应用领域。
了解素数的算法原理以及其在实际应用中的重要性，可以帮助我们更好地理解和应用素数。
无论是在密码学、哈希算法还是赌博游戏中，素数都起着重要的作用。
最快的筛法求素数的方法
最快的筛法求素数的方法素数是指只能被1和自身整除的正整数。
求解素数一直是数学领域的一个重要问题，也是计算机科学中常见的算法挑战之一。
本文将介绍一种被称为“埃拉托斯特尼筛法”的算法，它是一种高效的方法来找出一定范围内的素数。
埃拉托斯特尼筛法的基本思想是从2开始，将所有的倍数标记为合数，直到遍历完所有小于等于给定范围的数。
具体步骤如下：1. 创建一个长度为n+1的布尔数组，用来表示从2到n的所有数。
初始时，将数组中的所有元素都设置为true，表示它们都是素数的候选者。
2. 从2开始遍历数组，如果当前数字是素数（即数组中对应位置的值为true），则将其所有的倍数标记为合数（将对应位置的值设置为false）。
3. 继续遍历数组，重复步骤2，直到遍历完所有小于等于给定范围的数。
4. 遍历完数组后，所有值为true的位置对应的数字即为素数。
下面是一个示例，以求解小于等于30的素数为例：创建一个长度为31的布尔数组，初始时所有元素都为true。
从2开始遍历数组，发现2是素数，将其所有的倍数（4、6、8、...）标记为合数。
继续遍历，发现3是素数，将其所有的倍数（6、9、12、...）标记为合数。
继续遍历，发现4不是素数（因为它已经被标记为合数），跳过。
继续遍历，发现5是素数，将其所有的倍数（10、15、20、...）标记为合数。
继续遍历，发现6不是素数，跳过。
继续遍历，发现7是素数，将其所有的倍数（14、21、28、...）标记为合数。
继续遍历，发现8不是素数，跳过。
继续遍历，发现9不是素数，跳过。
继续遍历，发现10不是素数，跳过。
继续遍历，发现11是素数，将其所有的倍数（22、33、44、...）标记为合数。
继续遍历，发现12不是素数，跳过。
继续遍历，发现13是素数，将其所有的倍数（26、39、52、...）标记为合数。
继续遍历，发现14不是素数，跳过。
继续遍历，发现15不是素数，跳过。
继续遍历，发现16不是素数，跳过。
素数判断的几种方法代码实现及其复杂度分析
中国地质大学（北京） 课程名称：数 论 基 础 与 应 用 班号：041082 学号：04108209 姓名：王鑫
期末论文专用 成绩：
要划 去一个数，就把这个数挖去，寻求质数的工作完毕后，这许多小洞就像一个筛 子。 ） 代码实现如下： #define MAX 10007 bool isprime[MAX]; void TheSieveofEratosthees() { int i,j; for (i=2;i<MAX;i++) isprime[i]=1; for (i=2;i<MAX;i++) { if (isprime[i]) for (j=i+i;j<MAX;j+=i) isprime[j]=0; } } 在执行完本算法后，isprime[i]=1 则说明 i 是素数。所以本算法在执行完一遍后， 就能在 O(1)的时间复杂度内判断 MAX 以内的任意数是否为素数。所以整个算法的 时间消耗都在筛法的效率上。乍看筛法的时间复杂度貌似是 O(n^2)的，但是其实 不然，第二个循环中，每次递增的 i，当 i 越来越大时，j 很快就能超过 M。其实筛
中国地质大学（北京） 课程名称：数 论 基 础 与 应 用 班号：041082 学号：04108209 姓名：王鑫
期末论文专用 成绩：
素数判断的几种方法的代码实现及其复杂度分析
王鑫 摘要：素数是证书的基本构件。无穷多素数展现出的某些模式可以说是整个数论甚 至是数学所有领域中最深刻、最优美的。对于一个整数，怎么判别它是不是素数， 这是一个值得深入研究的问题。本文针对几种经典的判断素数方法进行分析，利用 计算机模拟实现其算法。并对这些算法进行复杂度分析，在不同数据规模下进行合 适的算法实现。 关键字：素数判断 爱拉托逊斯筛选法 费马测试 米勒-拉宾测试
素数的三种判断方法
素数的三种判断方法引言素数是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。
素数在数论中扮演着重要的角色，被广泛应用于密码学、质因数分解、概率算法等领域。
因此，判断一个数是否为素数具有重要的意义。
本文将介绍三种常见的素数判断方法：试除法、埃拉托斯特尼筛法和费马素性检验。
这些方法具有不同的原理和适用范围，对于不同规模的数值可以选择适合的判断方法。
下面将逐一介绍这三种方法。
1. 试除法试除法是最简单、直观的一种素数判断方法，也是最容易理解和实现的方法。
其基本原理是：对于待判断的数n，从2开始，逐一尝试将n除以每个小于n的数d，若存在一个d能整除n，则n不是素数；若不存在，则n是素数。
以下是使用试除法判断一个数是否为素数的伪代码：Input: n (待判断的数)Output: True (是素数) 或 False (不是素数)if n <= 1:return Falsefor d in range(2, int(sqrt(n)) + 1):if n % d == 0:return Falsereturn True使用试除法进行素数判断的时间复杂度为O(sqrt(n))，空间复杂度为O(1)。
试除法对于判断较小的数值非常有效，但对于极大数值的判断则会变得非常耗时，因为需要逐一尝试除以每个可能的因子。
2. 埃拉托斯特尼筛法埃拉托斯特尼筛法（简称埃氏筛）是一种更高效的素数判断方法，适用于判断较小范围内的数是否为素数。
该方法基于一个重要的数论定理：如果p是素数，那么大于p的p的倍数一定不是素数。
以下是使用埃拉托斯特尼筛法判断一个范围内所有数的素数情况的伪代码：Input: n (待判断范围内的最大数)Output: primes (所有素数的列表)is_prime = [True] * (n+1)is_prime[0] = Falseis_prime[1] = Falsefor p in range(2, int(sqrt(n)) + 1):if is_prime[p]:for multiple in range(p*p, n+1, p):is_prime[multiple] = Falseprimes = [p for p in range(n+1) if is_prime[p]]使用埃拉托斯特尼筛法判断范围内数的素数情况的时间复杂度为O(nlog(log(n)))，空间复杂度为O(n)。
c++判断素数的算法
c++判断素数的算法C++中常用的判断素数的算法有多种，下面我将从多个角度给出几种常见的算法。
1. 基本算法，遍历2到n-1的所有数，判断n是否能被这些数整除。
若存在能整除n的数，则n不是素数；反之，n是素数。
这种算法的时间复杂度为O(n)。
c++。
bool isPrime(int n) {。
if (n <= 1) {。
return false;}。
for (int i = 2; i < n; i++) {。
if (n % i == 0) {。
return false;}。
}。
return true;}。
2. 优化算法1，在基本算法的基础上，我们可以观察到，如果一个数n不是素数，那么它的最小因子肯定不会超过sqrt(n)。
因此，我们只需要遍历2到sqrt(n)的数即可。
这种算法的时间复杂度为O(sqrt(n))。
c++。
bool isPrime(int n) {。
if (n <= 1) {。
return false;}。
for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {。
if (n % i == 0) {。
return false;}。
}。
return true;}。
3. 优化算法2，进一步优化，我们可以观察到，一个数n如果不是素数，那么它的最小因子肯定是一个质数。
因此，我们可以先生成一组质数，并用这些质数来判断n是否是素数。
这种算法被称为埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。
c++。
bool isPrime(int n) {。
if (n <= 1) {。
return false;}。
vector<bool> isPrime(n + 1, true); isPrime[0] = false;isPrime[1] = false;for (int i = 2; i i <= n; i++) {。
if (isPrime[i]) {。
题目描述 用筛选法求(1,n]之内的全部素数。
![题目描述 用筛选法求(1,n]之内的全部素数。](https://img.taocdn.com/s3/m/3ea6022415791711cc7931b765ce0508763275b7.png)
题目描述用筛选法求(1,n]之内的全部素数。
正文：要求在[1,n]之内求出所有的素数，这种问题我们可以采用筛选法来解决。
接下来就来进行详细的介绍，帮助大家更好的理解并掌握这种算法。
1. 筛选法的原理筛选法是一种利用合数必可以分解成若干质数之积的原理，把区间内的数逐个进行筛选，并且将其倍数去除，那么没有被去除的数一定为素数。
2. 筛选法的实现方法首先，我们需要用一个数组来存储每个数是否为素数的信息，通常使用布尔数组来实现。
我们将所有的数都初始化为true，表示它们都是素数。
然后从2开始，枚举所有的数，当一个数a被确定为素数时，我们就将它的所有倍数都标记为合数。
一直到n，我们就可以得到所有的素数。
3. 筛选法的时间复杂度针对这种算法，我们需要枚举从2到n的所有数，对于每个数都需要标记它的所有倍数，因此时间复杂度为O(nlogn)。
4. 筛选法的优化对于这种算法，我们还可以进行一些优化，可以在一定程度上提高解题效率。
具体的优化方法有以下几种：（1）只对奇数进行筛选，可以将时间复杂度降至O(nlogn/2)；（2）提前预处理出素数表，可减小标记合数的次数；（3）使用埃氏筛法或欧拉筛法等更高效的方法，可将时间复杂度优化至O(n)。
5. 筛选法的应用场景筛选法可以应用于求素数、质因数分解、数论函数等多种算法中，是一种非常重要且广泛使用的算法。
总之，筛选法是一种常见而且实用的算法，掌握它有助于提高解题效率。
在应用这种算法时，我们还需要注意合理选择优化方法，以达到最佳的算法效果。
素数判断条件
素数判断条件素数是指除了1和它本身之外没有其他因数的自然数。
判断一个数是否为素数有许多方法和定理，本文将介绍一些常见的素数判断条件。
一、试除法试除法是最常见也是最简单的一种判断素数的方法。
其基本思想是，对于一个待判断的数n，如果存在一个比1大且小于n的整数m，使得n能够整除m，则n不是素数，否则n是素数。
这种方法的时间复杂度较高，为O(n)。
二、质数判定定理质数判定定理是一种更高效的素数判断方法。
其中较简单的定理是：如果一个数n大于1且小于等于平方根n的整数都不能整除n，则n是素数。
这是因为如果存在一个比平方根n大的整数m，使得n 能够整除m，那么必定存在一个比平方根n小的整数k，使得n能够整除k。
因此，只需要判断2到平方根n之间的整数是否能够整除n即可。
这种方法的时间复杂度为O(√n)。
三、费马素性测试费马素性测试是一种基于费马小定理的素数判断方法。
费马小定理是指：对于任意素数p和整数a，如果a不是p的倍数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
也就是说，如果一个数n不满足a^(n-1) ≡ 1(mod n)的条件，则n不是素数。
这种方法的时间复杂度较低，但存在一定的误判概率。
四、米勒-拉宾素性测试米勒-拉宾素性测试是一种更加精确的素数判断方法。
它基于米勒-拉宾定理，该定理表明：如果一个数n是素数，则对于任意正整数a，都有a^(n-1) ≡ 1 (mod n)。
相比于费马素性测试，米勒-拉宾素性测试的误判概率更低。
这种方法的时间复杂度为O(klogn)，其中k为测试的次数。
素数判断条件有试除法、质数判定定理、费马素性测试和米勒-拉宾素性测试等多种方法。
每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，可以根据需要选择适合的方法进行素数判断。
对于小范围的数，试除法和质数判定定理是比较常用的方法；对于大范围的数，费马素性测试和米勒-拉宾素性测试则更加高效和精确。
素数的研究在数论中有着重要的地位，其应用广泛。
素数的计算方式
素数的计算方式
素数，也叫质数，是指只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7、11等。
计算素数的方法有很多种，以下介绍一些常见的方法。
1.试除法：试除法是最简单的一种判断素数的方法，即对于一个数n，只需用从2到√n的所有整数去除一遍n，如果都不能整除，则n为素数。
但是试除法的缺点是当n非常大时，需要判断的数也相应增加，计算量非常大。
2. 埃拉托色尼筛法：埃拉托色尼筛法是一种可以找出一定范围内素数的高效算法。
该算法的基本思想是：从2开始到n，所有的数都标记为素数，然后从2开始，将每个素数的倍数标记为合数，直到所有小于n的素数都被标记。
这样，未被标记的数即为素数。
该算法的时间复杂度为O(nloglogn)，比试除法要快很多。
3. 米勒-拉宾素性检验：米勒-拉宾素性检验是一种概率性的素性测试算法。
该算法的基本思想是利用费马小定理：如果p是素数，那么对于所有的a，a^(p-1) ≡1(mod p)。
该算法的步骤是：先把n-1分解成2^k * q的形式，然后随机选择a(2≤a≤n-2)并计算a^q mod n，如果结果为1或者n-1，则n极有可能是素数，否则继续计算a^2q, a^4q, …, a^(2^(k-1)q)，若其中某一项为n-1，则n也有可能是素数；
若所有计算结果都不是1或n-1，则n一定不是素数。
该算法的时间复杂度为O(k * log^3n)，是一种较快的素性测试算法。
以上是一些常见的计算素数的方法，当然也有更多其他的方法，选择适合的方法取决于具体的应用场景和需求。
Miller-Rabin（素数测试算法）
Miller-Rabin（素数测试算法）【作⽤】⼀般素数判定⽅法有试除法和Miller-Rabin。
试除法枚举2-√n，时间复杂度为O（√n），⼀旦n特别⼤，就不适合⽤试除法进⾏判定。
这时候我们可以对其进⾏ Miller-Rabin 素数测试，可以⼤概率测出其是否为素数。
【两个基础理论】（1）：费马⼩定理：当p为质数时，有a p-1≡1(mod p).注意逆命题是假命题，⽐如卡迈克尔(Carmichael)数。
对于合数满⾜费马⼩定理的数叫伪素数，（2）：⼆次测探：如果p是⼀个素数，0<x<p,则⽅程x2≡1(mod p)的解为x = 1 或 x = p - 1.（1）对于⼀些常见的素数和⾮素数可以直接判断。
（2）设要测试的数为 x，我们取⼀个较⼩的质数 a，设 s,t，满⾜ 2s * t = x - 1（其中 t 是奇数）。
（3）我们先算出 a^t，然后不断地平⽅并且进⾏⼆次探测（进⾏ s 次）。
（4）最后我们根据费马⼩定律，如果最后不满⾜费马⼩定理，则说明 x 为合数。
（5）多次取不同的 a 进⾏ Miller-Rabin 素数测试，这样可以使正确性更⾼https:///forever_dreams/article/details/82314237https:///Antigonae/p/10226580.htmlint quickmul(int a , int b , int m){return ((a * b - (ll)(long double)(a/m*b) * m)+m)%m ;}int quickpow(int a , int b , int m){int ans = 1 ;while(b){if(b&1) ans = quickmul(ans , a , m) ;b >>= 1 ;a = quickmul(a , a , m);}return ans ;}bool Miller_Rabin(int n){if(n == 46856248255981ll || n < 2) return false;if(n == 2 || n == 3 || n == 7 || n == 61 || n == 24251) return true; if(!(n&1) || !(n%3) || !(n%61) || !(n%24251)) return false;int m = n - 1 , k = 0 ;while(!(m&1)) k++ , m>>=1 ;// 分解2^s * t = n - 1rep(i , 1 , 20){int a = rand() % (n - 1) + 1 , x = quickpow(a , m , n) , y;rep(j , 1 , k){y = quickmul(x , x , n);if(y == 1 && x != 1 && x != n - 1) return false;//⼆次测探x = y ;}if(y != 1) return false;//费马⼩定理}return true;}void solve(){int x ;cin >> x ;if(Miller_Rabin(x)) cout << "Yes" << endl;else cout << "No" << endl;}。
数论基础1-统计素数c++
数论基础1-统计素数c++统计素数是数论中的一个重要问题，素数指的是只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7等。
在C++中，我们可以使用不同的算法来统计素数。
下面我会从几个不同的角度来讨论这个问题。
首先，最简单直接的方法是使用试除法。
我们可以写一个函数，接受一个整数n作为参数，然后从2到n-1逐个试除n，如果能被整除则n不是素数，否则n是素数。
我们可以用一个循环来遍历2到n-1，然后用取模运算来判断是否能整除。
这种方法虽然简单，但对于大数来说效率较低，因为需要遍历大量的数。
其次，更高效的方法是埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。
这是一种更加高效的算法，可以在O(n log log n)的时间复杂度内找出小于n的所有素数。
该算法的基本思想是从2开始，将每个素数的倍数标记为非素数，直到遍历完所有小于n的数。
这样剩下的没有被标记的数就是素数。
在C++中实现这个算法也比较简单，可以使用一个bool类型的数组来标记每个数是否为素数。
另外，Miller-Rabin素性测试是一个确定一个数是否为素数的概率性算法。
该算法的时间复杂度为O(k log^3 n)，其中k为测试次数。
虽然是概率性算法，但对于很大的数，通常情况下可以给出正确的结果。
最后，对于大数的素数测试，还可以使用更加复杂的算法，如AKS素数测试算法或者基于椭圆曲线的算法。
这些算法在C++中也有相应的实现。
综上所述，统计素数是一个涉及到数论和算法的重要问题，在C++中有多种方法可以实现。
根据具体的需求和数的大小，我们可以选择合适的算法来进行素数统计。
希望这些信息可以帮助你更好地理解在C++中如何进行素数统计。
1、rsa算法两种素数生成算法的原理
RSA算法是一种广泛使用的公钥加密算法，它基于大素数分解的难度。
在RSA算法中，素数生成是基础步骤之一，其直接影响了算法的安全性。
下面我们来介绍两种常用的素数生成算法。
一、埃拉托斯特尼筛法埃拉托斯特尼筛法是一种常用的素数生成算法，它基于筛选理论。
该算法首先假设一个较大的素数，然后通过筛选过程逐步排除不符合条件的数，最终得到一个素数。
这个过程需要反复迭代，直到达到所需的精度。
具体步骤如下：1. 假设初始的素数为N，我们需要生成一个比N大的素数p。
2. 将p对2到N之间所有整数进行因数分解，得到所有小于p的因数。
3. 将所有小于p的因数中大于p/2的数排除掉，留下小于p的剩余数为可能的素数。
4. 对每个可能的素数进行测试，如果它大于p/2且不能被p-1整除，那么它就是素数。
5. 重复以上步骤，直到得到所需的精度。
埃拉托斯特尼筛法是一种简单易懂的算法，适合于大规模素数的生成。
但是，由于筛选过程需要大量的计算，对于非常大的素数生成，可能需要花费较长的时间。
二、米勒-拉宾素数生成算法米勒-拉宾素数生成算法是一种更为高效的算法，它基于数学上的某些性质。
该算法首先生成一个较小的素数，然后通过迭代过程逐步增加生成的素数的长度，直到达到所需的精度。
具体步骤如下：1. 初始时，选择一个较小的素数p和一个随机的大于p的正整数k。
2. 将k对p进行因数分解，得到所有小于p的因数。
3. 从这些因数中选择一个最小的奇数j作为新的素数。
4. 将j与p合并得到一个新的素数q。
5. 将q对p进行因数分解，得到所有小于q的因数。
从这些因数中选择一个最小的奇数r作为新的素数。
重复以上步骤，直到生成的素数的长度达到所需的精度。
6. 重复以上步骤直到达到所需的精度或生成的素数的长度不再增加。
米勒-拉宾素数生成算法是一种高效且可靠的算法，适用于大规模素数的生成。
同时，由于该算法生成的素数是随机选择的，因此具有较高的安全性。
总的来说，这两种素数生成算法各有优缺点。
寻找素数的算法
寻找素数的算法
素数，指的是只能被1和它本身整除的自然数，例如2、3、5、7等。
寻找素数的算法是数学中非常经典的问题，有多种不同的解法，本篇
文章将介绍其中比较常见的三种算法。
1.试除法
试除法是最常见、最简单的寻找素数的算法。
具体来说，我们需要遍
历从2到这个数的平方根之间所有的数，判断这个数是否能被其中的
这些数整除即可。
若都不能被整除，则该数为素数。
例如，判断5是否为素数的时候，我们需要遍历2，3两个数，判断5是否能被它们整除。
由于5不能被2或3整除，所以5是素数。
2.埃拉托色尼筛法
埃氏筛法本质是筛选法，它先将要寻找素数的范围内的所有数筛选一遍，把所有的合数删除，剩下的即为素数。
具体来说，我们首先把2到N之间的所有整数都列出来。
我们选择最小的数2，把2的倍数全都标记为合数，即划去。
接着我们再选取此
时列表中未被划去的最小的数3，把3的倍数全都标记为合数…… 以此类推，直到小于或等于N的所有的素数全部找出。
3.米勒-拉宾素性检验
米勒-拉宾素性检验是一种在大数素数判定中广泛应用的算法。
这个算法判断一个数是否为素数的概率非常高，因此在实际应用中也广泛使用。
具体来说，该算法基于费马小定理，判断一个数n是否为素数的方法是：先在有限个数的基础上进行检查，如果这些检查都通过，那么n 很有可能是一个素数。
在实际运用中，通常选取不同的n个底数进行检查。
综上所述，试除法和埃拉托色尼筛法适用于小规模的素数判断，米勒-拉宾素性检验适用于大规模的素数判断。
具体应用时，要根据不同的问题具体选择合适的算法。
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求素数的算法及其复杂度分析2008-04-05 17:46关于搜寻一定范围内素数的算法及其复杂度分析——曾晓奇关于素数的算法是信息学竞赛和程序设计竞赛中常考的数论知识，在这里我跟大家讲一下寻找一定范围内素数的几个算法。
看了以后相信对大家一定有帮助。
正如大家都知道的那样，一个数 n 如果是合数，那么它的所有的因子不超过sqrt(n)--n的开方,那么我们可以用这个性质用最直观的方法来求出小于等于n的所有的素数。
num = 0;for(i=2; i<=n; i++){ for(j=2; j<=sqrt(i); j++)if( j%i==0 ) break;if( j>sqrt(i) ) prime[num++] = i; //这个prime[]是int型，跟下面讲的不同。
}这就是最一般的求解n以内素数的算法。
复杂度是o(n*sqrt(n))，如果n 很小的话，这种算法（其实这是不是算法我都怀疑，没有水平。
当然没接触过程序竞赛之前我也只会这一种求n以内素数的方法。
-_-~）不会耗时很多.但是当n很大的时候，比如n=10000000时，n*sqrt(n)>30000000000,数量级相当大。
在一般的机子它不是一秒钟跑不出结果，它是好几分钟都跑不出结果，这可不是我瞎掰的，想锻炼耐心的同学不妨试一试~。
在程序设计竞赛中就必须要设计出一种更好的算法要求能在几秒钟甚至一秒钟之内找出n以内的所有素数。
于是就有了素数筛法。
（我表达得不清楚的话不要骂我，见到我的时候扁我一顿我不说一句话。
）素数筛法是这样的：1.开一个大的bool型数组prime[]，大小就是n+1就可以了.先把所有的下标为奇数的标为true,下标为偶数的标为false.2.然后：for( i=3; i<=sqrt(n); i+=2 ){ if(prime[i])for( j=i+i; j<=n; j+=i ) prime[j]=false;}3.最后输出bool数组中的值为true的单元的下标，就是所求的n以内的素数了。
原理很简单，就是当i是质(素)数的时候，i的所有的倍数必然是合数。
如果i已经被判断不是质数了，那么再找到i后面的质数来把这个质数的倍数筛掉。
一个简单的筛素数的过程：n=30。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30第 1 步过后2 4 ... 28 30这15个单元被标成false,其余为true。
第 2 步开始：i=3; 由于prime[3]=true, 把prime[6], [9], [12], [15], [18], [21], [24], [27], [30]标为false.i=4; 由于prime[4]=false,不在继续筛法步骤。
i=5; 由于prime[5]=true, 把prime[10],[15],[20],[25],[30]标为false.i=6>sqrt(30)算法结束。
第 3 步把prime[]值为true的下标输出来：for(i=2; i<=30; i++)if(prime[i]) printf("%d ",i);结果是 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29这就是最简单的素数筛选法，对于前面提到的10000000内的素数，用这个筛选法可以大大的降低时间复杂度。
把一个只见黑屏的算法优化到立竿见影，一下就得到结果。
关于这个算法的时间复杂度，我不会描述，没看到过类似的记载。
只知道算法书上如是说：前几年比较好的算法的复杂度为o(n),空间复杂度为o(n^(1/2)/logn).另外还有时间复杂度为o(n/logn),但空间复杂度为O(n/(lognloglogn))的算法。
我水平有限啦，自己分析不来。
最有说服力的就是自己上机试一试。
下面给出这两个算法的程序：//最普通的方法：#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 10000001int prime[N];int main(){int i, j, num = 0;for(i=2; i<N; i++){ for(j=2; j<=sqrt(i); j++)if( j%i==0 ) break;if( j>sqrt(i) ) prime[num++] = i;}for(i=2; i<100; i++) //由于输出将占用太多io时间，所以只输出2-100内的素数。
可以把100改为Nif( prime[i] )printf("%d ",i);return 0;}//用了筛法的方法：#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 10000001bool prime[N];int main(){int i, j;for(i=2; i<N; i++)if(i%2) prime[i]=true;else prime[i]=false;for(i=3; i<=sqrt(N); i++){ if(prime[i])for(j=i+i; j<N; j+=i) prime[i]=false;}for(i=2; i<100; i++)//由于输出将占用太多io时间，所以只输出2-100内的素数。
可以把100改为Nif( prime[i] )printf("%d ",i);return 0;}装了vc的同学上机跑一下这两个程序试一试。
这个差别，绝对是天上地下。
前面那个程序绝对是n分钟黑屏的说。
另外，对于这样的筛法，还可以进一步优化，就是bool型数组里面只存奇数不存偶数。
如定义prime[N],则0表示3，1表示5，2表示7，3表示9...。
如果prime[0]为true,则表示3时素数。
prime[3]为false意味着9是合数。
这样的优化不是简单的减少了一半的循环时间，比如按照原始的筛法，数组的下标就对应数。
则在计算30以内素数的时候3个步骤加起来走了15个单位时间。
但是用这样的优化则是这样： 则由于只存3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29，只需要14个单元第 1 步 把14个单元赋为true (每个单元代表的数是2*i+3,如第0单元代表3，第1单元代表5...)第 2 步开始：i=0; 由于prime[0]=true, 把 [3], [6], [9], [12]标为false.i=1; 由于prime[1]=true, 把 [6], [11]标为falsei=2 2*i+3>sqrt(30)算法结束。
这样优化以后总共只走6个单位时间。
当n相当大以后这样的优化效果就更加明显，效率绝对不仅仅是翻倍。
出了这样的优化以外，另外在每一次用当前已得出的素数筛选后面的数的时候可以一步跳到已经被判定不是素数的数后面，这样就减少了大量的重复计算。
（比如我们看到的，i=0与i=1时都标了[6],这个就是重复的计算。
）我们可以发现一个规律，那就是3（即i=0）是从下标为[3]的开始筛的，5（即i=1）是从下标为[11]开始筛的（因为[6]已经被3筛过了）。
然后如果n很大的话，继续筛。
7（i=2）本来应该从下标为[9]开始筛，但是由于[9]被筛过了，而[16]也已经被5（i=1）筛过了。
于是7（i=2）从[23]（就是2*23+3=49）开始筛。
于是外围循环为i时，内存循环的筛法是从 i+(2*i+3)*(i+1)即i*(2*i+6)+3开始筛的。
这个优化也对算法复杂度的降低起到了很大的作用。
相比于一般的筛法，加入这两个优化后的筛法要高效很多。
高兴去的同学可以试着自己编写程序看一看效率。
我这里有程序，需要的可以向我要。
不懂得也可以问我。
上面的素数筛法是所有程序设计竞赛队员都必须掌握的，而后面加了两个优化的筛法是效率很高的算法，是湖南大学huicpc39同学设计的（可能是学来的，也可能是自创的。
相当强悍）。
在数量级更大的情况下就可以发现一般筛法和优化后的筛法的明显区别。
另外，台湾的ACMTino同学也给我介绍了他的算法：a是素数，则下一个起点是a*a,把后面的所有的a*a+2*i*a筛掉。
这上面的所有的素数筛选的算法都可以再进一步化为二次筛选法，就是欲求n 以内的素数，就先把sqrt(n)内的素数求出来，用已经求得的素数来筛出后面的合数。
我把一般的筛选法的过程详细的叙述了一遍，应该都懂了吧？后面的优化过程及不同的方法，能看懂最好。
不是很难的。
相关知识：最大公约数只有1和它本身的数叫做质数（素数）——这个应该知道吧？-_-b 至今为止，没有任何人发现素数的分布规律，也没有人能用一个公式计算出所有的素数。
关于素数的很多的有趣的性质或者科学家的努力我不在这里多说，大家有兴趣的话可以到百度或google搜一下。
我在下面列出了一个网址，上面只有个大概。
更多的知识需要大家一点一点地动手收集。
/discovery/universe/home01.html1.高斯猜测，n以内的素数个数大约与n/ln(n)相当，或者说，当n很大时，两者数量级相同。
这就是著名的素数定理。
2.十七世纪费马猜测，2的2^n次方+1，n=0，1，2…时是素数，这样的数叫费马素数，可惜当n=5时，2^32+1就不是素数，至今也没有找到第六个费马素数。
3.18世纪发现的最大素数是2^31-1，19世纪发现的最大素数是2^127-1，20世纪末人类已知的最大素数是2^859433-1，用十进制表示，这是一个258715位的数字。
4.孪生素数猜想：差为2的素数有无穷多对。
目前知道的最大的孪生素数是1159142985×2^2304－1和1159142985×2^2304＋1。
5.歌德巴赫猜想：大于2的所有偶数均是两个素数的和，大于5的所有奇数均是三个素数之和。
其中第二个猜想是第一个的自然推论，因此歌德巴赫猜想又被称为1+1问题。
我国数学家陈景润证明了1+2，即所有大于2的偶数都是一个素数和只有两个素数因数的合数的和。
国际上称为陈氏定理。