Mathematical常用功能大全-精简版

Mathematica for Windows 常用用法

一、Mathematica 的主要功能

Mathematica 是美国Wolfram 公司开发的一个功能强大的计算机数学系统，提供了范围广泛的数学计算功能，主要包括三个方面：符号演算、数值计算、图形。例如：多项式的四则运算、展开、因式分解，有理式的各种计算，有理方程、超越方程的解，向量和矩阵的各种计算，求极限、导数、极值、不定积分、定积分、幂级数展开式，求解微分方程，作一元、二元函数的图形等等。 二、Mathematica 的基本知识 1．输入表达式：直接输入一个表达式（包括算式和命令，长表达式用“Enter ”换行）后，按“Shift+Enter ”执行，执行后以“Out[命令序号]= ……”形式输出执行结果，输出的结果可在后续的表达式中使用。

若命令后有分号，则不输出执行结果（图形输出与Print 命令除外）。 “%”表示上一个输出，“%%”表示倒数第2个输出，“%ｉ”表示第ｉ个

命令的输出。

2．运算符：+、-、*、/、^ ，“*”可用空格代替，“^”表示乘方。

如：In[1]:=2^10，输出为“Out[1]= 1024”，其中“In[1]:=”不需要输入。

In[2]:=3+5，Out[2]= 8；In[3]:=%-2，Out[3]= 6；

In[4]:=%2+4，Out[4]= 12；

In[5]:=1/3-1/4，Out[5]=12

1

；In[6]:=N[%]，Out[6]= 0.0833333； In[7]:=N[%5+12,10]，Out[7]= 12.08333333（注意字母的大小写） 3．变量赋值：变量=表达式，“x=.”或Clear[x] 表示清除对x 的赋值。 表达式/.t ->c ，将表达式中的t 全替换成c 。?x ，查x 信息。 4．常用的数学常数：Pi (π)、E(e)、Infinity (∞)、I (1-)

5．常用的数学函数：Abs, Sin, Cos, Tan, Cot, ArcSin, Log (自然对数), Sqrt, Exp 如：In[1]:=Sqrt[2]+1；In[2]:=Sin[2]+ArcSin[1]；In[3]:=Exp[2]+% （自变量用［ ］括，区分大小写，首字母大写） 三、常用运算 1．多项式运算：In[1]:= (2+4*x^2)*(1-x)^3 或 In[1]:= t = (2+4*x^2)*(1-x)^3 （将右端表达式赋值给t ）； In[2]:=a=t/.x->4 (计算表达式t 当x=4时的值，并赋值给变量a ) In[3]:=a=. (清除变量a ) In[3]:=Expand[t]（展开）；In[4]:=Factor[%]（把上一个结果因式分解） 2．解方程：In[1]:=Solve[x^2+3*x = = 2]；In[2]:=N[%]； In[3]:=Solve[a*x-b= = 0, x]； In[4]:=NSolve[{x-2*y= =0,x^2-y= =1},{x,y}]（解方程组并得到数值解） 3．自定义函数：In[1]:= f [x_ ]:=x^2+2*x ； In[2]:=f[5]+7； In[3]:=f[a+b] 4．求极限：In[1]:=Limit[Sin[x]/x, x ->0]； In[2]:=Limit[(1+1/n)^n, n->Infinity]，Out[2]=E 5．求（偏）导数：In[1]:=D[a*x^2+3, x]；In[2]:=D[x^2+y^3-Sin[2*y], y]（对y 的偏导数）； In[3]:=D[Log[x], {x,2}] (求对x 的二阶导数)； In[4]:=D[Sin[x+y]*Exp[z*y^2],x,y] （求对x 、y 的二阶混合偏导数）； In[5]:=Simplify[%] (对前一结果化简)； In[6]:=D[Sin[x+y]*Exp[z*y^2],{x,2},{y,3}] 6．求不定积分：In[1]:=Integrate[x^2,x]；In[2]:=Integrate[1/(x^2+a^2),x] 7．定积分：In[1]:=Integrate[x^2, {x,0,1}]；In[2]:=Integrate[x^2,{x,a,b}]； In[3]:=Integrate[x^2+y^2, {x,0,a},{y,0,b}]；（求矩形域上的二重积分） In[4]:=Integrate[1, {x,-1,1},{y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]}]；Out[4]=Pi （圆面积） 8．幂级数展开：In[1]:=Series[Exp[x],{x,0,4}]（在x=0处展开到x 的四次幂） 9．矩阵的输入和输出：In[1]:= a ={{1,2},{3,4}}（定义一个2x2的矩阵a ，按

行写）；

In[2]:=MatrixForm[a]（输出为矩阵形式）；In[3]:=Transpose[a]（a 的转置）； In[4]:=a[[2]]（a 的第2行）；In[5]:=Tanspose[a][[2]]（a 的第2列）； In[6]:=Inverse[a]（求a 的逆矩阵）；In[7]:=Det[a]（矩阵的行列式）； In[8]:=Eigenvalues[a]（求特征值）；In[9]:=Eigenvectors[a]（求特征向量）； In[10]:=RowReduce[a]（把a 化为阶梯形，可用于求矩阵的秩、判断线性相关性）； In[11]:= b ={{5,6,7},{8,9,10}}；In[12]:= a .b （矩阵a 与b 的乘积） 10．解线性方程组：

In[1]:= a ={{3,4,5,6},{6,8,10,12},{4,5,6,7},{5,6,7,8}}；（a 的秩为2） In[2]:= b ={1,2,3,5}（列向量）；（增广矩阵的秩也为2） In[3]:=LinearSolve[a,b]（求线性方程组ax=b 的一个特解）； In[4]:=NullSpace[a]（求线性方程组ax=0的一个基础解系）；

In[5]:= x =k1%4[[1]]+k2%4[[2]]+%3（ax=b 的全部解，k1、k2为任意常数）

11．求和：In[1]:=NSum[Sin[n]/n^3,{n,1,Infinity}]（求级数∑

∞=13sin n n

n 的和）

12．求极小值：In[1]:=FindMinimum[Sin[x]*Cos[x],{x,0.5}]（求函数在0.5附

近的极小值）；

In[2]:=FindMinimum[Sin[x*y]*Exp[x^2],{x,0.2}, {y,0.3}]（求多元函数极小值） 13．求解线性规划问题：Min cx ，mx ≥b ，x ≥0，求向量x 。 In[1]:= c ={2,-3}（列向量）；In[2]:= m ={{-1,-1},{1,-1},{1,0}}； In[3]:= b ={-10,2,1}； In[4]:=LinearProgramming[c,m,b]

14．数据拟合：In[1]:= d ={{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.0},{1.8,2.66}}； In[2]:= f =Fit[d,{1, x, x^2}, x]（求和上面4个点吻合最好的二次多项式f ）； 检验效果：In[3]:=ListPlot[d]（画d 中4个点的图）； In[4]:=Plot[f,{x,0.8,2.0}]（画多项式f 在x 从0.8到2.0之间的图）； In[5]:=Show[%3, %4]（把上面两个图画在一起） 注：函数集{1, x, x^2}可以是更高次的或其它函数集，如三角函数集等。

15．一元函数作图：In[1]:=Plot[Exp[-x^2]*Sin[6*x],{x,-2,2}]（如图1） 参数方程作图：In[2]:=ParametricPlot[{Sin[t]^3,Cos[t]^3},{t,0,2*Pi}] 16．二元函数作图：In[1]:=Plot3D[Sin[x*y],{x,-Pi, Pi},{y,-Pi, Pi}]；（如图2） In[2]:=Plot3D[Sin[x*y],{x,-Pi, Pi},{y,-Pi, Pi},PlotPoints->40, ViewPoint->{2,-3,2}]

In[3]:=ParametricPlot3D[{Cos[u]*Cos[v],Sin[u]*Cos[v],Sin[v]},{u,0,2*P

i},{v,-Pi/2,Pi/2}] 17．数据画图：In[1]:= d ={{1,2},{3,4},{7,6}}；In[2]:=ListPlot[d]； In[3]:=ListPlot[d, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0], PointSize[0.02]}]（红色

的大点）；

或直接用 In[4]:=ListPlot[{1,2},{3,4},{7,6}] 代替“In[2]:=”。 18．作图范围：In[1]:=Plot[x-x^3/6,{x,-4,4}]； In[2]:=Plot[x-x^3/6,{x,-4,4},PlotRange->{-5,2}]（限定纵坐标（函数值）范围）

19．图形组合：In[1]:=Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,2*Pi}]；或

In[2]:= g1=Plot[Sin[x],{x,0,2*Pi}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]； In[3]:= g2=Plot[Cos[x],{x,0,2*Pi}, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]}]； In[4]:=Show[g1,g2]（把g1、g2画在一起） 20．文件的使用：In[1]:= y =25；In[2]:= a ={{1,4},{2,6}}；In[3]:= f [x_ ]:=x^2 ； In[4]:= g =Plot[Sin[x],{x,0,2*Pi}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}]；

In[5]:=Save[“abc .m”,a,y,f,g]（将a, y, f, g 保存在文件“abc .m ”中，扩

展名为m ）； In[6]:=!!abc .m （显示文件内容）；

In[1]:=<

设置默认工作文件夹：In[1]:=SetDirectory["D:\MODEL"]

读数据文件：先建立数据文件lianxi.txt ，其中的数据用空格分隔。

In[1]:=d=ReadList[“lianxi.txt ”,Table[Number,{2}]] (读到矩阵d 中)

注：可用“File ”菜单中的“Save ”命令保存所有的输入和输出。

（图1） （图2） 四、判断和循环

1．判断：If[条件,条件真执行] 或 If[条件,条件真执行,条件假执行]

In[1]:=If[7>8,3,4]；In[2]:=x=10； In[3]:=y=20；In[4]:=If[x==y,a,b]

2. 循环：(1) For[初值，条件，增量表达式，循环体]

先赋初值，再判断条件，条件为真时执行循环体，最后计算增量，再判断条件。

In[1]:=For[a=1, a<5, a=a+1, Print[a]]

In[2]:=For[k=1；s=0；t=1, k<=10, k=k+1, s=s+k ；t=t*k] In[3]:=Print[“s=”,s , “\n ”, “t=”,t ]

In[4]:=For[k=1, k<3, k=k+1, Plot[Sin[x],{x,k,2*Pi+k}]] (2) Do[循环体,{循环变量,起始值,终止值,步长}] In[1]:=s=0；Do[s=s+i,{i,1,100,1}]；s

In[2]:=Do[p[i]=Plot[Sin[i*x],{x,0,Pi}],{i,1,2}] In[3]:=Show[p[1],p[2]] 五、一个编程例子

=====================================================

(* 这是一个例题 每行后按回车键 用半角标点符号*) Print["请回答3个题目"] For[i=1,i<=3,i=i+1,

a=Random[Integer,{1,100}]； b=Random[Integer,{1,100}]；

Print["第(",i,")题 ",a,"+",b,"=?"]； c=Input["请输入计算结果"]； If[c==a+b,

Print[" 对了！"],

Print[" 错,应为 ",a+b] ]

]；

Print["没有题目了。"]

====================================================== 六、编程练习：从数据文件中读出5组身高与体重数据（ReadList ），(1) 画出散点图（ListPlot ）；(2) 用Fit 求出拟合直线；(3) 用回归公式求出回归直线； (4) 画出回归直线的图形（Plot ）；(5) 将回归直线和散点图画在一起（Show ）。 注：数据文件内容为 1.54 48 1.6 55 1.65 60 1.71 62 1.74 70