高二数学选修2-1《3.1.3空间向量的数量积(1)》导学案
高中数学2.3空间向量的数量积导学案北师大版选修21
陕西省榆林市榆林育才中学高中数学 2.3 空间向量的数量积导学案北师版选修2-1 学习方针1. 掌握空间向量夹角和模的概念及暗示方式；2. 掌握两个向量的数量积的计算方式，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．学习过程一、课前准备复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC •.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知： 1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 .试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉=0时,a b 与 ;,a b 〈〉=π时,a b 与⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅= . 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？⑵ 0a •= （选0还是0）⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分派律）反思：⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明. ⑵ 若a b a c ⋅=⋅，则b c =吗？举例说明. ⑶ 若0a b ⋅=，则00a b ==或吗？为什么？※ 典型例题例1 用向量方式证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方式证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥.求证：l α⊥．例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，23BD =， 3CD =，30ABD ∠=，60ABC ∠=，求AB 与CD 的夹角的余弦值例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠='DAA ∠=60°,求'AC 的长.※ 动手试试DA B C练1. 已知向量,a b 满足1a =，2b =，3a b +=，则a b -=____.练2. 222,,22a b a b ==⋅=-已知, 则a b 与的夹角大小为_____.三、小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.※ 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方式. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题中：①若0a b •=，则a ，b 中至少一个为0②若a 0≠且a b a c •=•，则b c =③()()a b c a b c ••=••④22(32)(32)94a b a b a b +•-=-正确有个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ ）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA •=4. 已知4a =，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+与a b λ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b 满足4a =，2b =，3a b -=，则a b +=____课后作业：1. 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥.2. 已知线段AB 、BD 在平面α内,BD ⊥AB, 线段AC α⊥,如果AB ＝a,BD ＝b,AC ＝c,求C 、D 间的距离.D B。
人教版高中数学选修2-1空间向量的数量积导学案
3.1.3 空间向量的数目积【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解观点，达成导学纲要；2．小组合作，着手实践。
【学习目标】1.掌握空间向量夹角和模的观点及表示方法；2.掌握两个向量的数目积的计算方法，并能利用两个向量的数目积解决立体几何中的一些简单问题．3.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；4.掌握空间向量的坐标运算的规律；【要点】利用两个向量的数目积解决立体几何中的问题．【难点】空间向量的坐标运算的规律一、自主学习1 预习教材P90~ P92, 解决以下问题复习 1：什么是平面向量 a 与 b 的数目积？复习 2：在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中，求 AB BC .2.导学纲要1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a, b ，在空间，作OA a, OB b.，则 AOB 叫做向量 a 与b的夹角，记作⑴范围:a,ba, b =0 时 , a 与 b; a,b =π时 , a 与 b⑵a, bb , a 成立吗？⑶a, b，则称 a 与b相互垂直，记作.2) 向量的数目积：已知向量 a, b ，则叫做a, b的数量积，记作 a b ，即a b.⑴ 两个向量的数目积是数目仍是向量？⑵0 a（选0仍是0）⑶你能说出 a b 的几何意义吗？3)空间向量数目积的性质：（ 1）设单位向量 e ，则a e| a | cos a, e．（ 2） a b a b．（ 3）a a＝.（ 4） cos a ,b=____________4)空间向量数目积知足哪些运算律：_____________________________⑴（a b) c a (b c) 吗？举例说明.⑵若 a b a c ，则b c 吗？为何?⑶若 a b0 ，则a0 或b0 吗？为何？5)对空间的随意愿量a，可否用空间的几个向量独一表示？假如能，那需要___个向量？这几个向量有何地点关系？⑴ 空间的随意愿量 a ，均可分解为不共面的三个向量 1 a1、 2 a2、 3 a3 ，使 a 1 a1 2 a2 3 a3. 假如 a1 , a2 , a3两两，这类分解叫空间向量的___________.(2) 空间向量基本定理：假如三个向量a,b, c，对空间任一直量p ，存在有序实数组 { x, y, z} ，使得 p xa yb zc . 把的一个基底 a, b, c 都叫做 __________. 空间随意一个向量的基底有个 .一个基底能够表示_____个空间向量？(3) 假如空间一个基底的三个基向量相互，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，往常用_________表示 .⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量 a，且设 i、j 、 k 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{ x, y, z} ，使得 a xi y j zk，则称有序实数组{ x, y, z} 为向量a的坐标，记住p.⑸设 A (x1 , y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ＝.⑹向量的直角坐标运算：设 a＝(a1, a2, a3)， b＝(b1,b2,b3)，则⑴ a＋ b＝_________________；⑵ a－ b＝_________________；⑶ λa＝__________________; (R) ；⑷a· b＝_____________________.6)试用向量方法证明直线与平面垂直的判判定理二、典型例题例 1.1.以下命题中：①若 a b0 ，则 a ， b 中起码一个为 0②若 a 0 且 a b a c ，则 b c③ (a b) c a(b c)④ (3a2b)(3a22 2b) 9 a 4 b正确有个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个2. 已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下边向量中与2e2e1垂直3的是（）A.e1e2B.e1e2C.e1D.e23.若 a,b,c 为空间向量的一组基底，则以下各项中，能组成基底的是（）A. a, a b,a bB.b, a b, a bC.c, a b, a bD.a2b, a b, a b4.设 i、 j、k 为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且 AB i j k ，则点 B 的坐标是5.已知ABC 中，A, B, C 所对的边为 a,b, c ，且 a 3,b 1 , C 30,则 BC CA =6.在三棱锥OABC中， G 是ABC的重心（三条中线的交点），选用OA,OB ,OC 为基底，试用基底表示OG ＝7.已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，当a b 与 a b 的夹角是锐角时，的取值范围是.8.正方体 ABCD A'B'C'D' 的棱长为2，以 A 为坐标原点，以 AB,AD,AA '为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向成立空间直角坐标系， E 为 BB1中点，则 E 的坐标是.9.已知向量a,b 知足a 4 ， b 2 ， a b3，则 a b____10.已知对于x 的方程 x2t 2 x t 23t50 有两个实根， c a tb ，且 a1,1,3 , b 1,0, 2 ，当 t＝时， c 的模获得最大值 .例 2如图，在空间四边形ABCD 中，AB 2 ，BC3，BD 2 3，CD 3 ，DABD30 ， ABC 60，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值A CB变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C1中，若AB = 2 BB 1,则 AB 1与 C1 B 所成的角为（）A.60°B. 90°C. 105°D. 75°例 3 如下图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60°角，求 B、 D 间的距离．→→→例 4 在平行六面体ABCD －A′B′C′D′中，－ *6] ·OC＝a，AD＝b，AA′＝c，P是 CA′的中点， M 是 CD′的中点， N 是 C′D′的中点，点Q 是 CA′上的点，且 CQ∶ QA′＝ 4∶ 1，用基底 { a，b，c} 表示以下向量：（1）AP；→；(2)AM(3) AN；→(4)AQ.三、变式训练：课本第92 页练习1-3，94页练习1-3题四、讲堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后稳固1.课本第 98 页 A 组 3、4 题2.已知空间四边形ABCD 中，AB CD ，AC BD ，求证：AD BC .DA CB3.已知 a, b, c 是空间的一个正交基底，向量 a b, a b,c 是另一组基底，若 p 在 a,b, c 的坐标是1,2,3 ，求 p 在 a b, a b, c 的坐标 .。
2021年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析人教A版选修2_1
3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b∈[0，π]，其中，(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b＝|a ||b |cosa ，b ．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b？ 提示：不能，向量没有除法，k b无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cosa ，b )c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一 空间向量的数量积运算【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)． 解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二 利用数量积求夹角【例2】 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA→2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC→|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 类型三 利用数量积求距离【例3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】 转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解． 【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD→2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°， 2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2. 类型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .【分析】 本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】 不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：PA →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵PA →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2， PC →·B 1O →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴PA →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴PA →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →. ∴PA ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵PA ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面PAC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， ∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a . ∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0， 即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0， 即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2. 2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5.解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2. BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面ADC .。
人教版选修2-1 3.1.3 空间向量的数量积运算导学案
《空间向量的数量积运算》导学案制作人王维审核高二数学组2016-02-29【学习目标】1、理解空间向量夹角的概念及表示方法；2、理解空间向量数量积的概念、运算性质及运算律；3、通过探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题与解决问题的能力.【学习重点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律【学习难点】空间向量数量积的概念、运算性质及运算律的运用【问题探究】探究活动一：两空间向量的夹角探究活动二：空间向量的数量积探究活动三：空间两个向量的数量积的性质探究活动四：空间向量的数量积满足的运算律【预习导航】1、复习回顾：平面向量的数量积运算2、如何进行空间向量的数量积运算？【思考】如何运用空间向量的数量积运算处理有关问题？1•【应用训练】【练习题】1、在平面内的一条直线 ,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 ,那1、向量a 、b 之间的夹角为30 0，且a = 3 ，b = 4 ，则么它也和这条斜线垂直.a •b = __________， a 2 = __________， b 2= __________，（a + 2b ） (a - b ) = __________.2、已知 a = 2 2夹角.， b =22 ，a • b = 2 ，试求向量 a 与 b的【总结概括】2 、已知l ⊥ n ，m ， n 是平面α求证：l ⊥α.内的两条相交直线，若l ⊥ m ，本节课的收获：【分层作业】 必做题：教材第 98 页习题 第 3,4 题选做题：同步练习册课后作业提升习题2。
人教A版选修2-1《空间向量的数量积运算》导学案
第三章第3课时 空间向量的数量积运算学习目标：1、 掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2、 掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及简单应用。
3、体会空间问题平面化的数学思想。
预习案一、 教材助读，知识归纳：1、两个向量的夹角：平面向量的夹角定义：b a 两个非零向量，，O 在平面任取一点，OA=OB=b a 作，，b AOB a Ð则叫作，的夹角.取值范围：空间向量的夹角定义：取值范围：<a ®,b ®>=0时，a ®与b ®的方向 ；<a ®,b ®>= 时，a ®与b ®的方向 。
特别地：如果<a ®,b ®>= 则称a ®与b ®互相垂直，并记作 。
思考：对于空间任意两个非零向量a 、b，如何求出其夹角？2.两个向量的数量积平面向量的数量积b b cos b b a a a a 已知两个非零向量，，则，叫做，的数量积.空间向量的数量积变形式：cos<a ®,b ®>= 。
特别地：①零向量与任何向量的数量积为0，即0a ×=0 ②a a × =cos ,a a a a 狁= |a ®|2③0a b a b ^圩=3、空间向量数量积的运算律：①()a b l ×= （数乘的结合律） ②a b ?（交换律)③()a b c ?=（分配律）反馈练练习：1. 已知|a |=22，22b = ，a b × =-2，则a ，b 所夹的角为 。
2.判断正误1）0,=0=0.a b a b ?若则， （ ） 2）()()a b c a b c 鬃=鬃（ ） 3）()222p qp q ? （ ） 课堂探究案二、例题讲解，合作探究： 探究1.问题解决夹角问题例1.如图，在空间四边形ABCD 中，AC=3，AD=23，AB=2，CD=3，BAD=30AC=60B 邪邪，，（1）AD DC AC用、表示。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B 版选修211．掌握空间向量的夹角与长度的概念．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的夹角阅读教材P 85～P 86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题． 1．夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．图31202．夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量________，记作________．【答案】 π 垂直 a ⊥b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)〈a ，b 〉与(a ，b )都表示直角坐标系下的点．( ) (2)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B .( )(3)在正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →与A ′C ′→的夹角为45°.( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 空间向量的数量积及其性质阅读教材P86“两个向量的数量积”～P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题．1．已知空间中两个非零向量a，b，则________叫做a，b的数量积，记作________．规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a＝________.【答案】|a||b|cos〈a，b〉a·b0 02．空间向量数量积满足下列运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝________.【答案】a·b＋b·c3．空间向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a| cos θ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝|a|2或|a|＝________；(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a|·|b|.【答案】a·a下列式子中正确的是( )A．|a|a＝a2B．(a·b)2＝a2b2C．a(a·b)＝b·a2D．|a·b|≤|a||b|【解析】根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]空间向量数量积的运算(1)如图3121，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，PA →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有( )图3121A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对(2)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →＝________.图3122(3)如图3122所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求下列数量积： ①AB →·BA 1→＝________； ②AB →·BC 1→＝________.【自主解答】 (1)AB →与BC →，PA →与AB →，PA →与BC →，PA →与CA →，PB →与BC →夹角为90°. (2)AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·12AD →＝12AB →·AD →＋14BC →·AD →＝12a 2cos 60°＝14a 2. (3)①AB →·BA 1→＝1×2cos 135° ＝－1；②AB →·BC 1→＝AB →·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋AB →·CC 1→ ＝0.【答案】 (1)B (2)14a 2(3)①－1 ②01．求两向量数量积的解题思路 (1)解模：解出两向量的模．(2)求夹角：根据向量的方向求出两向量的夹角． (3)求结果：使用公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉得结果． 2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．[再练一题]1．已知空间向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角为150°，求下列各式的值． (1)a ·b ；(2)(a ＋2b )·(2a －3b )．【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×8×cos 150°＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－16 3. (2)(a ＋2b )·(2a －3b )＝2a 2＋a ·b －6b 2＝2|a |2＋|a ||b |cos 150°－6|b |2＝2×42－163－6×82＝－352－16 3.求两个空间向量的夹角如图3123，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求BC →1与AC →夹角的大小．图3123【精彩点拨】 (1)怎样用向量AB →，AD →，AA →1表示向量BC →1与AC →？ (2)求两向量的夹角公式是怎样的？ 【自主解答】 不妨设正方体的棱长为1， BC →1·AC →＝(BC →＋CC →1)·(AB →＋BC →)＝(AD →＋AA →1)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA →1·AB →＋AA →1·AD →＝0＋AD →2＋0＋0＝AD →2＝1， 又∵|BC →1|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC →1·AC →|BC →1||AC →|＝12×2＝12.∵0°≤〈BC →1，AC →〉≤180°， ∴〈BC →1，AC →〉＝60°. ∴BC →1与AC →夹角的大小为60 °.1．由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系．当〈a ，b 〉∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，它们互补．2．利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤 (1)取向量；(2)求向量夹角余弦cos 〈a ，b 〉； (3)定结果cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.[再练一题]2.如图3124，已知直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．图3124(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 【解】 (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. ∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. [探究共研型]利用数量积求距离探究1 已知A (1,2,1)，B (2,0,2)，求|AB →|的值． 【提示】 AB →＝(1，－2,1)，∴|AB →|＝12＋－22＋12＝ 6.探究2 求两点间距离或线段的长度的方法．【提示】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．平行四边形ABCD 中，AB ＝2AC ＝2且∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求点B ，D 间的距离．图3125【精彩点拨】 (1)由已知可以得出AC 与CD ，AC 与AB 垂直吗？ (2)根据AB 与CD 成60°角可建立什么方程？能直接求出|BD →|吗？【自主解答】 由已知得AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，折叠后AB 与CD 所成角为60°，于是，AC →·CD →＝0，BA →·AC →＝0，且〈BA →，CD →〉＝60°或120°.|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD →＝22＋12＋22＋2×2×2cos〈BA →，CD →〉，故|BD →|2＝13或5，解得|BD →|＝13或5， 即B ，D 间的距离为13或 5.1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．2．用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a ·a ＝|a |2，求|a |； (4)|a |即为所求距离．[再练一题]3.如图3126所示，在空间四边形OABC 中，OA ，OB ，OC 两两成60°角，且OA ＝OB ＝OC ＝2，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，试求E ，F 间的距离．图3126【解】 EF →＝EA →＋AF →＝12OA →＋12(AB →＋AC →)＝12OA →＋12[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝－12OA →＋12OB →＋12OC →，所以EF 2→＝14OA →2＋14OB →2＋14OC →2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OB →＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OC →＋2×12×12OB →·OC →＝2.∴|EF →|＝2，即E ，F 间的距离为 2.[构建·体系]1．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3【解析】 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0， ∴2k －12＝0，∴k ＝6. 【答案】 B2．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA →||OB →|＝0，∴OA →⊥BC →.∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.【导学号：15460065】【解析】 原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0. 【答案】 04.如图3127，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝________，|BC →－EF →|＝________，EF →与AC →所成的角为________．图3127【解析】 |AB →＋BC →|＝|AC →|＝2； EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →－12BD →2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3.故|BC →－EF →|＝ 3.又因为EF →＝12BD →＝12(AD →－AB →)，故AC →·EF →＝12AC →·(AD →－AB →)＝12(AC →·AD →－AC →·AB →)＝0， 因为〈EF →，AC →〉∈[0°，180°]， 所以〈EF →，AC →〉＝90°. 【答案】 23 90°5.如图3128，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .图3128(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长． 【解】 (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a ) ＝13a ＋13b ＋13c . (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5， ∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD → B ．DA →与PB → C.PD →与AB →D ．PA →与CD →【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.【答案】 A4.如图3129，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3129A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．【答案】 C5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中正确命题的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°. 【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝_________________.【导学号：15460066】【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋λb ·λa －2b <0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋λb ·λa －2b <0，a ＋λb ·λa －2b ≠－|a ＋λb ||λa －2b |得λ2＋2λ－2<0. ∴－1－3<λ<－1＋ 3. 【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3130，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3130【解析】 不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝BB 1→－BA →·⎝⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3131，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3131【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )＋12c .∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→.【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AA 1→－AB →＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AA 1→－AB →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB →，CD →〉＝60°.【答案】 B3．已知正三棱柱ABC DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CN CF＝________.【导学号：15460067】【解析】设CN CF＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →， MN →＝12BC →＋mAD →，又AE →·MN →＝0，得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0，解得m ＝116. 【答案】1164.如图3132，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3132【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝AB →＋AD →＋AA 1→2＝ AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→.∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→|＝1＋4＋9＋21×3×cos 60°＋2×3×cos 60° ＝23.。
高中数学 3.1.3空间向量的数量积(1)导学案新人教A版选修2-1
3.1.3．空间向量的数量积（1）1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．9092 复习1：什么是平面向量a 与b 的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC ∙ .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知： 1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b ，在空间 一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作 .试试： ⑴ 范围: ,a b ≤<>≤ ,a b 〈〉 =0时,a b 与 ;,a b 〈〉 =π时,a b 与 ⑵ ,,a b b a <>=<> 成立吗？ ⑶,a b <>= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .2) 向量的数量积： 已知向量,a b ，则 叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= .规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a ∙= （选0还是0 ） ⑶ 你能说出a b ⋅ 的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质： （1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<> ．（2）a b a b ⊥⇔⋅= ．（3）a a ⋅= ＝ .4) 空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅ （分配律反思： ⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ （吗？举例说明.⑵ 若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = 吗？举例说明.⑶ 若0a b ⋅= ，则00a b == 或吗？为什么？※ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥.求证：l α⊥．例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =，3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-AAB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（ ） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠= 'DAA ∠=60°,求'AC 的长.※ 动手试试练1. 已知向量,a b满足1a = ，2b = ，3a b += ，则a b -= ____.练2. ,,a b a b ==⋅= 已知, 则a b 与的夹角大小为_____.三、总结提升※ 学习小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.※ 知识拓展 向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题中： ①若0a b ∙= ，则a ，b 中至少一个为0 ②若a 0≠ 且a b a c ∙=∙ ，则b c = ③()()a b c a b c ∙∙=∙∙ ④22(32)(32)94a b a b a b +∙-=-正确有个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e - 垂直的是（ ） A. 12e e + B. 12e e - C. 1e D. 2e3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA ∙ =4. 已知4a = ，2b = ，且a 和b 不共线，当 a b λ+ 与a b λ- 的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b 满足4a = ，2b = ，3a b -= ，则a b += ____1. 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥.2. 已知线段AB 、BD 在平面α内,BD ⊥AB , 线段AC α⊥,如果AB ＝a ,BD ＝b ,AC ＝c ,求C 、D 间的距离.§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；92-96复习1：平面向量基本定理： 对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个 向量，总 是存在 实数对(),x y ，使得向量P 可以用,a b 来表示，表达式为 ，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥ ，则称向量P 正交分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的 向量 ,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+ ，，则称有序对(),x y 为向量a 的 ，即a ＝ .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解 问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知： ⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可分解为不共面的三个向量11a λ 、22a λ 、33a λ ，使112233a a a a λλλ=++ . 如果123,,a a a 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ， 对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++ . 把 的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++ ，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a 的坐标，记着p = .⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.试试： 1. 设23a i j k =-+ ，则向量a 的坐标为 . 2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB ＝ .3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题 例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+ q a b =- 构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面. 例2 如图，M,N 分别是四面体Q ABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC 表示OP 和OQ .变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G是侧面''BB C C 的中心，且OA a = ，',OC b OO c == ，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .※ 动手试试 练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-== ，求： ⑴()a b c ∙+ ； ⑵68a b c +- .练2. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是 ， ， .三、总结提升※ 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算※ 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若{}a,,b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A.,,a a b a b +-B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++-2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+- ，则点B 的坐标是3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝4. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 . 5. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+ ，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=- ， 当t ＝ 时，c 的模取得最大值.1. 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA 线段AB 的中点坐标及线段AB 的长度.2. 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +- 是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +- 的坐标.。
数学：3.1.3《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教a版-选修2-1)
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
高中数学人教A版选修(2-1)3.1.3《空间向量的数量积(一)》word导学案
3.1.3空间向量的数量积(一）【学习目标】1.掌握空间向量夹角概念；2.掌握空间向量的数量积运算及其运算律；3.利用空间向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
【自主学习】1.空间向量的夹角及其表示：2.两个向量垂直：3.向量的数量积：补充定义:零向量与任何向量的数量积为______________.4.空间向量数量积的运算律：①___________________②__________________③___________________【自主检测】思考：1. 对于三个均不为零的数,,,c b a 若ac ab =，则.c b =对于向量,,,a b c a b a c b c ∙=∙=由，能得到吗？如果不能，请举出反例.2.对于三个均不为零的数,,,c b a 若c ab =，则b c a =（或ac b =）.对于向量,,,k k a b c a b k a b b a∙===由，能不能写成(或)?也就是说，向量有除法吗？3 .对于三个均不为零的数,,,c b a 有).()(bc a c ab =对于向量,,,a b c a b c a b c∙=∙（）（）成立吗？ 向量的数量积满足结合律么？【典型例题】 例1在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直.请你画出图形，写出已知和求证，然后根据分析给出证明.分析：只需证明平面内的直线l 的方向向量a 与PA 的数量积为0.完成此题后，请你比较传统证法与向量证法的优劣，进而自己证明此定理的逆定理即三垂线定理的逆定理.例2已知:,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥.求证：l α⊥．分析：要证明l α⊥，就是要证明直线和平面内的任意一条直线g 都垂直（直线和平面 垂直的定义），因此要寻找直线g 与,m n 的关系.证明：【总结提升】用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算得解.l m n m n g g l。
北师大版选修2-1高中数学3.1.3空间向量的数量积word教案1
1．已知向量 ，向量 与 的夹角都是 ，且 ，
试求：（ 1） ；（2） ；（3） ．
3．向量的数量积：
已知向量 ，那么 叫做 的数量积，记作 ，即 ．
已知向量 和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量，作点 在 上的射影 ，作点 在 上的射影 ，那么 叫做向量 在轴 上或在 上的正射影；能够证明 的长度 ．
4．空间向量数量积的性质：
（1） ．
（2）
（3） ．
5．空间向量数量积运算律：
（1） ．
例3．如图，在空间四边形 中， ， ， ， ， ， ，求 与 的夹角的余弦值。
解：∵ ，
∴
∴ ，
因此， 与 的夹角的余弦值为 ．
说明： 由图形知向量的夹角99页练习第一、二、3题。
六．教学反思：空 间向量数量积的概念和性质。
七．作业：讲义第106页第3、4题
教学进程
学生探讨进程：（一）温习：空间向量大体定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示
已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ，那么 叫做向量 与 的夹角，记作 ；且规 定 ，显然有 ；
若 ，那么称 与 相互垂直，记作： ；
2．向量 的模：
设 ，那么有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作： ；
．空间向 量的数量积（1）
教学目标：1．把握空间向量夹角和模的概念及表示方式；
2．把握两个向量的数量积的计算方式，并能利用两个向量的数量积解决立 体几何中的一些简单问题。[
教学重、难点：空间数量积的计算方式、几何意义、立体几何问题的转化。
教具预备：与教材内容相关的资料 。
教学假想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培育严谨的学习态度，培育踊跃进取的精神．
人教版高中数学选修2-1导学案第三章第一节空间向量的数量积
第三章第一节空间向量的数量积设计者：曾刚 审核者： 执教： 使用时间：学习目标1．理解空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 能用数量积判断向量的垂直；3. 掌握两个空间向量的数量积的概念及其表示方法，并能利用两个空间向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．________________________________________________________________________________ 自学探究问题1. 什么是平面向量a r 与b r 的数量积？ 你能用数量积解决什么问题？问题2. 空间向量的数量积是什么？它和平面向量的联系和区别是什么？问题3. 类比平面向量数量积的几何意义和解决的问题，你能得出空间向量的几何意义和运算律是什么？你能解决空间中哪些几何问题？【试试】(1) 范围: ,a b ≤<>≤r r ,a b 〈〉r r =0时,a b r r 与 ; ,a b 〈〉r r =π时,a b r r 与 (2),,a b b a <>=<>r r r r 成立吗？ ⑶,a b <>=r r ，则称a r 与b r 互相垂直，记作 .(4)已知向量,a b r r ，则 叫做,a b r r 的数量积，记作a b ⋅r r ，即a b ⋅=r r .【反思】(1)两个空间向量的数量积是数量还是向量？ (2)0a •=r r （选0还是0r ）(3) 空间向量数量积的性质：①设单位向量e r ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r ．②a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ．③a a ⋅=r r ＝ .(4） )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （吗？举例说明.(5） 若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r 吗？举例说明.(6） 若0a b ⋅=r r ，则00a b ==r r r r 或吗？为什么？【技能提炼】1. 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.【反思】你能得出什么结论或方法吗?【变式】用向量方法证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线,直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥.求证：l α⊥．2.如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（ ） A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°教师问题创生学生问题发现变式反馈1.下列命题中： ①若0a b •=r r ，则a r ，b r 中至少一个为0r ②若a r 0≠r 且a b a c •=•r r r r ，则b c =r r ③()()a b c a b c ••=••r r r r r r ④22(32)(32)94a b a b a b +•-=-r r r r r r 正确有个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2. 已知向量,a b u u r u u r 满足1a =r ，2b =r ，3a b +=r r ，则a b -=r r ____.3.222,,2a b a b ==⋅=-r r r r 已知, 则a b r r 与的夹角大小为_____.4. 如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠='DAA ∠=60°,求'AC 的长.。
人教课标版高中数学选修2-1：《空间向量的数量积运算》教案-新版
3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空： 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，的夹角，记作><,． 如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥． 已知两个非零向量，，则><b a b a ,cos ||||叫做，的的数量积，记作⋅． 零向量与任何向量数量积为0． 特别地，⋅=><,cos ||||2||=．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？ ①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？ ①若为单位向量，则⋅=><,cos ||； ②若，⊥⇔⋅0=； ③==a ||；④若，为非零向量，则>=<,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量，满足：3||=，2||=，⋅6-=，则>=<,（ ）A ．0B ．3πC ．2πD ．π 【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a r ，b r 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答） 已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动② 巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答） 已知两个非零向量a ，b ，则><,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner product ），记作a b ⋅r r ．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r ．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答） ①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二 探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答） ①若为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ；（解释：1||=，转化为投影） ②若，为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；（解释：,cos 022a b ππ<>==r r ，）③||==；（解释：,0cos 01a b <>==r r ，） ④若，为非零向量，则||||,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式） ⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，可用于证明空间向量垂直；第③条，||=，是空间向量的模长公式；第④条，||||,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②=||22a b b a =r r r r ； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+．正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．⋅2B ．⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<， 所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ）A ．0B ．21C ．22D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<，且||||=． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=， 所以0||||,cos =>=<BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练 已知空间向量，，两两夹角为 60，其模都为1，则|2|+-等于（ ）A ．5B ．5C ．6D ．6【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅， ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|+-5=． 【思路点拨】先计算⋅，⋅，⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l 的方向向量，同时取向量PA ，，∵OA l ⊥，∴0=⋅．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅． 又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，，． ∵m 与n 相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使y x +=． ∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴y x ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥．∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3. 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作=，=，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<b a ，那么向量，互相垂直，记作⊥． （2）已知两个非零向量，，则><,cos ||||叫做，的的数量积（inner product ），记作⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，⋅=><,cos ||||2||=．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ，②交换律：⋅=⋅，③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||==a ，b 为非零向量，则||||,cos b a >=<；⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(⋅=⋅ B ．||||||≤⋅C ．)()(⋅⋅=⋅⋅D ．若)(-⊥，则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】对于A 项，><=⋅,cos )(222222≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅，所以⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ． 2．已知，为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-)2(（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||==，>=<, 60， ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ． 3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅（ ）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若+=与的夹角 为 ．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,> 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23|=a ，4|=b ，+=，λ+=，43,π>=<，若⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⊥，∴0=⋅，即⋅+)(0)(=+λ，则0)1(22=⋅+++λλ，即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ． 【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=．=，CC =1，1||||||===，∴0=⋅=⋅=⋅，∵BM +=，+=，∴BM ⋅432=+=，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=，=，BB =1，m ==||||，n =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=+-=，=1BC +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥． 【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化． 【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设n BB m +=1，则)(n m -+=m n n ++-=，而+=m n n ++-=)1(，∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅A ，0)(1=-⋅A ， ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ，])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅，解得43=m ，21=n ，+=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ；③⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量，满足2||=，2||=，且与-2互相垂直，则>=<, ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵与a b -2互相垂直，∴0)2(=-⋅，即022=-⋅，∴2=⋅b a ，∴22||||,cos =>=<b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用．【数学思想】转化思想【解题过程】∵⋅)()(-⋅-=2+⋅-⋅-⋅=02>=，∴0||||,cos >>=<BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角． 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵++=，∴⋅++=⋅)(12==，故21||||,cos =>=<CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵++=，∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与A 1所成角的大小为 ．【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=，由题意得211==C B PA ，则21||||,cos 1111=>=<P A C B A B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出A B 11⋅．【答案】 60．。
高中数学 第三章《空间向量的数量积》教案1 新人教A版选修21
高中数学 第三章《空间向量的数量积》教案1 新人教A 版选修21教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学过程 学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论； （二）新课讲解：1．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥；2．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a ；3．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影；可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．4．空间向量数量积的性质： （1）||cos ,a e a a e ⋅=<>． （2）0a b a b ⊥⇔⋅=． （3）2||a a a =⋅．5．空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． （2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．（三）例题分析：例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
人教新课标版数学高二选修2-1导学案 3.1.3空间向量的数量积运算教师版
3.1.3 空间向量的数量积运算【教学目标】1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《3.1.3空间向量的数量积运算》课件“新课导入”部分，通过一个物理问题将向量的数量积运算展示出来，让数学知识落实到实际情境中，又实现跨学科融合，再通过互相交流，引入本节课要学习的空间向量的数量积运算的知识.二、自主学习知识点一 空间向量数量积的概念(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .(2)数量积的运算律①定义：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．②范围：〈a ，b 〉∈[0，π]．特别地：当〈a ，b 〉＝π2时，a ⊥b .知识点二 空间向量的数量积的性质三、合作探究问题1 如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA →与BC →的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．解 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16 2.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算．探究点1 空间向量的数量积运算例1 已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED →1；(2)BF →·AB →1；(3)EF →·FC →1.解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA →1＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED →1＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16. (2)BF →·AB →1＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2 ＝22－22＝0.(3)EF →·FC →1＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2. 反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量．零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律．探究点2 利用数量积求夹角例2 BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱ABB 1A 1、▱BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线BA 1与AC 所成的角．解 如图所示．∵BA →1＝BA →＋BB →1，AC →＝AB →＋BC →，∴BA →1·AC →＝(BA →＋BB →1)·(AB →＋BC →)＝BA →·AB →＋BA →·BC →＋BB →1·AB →＋BB →1·BC →.因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴AB →·BC →＝0，BB →1·AB →＝0，BB →1·BC →＝0且BA →·AB →＝－a 2.∴BA →1·AC →＝－a 2.又BA →1·AC →＝|BA →1|·|AC →|cos 〈BA →1，AC →〉，∴cos 〈BA →1，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.又∵〈BA 1→，AC →〉∈[0，π]，∴〈BA →1，AC →〉＝120°，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA 1与AC 成60°角．反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法：探究点3 利用数量积求距离例3 如图所示，平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．解 因为AC →1＝AB →＋AD →＋AA →1，所以AC →21＝(AB →＋AD →＋AA →1)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA →1＋AD →·AA →1)．因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA →1〉＝60°，所以AC →21＝1＋4＋9＋2(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23. 因为AC →21＝|AC →1|2，所以|AC →1|2＝23，|AC →1|＝23，即AC 1＝23.反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a·a 求解即可．四、当堂测试1．设a 、b 、c 是任意的非零向量，且它们互不共线，有下列命题：①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；③(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 答案 D解析 结合向量的数量积运算律，只有②④正确．2.已知正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D →′〉等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 D解析 B ′D →′＝BD →，∵△A ′BD 为正三角形，∴〈A ′B →，BD →〉＝120°.3．已知P A ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144答案 C解析 ∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，∴|PC →|＝12.4．已知a 、b 是异面直线，且a ⊥b ，e 1、e 2分别为取自直线a 、b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为________．答案 6解析 由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.5．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________.答案 13解析 |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a ＋3b |＝13.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?①空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有关，更多的是以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离相关的问题，求空间两点间的距离或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的问题；②求空间两条直线所成的角的问题可以转化为求两条直线对应向量的夹角的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围；③和垂直相关的问题可以转化为向量的数量积为零的情况．。
高二数学(人教A版)选修2-1导学案：3. 1.3空间向量的数量积
编号：gswhsxxx 2—1—03-03文华高中高二数学选修2-13. 1.3．《空间向量的数量积》教学目标1、能说出空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、会运用两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重、难点空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
学习方法由平面向量类比到空间向量的思想学习过程一、知识衔接：复习：空间向量基本定理及其推论；二、新课导学：1、自主学习（1）．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则------＿＿＿＿叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>； 若,2a b π<>=，则称＿＿＿＿＿＿＿＿，记作：＿＿＿＿；（2）．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做＿＿＿＿＿＿，记作：||a ；（3）．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作＿＿＿，即＿＿＿＿＿＿＿＿．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影；可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．（4）．空间向量数量积的性质：1．＿＿＿＿＿＿＿＿2．＿＿＿＿＿＿＿＿3．＿＿＿＿＿＿＿＿（5）．空间向量数量积运算律：1．＿＿＿＿＿＿＿＿2. ＿＿＿＿＿＿＿＿ （交换律）．3．＿＿＿＿＿＿＿＿ （分配律）．三、合作探究：1、已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．A CB A ' B ' e2、在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的余弦值。
高中数学《3.1.3 空间向量的数量积(1)》教案 新人教A版选修2-1
向量的数量积（2）一、教学目标：①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角二、教学重点：①向量的数量积运算②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角三、教学方法：练习法，纠错法，归纳法四、教学过程：考点一：向量的数量积运算（一）、知识要点：1）定义：① 设<,a b >=θ,则a b = （θ的范围为 ）②设11(,)a x y =，22(,)b x y =则a b = 。
注：①a b 不能写成ab ，或a b ⨯ ②a b 的结果为一个数值。
2）投影：b 在a 方向上的投影为 。
3）向量数量积运算律：①a b b a = ②()()()a b a b a b λλλ== ③()a b c a c b c +=+注：①没有结合律()()a b c a b c =二）例题讲练1、下列命题：①若0a b =，则a ，b 中至少一个为0②若a 0≠且a b a c =，则b c = ③()()a b c a b c =④22(32)(32)94a b a b a b +-=-中正确有个数为 （ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、已知ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，且a=3,b=1,C=30°,则BC CA = 。
3、若a ，b ，c 满足0a b c ++=，且3,1,4a b c ===，则a b b c ++= 。
4、已知2a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +在a 上的投影为 。
考点二：向量数量积性质应用一）、知识要点： ①0a b a b ⊥⇔=（用于判定垂直问题）②2a a =（用于求模运算问题） ③cos a ba b θ=（用于求角运算问题）二）例题讲练 1、已知2a =，3b =，且a 与b 的夹角为2π，32c a b =+，d ma b =-，求当m 为何值时c d ⊥ 2、已知1a =，1b =，323a b -=，则3a b += 。
高中数学选修2-1精品教案2-3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计
3.1.3 空间向量的数量积运算一、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.二、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作＝a ，＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：＜a ，b ＞． 当＜a 、b ＞＝０时，a 与b 同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b＞＝时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a ＞．⑶注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞.说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.3. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律： ⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)4. 教学例题：OA u u u r OB u u u r 0≤π≤2π≠例1：已知：在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，求证：OC ⊥AB例 2.如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =，3CD =，30ABD ∠=o ，60ABC ∠=o ，求AB 与CD 的夹角的余弦值5.巩固练习： 1．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC 、BD 、PB 、PC 、PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD →B.DA →与PB →C.PD →与AB →D.P A →与CD →2．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( )A ．m ∥nB ．m ⊥nC ．m ，n 既不平行也不垂直D ．以上三种情况都可能3．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 4．已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于________．6．已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.三、小结：、我们今天学习的内容：1、空间向量的夹角、模、数量积、运算律；2、求两点之间的距离或线段长度；3、求两直线所成角；4、证明：垂直问题.答案例1.【答案】AC OB C B OA ⊥⊥，证明：由已知)(0)(0,0所以=-⋅=-⋅=⋅=⋅OA OC OB OB OC OA AC OB BC OA OAOB OC OB OB OA OC OA ⋅=⋅⋅=⋅所以 00)(0所以=⋅=⋅-=⋅-⋅OC BA OC OB OA OC OB OC OA0)(0所以=⋅=⋅-=⋅-⋅OC BA OC OB OA OC OB OC OA例2.【答案】解：∵CD BD BC =-u u u r u u u r u u u r ，∴AB CD AB BD AB BC ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos ,AB BD AB BD =⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r ||||cos ,AB BC AB BC -⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r2cos15023cos120633==-⨯-⨯+-⨯=o o ∴31cos ,232||||AB CD AB CD AB CD ⋅-<>===-⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AB 与CD 的夹角的余弦值为12．巩固练习：1．【答案】A.【解析】由图分析可知(图略)，选项B 、C 、D 中两向量的夹角均为90°，∴数量积都为0.2．【答案】B.【解析】因为m ·n ＝m ·(λa ＋μb )＝λm ·a ＋μm ·b ＝0，所以m ⊥n .3．【答案】B.【解析】∵DB →＋DC →－2DA →＝(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)＝AB →＋AC →，∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|.4．【答案】B.【解析】当a 与b 不共线时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，可推出l ⊥α；当a 与b 为共线向量时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，不能够推出l ⊥α；l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B.5．【解析】a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2.【答案】－26．【答案】解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC →2＝12＋12＋12＋21×1×cos 60°×3＝ 6.。
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。
条有向线段来表示。
思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。
其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
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rr
r
⑵ ⑶
0?a 你能说出
ar （br选的几0 还何是意义0 吗）？
3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量 er ，则 ar er | ar | cos ar , er ．
（2） ar
r b
ar
r b
．
（3） ar ar
＝.
4（) 1空）间( 向ar量) 数br 量积(运ar 算br )律：ar
ABC
o
60
，求
AB 与 CD 的夹角的余弦值
D
变式 ：如图，在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中，若
AB= 2 BB 1 ,则 AB 1 与 C 1 B 所成的角为（ ）
A. 60° B. 90° C. 105°
D. 75°
A
C
B
例 3 如图，在平行四边形 AB 4, AD 3 , AA' 5 , BAD 90 , BAA' =
DAA ' =60 ° ,求 AC ' 的长 .
ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ，
※ 动手试试
uur uur
r
r
rr
rr
练 1. 已知向量 a,b 满足 a 1 ， b 2 ， a b 3 ，则 a b ____.
r
r
练 2. 已知 a 2 2 , b
2 rr ,a b
2
rr 2 , 则 a 与b 的夹角大小为 _____.
(
r b) ．
（2） ar （3） ar
r b
r (b
r b cr
ar )
（ar交br换律ar ）cr．（分配律
反思 ： rr r r rr
⑴ （a b) c a (b c) 吗？举例说明 .
rr rr
rr
⑵ 若 a b a c ，则 b c 吗？举例说明 .
rr
rr rr
⑶ 若 a b 0 ，则 a 0 或 b 0 吗？为什么？
正确有个数为（
）
A. 0 个 B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
ur uur
uur ur
2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量，夹角为
，则下面向量中与 2e2 e1 垂直的是（ ）
ur uur
ur uur
ur
3 uur
A. e1 e2 B. e1 e2
C. e1
D. e2
uuur uuur
3.已知 ABC 中， A, B, C 所对的边为 a,b, c ，且 a 3,b 1 , C 30 ,则 BC ? CA =
D
A
C
B
2. 已知线段 AB、BD 在平面 内 ,BD⊥ AB, 线段 AC 距离 .
,如果 AB＝ a,BD ＝ b,AC＝ c,求 C、D 间的
1. 下列r 命r 题中： r r
r
①若 a ?b 0 ，则 a ， b 中至少一个为 0
r r rr rr
rr
②若 a 0 且 a ?b a ? c ，则 b c rr r r rr
③ (a ? b) ? c a ? (b ?c)
rr rr
r2
r2
④ (3a 2b) ? (3a 2b) 9 a 4 b
※ 典型例题 例 1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么它也和这条斜线垂直 .
变式 1：用向量方法证明：已知： 为 B ，且 l m,l n . 求证： l ．
m, n 是平面
内的两条相交直线，直线
l 与平面
的交点
例 2 如图， 在空间四边形 ABCD 中， AB 2 ， BC 3， BD 2 3 ，CD 3 ， ABD 30o ，
r
r
rr
r rr r
4. 已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，当 a b 与 a b 的夹角是锐角时， 的取值范
围是
.
uur uur
r
r
rr
rr
5. 已知向量 a, b 满足 a 4 ， b 2 ， a b 3 ， 则 a b ____
课后作业：
1. 已知空间四边形 ABCD 中， AB CD ， AC BD ，求证： AD BC .
; a, b =π时 , a 与 b
⑵
ar ,
r b
r b
,ar
成立吗？
⑶
ar ,
r b
，则称
r a
与
r b
互相垂直，记作
.
2已) 知向向量量的数ar ,量br 积，：则
叫做
ar ,
r b
的数量积，记作
ar
r b
ห้องสมุดไป่ตู้
，即
ar
r b
.
规定 :零向量与任意向量的数量积等于零 .
反思 ：
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？
的夹角和空间线段的长度问题？
能否用向量的知识解决空间两条直线
新知 ：
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量
则
AOB 叫做向量
ar
与
r b
的夹角，记作
ar ,
r b
，在空间
.
uuur 一点 O ，作 OA
ar ,
uuur OB
r b，
试试 ： ⑴ 范围 :
ar ,
r b
rr
rr
rr
rr
a, b =0 时 , a 与 b
§3.1.3．空间向量的数量积（ 1）
学习过程
一、课前准备 （预习教材 P90~ P92，找出r疑惑r之处） 复习 1：什么是平面向量 a 与 b 的数量积？
uuur uuur 复习 2：在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中，求 AB ? BC .
二、新课导学
※ 学习探究 探究任务一 ：空间向量的数量积定义和性质 问题 ：在几何中， 夹角与长度是两个最基本的几何量，
三、总结提升 ※ 学习小结 1..向量的数量积的定义和几何意义 . 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用 .
※ 知识拓展
向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法
.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（
）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：