数据结构之树和二叉树的应用

第六章树和二叉树的应用

6.1二叉排序树和平衡二叉树

在实际应用中，常常需要在一组记录中检索一个记录，向其中插入一个记录或者把找到的记录删除。

如果记录无序，查找起来将会很慢。如果记录有序，查找将会很快。但是遇到动态增减变化时，需要移动大量的元素。即使使用链表结构，查找起来也相当麻烦。非常需要一中插入、删除、和检索记录效率都很高的数据组织方法。二叉排序（查找、搜索）树就是这样一种高效的数据结构。

二叉排序树也称二叉查找树或二叉搜索树。它或者是一棵空树；

或者有性质：

（1）若其左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点

的值。

（2）若其右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点

的值。

（3）左右子树也为二叉排序树。

图5.21就是一棵二叉排序树。二叉排序树通常采用二叉链存储结构。二叉链存储结构的结点类型定义：

typedefstructtnode

{

KeyTypekey;//关键字域

ElemTypedata;//其他数据域

structtnode*lchild,*rchild;//指针

}BSTNode;

中序遍历二叉排序树可以得到有序序列。

6.1.2二叉排序树的基本运算

二叉排序树的基本运算如下：

1.BSTSearch(bt,k)在二叉排序树bt中，查找值为k的结点。

2.BSTInsert(bt,k)在二叉排序树bt中，插入值为k的结点。

3.CreateBST(bt,str,n)创建二叉排序树

4.输出二叉排序树DispBST(bt)

5.删除结点BSTDelete(bt,k)

1.查找结点BSTSearch(bt,k)

方法：将给定值k与查找树的根结点关键码比较。若相等，查找成功，结束查找过程。否则，a．当给k小于根结点关键码，查找将在以左子女为根的子树上继续进行；

b．当给k大于根结点关键码，查找将在以右子女为根的子树上继续进行；

c ．若K 等于当前结点的关键字，则返回；如此反复，直至找到或子树为空，查找失败时为止。

例如，查找图5.21中关键字等于45的结点。从根结点开始比较。

45<63，在左子树中查找；45<55，在左子树中查找；45>42，在右子树中查找；45=45，查找成功，返回。

再如，查找图5.21中关键字等于73的结点。从根结点开始比较。

73>63，在右子树中查找；73<90，在左子树中查找；73>70，在右子树中查找；73<83，在左子树中查找；5.83的左子树为空，查找失败。所以稽核中不含关键字等于73的结点。

查找二叉排序树的算法

BSTNode*BSTSearch(BSTNode*bt,KeyTypek) { BSTNode*p=bt; while(p!=NULL&&p->key!=k) {if(kkey)

p=p->lchild;/*沿左子树查找*/ else

p=p->rchild;/*沿右子树查找*/ } If(p!=NULL)

return(p);

elseprintf(“找不到”); }

2.二叉排序树的插入BSTInsert(bt,k)

向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为kx ，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，待插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。

例如：记录的关键码序列为：63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58，则构造一棵二叉排序树的过程如图5.22所示：

φ

插入算法：

intBSTInsert(BSTNode*&bt,KeyTypek) { BSTNode*f,*p=bt; while(p!=NULL)

63 63 90

70

90 63 70

90 63 55

70

90 63 55

67 70

90 63 55 67 42

70

90 63 55 67 42

98

70 90 63 55 67 83

98 42 70 90 63 55 67 83 98

10 42 42 98 70 90 63 45 55 83 67 10 58 42 98 70 90 63 45 55 83 67 10 图6.2 构造二叉排序树

{if(p->key==k)return(0); f=p;/*f指向*p结点的双亲结点*/

if(p->key>k)p=p->lchild;/*k小，在左子树查找*/

elsep=p->rchild;/*否则在右子树找*/

}

p=(BSTNode*)malloc(sizeof(BSTNode));

p->key=k;p->lchild=p->rchild=NULL;

if(bt==NULL)bt=p;

elseif(kkey) f->lchild=p;

elsef->rchild=p; return(1);

}

3.二叉排序树的构造CreateBST(bt,str,n)

上例说明，构造一棵二叉排序树则是从空树出发逐个插入结点的过程。

创建算法：

voidCreateBST(BSTNode*&bt,KeyTypestr[],intn)

{ bt=NULL; /*初始时bt为空树*/

inti=0;

while(i

{ BSTInsert(bt,str[i]);/*插入关键字*/

i++;

}

}

4.输出二叉排序树DispBST(bt)

这里指的是二叉排序树的括号形式的输出，而不是关键字的值的输出，也不是输出结点的地址。

关键字的值的输出可用二叉树的先序、中序、后序遍历，二叉排序树的中序序列是一个有序序列。所以可以用二叉排序树进行排序，这也是把它叫着二叉排序树的原因。

二叉排序树的括号形式的输出，如果不是空树，要求先输出根结点的关键字的值，当该结点有左孩子结点或有孩子结点时，后面紧跟前圆括号“（”，然后递归处理左子树，再输出一个逗号“，”，再递归处理右子树，最后输出一个后圆括号“）”。即使是没有左子树，右子树前面的逗号也是不能省略的。对应的地柜算法如下：

voidDispBST(BSTNode*bt)

{ if(bt!=NULL)

{printf("%d",bt->key);

if(bt->lchild!=NULL||bt->rchild!=NULL)

{printf("(");DispBST(bt->lchild); if(bt->rchild!=NULL)printf(",");

DispBST(bt->rchild);printf(")");}

}

}

5.二叉排序树的删除BSTDelete(bt,k)

设*p是*f的左孩子，*p左、右子树为pL、pR，pR中序最右结点为S,S的中序前驱为Q。

(1)若*p为叶子结点，则修改*f的对应指针为空。

(2)若*p只有1棵子树,则用子树替代*p。

(3)若*p左右子树均不空。可以有两种做法：