122《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》第3课讲义时201335
基本初等函数导数公式
基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式还有同学记得吗?不记得的话，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“基本初等函数导数公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
基本初等函数导数公式C'=0、(x^n)'=nx^(n-1)、(a^x)'=a^x*lna、(e^x)'=e^x、(loga(x))'=1/(xlna)、(lnx)'=1/x、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx。
初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数。
不是初等函数的函数，称为非初等函数，如狄利克雷函数和黎曼函数。
拓展阅读：高一数学必修一知识点总结高一数学集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R列举法：{a,b,c……}描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x(R| x-3>2} ,{x| x-3>2}语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}Venn图:集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝高一数学集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集。
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g(x)
g(x)2
(g(x)0)
例2 求函数y=x3-2x+3的导数.
练习:
(1).y
1 x4
; (2). y
x
x.
例 3 日常生活中的饮用水 通常是 经过 净化的 .随着水 纯净度的提高 , 所需净化费 用不断增加 .已知将 1吨水净 化到纯净度为 x %时所需费
用 单位 : 元 为
c x 5284 80 x 100 .求净化到下纯度
1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
（第一课时）
教学目标
• 熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活 运用
• 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则 • 教学难点：商的导数的运用
我们今后可以直接使用下列的八个公式 一、基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
yx'
yu' ux'
lnu'3x2' 13 3 .
u 3x2
例4 求下列函数的导数
1y2x32; 2 ye0.05x1;
3ysinx其中,均为常.数
解1函y数 2x32可以看y 作 u3和 函数
u2x3的复合 . 由复函 合函数数 求导法则有
yx' yu' ux' u2'2x3' 4u8x1.2
复合 yf函 gx的 数导数 yfu 和 ,ug函 x的 数
导数间 yx ' 的 yu ' ux '.关系为
yx'表 示 y对 x的 导 数
即 y对 x的导数 y对 u等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
3x2 2.
所以,函数 y x3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
例1 假设某国家在20 年期间的年通货膨胀 率为
5%,物价p单位 : 元与时间t单位 : 年有如下函数
关系pt p0 1 5%t,其中p0 为t 0时的物价.假
定某商品的p0 1,那么在第10个年头,这种商品的 的价格上涨的速度大约是多少( 精确到0.01)? 解 根据基本初等函数导数公式表,有
1.2.2 基本初等函数的导数公 式 及导数的运算法则
为了方便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.
基 本 初 等 函 数 的 导 数 公式
1. 若 fx c,则 f 'x 0;
2. 若 f x xn n N ,则 f ' x nx n1 ;
3. 若 fx sin x,则 f ' x cos x; 4. 若 fx cos x,则 f ' x sin x;
5. 若 fx ax,则 f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则 f ' x ex ;
7.
若 fx loga
明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,
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f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函 数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘 第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平 方.即:
故a＋b－8＝0， 解得a＝－4，
2a＋b－4＝0，
b＝12.
1．函数 y＝x＋1x在 x＝0 处的导数是 ( )
A．2
B.52
C．0
D．不存在
[答案] D
[解析]∵f(0)不存在，∴f′(0)不存在．
2．y＝ax2＋1 的图象与直线 y＝x 相切，则 a＝( )
A.18 1
(1)y＝x－2
(2)y＝cosx
(3)y＝log3x
(4)y＝e0
[解析] 由求导公式得
(1)y′＝－2·x－3＝－x23.
(2)y′＝(cosx)′＝－sinx.
1 (3)y′＝(log3x)′＝ x ln 3 . (4)∵y＝e0＝1，∴y′＝0.
考点二 求某一点处的导数
求函数 f(x)＝ 1 在 x＝1 处的导数． 3 x2
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这 两个函数的导数的和(差),即:
f(x)g(x)f(x)g(x)
5284 (100 x)2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
f′(x)＝__x_ln__a__(a>0且a≠1)
1
f′(x)＝__x___
类型一 利用导数公式求出函数的导数 (1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝x13； (4)y＝4 x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin22x.
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝1 x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，
2 过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为
________.
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共 点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝ y′| xx0 ＝cos x0，k2＝y′|xx0 ＝－sin x0， 要使两切线垂直，必须k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
∴所求的最短距离
d＝|21－142－2|＝78
2 .
几个常用函数的导数 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝_0__
f′(x)＝ _1_
f′(x)＝_2_x__ f′(x)＝_－__x1_2 __
1 f′(x)＝__2__x__
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
xsinx cosx
′
(xsinx)'cosx-xsinx(cosx)'
=
cos2x
(sinx + xcosx)cosx + xsin2x
=
cos2x
sinxcosx + x
= cos2x .
解:(1)设 y= u-12, u = 1 − 2x,
则 yx'=(u-12)′(1 − 2x)′ =
-
(3)y=
x+3 x2+3
;
(4)y=xsin
x−
2 cosx
;
(5)y=
x5+
x7+ x
x9 ;
(6)y=x·tan x.
分析:解答本题可先确定式子的形式,再用基本初等函数的导数 公式和导数的运算法则求解.
解:(1)∵y=x-sin
x 2
cos
x 2பைடு நூலகம்
=
x
−
1 2
sin
x,
∴y'=
x-
1 2
sinx
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.导数的运算法则 设两个函数分别为 f(x)和 g(x),则
两个函数 的和的导 数
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
两个函数 的差的导 数
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
两个函数 的积的导 数
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
∵点(x0,y0)在曲线 y=x3-2x 上, ∴y0= x03 − 2x0. ②
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则说课稿 教案
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．4．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)．【教法指导】本节学习重点：函数的和、差、积、商的求导法则．本节学习难点：复合函数的求导法则．【教学过程】☆复习引入☆前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一导数的运算法则思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.例1 求下列函数的导数：(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lg x.解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出 f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10， 利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ； (2)f (x )＝2－2sin 2x2.例2 求下列函数的导数：(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝x －1x ＋1. 解 (1)f ′(x )＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′ ＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x ＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x . (2)∵f (x )＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴f ′(x )＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.探究点二 导数的应用 例2 (1)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (－2,15)(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s. 反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0.探究点三 复合函数的定义思考1 观察函数y ＝2x cos x 及y ＝ln(x ＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 答 y ＝2x cos x 是由u ＝2x 及v ＝cos x 相乘得到的；而y ＝ln(x ＋2)是由u ＝x ＋2与y ＝ln u (x >－2)经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．所以它们称为复合函数． 思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？思考3 在复合函数中，内层函数的值域A 与外层函数的定义域B 有何关系？答 A ⊆B .小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例3 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y ＝(3＋5x )2；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)；(3)y ＝cos 3x .解 (1)y ＝(3＋5x )2是由函数y ＝u 2，u ＝3＋5x 复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．例4 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ；(3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝11－2x1－2x ； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)． (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．探究点五 导数的应用例5 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．反思与感悟求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．。
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(共3课时)
应用3:求下列函数的导数
(1)y=tanx
sin x cos2 x sin 2 x 1
y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x
(2) y
x3 x2 3
y'
x2 6x (x2 3)2
3
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习:
(1).y
1 x4
; (2). y
x
x.
9. 答案：C
7．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2
B．e
ln 2 C. 2
D．ln 2
解析：f′(x)＝x·1x＋ln x＝1＋ln x，
因为f′(x0)＝2，即1＋ln x0＝2， 所以ln x0＝1，x0＝e. 答案：B
8．已知函数f(x)＝x＋ax＋b(x≠0)，其中a，b∈R.若曲线y＝ f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x) 的解析式． 解：f′(x)＝1－xa2，由导数的几何意义得f′(2)＝3， 于是a＝－8. 由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上， 可得f(2)＝2－82＋b＝－2＋b＝7，解得b＝9. 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－8x＋9.
第二课时
导数的四则运算
法则1: [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数 (1)y=x3+sinx
y' 3x2 cos x
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4x3 2x 1
法则2:
f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g'(x)
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122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.docx1.2.2基本初等函数的导数及导数的运算法则备课⼈：王宏伟年级组：⾼⼆教材分析本节内容是导数的计算这⼀节的关键部分，对后⾯更深刻地研究导数起着⾄关重要的作⽤?在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利⽤定义求导数的⽅法.但是，如果对每⼀个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚⾄是不可能的.因此，我们希望找到⼀些简单函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程.因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得⽤定义求导数⽐较⿇烦问题得以解决，为以后导数的研究带來了⽅便，同时也将所学的导数和实际应⽤问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致.复合函数的求导法则是导数的计算这⼀节的最后⼀⼩节内容.教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深⼊，虽然棊本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合⽽成的函数还没有涉及，我们平时研究的函数不会仅限丁?基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究导数.教材层层深⼊，给我们展⽰了什么是复合函数，同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展⽰给了学⽣.因此，使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂.课吋分配2课吋.第1课时（基本初等函数的导数公式及导数的运算法则）；第2课时（复合函数的求导法则）第1课时教学⽬标1.知识与技能⽬标（1）熟练掌握基本初等函数的导数公式；（2）掌握导数的四则运算法则.2.过程与⽅法⽬标能利⽤给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.3.情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学⽣对问题的认知能⼒.由于利⽤定义求函数的导数⾮常复杂，本节课直接给出了⼋个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则.学⽣不⽤推导⽽直接去求⼀些简单函数的导数，认识事物z间的普遍联系，达到学有所⽤.在训练⼬也加深了学⽣对学习数学的兴趣，激发学⽣将所学知识应⽤于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣. 教学重点：应⽤⼋个函数导数求复杂函数的导数…教学难点：商求导法则的理解与应⽤.教学过程：⼀、复习回顾复习五种常见函数y = c、y = x\ y⼆丄、y = ^的导数公式填写下表兀函数导数y = cy = x2y = x^1y=-Xy = 4xy = f(x) = x\ne Q")⼆、提出问题，展⽰⽬标我们知道，函数y = /(%) =兀"⑺丘Q*)的导数为y =恣⼼,以后看见这种函数就可以直接按公式去做，⽽不必⽤导数的定义了。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
(2)设 y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋π3， 则 yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin4x＋23π. (3)设 y＝5log2u，u＝2x＋1， 则 y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′ ＝ul1n02＝2x＋110ln 2.
[一题多变]
1．[变结论]求本例(2)中的切线与直线 2 2x－y＋1＝0 之间的距离即求点
P
到直线
2x－y＋1＝0
的距离，故所求的距离
d＝
|2e－e＋1| 22＋－12
＝
5e＋1 5.
2．[变结论]求本例(2)中过曲线上一点与直线 y＝－x 平行的 切线方程． 解：设切点为(x1，y1)，因为 y′＝ln x＋1， 所以切线的斜率为 k＝ln x1＋1， 又 k＝－1，得 x1＝e12，y1＝－e22， 故所求的切线方程为 y＋e22＝－x－e12， 即 e2x＋e2y＋1＝0.
导数的运算法则
(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条 件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？
1．导数的四则运算法则 (1)条件：f(x)，g(x)是可导的． (2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ． ②[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ． ③gfxx′＝ f′xgx[g－ xf]2xg′x(g(x)≠0) ．
1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数． (2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导， 这是求复合函数导数时的易错点．
与切线有关的综合问题
[典例] (1)设函数 f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中 a>0，曲线 y ＝f(x)在点 P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1，则 b＝________，c＝ ________.
3.2.2、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三课时)
3.2.2、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】1、掌握基本初等函数的导数公式，并能利用公式求简单函数的导数；2、掌握导数的四则运算法则，并能利用公式求简单函数的导数；3、能运用公式处理某些实际问题。
【教学重点】基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则【教学难点】 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 【教学过程】 一、知识回顾：公式1、0)'(=C （C 为常数） 公式2、1)'(-=n nnxx （n 为有理数）二、新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表（二）公式的应用xy x y xy xy y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5)2()1(125======、求下列函数的导数例（三）基础训练555)4(5)3(1)2()1(1e y y xy x y x ====、求下列函数的导数：（四）例题分析：例2、假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下关系：p (t )=p 0(1+5%)t ，其中p 0为t =0时的物价，假定某种商品的p 0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(精确到0.01)（五）基础训练处的切线方程。
在、求函数2cos 2π==x x y（六）导数的运算法则（1）导数的四则运算法则：（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三、典例分析例3、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y =-；（3）sin ln y x x x =⋅⋅；（4）4xx y =； （5）1ln 1ln xy x-=+．（6）2(251)xy x x e =-+⋅； （7）sin cos cos sin x x xy x x x-=+解：（1）'3'3'''2(23)()(2)(3)32y x x x x x =-+=-+=-，'232y x =-。
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则90492
D.(3x )' 3x ln 3
(3) f(x)=80，则f '(x)=___0___;
e (3) f ( x) e x ,则f ' ( x)等 于____x__;
f ' (1)等 于___e___
1
(4) (1ogax )' __x__ln__a__
p(t) p0 (1 5%)t
，所以，
纯净度为98%时，费用的瞬时变化率
为1321元/吨。
公式四: (cos x) sin x
公式五:对数函数的导数
(1)
(loga
x)
1 x ln
a
(a
0,
a
1).
(2) (ln x) 1 . x
公式六:指数函数的导数
(1) (ax ) ax ln a(a 0, a 1).
(2) (ex ) ex.
公式1 C 0(C为常数)
5284
0
(x 100 ) 11 (x 100 )2
5284 (x 100 )2
(1)因为
c(90)
5284 (90 100 )2
52.84，所以，
纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
为52.84元/吨。
(2)因为
c(98)
5284 (98 100
)2
1321
cos2 x
cos2 x
(2) y
x3 x2 3
x2 6x 3 y' (x2 3)
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。
c(x) ( 5284 ) 5284 ( 1 )
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若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数间变量）；
第二步，层层求导（将分解所得的基本 函数进行求导）；
第三步，做积还原（将各层基本函数的 导数相乘，并将中间变量还原为原来的 自变量）。
如下函数由多少个函数复合而成：
1 . y sin 2 x
2.y
2 x2 1
3 . y (sin 2 x 1) 2
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
122《基本初等函数 的导数公式及导数的 运算法则》第3课时
201335
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
练习：
1、若直线yxb为函数y1图象的切线, x
(3)ysinx ()其 ( 中 ， 均为)常
解(1： )函数 ysinx()可以看作 y函 sinu数 和 ux的复合函数。函 根数 据求 复导 合法
y x ' y u '• u x ' (sin u )'• ( x )' cos u cos( x )
复合函数求导三步曲：
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数 的导数的和(差),即:
f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
求下列函数的导数
1.yxsinxcoxs 22
2.ysin2(2x)
3
3.y= 1 1 1 x 1 x
函数求导的基本步骤： 1，分析函数的结构和特征 2，选择恰当的求导法则和导数公式 3，整理得到结果
谢 谢 各 位 聆 听
复合函数 y f (g(x))的导数和函数 y f (u),u g(x)的导数间的关系 yx' yu'•ux'
例4 求下列函数的导数
(1)y(2x3)2 (2)ye0.05x1
(3)ysinx ()其 ( 中 ， 均为)常
解(1： )函数 y(2x3)2可以看作 y函 u2和 数 u2x3的复合函数。函 根数 据求 复导 合法则
求b的值和切点的坐标.
2 .已 知 直 线 yx 1 ,点 P 为 yx2 上 任 意 一 点 , 求 P 在 什 么 位 置 时 到 直 线 的 距 离 最 短 ?
3.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与 S1,S2均相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1,y2x,则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2,y2(x2)与, S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
y x ' y u '• u x ' (u 2 )'• ( 2 x 3 )' 4u 8 x 12
(2)ye0.05x1
解(1： )函数 ye0.05x1可以看作 ye函 u和数 u0.05x1的复合函数。 函根 数据 求复 导合 法
y x ' yu '•u x ' (e u )'•( 0 .05 x 1)' 0 .05 e u 0 .05 e 0.05 x1