122《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》第3课讲义时201335
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f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
练习：
1、若直线yxb为函数y1图象的切线, x
求下列函数的导数
1.yxsinxcoxs 22
2.ysin2(2x)
3
3.y= 1 1 1 x 1 x
函数求导的基本步骤： 1，分析函数的结构和特征 2，选择恰当的求导法则和导数公式 3，整理得到结果
谢 谢 各 位 聆 听
122《基本初等函数 的导数公式及导数的 运算法则》第3课时
201335
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
y x ' y u '• u x ' (u 2 )'• ( 2 x 3 )' 4u 8 x 12
(2)ye0.05x1
解(1： )函数 ye0.05x1可以看作 ye函 u和数 u0.05x1的复合函数。 函根 数据 求复 导合 法
y x ' yu '•u x ' (e u )'•( 0 .05 x 1)' 0 .05 e u 0 .05 e 0.05 x1
求b的值和切点的坐标.
2 .已 知 直 线 yx 1 ,点 P 为 yx2 上 任 意 一 点 , 求 P 在 什 么 位 置 时 到 直 线 的 距 离 最 短 ?
3.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与 S1,S2均相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1,y2x,则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2,y2(x2)与, S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
第一步，分层（从外向内分解成基本函 数用到中间变量）；
第二步，层层求导（将分解所得的基本 函数进行求导）；
第三步，做积还原（将各层基本函数的 导数相乘，并将中间变量还原为原来的 自变量）。
如下函数由多少个函数复合而成：
Baidu Nhomakorabea
1 . y sin 2 x
2.y
2 x2 1
3 . y (sin 2 x 1) 2
因为两切线重合, 2x 1x 1 2 2(xx 2 22 42) x x2 1 0 2或 x x1 2 2 0.
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数，记作y=f(g(x)).
复合函数 y f (g(x))的导数和函数 y f (u),u g(x)的导数间的关系 yx' yu'•ux'
例4 求下列函数的导数
(1)y(2x3)2 (2)ye0.05x1
(3)ysinx ()其 ( 中 ， 均为)常
解(1： )函数 y(2x3)2可以看作 y函 u2和 数 u2x3的复合函数。函 根数 据求 复导 合法则
(3)ysinx ()其 ( 中 ， 均为)常
解(1： )函数 ysinx()可以看作 y函 sinu数 和 ux的复合函数。函 根数 据求 复导 合法
y x ' y u '• u x ' (sin u )'• ( x )' cos u cos( x )
复合函数求导三步曲：
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数 的导数的和(差),即:
f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
练习：
1、若直线yxb为函数y1图象的切线, x
求下列函数的导数
1.yxsinxcoxs 22
2.ysin2(2x)
3
3.y= 1 1 1 x 1 x
函数求导的基本步骤： 1，分析函数的结构和特征 2，选择恰当的求导法则和导数公式 3，整理得到结果
谢 谢 各 位 聆 听
122《基本初等函数 的导数公式及导数的 运算法则》第3课时
201335
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
y x ' y u '• u x ' (u 2 )'• ( 2 x 3 )' 4u 8 x 12
(2)ye0.05x1
解(1： )函数 ye0.05x1可以看作 ye函 u和数 u0.05x1的复合函数。 函根 数据 求复 导合 法
y x ' yu '•u x ' (e u )'•( 0 .05 x 1)' 0 .05 e u 0 .05 e 0.05 x1
求b的值和切点的坐标.
2 .已 知 直 线 yx 1 ,点 P 为 yx2 上 任 意 一 点 , 求 P 在 什 么 位 置 时 到 直 线 的 距 离 最 短 ?
3.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与 S1,S2均相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1,y2x,则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2,y2(x2)与, S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
第一步，分层（从外向内分解成基本函 数用到中间变量）；
第二步，层层求导（将分解所得的基本 函数进行求导）；
第三步，做积还原（将各层基本函数的 导数相乘，并将中间变量还原为原来的 自变量）。
如下函数由多少个函数复合而成：
Baidu Nhomakorabea
1 . y sin 2 x
2.y
2 x2 1
3 . y (sin 2 x 1) 2
因为两切线重合, 2x 1x 1 2 2(xx 2 22 42) x x2 1 0 2或 x x1 2 2 0.
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那 么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合 函数，记作y=f(g(x)).
复合函数 y f (g(x))的导数和函数 y f (u),u g(x)的导数间的关系 yx' yu'•ux'
例4 求下列函数的导数
(1)y(2x3)2 (2)ye0.05x1
(3)ysinx ()其 ( 中 ， 均为)常
解(1： )函数 y(2x3)2可以看作 y函 u2和 数 u2x3的复合函数。函 根数 据求 复导 合法则
(3)ysinx ()其 ( 中 ， 均为)常
解(1： )函数 ysinx()可以看作 y函 sinu数 和 ux的复合函数。函 根数 据求 复导 合法
y x ' y u '• u x ' (sin u )'• ( x )' cos u cos( x )
复合函数求导三步曲：
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数 的导数的和(差),即:
f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a