课题学习格点多边形的面积计算

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初中数学《格点多边形的面积计算》25页精品ppt课件

描点-猜想-验证
图象
1 由此发现规律： S b 1 2
探究新友
三、请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部有且只有3个格点、4个格点……时，此时所画的各个多边形的面积S与它边界上格点数b之间的关系式：S= ________；
多边形的面积S
边界上格点的个数和 b
多边形内部的格点数a
解决问题：谁的面积大？
哥哥说：“弟弟的地里一圈有17棵树，而我的地一圈只有15棵树，弟弟的地面积大。” 弟弟说：“哥哥的地里面有17棵树，我的地里只有16 棵树，哥哥的面积大？”
画龙点睛
1、你知道什么是皮克定理了吗？ 2、通过探索皮克定理，你积累了哪些学习方法和经验？
画龙点睛
探求规律类问题的方法：
Thank You !
1、简单到复杂、特殊到一般 2、纵向、横向比较所列式子中的变量与常量，结合函数思想，总结规律，并进行验证。 3、遇多个变量时，采用控制变量法。
皮克定理之歌
纵横平行网格美，妙画格点多边形。面积求解方法多，皮克定理光芒闪。 a b弄清答案来，数学简约显智慧。探索之路无穷尽，共享思维谱华章。
最强大脑
本次活动所使用的网格纸的纵、横两组平行线是互相垂直的，如果网格纸的纵、横两组平行线不垂直，假设每个小平行四边形的面积为1，还能应用此公式求出多边形的面积吗？
作业布置
必做题：请以小组为单位，探究平行四边形网格中格点多边形面积计算，并完成探究报告. 选做题：请以小组为单位，探究等边三角形网格中格点多边形面积计算，并完成探究报告.
多边形内部的格点数a
4
由此发现规律：
S a2
发现规律
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为a，它的边界上的格点数为b.

格点多边形的面积计算教学课件

THANKS
感谢观看
解题思路
通过观察格点图形，确定多边形边界上的格点数目，应用公式进
行计算。
解答过程
首先数出多边形边界上的格点数目，然后代入公式进行计算，得出面积值。
注意事项
要确保数出的格点数目准确无误，避免计算错误。
例题二：不规则格点多边形面积计算
解题思路
将不规则多边形划分为若干个规则多边形，分别计算规则多边形的面积，再求和。
常见错误与误区提示
总结学生在计算过程中可能出现的错误和误区，如忽略倾斜45度的边、计算边界上格点数目时出错等。针对这些问题，给出正确的解题方法和建议。
06
课堂小结与拓展延伸
本节课知识点回顾总结
格点多边形的定义
回顾格点多边形的定义，强调顶点均位于格点上的特点。
面积计算公式的推导
回顾格点多边形面积计算公式的推导过程，强调公式中各项的意义和计算方法。
格点多边形性质总结
性质1
格点多边形的面积等于其内部格点数加上边界格点数的一半再减
去1。
性质2
格点多边形的面积也可以通过将多边形划分为若干个基本图形（如矩形、梯形等），然后分别计算各基本图形的面积并求和得到
。
性质3
如果一个格点多边转换法
将格点多边形转换成其他已知面积的多边形，如矩形、三角形等，再利用公式求解。
转化法：将复杂图形转化为简单图形求解
平移法
通过平移格点多边形使其变为规则多边形，便于计算面积。
旋转法
将格点多边形绕某点旋转一定角度，使其变为易于计算面积的图形。
03
典型例题分析与解答过程展示
例题一：规则格点多边形面积计算
02
格点多边形面积计算方法论述

格点多边形面积计算公式

格点多边形面积计算公式格点多边形面积计算公式在计算机图形学中，格点多边形是由连接在坐标点上的直线段组成的多边形。

计算格点多边形的面积是一个常见的问题，下面列举了相关的计算公式，并通过例子进行解释说明。

1. 单纯形面积法单纯形面积法是计算任意给定n个点所构成的多边形面积的一种方法，其中n至少为3。

该方法通过将多边形分割为若干个三角形，并计算各个三角形的面积之和来求得总面积。

计算公式如下：S=∑1 2n−2i=1(x1y2+x2y3+x3y1−x1y3−x2y1−x3y2)其中(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)代表相邻的三个点的坐标。

例如，对于一个三角形，顶点坐标分别为(2,3),(4,1),(6,2)，根据单纯形面积法，我们可以计算如下：S=12(2⋅1+4⋅2+6⋅3−2⋅2−4⋅3−1⋅6)=12(2+8+18−4−12−6)=3因此，该三角形的面积为3。

2. 格点计数法格点计数法是一种更为直观的计算格点多边形面积的方法，其基本思想是通过计算多边形内部的格点数量来近似计算出多边形的面积。

计算公式如下：S=N+B2−1其中N代表多边形内部的格点数量，B代表边界上的格点数量。

举个例子，假设我们有一个正方形，边长为4，其中内部有一个格点。

根据格点计数法，我们可以计算如下：N=1,B=16S=1+162−1=8因此，该正方形的面积为8。

3. 区域填充法区域填充法是一种更为精确的计算格点多边形面积的方法，它通过将多边形的内部分成若干个包含整数顶点的小单元，然后计算这些小单元的面积之和来求得总面积。

具体的计算步骤如下：1.将多边形的边界上的格点标记为1，内部的格点标记为0。

2.对于每个包含多边形内部的小单元，统计其中1的个数，并将其除以单元的面积得到该小单元的面密度。

3.将所有小单元的面密度相加得到多边形的面积。

由于区域填充法相对复杂，这里就不再详细展示示例。

以上就是三种常见的计算格点多边形面积的方法，可以根据具体情况选取适合的方法进行计算。

格点面积公式

面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1。

设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。

格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。

相关信息：
1、格点多边形的面积必为整数或半整数（奇数的一半）。

2、格点关于格点的对称点为格点。

3、格点多边形面积公式：设某格点多边形内部有格点a个，格点多边形的边上有格点b个，该格点多边形面积为S，则根据皮克公式有S=a+b/2-1。

4、格点正多边形只能是正方形。

5、格点三角形边界上无其他格点，内部有一个格点，则该点为此三角形的重心。

格点法求面积的公式

面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。

格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。

格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。

1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。

这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。

2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。

高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。

初中数学精品课件：《格点多边形的面积计算》

课题学习
格点多边形的面积计算
如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形.
1.怎么计算格点多边形的面积？ 2.有没有更简便的方法呢？ 3.格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界上的格点数有没有关系呢？
记S表示格点多边形的面积，a表示格点多边形内的格点数，b表示格点多边形边界上的格点数.
3
4
3
5
3
6
3
7
模型：S=0.5b+2
④ 面积S
4 4.5 5 5.5
内部格点数a
0每 1增 2加
1 3
边界格点数b b b b b
面积S
S=0.5b-1 增 S=0.5b 加 S=0.5b+1 1
S=0.5b+2
归纳：S=a+0.5b-1（其中S表示格点多边形的面积，a表示格点多边形内的格点数，b表示格点多边形边界上的格点数.）
0
8
模型：S=0.5b-1
④
面积S
0.5 增
加
10 1.5 . 35
活动二当a=1时，请你作出三至四个边界格点数不同的格点多边形，再进行归纳、猜想和建模.
温馨提醒：你可以先暂停一下，等你在你的方格纸上做出了符合要求的格点多边形，再开始观看.
①
②
③
④
图形序号 ① ② ③ ④
内部格点数a 边界格点数b
1
4
1
5
1
6
1
8
模型：S=0.5b
面积S 2 2.5 3 4
活动三当a=2时，请你作出三至四个边界格点数不同的格点多边形，再进行归纳、猜想和建模.

(导学案)课题学习格点多边形的面积计算

第4章平行四边形格点多边形的面积计算【教学目标】知识与技能掌握格点多边形的概念，并会用它来判断是否是格点多边形，过程与方法通过对格点多边形面积的分析，让学生经历观察、实验、猜想、求证的数学活动，初步发展推理能力和归纳能力。

情感、态度与价值观学会用实验的方法来解决一些数学问题，获得解决问题的成功经验，提高学生学好数学的自信心。

【教学重难点】重点：难点：在格点多边形面积计算公式的确认过程中，运用控制变量法进行数学实验。

【导学过程】【情景导入】房子外面的马赛克留下了污渍，外墙清洗工需要根据污渍的面积来购买洗涤剂，你能帮帮我们的清洗工吗？已知墙面上粘贴的马赛克的规格是1cm*1cm，缝隙长度可以忽略不计。

图1-1（设计意图：马赛克是生活中较为常见、使用较广泛的一类装修材料，选取马赛克作为本课的切入点，体现了我们的数学来源于生活。

前两种情况是三角形和正方形问题，可以直接利用面积公式解决，班级学生基本上都能独立完成，第三个图虽然是个三角形问题，但是不能用面积公式来直接计算，但是也有不少学生能够想到用割补法中的补解决。

第四个图形割法补法均适用。

以一个简单的生活现象入手，轻松将学生带入格点多边形的面积计算。

）【新知探究】向学生介绍格点多边形的概念：各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形，称为格点多边形。

提出疑惑：1、格点多边形的面积与其覆盖的格点数目是否有关？2、多边形的格点从分布位置来看有哪几类？前面所涉及的马赛克中的图形只是一种特殊的格点多边形，在此特向学生讲授格点多边形的定义，旨在让学生了解它的概念，并引导学生提出格点与面积是否有关这一问题。

数学实验记格点多边形内部的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积记为S。

探究S与a、b之间的关系。

再次分析马赛克问题时，我们不易发现他们之间的关系。

通过观察表格中的结论，引导学生发现，当a相等时，b不相等，那么所得多边形的面积也不一样；当b相等，而a不相等时，所得多边形的面积也不一样；只有当a、b均相等时，才能保证，多边形面积S相等。

《格点多边形的面积计算》课件 2025届部编版初中数学中考一轮复习

a的取值 a=0 a=1 a=2 a=3 a=4 a=5
S与b的数量关系
S 1b1 2
S 1b 2
S 1b1 2
S 1b2 2
S 1b3 2
S 1b4 2
猜想S与a，b的数量关系
S 1ba1 2
归纳推理从特殊到一般
验证猜想
格点多边形的面积S，与其内部格点数a，以及边界格点数b的数量关系：
猜想：S 1 b a 1 2
E
E
E
B
B
B
C
D
C
D
C
D
补形
分割
S 15 2 1 3 1 10 S 6 11 2 10 22
你能通过这个格点多边形，来验证你的猜想吗？
验证猜想 b 8，a 7 S 1 b a 1 10
2
追溯历史
奥地利数学家皮克（G.Pick，1859~1942）
序号
① ② ③ ④ ……
边界格点数b
……
面积S
……
作图区域（画多边形）
合作实验
内部格点数a=___
序号
① ② ③ ④ ……
边界格点数b
……
面积S
……
在直角坐标系中画出当a=___时， S关于b的图象：你能求出此时S关于b的函数表达式吗？
作图区域（画多边形）
归纳猜想
格点多边形的面积S，与其内部格点数a，边界格点数b的关系
S 1b 2
待定系数法
画多边形填表画函数图象判断函数类型求表达式
合作实验
以小组为单位，探究假设a为某一固定值时，S与b满足的关系式，为方便研究，我们不妨取a=0，2，3，4，5．小组项目合作提示：

格点多边形的面积公式

格点多边形的面积公式
我们要找出一个格点多边形的面积公式。

首先，我们需要了解什么是格点以及如何用数学模型表示格点多边形。

假设我们有一个格点多边形，它的顶点都在格点上，也就是整数点。

我们可以用一个向量来表示多边形的每一边，这个向量的两个分量都是整数。

假设多边形的顶点坐标为 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。

每条边的向量可以表示为 (xi+1-xi, yi+1-yi)，其中 i 从 1 到 n-1。

多边形的面积可以用以下公式计算：
面积= (1/2) × (x1-x2) × (y2-y1) + (x2-x3) × (y3-y2) + ... + (xn-xn-1) × (yn-yn-1)
这个公式基于多边形面积的几何定义，并利用了向量叉积的性质。

对于顶点坐标为 (0, 0), (3, 0), (0, 4) 的多边形，其面积为：
6。

格点多边形的面积计算

格点多边形的面积计算方法一：直接计算法直接计算法是最简单的计算格点多边形面积的方法，它基于平行坐标轴的直线与多边形相交的方法。

假设我们有一个以原点为起点的多边形，该多边形的边界由一系列的点组成，每个点的坐标都是整数。

我们可以将原点与多边形上的每个点分别与x轴和y轴构成的直线相交，得到一系列的交点，将这些交点连成一个新的多边形，它的面积就是我们要计算的格点多边形的面积。

具体的计算步骤如下：1.对于多边形中的每个顶点，分别将其与x轴和y轴构成的直线相交，并得到交点的坐标。

2.将这些交点按顺时针或逆时针的顺序依次连接起来，得到一个新的多边形。

3.使用新的多边形的顶点坐标计算其面积，可以使用多边形面积计算公式。

这种方法的优点是简单易懂，但是需要较多的计算步骤。

方法二：Shoelace公式Shoelace公式是一种通过顶点坐标计算多边形面积的方法，它适用于任意多边形的计算。

具体的计算步骤如下：1.将多边形的顶点按顺时针或逆时针的顺序依次标记为P1，P2，...，Pn。

2. 根据顶点的坐标，计算每一相邻顶点之间的乘积，即(x1y2+x2y3+...+xn-1yn+xny1)-(x2y1+x3y2+...+xnyn-1+x1y1)。

3.以绝对值的形式累加所有的乘积，得到的结果除以2即为多边形的面积。

例如，对于一个三角形ABC，顶点A的坐标为(x1,y1)，顶点B的坐标为(x2,y2)，顶点C的坐标为(x3,y3)，则多边形的面积可以通过以下公式计算：(x1y2+x2y3+x3y1)-(x2y1+x3y2+x1y3)/2该方法的优点是计算步骤相对较少，适用于任意多边形。

方法三：Pick定理Pick定理是一种用于计算格点多边形面积的方法，它基于格点多边形的顶点和内部格点数量之间的关系。

具体的计算步骤如下：1.统计格点多边形内部的格点数量，其中格点的定义是坐标为整数的点，不包括多边形的边界上的点。

2.统计格点多边形边界上的格点数量，其中格点的定义是坐标为整数的点。

正方形格点阵中多边形面积的计算公式

正方形格点阵中多边形面积的计算公式在正方形格点阵中，如果要计算多边形的面积，可以使用Pick定理或Shoelace定理两种方法。

1. Pick定理：Pick定理是一种用于计算多边形面积的简单而直观的方法，适用于多边形的顶点坐标都是整数的情况。

Pick定理的公式如下：面积=内部格点数+边上格点数/2-1其中，内部格点数表示多边形内部的格点数，边上格点数表示多边形边上的格点数。

假设我们有一个正方形格点阵，边长为a。

我们需要计算一个有n个顶点的多边形的面积。

首先，我们可以通过计算内部格点数和边上格点数来应用Pick定理。

内部格点数可以通过计算多边形内部的数量来获得。

画出多边形的边，可以看到多边形内部的格点数为S = a-2，即正方形的边长减去两个。

边上格点数可以通过计算多边形的边界格点数来获得。

每个边上有a个格点，因此多边形的边上格点数为n*a。

将这些值代入Pick 定理的公式，即可计算多边形的面积。

2. Shoelace定理：Shoelace定理是一种更普遍适用的方法，适用于多边形的顶点坐标可以是任意实数的情况。

Shoelace定理的公式如下：面积 = ，(x1*y2 + x2*y3 + ... + xn*y1) - (y1*x2 + y2*x3 + ... + yn*x1)， / 2其中，(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) 是多边形的顶点坐标，按逆时针方向排列。

假设我们有一个正方形格点阵，边长为a。

我们需要计算一个有n个顶点的多边形的面积。

首先，我们可以计算出多边形每个顶点的坐标。

对于正方形格点阵，每个格点的坐标可以表示为(i, j)，其中i和j分别为行和列的索引。

我们可以将顶点坐标代入Shoelace定理的公式，从而计算多边形的面积。

需要注意的是，Shoelace定理的公式中的坐标需要按逆时针方向排列，以确保计算的结果为正。

综上所述，对于正方形格点阵中的多边形面积的计算，我们可以采用Pick定理或Shoelace定理两种方法。

正方形格点阵中多边形面积的计算公式

（N+L -1） X 单位正方形面2正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题. 通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题.1 •如图6-1，每一个小方格的面积都是I 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式: 积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数.有N=4, L=7,贝U 用粗线围成图形的面积为：（4+7-1 ） X 仁6.5（平方厘米）2方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有① =3-2=1.5，②=2- 2=1，③=2- 2=1，④=2 - 2=1，⑤=2- 2=1，⑥=2- 2=1,还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+1+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16,所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米.【丙容概述】觀題级数；4［車2.如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD勺面积是多少平方厘米？【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L-2）x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=9, L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（9 X 2+4- 2） XI =20（平方厘米）.方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4,所以①部分的面积为2, ②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2, 8, 6,所以②、③、④部分的面积分别为1, 4, 3•所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20（平方厘米）.㉚脚热锚降碍Wfl” r.』-J . - f ■ ■ * ■ - J * ■北京市第十工届“迎春杯”数学竟瑶*决赛第一题第3題3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几？第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几？120【分析与解】如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置.设整个七巧板组成的正方形的边长为 1,显然整幅图形的面积为1,且有第2块的面积为 1 X - X -=-.2 2 2 81有S 3=S 4 , S 2=S 5 = S 7=2S 3，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为；，所以S 4=S 长方形IGFB ,S7=8.1 團6 - 4i所以第2块板的面积等于整幅图面积的8，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的i；+8=i：120 块小正三角形的面积为1,所以每块为'，那么原来的正三角形由81块小正三4 .把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形.再将这个六角形的各个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形.如果这个图形面积是1,那么原来的正三角形面积是多少？【分析与解】方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形.角形组成，其面积显然为2740方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A B C三种，设A形正三角形面积第五届“华罗庚金杯'■少年数学邀请赛•决赛口试第4题为“ 1在图6-5中，A种、B种、C种正三角形的个数依次为1, 3，12,所以图6-5中图形的面积为1+3X 1 +12X 1 =40•所以有“ T对应27，而原来的正三角形即为三角形A,所9 81 27 40以原来的正三角形的面积为27 .405.如图6-6，正六边形ABCDE的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P 是EF中点•问：三角形MNP勺面积是多少平方厘米？图6-6【分析与解】如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF 包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形.正六边形ABCDE的面积为6,所以每个小正三角形的面积为6十24」，所以三角形MNP41的面积为9X丄=2.25（平方厘米）•4@@级数：卓車-第四届“小学数学报”数夢覚赛*决赛境空题第于题6 .把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形•已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米？Ef 6-7 Sti-S【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为29412=24.5,所以原正三角形的面积为24. 5X 25=612.5（平方分米）.而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612. 5-49X 16=200（平方分米）.魏钱级数:車車!992年全国小学数学奥林匹克•初赛C奪第7题7.图6-9是5X 5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点.请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么所围图形的面积是多少平方厘米？【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小.如下切法得到的七边形的面积最大，为 25-3X0.5=23.5（平方厘米）.翁鞭级数：車*8 .在图6-10中，三角形ABC 和DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长9 厘米，CF 长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】方法一：如图（a 12个完全一样的小等腰三角形.△ ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，S_ABC =9X 9-2=40.5（平方厘米），所以阴影部分的面积为40. 5-9X 6=27（平方厘米）.方法二：如图（b ），连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3厘米），所以 1 1 DG = DF-FG =9-3=6厘米），于是 S_HIG = X S 正方形 AIGD = X 6 =9.4 4而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG 二厘米）,GF=3（厘米），所以S长方形IGFB =6X 3=18. 阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27（平方厘米）.方法三：如图（C ），为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母.易知三角形BIE 、CGF AIH 、DGH 匀为等腰直角三角形.先求出等腰直角三角形 AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形 ABC 的面积与其作差, 即为需求阴影部分的面积.有 S_ABC =S DEF =1 X EFX DF=81，S CGF =1 X CFX FG=9 .2 2 2 2因为 CF=FG=3 所以 DG=DF-FG=6【分析与解】我们只用先求出四边形的面积和，即为所求阴影部分的面积.ADFO 勺面积，再将其减去两个三角形AEO EFD而四边形ADFO 勺面积等于两个三角形AOD ODF 的面积和. 如图（d ），可以将4个三角形DGK 成一个边长为DG 的正方形.1所以，S_ACD S DGH = / X DG< DG=9,而 S A I H = S DGH =9 ,4S_ABC - S C GF - S A IH =81 - 9-9=27（平方厘米）•2 2即阴影部分的面积为27平方厘米.9.如图6-11，在长方形ABCD 中, 0是长方形的中心，BC 长20厘米，AB 长12厘米, DE=4AE CF=3DF那么阴影部分的面积是多少平方厘米？由题意知 AE=4 ED=16 DF=3 FC=91 1有 S 十 4S 矩形ABCD = 4 X 20X 12=60,_ ____ 1 111 S_O DF = X DFX( AD)= X 3X X 20=15. 一 24 2 2A S_AE O = - X AEX(丄 AB)=丄 X 4X 1 X 12=12, 2 2 2 2图（小图 6- 11S EFD = 1 X EDX DF=1 X 16X 3=24.2 2有S阴影=(S AOD +S ODF)-S AEO-S EFD=60+15-12-24=39(平方厘米).即阴影部分的面积为39平方厘米.翩生全国小学数学奥托匹克•决赛B卷第咅题10.如图6-12，大正方形的边长为10厘米•连接大正方形的各边中点得小正方形, 将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【分析与解】如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A、B两种三角形.其中含有A形三角形8个，B形三角形16个，其中阴影部分含有A形三角形4个，B 形三角形8个.所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的1，即为1 X10X 10=50（平方厘米）.2 211 .如图6-13，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD勺对角线相交于0,三角形AOE的面积比三角形BOD勺面积小16平方厘米，则梯形AEBD勺面积是多少平方厘米？【分析与解】如下图，将梯形AEBD内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④.在梯形AEBD中,有厶EBD △ ABD同底等高，所以有S EBD=S ABD，即③+②二①+②.显然有①=③.由题意知S BOD-S AOE =16，即②-④=16，于是有（①+②）-（③+④）=16 .已知①【分析与解】S 平行四边形 C D E =DC < BC=X7 .2=36 ，1+②二 S_ABD =； X 8X 8=32,所以③ +④=（① +②）-16=16 .所以有S 梯形AEBD =（①+②）+（③+④）=32+16=48（平方厘米）.评注：在任意梯形ABCD 中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、 “下”、“左”、“右”，有：左=右；左乂右=上乂下；上：下=AD 2 : BC 2 .觀⑥级数：車車1994年全国小学数学奥林匹克•决赛民族卷第2题12.如图6-14 , ABCD 是长方形，长 AD 等于7.2厘米，宽AB 等于5厘米，CDEF 是平行四边形.如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？HC=BC-BH=7.2-3=4.2 所以1 1 S_CDH =— X CDK HCh X 5X4 .2=10.5 .22S 阴影=S 平行四边形CDEF - S_ CDH =36-10.5=25.5（平方厘米）.般國级数二*車車1期年全国屮学数学奥林匹克*块赛第石题13 .如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少？图 6-14【分析与解】腰直角三角形，有将AD EC=DC而/ ECD =45,/ EAB=90，所以△ ABE也是等腰直角三角形，有EA=AB1 49 1 9=1 X ABX EA= ，S_EDC= ' X ECX DC=9 ./ ECD=90，所以△ CDE为等2249L ABE - S L EDC9 =20.2觀边级瓶車拿車1旳4年全国小学数学奧林匹克，初赛B 卷第10题14.图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”.梯形的上底长 1.5米, A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为丢米.那么图中阴影部分的面积是多少平方米？【分析与解】方法一：为了方便叙述. 母.延长AB 交正方形边EF 于H 点，我们先求出梯形JICK 与正方形IFEC 的面积和，再求出三角形AFH 与梯形AHEM 面积和，将前者与后者做差所得到的值即为所的面积.1S 梯形JICK =2 X (1.5+1) X0.5=0.625， S 正方形|FEC =1 X 仁1. ----- 1 1111=2有 S 四边形ABCDB将图 6-16 下图中一些点标上字求阴影部分&24（平方米）.阴影部分面积为S AJI+ S AKC +S AIF +S ACD=0.75X0.5-2+Q 75XO. 5-2+1 XO.5-2+- X0.5-23=0.1875+0.1875+0.25+1 121111S 梯形AHED二一X (AH+DE% HE 二一X (AB+BH+C6CD)X( 一FE)= _ X2 22 21113(0.5+1+1-1 ) X(1X 1)= 13 .3 224有 S 阴影 X S 梯形 JICK +S 正方形 IFEC - S _AFH - S 梯形 AHED =0.625+1-0.375-17即阴影部分的面积为平方米.24方法二：如下图，连接AI 、AC 将阴影部分分成四个部分.△ AJI 可以看作以AJ 为底，AB 的长为高的三角形；△ AKC 可以看作以AK 为底，AB 的长为高的三角形；△ AJF 可以看作以IF 为底，IB 的长为高的三角形；△ ACD 可以看作CD 为底.CB 的长为高的三角形.17办（平方米）觀镀级熱卓車車車第十贮生賓庚金杯初少年数学邀请赛•决赛一试第5题1 6515.从一块正方形木板锯下宽为1米的一个木条以后，剩下的面积是型平方米.问锯218下的木条面积是多少平方米？【分析与解】我们画出示意图（a），则剩下的木块为图（b），将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图（c）.我们称AB为长，AD为宽，有长与宽的差为丄，所以图（c）中心的小正方形边长为丄2 2 于是大正方形AEHK勺面积为65 X4+34 X 1 =529=23 x 23，所以AK长为23.18 2 2 36 6 6 623 1 13 13即,长+宽=23，已知：长-宽=1，得长=13，于是锯去部分的木条的面积为136 2 6 6 3=13=1 1（平方米）.4 12 2。

课题学习格点多边形的面积计算-浙教版八年级数学下册教案

课题学习格点多边形的面积计算-浙教版八年级数学下册教案一、教材解析在《浙教版八年级数学》下册中，第十一章节《坐标系与直线》中的第四节内容为《格点图形与面积计算》。

其中，掌握计算格点图形面积的方法是十分关键的。

本节涉及的知识点有：平移、旋转、坐标轴对称和计算格点图形面积的简单方法。

二、教学目标通过本节课学习，学生应该能够掌握以下内容：•了解格点图形的定义•认识格点图形的基本变换（平移、旋转和对称）及其性质•掌握计算格点图形面积的简单方法三、教学重点•认识格点图形的基本变换及其性质•掌握计算格点图形面积的简单方法四、教学难点•计算格点图形面积的简单方法五、教学内容及过程5.1 引入新知识通过展示一些图形，引导学生思考如何计算这些格点图形的面积。

5.2 认识格点图形1.引导学生看图，询问学生这些图形都有什么共同之处？2.介绍格点图形的定义，即图形上每个点都是整点。

5.3 认识格点图形的基本变换1.平移变换：介绍平移变换的定义，并通过实例演示平移变换的方法。

2.旋转变换：介绍旋转变换的定义，并通过实例演示旋转变换的方法。

3.对称变换：介绍对称变换的定义，并通过实例演示对称变换的方法。

5.4 计算格点图形的面积1.引导学生看图，询问学生如何计算图形面积。

2.介绍简单的计算格点图形面积的方法，即：用直角坐标系画出图形后，计算顶点所围成的小矩形的面积之和，并根据题目给定的单位换算成所需单位。

六、教学反思通过本节课学习，学生对于格点图形的基本变换及其性质以及计算面积的简单方法应该都有了一定的认识和理解。

在后续的课程中，教师可以上升一步，让学生学习如何利用反演计算格点图形的面积，提高学生的数学思维能力和实际计算能力。

正方形格点阵中多边形面积的计算公式

正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．1．如图6-1，每一个小方格的面积都是：正方形格点阵中多边形面积公式：为图形内格点数，L为图形周界上格点数．，则用粗线围成图形的面积为：②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面16-9.5=6.5平方厘米．2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?【分析与解】设整个七巧板组成的正方形的边长为块板面积和为整幅图面积：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三，所以每块为1120，那么原来的正三角形由中的三角形分成A、B、两种正三角形的面积依次为“19”、“181种正三角形的个数依次为1，3．所以有“1”对应2740，而原来的正三角形即为三角形5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6分成大小、形状相同的三角形，包含有9个小正三角形．6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若【分析与解】在图个小正三角形，而阴影部分含有个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为所以原正三角形的面积为5×25=612.5(平方分米而在图6-8中，原正三角形被分成块，所以阴影部分的面7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形个角可以得到一个六边形，切去3×0.5=23.5(，将原题中图形分为12个完全一样的小等腰三角形．其中阴影部分占SABC=9×9÷2=40，所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方厘米方法二：DG=DF-FG=9-3=6(SHIG =14×有BF=AD=DG=6(方法三：如图(C)，为了方便叙述，将图中某些交点标上字母．易知三角形BIE、CGF、AIH先求出等腰直角三角形AHI再用已知的等腰三角形ABC的面积与其作差，即为需求阴影部分的面积．SABC =DEFS=12×EFCGFS=12×CF×FG=因为CF=FG=3，所以ACD S DGH S =14A I H S =DGH S =9，S ABC -CGF S -AIH S =812 -92-9=27(即阴影部分的面积为ADFO 的面积，再将其减去两个三角形AOD 、ODF 的面积和． AOD S =14S 矩形ODF S =12×DF×(AEO S =12×AE×(EFD S =12×ED×DF=有S 阴影=(AODS +ODFS)-AEOS-EFDS=60+15-12-24=39(10．如图6-12，大正方形的边长为10将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影如下图，我们将大正方形中的所有图形分成个，其中阴影部分含有厘米的正方形，梯形16平方厘米，则梯形个三角形的面积分别记为①、②、③、④．同底等高，所以有EBDS =ABDS，即③+②=①+②．B O DS-AOES=16，有(①+②)-(③+④)ABD S=12×8×8=32，所以③+④=(①+②)所以有S 梯形中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、2．12．如图6-14，ABCD 是长方形，长AD 等于HC=BC-BH=7.2-3=4.2，所以CDH S =12×CD×HC=S 阴影=S 平行四边形-CDHS =36-10.5=25.5(13．如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少?延长交于E ，有∠EDC=45°，∠°，所以△ABE 也是等腰直角三角形，有ABE S =12×AB×EA EDC S =12×EC×DC=ABCD S 四边形=ABE S -EDC S =492-92=20．14．图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，将前者与后者做差所得到的值即为所AFH S=12×AH 0.5+1)-（12×1）=0.375AFH S-AHED S 梯形平方米．AJI S +AKC S +AIF S +ACD S=0.75×0.5÷2+O .75×O .5÷2+l×O .5÷2+115．从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，为宽，有长与宽的差为12，所以图(c)中心的小正方形边长为×4+12×12=52936=236×236，所以AK长为。

格点多边形面积公式的探索教学设计

格点多边形面积公式的探索教学设计一．内容分析本节课主要研究多边形面积计算公式，是小学奥数的重点内容之一。

本节内容中的探索过程在实际生活中有着广泛的应用。

一方面，计算不规则多边形面积的方法与以前所学的规则图形面积的计算方法有密切的联系；另一方面，学会探索又为进一步为学习数学归纳法和类比思想做好了准备。

同时也是培养学生数学能力的良好题材。

学习过程中要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决探索过程中的一些问题。

格点多边形是学生探究不规则多边形的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是方法上都具有积极地意义。

二、教学目标知识与技能：理解格点多边形的定义，掌握求格点多边形面积的一般方法；过程与方法：1、培养学生观察能力；2、进一步提高学生推理、归纳能力；情感与价值观：1、体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神；2、渗透函数的数学思想；3、培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识；四、教学重点格点多边形面积公式的理解与探索过程五、教学难点格点多边形面积公式的探索过程六、教学方法：启发式教学启发学生逐步发现格点多边形特点及探索出格点多边形面积计算公式七、教学手段计算机多媒体教学平台与板书结合八、教学程序（一）问题情境先向同学们解释格点多边形的定义：用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子, 小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点的多边形叫格点多边形在格纸上画几个规则的多边形（如正方形，矩形，梯形）让同学们讲述如何计算它们的面积。

即数出长，宽等之类后用面积计算公式计算，先埋下伏笔：长，宽都与内点和外点数有关。

进而讲不过则多边形，引导学生们将出计算方法：①分割成规则图形。

②数格子。

（二）引入新课1、直接引入主题以上方法繁琐，继而引导学生一起探索简便的格点多边形面积计算公式。

一．下图的4个格点多边形, 其内部都只有一个格点，请计算它们的面积，并完成下面的表格。

格点多边形的面积计算-课堂导学案

《格点多边形的面积计算》课堂导学案
一、若任意两条平行线间距离为1，求这个格点多边形的面积.
二、探究格点多边形的面积
请分别计算下图格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为_______________.
当N=0时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=0时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
探究2
当N=1时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=1时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
当N=2时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=2时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
探究4
当N=3时，请计算下图的4个格点多边形的面积，并完成下面的表格.
从表格中，当N=3时，面积s与各边上格点的个数和L之间的关系为__________.
归纳总结：
观察分析上述4种情形下面积s与各边上格点的个数和L之间的函数关系；当格点多边形内部有N个格点时，s与L，N之间满足等量关系为：
——————————————————
三、格点多边形面积公式的应用
1、求下图的面积：
2、下图中每个小正方形的边长为1，A、B、C三点都在格点上，求点C到线段AB的距离.
拓展延伸：
如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?。

(课件)课题学习格点多边形的面积计算

①
②D
A
B
D
当 a=2 时， S 与b之间又有什么关系呢？
C③
④
活动四
如图①②③都是满足条
件 a=3 的格点多边形，请填写表格：
A
A
D
B
C
5
3
6
4
3
4
4.5 3
5
D
D
C
①
②B
A
D B
当 a=3 ， S 与 b 之间的关系又发生了怎样的变化呢？
C③
④
猜测归纳
a＝０ a＝１ a＝２ a＝３
亲爱的某某：
今天我们探索了格点多边形面积的计算公式，在这节课上，我学会……
某某
1.如果每相邻的四个点构成的小矩形的面积是1，那么还能用“皮克公式〞来求多边形的面积吗？
2.如果每相邻的三个点构成的小等边三角形的面积是1，那么还能用“皮克公式〞来求多边形的面积吗？
再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。
结论应用
E B
C
D
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为a，它的边上的格点数为b，利用S与a,b三者之间的关系，验证皮克公式！
情境重现
a=17；b=15，红色多边形的S较大？ a=16；b=17，黄色多边形的S较大？
看谁算得快
求以下图案围成区域的面积〔图中水平和竖直相邻两点之间的距离均为1〕
④
活动二
如图①②③都是满足条
件 a=1 的格点多边形，请
填写表格：
D
AD
A
C
C
2
1
4
2.5 1

八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计

八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解格点的概念，掌握格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点；
2.学会利用格点计算多边形面积的方法，特别是不规则多边形的面积计算；
3.能够运用三角剖分、拼凑等方法将复杂多边形转化为简单多边形，从而求解其面积；
4.掌握计算多边形面积的公式，如海伦公式、向量叉乘等，并能够灵活运用；
教学活动：使用多媒体动画演示格点多边形的形成过程，结合实物模型，让学生直观地理解多边形的构成。
3.设想三：采用分组讨论、合作探究的方式，引导学生发现并总结多边形面积计算的方法。
教学活动：设计具有挑战性的问题，让学生分组讨论、合作探究，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队协作能力。
4.设想四：设计丰富的例题和练习，巩固提高作业：选取一道生活中的实际问题，如测量不规则地块的面积，运用所学知识进行计算，并撰写解题报告。报告内容包括问题背景、解决方法、计算过程和结果。
3.创新作业：鼓励学生尝试编写一个程序（如使用Scratch、Python等编程语言），实现格点多边形面积的计算。此作业旨在培养学生的编程兴趣和跨学科综合运用能力。
（二）讲授新知
1.教学活动一：讲解格点的概念及基本性质
从定义入手，详细讲解格点的概念，并通过示例说明格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点。
2.教学活动二：介绍多边形面积计算方法
以具体的图形为例，讲解如何利用格点计算多边形面积，特别是不规则多边形的面积计算方法，如三角剖分、拼凑等。
3.教学活动三：推导面积计算公式
3.教学活动三：小组代表展示讨论成果
每个小组选派一名代表，展示他们的讨论成果，分享解题思路和经验。

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