江苏省扬州市仪征中学、江都中学2020-2021学年高二上学期期中联考试题 数学含答案

三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 准线方程为 ඈ 的抛物线的标准方程是 ▲ .
ඈ
14. 设双曲线 ▲.
ඈ
ඈͳ
ܾ 的一条渐近线方程为
ඈ ，则该双曲线的离心率为
ඈ
-2-
15. 在等差数列 中，满足 ܾ，且
，则 ͳ ͳ 的最小值为 ▲ . ඈ
16. 一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元 5 世纪)的数学著作《孙子算经》 卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数
数列
1 Sn
的前
n
项和为1
1 2
1 2
1 3
1 n
n
1
1
1
n
1 1
，
故 Tn
2n1
2
1
1 n 1
2n1
1 n 1
1 ．…………………………10
分
选③由 an1 n 1 ，得 an1 an ，所以 an a1 ，
an
n
n1 n
n1
即 an a1n ， S7 7a4 28a1 56 ，
两式相减得 an1 2an 1，所以 an1 1 2an 1 （ n 2 ），
因为 a1 0 ，所以 a1 1 1， a2 a1 1 1， a2 1 2a1 1 .
所以an 1 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.
…………………………4 分
（2）由 bn
n an
1
，又由（1）可知
(▲)
4. 已知等比数列 an 满足 a1 3, a1 a3 a5 21, 则 a3 a5 a7
A．21
B．42
C．63
D．84
(▲)
5. 若不等式 2kx2 kx 3 0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为
(▲)
8
A. 3,0
B． 3,0
C. 3,0
D． 3,0
所以 a1 2 ，所以 an 2n ， Sn n2 n ．
设数列bn 的公比为 q，又因为 a1 2 ， a2 4 ，
由 b1
a1 ， b2
a1a2 2
，
得 b1 2 ， q 2 ，所以 bn 2n ．…………………………5 分
数列
bn
的前 n 项和为 2 2n1 2n1 2 ， 1 2
(▲)
D． b 0
2.
在数列an 中， a1
1, an
2
(1)n an1
(n 2) ，则 a3 =
A． 0
5
B．
3
7
C．
3
(▲)
D． 3
3. 已知命题 p : n N ， 2n n ，则 p 是
A． n N ， 2n n
B. n N ， 2n n
C. n N ， 2n n
D. n N ， 2n n
10．下列不等式成立的是 A．若 a＜b＜0，则 a2＞b2
C．若 a＞b，则 ac2＞bc2
(▲)
B．若 ab＝4，则 a＋b≥4
D．若
a＞b＞0，m＞0，则
b a
b a
m m
11．设an n N 是等差数列，d 是其公差， Sn 是其前 n 项和．若
，
则下列结论正确的是
A．d<0
B． a7 0
21.（12 分）已知 O 为坐标原点，椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的离心率为
3， 2
双曲线 x2 y2 1 的渐近线与椭圆 C 的交点到原点的距离均为 10 .
4
2
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若点 D, M , N 为椭圆 C 上的动点， M ,O, N 三点共线，直线 DM , DN 的斜率分别为
a2 1 a (a 1)2 3 0 24
p 是 q 的充分不必要条件， A
B x a x a2 1 …………………5 分
B
…………………………6 分
a 1
a
2
1
3
等号不能同时成立
…………………………8 分
解之得 a 2
…………………………10 分
18.选①当 n 1 时， a1 S1 2 ，当 n 2 时， an Sn Sn1 2n ，
an
2n1
1，得 bn
n 2n1
，从而 Tn
m
9 2 2an
，
即1
2 2
3 22
n 2n1
m
9 2n
，
因为 Tn
1
2 2
3 22
n 2n1
（1）若 a 1, 求集合 B； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
18．（12
分）在① Sn
n2
n ，② a3
a5
16 且
S3
S5
42 ，③
an1 an
n
n
1
且
S7
56 ，
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，数列bn 为等比数列，_________， b1 a1 ，
-5-
数列
1 Sn
的前
n
项和为1
1 2
1 2
1 3
1 n
n
1
1
1
n
1 1
，
故 Tn
2n1
2
1
1 n 1
wenku.baidu.com
2n1
1 n 1
1．
…………………………10 分
选②设数列an 的公差为 d，由 a3 a5 16 ， S3 S5 42 ，
得
82aa11
6d 16 13d 42
，
解得
a1 d
6.
设命题
p:
x 1 x2
0, 命题 q : (x 1)(x 2) 0, 则命题
p
是命题 q 的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(▲)
7. 一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵。现在从每行中选出一个最高的，
再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为 h(高中矮)；然后从每列中选出一个最矮的，
2 2
，所以
an
2n ，
Sn
n2
n ．…………………………5
分
设数列bn 的公比为 q，又因为 a1 2 ， a2 4 ，
由 b1
a1 ， b2
a1a2 2
，
数列
bn
的前 n 项和为 2 2n1 2n1 2 ， 1 2
1 1 1 1 1 ， Sn n2 n n(n 1) n n 1
之剩三，问物几何? 即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．
设这个整数为 ，当 ∈ ͳ ඈܾඈܾ 时，符合条件的 a 共有 ▲ 个． 四、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10 分） 已知 p : A {x | x2 4x 3 0}， q : B x | x a x a2 1 0
11. ABD
5、D
6、A
12. ABCD
7、B
8、D
13、 ඈ
14、
ඈ
15、
ඈ
16. 135
17. 解：（1）当 a 1 时， B x (x 1)(x 2) 0 x 1 x 2 ………………3 分
（2） A x (x 1)(x 3) 0 x1 x 3
…………………4 分
再 从 这 个 最 矮 的 中 间 选 出 一 个 最 高 的 ， 其 高 度 记 为 h( 矮 中 高 ), 则
(▲)
A．h(高中矮)>h(矮中高)
B．h(高中矮) h (矮中高)
C．h(高中矮)<h(矮中高)
D．h(高中矮) h (矮中高)
8.
已知
A
、B
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左、右顶点，C(0,b) ，直线 l : x 2a 与 x 轴
b2
a1a2 2
．
1 求数列
Sn
bn
的前
n
项和 Tn
．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
19. （ 12
分）设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点分别为
F1, F2
，点
P(a,b)
满足
PF2 F1F2 .
（1）求椭圆的离心率 e ；
（2）设直线 PF2 与椭圆相交于 A、B 两点，若椭圆的长轴长为 4 2 ，求 ABF1 的面积.
交于点 D ，与直线 AC 交于点 P ，且 BP 平分 APD ，则此椭圆的离心率为
(▲)
-1-
1
A．
3
B． 2 3
2
C．
3
D． 6 3
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分．
6 24
得：
5y2 2
6y
8
0
y1
y2
26 5
,
y1 y2
18 5
…………………………9 分
SABF1
1 2
F1F2
y1 y2
2
y1
y2
2 4 y1 y2
16 3 5
………………………12 分
20.解：（1）由 a1 a2 a3 an n an1 ， 得 a1 a2 a3 an1 n 1 an （ n 2 ），
-6-
又e 0,1e 1
2 （2） 2a 4 2 a 2 2又 e 1 c 2
2
b2 a2 c2 6
椭圆的方程为 x2 y2 1 86
AB方程为：y 3x 6
…………………………5 分 …………………………7 分
设
Ax1
,
y1
,
Bx2
,
y2
联立
y 3 x 2
3x 4y2
该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：
销售单价 x （单位：百元） 4
5
6
7
8
日销售量 y （单位：件） 110 100
90
80
70
该产品的进货浮动价与日销售量关系如下表所示：
日销售量 y （单位：件） 120 100
90
60
45
进货浮动价 d（单位：百元） 0.75 0.9
1
1.5
2
（1）分别建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映该商品日销售量 y 与销售单价 x 的关 系 f (x) 、进货浮动价 d 与日销售量 y 的关系 d ( y) ；【注：可选的函数模型有一次函数、二
又 n 1 满足 an 2n ，所以 an 2n ．
设数列bn 的公比为 q，又因为 a1 2 ， a2 4 ，
由 b1
a1 ， b2
a1a2 2
，得 b
2
，q
2 ，所以 bn
2n
，…………………………5
分
数列
bn
的前 n 项和为 2 2n1 2n1 2 ， 1 2
1 1 1 1 1 ， Sn n2 n n(n 1) n n 1
次函数、反比例函数】
（2）运用第一问中的函数模型判断,该产品销售单价确定为多少元时,每件产品的利润最大？
-4-
【注：单件产品的利润 单件售价 进货浮动价 进货固定价 】
2020—2021 学年度第一学期期中联考试题
高二数学参考答案 2020.11
1. A
2、B 3、C 4、B
9. ACD
10. AD
-3-
20.（12 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 0 ， Sn an1 n ， n N* .
（1）求证：数列an 1 是等比数列；
（2）设数列 bn 的前
n
项和为 Tn
，已知 bn
n an
1
，若不等式
Tn
m
9 2 2an
对于 n N*
恒成立，
求实数 m 的最大值.
1 1 1 1 1 ， Sn n2 n n(n 1) n n 1
数列
1 Sn
的前
n
项和为1
1 2
1 2
1 3
1 n
n
1
1
1
n
1 1
，
故 Tn
2n1
2
1
1 n 1
2n1
1 n 1
1 ．…………………………10
分
19. 解：（1） PF2 F1F2
a c2 b2 2c2e2 e 1 0
k1, k2 .
（i）证明： k1k2
1 4
；
（ii）若 k1 k2 0 ，设直线 DM 过点 0, m ，直线 DN 过点 0, n ，证明：m2 n2 为定值.
22.（12 分）某商家销售某种商品,已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进 货固定价为 3 百元,另一部分为进货浮动价,据市场调查,
9．已知曲线 C : mx2 ny2 1 ，则下列结论正确的是
(▲)
A．若 m n 0 ，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上
B．若 m n 0 ，则 C 是圆，其半径为 n
C．若 mn 0 ，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y m x n
D．若 m 0, n 0 ，则 C 是两条直线
C． S9 S5
D． S6与S7均为Sn 的 最 大 值
12. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C: x2＋y2＝1＋|xy| 就是其中之一， 给出下列四个结论，其中正确的选项是( ▲ )．
A. 曲线 C 关于坐标原点对称 B. 曲线 C 上任意一点到原点的距离的最小值为 1 C. 曲线 C 上任意一点到原点的距离的最大值为 2 D. 曲线 C 所围成的区域的面积大于 4
江苏省扬州市仪征中学、江都中学 2020-2021 学年度第一学期高二
期中联考
数学试题
考试范围：不等式, 数列, 常用逻辑用语, 圆锥曲线
一、单项选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．
1. 已知 a b, a b 0, 则下列选项必定正确的是
A． a 0
B． a 0
C． b 0