中考数学复习常见问题与解决方法
中考数学的备考方法和解题技巧
中考数学的备考⽅法和解题技巧如何有针对性的⾼效提分⾄关重要。
中考更像是⼀场竞技赛，除了不断提升⾃⼰，踏实做好训练，更重要的是找准进攻⽅向，知道中考命题规律，同时也要把握好⾃⼰的作战节奏。
好好把握，则马到成功；有所偏离，则功亏⼀篑！⼀、备考⽅法⼤胆取舍——确保中考数学相对⾼分“有所不为才能有所为，⼤胆取舍，才能确保中考数学相对⾼分。
”针对中考数学如何备考，著名数学特级⽼师说，这⼏个⽉的备考⼀定要有选择。
“⾸先，要进⾏⼀次全⾯的基础内容复习，不能有所遗漏；其次，⼀定要⽴⾜于基础和难易度适中，太难的可以放弃。
在全⾯复习的基础上，再次把掌握得似懂⾮懂，知道但⼜不是很清楚的地⽅搞清楚。
在做题练习上要学会选择，决不能不加取舍地做题，即便是⽼师布置的作业，也建议同学们选择性地做，已经掌握得很好的不要多做，把好像会做但⼜不能肯定的题认真做⼀做，把根本没有感觉的难题放弃不做。
千万不要到处去找各个学校的考试题来做，因为这没有针对性，浪费时间和精⼒。
”做到基本知识不丢⼀分某外国语学校资深中考数学⽼师建议考⽣在中考数学的备考中强化知识⽹络的梳理，并熟练掌握中考考纲要求的知识点。
“⾸先要梳理知识⽹络，思路清晰知⼰知彼。
思考中学数学学了什么，教材在排版上有什么规律，琢磨这两个问题其实就是要梳理好知识⽹络，对知识做到⼼中有谱。
”他说，“其次要掌握数学考纲，对考试⼼中有谱。
掌握今年中考数学的考纲，⽤考纲来统领知识⼤纲，掌握好必要的基础知识和过好基本的计算关，做到基本知识不丢⼀分，那就离做好中考数学的答卷⼜近了⼀步。
根据考纲和⾃⼰的实际情况来侧重复习，也能提⾼有限时间的利⽤效率。
”做好中考数学的最后冲刺距离中考越来越近，⼀⽅⾯需按照学校的复习进度正常学习，另⼀⽅⾯由于每个⼈学习情况不⼀样，⾃⼰还需进⾏知识点和丢分题型的双重查漏补缺，找准短板，准确修复。
压轴题坚持每天⼀道，并及时总结⽅法，错题本就发挥作⽤了。
最后每周练习⼀套中考模拟卷，及时总结考试问题。
中考数学复习技巧如何应对复杂的平方根题目
中考数学复习技巧如何应对复杂的平方根题目数学是中考中重要的一门科目，其中平方根题目往往是考生们头疼的部分。
面对复杂的平方根题目，我们应该采取什么复习技巧呢？接下来，我将为大家介绍几种应对复杂平方根题目的技巧。
一、掌握基本的平方根运算规律复习平方根题目的基础，就是掌握平方根的运算规律。
平方根的性质主要包括以下几个方面：1. 平方根与指数的关系：a的n次方等于b，那么a等于什么呢？答案就是a等于b的1/n次方。
2. 平方根的乘法运算：对于任意的非负实数a和b，有√(a*b)=√a * √b。
3. 平方根的除法运算：对于任意的非负实数a和b，有√(a/b)=√a / √b。
4. 平方根的加减运算：对于任意的非负实数a和b，有√(a+b)≠√a + √b，但是√(a+b)的近似值可以用√a + √b来计算。
通过掌握这些基本的平方根运算规律，我们就能够更加轻松地解答复杂的平方根题目。
二、应用平方根的性质简化题目在解答复杂的平方根题目时，我们可以利用平方根的性质来简化题目，从而减少计算的难度。
具体来说，可以运用以下几种方法：1. 合并根式：对于含有多个根号的表达式，我们可以合并相同根号下面的数字来简化计算。
例如，√3 + √5 + √3可以合并为2√3 + √5。
2. 分解根式：对于根号下面为一个大数的情况，可以尝试将这个大数分解为两个较小的数的乘积。
例如，√75可以分解为√(25*3)，再进一步化简为5√3。
3. 有理化分母：对于含有分数的根式表达式，我们可以通过有理化分母的方法将其转化为不含有分数的形式，从而方便计算。
例如，对于表达式1/√2，我们可以乘以√2/√2，得到√2/2。
通过灵活运用这些方法，我们可以将复杂的平方根题目转化为简单的计算，提高解题效率。
三、多做练习题提高熟练度只有通过多做练习题，才能够真正掌握解答复杂平方根题目的技巧，提高熟练度。
平时，在复习数学的过程中，可以选择一些重点章节的习题集或者模拟试题，有针对性地进行练习。
中考数学总复习实用方法总结
中考数学总复习实用方法总结复习能够帮助我们对学过的知识进行更好的巩固,尤其数学知识点具有“多杂难”这样的特点,更需要我们利用有限的时间进行复习。
下面是小编为大家整理的关于中考数学总复习实用方法，希望对您有所帮助!中考数学复习策略一、梳理策略总结梳理，提炼方法。
复习的最后阶段，对于知识点的总结梳理，应重视教材，立足基础，在准确理解基本概念，掌握公式、法则、定理的实质及其基本运用的基础上，弄清概念之间的联系与区别。
对于题型的总结梳理，应摆脱盲目的题海战术，对重点习题进行归类，找出解题规律，要关注解题的思路、方法、技巧。
如方案设计题型中有一类试题，不改变图形面积把一个图形剪拼成另一个指定图形。
总结发现，这类题有三种类型，一类是剪切线的条数不限制进行拼接;一类是剪切线的条数有限制进行拼接;一类是给出若干小图形拼接成固定图形。
梳理了题型就可以进一步探索解题规律。
同时也可以换角度进行思考，如一个任意的三角形可以剪拼成平行四边形或矩形，最少需几条剪切线?联想到任意四边形可以剪拼成哪些特殊图形，任意梯形可以剪拼成哪些特殊图形等。
做题时，要注重发现题与题之间的内在联系，通过比较，发现规律，做到触类旁通。
反思错题，提升能力。
在备考期间，要想降低错误率，除了进行及时修正、全面扎实复习之外，非常关键的一个环节就是反思错题，具体做法是：将已经复习过的内容进行“会诊”，找到最薄弱部分，特别是对月考、模拟试卷出现的错误要进行认真分析，也可以将试卷进行重新剪贴、分类对比，从中发现自己复习中存在的共性问题。
正确分析问题产生的原因，例如，是计算马虎，还是法则使用不当;是审题不仔细，还是对试题中已知条件或所求结论理解有误;是解题思路不对，还是定理应用出错等等，消除某个薄弱环节比做一百道题更重要。
应把这些做错的习题和不懂不会的习题当成再次锻炼自己的机会，找到了问题产生的.原因，也就找到了解题的最佳途径。
事实上，如果考前及时发现问题，并且及时纠正，就会很快地提高数学能力。
2021年中考数学一轮复习规律探索题--数字问题常见类型及解题技巧
【例1】一组数据1，6,11,16,21,…第n个数是( )【例2】一组数6、8、10、12、14…第n个数是( )【例3】观察以下等式:第1个等式:++=1,第2个等式:++=1,第3个等式:++=1,第4个等式:++=1,第5个等式:++=1,按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:;(2)写出你猜想的第n个等式:(用含n的等式表示),并证明.举一反三1、找规律，填空（1）3、5、7、9…第n个数是（）（2）6、8、10、12…第n个数是（）（3）10、14、18、22…第n个数是（）（4）1、6、11、16、21…第n个数是（）2.观察下列等式的规律．第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：．（1）请用上述规律写出第四个等式_______________________；（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．3. 阅读下列内容：，，，…根据观察到的规律解决以下问题：（1）第5个等式是________；（2）若n是正整数，则第n个等式是________；（3）计算：．4. 【阅读理解】我们知道，1+2+3+…+n=，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为，即n2，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ______ ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ______ ，因此，12+22+32+…+n2= ______ ．【解决问题】根据以上发现，计算：的结果为 ______ ．题型二后一项与前一项的比值固定，即商固定【例1】有一列数，按一定的规律排成1、-2、4、-8、16、-32…（1）设这列数中的一个数为a，则它后面的第1个数是______，第2个数是______．（2）你能从中抽出相邻的三张卡片，且这些卡片上的数字之和为93吗？若能，写出这三个数，若不能，说明理由．举一反三1. 有一列数，按下表中的规律排列．序号 1 2 3 4 5 6 …n …对应数-1 3 -9 27 -81 243 …？…（1）用含有n的式子表示第n个对应数；（2）若相邻三个数的和等于1701，这三个数各是多少？2. 阅读材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22017的值．解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋ (22017)将等式两边同时乘以2得，2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22017＋22018，将下式减去上式得：2S－S＝22018－1，即S＝22018－1，所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋2201722018－1，请你依照此法计算：（1）1＋2＋22＋23＋24＋ (29)（2）1＋5＋52＋53＋54＋…＋5n（其中n为正整数）．题型三含有平方规律【例1】观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……根据你观察到的规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式；（2）写出第n个等式，并证明；（3）计算：．举一反三1. 观察，猜想，证明．观察下列的等式；；发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证；写出含字母为任意自然数，且表示的等式，并写出证明过程．。
中考数学备考6种方法复习
中考数学备考6种方法复习中考数学备考6种方法复习一、过滤题目法一张数学练习卷共50道题，学霸首先会浏览整个卷面，过滤掉自己非常熟悉的题目，留下自己不熟悉的题目重点攻克，并且反复练习类似题型，让这类题烂熟于心。
这就是那些经常不写作业，喜欢抄作业的同学，每次考试却拿高分的真正原因。
二、提升效率法如果一道数学题你花了10分钟还没法解决，请直接看答案或请教老师。
再之后花更多的时间来归纳总结，反复练习此类题目，做到融会贯通。
归纳总结才是真正的目的，而不是用一节课的时间自己去做一道不会的题目，浪费时间和精力。
三、高水平重复法如果遇见一道不熟悉的题目，你需要做好几遍甚至更多遍，攻克陌生题，把它们转化为简单题。
久而久之，高水平的重复会让你逐渐地把所有知识点都掌握于心。
四、归纳总结法归纳总结对学数学来说太重要了。
学霸们做一道比较难的数学题10分钟，然后会拿出20分钟来进行归纳总结，书写解题笔记。
这么做无形提高了对解题关键的敏感度，见到此类题目，能迅速做出条件反射，找到解题突破口，这就是高手的必修课，解题联想。
五、会必做对法很多学生在做数学题的时候，容易因粗心大意等原因把分丢在会做的题目上。
考试的时候，一定要练习稳的能力，就是说会做的题，坚决不能丢分，这才是考高分的基础和关键。
六、进入中考模式法各种模拟考试，很难找到中考的感觉。
所以，中考之前一定要做真题，要找到身临其境参加中考的感觉，做多了真题，中考的时候你就没有了那种好奇感，心态平静才能更好地发挥。
中考数学备考策略●回归课本，夯实基础数学的基本概念、定义、公式，数学知识点之间的内在联系，基本的数学解题思路与方法，是复习的重中之重。
回归课本，要先对知识点进行梳理，把教材上的每一个例题、习题再做一遍，确保基本概念、公式等牢固掌握，要稳扎稳打，不要盲目攀高，欲速则不达。
要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思维同步。
而认真完成作业则是达到这一目的的重要途径。
没有认真完成作业就听老师讲课，会感到老师讲的都重要，抓不住老师讲的重点;而认真完成作业之后，再听老师讲课，就会把重点放在自己还未掌握的内容上，提高学习效率。
中考数学答题技巧通用13篇
中考数学答题技巧通用13篇数学中考阅卷评分实行懂多少知识给多少分的评分办法，叫做“分段评分”或者“踩点给分”，踩上知识点就得分，踩得多就多得分。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。
这一点。
对于解答题尤为重要。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。
特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在其中一过渡环节上是常见的。
这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。
如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。
由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实步之后，继续有……”一直做到底。
也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。
若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。
如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。
总之，退到一个你能够解决的问题。
为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。
这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。
实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。
如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。
答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。
中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解41---菱形的折叠问题
1 / 25中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解专题41 菱形的折叠问题1、在菱形ABCD 中，∠B＝60°，BC ＝2cm ，M 为AB 的中点，N 为BC 上一动点（不与点B 重合），将△BMN 沿直线MN 折叠，使点B 落在点E 处，连接DE ，CE ，当△CDE 为等腰三角形时，线段BN 的长为_____．【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC ，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A 、B′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，2/ 25当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．3/ 25此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．2、如图，四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点E是射线DA 上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为点D′，若CD′垂直于菱形ABCD的边时，则DE的长为_____．【解析】4/ 255 / 25【分析】作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．【详解】解：作CH AB ⊥于H ，如图，菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠=，ABC ∆∴为等边三角形，CH AB ∴==，4AH BH ==， 3PB =，1HP ∴=，在Rt CHP ∆中，7CP ==，梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，6 / 25∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，APQ CPQ ∴∠=∠，而//CD AB ，APQ CQP ∴∠=∠，CQP CPQ ∴∠=∠，7CQ CP ∴==.故选：B ．【点睛】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC 上时CA′的长度最7 / 25小．3、如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（ ）A ．5B ．7C ．8D ．132【解析】【分析】延长DC 与''A D 交于点M .根据折叠的性质，可得''120A D F D ∠=∠=︒，利用角度的变换得到CBM M ∠=∠，所以BC CM =，设CF x =，'D F DF y ==，则BC CD x y ==+，所以2FM CM CF x y =+=+.'Rt D FM ∆中，'tan tan3023D F y M FM x y ∠=︒===+，解出x 、y 的关系即可8 / 25【详解】如图，延长DC 与''A D 交于点M .由已知可得60DCB A ∠=∠=︒，180120D A ∠=︒-∠=︒.根据折叠的性质，可得''120A D F D ∠=∠=︒，所以'180''60FD M A D F ∠=︒-∠=︒.因为'90D FM ∠=︒，所以90'30M FD M ∠=︒-∠=︒.因为180120BCM BCD ∠=︒-∠=︒，所以18030CBM BCM M ∠=︒-∠-∠=︒，即得CBM M ∠=∠，所以BC CM =.设CF x =，'D F DF y ==，则BC CD x y ==+，所以2FM CM CF x y =+=+.在'Rt D FM ∆中，'tan tan302D F y M FM x y ∠=︒===+，解得12x y =，所以12CF x FD y ==.【点睛】本题考查菱形的性质以及三角函数的基本应用，本题关键在于作出准确的辅助线4、如图，菱形纸片ABCD 中，60A ∠=︒，将纸片折叠，点A 、D 分别落在'A 、'D 处，且''A D 经过B ，EF 为折痕，当'D FCD ⊥时，CF FD的值为（ ）.A．12BC．16D．18【解析】【分析】分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D、E、N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）．【详解】9/ 25解：分两种情况，①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，∴C G=12CD=1，BG=BC+CG=3，∵M为AB的中点，∴AM=BM=1，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM ，DM＝DM，∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=120°，∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D、E、N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，10/ 2511 / 25由勾股定理得：（3-x）² =（x+2）²，解得：x=45，，即BN=45；②当CE=CD 时，CE=CD=AD ，此时点E 与A 重合，N 与点C 重合，如图2所示：CE=CD=DE=DA ，△CDE 是等边三角形，BN=BC=2（符合题干要求）；综上所述，当△CDE 为等腰三角形时，线段BN 的长为45或2； 故答案为45或2． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.5、如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 边的中点，动点M 在CD 边上运动，以EM 为折痕将△CEM 折叠得到△PEM，联接PA ，若AB ＝4，∠BAD＝60°，12 / 25则PA 的最小值是( )A ．√3B ．2C ．2√7﹣2D ．4【解析】【分析】分情况进行讨论：①当D'C⊥AD 时，如图1，根据30度的余弦列式可得DE 的长；②当CD'⊥AB 时，如图2，过E 作EF⊥CD 于F ，设CF=EF=x ，则ED=2x ，DF=√3x ，根据CD=CF+DF=2，列方程可得DE 的长；③当CD'⊥BC 时，延长D'C 交AD 于F ，分别计算EF 和DF 的长，可得DE 的长；④当D'C⊥CD 时，如图4，延长D'C 交DE 于F ，分别计算EF 和DF的长，可得DE的长．【详解】分4种情况：①当D'C⊥AD时，如图1，设DE=D'E=x，由折叠得：CD=CD'=2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠D=∠B=30°，∴∠D=∠D'=30°，Rt△CFD中，CF=12CD=1，∴D'F=CD'-CF=2-1=1，Rt△D'FE中，cos30°=D′FD′E ，13/ 2514 / 25 ∴√32＝1D′E ， ∴DE=D'E=2√33；②当CD'⊥AB 时，如图2，过E 作EF⊥CD 于F ，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∵∠B=30°，∴∠BCD'=60°，∠DCD'=150°-60°=90°，由折叠得∠ECD=12∠DCD'=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，设CF=EF=x ，则ED=2x ，DF=√3x ，∵CD=CF+DF=2，∴x+√3x=2，x=√3-1，∴DE=2x=2√3-2；③当CD'⊥BC时，如图3，延长D'C交AD于F，则D'C⊥ED，Rt△CFD中，∠D=30°，CD=2，∴CF=1，DF=√3，Rt△D'EF中，D'F=3，∠D'=30°，∴EF=√3，∴DE=EF+DF=2√3；④当D'C⊥CD时，如图4，延长D'C交DE于F，15/ 2516 / 25∵∠DCD'=90°，∴∠FCD=90°，∵CD=2，∠FDC=30°，∴CF=2√33，DF=2FC=4√33，由折叠得：∠ECD=∠ECD'=360°−90°2=135°，∴∠DEC=∠D'EC=15°，∴∠FEB=∠FD'E=30°，∴EF=D'F=2√33+2，∴DE=EF+DF=2√3+2，综上所述，DE 的长为2√33或2√3或2√3-2或2√3+2．故答案为2√33或2√3或2√3-2或2√3+2．【点睛】此题考查了菱形的性质，折叠问题，解直角三角形及直角三角形的性质等知识，解题的关键是：正确画出D'C与菱形各边垂直的图形，并添加辅助线，然后解直角三角形即可．6、如图在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝√3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠点A落在G处，当△CGB为等腰三角形时，则AP的长为_________.【解析】分析：首先证明四边形AEGF是菱形，分两种情形：①CG=CB，②GC=GB分别计算即可．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=√3，∠DAC=∠BAC=12∠A=30°，AC=3，如图，17/ 25∵EF⊥AG，∴∠EPA=∠FPA=90°，∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，∴∠AEP=∠AFP，∴AE=AF，∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE=EG，AF=FG，∴AE=EG=GF=FA，∴四边形AEGF是菱形，∴AP=PG①当CB=CG时，∵AG=AC-CG=3-√3，18/ 2519 / 25∴AP=12AG=3−√32．②当GC=GB 时，∵∠GCB=∠GBC=∠BAC，∴△GCB∽△BAC，∴GC AB =BC AC ,∴GC=1， ∴AG=3-1=2，∴AP=12AG=1．故答案为1或3−√32．点睛：本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解．7、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB =4，∠A =60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上．则sin∠EFG 的值为 ．【解析】如图：过点E作HE⊥AD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE．∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=60°，∴AB=BC=CD=AD=4，∠DAB=∠DCB=60°，DC∥AB∴∠HDE=∠DAB=60°，∵点E是CD中点，∴DE=CD=2在Rt△DEH中，DE=2，∠HDE=60°∴DH=1，HE=，∴AH=AD+DH=5在Rt△AHE中，AE==2∵折叠，∴AN=NE=，AE⊥GF，AF=EF∵CD=BC，∠DCB=60°∴△BCD是等边三角形，且E是CD中点20/ 25∴BE⊥CD，∵BC=4，EC=2，∴BE=2∵CD∥AB，∴∠ABE=∠BEC=90°在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2=12+（AB﹣EF）2．∴EF=，∴sin∠EFG===，故答案为：【点评】本题关键词：“对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分”，“三线合一”，“转化目标角”8、如图，在菱形纸片ABCD中，AB=15，tan∠ABC=，将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，若CE⊥AD，则cos∠EFG的值为．【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BE，过点P作PE⊥AB，∵AB=15，tan∠ABC=，21/ 25∴AH=9，BH=12，∴CH=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=15，AD∥BC，∵AH⊥BC，∴AH⊥AD，且AH⊥BC，CE⊥AD，∴四边形AHCE是矩形∴EC=9，AE=CH=3，∴BE===3，∵将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，∴BF=EF，BE⊥FG，BO=EO=∵AD∥BC，∴∠ABC=∠PAE，∴tan∠ABC=tan∠PAE=，且AE=3，22/ 25∴AP=，PE=，∵EF2=PE2+PF2，∴EF2=+（15﹣EF+）2，∴EF=，∴FO===∴cos∠EFG==，故答案为：9、如图，在菱形ABCD中，AB=5，tan D=，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE翻折后，点C落在C′处，点D′落在D处，C′D′与AB交于点F，当C′D'⊥AB时，CE 长为．【解析】如图，作AH⊥CD于H，交BC的延长线于G，连接AC′．由题意：AD=AD′，∠D=∠D′，∠AFD′=∠AHD=90°，∴△AFD′≌△AHD（AAS），23/ 25∴∠FAD′=∠HAD，∵∠EAD′=∠EAD，∴∠EAB=∠EAG，∴=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）∵AB∥CD，AH⊥CD，∴AH⊥AB，∴∠BAG=90°，∵∠B=∠D，∴tan B=tan D==，∴=，∴AG=，∴BG===，∴BE：EG=AB：AG=4：3，∴EG=BG=，在Rt△ADH中，∵tan D==，AD=5，24/ 25∴AH=3，CH=4，∴CH=1，∵CG∥AD，∴=，∴CG=，∴EC=EG﹣CG=﹣=．故答案为．25/ 25。
中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解43---三角形的折叠问题
中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解专题43 三角形的折叠问题1、如图1，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作正方形ABDE，BCIJ，AFGC．如图2，作正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，AE′交CG于点M，D′E′交IC于点N点D′在边IJ上．则四边形CME′N的面积是24 ．【解析】∵正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，∴AE′=AB=10，∠E′AB=90°，∠AE′N=90°，∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∴AC2=BC•MC，∴MC==，∵∠MAC=∠NAE′，∴Rt△ACM∽Rt△AE′N，∴=，即=，∴E′N=，∴四边形CME′N的面积=S△AE′N﹣S△ACM=×10×﹣×6×=24．故答案为24．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ．【解析】如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90°，AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为：﹣13、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE 使点B落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为．【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示：则EG∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴==，设BE=x，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴==，解得：EG=x，BG=x，∵点D是边BC的中点，∴CD=BD=2，∴DG=2﹣x，由折叠的性质得：DF=BD=CD，∠EDF=∠EDB，在△ACD和△AFD中，，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴∠ADC=∠ADF，∴∠ADF+∠EDF=×1880°=90°，即∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，∵AD2=AC2+CD2=32+22=13，DE2=DG2+EG2=（2﹣x）2+（x）2，∴13+（2﹣x）2+（x）2=（5﹣x）2，解得：x=，即BE=；故答案为：．4、已知ABC中，AC BCC∠=∠．如图，将ABC进行折叠，=，Rt使点A落在线段BC上（包括点B和点C），设点A的落点为D，折痕为EF，当DEF是等腰三角形时，点D可能的位置共有（）．A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【解析】（1）当点D与C重合时，∵AC=BC，AE=DE（即CE），AF=DF（即CF），∴此时△AFC（即△AFD）是等腰直角三角形，点E是斜边AC的中点，∴EF=DE，∴△EDF为等腰三角形．（2）当点D与B点重合时，点C与E重合，∵AC=BC，AF=DF（即BF），∴此时EF=1AB=DF（即BF），2∴△DEF是等腰三角形；（3）当点D移动到使DE=DF的位置时，△DEF是等腰三角形．综上所述，当△DEF为等腰三角形时，点D的位置存在3中可能.故选B.5、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC+1，点E、F 分别是BC、AC边上的动点，沿E、F所在直线折叠∠C，使点C的落对应点C'始终落在边AB上，若△BEC'是直角三角形时，则BC'的长为或1.【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.①当∠CM B ′=90°时，如图例5-2所示.由折叠知：∠BMN =∠B ′MB =45°，又因为∠B =45°，所以∠BNM =90°，∠MNB ′=90°即∠BNM +∠MN B ′=180°，所以B 、N 、B ′三点共线，此时B ′与点A 重合.所以，12BM BC ==①当∠CB ′M =90°时，如图例5-3所示.由折叠知∠B =∠B ′=45°，因为∠C =45°，可得∠B ′MC =45°，所以△B ′MC 是等腰直角三角形设BM = B ′M =x ，B ′C =x ，则MC x因为BC +1所以x x解得：x=1，即BM=1.综上所述，BM的值为或1.【点睛】根据题意判断出C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解.6、如图，矩形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点，连接AE，以AE为对称轴折叠△AEB，得到△AEB′，点B的对称点为点B′，若AB=5，BC=3，当点B′落在射线CD上时，线段BE的长为．【答案】5或.∴CD=AB=10，BC=AD=5，∵矩形ABCD折叠，使点C落在边AB上的E处，折痕交DC边于点M，∴∠MEB=∠C=90°，BC=BE=5，∴四边形BCME为正方形，∴ME=5，∴AE=AB-BE=5，∵点F在DM上运动，且△AEF是腰长为5的等腰三角形，∴点F只能在点D或点M处，点F运动到点D时，EF=5当点F运动到点M时，EF=5．故答案为5或.7、如图例3-1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，点D 是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为图例3-1 图例3-2 图例3-38、如图例5-1，在Rt ABC=，1∠=︒，AB AC∆中，90ABC=+，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠B∠，使点B的对应点'B始终落在边AC上.若'∆为直角三角形，则BM的长为．MB C图例5-1 图例5-2 图例5-39、如图例6-1，在∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN 上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称. D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E. 当△A’EF为直角三角形时，AB的长为.图例6-1 图例6-2 图例6-310、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC+1，点E、F 分别是BC、AC边上的动点，沿E、F所在直线折叠∠C，使点C的落对应点C'始终落在边AB上，若△BEC'是直角三角形时，则BC'的长为2.【解析】如图1，当∠BEC'=90°时，图1 图2∵∠B=30°，∴BE’E，又∵CE=C'E，BC，∴BE C'E=1，∴Rt△BEC'中，BC'=2；如图2，当∠BC'E=90°时，∵∠B=30°，∴BE=2C'E=2CE，又∵BC，∴BE=(213+，C'E=(113+，∴BC综上所述，BC'2．。
中考数学实际问题的建模与解决
中考数学实际问题的建模与解决数学是一门抽象的学科，但它在现实生活中有着重要的应用。
中考数学考试针对学生解决实际问题的能力进行考察，要求学生能够将实际问题转化为数学模型，并利用数学方法解决问题。
本文将探讨中考数学实际问题的建模与解决方法，帮助学生提升解决问题的能力。
一、实际问题的建模实际问题的建模是将抽象的实际问题转化为数学问题，即将问题中的关键信息提取出来，用数学语言和符号进行描述。
建模的关键在于理解问题背景和问题要求，找到适合的数学概念和方法。
举例来说，我们来看一个在中考数学中常见的问题：甲乙两人同时从A地出发，乙比甲慢20分钟到达B地，如果乙的速度是甲的2倍，求甲的速度。
这个问题可以通过建立速度、时间和距离的数学模型来解决。
假设甲的速度为v，由题意可知乙的速度为2v，乙比甲慢20分钟到达B地，转化为数学语言，就是乙比甲多用了20/60小时，即1/3小时，所以我们可以得到下面的等式：距离 = 速度 ×时间根据题意，甲和乙的时间和距离相等，所以可以得到下面的等式：v × t = 2v × t + 1/3将等式化简，并整理出甲的速度v：v × t - 2v × t = 1/3-v × t = 1/3v = -1/3t由此可见，甲的速度为负数，但在实际问题中，速度是不可能为负数的，所以这个问题无解。
通过这个例子，我们可以看出，在进行建模时要注意题目中的限制条件，以防止出现无解或不符合实际情况的结果。
二、实际问题的解决方法解决数学实际问题的关键在于运用恰当的数学方法和技巧。
在中考数学中常见的问题类型包括比例问题、方程问题、几何问题等，下面我们分别介绍一下这些问题的解决方法。
1. 比例问题比例问题是中考数学中的常见考点，解决比例问题的关键在于理解比例的概念和性质。
常用的解题方法包括比例的交叉乘法和比例的平均值法。
比例的交叉乘法是指利用两个等式的比例关系进行计算。
中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)
MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或 可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时 ，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与 两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接 圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中 ，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的 最 小 值 为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算 出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合 的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y
中考数学复习考点知识专题讲解10---三角形的综合问题
中考数学复习考点知识专题讲解中考数学复习考点知识专题讲解三角形的综合问题专题10三角形的综合问题】方法指导】【方法指导1.全等三角形解决问题的常见技巧：（1）全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适用于直角三角形）．（2）作辅助线构造全等三角形①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．2.等腰三角形解题技巧：（1）等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．（2）在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3.等边三角形常用方法与思路：（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．【题型剖析题型剖析】】【类型1】三角形有关角的综合计算三角形有关角的综合计算【例1】（2019•泉山区模拟）如图，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图1，若90MON ∠=°，OBA ∠、OAB ∠的平分线交于点C ，则ACB ∠= °；（2）如图2，若MON n ∠=°，OBA ∠、OAB ∠的平分线交于点C ，求ACB ∠的度数；（3）如图2，若MON n ∠=°，AOB ∆的外角ABN ∠、BAM ∠的平分线交于点D ，求ACB ∠与ADB ∠之间的数量关系，并求出ADB ∠的度数；（4）如图3，若80MON ∠=°，BC 是ABN ∠的平分线，BC 的反向延长线与OAB ∠的平分线交于点E ．试问：随着点A 、B 的运动，E ∠的大小会变吗？如果不会，求E ∠的度数；如果会，请说明理由．【变式1-1】（2019•沭阳县模拟）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品−−圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若50A ∠=°，则ABX ACX ∠+∠= 40 °；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50DAE ∠=°，130DBE ∠=°，求DCE ∠的度数； ③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G 、2G …、9G ，若140BDC ∠=°，177BG C ∠=°，求A ∠的度数．【变式1-2】（2019春•海安市期末）如图，已知BE 是ABC ∆的角平分线，CP 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线．延长BE ，BA 分别交CP 于点F ，P（1）求证：12BFC BAC ∠=∠；（2）小智同学探究后提出等式：BAC ABC P ∠=∠+∠．请通过推理演算判断“小智发现”是否正确？（3）若2180BEC P ∠−∠=°，求ACB ∠的度数．【变式1-3】（2019春•高淳区校级模拟）ABC ∆中，三个内角的平分线交于点O ，过点O 作OD OB ⊥，交边AB 于点D ．（1）如图1，①若40ABC ∠=°，则AOC ∠= ，ADO ∠= ；②猜想AOC ∠与ADO ∠的关系，并说明你的理由；（2）如图2，作ABC ∠外角ABE ∠的平分线交CO 的延长线于点F ．若105AOC ∠=°，32F ∠=°，则AOD ∠= _______°．【类型2】全等三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质【例2】（2019•如皋市一模）如图，A 、B 、C 是直线l 上的三个点，DAB DBE ECB a ∠=∠=∠=，且BD BE =．（1）求证：AC AD CE =+；（2）若120a =°，点F 在直线l 的上方，BEF ∆为等边三角形，补全图形，请判断ACF ∆的形状，并说明理由．【变式2-1】（2019•碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=°，CE BD ⊥，垂足为E ，BE DA =．（1）求证：ABD ECB ∆≅∆；（2）若45DBC ∠=°，1BE =，求DE 的长（结果精确到0.01， 1.414≈ 1.732)≈【变式2-2】（2019•灌南县校级模拟）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC =，点F 是AB 的中点，点E 是BC 边上的点，DE AD BE =+，DEF ∆的周长为l ．（1）求证：DF 平分ADE ∠；（2）若FD FC =，2AB =，3AD =，求l 的值．【类型3】等腰三角形的有关计算与证明等腰三角形的有关计算与证明【例3】（2018秋•灌云县期末）如图，已知D 是ABC ∆的边BC 上的一点，CD AB =，（1）若BDA BAD ∠=∠，60B ∠=°，求C ∠的大小；（2）若AE 既是ABD ∆的高又是角平分线，54B ∠=°，求C ∠的大小．【变式3-1】（2018秋•泗阳县期末）已知，在ABC ∆中，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD BA =，CE CA =．（1）如图1，若90BAC ∠=°，45B ∠=°，试求DAE ∠的度数；（2）若90BAC ∠=°，60B ∠=°，则DAE ∠的度数为 （直接写出结果）；（3）如图2，若90BAC ∠>°，其余条件不变，探究DAE ∠与BAC ∠之间有怎样的数量关系？【变式3-2】（2018秋•秦淮区期末）如图，在ABC ∆中，AB AD =，CB CE =．（1）当90ABC ∠=°时（如图①)，EBD ∠= °；（2）当(90)ABC n n ∠=°≠时（如图②)，求EBD ∠的度数（用含n 的式子表示）．【类型4】等边三角形的有关计算与证明等边三角形的有关计算与证明【例4】（2019春•鼓楼区校级模拟）已知，ABC ∆为等边三角形，点D 为AC 上的一个动点，点E 为BC 延长线上一点，且BD DE =．（1）如图1，若点D 在边AC 上，猜想线段AD 与CE 之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D 在AC 的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【变式4-1】（2018秋•泰兴市月考）如图，ABC ∆是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至点E ，使CE CD =．取BE 中点F ，连接DF ．（1）求证：BD DE =；（2）延长ED 交边AB 于点G ，试说明：DG DF =．【变式4-2】（2019•淮阴区模拟）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=°，以AC 为边在ABC ∆外作等边三角形ACD ，过点D 作AC 的垂线，垂足为F ，与AB 相交于点E ，连接CE ．（1）说明：AE CE BE ==；（2）若15AB cm =，P 是直线DE 上的一点．则当P 在何处时，PB PC +最小，并求出此时PB PC +的值．【类型5】直角三角形的综合问题直角三角形的综合问题【例5】（2019 •溧水校级模拟）已知ABC ∆中，90A ∠=°，AB AC =，D 为BC 的中点． （1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE AF =．求证：DEF ∆为等腰直角三角形；（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE AF =，其他条件不变，那么DEF ∆是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【变式5-1】（2018秋•常熟市期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=°，AC BC =．点D 是边AC 上一点，DE AB ⊥，垂足为E ．点F 是BD 的中点，连接CF ，EF ．（1）求证：CF EF =；（2）判断CF 与EF 的位置关系，并说明理由；（3）若30DBE ∠=°，连接AF ，求AFE ∠的度数．【变式5-2】（2019•江都区校级模拟）如图所示，已知ABC ∆是等腰直角三角形，90ABC ∠=°，10AB =，D 为ABC ∆外的一点，连结AD 、BD ，过D 作DH AB ⊥，垂足为H ，DH 的延长线交AC 于E ．（1）如图1，若BD AB =，且34HB HD =，求AD 的长； （2）如图2，若ABD ∆是等边三角形，求DE 的长．【达标检测达标检测】】一．选择题选择题（（共4小题小题））1．（2019•徐州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，102．（2019•扬州）已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）A．4个B．5个C．6个D．7个3．（2019•盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC＝3，则DE的长为（ ）A．2 B．C．3 D．4．（2018•南通）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，按下列步骤作图：步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；步骤2：作直线MN，分别交AC，BC于点E，F；步骤3：连接DE，DF．若AC＝4，BC＝2，则线段DE的长为（ ）A．B．C．D．）小题）二．填空题（共4小题填空题（5．（2019•南通）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝ 度．6．（2019•苏州）如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为 ．7．（2019•南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 ．8．（2019•南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．）小题）（共8小题三．解答题解答题（9．（2019•南通）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC 并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？10．（2019•镇江）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．（1）求证：△AGE≌△CHF；（2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由．11．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O．（1）求证：△DBC≌△ECB；（2）求证：OB＝OC．12.（2018•无锡）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝m，BC＝n，m＞n，点P是边AB上一点，连结CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的长；（2）连结BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式．13．（2018•徐州）如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD．展平后，再将点B 折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF．已知BC＝4．（1）若M为AC的中点，求CF的长；（2）随着点M在边AC上取不同的位置，①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；②求△PFM的周长的取值范围．14．（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l 2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T，特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．请依据上述定义解决如下问题：＝3，则T（BC，AB）＝ ；（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝6，求T（BC，CD），＝2，T（BC，AB）。
中考数学复习如何解决常见的代数问题
中考数学复习如何解决常见的代数问题代数是中考数学复习过程中的核心内容之一，也是考生们普遍感到困惑的部分。
解决常见的代数问题不仅需要掌握基本概念和运算规则，还需要合理运用解题技巧。
本文将从常见的代数问题入手，介绍几种解题方法，以帮助中考考生更好地复习数学。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是中考数学中经常出现的一种代数问题。
解决一元一次方程，常用的方法有等式的加减消元法和代入法。
1.等式的加减消元法：对于形如ax + b = c 的一元一次方程，我们可以通过等式的加减消元法解题。
首先，将方程转化为ax = c - b，然后化简得到x的解。
2.代入法：代入法是另一种解一元一次方程的常见方法。
我们可以通过已知的条件，将其中一个变量用另一个变量表示，然后代入方程中求解。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是中考常见的代数问题。
解决一元二次方程时，可以通过因式分解法、配方法、求根公式等多种方法来求解。
1.因式分解法：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以尝试将方程进行因式分解，然后根据零因子的性质得出方程的解。
2.配方法：当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法，将方程化为一个完全平方 trinomial，然后利用完全平方公式求解。
3.求根公式：一元二次方程的求根公式为x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中a、b、c 分别为方程的三个系数。
通过带入值计算，可以得到方程的解。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是另一类常见的代数问题。
解决绝对值不等式时，需要根据题目的要求，分情况讨论。
1.绝对值不等式的基本性质：对于形如|ax + b| < c 的绝对值不等式，首先，将其转化为两个一元一次不等式，再根据绝对值的性质进行讨论。
2.分情况讨论：根据题目给出的条件，将绝对值不等式分为几种不同的情况，然后分别求解，得到绝对值的解集。
四、分式方程的解法分式方程也是常见的代数问题之一。
初三数学复习攻略答题技巧与解题思路
初三数学复习攻略答题技巧与解题思路初三数学复习攻略——答题技巧与解题思路一、写在前面初三数学复习是为了备战中考，为了顺利完成数学试卷中的各种题型，我们需要掌握一些答题技巧并培养解题思路。
本文将为大家介绍几种常见题型的解题技巧，并提供一些建议来帮助大家在初三数学考试中取得更好的成绩。
二、选择题选择题是初三数学试卷中的常见题型，正确率往往是决定最终得分的重要因素。
下面是几种常见的选择题解题技巧：1. 仔细审题：通读题目，理解问题的意思。
注意关键词和条件限制，避免因为粗心而出错。
2. 排除法：先排除明显错误的选项，缩小范围后再仔细比较。
常见的排除方法有比较法、代入法等。
3. 过滤法：根据各选项的特点和条件，筛选出符合题意的选项。
常见的过滤方法有奇偶性判断、单位换算等。
三、填空题填空题要求我们根据条件填写适当的数值或运算符号，下面是几种常见的填空题解题技巧：1. 利用已知条件：仔细阅读题目，寻找已知条件，并根据条件进行推导和计算，找到合适的答案。
2. 变量代换：将未知数用字母表示，建立方程，通过解方程求解出未知数的数值。
3. 利用特殊性质：填空题中经常涉及到数的性质和规律，我们可以利用这些性质和规律来求解。
比如利用等差数列或等比数列的性质。
四、解答题解答题是初三数学试卷中的较为复杂的题型，需要综合运用所学的知识和解题技巧。
下面是几种常见的解答题解题思路：1. 分析问题：仔细阅读题目，理解问题的要求。
结合已知条件，分析问题的性质和特点，并采取相应的解题思路。
2. 建立模型：将问题抽象为数学模型，利用已知条件和题目要求建立等式或方程，进行求解。
常见的模型有几何模型、代数模型等。
3. 逻辑推理：通过观察和逻辑推理寻找问题的规律和解题思路。
例如利用归纳法、演绎法等进行推理，帮助我们找到解题的方法和步骤。
五、巩固练习在提高数学解题能力的过程中，巩固练习是非常重要的。
通过大量的练习，我们可以更好地掌握解题技巧和思路，提高解题能力。
中考数学复习：专题三：动点或最值问题
点拨：在 Rt△AOB 中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO ＝ 22－12＝ 3，①当点 P 从 O→B 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的 路程为 3；②当点 P 从 B→C 时，如图 3 所示，这时 QC⊥AB，则∠ACQ ＝90°，∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∴∠OQD＝90°－60°＝ 30°，∴cos30°＝ACQQ，∴AQ＝cosC3Q0°＝2，∴OQ＝2－1＝1，则点 Q 运动的路程为 QO＝1；③当点 P 从 C→A 时，如图 3 所示，点 Q 运动的 路程为 QQ′＝2－ 3；④当点 P 从 A→O 时，点 Q 运动的路程为 AO＝1， ∴点 Q 运动的总路程为 3＋1＋2－ 3＋1＝4，故答案为 4
【点评】 本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定 出点A的对称点，从而确定出AP＋PQ的最小值的位置是解题的关键，利 用条件证明△AA′D是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的 计算．
[对应训练] 2．(1)(2016·贵港)如图，抛物线 y＝－112x2＋32x＋53与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C.若点 P 是线段 AC 上方的抛物线上一动点，当 △ACP 的面积取得最大值时，点 P 的坐标是( B ) A．(4，3) B．(5，3152) C．(4，3152) D．(5，3)
解决最值问题的两种方法： (1)应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆的所有弦中，直径最长. (2)运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式．
【例 2】 (2016·雅安)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AE⊥BD， 垂足为 E，ED＝3BE，点 P，Q 分别在 BD，AD 上，则 AP＋PQ 的最小 值为( D )
中考数学复习：专题9-15 例谈求阴影部分面积的几种常见方法
例谈求阴影部分面积的几种常见方法【专题综述】在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法．【方法解读】一、直接求解法例1 如图1，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，AD变到AD1位置，折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E位置，且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积．分析因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△CEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积．解如图1，根据对称性可得AD＝AD1＝A1D1＝6．由已知条件易知：EC＝D1B＝4，BC＝6；Rt△FBA1∽Rt△FCE．设FC为x，则FB＝6－x．二、间接求解法例2 如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点，若⊙O1半径为3cm；⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积．分析这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图形的面积的和或差去计算．三、整体合并法例3 如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部分面积之和．分析所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角，其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解．解如图3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积．四、等积变换法例4 如图4，A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为3R，OA∥BC，求阴影部分面积．分析本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面积，从而获解．解连接OC，OB，五、分割法例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积．分析阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和．解如图5，连接CD．∵AC、BC是直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴A、D、B三点共线．设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分．则六、转化法例6如图(1)，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB ＝4cm，求阴影部分面积．分析如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm，阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积．解如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作O E⊥AB于点E，则BE＝12AB＝2cm．设大圆半径为R，小圆半径为x，在Rt△OEB中，有七、割补法例7 如图7，点P(3a，a)是反比例函数y＝12x与⊙O在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积．分析阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题变得特别简单．解如图7，把右上角的S1部分分割下来，移到左下方补在S3处，与S2就组成了一个扇形OAB．易知：∵P(3a，a)在反比例函数y＝12x的图象上，∴3a＝12a．解得：a1＝2，a2＝－2（舍去）．∴P坐标为(6，2)．连接OP，作PC⊥x轴于点C，得：八、方程建模法例8如图8，正方形边长为a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积．分析本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单．解正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y．根据题意得：因此阴影部分面积为．222aaπ-．【强化训练】1．（2017内蒙古包头市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=42，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．2π+2D．4π+12．（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（）A．1B．12C．2D．223．（2017四川省资阳市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为（）A．1312πB．34πC．43πD．2512π4．（2017衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π5. （2017云南省）如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为．6．（2017吉林省）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BE，CE．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．7. （2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=33，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④32S阴影．其中正确结论的序号是．8. （2017湖北省恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=23，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）9. （2017内蒙古赤峰市）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD 与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：A M是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．10．（2017新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．。
广东中考数学归纳总结
广东中考数学归纳总结在广东中考数学中，归纳总结是很重要的一部分。
通过归纳总结，我们可以总结出解题的规律和方法，以便在考试中更加高效地解决问题。
本文将从不同知识点出发，对广东中考数学进行归纳总结。
一、代数与函数代数与函数是广东中考数学中的重要内容。
代数是数学中的一门重要分支，主要涉及方程、不等式、函数等概念。
我们需要通过归纳总结的方式，将代数中的常见题型和解题方法整理出来。
例题1：已知方程2x - 5 = 3x + 2，求x的值。
解题思路：将未知数移项后，整理方程，得到x的值。
这是一种常见的代数方程题型，通过归纳总结，我们可以将其归纳为移项求解法。
例题2：已知函数y = x + 2，求其图像的斜率。
解题思路：斜率表示函数图像上两点之间的斜率，通过归纳总结我们可以知道，对于一次函数来说，其斜率是固定的，即函数的斜率为1。
二、几何与三角学几何与三角学也是广东中考数学中的重要知识点。
几何涉及到图形的性质、面积与体积计算等内容；三角学则涉及到角度、三角函数等概念。
通过归纳总结，我们可以总结出解决几何与三角学中常见问题的方法。
例题3：已知△ABC中，AB = AC，∠B = 40°，求∠ACB的度数。
解题思路：由题可知，∠B = ∠C，且∠B + ∠C + ∠A = 180°。
通过归纳总结我们可以发现，对于等腰三角形来说，其底角和顶角相等，即∠ACB = 70°。
例题4：已知△ABC中，AB = 3，AC = 4，BC = 5，求△ABC的面积。
解题思路：可以利用海伦公式求解。
根据海伦公式，可以通过三边的长度计算出三角形的面积。
三、统计与概率统计与概率在广东中考数学中也是一大考点。
统计主要涉及到数据的收集、整理和分析；概率则涉及到事件发生的可能性。
通过归纳总结，我们可以将统计与概率中常见的题型和解题方法整理出来。
例题5：某班级有60名学生，其中35人喜欢足球，30人喜欢篮球，10人同时喜欢足球和篮球，问学生中至少喜欢足球或篮球的人数是多少？解题思路：通过归纳总结我们可以知道，至少喜欢足球或篮球的人数等于喜欢足球的人数加上喜欢篮球的人数再减去同时喜欢足球和篮球的人数。
中考数学复习讲义：专题十九 借助函数关系解决图形问题
利用函数关系解决图形问题一、借助函数关系解决面积问题1. (2022陕西黑白卷)问题提出(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC，S△ABC＝363，点P为AB上的动点，求CP的最小值；问题解决(2)如图②，以AB为直径的半圆O是一片草地，某园艺规划师计划在AB上找一点C，与点A，B围成一个三角形区域，在△ABC中种植花卉，其中AC＝40米，BC＝30米．按照设计要求，在AB上取一点P，AC，BC上分别取点E，F，且点E，F到AB的距离相等，为提高人们的观赏性，在点P，E，F围成的三角形区域内种植甲花卉，其他区域内种植乙花卉，已知甲花卉的价格为40元/平方米，乙花卉的价格为80元/平方米，请问是否存在符合设计要求且使得总费用最少的△EPF？若存在，请求出最少费用及此时EF的长；若不存在，请说明理由．2.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.（1）求证：ΔAEF～ΔABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？3.如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，矩形DEFG的边EF在BC边上，顶点D，G分别在AB，AC边上．设EF＝x，矩形DEFG的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求矩形DEFG面积的最大值．4.如图，四边形ABCD为某老式住宅的地基平面示意图，其中∠A＝∠B＝90°，AD＝9 m，AB ＝14 m，BC＝23 m．某设计师受业主委托将该住宅翻新改造，为了固定房屋主体结构，设计师打算在AB，CD边上分别选取两点E，F，使得EF∥BC，再在BC上选取点G，H，连接EG，FH 交于点O(点O在四边形ABCD内部)，且满足EG⊥FH，EG∥CD，设AE＝x(m)，房屋主体结构所在四边形EFGH的面积为S(m2).(1)请求出S与x的函数关系式；(2)求S的最大值及此时AE的长．6.如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D为BC上一点，分别过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，以ED，DF为邻边在△ABC内作四边形DEGF，设BD＝x，四边形DEGF的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求四边形DEGF面积的最大值．二、借助函数关系解决线段问题1. 问题提出(1)如图①，在等边△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且∠ADE＝60°，若AB＝3，BD＝1，则CE的长为________；问题解决(2)某开发商准备依托AB，BC两条街道建立一个四边形游乐场ABCD，规划游乐场的平面示意图如图②，已知AB＝500 m，BC＝300 m，根据规划要求，将点C处修建为停车场(大小忽略不计)，在空地上的点D处建立标志性建筑摩天轮，在AB，BC上的点E，F处建立游乐场入口，为了整体布局与美观，要使得DE∥BC，DC∥AB，∠DEF＝∠A，在满足规划要求时，停车场与入口F是否存在最短距离(即CF最短)？若存在，请求出CF的最小值以及此时摩天轮到停车场的距离；若不存在，请说明理由．第1题图2.如图，ΔABC是一块锐角三角形材料，边BC=6c＝6cm，高AD=4cm＝4cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，要使矩形EGFH的面积最大，EG的长应是多少?3.李大爷计划用18米长的绳子围成如图所示的矩形围栏，其中AD 为墙(AD 足够长).若AB ＝x ，矩形ABCD 的面积为y.(1)求y 与x 之间的关系式；(2)当矩形ABCD 的面积最大时，求AB 的长．4.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，连接AC ，∠ABC ＝120°，点E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，AD 上的点，且四边形EFGH 为矩形，设BE ＝x ，矩形EFGH 的面积为y.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当S 矩形EFGH ＝21S 菱形ABCD 时，求AE 的长．5.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D是AC边上一点(不与点A，C重合)，过点D作DE⊥BC于点E，若BE＝x，BD2＝y.(1)求x的取值范围；(2)求y与x之间的函数关系式．6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点P为AD边上一点(不与点A，D重合)，连接BP，PQ⊥BP交CD于点Q.若AP＝x，DQ＝y.(1)求y与x的关系式；(2)求DQ的最大值．7. 如图，是一直径为100 m的圆形空地，空地中建设一正方形停车场ABCD，为了满足停车场中所停车辆的充电需求，计划在劣弧BC上一点P处安装一个小型变压器，在正方形ABCD的四个顶点处修建充电桩，同时从点P处埋设电路直通A，B，C，D四个充电桩，若设变压器到最近的两个充电桩所埋设的电路PB，PC的总长度为x(m)，到A，D两个充电桩所埋设的电路PA，PD的总长度为y(m).(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若变压器P与充电桩C的距离为60 m，则埋设的电路长度一共有多长？。
中考数学复习---《利用对称求最值问题》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习---《利用对称求最值问题》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.基本知识点：①两点之间线段最短；②点到直线的距离最短。
2.求最值问题的类型问题基本图形解题图形解题思路与步骤如图①：如图，存在直线l 以及直线外的点P和点Q，直线l 上存在一点M，使得MP＋MQ 的值最小。
解题思路：找点作对称解题步骤：①从问题中确定定点与动点。
②作其中一个定点关于动点所在直线的对称点。
通常情况下其中一个定点的关于动点所在直线的对称点存在，找出即可。
③连接对称点与另一个定点。
与动点所在直线的交点即是如图②：如图，已知∠MON 以及角内一点P，角的两边OM 与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。
微专题1．（2022•德州）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在BC 上，CE ＝2．点M 是对角线BD 上的一个动点，则EM +CM 的最小值是（ ）A ．62B ．35C ．213D ．413【分析】要求ME +MC 的最小值，ME 、MC 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME ，MC 的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图，连接AE 交BD 于M 点， ∵A 、C 关于BD 对称， ∴AE 就是ME +MC 的最小值，如图③：如图：已知∠AOB 以及角内两点点P 与点Q ，角的两边上分别存在M 、N 使得四边形PQMN 的周长最小。
动点的位置。
然后解题。
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，∵AB＝，∴AE＝＝2，∴ME+MC的最小值是2．故选：C．2．（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（）A．42B．25+2 C．213D．210【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴，∵A与A'关于BC对称，∴AB＝BA'＝4，∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OFA'中，，故选：D．3．（2022•菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）A．1 B．2C．3D．2【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断△ABC为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可．【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M′时，MA+MF的值最小，由菱形的性质可知，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵F点为BC的中点，AB＝2，∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，∴在Rt△ABF中，AF＝＝．故选：C．4．（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A．2 B．3C．1.5 D．5【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，FT．首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出AD＝FT＝2，再证明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得结论．【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四边形ADFT是平行四边形，∴AD＝FT＝2，∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T关于AC对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值为2．故选：A．5．（2022•赤峰）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A （﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）3A．3 B．5 C．22D．32【分析】根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值，求出此时的最小值即可．【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P ，此时PD +PE 有最小值为DE '，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0）， ∴OA ＝OC ＝3，∠DBC ＝60°， ∴△BCD 是等边三角形， ∴DE '＝OC ＝3，即PD +PE 的最小值是3， 故选：A ．6．（2022•安顺）已知正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 上一点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，交AF 于点H ，交BF 于点G ，N 为EF 的中点，M 为BD 上一动点，分别连接MC ，MN ．若91=∆∆FCEDCG S S ，则MC +MN 的最小值为 ．【分析】由正方形的性质，可得A 点与C 点关于BD 对称，则有MN +CM ＝MN +AM ≥AN ，所以当A 、M 、N 三点共线时，MN +CM 的值最小为AN ，先证明△DCG ∽△FCE ，再由＝，可知＝，分别求出DE ＝1，CE ＝3，CF ＝12，即可求出AN ．【解答】解：如图，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴A点与C点关于BD对称，∴CM＝AM，∴MN+CM＝MN+AM≥AN，∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，∵AD∥CF，∴∠DAE＝∠F，∵∠DAE+∠DEH＝90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH＝90°，∴∠DAE＝∠CDG，∴∠CDG＝∠F，∴△DCG∽△FCE，∵＝，∴＝，∵正方形边长为4，∴CF＝12，∵AD∥CF，∴＝＝，∴DE＝1，CE＝3，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴EF＝＝3，∵N是EF的中点，∴EN＝，在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，∴AE＝＝，∴AN＝，∴MN+MC的最小值为，故答案为：，7．（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可．【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．8．（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为．【分析】如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．利用勾股定理求出FT＝，EF＝5，证明PE+PF＝PF+PT≥FT，可得结论．【解答】解：如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADT＝90°，∵∠AHT＝90°，∴四边形AHTD是矩形，∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，∴FT＝＝＝，∵DG平分∠ADC，DE＝DT，∴E、T关于DG对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，∵EF＝＝＝5，∴△EFP的周长的最小值为5+，故答案为：5+．9．（2022•娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为．【分析】连接AQ，作AH⊥BC于H，利用SAS证明△ABQ≌△CBQ，得AQ＝CQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，再求出AH的长即可．【解答】解：连接AQ，作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴AQ＝CQ，∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AH＝，∴CQ+PQ的最小值为，故答案为：．10．（2022•眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝43，则PE+PB的最小值为．【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度；然后求出B′B和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E＝＝＝6，∴PE+PB的最小值为6，故答案为：6．11．（2022•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为．【分析】如图，过点E作EH⊥BC于点H．利用相似三角形的性质求出FH，EF，设BF ＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，因为EF是定值，所以AF+CE的值最小时，AF+EF+CE 的值最小，由AF+CE＝+，可知欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小，最小值为线段A′B的长，由此即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝5，∵BC＝AD＝10，∴AC＝＝＝5，∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∴∠EFH+∠ACB＝90°，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠EFH＝∠BAC，∴△EHF∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∴FH＝，EF＝，设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，∵EF是定值，∴AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，∵AF+CE＝+，∴欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交xz轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小，最小值为线段A′B的长，∵A′（0，﹣5），B（，5），∴A′B＝＝，∴AF+CE的最小值为，∴AF+EF+CE的最小值为+．解法二：过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F．∵EF＝CC′，EF∥CC′，∴四边形EFC′C是平行四边形，∴EC＝FC′，∵EF⊥AC，∴AC⊥CC′，∴∠ACC＝90°，∵AC′＝＝＝，∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′＝，∴AF+EF+CE的最小值为+．故答案为：+．12．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为．【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．解法二：设AE＝x，则BF＝3﹣x，根据勾股定理可得：EG+CF＝+，由勾股定理构建另一矩形EFGH，根据线段的性质：两点之间线段最短可得结论．【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，由勾股定理得：HG'＝＝3，即GE+CF的最小值为3．解法二：∵AG＝AD＝1，设AE＝x，则BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，由勾股定理得：EG+CF＝+，如图，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，P为FG上一动点，设PG＝x，则FP＝3﹣x，∴EP+PQ＝+，当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3，即EG+CF的最小值是3．故答案为：3．13．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．2B．2 C．22D．4【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，故选：C．14．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP 长的最小值是（）A．233B．235C．33D．237【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△PAB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．。
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2019中考数学复习常见问题与解决方法
因为初中学习和小学学习知识层次、难度和学习方法的不同，在小升初后进入初中的同学们，肯定会遇到很多问题。
那么，初中数学学习必然会遇到哪些问题呢?面对这些问题，该如何解决呢?
第一，学习方法方面的问题。
表现在：
(1)做几何题时候不会做辅助线
原因：对于几何模型认识不充分
解决方案：每一种基本的几何模型都有定义、性质和判定三方面，要将这三方面知识熟记于心。
一般来说应用的过程是：判定是哪种模型此模型有何性质此性质能不能直接用若不能，则作辅助线体现其性质。
例如：暑假学的平行四边形模型对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等。
等腰三角形模型三线合一。
倍长中线模型有三角形一边中点，可以考虑倍长中线构造全等。
还有梯形的的三类辅助线，都应该熟记。
(2)考虑问题不全面，不会进行分类讨论
解决方案：1、注意几种经常需要分类讨论的知识点，就初二暑假的知识点而言，函数自变量取值的范围，一次函数的k,b的正负性，平方根的双重性，直角坐标系中点的坐标与线段长度的转化等等。
2、学会讨论方法，把每一种情况都写下来，然后分别解出每种情况下的结果。
3、注意分类之
后的取舍，并不是所有情况都是正确答案，尤其是解分式方程和根式方程的时候，会出现增根，一定要检验。
(3)自信心不足，不敢下手
原因：1、对于题型本身掌握不好，没思路;2、有些想法，不知道是否正确，不敢动笔;3、不会写过程;4、会做，懒得写。
后果：导致考试比作业还差。
解决方案：1、问老师、对比类似的例题寻找相同之处;几何先找模型，在思考此种模型的性质特点以及辅助线做法。
代数看过程，分析每一步的目的;
2、有想法一定要落实在笔头上。
怕错写在草稿纸上，视觉带给我们的思路远比空想要多;
3、上课认真记笔记，将老师的解题过程详细的记录在本上，几何有模型，代数有步骤。
多模仿老师的解题过程，慢慢熟练;
4、会做不代表能做对，很多题目的易错点只有在做后才会发现。
很多丢分的题目往往是那些一看就会一坐就错的“简单题”;
5、有时候解题方法不是一下子就能想出来的，一步就能想出来，那就是完美主义理想。
所以在没有明确思路的情况下，我们可以多尝试，一定可以找到正确的思路方式。
第二，学习习惯的方面的问题
(1)喜欢用铅笔
后果：过于依赖铅笔，习惯于没想好就下笔，导致考试时多次使用修改，卷面凌乱。
当没有可涂改工具是不敢下笔写。
解决方案：除了画图，其他一律使用签字笔书写。
除了笔误，由于思路不清或是方法错误导致的失误尽量不要用涂改带
修改，标明错误，在一旁写下正确答案。
一来，养成“慢想快写”的好习惯二来可以保留错误作为警戒，三来，强制自己的行文工整，否则会一团糟。
(2)几何题用签字笔或圆珠笔在图上标注
后果：原图被涂改的一团糟，什么都看不清。
解决方案：改用铅笔画图，学会科学的标注相等的线段，相等的角，辅助线用虚线等等。
(3)看见题目，急于下手，结果思考不出来
解决方案：这个时候同学们再读几遍题目，尤其是几何题，综合题。
看清题目的已经条件，转化成自己理解的方式，同时将已知条件标注到图上。
(4)计算粗心
解决方案：1、解题时，严格按照步骤进行，写出详细过程;2、做题要规范;对于易混、易错的知识要善于总结、积累，从而有针对性的进行练习。
第三，学习态度方面的问题
(1)简单题不愿做，难题不会做
原因：浮躁。
后果：在初二初三的学习会直线下降。
解决方案：强迫自己认真完成每一道自己会做的题，认真思考每一道自己不会的题。
保证会做的最对，不会的问会。
毕
竟，学习是自己的事情，学不好，最着急的是自己。
记住，不要放弃。
(2)做题不写过程
后果：1、不会写过程;2、考试没有过程分;3、思考不严谨，导致做错或遗漏答案;4、难题没思路。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
解决方案：将思考的事情写成文字，用数学语言表述自己的思维过程。
每一个步骤从何而来，有何作用，写在纸上才能看得清清楚楚。
同时，锻炼书写能力以及适当的排版都是对考试有所帮
助的。
简单题多梳理思路，遇到难题才不会手忙脚乱，按部就班的分块解决每一部分，多锻炼思维的逻辑性才能做到目无全牛，条理清晰。
(3)自我放弃
解决方案：这类型的同学主要是在数学学习中没有找到自我成就感，在这种情况下要学好数学，就需要自身努力，相信自己，但家长和老师的鼓励也是非常重要的。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。
”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”
幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。
雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。
”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。
我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。
通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。