递推关系
三项递推关系求通项
三项递推关系求通项1. 什么是递推关系？在数学中，递推关系是指通过给定的初始条件和递推公式来确定一系列数值的方法。
递推关系常用于解决一些复杂的问题，特别是与数列、函数或图形有关的问题。
2. 什么是通项？通项是指一个数列中任意一项与其序号之间的关系。
通过求得一个数列的通项，我们可以方便地计算出该数列的任意一项。
3. 求解三项递推关系的方法下面将介绍如何求解三项递推关系，并得到该递推关系的通项公式。
步骤1：观察前几个数值首先，我们需要观察给定的数列或序列，并记录下前几个已知的数值。
这些已知数值将作为我们求解递推公式和通项公式的基础。
步骤2：建立递推公式根据观察到的已知数值，我们可以尝试建立一个递推公式，使得该公式能够从前一项或几个前置项计算出当前项。
例如，假设我们观察到以下数列：1, 2, 4, 8, …我们可以发现，每一项都是前一项的两倍。
因此，我们可以建立如下的递推公式：a(n) = 2 * a(n-1)，其中a(n)表示第n项。
步骤3：求解递推公式在建立了递推公式之后，我们需要通过该公式来计算数列的其他项。
首先，我们可以使用递推公式计算出第3项和第4项：a(3) = 2 * a(2) = 2 * 2 = 4 a(4) = 2 * a(3) = 2 * 4 = 8然后，我们可以继续使用递推公式计算出更多的项。
步骤4：观察数列并总结规律通过计算数列的多个项，我们可以进一步观察数列中的规律，并总结出通项公式。
以前面的例子为例，观察数列可知，每一项均为前一项乘以一个常数。
因此，通项公式可以表示为：a(n) = a(1) * (常数)^n对于这个例子来说，常数为2。
因此，通项公式可以写成：a(n) = a(1) * (2)^n步骤5：验证通项公式最后，我们需要验证所得到的通项公式是否能够正确地计算出数列中的任意一项。
我们可以选择一个任意的n值，将其代入通项公式中计算得到的结果与实际数列中的对应项进行比较。
递推关系解题的关键技巧与应用
递推关系解题的关键技巧与应用递推关系（recurrence relation）是数学中常见的一种关系式，它可以通过前一项或前几项的数值来表示后一项。
在解决问题时，递推关系常常被用于推导出问题中的规律，从而找出解决方法。
本文将介绍递推关系解题的关键技巧以及应用。
一、递推关系解题的关键技巧1. 确定初始条件：在使用递推关系解题时，首先需要确定初始条件。
也就是说，要找到递推关系式中的第一个或前几个数值。
初始条件的确定通常需要根据问题的具体情况来判断。
2. 推导递推关系：通过观察问题中给出的数值和规律，可以尝试推导出递推关系。
这个关系有可能是数列、数表或者其他形式的递推公式。
3. 利用递推关系求解：一旦递推关系确定，就可以利用它来求解问题。
根据递推关系的定义，通过已知的数值逐步推导出后面的数值。
4. 验证解答的正确性：最后，需要验证所得到的解答是否正确。
可以通过递推关系来逐项验证，或者将解答代入原始问题中进行验证。
通过以上技巧的应用，可以更加轻松、高效地解决递推关系问题。
二、递推关系解题的应用递推关系的应用非常广泛，以下是一些常见的例子：1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递推关系问题。
其递推关系式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
可以利用这个递推关系来求解斐波那契数列中的任意项。
2. 阶乘计算：阶乘是另一个常见的递推关系问题。
定义n的阶乘为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1，其中0的阶乘为1。
通过递推关系n! = n * (n-1)!，可以计算出任意非负整数的阶乘。
3. 数字排列组合：在某些排列组合问题中，递推关系也经常被使用。
比如在八皇后问题中，可以通过递推关系来确定皇后在每一行中的位置，从而求解出问题的解。
4. 动态规划问题：动态规划是一种使用递推关系进行求解的方法。
通过将问题分解为子问题，并利用递推关系求解子问题，最终得到原始问题的解。
递推关系知识点总结
递推关系知识点总结一、递推关系的基本概念1.1 递推关系的定义递推关系是一种反映事物发展变化规律的数学模型。
通常来说，递推关系是指数列的前项与后项之间的关系。
例如，斐波那契数列就是一个经典的递推关系，它的递推式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
1.2 递推关系的元素递推关系一般包括以下几个元素：- 初始条件：递推关系的第一个数值，通常是已知的特定值。
- 递推公式：描述数列前后项之间关系的公式，用于计算数列后续项的值。
- 递推方程：将递推公式用代数方式表示的方程。
1.3 递推关系的类型根据递推公式的性质和形式，递推关系可以分为线性递推关系、非线性递推关系、齐次递推关系、非齐次递推关系等类型。
不同类型的递推关系有不同的性质和求解方法。
二、递推关系的性质2.1 线性递推关系的性质线性递推关系具有以下性质：- 线性组合性：若数列{an}与{bn}分别满足递推关系an=an-1+an-2和bn=bn-1+bn-2，则任意常数c1和c2的线性组合{c1an+c2bn}也满足递推关系an=an-1+an-2。
- 独立性：若数列{an}和{bn}都满足递推关系an=an-1+an-2，则其线性组合{an+bn}也满足该递推关系。
2.2 齐次递推关系的性质齐次递推关系是指递推关系的递推式中不包含任何常数项或者其他特殊项。
对于齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2，其中c1和c2是任意常数，n1和n2是特征方程的两个不同实根，那么其特解为包含初始条件的实数数列。
2.3 非齐次递推关系的性质非齐次递推关系是指递推关系的递推式中包含有常数项或者其他特殊项。
对于非齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2+fn，其中cn1^n+cn2^n2是其对应的齐次递推关系的通解，fn是递推式的非齐次项对应的特解。
三、递推关系的求解方法3.1 通项公式法通项公式法是求解递推关系最直接的方法。
数列的递推关系与求和公式详细解析
数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。
数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。
本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。
常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。
其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。
举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。
斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。
可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。
2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。
非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。
例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。
等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。
又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。
等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。
二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。
根据不同的数列类型，有不同的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。
3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。
数列的递推关系
数列的递推关系数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数学中，常常需要通过递推公式来确定数列中的每一项。
递推关系是指根据前几项的值，通过某种规律来计算下一项的值。
1. 递推关系的概念递推关系是指通过前几项的值来计算下一项的值的数学关系。
通常表示为an+1 = f(an, an-1, ..., a1)，其中an表示第n项的值，f表示递推函数或递推公式。
递推关系可以是线性的、多项式的、指数的等等。
2. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都可以通过前一项和前几项的线性组合来计算得到。
具体来说，对于线性递推关系an = c1*an-1 +c2*an-2 + ... + ck*an-k，其中c1, c2, ..., ck为常数，且k为一个固定的正整数。
常见的线性递推关系有斐波那契数列等。
3. 多项式递推关系多项式递推关系是指数列中的每一项的计算都涉及前面若干项的多项式函数。
具体来说，对于多项式递推关系an = p(n) = a(n-1) + a(n-2) + ... + a(n-k)，其中p(n)为一个多项式函数，a(n-1), a(n-2), ..., a(n-k)为前面的若干项。
多项式递推关系常用于描述一些复杂的数学问题，如组合数学中的排列、组合等。
4. 指数递推关系指数递推关系是指数列中的每一项的计算都涉及指数函数。
具体来说，对于指数递推关系an = a(n-1) ^ k，其中k为常数。
指数递推关系常用于描述一些增长速度非常快的数列，如幂数列等。
5. 递推关系的应用递推关系在数学中具有广泛的应用。
它可以帮助研究数列的性质、推导数列的通项公式，甚至可以用来解决一些实际问题。
例如，在物理学中，递推关系可以用来描述物体的运动轨迹；在计算机科学中，递推关系可以用来描述算法的时间复杂度。
总结：数列的递推关系是通过前几项的值来计算下一项的数学关系。
它可以是线性的、多项式的、指数的等等。
递推关系在数学中起到了重要的作用，帮助研究数列的性质、推导数列的通项公式，以及解决实际问题。
五种典型的递推关系
五种典型的递推关系1.Fibonacci数列在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为⼤家所熟悉的。
在最基础的程序设计语⾔Logo 语⾔中，就有很多这类的题⽬。
⽽在较为复杂的Basic、Pascal、C语⾔中，Fibonacci数列类的题⽬因为解法相对容易⼀些，逐渐退出了竞赛的舞台。
可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值，恰恰相反，⼀些此类的题⽬还是能给我们⼀定的启发的。
数列的代表问题是由意⼤利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔⼦繁殖问题”(⼜Fibonacci数列称“Fibonacci问题”)。
问题的提出：有雌雄⼀对兔⼦，假定过两个⽉便可繁殖雌雄各⼀的⼀对⼩兔⼦。
问过n个⽉后共问题有多少对兔⼦？解：设满x个⽉共有兔⼦Fx对，其中当⽉新⽣的兔⼦数⽬为Nx对。
第x-1个⽉留下的兔⼦数 解⽬设为Fx-1对。
则：Fx=Nx+ Fx-1 Nx=Fx-2 (即第x-2个⽉的所有兔⼦到第x个⽉都有繁殖能⼒） ∴ Fx=Fx-1+Fx-2 边界条件：F0=0，F1=1由上⾯的递推关系可依次得到： F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，……。
数列常出现在⽐较简单的组合计数问题中，例如以前的竞赛中出现的“⾻牌覆盖”问Fabonacci数列题。
在优选法中，Fibonacci数列的⽤处也得到了较好的体现。
2.Hanoi塔问题问题的提出：Hanoi塔由n个⼤⼩不同的圆盘和三根⽊柱a,b,c组成。
开始时，这n个圆盘由⼤到问题⼩依次套在a柱上，如图3-11所⽰。
要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上： (1)⼀次只能移⼀个圆盘； (2)圆盘只能在三个柱上存放； (3)在移动过程中，不允许⼤盘压⼩盘。
问将这n个盘⼦从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？解：设hn为n个盘⼦从a柱移到c柱所需移动的盘次。
显然，当n=1时，只需把a 柱上的盘⼦直接移动到c柱就可以了，故h1=1。
数列的递推关系知识点
数列的递推关系知识点数列是指按照一定顺序排列的一系列数值的集合。
在数学中，我们经常会遇到数列，并且常常需要研究数列之间的关系。
递推关系就是描述数列中各项之间的依赖关系，通过递推关系我们可以推导出数列的后续项。
一、定义和表示数列可以用以下形式来表示：{a1, a2, a3, ... , an, ...}，其中a1, a2,a3, ...表示数列的各项，an表示数列中第n项。
我们可以根据数列的递推关系来计算数列的任意一项。
二、常见数列的递推关系下面我们将介绍一些常见数列的递推关系及其特点。
1.等差数列等差数列是指数列中每一项与它的前一项之间的差值是一个常数d （公差）的数列。
等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n - 1)d。
其中a1是等差数列的首项，d是公差。
例如，对于等差数列{1, 3, 5, 7, ...}，其首项a1为1，公差d为2，递推关系为an = 1 + (n - 1) * 2。
2.等比数列等比数列是指数列中每一项与它的前一项之间的比值是一个常数q （公比）的数列。
等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * q^(n - 1)。
其中a1是等比数列的首项，q是公比。
例如，对于等比数列{2, 6, 18, 54, ...}，其首项a1为2，公比q为3，递推关系为an = 2 * 3^(n - 1)。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2。
其中a1和a2是斐波那契数列的前两项。
例如，斐波那契数列的前几项为{1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}，其递推关系为an = an-1 + an-2。
三、递推关系的应用递推关系在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用场景。
1.求数列的第n项通过递推关系，我们可以计算数列的任意一项。
以等差数列为例，假设我们想要计算等差数列{3, 5, 7, 9, ...}的第100项。
递推关系式
递推关系式一、引言递推关系式是数学中的一个重要概念，它描述了一个序列中后一项与前一项之间的关系。
通过递推关系式，我们可以根据已知的初始条件逐步计算出序列中的各个项，从而揭示数学规律和模式。
递推关系式在各个领域都有广泛应用，如数列、递归函数和动态规划等。
二、数列与递推关系式2.1 数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为项，而数列中的规律称为数列的通项公式。
通过数列的通项公式，我们可以方便地计算数列中的任意项。
2.2 递推关系式的定义递推关系式是数列中后一项与前一项之间的关系式。
一般地，递推关系式可以表示为：a n+1=f(a n)，其中n为项的序号，a n表示第n项，f表示递推函数。
2.3 递推关系式的作用递推关系式可以帮助我们计算数列中的任意项，从而揭示数列中的规律和模式。
通过分析递推关系式，我们可以得到数列的闭式表达式，即直接根据项的序号计算出项的值的公式。
三、递推关系式的形式递推关系式可以具有多种不同的形式，根据具体情况选择适合的形式进行表示。
下面列举了几种常见的递推关系式形式。
3.1 线性递推关系式线性递推关系式是一种最简单的递推关系式形式，其通项公式可以表示为：a n+1=a n+c，其中c为常数。
线性递推关系式描述了数列中的每个项与前一项之间的恒定差值关系。
3.2 二次递推关系式二次递推关系式是一种形式更为复杂的递推关系式。
其通项公式可以表示为：a n+1=a n2+b，其中b为常数。
二次递推关系式描述了数列中的每个项与前一项的平方加上常数之间的关系。
3.3 递归函数递归函数是一种特殊的递推关系式形式，其通项公式可以表示为：a n=f(a n−1)。
递归函数通过直接调用自身来计算数列中的各个项。
四、递推关系式的应用4.1 数列的求和通过递推关系式，我们可以方便地求解数列的前n项和。
方法是先计算出数列的第n项，然后通过求和公式计算前n项和。
4.2 数列的性质分析递推关系式可以帮助我们深入地分析数列的性质。
理解数学中的递推关系
理解数学中的递推关系数学中的递推关系是一种重要的数学概念，它在各个数学领域都有着广泛的应用。
递推关系也被称为递归关系，它描述了一种由前一项或几项推导出后一项的关系。
在本文中，我们将探讨递推关系的基本概念、性质以及应用。
一、递推关系的基本概念递推关系在数学中有着广泛的应用，尤其在数列和函数的定义中起着重要的作用。
在数列的定义中，递推关系用来表示数列中每一项与前一项之间的关系。
例如，在斐波那契数列中，每一项是前两项之和，这就是一个递推关系。
递推关系可以表示为一个递推公式，用来计算数列中的每一项。
通常，递推公式通过给出数列的前几项来定义数列的后续项。
递推关系的一个典型的例子是等差数列，其中的递推公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
二、递推关系的性质递推关系具有一些基本的性质，这些性质对于理解递推关系的本质和应用非常重要。
1. 递推关系的唯一性：对于同一个数列，递推公式是唯一确定的，即只有一种方式可以通过前几项计算出后续项。
2. 递推关系的解的存在性：对于某些递推关系，可能存在多个解，也可能存在无穷个解。
这取决于递推关系的具体形式和约束条件。
3. 递推关系的通解和特解：对于某些递推关系，存在特定的解，满足一定的条件。
这些解被称为特解。
同时，也存在一般的解，称为通解，可以表示递推关系的所有解。
三、递推关系的应用递推关系在数学中有着广泛的应用，尤其是在数列、函数和概率等领域。
1. 数列和级数：递推关系常被用来定义数列和级数。
例如，斐波那契数列、等差数列和等比数列等都可以通过递推关系来定义。
利用递推关系，可以求解数列的各项的值以及级数的和。
2. 函数的定义：递推关系也常被用来定义函数。
例如，二项式系数、费马数、卡塔兰数等都是通过递推关系定义的函数。
3. 概率：递推关系在概率论中也有着重要的应用。
例如，二项分布、泊松分布等概率分布可以通过递推关系定义。
四、总结递推关系是数学中的重要概念，它描述了数列和函数中元素之间的递推关系。
数列的递推与递归关系知识点总结
数列的递推与递归关系知识点总结数列是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
数列的递推和递归关系是数列研究中的重要内容，通过递推和递归可以得到数列中后一项和前一项之间的关系。
本文将总结数列的递推和递归关系的知识点。
一、数列的递推关系数列的递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系，通过这种关系可以求解数列中的任意一项。
数列的递推公式分为线性递推和非线性递推两种。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系为线性函数的情况。
线性递推关系可以表示为：an = a(n-1) + b其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，b为常数。
通过这个递推公式，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。
2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系不为线性函数的情况。
非线性递推关系可以表示为：an = f(a(n-1))其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，f为一个非线性函数。
通过这个递推关系，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。
二、数列的递归关系数列的递归关系是指数列中后一项和前一项之间的关系通过递归定义的情况。
数列的递归关系可以表示为：an = f(an-1)其中an为数列的第n项，an-1为数列的第n-1项，f为一个递归函数。
递归关系中的数列可以通过给定的初始条件，即数列的第一项或前几项，求解数列中的其他项。
三、递推与递归的关系递推和递归是两种不同的求解数列的方法，但它们之间存在紧密的联系。
递推是通过前一项和递推公式来计算后一项，递归则是通过前一项和递归函数来计算后一项。
实际上，递推公式可以看作是递归关系的一种特殊形式，即递归函数是一个线性函数的情况。
通过递推和递归，可以发现数列中的规律，预测数列的未知项，解决各种与数列相关的问题。
在数学和计算机科学领域中，递推和递归在数列求解、算法设计等方面有着重要的作用。
第八讲递推关系
例6 f(n)=4f(n-1)-4f(n-2)+n2n f(0)=0,f(1)=1
解 2*4n-1是特解，齐次解是c2n。 得f(n)=2n-1+22n-1。
例7 (应用) 求f(n)=13+23+…+n3。 即求解 f(n)=f(n-1)+n3 f(0)=0
4 线性常系数非齐次递推关系
k阶常系数线性非齐次递推关系的一般形式为 f(n)=c1f(n-1)+c2f(n-2)+…+ckf(n-k)+g(n), 对n≥k都成立,其中ck≠0,g(n)≠0。 f(n)=c1f(n-1)+c2f(n-2)+…+ckf(n-k)称为其相应的齐次 递推关系。 定理3 k阶常系数线性非齐次递推关系的通解是它的一个特解加 上其相应的齐次递推关系的通解。
f(n)=f(n-1)＋f(n-2) f(0)=1,f(1) =1
练习： 求下面的递推关系。
f(n)=f(n-1)-f(n-2) f(1)=1,f(2) =0
上面我们介绍了特征根两两不同,即每个根的重数都 是1的情形,下面我们考察有重根的情形,我们首先有 下面的引理：
引理3 设q是e重的特征根,则qn,nqn,n2qn,…,ne-1qn都 是递推关系的解。
例2：Hanoi塔问题 现有A,B和C三根立柱以及n个大小不等的中空圆盘， 这些圆盘从小到大套在A柱上形成塔形，如下图示。 现要把n个圆盘从A柱搬到C柱上并保持原来的顺序不 变即小盘放在大盘上，要求每次只能从一个立柱上拿 下一个圆盘放到另一根立柱上且始终都不允许大盘压 小盘。问至少要搬动多少次盘子？
递推关系解析
定义3.1.1 对数列a0 ,a1 ,a2 , F (a0 , a1 , a2 , , an ) 0.
, an ,
和某些ai ( i n)的方程式,称为递推关系式.记作
递推关系式也可这样描述: 定义 对数列a0 ,a1 ,a2 , 若对所有的n k , 均有 a n F ( a n 1 , a n 2 , , an k ),
则两支军队在第n天战斗结束时的人数满足递推 关系式: an 1 an Abn 1 bn1 bn Ban1 an an 1 Abn 1 即 bn bn 1 Ban 1
二元线性递 推关系组
7
例3 在信道上传输仅用a、b、c这3个字母组成的 长度为n 的字母串，规定有两个 a 连续出现的串 不能传输，用an表示这个信道允许传输长度为 n的 字母串的个数，试建立序列{an }的递推关系.
2m k 1 k m 2 2m j 2 j m 1 m 1 r r r r k j k 0 m 1 j 0
m 1
2m k 1 k m 1 2m 2 r r k j k 0 j 0
C
A
B
C
A
B
C
5
解 易知, a1 1, a2 3, 对于n 3, 搬动圆盘的算 法如下 : 第一步,将套在柱 A 的上面n 1个盘移到柱 B 上, 需搬动an1次; 第二步,将柱 A 上最大一个盘移到柱 C 上,只需 搬动一次; 第三步,再从柱 B 上将n - 1个盘移到柱 C 上,也 需an1次.
解 当n为偶数时,令n 2m, 则 n 1 n 2 2 2 m 1
数列与级数的递推关系与递推公式推导
数列与级数的递推关系与递推公式推导数列与级数是数学中重要的概念，数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列，而级数是将数列中的每一项相加得到的总和。
在数列与级数的研究中，递推关系与递推公式是十分重要的工具，它们能够用来描述数列的每一项之间的关系，并且可以进一步推导出数列的通项公式或级数的求和公式。
一、递推关系的引入在研究数列时，我们常常会遇到需要根据已知项来计算下一项的情况。
这种通过已知项来确定下一项的关系被称为递推关系。
递推关系可以通过数列的性质和规律来确定，下面以一个简单的数列为例进行说明。
考虑以下数列：1, 3, 5, 7, 9, ...观察这个数列可以发现，每一项都比前一项大2，所以我们可以得到递推关系为：a(n) = a(n-1) + 2，其中a(n)表示第n个数的值。
通过这个递推关系，我们可以计算出数列中任意项的值。
二、递推公式的推导递推公式是根据递推关系推导出来的，它可以用来直接计算数列中任意项的值，而不需要依赖前几项。
下面以一个常见的数列为例进行推导。
考虑以下数列：1, 2, 4, 8, 16, ...观察这个数列可以发现，每一项都是前一项乘以2，所以我们可以得到递推关系为：a(n) = 2 * a(n-1)，其中a(n)表示第n个数的值。
为了得到递推公式，我们可以继续观察这个数列的前几项：第1项：1第2项：2 = 2 * 1第3项：4 = 2 * 2第4项：8 = 2 * 4...可以看出，每一项都是前一项乘以2的幂，所以我们可以猜测第n 项的公式为：a(n) = 2^(n-1)。
接下来，我们可以用归纳法来证明这个猜想。
假设猜想对于前k项都成立，即a(k) = 2^(k-1)。
我们要证明猜想对于第k+1项也成立。
根据递推关系：a(k+1) = 2 * a(k)，代入假设的猜想：a(k+1) = 2 * 2^(k-1) = 2^k。
由此可见，猜想对于第k+1项成立。
综上所述，我们可以得到递推公式：a(n) = 2^(n-1)，其中a(n)表示第n个数的值。
概率计算中的两类递推关系
概率计算中的两类递推关系在概率计算中，递推关系是指在计算概率时，概率值之间存在的关联关系。
常见的递推关系有两类：•第一类递推关系：在第一类递推关系中，概率值是由前面的概率值经过转化得到的。
例如，如果要计算掷骰子的概率，可以先考虑掷出数字1的概率，然后根据掷出数字1的概率计算掷出数字2的概率，依此类推。
•第二类递推关系：在第二类递推关系中，概率值是由前面的概率值的加和或积得到的。
例如，如果要计算掷两次骰子，得到相同数字的概率，可以先考虑第一次和第二次掷出数字1的概率，然后将这两个概率相乘得到最终的概率。
下面是关于第一类递推关系的示例：假设有一个满足如下条件的随机事件：在抽取红球和绿球的过程中，至少有一个红球出现。
其中，红球的数量为R，绿球的数量为G，总球数为N=R+G。
则在抽取一个红球的概率为：P(抽取一个红球) = R/N在抽取一个绿球的概率为：P(抽取一个绿球) = G/N根据定义，至少抽取一个红球的概率等于1减去不抽取任何红球的概率。
因此，至少抽取一个红球的概率为：P(至少抽取一个红球) = 1 - P(不抽取任何红球)由于不抽取任何红球的概率等于抽取G个绿球的概率，即：P(不抽取任何红球) = P(抽取G个绿球) = (G/N)^G代入计算得：P(至少抽取一个红球) = 1 - (G/N)^G这就是第一类递推关系的示例。
下面是关于第二类递推关系的示例：假设有一个满足如下条件的随机事件：掷两次骰子，得到两个相同的数字。
则掷出数字1的概率为：P(掷出数字1) = 1/6掷出两个数字1的概率为：P(掷出两个数字1) = (1/6)^2 = 1/36掷出两个数字2的概率为：P(掷出两个数字2) = (1/6)^2 = 1/36依此类推，可以得到所有可能的情况的概率。
总结一下，掷出两个相同的数字的概率为：P(掷出两个相同的数字) = P(掷出两个数字1) + P(掷出两个数字2) + … + P(掷出两个数字6)= 1/36 + 1/36 + … + 1/36= 6/36= 1/6这就是第二类递推关系的示例。
通项公式和递推关系
通项公式和递推关系
通项公式是指数列中的每一项与项号之间的关系式。
通项公式可以通过观察数列的规律、使用递推关系或利用数学方法推导得出。
递推关系是数列中相邻项之间的关系式。
通过已知的前几项，可以通过递推关系计算出后面的项数。
递推关系可以是线性关系、二次关系、几何关系等。
举例来说：
1.等差数列的通项公式和递推关系：
通项公式：an = a1 + (n-1)d
其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
递推关系：an = an-1 + d
2.等比数列的通项公式和递推关系：
通项公式：an = a1 * r^(n-1)
其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
递推关系：an = an-1 * r
除了等差数列和等比数列，还有其他类型的数列，如斐波那契数列、等差三角数列等，它们都有各自的通项公式和递推关系。
拓展：
还有一种特殊的数列称为递归数列，它的每一项都是前面若干项
的函数。
递归数列的通项公式无法通过递推关系直接得出，而是需要
找到项之间的递推规律，通过前面的项算出后面的项。
递归数列常见
的例子是费氏数列，其通项公式为：
Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = F2 = 1。
有时候，数列的规律不仅仅通过递推关系来确定，还需要借助于
其他数学工具，如组合数学中的排列组合、二项式定理等。
在某些情
况下，数列的通项公式可能无法通过已知的方法求得，这时候需要借
助于数值计算、数学推论或者近似方法来获取数列的一些特性和性质。
递推数列与递推关系
递推数列与递推关系在数学中，递推数列（也称为递归数列）是指通过给定的初始项以及各项之间的关系来定义的一个数列。
递推数列通常使用递推公式来表示，这个公式可以帮助我们计算出数列中的每一项。
本文将介绍递推数列以及递推关系，并探讨如何在实际问题中应用它们。
递推数列通常使用递推公式来定义。
递推公式可以分为两种类型：线性递推公式和非线性递推公式。
线性递推公式可以用以下形式表示：an = a(n-1) + a(n-2)其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第n-1项，a(n-2)表示数列中的第n-2项。
这个公式的含义是，数列中的每一项都等于它前两项之和。
例如，斐波那契数列就是一个线性递推数列，其递推公式为Fn = F(n-1) + F(n-2)，其中F0 = 0，F1 = 1.非线性递推公式则更加复杂，它们通常涉及数列中多个前项的运算。
例如，阿凯米德圆问题中的非线性递推公式为an+1 = (an + bn)/2，bn+1 = √(anbn)，其中a1 = 1，b1 = 1/√2。
这个递推公式可以用来计算阿凯米德圆的面积的逼近值。
递推数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，当我们研究自然界中的一些变化规律时，常常会用到递推数列。
比如，在研究兔子繁殖问题时，我们会遇到斐波那契数列。
又如，在计算机科学中，递推数列在算法设计中有很大的作用。
一些计算机算法的时间复杂度可以用递推数列来表示。
递推关系是指数列中各项之间的关系。
在定义递推数列时，我们需要给出数列中每一项与前几项之间的递推关系。
递推关系可以是简单的线性关系，也可以是复杂的非线性关系。
通过递推关系，我们可以计算出数列中的每一项，这样就可以用递推数列来解决很多实际问题。
总之，递推数列是数学中一种重要的数列形式，通过递推公式和递推关系，我们可以计算出数列中的每一项。
递推数列在实际问题中有广泛的应用，它们可以帮助我们揭示自然界中的一些变化规律，同时也在算法设计中发挥重要作用。
三项递推关系求通项
三项递推关系求通项要求一个递推关系的通项，需要知道递推关系的初始条件和递推公式。
以下是三种常见的递推关系的通项求解方法：1. 线性递推关系：假设线性递推关系为 a_n = p*a_(n-1) + q*a_(n-2)，其中p和q为常数，a_n为第n项的值。
我们需要知道的初始条件为 a_0和 a_1。
假设通项形如a_n = x^n，其中x为常数。
将其代入递推关系，得到：x^n = p*x^(n-1) + q*x^(n-2)整理，得到特征方程：x^2 - p*x - q = 0解特征方程，得到x1和x2，这两个根就是递推关系的通项的形式。
2. 非线性递推关系：假设递推关系为 a_n = f(a_(n-1), a_(n-2))，其中f为一个函数。
我们需要知道的初始条件为 a_0 和 a_1。
通常情况下，求非线性递推关系的通项比较困难，没有统一的解法。
需要根据具体的递推关系和函数f的性质来进行分析和求解。
3. 递归递推关系：递归递推关系是一种常见的递推关系形式，常用于定义数列的递推关系。
比如斐波那契数列的递推关系为：F_n = F_(n-1) + F_(n-2)，初始条件为 F_0 = 0 和 F_1 = 1。
可以通过数学归纳法证明，斐波那契数列的通项为F_n = (φ^n - (-φ)^(-n)) / √5，其中φ=(1+√5)/2为黄金分割比。
总结来说，要求一个递推关系的通项，需要根据具体的递推关系形式进行分析和解决。
对于线性递推关系，可以通过特征方程解得通项表达式；对于非线性递推关系，需要具体问题具体分析；对于递归递推关系，可以通过数学归纳法证明通项的形式。
递推关系的解
递推关系的解简介递推关系是数学领域中一种常见的描述数列的方式。
通过建立递推关系，我们可以根据已知的数值计算出后续的数值，从而得到数列的规律和性质。
本文将介绍递推关系的概念、求解方法以及应用举例。
递推关系的定义递推关系是指数列中的每一项都可以通过它的前一项或前几项计算得出。
一般来说，递推关系可用一个递推公式来表示，例如：a n=f(a n−1,a n−2,…,a n−k)其中a n表示数列的第n项，f是一个函数，a n−1,a n−2,…,a n−k是已知的前几项。
递推关系的求解就是要找到该函数f的具体形式，以便计算出数列的任意项。
递推关系的求解方法直接求解法对于一些简单的递推关系，我们可以直接观察规律，找到递推公式的具体形式。
例如，斐波那契数列的递推关系是a n=a n−1+a n−2，我们可以通过观察发现a n等于前两项的和。
递推公式的代入法对于一些较为复杂的递推关系，我们可以通过代入的方式求解。
首先，我们可以列出递推公式的前几项，然后将这些项代入递推公式中。
通过计算，我们可以发现一些规律，从而找到递推公式的具体形式。
递推关系转化为矩阵形式对于一些特殊的递推关系，我们可以将其转化为矩阵形式，进而求解。
如果递推关系具有如下形式：[a n a n−1⋮a n−k+1]=A⋅[a n−1a n−2⋮a n−k]其中A是一个矩阵，[a n a n−1⋮a n−k+1]和[a n−1a n−2⋮a n−k]分别表示数列的第n项和第n−1项到第n−k项的向量。
我们可以通过计算矩阵的幂，求得数列的任意项。
递推关系的应用举例斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递推关系的例子。
该数列的递推关系是a n=a n−1+ a n−2，其中a1=a2=1。
通过不断求解递推关系，我们可以得到斐波那契数列的前几项：1,1,2,3,5,8,13,…。
等差数列和等比数列除了斐波那契数列，等差数列和等比数列也是常见的递推关系。
对于等差数列，递推关系为a n=a n−1+d，其中a1是首项，d是公差。
递推关系
递推关系递归公式是用它自身来定义的一个公式，我们习惯称之为递推关系或递推式。
如正奇数序列可以用递推式描述为：f(n)=f(n-1)+2, n>1 且f(1)=1当n为很大的值时，直接用递推来计算f(n)会很麻烦，所以希望能够用一种封闭的式子来描述这个序列，从它入手可以直接计算f(n)。
如果找到这样一种封闭的式子，则称递推式已经解出。
下面的内容给出了求解基本的递推式的一些方法。
递推关系如果具有如下这种形式，则称为常系数线性齐次递推式：f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)这里f(n)称为k次的。
当一个附加项包括常数或者n的函数出现在递推中，那么它就称为非齐次的。
一、线性齐次递推式的求解令f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)的一般解含有f(n)=x n形式的特解的和。
用x n来代替上式中的f(n)，得到：x n =a1x n-1+a2 x n-2 +…+a k x n-k两边同时除以x n-k得到：x k =a1x k-1+a2 x k-2 +…+a k或者写成x k -a1x k-1-a2 x k-2 -…-a k =0以上两等式都称为原递推关系的特征方程。
下面我们只限于一阶和二阶的线性递推关系。
一阶齐次递推方程的解可以直接得到，令f(n)=af(n-1)，假定递推序列从f(0)开始，由于f(n)=af(n-1)=a2f(n-2)=…=a n f(0)所以f(n)=a n f(0)是递推的解。
如果递推的次数是2，那么特征方程变为x2-a1x-a2=0,令这个二次方程的根是r1和r2，递推的解是：f(n)=c1r1n+c2r2n(r1≠r2)f(n)=c1r n+c2nr n(r1=r2)代入序列初始的值f(n0)和f(n0+1)解方程得到c1和c2的值。
例1序列1,4,64,256,…可以用递推关系表示为f(n)=3f(n-1)+4f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=4，求此递推式的解。
递推关系
例题
• 设有集合A={a,b,c}，an表示A的a不相邻的n-可重 排列的个数。求an 。
an 2an 1 2an 2 (n 3) a1 3 a 8 2 an 2an 1 2an 2 (n 2) a0 1 a 3 1
例题：斐波那契数列
• 兔子数列 • (1202)一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力， 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。把一对小兔子（雌、 雄各一只）在某年的开始放到围栏中。如果所有兔子都不 死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
f n f n1 f n2 ( n 3) f1 f 2 1
J(n)的性质
• • • • • • J(n)=n/2何时成立？ 2l+1=(2m+l)/2 l=(2m-2)/3为整数 当且仅当m为奇数 22k+1-2=2(22k-1)=2(4k-1)=2(4-1)a能被3整除 22k-2=4k-2=(3+1)k-2=3a+1-2=3a-1不能被3 整除
J(n)=n/2的例子
齐次线性递推关系的通解
• 定理2 若递推关系(1)的特征方程有k个互异的实特 征根q1,q2, …,qk，则un=c1q1n+c2q2n+ …+ckqkn是(1) 的通解，其中c1,c2, …,ck为任意常数。
例题
• 解递推关系
f n f n 1 f n 2 (n 2) f 0 f1 1
问题
• n个人围成一个圆，编号依次为1到n。由第1 个人开始报数，每报数到第2个人该人就必 须自杀，然后再由下一个重新报数，直到仅 剩一个幸存者为止。 • 例子：
递推关系
• • • • • • 偶数 J(2n)=2J(n)-1 (n ≥ 1) 奇数 J(2n+1)=2J(n)+1 (n ≥ 1) 初始条件 J(1)=1
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由于无等于1的特征根，所以递推关系
an 5an1 6an2 n 2(n 2)有特解an An B, A, B
是待定系数，代入上式 得A 1 , B 11 ,则
24
an
c1
2n
c2
3n
1 2
n
11 4
,
c1,
c2是待定系数，由初
始条件得
c1
3, c2
1，所以an
3 2n
3n
1 2
3.2 递推关系
递推关系
特征方程没有重根的常 系数线性齐次递推关系
特征方程有重根的常系数 线性齐次递推关系
两类常系数线性非齐次 递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 研究思路： 先假设方程有解， (1) 找出方程解的结构； (2) 方程有解满足那些条件 (3) 满足这些条件的方程是否有解
an c1 c2n c33n c4n3n , 其中c1, c2 , c3, c4为待定系数
由初始条件得 c1 2, c2 1, c3 3, c4 1,故 an 2 n 3n1 n3n (n 0,1,2,)
特征方程有重根
练习
(1)习题19(1)(3); (2)习题20(1)
即思考问题时，先找到必要条，再证必要条件是不是充 分条件，是的话当然好；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是的话，有需加哪些条件？
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 1、满足递推关系的数列由其前k项决定， 前k项不同，得到的满足递推关系的 数列也就不同。
2、任给k个常数，就可以构造满足递推关系的数列
又因为 a0 133, a1 1211112144 133 23 所以， an能被133 整除
特征方程没有重根
3.2 递推关系
❖ 类似线性空间，如果n维线性空间里，若线性映射A有n 个线性无关的特征向量，则这n个线性无关的特征向量 做成一组基底。
❖ 属于不同特征值的特征向量线性无关， ❖ 当A有n个特征值时，这n个线性无关的特征向量做成一
72
0
8
22
42
8
14
20
6
6
因为f (0) 0, f (0) 0, 2 f (0) 8, 3 f (0) 6,所以
n k(k
k 0
1)(k
2)
n k 0
f
(k)
3 j 0
n j
11j
f
(0)
1 n4 4
5 n3 6
1 n2 4
5 6
n
3.1 差分
3.1 差分
例3.3试求一数列{ f (n)}n0使其前5项依次是1,3,7,13,21, 其通项f (n)是n的多项式且次数最低
解：设数列{ f (n)}n0为所求，则其差分表为
1
3
7
13
21
2
4
6
8
2
2
2
0
0
由定理3.6，k f (0) 0(k 3)
由牛顿公式
f
(n)
En
f
(0)
n i0
n i
i
f
(0)
n2
n
1
练习
（1 练习1(1)）f (n) 2n (1)n ,求k f (n)
n
2(练习4)用差分法求和 (k 1)(k 2)2 k 0
an c1 c2 3n 4 2n , c1, c2是待定系数，由初始条件得 c1 1, c2 5，所以an 1 53n 4 2n (n 0)
常系数线性非齐次递推关系
练习
(1)习题21(1)(3)
3.3Fibonacci数 ❖ 3.3Fibonacci数
f (n)
3.3Fibonacci数
分析：因为 q是特征根 qn是解
5 13 和 5 13 是特征方程的两个特征 根
2
2
所以，特征方程为 x2 5x 3 0
从而un an是递推关系un 5un1 3un2 (n 2)的一个解，故 an 5an1 3an2 (n 2)
特征方程没有重根
3.2 递推关系
分析：要证明 an (n 0)能被133整除，可以从数列满足 的递推关系出发 因为an 121 11n 12 144 n ,可知11,144是特征根 类似上例可知特征方程为x2 155x 1548 0 an满足递推关系an 155un1 1548un2 (n 2)
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
解：递推关系 an 4an1 3an2 2n (n 2)的特征方程为 x2 4x 3 0, 特征根为 x1 1, x2 3,故其通解为 an c1 c2 3n 因为2不是特征根，所以递推关系
an 4an1 3an2 2n (n 2)有特解an A 2n , A是待定系数， 代入上式得A 4,则
3(练习5)试求一数列{ f (n)}n0使其前4项依次是3,7,21,51, 其通项f (n)是n的多项式且次数最低 4(练习6)已知f (n)是n的三次多项式且f (0) 1, f (1) 1,
n
f (2) 3, f (3) 19,确定f (n),并求 f (k) k 0
3.2 递推关系
解递推关系的一般步骤 (1)解特征方程，求出特征根；q是特征根 qn是解 (2)写出通解； (3)由初始条件确定待定系数； (4)得出解
特征方程没有重根
3.2 递推关系
解：所给递推关系的特征方程为x4 8x3 22x2 24x 9 0 的特征根为x1 x2 1, x3 x4 3,所以
n
11(n 4
0)
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
解非齐次递推关系的一般步骤 (1)先解所对应齐次递推关系，：解特征方程，求出特征根， 写出通解； (2)根据非齐次递推关系的形式，找出特解； (3)写出非齐次递推关系的通解：齐次的通解 非齐次的特解； (4)由初始条件确定待定系数； (5)得出解
特征方程没有重根
3.2 递推关系
分析：特征方程为x3 2x2 x 2 0, 特征根为x1 1, x2 1, x3 2
q是特征根 qn是解 1n 1, (1)n ,2n 是解，所以 un c1 c2 (1)n c3 2n 利用初始条件确定待定系数
特征方程没有重根
3.2 递推关系
3.2 递推关系
解：递推关系 an 3an1 3an2 an3 24n 6(n 3)的特征方程为 x3 3x2 3x 1 0, 特征根为 x1 x2 x3 1,故其通解为 an c1 c2 n c3n2 因为1是三重特征根，所以递推关系
an 3an1 3an2 an3 24n 6(n 3)有特解an n3( An B), 其中A, B是待定系数，代入上式得A 1, B 5,则 an c1 c2 n c3n2 n4 5n3, 其中c1, c2 , c3是待定系数， 由初始条件得 c1 4, c2 17, c3 21,所以 an 4 17n 21n2 n4 5n3
定理3.20设{ f (n)}n0是Fibonacci数列，则
f
(n)
[n] 2
k 0
n
k
k
(n
0,1,2,)
n
定理3.21 f (k) f (n 2) 1
k 0
定理3.22 f (n m) f (n) f (m) f (n 1)(m 1)
3.3Fibonacci数
例：求f (20) 解：f (20) f (10 10) f (10) f (10) f (9) f (9) 又f (10) f (5 5) f (5) f (5) f (4) f (4); f (9) f (5 4) f (5) f (4) f (4) f (3); f (3) 3, f (4) 5, f (5) 9; 所以, f (10) 89, f (9) 55, f (20) 10946
2k ff ((nn)) (Ef (nI )k 1f)(n)f ((En)I )2k 33n n1 2 3n 22 3n
设 ks
s f j10
f((n(1n)))kj2skjsf(E3nnj
3, 则n 1)
s
f
(n)
2s
3n1
2s
3n
2s1
3n
由 数jk0学(1归)k纳 j 法kj 知3n j
组基底。 ❖ 若A没有n个互异特征根时，若
mi重特征值 i有mi个线性无关的特征向量
有n个线性无关的特征向量做成一组基底。
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 解的线性组合还是递推关系的解，解集合做成解 空间。因此，仿效线性空间的知识，能否找到解 空间的一组基，如果能够找到，那么通解就有了。
k
f (nk)
3n
j0
2k
(1)k
3j nkj
3
j
3n (3 1)k 2k3n
3.1 差分 ❖
3.1 差分
3.1 差分
n
例3.2求和 k(k 1)(k 2) k 0
解：令f (n) n(n 1)(n 2),则f (n)是n的三次多项式且数列