递推关系
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❖ 1、 ❖ 2、
第二类strling数的组合意义
例：求证：S2
(n,
n
1)
n 2
证明：S2 (n, n 1)表示把n元集划分成 n 1个非空子集的方法数
把n元集划分成 n 1个非空子集，其中必有 一个是2元集，
其余是1元集
所以，S2
(n,
n
1)等于n元集A的2元子集的个数，为
n 2
3.4第二类strling数
3.4第二类strling数
定理3.25 xn可由(x)0 , (x)1,(x)n 线性表出且表示法唯一
3.4第二类strling数
3.4第二类strling数
3.4第二类strling数
3.4第二类strling数 第二类strling数的组合意义
第二类strling数的组合意义
特征方程没有重根
3.2 递推关系
分析：特征方程为x3 2x2 x 2 0, 特征根为x1 1, x2 1, x3 2
q是特征根 qn是解 1n 1, (1)n ,2n 是解，所以 un c1 c2 (1)n c3 2n 利用初始条件确定待定系数
特征方程没有重根
3.2 递推关系
❖ 分情况讨论： 一、特征方程没有重根的情形 二、特征方程有重根
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
即 q1n , q2n ,, qkn , 是解空间的基底
特征方程没有重根
3.2 递推关系
解递推关系的一般步骤 (1)解特征方程，求出特征根；q是特征根 qn是解 (2)写出通解； (3)由初始条件确定待定系数； (4)得出解
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
解：递推关系 an 4an1 3an2 2n (n 2)的特征方程为 x2 4x 3 0, 特征根为 x1 1, x2 3,故其通解为 an c1 c2 3n 因为2不是特征根，所以递推关系
an 4an1 3an2 2n (n 2)有特解an A 2n , A是待定系数， 代入上式得A 4,则
n
11(n 4
0)
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
解非齐次递推关系的一般步骤 (1)先解所对应齐次递推关系，：解特征方程，求出特征根， 写出通解； (2)根据非齐次递推关系的形式，找出特解； (3)写出非齐次递推关系的通解：齐次的通解 非齐次的特解； (4)由初始条件确定待定系数； (5)得出解
3(练习5)试求一数列{ f (n)}n0使其前4项依次是3,7,21,51, 其通项f (n)是n的多项式且次数最低 4(练习6)已知f (n)是n的三次多项式且f (0) 1, f (1) 1,
n
f (2) 3, f (3) 19,确定f (n),并求 f (k) k 0
3.2 递推关系
又因为 a0 133, a1 1211112144 133 23 所以， an能被133 整除
特征方程没有重根
3.2 递推关系
❖ 类似线性空间，如果n维线性空间里，若线性映射A有n 个线性无关的特征向量，则这n个线性无关的特征向量 做成一组基底。
❖ 属于不同特征值的特征向量线性无关， ❖ 当A有n个特征值时，这n个线性无关的特征向量做成一
3.2 递推关系
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
例：解递推关系
an
5an1 a0
6an2 n 2(n
27 4
, a1
49 4
2)
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
解：递推关系 an 5an1 6an2 n 2(n 2)的特征方程为 x2 5x 6 0, 特征根为 x1 2, x2 3,故其通解为 an c1 2n c2 3n
由于无等于1的特征根，所以递推关系
an 5an1 6an2 n 2(n 2)有特解an An B, A, B
是待定系数，代入上式 得A 1 , B 11 ,则
24
an
c1
2n
c2
3n
1 2
n
11 4
,
c1,
c2是待定系数，由初
始条件得
c1
3, c2
1，所以an
3 2n
3n
1 2
3.2 递推关系
解：递推关系 an 3an1 3an2 an3 24n 6(n 3)的特征方程为 x3 3x2 3x 1 0, 特征根为 x1 x2 x3 1,故其通解为 an c1 c2 n c3n2 因为1是三重特征根，所以递推关系
an 3an1 3an2 an3 24n 6(n 3)有特解an n3( An B), 其中A, B是待定系数，代入上式得A 1, B 5,则 an c1 c2 n c3n2 n4 5n3, 其中c1, c2 , c3是待定系数， 由初始条件得 c1 4, c2 17, c3 21,所以 an 4 17n 21n2 n4 5n3
CH3 递推关系
1
差分
2
递推关系
3
Fibonacci数
4
第二类stirling数
CH3 递推关系
3.1 差分
3.1 差分
3.1 差分
3.1 差分
3.1 差分
(2)n
(E
I )n
n j0
n
(1)
j
n j
E
j
3.1 差分
例3.1设f (n) 3n ,求k f (n)
解解法法一二：：f (n) f (n 1) f (n) 3n1 3n 2 3n;
k
f (nk)
3n
j0
2k
(1)k
Βιβλιοθήκη Baidu
3j nkj
3
j
3n (3 1)k 2k3n
3.1 差分 ❖
3.1 差分
3.1 差分
n
例3.2求和 k(k 1)(k 2) k 0
解：令f (n) n(n 1)(n 2),则f (n)是n的三次多项式且数列
{ f (n)}n0的差分表为
0
0
8
30
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 解的线性组合还是递推关系的解，解集合做成解 空间。因此，仿效线性空间的知识，能否找到解 空间的一组基，如果能够找到，那么通解就有了。
定理3.20设{ f (n)}n0是Fibonacci数列，则
f
(n)
[n] 2
k 0
n
k
k
(n
0,1,2,)
n
定理3.21 f (k) f (n 2) 1
k 0
定理3.22 f (n m) f (n) f (m) f (n 1)(m 1)
3.3Fibonacci数
例：求f (20) 解：f (20) f (10 10) f (10) f (10) f (9) f (9) 又f (10) f (5 5) f (5) f (5) f (4) f (4); f (9) f (5 4) f (5) f (4) f (4) f (3); f (3) 3, f (4) 5, f (5) 9; 所以, f (10) 89, f (9) 55, f (20) 10946
3.2 递推关系
递推关系
特征方程没有重根的常 系数线性齐次递推关系
特征方程有重根的常系数 线性齐次递推关系
两类常系数线性非齐次 递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 研究思路： 先假设方程有解， (1) 找出方程解的结构； (2) 方程有解满足那些条件 (3) 满足这些条件的方程是否有解
72
0
8
22
42
8
14
20
6
6
因为f (0) 0, f (0) 0, 2 f (0) 8, 3 f (0) 6,所以
n k(k
k 0
1)(k
2)
n k 0
f
(k)
3 j 0
n j
11j
f
(0)
1 n4 4
5 n3 6
1 n2 4
5 6
n
3.1 差分
3.1 差分
例3.3试求一数列{ f (n)}n0使其前5项依次是1,3,7,13,21, 其通项f (n)是n的多项式且次数最低
解：设数列{ f (n)}n0为所求，则其差分表为
1
3
7
13
21
2
4
6
8
2
2
2
0
0
由定理3.6，k f (0) 0(k 3)
由牛顿公式
f
(n)
En
f
(0)
n i0
n i
i
f
(0)
n2
n
1
练习
（1 练习1(1)）f (n) 2n (1)n ,求k f (n)
n
2(练习4)用差分法求和 (k 1)(k 2)2 k 0
2k ff ((nn)) (Ef (nI )k 1f)(n)f ((En)I )2k 33n n1 2 3n 22 3n
设 ks
s f j10
f((n(1n)))kj2skjsf(E3nnj
3, 则n 1)
s
f
(n)
2s
3n1
2s
3n
2s1
3n
由 数jk0学(1归)k纳 j 法kj 知3n j
an c1 c2 3n 4 2n , c1, c2是待定系数，由初始条件得 c1 1, c2 5，所以an 1 53n 4 2n (n 0)
常系数线性非齐次递推关系
练习
(1)习题21(1)(3)
3.3Fibonacci数 ❖ 3.3Fibonacci数
f (n)
3.3Fibonacci数
分析：因为 q是特征根 qn是解
5 13 和 5 13 是特征方程的两个特征 根
2
2
所以，特征方程为 x2 5x 3 0
从而un an是递推关系un 5un1 3un2 (n 2)的一个解，故 an 5an1 3an2 (n 2)
特征方程没有重根
3.2 递推关系
分析：要证明 an (n 0)能被133整除，可以从数列满足 的递推关系出发 因为an 121 11n 12 144 n ,可知11,144是特征根 类似上例可知特征方程为x2 155x 1548 0 an满足递推关系an 155un1 1548un2 (n 2)
解递推关系的一般步骤 (1)解特征方程，求出特征根；q是特征根 qn是解 (2)写出通解； (3)由初始条件确定待定系数； (4)得出解
特征方程没有重根
3.2 递推关系
解：所给递推关系的特征方程为x4 8x3 22x2 24x 9 0 的特征根为x1 x2 1, x3 x4 3,所以
an c1 c2n c33n c4n3n , 其中c1, c2 , c3, c4为待定系数
由初始条件得 c1 2, c2 1, c3 3, c4 1,故 an 2 n 3n1 n3n (n 0,1,2,)
特征方程有重根
练习
(1)习题19(1)(3); (2)习题20(1)
即思考问题时，先找到必要条，再证必要条件是不是充 分条件，是的话当然好；不是的话，有需加哪些条件？
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 1、满足递推关系的数列由其前k项决定， 前k项不同，得到的满足递推关系的 数列也就不同。
2、任给k个常数，就可以构造满足递推关系的数列
组基底。 ❖ 若A没有n个互异特征根时，若
mi重特征值 i有mi个线性无关的特征向量
有n个线性无关的特征向量做成一组基底。
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
第二类strling数的组合意义
例：求证：S2
(n,
n
1)
n 2
证明：S2 (n, n 1)表示把n元集划分成 n 1个非空子集的方法数
把n元集划分成 n 1个非空子集，其中必有 一个是2元集，
其余是1元集
所以，S2
(n,
n
1)等于n元集A的2元子集的个数，为
n 2
3.4第二类strling数
3.4第二类strling数
定理3.25 xn可由(x)0 , (x)1,(x)n 线性表出且表示法唯一
3.4第二类strling数
3.4第二类strling数
3.4第二类strling数
3.4第二类strling数 第二类strling数的组合意义
第二类strling数的组合意义
特征方程没有重根
3.2 递推关系
分析：特征方程为x3 2x2 x 2 0, 特征根为x1 1, x2 1, x3 2
q是特征根 qn是解 1n 1, (1)n ,2n 是解，所以 un c1 c2 (1)n c3 2n 利用初始条件确定待定系数
特征方程没有重根
3.2 递推关系
❖ 分情况讨论： 一、特征方程没有重根的情形 二、特征方程有重根
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
即 q1n , q2n ,, qkn , 是解空间的基底
特征方程没有重根
3.2 递推关系
解递推关系的一般步骤 (1)解特征方程，求出特征根；q是特征根 qn是解 (2)写出通解； (3)由初始条件确定待定系数； (4)得出解
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
解：递推关系 an 4an1 3an2 2n (n 2)的特征方程为 x2 4x 3 0, 特征根为 x1 1, x2 3,故其通解为 an c1 c2 3n 因为2不是特征根，所以递推关系
an 4an1 3an2 2n (n 2)有特解an A 2n , A是待定系数， 代入上式得A 4,则
n
11(n 4
0)
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
解非齐次递推关系的一般步骤 (1)先解所对应齐次递推关系，：解特征方程，求出特征根， 写出通解； (2)根据非齐次递推关系的形式，找出特解； (3)写出非齐次递推关系的通解：齐次的通解 非齐次的特解； (4)由初始条件确定待定系数； (5)得出解
3(练习5)试求一数列{ f (n)}n0使其前4项依次是3,7,21,51, 其通项f (n)是n的多项式且次数最低 4(练习6)已知f (n)是n的三次多项式且f (0) 1, f (1) 1,
n
f (2) 3, f (3) 19,确定f (n),并求 f (k) k 0
3.2 递推关系
又因为 a0 133, a1 1211112144 133 23 所以， an能被133 整除
特征方程没有重根
3.2 递推关系
❖ 类似线性空间，如果n维线性空间里，若线性映射A有n 个线性无关的特征向量，则这n个线性无关的特征向量 做成一组基底。
❖ 属于不同特征值的特征向量线性无关， ❖ 当A有n个特征值时，这n个线性无关的特征向量做成一
3.2 递推关系
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
例：解递推关系
an
5an1 a0
6an2 n 2(n
27 4
, a1
49 4
2)
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
解：递推关系 an 5an1 6an2 n 2(n 2)的特征方程为 x2 5x 6 0, 特征根为 x1 2, x2 3,故其通解为 an c1 2n c2 3n
由于无等于1的特征根，所以递推关系
an 5an1 6an2 n 2(n 2)有特解an An B, A, B
是待定系数，代入上式 得A 1 , B 11 ,则
24
an
c1
2n
c2
3n
1 2
n
11 4
,
c1,
c2是待定系数，由初
始条件得
c1
3, c2
1，所以an
3 2n
3n
1 2
3.2 递推关系
解：递推关系 an 3an1 3an2 an3 24n 6(n 3)的特征方程为 x3 3x2 3x 1 0, 特征根为 x1 x2 x3 1,故其通解为 an c1 c2 n c3n2 因为1是三重特征根，所以递推关系
an 3an1 3an2 an3 24n 6(n 3)有特解an n3( An B), 其中A, B是待定系数，代入上式得A 1, B 5,则 an c1 c2 n c3n2 n4 5n3, 其中c1, c2 , c3是待定系数， 由初始条件得 c1 4, c2 17, c3 21,所以 an 4 17n 21n2 n4 5n3
CH3 递推关系
1
差分
2
递推关系
3
Fibonacci数
4
第二类stirling数
CH3 递推关系
3.1 差分
3.1 差分
3.1 差分
3.1 差分
3.1 差分
(2)n
(E
I )n
n j0
n
(1)
j
n j
E
j
3.1 差分
例3.1设f (n) 3n ,求k f (n)
解解法法一二：：f (n) f (n 1) f (n) 3n1 3n 2 3n;
k
f (nk)
3n
j0
2k
(1)k
Βιβλιοθήκη Baidu
3j nkj
3
j
3n (3 1)k 2k3n
3.1 差分 ❖
3.1 差分
3.1 差分
n
例3.2求和 k(k 1)(k 2) k 0
解：令f (n) n(n 1)(n 2),则f (n)是n的三次多项式且数列
{ f (n)}n0的差分表为
0
0
8
30
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 解的线性组合还是递推关系的解，解集合做成解 空间。因此，仿效线性空间的知识，能否找到解 空间的一组基，如果能够找到，那么通解就有了。
定理3.20设{ f (n)}n0是Fibonacci数列，则
f
(n)
[n] 2
k 0
n
k
k
(n
0,1,2,)
n
定理3.21 f (k) f (n 2) 1
k 0
定理3.22 f (n m) f (n) f (m) f (n 1)(m 1)
3.3Fibonacci数
例：求f (20) 解：f (20) f (10 10) f (10) f (10) f (9) f (9) 又f (10) f (5 5) f (5) f (5) f (4) f (4); f (9) f (5 4) f (5) f (4) f (4) f (3); f (3) 3, f (4) 5, f (5) 9; 所以, f (10) 89, f (9) 55, f (20) 10946
3.2 递推关系
递推关系
特征方程没有重根的常 系数线性齐次递推关系
特征方程有重根的常系数 线性齐次递推关系
两类常系数线性非齐次 递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 研究思路： 先假设方程有解， (1) 找出方程解的结构； (2) 方程有解满足那些条件 (3) 满足这些条件的方程是否有解
72
0
8
22
42
8
14
20
6
6
因为f (0) 0, f (0) 0, 2 f (0) 8, 3 f (0) 6,所以
n k(k
k 0
1)(k
2)
n k 0
f
(k)
3 j 0
n j
11j
f
(0)
1 n4 4
5 n3 6
1 n2 4
5 6
n
3.1 差分
3.1 差分
例3.3试求一数列{ f (n)}n0使其前5项依次是1,3,7,13,21, 其通项f (n)是n的多项式且次数最低
解：设数列{ f (n)}n0为所求，则其差分表为
1
3
7
13
21
2
4
6
8
2
2
2
0
0
由定理3.6，k f (0) 0(k 3)
由牛顿公式
f
(n)
En
f
(0)
n i0
n i
i
f
(0)
n2
n
1
练习
（1 练习1(1)）f (n) 2n (1)n ,求k f (n)
n
2(练习4)用差分法求和 (k 1)(k 2)2 k 0
2k ff ((nn)) (Ef (nI )k 1f)(n)f ((En)I )2k 33n n1 2 3n 22 3n
设 ks
s f j10
f((n(1n)))kj2skjsf(E3nnj
3, 则n 1)
s
f
(n)
2s
3n1
2s
3n
2s1
3n
由 数jk0学(1归)k纳 j 法kj 知3n j
an c1 c2 3n 4 2n , c1, c2是待定系数，由初始条件得 c1 1, c2 5，所以an 1 53n 4 2n (n 0)
常系数线性非齐次递推关系
练习
(1)习题21(1)(3)
3.3Fibonacci数 ❖ 3.3Fibonacci数
f (n)
3.3Fibonacci数
分析：因为 q是特征根 qn是解
5 13 和 5 13 是特征方程的两个特征 根
2
2
所以，特征方程为 x2 5x 3 0
从而un an是递推关系un 5un1 3un2 (n 2)的一个解，故 an 5an1 3an2 (n 2)
特征方程没有重根
3.2 递推关系
分析：要证明 an (n 0)能被133整除，可以从数列满足 的递推关系出发 因为an 121 11n 12 144 n ,可知11,144是特征根 类似上例可知特征方程为x2 155x 1548 0 an满足递推关系an 155un1 1548un2 (n 2)
解递推关系的一般步骤 (1)解特征方程，求出特征根；q是特征根 qn是解 (2)写出通解； (3)由初始条件确定待定系数； (4)得出解
特征方程没有重根
3.2 递推关系
解：所给递推关系的特征方程为x4 8x3 22x2 24x 9 0 的特征根为x1 x2 1, x3 x4 3,所以
an c1 c2n c33n c4n3n , 其中c1, c2 , c3, c4为待定系数
由初始条件得 c1 2, c2 1, c3 3, c4 1,故 an 2 n 3n1 n3n (n 0,1,2,)
特征方程有重根
练习
(1)习题19(1)(3); (2)习题20(1)
即思考问题时，先找到必要条，再证必要条件是不是充 分条件，是的话当然好；不是的话，有需加哪些条件？
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 1、满足递推关系的数列由其前k项决定， 前k项不同，得到的满足递推关系的 数列也就不同。
2、任给k个常数，就可以构造满足递推关系的数列
组基底。 ❖ 若A没有n个互异特征根时，若
mi重特征值 i有mi个线性无关的特征向量
有n个线性无关的特征向量做成一组基底。
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系