热学(李椿+章立源+钱尚武)习题解答_第六章 热力学第二定律

第六章热力学第二定律

6-1 设每小时能造冰m克，则m克25℃的水变成－18℃的水要放出的热量为

25m+80m+0.5×18m=114m

有热平衡方程得

4.18×114m=3600×2922

∴ m=2.2×104克=22千克

由图试证明：任意循环过程的效率，不可能大于工作于它所经历的最高热源温度与最低热温源温度之间的可逆卡诺循环的效率。

（提示：先讨论任一可逆循环过程，并以一连串微小的可逆卡诺循环过程。如以T m和T n分别代表这任一可循环所经历的最高热源温度和最低热源温度。试分析每一微小卡诺循环效率与的关系）

证：（1）d当任意循环可逆时。用图中封闭曲线R表示，而R可用图中一连串微笑的可逆卡诺循环来代替，这是由于考虑到：任两相邻的微小可逆卡诺循环有一总，环段绝热线是共同的，但进行方向相反从而效果互相抵消，因而这一连串微小可逆卡诺循环的总效果就和图中锯齿形路径所表示的循环相同；当每个微小可逆卡诺循环无限小而趋于数总无限多时，其极限就趋于可逆循环R。

考虑人一微小可逆卡诺循（187完）

环，如图中阴影部分所示，系统从高温热源T i吸热Q i，向低温热源T i放热，对外做功，则效率

任意可逆循环R的效率为

A为循环R中对外作的总功

（1）

又，T m和T n是任意循环所经历的最高温热源和最低温热源的温度

∴对任一微小可逆卡诺循，必有：

T i≤T m，T i≥T n

或

或

令表示热源T m和T n之间的可逆卡诺循环的效率，上式

为

将（2）式代入(1)式：

或

或（188完）

即任意循环可逆时，其效率不大于它所机灵的最高温热源T m和最低温度热源T n之间的可逆卡诺循环的效率。

（2）任意循环不可逆时，可用一连串微小的不可逆卡诺循环来代替，由于诺定理知，任一微小的不可逆卡

诺循环的效率必小于可逆时的效率，即（3）

对任一微小的不可逆卡诺循环，也有

(4)

将(3)式代入(4)式可得：

即任意不可逆循环的效率必小于它所经历的最高温热源T m和最低温热源T n之间的可逆卡诺循环的效率。

综之，必

即任意循环的效率不可能大于它所经历的最高温热源和最低温热源之间的可逆卡诺循环的效率。

*6-8 若准静态卡循环中的工作物质不是理想气体而是服从状态方程p(v-b)=RT。式证明这可逆卡诺循环的效率公式任为

证：此物种的可逆卡诺循环如图。

等温膨胀过程中，该物质从高温热源T1吸热为

等温压缩过程中，该物质向低温热源放热为（189完）

由第五章习题13知，该物质的绝热过程方程为

利用可得其绝热方程的另一表达式子

由绝热线23及14得

两式相比得

∴该物质卡诺循环的效率为

可见，工作于热源T1和T2之间的可逆机的效率总为1－，与工作物质无关，这正是卡诺定理所指出的。6-9(1)利用（6.7）式证明，对一摩尔范德瓦耳斯气体有

（2）由(1) 证明：

(3)设C v为常数，证明上式可写

其中U0’=U O-c v t o+a/v o

证：（1）对一摩尔物质，(6.7)式为一摩尔范氏气体的物态方程为

代入上式即得

(2)视u为T、v的函数，由(1)得

积分上式

即得

(3)当C v为常数

由(2)即得

其中

6-10设有一摩尔范德瓦耳斯气体，证明其准静态绝热过程方程为该气体的摩尔热容量C v为常数

（提示：利用习题9的结果）

证：上题给出

由得

Tds = du＋pdv = CvdT－dv

由熵增原理知，可逆绝热过程中系统的熵不变，有

CvdT＋dv = 0

或＋= 0

已知为常数，积分上式即得

6-11接上题，证明范德瓦耳斯气体准静态绝热过程方程又可写为

证：有一摩尔范氏气体的状态方程得

代入上题结果

由于R是常量，所以上式可写作

6-12证明：范德瓦耳斯气体进行准静态绝热过程时，气体对外做功为C V（T1－T2）－a( －) 设C v为常数

证：习题9给出，对摩尔范氏气体有

当范氏气体有状态（T1、v1）变到状态（T2、v2）。内能由u1变到u2，而C v为常数时，上式为u2－u1=Cv（T2－T1）＋a（－）

绝热过程中，Q=0，有热力学第一定律得

气体对外作的功

－A=u2－u1=Cv（T2－T1）＋a（－）

6-13证明：对一摩尔服从范德瓦耳斯方程的气体有下列关

系：

（提示：）要利用范德瓦耳斯气体的如下关系：

证：习题9已证得，一摩尔范氏气体有

视V为T、P的函数，有

所以，1摩尔范氏气体在无穷小等压（`````=0）过程中，热力学第一定律可写为：dQ = C p dT = du＋pdv

= C v dT ＋dv＋（－）dv

或

又由（p＋）(v－b) =RT 可得

代入上式即得

6-14 用范德瓦耳斯气体模型，试求在焦耳测定气体内能实验中气体温度的变化.设气体定容摩尔热容量CV 为常数，摩尔体积在气体膨胀前后分别为V1，V2。

解：当1摩尔范氏气体由（T1,V1）变到（T2,V2），而C V为常数时，由9题结果知其内能变化为：

u2－u1=C V（T1－T1）＋a ( －) (1)

焦耳自由膨胀实验中，A=0，且气体向真空的膨胀过程极短暂，可认为气体来不及与外界热交换，Q=0，由热力学第一定律得

u2－u1=0

对于1摩尔范氏气体，由（1）式则得：

T1－T1= ( － )

6-15利用上题公式，求CO2在焦耳实验中温度的变化。设

体的摩尔体积在膨胀前是2.01·mol－1，在膨胀后为

4.01·mol－1。已知CO2的摩尔热容量为3.38R，

a=3.6atm·I2·mol－2

解：取R=8.2×10－2atm·l·mol－1·K－1利用上题公式并代入已知数据得

T1－T1= ( － )=－3.25K

负号表示范氏气体自由膨胀后温度降低。

6-16 对于一摩尔范德瓦耳斯气体，证明经节流膨胀后其温度的变化T2---T1为

T2－T1=[（－）－（－）]

设气体的摩尔热容量为常数。

证：由9题结果，1摩尔范氏气体的内能为

u = u0'＋C v T－

由范氏气态方程（p＋）(v－b)=RT