一元一次方程应用问题

第 1 讲 一元一次方程应用问题

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．

要点诠释：

（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的

关系，寻找等量关系；

（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；

（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两

边是同一类量，单位要统一；

（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；

（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去

即可；

（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．

知识点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

1．和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余

以及倍，增长率等．

2．行程问题

（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间

（2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路

程．

③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速

度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助

画草图来分析．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

−−−→分析抽象−−−→求解检验

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

二、典型例题

类型一、和差倍分问题

例1．（2016•黄冈）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？

【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+2）×2=118﹣x．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．

【变式】（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（）

A．25台 B．50台 C．75台 D．100台

类型二、行程问题

1.一般问题

例2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．

【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．

2.相遇问题（相向问题）

例3．A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？

【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km

【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?

3.追及问题（同向问题）

例4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?

【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分

钟，两边单位不一致，应先统一单位．

4.航行问题（顺逆流问题）

例5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．

【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．

类型三、工程问题

例6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?

【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1”．

【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?