数学建模的几种常用方法

枝正在绽放的教研之花，一定会在教育的百花园中，开放得更加灿烂多姿。

参考文献：

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[3]陈长前.如何培养学生学习数学的兴趣［J］.中学数学教学，1998，（5）.[4]丁锦辉.有效备课.初中数学[M].长春：东北师范大学出版

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[5]刘晓明.生本备课——

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[6]刘湘溶.创新教师教育新模式[M].北京：经济科学出版社, 2004.

[7]华同旭.教育创新与发展[M].北京：经济科学出版社,2007.

第30卷2012年5月

太原大学教育学院学报

JOURNAL OF EDUCATION INSTITUTE OF TAIYUAN UNIVERSITY

Vol.30

May.2012数学建模的几种常用方法

张婧

（太原大学教育学院，山西太原030001）

〔摘要〕文章介绍了数学建模的一些主要术语，讨论了数学建模的常用方法以及这些方法的适用情况、使用步骤和主要思想。

〔关键词〕数学建模；数学模型；思想；问题

1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。本文主要介绍了数学建模中常用的方法。

一、数学建模的相关概念

原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。

模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。

数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。

数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法

二、教学模型的分类

数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。

三、数学建模的常用方法

1.类比法

数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型。

2.量纲分析法

量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和便于成果整理。

在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、H、J和N，称为基本量纲。

量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度将有量纲量化为无量纲量，从而达到减

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太原大学教育学院学报2012年

少参数、简化模型的效果。

3.差分法

差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有以下几种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

差分法的解题步骤为：建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；精度分析和检验。

4.变分法

变分法是处理函数的函数的数学领域，即泛函问题，和处理数的函数的普通微积分相对。这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造，最终寻求的是极值函数。现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，即变分问题。变分问题的求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。受基础知识的制约，数学建模竞赛大专组的建模方法使用变分法较少。

5.图论法

数学建模中的图论方法是一种独特的方法，图论建模是指对一些抽象事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。图论是研究由线连成的点集的理论。一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟。因此，图论是研究自然科学、工程技术、经济问题、管理及其他社会问题的一个重要现代数学工具，更是成为了数学建模的一个必备工具。

6.层次分析法

层次分析法即AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。

层次分析法的基本步骤是：建立层次结构模型；构造成比较矩阵；计算权向量并做一致性检验。

7.数据拟合法

在建立数学模型时,实际问题有时仅给出一组数据，处理这类问题较简单易行的方法是通过数据拟合法求得“最佳”的近似函数式——

—经验公式。从几何上看就是找一条“最佳”的曲线，使之和给定的数据点靠得最近，即进行曲线拟合。根据一组数据来确定其经验公式，一般可分为三步进行:

（1）决定经验公式的形式

根据所描绘系统固有的特点,参照已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的形式。大致思路：一是利用所研究系统的有关问题在理论上已有的结论,来确定经验公式的形式。二是在无现成理论情况下,最简单的处理手段是用描图的方法,将数据点连成光滑曲线,把它与已知函数曲线进行比较,找出与之比较接近的曲线。三是如要考虑所建立的模型必要的逻辑性与理论价值,可利用合适的数学方法,对所研究系统的有关问题进行定量化的机理分析,导出较为严密的数学公式。

（2）决定经验公式中的待定参数

一般可用线性情况下的最小二乘法，它误差较小,适用于测定数据比较精确的情况。在使用最小二乘法时,如遇到数学模型是非线性经验公式时，其中参数的待定通常是尝试能否经适当的变量替换,将之化为线性模型来计算。

（3）进行模型检验

求得确定的经验公式后,将实际测定值与用公式算出的理论值进行比较。

8.回归分析法

回归分析方法是统计分析的重要组成部分，用回归分析方法来研究建模问题是一种常用的有效方法，一般与实际联系比较密切，因为随机变量的取值是随机的，大多数是通过试验得到的，这种来自于实际中与随机变量相关的数学模型的准确度（可信度）如何，需通过进一步的统计试验来判断其模型中随机变量（回归变量）的显著性，而且往往需要经过反复地进行检验和修改模型，直到得到最佳的结果，最后应用于实际中去。回归分析的主要内容一是从一组数据出发，确定这些变量（参数）间的定量关系（回归模型）；二是对模型的可信度进行统计检验；三是从有关的许多变量中，判断变量的显著性（即哪些是显著的，哪些不是，显著的保留，不显著的忽略）；四是应用结果是对实际问题作出的判断.

根据回归模型中回归的特征，常见的回归模型有：一元线性回归模型、多元线性回归模型、非线性回归模型。具体选择哪种回归模型，一般方法如下：

（1）淘汰法

基本思想是把所有可选择的变量抖放进模型中，而后

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