由参数方程确定函数导数高阶导数共23页
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隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数
偏导数
z x
f x ( x, y),
z y
f y( x, y),
一般说来仍然是 x , y 的函
如数果，这两个函数关于
它x们,的y偏的导偏数导是数也f 存(x在,，y)的二阶偏导数.
则称
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四 个：
z x
x
x
z x
2z x2
f xx( x, y) zxx;
3
x
x y y x
解
z x
1 1 y
2
y x2
y x2 y2 ,
x
z 1 1
y
1
y
2
x
x x2 y2 ,
x
2z x y
y
y x2 y2
(1) ( x2
y2 ) ( y) (0 2 y) (x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2z y x
x
感谢下 载
感谢下 载
(1)n1(n 1)!.
例 11
设
y
=
sin
x求，dn y
dx n
.
解 dy cos x sin x ，
dx
2
d2 y dx 2
cos
x
2
sin
x
2
2
，
d3 y dx 3
cos
x
2
2
sin
x
3
2
，
dn y dx n
sin
x
n 2
.
五、 高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的两个
第三模块 函数的微分学
由参数方程所确定的函数的导数(精)
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例1 求由方程eyxye0所 例2 求由方程y52yx3x70 确定的隐函数y的导数 所确定的隐函数yf(x)在 解 方程中每一项对x求导得 x0处的导数y|x0
d 1 dh sec d t 500 d t
2
h
sec 2 1 tan 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
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高等数学
主讲人： 苏本堂
二、由参数方程所确定的函数的导数
x j (t ) 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程 确定的 y y (t ) 设xj(t)具有反函数tj-1(x) 且tj-1(x)与yy(t)构成 复合函数yy[j-1(x)] 若xj(t)和yy(t)都可导 则
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主讲人： 苏本堂
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
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主讲人： 苏本堂
例5 求yx sin x (x>0)的导数 解法一 两边取对数 得 ln ysin xln x
参数方程求导法_高阶导数
所确定的函数y的导数 t
dy dx
.
dy (t sin t) 1 cost dx
dx (2t 2 ) 4t dt
dy
故
dy dx
dt dx
1 cost 4t
dt
练
椭圆
x y
a cost ,
bsin t
在t
2
时的切线方程为 y
b.
A.
参数方程求导法则：
设
x x(t)
tI
y y(t)
若 d y y(t), d x x(t) 存在, 且 x(t) 0, 则
dt
dt
dy
dy dx
y(t)
xt
dt dx
y对t求导数
dt
x对t求导数
例3 解
求由参数方程x y
2t 2 t sin
例5 求 y = ex 的各阶导数.
解 y ex
y ( y) (ex ) ex
y(n) ex
y = ex 的任何阶导数仍为 ex
(ex )(n) ex (n N)
练
判断： y = ax 的各阶导数可以表示为： (a x )(n) a x
A. √
一般说来, 如果函数 f (x) 的导函数 f (x) 仍然 可导, 则称 f (x) 的导数为原来函数 f (x) 的二 阶导数, 记为 f (x) ( f (x)).
例4 求幂函数 y x6 2x3 3x2 x 6, n Z 的高阶导数.
解 y 6x5 6x2 6x 1
B.
高等数学《高阶导数》
'2 (t)
'(t)
''(t )
'(t) '(t) '3 (t)
''(t )
d3y dx3
d dx
(
d2y dx2
)
d dt
(
d2y dx2
)
dx
dt
例12
x y
ln(1 t2 ) t arctan
t
,
求
d2 dx
y
2
，d 3 y dx3
解：dy
1
1 1 t
2
dx
2t
1 t2
t 2
3、 设 y (1 x 2 )arctan x，则 y=________.
4、 设 y xe x2 ,则 y=_________.
5、 设 y f ( x 2 ), f ( x)存在，则 y=_________.
6、 设 f ( x) ( x 10)6,则 f (2)=_________.
cos(
x
)
sin(
x
)
sin(
x
2
)
2
22
2
y cos( x 2 ) sin( x 3 )
2
2
y(n) sin( x n )
2
同理可得
(cos
x)(n)
cos( x
n
)
2
(sin x)(n) sin( x n )
2
(cos x)(n) cos( x n )
1、 y 2x 3 x 4 ； x
2、 y cos2 x ln x ；
3、 y ln( x 1 x 2 ).
2.1.5-2.1.7高阶导数和参数方程、极坐标导数
吉林市英才培训学校王向雨12.1.5-2.1.7高阶导数及参数方程和极坐标函数的导数及函数不可导一、定义一般来说，函数)(x f 的导数)()(x f x y '='仍是x 的函数，如果函数)()(x f x y '='的导数存在，这个导数叫做原函数)(x f y =的二阶导数，记作22)(,dxy d x f y 或''''。
按照定义，函数)(x f 在点x 的二阶导数，就是下列极限。
xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim )(0一般的，如果)(x f y =的)1(-n 阶导数)(11x f y n n --=的导数存在，其导数就叫做)(x f y =的n 阶导数，记作n n n n dxy d x f y 或)(,)()(。
n 次多项式的一切高于n 阶的导数都是零。
)()()()(n n n v u v u ±=±)()(0)()(k k n nk k n n v u C v u ⋅=⋅-=∑，叫做莱布尼兹公式。
二、参数方程和极坐标函数的导数例、⎪⎩⎪⎨⎧-==20021cos cos gt a t v y a t v x 求任意时刻t 的运动方向。
x y dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ''==⋅=。
a v gt a v x y dx dy cos sin 020-=''=。
三、曲线的极坐标方程按参数方程处理例、⎩⎨⎧==θθθθsin )(cos )(r y r x 求曲线切线的斜率。
θθθθθθθθθθθθθθθθθθtan )()()(tan )(sin )(cos )(cos )(sin )(r r r r r r r r dx d dy dx d d dy dx dy -'+'=-'+'==⋅=四、函数不可导情形函数可导需满足：①)(x f 在点0x 有确切的函数值)(0x f ；②当0x x →时，)(x f 有确切的极限值；③这个极限值就是)(0x f 。
隐函数、参数方程的求导、高阶导数
高等数学应用教程 例2.27
2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
例2.28
高等数学应用教程 例2.29
2.2.5 高阶导数
所以
高等数学应用教程 小结
பைடு நூலகம்
2.2 导数的运算
隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程所确定的函数的求导法 高阶导数的概念及求导法
高等数学应用教程
第2章 导数与微分
2.2 导数的运算
➢ 2.2.3 隐函数的求导法
➢ 2.2.4 由参数方程所确定的
函数的求导法
➢ 2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.22
2.2.3 隐函数的求导法
两个函数, 容易得,
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.23
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 课堂练习 P53, 9 (2)
2.2.3 隐函数的求导法
例2.24
高等数学应用教程 例2.25
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
例2.26
高等数学应用教程 2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
作业
P52 习题2-2: 9（1）；10; 11(1); 12(2); 13(2)
第二章第四讲高阶导数与隐函数求导参数方程求导36页PPT
dx n
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
1
3.f(x)在x处有n阶导数，那么 f (n1)(x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数
4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则
高阶导数应用举例 例1 y=ax+b, 求 y 解 ya,y0
例2 ssint,求s
解 sco t,s2sitn
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
2
2、应用
例3 证明:函数 y 2xx2 满足关系式
y3y10
证 将 y 2xx2 求导,得
y 22x 1x ,
22xx2 2xx2
2xx2(1x) 22x
y
2 2xx2 2xx2
2 x x 2 (1 x )2 (2x x)2 2x x2
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
4
解 ysinx,
ycoxssinx ( ),
ycox s()s2ix n ()
2
22
si nx( 2 ),
2
ycox s2()six n 3 (),
2
2
y(4)cox s3()six n 4 (),
2
2
一般地,可得
y(n) sinx(n),
即
(sixn )(n) coxs2(n).
重点：隐含数、参数方程求导方法
难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对
数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导 数的求法。
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
10
26.04.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
1
3.f(x)在x处有n阶导数，那么 f (n1)(x)在x的某一邻域内必 定具有一切低于n阶的导数；二阶及二阶以上的导数统称 高阶导数
4.问题：如何求函数的高阶导数？ 一步一步来，利用已知函数的一阶导数公式及运算法则
高阶导数应用举例 例1 y=ax+b, 求 y 解 ya,y0
例2 ssint,求s
解 sco t,s2sitn
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2、应用
例3 证明:函数 y 2xx2 满足关系式
y3y10
证 将 y 2xx2 求导,得
y 22x 1x ,
22xx2 2xx2
2xx2(1x) 22x
y
2 2xx2 2xx2
2 x x 2 (1 x )2 (2x x)2 2x x2
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4
解 ysinx,
ycoxssinx ( ),
ycox s()s2ix n ()
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si nx( 2 ),
2
ycox s2()six n 3 (),
2
2
y(4)cox s3()six n 4 (),
2
2
一般地,可得
y(n) sinx(n),
即
(sixn )(n) coxs2(n).
重点：隐含数、参数方程求导方法
难点：隐含数、参数方程求导方法的应用，对
数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导 数的求法。
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泰山医学院信息工程学院 刘照军
10
2019年最新-10由参数方程确定的函数的导数、高阶导数-精选文档
第二章
第三节
导数与微分
由参数方程确定的函数的导数、 高阶导数
主要内容：
一、由参数方程确定的函数的导数；
二、高阶导数.
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铃
一、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
若为自然 n,则 数
y(n) (xn)(n)n!,
y(n1) (n!) 0.
2
y c oxs(2 2)sinx(32)
y(n) sinx (n) 2
同理可得 (cx o)(n s)coxsn () 2
12
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（2） 高阶导数的运算法则:
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n ) (2)(C)u (n) C(n u )
f(x),
y,
d3y .
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,Βιβλιοθήκη f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般, 函 地数 f(x)的n1阶导数的导数
函数 f(x)的n阶导,记 数作
f(n)(x),y(n), dny或 dnf(x). dnx dnx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应 ,f(x)称 地为零 ;f(x)阶 称导 为数 一 .
第三节
导数与微分
由参数方程确定的函数的导数、 高阶导数
主要内容：
一、由参数方程确定的函数的导数；
二、高阶导数.
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一、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
若为自然 n,则 数
y(n) (xn)(n)n!,
y(n1) (n!) 0.
2
y c oxs(2 2)sinx(32)
y(n) sinx (n) 2
同理可得 (cx o)(n s)coxsn () 2
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（2） 高阶导数的运算法则:
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n ) (2)(C)u (n) C(n u )
f(x),
y,
d3y .
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,Βιβλιοθήκη f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般, 函 地数 f(x)的n1阶导数的导数
函数 f(x)的n阶导,记 数作
f(n)(x),y(n), dny或 dnf(x). dnx dnx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应 ,f(x)称 地为零 ;f(x)阶 称导 为数 一 .
2.4 参数式函数导数 微分
其中 A = f ′( x0 ) 与 Δx 无关, 所以 f ( x ) 在 x0 可微 .
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
注 微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y = f ′( x0 )Δx = tan α ⋅ Δ x .
当 Δx 很小时, Δ y ≈ d y .
当y = x 时: d y = d x = 1 ⋅ Δ x = Δ x,
=
y'' ( t ) x' ( t ) − y' ( t ) x'' ( t )
x' 3 ( t )
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
′ d y ψ ′( t ) d y ⎛ ψ ′( t ) ⎞ =⎜ ⎟ , = 注意 : 已知 2 d x ϕ ′( t ) d x ⎝ ϕ ′( t ) ⎠
2
×
?
例5. 设
: 证: “ ⇒ ”
已知 y = f ( x ) 在点 x0 可微, 则
Δ y = f ( x0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o( Δ x ) Δy o( Δ x ) ∴ lim = lim ( A + )= A Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx 故 y = f ( x ) 在点 x0 处可导, 且 f ′( x0 ) = A.
t =π
2 b, 4= 2
2 2 ⎞ b⎛ b=− ⎜x− a ⎟. 所求切线方程为: y − a⎝ 2 2 ⎠
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
例2. 抛射体运动轨迹的参数方程为
x = v1 t y = v2 t − 1 g t 2 2
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求抛物体速度大小: dx dy 速度的水平分量为 = v1 , 垂直分量为 = v 2 − gt , dt dt dx 2 d y 2 = v12 + (v2 − gt )2 . 故速度大小 v = ( ) + ( ) dt dt 再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
高等数学随堂讲义隐函数及参数方程及高阶导数
复杂函数 求导法则：
u v
求
(n)
u(n) v (n)
n
k (n k ) (k ) uv ( n ) C n u v k 0
莱不尼茨公式
例11
1 y 2 2 2 a b x
y
(n)
例12
y x e 求 y
2 2x
(n)
(二)高阶导数求法
1．显函数
2．隐函数 3．参数方程确定的函数
5 7 y 2 y x 3 x 0 求 y x 0 例1 e xy e 0 求 y 例2
2 2 x y 例3求 在 1 16 9
3 处的切线方程 2, 3 2
一、隐函数的导数
（一）隐函数的导数
（二）对数求导法
一、隐函数的导数
1
y
t
x
参数方程确定的函数的导数
参数方程确定的函数
x (t )
参数方程
t ( x)
1
y
t
y (t )
y 1 ( x )
参数方程确定的函数
x
参数方程确定的函数的导数
d y d y d x ( t ) d x d t d t ( t )
例9
当气球升至500m时停住,有一观测者以 100m／min 的速率向气球出发点走来, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
第三讲
一、隐函数的导数
二、参数方程确定的函数的导数 三、高阶导数
三、高阶导数
（一）概念
（二）求法
（一）隐函数的导数
参数方程表示的函数的求导高阶导数.ppt
y n(n 1)(n 2)a0 xn3 (n 1)(n 2)(n 3)a1xn4 (n 2)(n 3)(n 4)a2 xn5 3 2an3 ,
y(n) n!a0. 容易看出, 当k n时, y(k) 0.
例5 设 y sin x，求y(n).
解 求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、
2
22
2
所以 y(n) sin( x nπ) .
2
当然，我们也可以从：
y' cos x, y" sin x, y cos x, y(4) sin x,
中归纳出下面的规律：
cos x,
(sin
x)(n)
sin
x,
cos x,
sin x,
n 4k 1,
n 4k 2, k 0,1,2,
a dv d (ds),或a (s). dt dt dt
这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为
d2s dt 2
或 s"
，即
d2s dt 2
d dt
(ds)或s" dt
(s).
一般地，若y=f(x)的导数 y f (x) 仍可导，则称
f
( x) 的导数为y=f(x)的二阶导数，记为
d2 dx
导数.分别为
d3 y dx3
,
d4 dx
y
4
,
,
dn dx
y
n
,
或
d3 f dx3
d4 f , dx4
,
,
dn dx
f
n
,
或
y，y(4) (x), , y(n) ,
或
f (x), f（4）(x), , f (n) (x).
y(n) n!a0. 容易看出, 当k n时, y(k) 0.
例5 设 y sin x，求y(n).
解 求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、
2
22
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所以 y(n) sin( x nπ) .
2
当然，我们也可以从：
y' cos x, y" sin x, y cos x, y(4) sin x,
中归纳出下面的规律：
cos x,
(sin
x)(n)
sin
x,
cos x,
sin x,
n 4k 1,
n 4k 2, k 0,1,2,
a dv d (ds),或a (s). dt dt dt
这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为
d2s dt 2
或 s"
，即
d2s dt 2
d dt
(ds)或s" dt
(s).
一般地，若y=f(x)的导数 y f (x) 仍可导，则称
f
( x) 的导数为y=f(x)的二阶导数，记为
d2 dx
导数.分别为
d3 y dx3
,
d4 dx
y
4
,
,
dn dx
y
n
,
或
d3 f dx3
d4 f , dx4
,
,
dn dx
f
n
,
或
y，y(4) (x), , y(n) ,
或
f (x), f（4）(x), , f (n) (x).
隐函数导数和由参数方程确定函数导数.pptx
1、 y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) . 三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ；
( x 1)5 3、 y x sin x 1 e x .
第28页/共33页
第19页/共33页
相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
第20页/共33页
例1 一汽球从离开观察员500 米处离地面铅直
上升 ,其速率为140米 / 秒 . 当气球高度为500 米 时 , 观察员视线的仰角增加率是多少?
解 设气球上升 t 秒后 , 其高度为 h(t) 米 ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解 (1) 在t0时刻的运动方向即
y v0
vy
v vx
轨迹在t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
第17页/共33页
dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
dx
(v0t cos )
v0 sin gt v0 cos
第24页/共33页
例3 河水以8米3 / 秒的体流量流入水库中, 水库
形状是长为4000米, 顶角为1200的水槽, 问水深
20米时, 水面每小时上升几米?
解 设时刻t水深为h(t)米,
水库内水量为V (t)米3 , 则
600
V (t) 4000 3h2
上式两边对t求导得
dV 8000 3h dh
( x 1)5 3、 y x sin x 1 e x .
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相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
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例1 一汽球从离开观察员500 米处离地面铅直
上升 ,其速率为140米 / 秒 . 当气球高度为500 米 时 , 观察员视线的仰角增加率是多少?
解 设气球上升 t 秒后 , 其高度为 h(t) 米 ,
y
v0t
sin
1 2
gt 2
,
求 (1)炮弹在时刻t0的运动方向;
(2)炮弹在时刻t0的速度大小.
解 (1) 在t0时刻的运动方向即
y v0
vy
v vx
轨迹在t0时刻的切线方向,
可由切线的斜率来反映. o
x
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dy
(v0t
sin
1 2
gt 2 )
dx
(v0t cos )
v0 sin gt v0 cos
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例3 河水以8米3 / 秒的体流量流入水库中, 水库
形状是长为4000米, 顶角为1200的水槽, 问水深
20米时, 水面每小时上升几米?
解 设时刻t水深为h(t)米,
水库内水量为V (t)米3 , 则
600
V (t) 4000 3h2
上式两边对t求导得
dV 8000 3h dh
10由参数方程确定函数导数、高阶导数
et et
sin t 在t cos t
2
处.
二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)].
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数,
f (4) ( x),
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1( x),注
y [ 1( x)]
意
分
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0, 子
由复合函数及反函数的求导法则得
母
不
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy
要
即 dy dx
dt dx
(t) (t )
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
隐函数求导法则
隐函数求导步骤： A、对方程两边求导； B、方程仅含x的式子按正常求导；凡含y的 式子要按复合函数求导，且结果必有y(或 dy )
隐函数及参数方程的求导方法,高阶导数
20
例 10 设 y = ln(1 + x) . 求 y(0)，y(0)， y(0)， ···，y(n)(0).
解 y 1 ， 1 x
y(0) 1；
y [(1 x)1] (1)(1 x)2，
y(0) 1； y (1)(2)(1 x)3，
y(0) (1)(2) 2!；
21
y(4) (1)(2)(3)(1 x)4 , y(4) (0) (1)(2)(3) (1)3 3!；
y x2 y2 ,
x
z 1 1
y
1
y
2
x
x x2 y2 ,
x
30
2z x y
y
y x2 y2
(1) ( x2
y2 ) ( y) (0 2 y) (x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2z y x
x
x2
x
y2
1 ( x2 y2 ) x(2x 0)
将 x = 4 代入方程，得 y = 1.即对应于 x = 4 有 两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1).
4
在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 在2，P2 处切线的斜 率 y|(4, - 1) = 2. 所以，在点 P1 处的切线方程为
y – 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在点 P2 处的切线方程为
3
点 P 处的切线方程为
y 1a 2
3
x
3
a
3 2
a
.
11
例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出， 如果不计空气阻力，以发射点为原点地，平线为 x 轴，
例 10 设 y = ln(1 + x) . 求 y(0)，y(0)， y(0)， ···，y(n)(0).
解 y 1 ， 1 x
y(0) 1；
y [(1 x)1] (1)(1 x)2，
y(0) 1； y (1)(2)(1 x)3，
y(0) (1)(2) 2!；
21
y(4) (1)(2)(3)(1 x)4 , y(4) (0) (1)(2)(3) (1)3 3!；
y x2 y2 ,
x
z 1 1
y
1
y
2
x
x x2 y2 ,
x
30
2z x y
y
y x2 y2
(1) ( x2
y2 ) ( y) (0 2 y) (x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2z y x
x
x2
x
y2
1 ( x2 y2 ) x(2x 0)
将 x = 4 代入方程，得 y = 1.即对应于 x = 4 有 两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1).
4
在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 在2，P2 处切线的斜 率 y|(4, - 1) = 2. 所以，在点 P1 处的切线方程为
y – 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在点 P2 处的切线方程为
3
点 P 处的切线方程为
y 1a 2
3
x
3
a
3 2
a
.
11
例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出， 如果不计空气阻力，以发射点为原点地，平线为 x 轴，
参数方程确定的函数的高阶导数的求法
参数方程确定的函数的高阶导数的求法
张府柱
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2014(000)017
【摘要】在数学分析和高等数学教材中都有由参数方程所确定的函数的导数这个内容,然而所给的参数方程所确定的曲线很多不满足函数的定义,因此标题就值得商讨.此外,参数方程在高等数学中占有重要地位,一般的函数y=f(x)都可以理解为以x 为参数的方程,而参数方程x=φ(t),y=φ(t{)在理论上可以通过消去参数t,化成y=f(x)的形式,在实际问题中,往往是困难的.但它作为平面曲线的代数形式,我们可以研究它的对称性(奇偶性)、周期性、有界性、连续性、极值、可微性、渐近线和作图问题.本文就其高阶导数的求法进行讨论.
【总页数】2页(P94-94,96)
【作者】张府柱
【作者单位】六盘水师院学院
【正文语种】中文
【中图分类】O13
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1.参数方程确定函数的高阶导数求法
2.参数方程所确定的函数的高阶导数的一种逐次求导法
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4.不用求高阶导数确定函数方程的重根次数
5.一类由参数方程确定的函数的导数的求法
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