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一 简答题
1. 请简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点？（15）
2. 简述裂纹扩展的能量平衡理论？（15分）
3. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？（10分）
4. 请简述疲劳破坏过程的几个阶段？（5）
5.试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别？ （10分）
二 推导题
在I-II 复合型裂纹问题中，裂纹尖端附近周向应力场由下式给出
[]
cos(/2)(1cos )3sin I II K K θσθθθ=+-
请简述最大应力准则的基本假定，并根据基本假定推导出开裂角的表达式？
一、 证明题（25分）
定义J 积分如下，， (/)J wdy T u xds Γ
=-⋅∂∂⎰ 围绕裂纹尖端的回路Γ，始于裂纹下表面，终于裂纹上表面，按逆时针方向转动，其中w 是板的应变能密度，T 为作用在路程边界上的力，u 是路程边界上的位移矢量，ds 是路程曲线的弧元素。

证明J 积分值与选择的积分路程无关，并说明J 积分的特点。

二、 简答题（70分）
1. 请简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点？（15）
答：裂纹尖端应力场有如下三个特点：
1）0=r 处，应力趋于无穷大，即在裂尖出现奇异点；
2）应力强度因子在裂尖为有限量；
3）裂尖附近的应力分布是r 和θ的函数，与无限远处应力和裂纹长无关。

2. 简述裂纹扩展的能量平衡理论？（15分）
答：对完全脆性材料，应变能释放率等于形成新表面所需要吸收的能量率。

对于金属等有一定塑性的材料，裂纹扩展中，裂尖附近发生塑性变形，裂纹扩展释放出来的应变能，不仅用于形成新表面所吸收的表面能，更主要的是克服裂纹扩展所吸收的塑性变形能，即塑性功。

对金属材料，能量平衡理论这时需要更广泛的概念。

这时，抵抗裂纹扩展能力=表面能+塑性变形能，对金属材料这是常数。

3. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？（10分）
答：按裂纹受力情况把裂纹（或断裂）模式分成三类：张开型（I 型）、滑开型
（II 型）和撕开型（III 型）。

4. 请简述疲劳破坏过程的几个阶段？（5）
答： 1）裂纹成核阶段
2）微裂纹扩展阶段
3）宏观裂纹扩展阶段
4）断裂阶段
5.试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别？ （10分）
答：
断裂力学和材料力学的研究对象不同，材料力学研究完整的材料，而断裂力学则研究带裂纹的材料。

虽然断裂力学是材料力学的发展和补充，但是断裂力学与材料力学的设计思想不同，其差别可从一下几方面来看：
1）静载荷情况
传统的强度条件要求最大计算应力小于材料强度指标，即：
s
s n σσ≤max （屈服），s σ为屈服应力 b
b n σσ≤max （破坏），b σ为强度极限 而断裂力学的裂纹失稳准则是：n
K K IC I ≤ I K －裂纹尖端的应力强度因子
2）循环载荷情况
传统的疲劳设计，是用光滑试件作S －N 曲线，求出下界限应力1-σ疲劳极限。

如果最大工作应力满足下式
1
1max --≤n σσ 1-n 为循环载荷下的安全系数，并认为凡是有缺陷的构件都不能应用。

断裂力学认为：含裂纹构件，只有裂纹未达到临界长度仍可使用；在循环载荷作用下，裂纹先缓慢扩展，直至达到临界长度，构件才失稳破坏。

并选用指标dN
da ——作用载荷每循环一周裂纹的扩展量，代表材料抵抗裂纹扩展的能力。

3）腐蚀介质下的情况
综上所述，断裂力学出现后，对宏观断裂有了进一步认识，对传统设计思想进行了改善与补充。

三、 推导题（20分）
在I-II 复合型裂纹问题中，裂纹尖端附近周向应力场由下式给出
[
]cos(/2)(1cos )3sin I II K K θσθθθ=+-
请简述最大应力准则的基本假定，并根据基本假定推导出开裂角的表达式？ 答：
最大应力准则的基本假定：
1）裂纹沿最大周向应力方向开裂；
2）在该方向上周应力达到临界值时，裂纹开始扩展。

根据该假定有，
0=∂∂θ
σθ， 022<∂∂θσθ 把[]θθπθ
σθsin 3)cos 1(222cos II I K K r -+=带入上面两式 并利用 1cos sin 22=+θθ，可求得开裂角的表达式
2222420983arccos I I
I I I I I I I ++±=K K K K K K θ 对于纯I 型，0=I I K ，00=θ，故根号前必须取正，则
2222420983arccos I I
I I I I I I I +++=K K K K K K θ
四、 证明题（25分）
定义J 积分如下， (/)J wdy T u xds Γ
=-⋅∂∂⎰，围绕裂纹尖端的回路Γ，始于裂纹下表面，终于裂纹上表面，按逆时针方向转动，其中w 是板的应变能密度，为作用在路程边界上的力，是路程边界上的位移矢量，ds 是路程曲线的弧元素。

证明J 积分值与选择的积分路程无关，并说明J 积分的特点。

答：1）由弹性力学公式
ij i i n T σ=， 2,1,=j i
i n ——弧元素法线的方向余弦。

利用2dx dy =，1dx dx =，带入⎰Γ∂∂⋅-= )(ds x
wdy J
可以得到 ⎰Γ∂∂⋅-= 1
2)(ds x u n wdx J i ij i σ i u ——位移分量。

由图（1）可知，ds dx n /21=，ds dx n /12-=
所以有，ds n ds n dx j j 112.δ==
则， ds n x u w J j i ij j ⎰Γ∂∂⋅-= 1
1)(σδ 作一封闭曲线*Γ，分四段1Γ、2Γ、3Γ、4Γ，如图（2），故*Γ内无奇异点。

由格林公式：⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+A s dx dx x Q x Q Qdx Pdx ))()(212
121 令0=Q ，同时ds n dx .21-=，ds n dx .12=，则格林公式可改写成
⎰⎰⎰∂∂=A j
s j dA x P ds Pn 则线积分
dA x u x x w dA x u w x ds n x u w A i ij j i ij j A j j i ij j ⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∂∂=∂∂⋅-Γ)()(1111 11*σσδσδ （a ）
利用：ij ij w σε=∂∂，)(21i
j j i ij x u x u ∂∂+∂∂=ε及jji ij σσ= 可以推出 11111)()(21x u x x u x x u x u x x w x w i j ij i ij j i j j i ij ij ij ∂∂∂∂-∂∂∂∂=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂σσσεε 利用平衡方程0,=j ij σ，可得
)(1
1x u x x w i ij j ∂∂∂∂=∂∂σ 将上式带入(a)式，有
0)(* 1
1=∂∂⋅-⎰Γds n x u w j i ij j σδ
即0)(* =∂∂⋅-=⎰Γds x
wdy J 注意到，04321* =+++=⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓJ
又因为在路径2Γ、4Γ上，0=dy ，且由于2Γ、4Γ是自由表面，0=
则有，⎰⎰⎰-ΓΓΓ=-=331
所以积分路径与选择的路线无关。

2）J 积分的局限性主要有：
a ）积分中使用了全量理论，ij ij
w σε=∂∂，因此不允许卸载； b ）用到了)(21i
j j i ij x u x u ∂∂+∂∂=ε，因此必须是小变形； c ）用到了0,=j ij σ，指系统处于静平衡状态。

三、计算题（本大题共2小题，每小题15分，总计30分）
1、无限大板中具有长度为2a 的穿透板厚的裂纹表面上，距离为b x ±=处各作用一对集中力。

1、Re Im x Z y Z σ'=-ⅠⅠ
Re Im y Z y Z σ'=+ⅠⅠ Re xy y Z τ'=-Ⅰ
选取复变解析函数：222()
Z z b π=-。

边界条件： a.,0x y xy z σστ→∞===. b.,z a <出去z b =±处裂纹为自由表面上0,0y xy στ==。

10分 c.如切出xy 坐标系内的第一象限的薄平板，在x 轴所在截面上内力总和为p 。

以新坐标表示：
Z =
⇒lim ()K Z ξξ→==Ⅰ
2 无限大板中心穿透Ⅲ裂纹。

2、根据几何方程和物理方程:
1xz xz w r x G
τ∂=
=∂ 1yz yz w r y G τ∂==∂ 0x y xy z σστσ==== 单元体的平衡方程:
200yz xz w x y
ττ∂∂+=⇒∇=∂∂ 位移函数满足laplace 方程. 所以w 为调和函数.
解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.
1(,)Im ()w x y Z z G
⇒=Ⅲ
Im Im xz Z w G Z x x
τ∂∂⇒===∂∂ⅢⅢ Im Re yz Z w G
Z y y τ∂∂===∂∂ⅢⅢ 5分 边界条件: a.0,,0yz y x a τ=<=. b.,0,xz yz z τττ→∞==. 选取函数
()Z z =Ⅲ满足边界条件.
取新坐标z a ξ=-.()
Z ξ⇒=
Ⅲ
令lim K ξ→==Ⅲ
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