数字信 处理期末考试及习题答案

，T
=
0.1 ，试用脉冲响应不变法将此模拟滤波器系统函数
转化为数字系统函数 H (z)。
（2） 用双线性变换法设计一个二阶 Butterworth 数字低通滤波器，要求其 3dB 带宽(截
止频率) fc = 400Hz ，采样频率 f s = 1.6kHz 。
4
北京邮电大学电信工程学院<<数字信号处理>>期末考试试题范本
Ha
(s)
=
(s
−
Ω c ′2
s0 )(s −
s1
)
其中：
s0
=
Ωc′e
j

π 2
+ π4

=
Ωc′e
3π j4
= Ωc′ −
2 2
+
j
2 2

s1
=
j
′
π 2
+π
+ 2π 4

Ω e c
=
Ω
c
′
e
j
5π 4
= Ωc′ −
2 2
−
j
2 2

即：
窗函数
矩形窗 汉宁窗 汉明窗 布莱克曼窗
旁瓣峰值衰
减（dB）
-13 -31 -41 -57
过渡带
（△w）
4π/N 8π/N 8π/N 12π/N
阻带最小衰
减（dB）
-21 -44 -53 -74
解:
Q As = 20dB ∴选用矩形窗；
Q 过渡带宽度=ϖ p1 −ϖ s1 = ϖs2 −ϖ p2 = 0.11π
H a (s) =
s2 +
Ω
′
c
2
2Ωc′s + Ωc′2
将双线性变换公式带入上式便得数字滤波器系统函数
( ) ( ) H z = H s a
s=2
f
s
1− 1+
z −1 z −1
( ) ( ( )( ) ) ( ) = 4 fs2 1 − z−1 2 + 4
4 f s 2 1 + z −1 2 2 fs 2 1 − z −1 1 + z −1 + 4 f s 2 1 + z −1 2
(e jn(ϖ0 +ϖ1 )
+
e jn(ϖ1 −ϖ0 )
+
e jn(ϖ 0 −ϖ1 )
+
e− jn(ϖ0 +ϖ1) )u(n)
∴
X(z)=
1 4
(
z
−
e
z
j (ϖ
0
+ϖ1
)
+
z
z − e j (ϖ1 −ϖ0 )
+
z z − e j(ϖ0 −ϖ1 )
+
z
z − e− j (ϖ0 +ϖ1 )
)
z >1
1
x1 (n) = {0,0,1,1,1,1} x2 (n) = {1,1,3,3,3,3} x3 (n) = {3,3,1,0,0,0}
因为 x(n) 在 n>8 时无值，因此在 x3(n) 中必须填 3 个零。现在计算每一部分与 h(n) 循环卷积。
y1 (n) = x1 (n) ⊗ h(n) = {0,1,1,0,1,1} y2 (n) = x2 (n) ⊗ h(n) = {1,3,3,1,3,3} y3 (n) = x3 (n) ⊗ h(n) = {3,0,1,2,1,0}
=
1
−
1 − 0.8966z −1 1.5595z −1 + 0.6065
z
−2
（2）此数字滤波器的截止频率
ωc
= ΩcT
=
2πf c fs
=
2π × 400 1600
=
π 2
用双线性变换法，相应的模拟滤波器的截止频率为
Ω
′
c
=
2 T
tg
ωc 2
=
2
f
s
tg
π 4
= 2 fs
该模拟滤波器的系统函数为
解：
(1) 由 DFT 的定义有：
3
∑ X (k ) = x(n)W4kn n=0
而 W41 = e −2π / N = e −π / 2 = − j
则
W4 2 = e −π = −1
2
W43 = j W44 = W40 = 1
北京邮电大学电信工程学院<<数字信号处理>>期末考试试题范本
3
3
∑ ∑ X (0) = x(n)W40⋅n = x(n) = x(0) + x(1) + x(2) + x(3) = 2 − 1 + 1 + 1 = 3
点。
(4) 线性非移变因果系统是稳定系统的充分必要条件是其系统函数 H(z)的所有极点都在 z
平面的单位园内。
(5) FIR 数字滤波器的单位取样响应为 h(n), 0≤n≤N-1, 则其系统函数 H(z)的极点在
z=0，是 N-1 阶的。
(6) 线性相位 FIR 滤波器的单位取样响应 h(n)是 偶 对称或 奇 对称的。设 h(n)之长度为
=
x(n)
+
1 2
x(n
−
1)
+
5 6
y(n
− 1)
−
1 6
y(n
−
2)
试用正准型及一阶节的级联型、并联型结构实现此差分方程。
(2) 写出下图所示结构的系统函数和差分方程
解：
(1)
x(n)
2 z−1
3 z−1 2
z −1
2
y(n)
H(z) = 1−
1
+
1 2
z −1
5 6
z −1
+
1 6
z −2
=
(1 −
ϖ e− jϖ (α −n)d
ϖ1
∫ ∫ =
1 2π
ϖ2
(e jϖ (α −n)
ϖ1
+ e− jϖ (α −n) )dϖ
=
π
(
1 n−
α
)
ϖ2 ϖ1
cos
ϖ
(
n
−
α
)dϖ
(n
−
α
)
= sinϖ 2 (n −α ) − sinϖ1(n −α ) π (n −α)
∴
h(n)=hd (n)RN
(n)
=
sin 0.695(n
∴
N=
4π 0.11π

=
37,
α=
N-1 2
=18
另 ϖ1
= ϖ s1
+ϖ p1 2
= 0.305π ,
ϖ2
= ϖs2
+ϖ p2 2
= 0.695π
∫ ∫ ∫ ∴
hd (n)
=
1 2π
π −π
Hd (e jϖ )dϖ
=
1 2π
−ϖ1
ϖ e− jϖ (α −n)d
−ϖ 2
+
1 2π
ϖ2
1
+
1 2
z
−1
1 2
z
−1
)(1
−
1 3
z
−1
)
3
北京邮电大学电信工程学院<<数字信号处理>>期末考试试题范本
H(z) = 1−
1
+
1 2
z
−1
5 6
z −1
+
1 6
z −2
=
(1 −
1+
1 2
z
−1
1 2
z
−1
)(1
−
1 3
z −1 )
6
5
= 1−
1 2
z −1
− 1−
1 3
z −1
x(n) x(n)
解：
∞
(1) y(n) = ∑ h(k)x(n − k) = {1, 0, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 1} k =−∞
(2）由于 M =3，必须使每一段与前一段重叠 2 个样本，x(n) 为 9 点序列，需要在开头
加 (M-1) = 2 个零。因为 N = 6，则可划分为三部分：
解：
（1） 用部分分式展开 H a (s)：
Ha
(s)
=
s2
s +
+1 5s +
6
=
s
2 +
3
−
s
1 +
2
极点为 s1 = −3, s2 = −2 ，相应 A1 = 2, A2 = −1
根据
( ) ∑ H
z
=
N
Ai
i=1 1 − e siT z −1
和T
=
0.1
() 2
1
H z = 1 − e−3T z −1 − 1 − e−2T z −1
−18)π − sin 0.305(n π (n −18)
−18)π
n=0,...,36
因 h(n)为偶对称且 N 为奇数，其线性相位结构如图表示。
x(n)
z −1
z −1
z −1
z −1
z −1
h(0) h(1) h(2) y(n)
z −1
h(17) h(18)
6
∞
∑ 当当 n<0 时，h(n)=0；若该系统又是稳定的，则 h(n)应满足 h(n) < ∞ 。 n=−∞