函数图像变换公式大全

蕾博士函数图像变换公式大全

一、点的变换.设),(00y x P ，则它

（1）关于x 轴对称的点为),(00y x -；

（2）关于y 轴对称的点为),(00y x -；

（3）关于原点对称的点为),(00y x --；

（4）关于直线x y =对称的点为),(00x y ；

（5）关于直线x y -=对称的点为),(00x y --；

（6）关于直线b y =对称的点为)2,(00y b x -；

（7）关于直线a x =对称的点为),2(00y x a -；

（8）关于直线a x y +=对称的点为),(00a x a y +-;

（9）关于直线a x y +-=对称的点为),(00x a a y -+-;

（10）关于点),(b a 对称的点为)2,2(00y b x a --；

（11）按向量),(b a 平移得到的点为),(00b y a x ++.

二、曲线的变换.曲线0),(=y x F 按下列变换后所得的方程：

(1)按向量),(b a 平移，得到0),(=--b y a x F ；

(2)关于x 轴对称，得到0),(=-y x F ；

(3)关于y 轴对称，得到0),(=-y x F ；

(4)关于原点对称，得到0),(=--y x F ；

(5)关于直线a x =对称，得到0),2(=-y x a F ；

(6)关于直线b y =对称，得到0)2,(=-y b x F ；

(7)关于点),(b a 对称，得到0)2,2(=--y b x a F ；

(8)关于直线x y =对称，得到0),(=x y F ；

(9)关于直线a x y +=对称，得到0),(=+-a x a y F ；

(10)关于直线a x y +-=对称，得到0),(=-+-y a a x F ；

(11)纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍，得到方程0),(=y a

x F ； (12)横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍，得到方程0),(=b

y x F 三、两个函数的图象对称性

1:左右平移:)(a x f y ±=（0>a ）的图像可由)(x f y =的图像向左（+）或向右（—）平移a 个单位而得到；)(a mx f y ±=（0,0>>a m ）的图像可由)(mx f y =的图像向左（+）或向右（—）平移m

a 个单位而得到; 2.上下平移：）（0)(>±=

b b x f y 的图像可由)(x f y =的图像向上（+）或向下（—）平移b 个单位而得到；

3.)(x f y -=的图像与)(x f y =的图像关于y 轴对称；换句话说：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。

4.)(x f y -=的图像与)(x f y =的图像关于x 轴对称；换句话说：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。

5.)(x f y --=的图像与)(x f y =的图像关于原点对称；

6.|)(|x f y =的图像可如此得到：)(x f y =的图像在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方，其余不变；

7.)||(x f y =的图像：保留)(x f y =的图像在y 轴右侧的部分，并沿y 轴翻折到y 轴左边部分代替原y 轴左边部分；

8.)(a x f y +=与)(x b f y -=关于直线2a b x -=

对称(在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2

b a x -=对称点（1b a x --，y 1）。由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=,故点（1b a x --，y 1）在函数()y f b x =-上。由点11(,)x y 是函数()y f a x =+图象上任一点因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2b a x -=对称。)；换句话说,)(x a f y -=与)(b x f y -=关于直线2

b a x +=

对称;换句话说,)(x f y -=与)(b x f y -=关于直线2b x =对称.

9.)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称；

10.)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(,)a b 对称。换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(,)a b 对称。

特别提醒

①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.

②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m

+=对称. 特殊地:()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数()y f x =与()a x f a y -=-的图像关于直线x y a +=成轴对称。

11.伸缩变换:)0)((>=A x Af y 的图像，可将)(x f y =的图像上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍而得到；

12.)0)((>=k kx f y 的图像，可将)(x f y =的图像上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k

1倍而得到； 13.)(1x f y -=与)(x f y =关于直线x y =对称；

14.)(1x f y --=-的图像与)(x f y =的图像关于直线x y -=对称；

15.函数)(mx a f y +=的图像与)(mx b f y -=的图象关于直线m a b x 2-=

对称。 四.单个函数的图象

1. 若对任意,x )()(x b f a x f -=+，则)(x f y =的图像关于直线x =

2b a +对称；反之亦然;若对任意x ，)()(x c f x f -=，则)(x f y =的图像关于直线x =2

c 对称，反之亦然；若)(a x f +是偶函数，则)(x f y =关于a x =对称。（在()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线2

a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==，故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2

a b x +=对称（特别地，0==b a 时，该函数为偶函数））. 2. 对任意x ，)()(x a f a x f -=+-（或)2()(x a f x f --=的充分必要条件是)(x f y =的图像

关于点)0,(a 对称；