求数列通项公式(导学案)

合集下载

数列复习导学案

数列复习学案【知识梳理】请同学们根据所学知识填写下列内容：等差数列、等比数列常用性质对比：A:若m+n=p+q (m.n.p.q R +∈) ，n m n p q n m n p q a a a a a a +=+⎧⎪⎨=⎪⎩数列{a }为等差数列时有 a 数列{a }为等比数列时有 a 特例m=n 时分别变为：B: 等差中项： A, X, B 成等差数列⇔X=2A B+ 等比中项： A, X, B 成等比数列⇒X=AB ±C: 若{}n a 为等差数列，则232,,m m m m m S S S S S --仍成等差数列。

若{}n a 为等比数列，则232,,m m m m m S S S S S --仍成等比数列。

D : 若 {}n a 为等差数列①11(1)()n a a n d dn a d =+-=+- 一定是n 的一次是吗？增减取决于______.。

②211(1)()222n n n d d dS na n a n -=+=+- 一定是 n 的二次是吗？此式有何特点？复习检测：等差数列通项公式：等比数列通项公式： 1. 【定义】已知数列｛n a ｝中，112,1,n n a a a +=-= 则n a = 2. 【定义】已知数列｛n a ｝中，112,3,n na a a +== 则n a = 3．【累加】已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求a n =4. 【累乘】已知数列｛n a ｝中，112,1n n a n a a n -==+，其中(n ≥2)，则n a =5. 【知和求项】已知｛n a ｝前n 项和n s =23n +，则n a =6. 【知和求项】已知｛n a ｝前n 项和n s =51n -，则n a =等差数列等比数列定义（用式子表示）通项通项推广中项主要性质求和公式n n a S 、关系（适用于任何数列）题型一：求通项公式（构造新数列）考点探究一：知递推关系例1、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求通项公式a n 。

数列求通项公式

般阳中学 2013 届高三数学复习导学案
编号
编写：张新华
审核：李延雷
探究三：列的前 n 项和与数列通项的关系：
（2012 年高考（江西理）已知数列{an}的前 n 项和 S n ）
1 2
n kn ( k N ) ,且 Sn
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

的最大值为 8.(1)确定常数 k,求 an
【达标训练巩固提升】
2 3
,且
1 x n 1

1 x n 1

2 xn
( n 2) ，
（2）求
1 x10
探究二：转化法：（通过取倒数、累加、累乘及换元等数学手段，转化成等差、等比数列或其相关知识可以解决的问题。）例 3、（1）已知数列 { a n } ， a1 2, a n 2 a n 1 1( n 2), 求 a n
学好靠信心，求教靠虚心，探求靠专心，长进靠恒心
般阳中学 2013 届高三数学复习导学案
编号
编写：张新华
审核：李延雷
学好靠信心，求教靠虚心，探求靠专心，长进靠恒心
【问题展示合作探究】
探究一:
（1） 1,1,
观察法：例 1、根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式。
5 7 9 , , , 7 15 31
（2） 2, 22, 222, 2222,
公式法： 2、例已知数列 { x n } 满足 x1 1, x 2 （1）求数列 {
1 xn } 的通项公式
（Ⅰ）求数列
a n 的通项公式
（2012 年高考（浙江文）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n n ,n∈N﹡, ）

中职数学(人教版)拓展模块教案：数列的概念和通项公式

数列公式数学学科导学案教师寄语：做对国家有用的人课题：数列的概念和通项公式班级 17级姓名陈兆侠组别二年级一、学习目标：1.知识与能力：（1）理解数列及其有关概念；（2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．2.过程与方法：理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。

3.情感态度价值观：提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。

二、学习重、难点：重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项三、学习过程【导、探、议、练】导知识点一：数列及其有关概念思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？梳理:(1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________.(2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________.知识点二：通项公式思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？思考2 数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？知识点三:数列的分类思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？梳理:(1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列．(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________.探、议（一）自主探究类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)5,10,15,20,…(2)12，14，116，8,… (3)-1,1,-1,1,…跟踪训练1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)11×2，1112×3，3×4，4×5, (2222)(2)2－12，3－13，4－14，5－15,…(3) 13572,4,6,8,…类型二:数列的通项公式的应用例2 已知数列{an}的通项公式an＝12N， n∈N*.(1)写出它的第5项；(2)判断164是不是该数列中的项，是，是第几项？例3 判断16和45是否为数列?3n?1?中的项，如果是，请指出是第几项？跟踪训练2已知数列{a1n}的通项公式为an＝n(n＋2)(n∈N*)，那么1120是这个数列的第______项．练课时作业A1．下列叙述正确的是( )A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}C．数列0,1,0,1，…是常数列D．数列{nn＋1}是递增数列2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A．an＝n，n∈N*B．an＝n＋1，n∈N*C．an＝n＋2，n∈N*D．an＝2n，n∈N* ．3.已知数列{a(－1)n－13?nn}的通项公式an＝2n－1，n∈N*，则a1＝________；an＋1＝________.4．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,1，3,5，…； (2)2,2,2,2，…； (3) -113，6，－19，112，…；B1．已知数列{a2n}的通项公式为an＝n－n－50，n∈N*，则－8是该数列的( ) A．第5项B．第6项 C．第7项 D．非任何一项2．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A．a2n＝n－n＋1 B．a(n－1)n＝n2 C．an(n＋1)n＝2 D．an＝n2＋13．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A.1617B.182019C.21D.22234．数列4,9,16,25，…的一个通项公式是________．5．已知数列???9n2－9n＋2?????9n2－1??，n∈N*.(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来。

数列通项公式的求法

高一数学必修5 编号:SX--05--013《数列通项公式求法》导学案撰稿:尹德荣审核:高一数学组时间:2012-3-06姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1.会在各种条件下，选用适当的方法求数列的通项公式。

2.掌握定义法、公式法、累加法、累乘法、构造数列法在求通项公式中的应用。

【重点难点】重点：由递推公式求数列的通项公式难点：累加法、累乘法、构造数列法【学习过程】知识点一：定义法（教材链接：等差数列和等比数列的定义）直接用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.知识点二：公式法(教材链接：第44页例3)已知n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。

例2.已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且有332-=n n a S ，（1）求数列{}n a 的通项公式。

（2）设数列{}n b 的通项公式是133log log 1+⋅=n n n a a b ，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正整数n ，总有n T <1.知识点三：由递推式求数列通项对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+（教材链接：第37页等差数列通项公式的探究）解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

《数列的概念》导学案

《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。

2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。

3、能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。

二、学习重难点1、重点（1）数列的概念及通项公式。

（2）由数列的前几项写出数列的通项公式。

2、难点（1）根据数列的前几项准确地写出数列的通项公式。

（2）理解数列是一种特殊的函数。

三、知识链接1、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

2、函数的表示方法：解析式法、列表法、图象法。

四、自主学习（一）数列的概念1、观察下列例子中的数，它们有什么共同特点？（1）一个工厂把所生产的钢管按内径尺寸从小到大排成一列：250mm，251mm，252mm，253mm，…（2）无穷多个 1 排成一列数：1，1，1，1，…（3）正整数 1，2，3，4，5，…的倒数排成一列数：1，1/2，1/3，1/4，1/5，…2、数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列。

3、数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…。

4、数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}。

（二）数列的分类1、按项数的多少，数列可以分为：（1）有穷数列：项数有限的数列。

（2）无穷数列：项数无限的数列。

2、按项的大小变化，数列可以分为：（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。

（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。

（3）常数列：各项都相等的数列。

（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

（三）数列与函数的关系1、数列可以看作是一个定义域为正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

高中数学人教A版必修5自主学习导学案2.6数列求通项公式的典型方法(学生版教师版) Word版含解析

数列求通项公式的典型方法（学生版）
数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前项和公式都可以看作项数的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，
而数列的前项和可视为数列的通项
求数列通项公式方法较多，归纳起来常用的方法主要有一下几种：归纳法、公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等
．归纳法
【例】已知数列试写出其一个通项公式：
练习．已知数列，试写出下列数列的一个通项公式：
练习．数列，－，，－，…的一个通项公式是( )
．＝(－)＋·．＝(－)－·．＝(－)＋·．＝(－)－·
．公式法
利用＝(\\(，＝，－－，≥.))或利用等差、等比通项公式.
【例】已知下面各数列的前项和为的公式，求的通项公式．
()＝－；()＝－.
练习．已知下面各数列{}的前项和的公式，求数列{}的通项公式．() ＝＋；()＝＋＋.
【例】已知数列{}的前项和＝＋，求{}通项公式．
练习．设数列{}的前项和为，已知＝，＋＝(＝，…)．求证：数列是等比数列．
．累加法
累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题，该数列的具有典型的特点：可以求和．其解题步骤是：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解．
【例】已知数列满足，，求．
【例】已知数列满足，，求．
练习．已知数列满足，求数列的通项公式。

练习．已知数列中，满足,求数列的通项公式．
练习．已知数列中，满足,求数列的通项公式．
．累乘法
累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题，该数列的具有。

求数列的通项公式列(教案+例题+习题)

求数列的通项公式（教案+例题+习题）一、教学目标1. 理解数列的概念，掌握数列的基本性质。

2. 学会求解数列的通项公式，并能应用于实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

二、教学内容1. 数列的概念与基本性质2. 数列的通项公式的求法3. 数列通项公式的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念，数列的通项公式的求法及应用。

2. 教学难点：数列通项公式的推导和应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的概念、性质及通项公式的求法。

2. 利用例题，演示数列通项公式的应用过程。

3. 布置习题，巩固所学知识。

五、教学过程1. 引入数列的概念，讲解数列的基本性质。

2. 讲解数列通项公式的求法，引导学生掌握求解方法。

3. 通过例题，演示数列通项公式的应用，让学生理解并掌握公式。

4. 布置习题，让学生巩固所学知识，并提供解题思路和指导。

5. 总结本节课的重点内容，布置课后作业。

教案结束。

例题：已知数列的前n项和为Sn = n(n+1)/2，求该数列的通项公式。

解答：由数列的前n项和公式可知，第n项的值为Sn S(n-1)。

将Sn = n(n+1)/2代入上式，得到第n项的值为：an = Sn S(n-1) = n(n+1)/2 (n-1)n/2 = n/2 + 1/2。

该数列的通项公式为an = n/2 + 1/2。

习题：1. 已知数列的前n项和为Sn = n^2，求该数列的通项公式。

2. 已知数列的通项公式为an = 2n + 1，求该数列的前n项和。

3. 已知数列的通项公式为an = (-1)^n，求该数列的前n项和。

4. 已知数列的通项公式为an = n^3 6n，求该数列的前n项和。

5. 已知数列的通项公式为an = 3n 2，求该数列的前n项和。

六、教学目标1. 掌握数列的递推关系式，并能运用其求解数列的通项公式。

2. 学习利用函数的方法求解数列的通项公式。

3. 提升学生分析问题、解决问题的能力。

求数列通项公式(教案)

数列地通项公式教学目标:使学生掌握求数列通项公式地常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列地通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列地通项公式地方法. 教学时数:2课时.教法:讨论、讲练结合.第一课时一．常用方法与技巧：（1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊地函数.（2）运用好公式： 11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩快速练习:1.写出下面数列通项公式（记住）：1,2,3,4,5,…=n a ______________.1,1,1,1,1,…=n a ______________.1,-1,1,-1,1,…=n a ______________.-1,1,-1,1,-1,…=n a ______________.1,3,5,7,9,…=n a ______________.2,4,6,8,10,…=n a ______________.9,99,999,9999,…=n a ______________.1,11,111,1111,…=n a ______________.1,0,1,0,1,0,…=n a ______________. 2.求数列地通项公式地常用方法:(1).观察归纳法. 利用好上面地常用公式.(2).叠加法:例1.数列1n 1{}13,n n a a a a -==+中，，求数列 .n a 通项公式例2.11{}1,n n n a a a a n -==+数列中，，求数列 .n a 通项公式(3)叠乘法:1n 1{}12,n n a a a a -==例3.数列中，，求数列.n a 通项公式1n 1{}1131,n n a a a a -=+=+例4.数列中，，（）求数列.n a 通项公式(4).构造成等差或等比数列法:1n 1{}121,n n a a a a -==+例5.数列中，，求数列.n a 通项公式11n 1{}121n n n a a a a a --==+例6.数列中，，，求数列.n a 通项公式三.巩固提高1.在数列1,1,2,3,5,8,13,x ,34,55,…中,x 地值是 A.19 B.20 C.21 D .22 1n 1{}1(2n-1),n n a a a a -==+2.数列中，，求数列 _____.n a =通项公式3.已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =． 3.已知数列{}n a 地11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则n a =．5.已知数列{}n a 地首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a =．6.已知数列{}n a 地11a =，1(2)1n n a nn a n -=≥+，则35a a +=．_____.n a =7.已知1111,(2),(1)n n a a a n n n -=-=≥-求数列{n a }通项公式n a .第二课时快速练习: 填空：1.数列{}n a 满足:11=a 且13n n a a -=(2)n ≥ 则n a =．2.数列{}n a 满足:11=a 且13n n a a -=+(2)n ≥ 则n a =．3.数列{}n a 满足:11=a 且113--+=n n n a a (2)n ≥ 则n a =．4.数列{}n a 满足:11=a 且113n n n a a --=⋅(2)n ≥，则n a =．二．求数列地通项公式地常用方法 (5) 活用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n例7.已知数列{}n a 地前n 项和21()2n S n n =+，则n a =．例8.已知数列{}n a 地前n 项和21()12n S n n =++,则n a =．例9. 已知数列{}n a 地前n 项和32n n S =+, 则n a =．11{}1(2),.n n n n a a a S n a -==≥例10.数列满足，且求三．巩固提高1.已知数列{}n a 地前n 项和32n n S =⋅，则n a =．2.数列{}n a 地前n 项和n S 满足：1)1(log 2+=+n S n ，求.n a3.若n s 是数列{}n a 地前n 项和，2n S n 且=，则{}n a 是 A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等比数列，而且也是是等差数列D.既不是等比数列又不是等差数列4.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 1).写出数列{}n a 地前5项; 2).求数列{}n a 地通项公式.3).若1,,{}.n n n n n b a c nb c n =+=n 求的前项和S5.已知数列{}n a 地首项15,a =前n 项和为n S ,且*125()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．教学目标:使学生掌握数列前n 项求和地常用方法，培养学生地逻辑分析能力和创新能力.教学重点:掌握运用公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法、分组求和法、累加（累积）法等对数列进行求和.教学难点:将数列转化为等差或等比数列求和，及错位相减法.教学时数:3课时.教法:讨论、讲练结合. 一.知识回顾（一）数列求和地常用方法1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列地数列.2.裂项相消法:适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{}n a 是各项不为0地等差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘地数列等.3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{}n a 是等差数列，{}n b 是各项不为0地等比数列.4.倒序相加法:类似等差数列前n 项和公式推导方法.5.分组求和法、6.累加（乘）法等（二）.常用结论1).1(1)1232nk n n k n =+=++++=∑L 2).21(21)135(21)nk n n n =-=++++-=∑L3).2222211123(1)(21)6nk k n n n n ==++++=++∑L4).111)1(1+-=+n n n n)211(21)2(1+-=+n n n n二.课前热身1.已知数列{}n a 地通项公式为31n a n =-,求数列{}n a 地前n 项和n S .2.已知数列{}n a 地通项公式为n a =3n ,求数列{}n a 地前n 项和n S .三.思考与归纳思考1. 对下列数列求和，并小结求和方法与思路： 1).2313521,,,,,.2222nn n -L L n 求数列的前项和S2).求数列{}n n 2⋅地前n 项和3).设n n n a 21⋅=，则=n s ______________.思考2. 对下列数列求和，并小结求和方法与思路：1).已知数列}{n a 地通项公式为1(1)n a n n =+，求前n 项地和；2).已知数列}{n a 地通项公式为n a =，求前n 项地和． 3).1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+L .思考3.对下列数列求和，并小结求和方法与思路： 1).已知数列{}n a 地通项221n n a n =+-，则它前n 项地和n S =.2).22111()()()_________.n n x x x y y y+++++=L3).12(235)(435)(235)_____.n n ----⨯+-⨯+-⨯=L4).2(1)(2)()n a a a n -+-+-=L ___________ 思考4. 解下列各题，并小结解题方法与思路： 1.已知等比数列{}n a 地首项为1a ，公比为q ，请证明它地前n 项和公式为：11(1)(1)(1)1n n na q s a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩2.已知等比数列{}n a ，1231(1)(2)2n n nT na n a n a a a -=+-+-+⋅⋅⋅++，已知11T =，24T =.（1）求数列{}n a 地首项和公比；（2）求数列{}n T 地通项公式3.已知数列{}n a 满足⋅⋅⋅-⋅⋅⋅---,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1公比为31地等比数列1).求n a 地表达式.2).如果n n a n b )12(-=,求{}n b 地前n 项和n s3.数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122*N n ∈1).求数列{}n a 地通项公式；2).设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；巩固练习1.设等差数列{}n a 地公差为2，前n 项和为n S ，则下列结论中正确地是（）A.)1(3--=n n na S n nB.13(1)n S na n n =+-C.1(1)n S na n n =+-D.)1(-+=n n na S n n2.数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅-132,,,,1n x x x x 地前n 项之和是 A.x x n --11B.x x n +--111C.x x n +--211D.以上均不正确3.数列{}n a 前n 项地和b S n n +=3(b 是常数),若这个数列是等比数列，那么b 为（） A.3 B.0 C.-1 D.14.等比数列{}n a 中,已知对任意自然数n ，12321-=+⋅⋅⋅+++n n a a a a ,则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=A.2)12(-nB.)12(31-nC.14-nD.)14(31-n5.求和：111112123123n++++=+++++++L L .6.数列11111,2,3,4,392781L 地前n 项和是.7.数列=-+⋅⋅⋅++++=-132)12(7531n n q n q q q s8. 数列{}n a 满足12a =，12n n n a a +=+，则通项公式n a =，前n 项和n S =.9.2222222210099654321-++-+-+-Λ＝.10.数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++L L L 地通项公式n a =，前n 项和n S =.11.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数地等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=. 1).求{}n a ，{}n b 地通项公式；2).求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭地前n 项和n S ．12.已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=，1).求数列{}n a 地通项公式；2).令n n n b a x =(x R ∈)，求数列{}n b 前n 项和n S 地公式.。

必修五第二章数列导学案加章末检测

式中不是数列 1， 1 ，1， 1 ，1， 1 ，…的通项公式的是（． A． an (1)n B． an (1)n1 C． an (1)n1 ） D． an 3n 3 D． an
【自学评价】
1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number).
【例 3】在数列 {an } 中，a1=2,a17=66，通项公式是项数 n 的一次函数. （1）求数列 {an } 的通项公式；（2）88 是否是数列 {an } 中的项.
叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）. 注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列 1，1.4，1.41， 1.414，…；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 a n 也可以是 a n | cos
第二章
数列的概念及其通项公式【学习导航】
数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6．数列的表示形式：_______________________________________.
【精典范例】
【例1】已知数列的第 n 项 an 为 2n 1 ，写出这个数列的首项、第 2 项和第 3 项．【例 2】根据下面数列 an 的通项公式，写出它的前 5 项，并作出它的图象：
n为奇数 1， 1，n为偶数
）
【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不
同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别.______________________________. 2．数列的项：________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…. 3．数列的分类：按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）. 4．数列的通项公式：如果数列 an 的第 n 项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就

2014届高三数学二轮复习导学案：专题18 数列求通项

例1、（1）已知各项均为正数的数列{ }的前n项和满足，且，求{ }的通项公式；
（2）设数列前n项和为求。
例2、（1）已知数列中，
（Ⅰ）求证为等比数列；（Ⅱ）求。
（2）已知数列的前n项和为
例3、（1）已知数列满足 ,求an;
（2）已知，数列满足，求通项公式
备注
课堂检测——数列的an=
2、数列中，al=1，an+1= ，(n N*)，则a5的值为______．
3、数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项，若，则．
4、设数列的前n项和为
（1）求；（2）求；（3）若
课外作业——数列的通项姓名：
1、己知数列中，al=1，anan-1=an-1十(-l)n(n为大于l的正整数)，则的值是
课题：数列的通项班级姓名：
一：学习目标
掌握数列通项的常用求法。
二：课前预习
l、等差数列通项an=，等比数列通项an=
2、己知an=an-l+2，al=1，则an=，
3、已知，an= an-l，al=1，则an=
4、己知Sn，则an=；若sn=kn2+n,则an=；又am, a2m,
a4m对都成等比数列，则k=.
5、（1）设则数列的通项公式
（2）若数列满足则an=
6、己知an=2an-l+1，al=1，则an=
7、已知数列共有m项,记的所有项和为 ,第2项及以后所有项和为，第3项及以后所有项和为，第n项及以后所有项和为 ,若是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，则当n<m时，an=。
三：课堂研讨
2、将全体正整数排成一个三角形数阵：

26东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--数列(四)求数列的通项公式A

5 1 n −1 2
1
×
（B）、
1 n −3 2
-1
（ C）、6
5
1 ×
1 n −1 −1 2
（D）、2n − 1
4
东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 025A
二、填空题（7）数列{an }满足an =2an −1 +2n ， a1 =1，则数列{an }的通项公式（8）、已知数列 {an } 中， a1 = 1 ， an+1 = c- a 则数列{bn }的通项公式三、解答题（9）、、已知数列 {an }满足an + sn = 2n + 1，其中 sn 是数列的前 n 项和，求数列{an }的通项公式；
1 an
（B）、 n
（ C）、n
（D）、
1
n2
（5）、数列{an }中，an+1 = 3an +2 ，a10 = 8，则a4 =（）（A）、81
1
（B）、 81
−80
（C）、27
1
（D）、 27
−26
（6）、数列{an }满足an =2an −1 +an an −1 ，a1 = 5，则数列{an }的通项公式是（）（A）、6
例 3、已知数列{ an }满足下列关系 log2 (Sn 1) n 1 ，求 an 。
探究二：利用迭加（迭乘、迭代）法求通项例 4：（1）、（2010 年高考）已知数列{ an }满足 a1 2 ， an1 an 3 2 2n1 ，
求数列{ an }的通项。
探究四：分式型（取倒数）

2017--高二数学必修5-数列通项公式求法学案

新学案-------------------------------求通项公式的方法汇总1、{a n}等差数列，a n=________________①、已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10 ，求数列{a n}的通项公式；②、已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根，求{a n}的通项公式；③、已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2，求{a n}的通项公式；2、{a n}等比数列，a n=________________①设{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2 ,a3=a2+4，。

求{a n}的通项公式②等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1,a3=9a2a6,求数列{a n}的通项公式；一般地，对于型如a n+1=a n+f(n)类的通项公式，且f(1)+f(2)+...+f(n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an。

1{a n}的首项a1＝3，a n－a n－1＝2(n>1)，求它的通项公式．【讲】、数列{a n}中，a1=1,a n－a n-1=2n－1(n=2,3,4…)，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中，a1=1,a n+1－a n=2n(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式.解答：当f(n)为常数，即：1a nna+= m（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=1am⋅1{a n}的首项a1＝3，1nnaa-＝2(n>1)，求它的通项公式【讲】：已知数列{a n}满足：a1＝3，1a nna+＝1nn+，求数列{a n}的通项公式.讲解记录：【练】：在数列{a n}中a1＝1，1nnaa-＝11nn-+(n≥2)，求数列的通项公式。

解题过程：若已知数列的前n 项和Sn 或Sn 与a n 的关系的表达式，求数列{a n }的通项a n 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n求解。

数列的通项公式教案

数列的通项公式教案篇一：数列的通项公式教案篇二：数列通项公式教学设计数列通项公式教学设计123篇三：求数列通项公式的常用方法教案例题习题求数列的通项公式常用方法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，2．求数列?an?的通项公式. S5?a5解：设数列?an?公差为d(d?0)2∵a1,a3,a9成等比数列，∴a3?a1a9，即(a1?2d)2?a1(a1?8d)?d2?a1d∵d?0，∴a1?d………………………………①2∵S5?a5 ∴5a1?5?4?d?(a1?4d)2…………②233，d? 55333∴an??(n?1)??n555由①②得：a1?点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

练一练：已知数列31111,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________；481632S,(n?1)an?12.公式法：已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：。

Sn?Sn?1,(n?2)例2．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1)n,n?1．求数列?an?的通项公式。

解：由a1?S1?2a1?1?a1?1na?S?S?2(a?a)?2?(?1), n?2nnn?1nn?1当时，有??an?2an?1?2?(?1)n?1,an?1?2an?2?2?(?1)n?2,……，a2?2a1?2. ?an?2n?1a1?2n?1?(?1)?2n?2?(?1)2???2?(?1)n?1?2n?1?(?1)n[(?2)n?1?(?2)n?2???(?2)]?2n?12[1?(?2)n?1]?(?1)3n2?[2n?2?(?1)n?1].3经验证a1?1也满足上式，所以an?点评：利用公式an??2n?2[2?(?1)n?1] 3?Sn????????????????n?1求解时，要注意对n分类讨论，但若?Sn?Sn?1???????n?2能合写时一定要合并．练一练：①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an；②数列{an}满足a1?4,Sn?Sn?1?5an?1，求an；3f(1),(n?1)??f(n)3.作商法：已知a1?。

高二第一学期数学选择性必修二导学案(求数列的通项-培优课)教师版

数列专题求数列的通项公式一、考情分析二、考点梳理与题型分析考点一、公式法例1、（2022·江苏省天一中学高二期末）（多选题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16a =，12n n a a ++=，则（）A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是单调递增数列C ．82n a nD ．n S 的最大值为12【答案】CD 【解析】【分析】由题设12n n a a +-=-，结合等差、等比数列的定义和性质判断A 、B ；进而求出{}n a 的通项公式，根据n S 的二次函数性质求最值判断C 、D. 【详解】由题设知：12n n a a +-=-，故{}n a 是等差数列且递减，又16a =，所以62(1)82n a n n =--=-，且21()749(7)()224n n n a a S n n n +==-=--+，当3n =或4n =，n S 的最大值为12. 综上，A 、B 错误，C 、D 正确. 故选：CD【变式训练1-1】、（2022·安徽·六安一中高二期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若157,15a S =-=-，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．则12310a a a a +++⋅⋅⋅+的值为__________．【答案】52 【解析】【分析】根据给定条件求出n S ，再求出数列{}n a 的通项即可计算作答. 【详解】依题意，因n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则其公差513(7)511514S S d ----===-，于是得1(1)7(1)81n S S n d n n n =+-=-+-=-，28n S n n =-，当2n ≥时，2218[(1)8(1)]29n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，而17a =-满足上式，因此，29n a n =-，所以12310(7531)(1357911)52a a a a +++⋅⋅⋅+=-----++++++=. 故答案为：52例2、（福建省漳州市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，且410S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：数列22n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和32n T <.【答案】(1)n a n = (2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，可得出数列{}n a 的通项公式；（2）求得22112n n a a n n +=-+，利用裂项法可求得n T ，即可证得原不等式成立.(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则3141234610a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得11a d ==，因此，()11n a a n d n =+-=. (2)证明：()2221122n n a a n n n n +==-++，因此，111111111111324352212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()32332122n n n +=-<++. 故原不等式得证.【变式训练1-2】、（福建省三明市普通高中2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题）已知等差数列{n a }的公差为整数，n S 为其前n 项和，37a =，123105a a a =． (1)求{n a }的通项公式： (2)设1n nb S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求8T ．【答案】(1)21n a n =+ (2)2945【解析】【分析】（1）根据题意利用等差数列的性质列出方程，即可解得答案；（2）根据（1）的结果，求出1n nb S =的表达式，利用裂项求和的方法求得答案. (1)设等差数列{n a }的公差为d ，则()()7277105d d --⨯=,整理可得：2221340d d -+=，∵d 是整数，解得2d =，从而1323a a d =-=，所以数列{n a }的通项公式为：()31221n a n n =+-⨯=+; (2)由（1）知，()213222n n n S n n n -=⨯+⨯=+，21111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以81111111111111129213243581021291045T ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 考点二、累加法与累乘法例3、（2022·安徽黄山·一模（理））已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20211232020a a a a a =+++⋅⋅⋅+___________.【答案】10111010【解析】【分析】利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，利用错位相减法可求得122020+++a a a ，即可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则()1221n nn a a n ++=+，所以，当2n ≥时，()()132112121232421223n n n n n a a a a a n a a a n--+⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=+⋅， 12a =也满足()112n n a n -=+⋅，所以，对任意的N n *∈，()112n n a n -=+⋅.令122020S a a a =+++，则012201922324220212S =⨯+⨯+⨯++⨯，可得1220192020222322020220212S =⨯+⨯++⨯+⨯，上述两个等式作差得()20191220192020202020202122222202122202122020212S --=++++-⨯=+-⨯=-⨯-，所以，202012202020202a a a S +++==⨯，因此，2020202120201232020202221011=202021010a a a a a ⨯=+++⋅⋅⋅+⨯. 故答案为：10111010.【变式训练3-1】、（2022·上海市控江中学高二期末）己知数列{}n a 满足111,2(,1)n n a a a n n n +==+∈≥N ，则其通项公式n a =________．【答案】2n n 1-+ 【解析】【分析】利用累加法即可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，所以212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-，把以上1n -个式子相加，得()()()()()213243124621n n a a a a a a a a n -++++++++---=--……，即()()122212n n a n a +---=，所以2211nn n a an n =-+=-+.故答案为：2n n 1-+.例4、（2021·河北·沧州市一中高三阶段练习）已知数列{}n a 中，112a =，且满足1(1)n n na n a +=+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设112n n n b a λ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，求实数λ的取值范围.【答案】(1)2n na = (2)1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用累乘法求得n a . （2）由10n nb b 分离常数λ，结合函数的性质求得λ的取值范围.(1)依题意0n a ≠，故11n n a n a n ++=，从而11n n a n a n -=-，2n ≥，故3212112n n n a a a a na a a a -⋅==，2n n a =，当1n =时，上式也符合，所以2n n a =. (2)由（1）知，112221n n n n b a n λλ+⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，若对任意的*N n ∈，数列{}n b 是单调递减数列，则1422021n n n b b n n λ+⎛⎫-=--<⎪++⎝⎭对任意的*N n ∈恒成立，即4221maxn n λ⎛⎫>- ⎪++⎝⎭，又()()4222221123n n n n n n n-==++++++，因为函数()20y x x x=+>在区间(上单调递减，在)+∞上单调递增，所以由对勾函数的性质可知，当1n =或2n =时，23n n++取得最小值6，即4221n n -++取得最大值13，故实数λ的取值范围为1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【变式训练4-1】、（2022·浙江柯桥·高二期末）已知等差数列{}n a 中，16a =，前5项的和为590S =，数列{}n b 满足11b =，()*12N n n n b b n +-=∈．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)()6N*n a n n =∈，()*21N n n b n =-∈；(2)()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩. 【解析】【分析】（1）利用等差数列求和公式可得6d =，进而可得()6N*n a n n =∈，再利用累加法可求n b ，即得；（2）由题可得()()62142615n n n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩，然后利用分组求和法即得.(1)设公差为d ，由题设可得5456902d ⨯⨯+=，解得6d =，所以()6N*n a n n =∈；当2n ≥时，2123221111222222n n n n n b b b b b b b b ----=⎫⎪-=⎪⇒-=++⋅⋅⋅+⎬⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎭，∵122112nn n b -==--，当1n =时，11b =（满足上述的n b ），所以()*21N n n b n =-∈．(2)∵()()62142615nn n n n n n c a b n n ⎧-+≤⎪=-=⎨--≥⎪⎩．当4n ≤时，()()21271361222nn n T c c c n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()212761212nn n -++=--213422n n n +=+-+．当5n ≥时，()()561234222313761nn n T c c c n ⎡⎤=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+⎣⎦()()()54212463234122n n n ---+=+--1223466n n n +=--+．综上所述：()()211234224234665n n n n n n T n n n ++⎧+-+≤⎪=⎨--+≥⎪⎩．考点三、已知前n 项和，求通项公式例5、（2021·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且2Sn ＝3an ﹣3．(1)求数列{an }的通项公式；(2)设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{cn }的前n 项和Tn ．【答案】(1)3nn a =(2)1n n T n =+ 【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求得n a .（2）利用裂项求和法求得n T . (1)依题意233n n S a =-①，当1n =时，111233,3a a a =-=. 当2n ≥时，11233n n S a --=-②， ①-②得11233,3n n n n n a a a a a --=-=，所以{}n a 是首项为13a =，公比为3的等比数列，所以3nn a =，当1n =时，上式也符合，所以3nn a =.(2)3log 3n n b n ==，()11111n c n n n n ==-++.所以11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 【变式训练5-1】、（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足3322n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若143cos nn n n b n a a π+⋅=⋅⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】(1)3nn a =(2)2221133nn n T +-=【解析】【分析】由11a s =，代入1n =计算可得1a ，由1n n n a S S -=-代入得到13n n a a -=，从而证明数列{}n a 是等比数列，求出通项公式；（2）由余弦的周期性可知()cos 1nn π=-，代入n a 通项公式可得()111133n n n n b +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，计算可求出前2n 项和.(1)1113322a S a ==-，算得13a = 当2n ≥时，1133332222n n n n n a S S a a --⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；得到13n n a a -=13(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，由11n n a a q -=⋅，得到3nn a =(2)由143cos n n n n b n a a π⋅+⋅=⋅，得到()()114311113333n n n n n n n n b ++⋅⎛⎫=-⋅=-+ ⎪⋅⎝⎭.2223342122211111111111()3333333333n n n n n T -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+⋅⋅⋅+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221211113333nn n n T ++-=-+=.【变式训练5-2】、（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足()*121224N 2n n n a a na n -+++=-∈， (1)求3a 的值；(2)求数列{}n a 前n 项和n T ； (3)令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+．【答案】(1)14；(2)1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)证明见解析. 【解析】【分析】(1)根据已知条件，分别取n ＝1，2，3即可依次算出123,,a a a ； (2)用作差法求出{}n a 的通项公式，再求其前n 项和； (3)求123,,S S S ，猜想n S ，用数学归纳法证明n S ；用导数证明()ln 1(0)1x x x x<+>+，令1x n =，得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，用这个不等式对n S 放缩即可得证.(1)依题()()312312312132223323244224a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭， 314a ∴=； (2)依题当2n ≥时，()()121211212122144222n n n n n n n n nna a a na a a n a ----++⎛⎫⎡⎤=++-++-=---= ⎪⎣⎦⎝⎭， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又1012412a +=-=也适合此式， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-；(3)111b a ==，1111S b T ∴==⨯，1221122T b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ()1212121221111112222T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2323232331111111111123232323T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，猜想：1112n n S T n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭① 下面用数学归纳法证明：(i)当n ＝1，2时，已证明①成立；(ii)假设当n k =时，①成立，即1112k k S T k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.从而1111111112121k k k k k k T S S b T a k k k +++⎛⎫⎛⎫=+=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()111121k k T a k +⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭111121k T k +⎛⎫=+++⎪+⎝⎭. 故①成立. 先证不等式()ln 1(0)1xx x x<+>+ ② 令()()ln 11xg x x x=+-+，则()22110(0)1(1)(1)x g x x x x x '=-=>>+++. ()()00(0)g x g x ∴>=>，即②成立.在②中令1x n =，得到111ln 1111n n n n ⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+ ③ 当1n =时，12S <；当2n 时，由①及③得： 1112n n S T n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭111ln2ln 1ln 121n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<++++++ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()111ln2ln3ln2(ln ln 122n n n -⎛⎫⎡⎤=++-++--- ⎪⎣⎦⎝⎭()21ln n <+.证明完毕. 【点睛】本题是数列的综合性大题，关键是猜想n S ，并用数学归纳法证明n S ；根据结论构造不等式()ln 1(0)1x x x x <+>+，令1x n =，得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，然后用这个不等式对n S 放缩.考点四、构造新数列例6、（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）已知数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式及前n 项的和n S . 【答案】(1)证明见解析；(2)121n n a +=-，224n n S n +=--.【解析】【分析】（1）证明出1121n n a a ++=+，即可证得结论成立；（2）由（1）的结论并确定数列{}1n a +的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法可求得n S . (1)证明：因为数列{}n a 满足13a =，()*121N n n a a n +=+∈，则()1121n n a a ++=+，且114a +=，则218a +=，3116a +=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a +>，所以，1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +为等比数列. (2)解：由（1）可知，数列{}1n a +是首项为4，公比为2的等比数列，则111422n n n a -++=⨯=，所以，121n n a +=-，因此，()()()()()23412341212121212222n n n S n ++=-+-+-++-=++++-()222122412n n n n +-=-=---.例7、（2022·山西太原·高三期末（文））已知数列{}n a 中，12a =，()*121N n n a a n n +=-+∈.(1)求2a 、3a 、4a ，并证明{}n a n -为等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)24a =，37a =，412a =，证明见解析； (2)n S 2222n n n +-=+. 【解析】【分析】（1）利用递推公式可求得2a 、3a 、4a 的值，计算得出()()112+-+=-n n a n a n ，可证得结论成立；（2）求出数列{}n a 的通项公式，利用分组求和法可求得n S . (1)证明：由已知可得2124a a ==，32217a a =-=，432212a a =-=，由条件可得()()112+-+=-n n a n a n ，又111a -=，所以{}n a n -是首项为1，公比为2的等比数列. (2)解：由（1）得12n n a n --=，则12n n a n -=+，所以， ()()()()01212122232n n S n -=++++++++()()()201211122222212321222n n nn n n n n -+-+-=+++++++++=+=+-. 【变式训练6-1】、（2022·江苏镇江·高二期末）已知数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；（2）根据错位相减法求和即可. (1)解：数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈112(1)n n a a ++=+，∵数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 11222n n n a -∴+=⋅=，即21n n a =-；∵21nn a =-(2)解：(1)2nn n b n a n =+=⋅，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-，1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+【变式训练7-1】、（2022·安徽六安·一模（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122n n n S a +=-，N n *∈.(1)设2nn n a b =，N n *∈，证明：数列{}n b 为等差数列； (2)求数列{}n S 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2(1)24n n T n +=-⋅+【解析】【分析】（1）把条件122n n n S a +=-转化为数列{}n b 的递推关系，由等差数列定义去证明即可；（2）以错位相减法去求数列{}n S 的前n 项和n T . (1)由122n n n S a +=-，得21122n n n S a +++=-，两式相减得：1122n n n a a ++=+两边同除以12n +，得11122n nn n a a ++=+，即11n n b b +=+，当1n =时，由1111122a S a +==-，可得14a =，则1122a b == 所以数列{}n b 是以2为首项、1为公差的等差数列. (2)由数列{}n b 是以2为首项、1为公差的等差数列可得，2(1)11n b n n =+-⨯=+所以 ()21n n a n =+，()1111222122n n n n n n S a n n ++++=-=+-=⋅则2341122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 345122122232(1)22n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅则()23412222222124n n n n T n n +++-=++++-⋅=-⋅-()2124n n T n +∴=-⋅+.。

等差数列的概念及通项公式

等差数列的概念及通项公式预习、导学案【学习目标】1．准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解决等差数列的相关问题.2．通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力.3．激情参与、惜时高效，利用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值.【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用.【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑难问题”处.Ⅰ.相关知识1.数列有几种表示方法？2.数列的项与项数有什么关系？3函数与数列之间有什么关系？Ⅱ.教材助读1.一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母表示。

2. 由三个数a 、A 、b 组成的数列可以看成最简单的等差数列。

这时A 叫做a 与b 的等差数列即3.如果数列{n a } 是公差为d 的等差数列，则+=12a a ，+=13a a ， +=14a a +=15a a +=1a a ,......,n4．通项公式为n a =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗？【预习自测】1. 等差数列d a 2-，a ,d a 2+…….的通项公式是2.已知数列{n a } 的通项公式为n a n 23-=，则它的公差为3．已知231+=a ，231-=b ，则a 与b 的等差中项为4.在等差数列{n a }中，已知,28,1093==a a 则=12a【我的疑难问题】探究、教学案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点一：等差数列的概念和通项公式问题1：等差数列概念的理解（1）如何用数学符号来描述等差数列？（2）若把等差数列概念中的“同一个”去掉，则这个数列_______等差数列.（填“是”或“不是”）（3）设d 为等差数列{a n }的公差，则当d ＞0时，{a n }为______数列；当d ＜0时，{a n }为______数列；当d =0时，{a n }为_____数列.探究二：如何推导等差数列{a n }的通项公式？探究三：等差中项的理解在等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的___________；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2a n+1= ___________ ，那么这个数列是___________.【归纳总结】1.等差数列的概念是的主要依据.2.推导通项公式时不要忘记检验的情况（特别是叠加法）.3.通项公式的说明：（1）在a n =a 1+(n -1)d 中，已知就可以求出（方程思想）.（2）求通项公式时要学会运用“基本量法”，即探究点1：等差数列的判断方法（重点）【例1】判断数列{ a n }是否为等差数列：（1）a n =3n -1；（2）a n =(-1)n ；（3）a n =an+b (a ,b 为常数).【规律方法总结】判断数列{a n}是等差数列的方法：（1）定义法：；（2）等差中项：(n≥2,n∈N*)；（3）作差法探究点2：求解通项公式（重难点）【例2】在等差数列{a n}中,已知a5=10,a12=31，求：（1）首项a1与公差d；（2）通项公式a n.【规律方法总结】在应用等差数列的通项公式解题时,对这四个量,知道其中量就可以求余下的量.【拓展提升】1 已知等差数列{a n}的公差不为零，a1，a2是方程x2-a3x+a4=0的根，求数列{a n}的通项公式.2在等差数列{a n}中,a1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n的和,(1)70≤n≤200;(2)n能被7整除.探究点3：等差数列实际应用（重难点）【例3】梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度.与检测【规律方法总结】（1）在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可通过解决；若这组数均匀地递增或递减，则可通过解决.（2）用数列解决实际问题时，一定要分清等关键词.训练、检测案一、基础巩固1．等差数列{a n }：—3，—7，—11，……….的通项公式为2．已知等差数列{a n }的首项为2，末项为62，公差为4，则这个数列共有3. 已知等差数列{a n }中，a 10=10，a 12=16，则这个数列的首项是4．等差数列{a n }中，已知31a 1=，4a a 52=+，33=n a ，则n 等于 5．已知数列a ，--15，b ，c ，45是等差数列，则a+b+c 的值是6．等差数列{a n }中，60a 1=，31a ++=n n a 。

数列求通项之累加累乘专题训练导学案-2022届高三数学一轮复习

第1页共4页 ◎ 第2页共4页累加法、累乘法求数列通项思维学案基础性目标：我能分析递推公式特点，用累加法、累乘法求数列通项的方法拓展性目标：我能根据已知条件的结构特征，选取合适的方法求通项公式挑战性目标：根据本节课的习题，我尝试自己编写累加法、累乘法求通项的题目一、累加法：递推关系式形如)(1n f a a n n =-+1.已知数列{}n a 中，11a =，1111n nn a a +-=+，通项公式n a =______2.已知在数列{}n a 中，()1113,22n n n a a a n --==+≥.，数列{}n a 的通项公式______3．在数列{}n a 中，12a =，()*11ln 1n n a a n N n +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，则n a =（）A ．2ln n n +B ．()21ln n n +-C ．2ln n +D ．1ln n n ++4.在数列{}n a 中，11a =，11(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+，则n a 的表达式为（） A ．21n n -B ．1n n -C ．1n n +D ．321++n n5. 已知数列{}n a 满足()*1111,(1)(2)n n n n a a a a a n N n n ++=-=∈++数列{}n a 的通项公式_________6. 已知数列{}n a 满足132a =，112n n n n n a a n -=--.，求数列{}n a 的通项公式_________7. 对于任意数列{}n a ，等式：()()()()1213212,n n n a a a a a a a a n n N *-+-+-++-=≥∈都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +-=，求通项n a =______课堂总结：第3页共4页 ◎ 第4页共4页二、累乘法：递推关系式形如)(1n f a a nn =+ 8.已知数列{}n a 满足11a =，且1(1)n n na n a +=+，则n a =（）A ．1n +B ．nC ．1n -D ．2n -9.在数列{}n a 中，31=a ，n nn a a ⋅=+21，则数列}{n a 通项公式=n a __10．在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，求数列{}n a 的通项公式；11．已知数列{}n a 满足12a =，1(1)2(2)n n n a n a ++=+，求数列{}n a 的通项公式.课堂总结：第5页共2页◎第6页共2页。