有限元法基础-7线性代数方程组的解法
线性方程组的几种求解方法
甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。
关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。
第二讲：线性代数方程组求解(直接方法)1
AX=b
§2.1 Gauss evaluation method
§2.1 高斯（Gauss）消去法 1.高斯顺序消去法：
a11 a12 a a 21 22 A ( A b) an1 an 2
a1n a2 n ann
b1 b2 bn
§2.1 Gauss evaluation method
左乘 A(2) 即有
(1) a11 0 0 0 (1) a12 ( 2) a22 (1) a13 ( 2) a23 (3) a33 (1) (1) a1 b1 n ( 2) ( 2) a2 b n 2 (3) (3) : A (3) a3 n b2 (3) (3) ann bn
(2)
回代可得 x2 1.001, x1 10.00,
方法二
§2.1 Gauss evaluation method
(1) 从例子我们可以看出，原方程 进行行交换的高斯消元法：交换 A 的第一，二两行有 的解为x =1.000，x =10.00即
2 1
方法2所求得，而方法1得出的 5.291 6.130 46.78 解是错误的. (1) A 0.003000 59.14 59.17 大数“吞掉”小数的现象 0.003000 l21 0.0005670 5.291
其次进行回代过程：算出
x4 1
x3 1
x2 1
x1 1
§2.1 Gauss evaluation method
0.003000 59.14 x1 59.17 5.291 x 6.130 46.78 2 方法1 不进行行交换的高斯消去法
07线性代数方程组的解法
总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k
n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同
解 (1)
方
程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
11 1
12 2
1n n
1
b x 22 2
b2nxn g 2
称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1
0
1
L m 0 2
32
1
0 mn2 0
m a a
(2) (2)
i2
i2
22
i 3,4, ,n
第三章 线性代数方程组的解法
于是 由于 e
e
(0)
(k )
= Me
( k - 1)
= M e
2 ( k - 2)
=L = M e
时
Mk - 0
Mk ® 0
k (0)
可以是任意向量,故 e
(k )
收敛于0当且仅
0
k M 当 收敛于零矩阵，即当 k
矩阵序列：M1，M2，M3……Mk 收敛于零矩阵
15
3.1 简单迭代法的一般形式
于是 0 ? (r (M )) 所以必有
k
13
3.1 简单迭代法的一般形式
定理3-1 简单迭代公式 x(k + 1) = Mx( k ) + g , k = 0,1, 2,L
收敛的充要条件是迭代矩阵M的谱半径 r (M ) < 1
证:必要性 设迭代公式收敛,当k→∞时,
x
(k )
® x
*
则在迭代公式两端同时取极限得 x* = Mx* + g
x( k + 1) = Mx( k ) + g
M 1- M
k
(k = 0,1,L )
收敛,且有误差估计式,且有误差估计式
x - x
* (k )
?
x( k )
x( k- 1)
及
x - x
*
(k )
M ? 1- M
x (1)
x (0)
18
3.1 简单迭代法的一般形式
收敛时令k→∞，有 等价地有Ax*=b . 控制迭代结束的实用标准：
计算方法 吴筑筑编
第三章 线性代数方程组的解法
孙剑
计算机学院信息管理系
1
本章主要内容：
第九章 有限元线性方程组的解法
i ≥ j)
（9-9）
讨论： 1 从式（9—9）看出，在按行列由Kij计算lij时，计算完lij后，Kij 就失去存在的作用，同时所用到lip、ljp和lpp排列顺序都在Kij之前，因 此可将分解后得到的元素lij存贮在Kij单元中，即原来存贮[K]的内存 单元，现在可用来存贮[L]矩阵，以减少对内存贮量的要求。 2 由于这里只存贮下三角形带内元素，所以在利用式（9—9） 由Kij计算lij时，求和号内各元素的列号应从第i行和第j列上第一个非 零元素所在列号（i1和j1）中最大的列号开始。 3 从式（9—8）看出，在分解[K]时，每行的第一个非零元素其 值保持不变，因此在分解总刚时，每行可从第二个非零元素的列号 开始，这样lij的最后递推公式为
2．检查哪些自由度已集成完毕，以集成完毕的自由度i作为主 元对其它行列的元素进行消元修正。 图（b）中，自由度4已等成完毕，是不活动变量，现在作为主 元，用
×
表示。主元行元素 × ，不再变化，对其它行列元素进行
消元修正。 自由度 2 扫描单元① 4 5 波前 Байду номын сангаас前三角形 （a） K × × P × × ×
δ i = ∆i −
讨论：
j =i +1
∑l
n
ji x j
lii
（9-13）
(i = n − 1, n − 2,L,1)
∆ 1．因为 δ i 与 ∆ i 相对应，而且一旦求出 δ i 后， i就失去作用，因
此把求得的 δ i 存贮在 ∆ i 的内存单元中，即存贮在结点荷载的内存 单元中。 2. lij必须是带内元素，因此它的列号i必不小于该行的第一个非 零元素的列号j1。
0 l ij = K ij −
第五章 线性方程组的解法PPT课件
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
问题的提出：
在自然科学与工程技术中，很多 问题的解决常常归结为求解线性方程 组，如电学中的网络问题，机械和建 筑结构的设计和计算等，因此利用计 算机求解线性方程组就成为一个非常 重要的问题。
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，n+1计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j
其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1。 当k=n，即
27
继续这种过程，第n次消元后增广矩阵为
1
a(1) 12
(A(n) b(n))
1
a(1) 13
a(2) 23
会导致舍入误差的扩散，这是它的缺陷。
30
G-J消去法的一般求解过程如下：
消元过程：对于k=1，2，…，n，执行
设
a(k1) kk
0
，对于j=k，k+1，…，
n，n+1计算
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j 其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1
0
0
a(2) n3
a(2) nn
an(2,n)1
19
如此继续计算下去，第k-1次消元结 束后就得到增广矩阵
a1(01)
线性代数方程组的解法
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
线性代数方程组的解法
xi( k ) xi 若对 i 1, 2,, n 有 lim k
则称向量序列 { x ( k ) } 收敛于向量 x ( x1 , , xn )T
命题: 当 k 时 (k ) (k ) lim x x x x
k
(k ) x x 这是因为
0
(k ) (k ) max | x1 x1 |, ,| xn xn |
从而当 k 时， x ( k ) x 与 x ( k ) x
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页
0 等价
8
下一页
定理 5.2
设 为 Rn 中的任一种范数，则序
列{x ( k ) }收敛于 x R n 的充分必要条件为
x( k ) x 0,
k 时.
利用向量范数的等价性及向量范数的连续性, 容易 得到定理5.2的证明
A B A B , A 、B R nn
定理5.3中的性质 1), 2) 和 3)是一般范数所满 足的基本性质，性质 4)、5) 被称为相容性条件， 一般矩阵范数并不一定满足该条件.
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 11
三种从属范数计算：
（1）矩阵的1-范数（列和范数）:
5 几种特殊矩阵
定义 5.5 若矩阵 A 满足条件
a
j 1 ji
n
ij
aii
, i 1,2, , n
且至少有一 i 个使不等式严格成立，则称矩阵 A 为按行对角占优矩阵。若 i 1, 2,, n 严格不等 式均成立，则称 A 为按行严格对角占优矩阵.
类似地，可以给出矩阵 A 为按列（严格）对角
A 1 max | aij |
-线性代数方程组的解法-LU分解
定理2
设 A ∈ R n×n 为对称正定阵，则
(1) A为非奇异矩阵，且 A−1亦是对称正定阵. (2) 记 Ak 为 A的顺序主子阵，则
Ak (k = 1,2, , n) 亦是对称正定矩阵，其中
⎛ a11 ⎜ Ak = ⎜ ⎜a ⎝ k1
a1k ⎞ ⎟ ⎟ akk ⎟ ⎠
(k =1,2,, n).
a11 43;1 a1n an, j +1 ann
7
an1 an, j −1 bn
例： 解线性方程组
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2 x1 + x2 − 5x3 + x4 = 8, x1 − 3x2 − 6 x4 = 9, 2 x2 − x3 + 2 x4 = −5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0,
aij 的余子式.
行列式性质：
(a) det (AB ) = det (A )det (B ), (b) det (AT ) = det (A ), (c) det (cA ) = c n det (A ), A,B ∈ R n× n .
A ∈ R n× n . c ∈ R, A ∈ R n× n .
称为矩阵 A 的谱半径.
19
例
求 A 的谱半径
⎛ 1 −2 2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 − 2 4 ⎟. ⎜ 2 4 − 2⎟ ⎝ ⎠
解
矩阵 A 的特征方程为
2 −2 ⎤ ⎡λ − 1 ⎥ det( λI − A) = ⎢ 2 λ + 2 − 4 ⎢ ⎥ ⎢ − 4 λ + 2⎥ ⎣ −2 ⎦ = λ3 + 3λ2 − 24λ + 28 = (λ − 2) 2 (λ + 7) = 0,
有限元课程第三章线性方程组解法
x2
a(2) 23
x3
...
a(2) 2n
b(2) 2
a(3) 33
x3
...
a(3) 3n
xn
b(3) 3
a(n) nn
xn
b(n) n
Gauss消元法的回代过程
回代过程：逐步回代求得原方程组的解
xn
b(n) n
/
a(n) nn
xk
(bk(k )
n
a(k kl
)
xl
)
/
a(k) kk
a(2) 2n
xn
b(2) 2
ai(jk bi(k
1) 1)
a(k) ij
b(k ) i
lik
a(k kj
)
a(k) kk
likbk(k )
xk
ak(
a x (k ) kk 1 k 1
x k 1)
1,k 1 k 1
a(k kn
)
xn
b(k ) k
a x b (k 1) k 1n n
(k 1) k 1
运算(i所, j需时k间，1,故只, n考) 虑作 乘除运算l量k1 。
由消元法步骤知，第k次消元需作nk次除法，作
(n k)(n k + 1)次乘法，故消元过程中乘除法运算量为：
乘法次数 : n1 (n k)(n k 1) n (n2 1) 除法次数 : n1 (n k) n (n 1)
第k步
:
在矩阵[A( k ) , b( k ) ]的第k列中选主元, 使
(k)
a
max
(k)
a
ik
ik
k
k in
将矩阵[A( k ) , b( k ) ]的第k行与第ik 行列换, 进行第k次消元.
线性代数方程组求解
线性代数方程组求解线性代数方程组是线性代数中一个重要的概念，它描述了一组线性方程的集合。
求解线性代数方程组是线性代数中的一项基本任务，它对于解决实际问题和数学推理都具有重要意义。
本文将介绍线性代数方程组的求解方法，包括矩阵消元法和矩阵的逆。
矩阵消元法矩阵消元法是求解线性代数方程组的一种常用方法。
它通过消元和回代两个步骤来求解方程组。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数向量按列合并，得到增广矩阵。
2.初等行变换：对增广矩阵进行初等行变换，将其转化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵。
3.回代求解：从最后一行开始，逐步代入求解未知数，得到方程组的解。
矩阵消元法的优点是简单直观，容易理解和实现。
然而，当矩阵的行数和列数较大时，矩阵消元法的计算复杂度会很高，需要消耗大量的时间和计算资源。
矩阵的逆除了矩阵消元法，我们还可以使用矩阵的逆来求解线性代数方程组。
矩阵的逆是一个与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
对于给定的线性方程组Ax=b，我们可以通过以下步骤求解：1.计算矩阵A的逆矩阵A^-1。
2.将方程组转化为x=A^-1b。
3.计算x的值。
求解矩阵的逆的方法有多种，包括伴随矩阵法和初等变换法等。
其中，伴随矩阵法是一种常用的求解逆矩阵的方法。
它通过求解伴随矩阵和矩阵的行列式来计算矩阵的逆。
使用矩阵的逆求解线性代数方程组的优点是计算速度快，尤其适用于行数和列数较大的情况。
然而，矩阵的逆并不是所有矩阵都存在，如果矩阵不存在逆矩阵或逆矩阵存在但计算困难，则无法使用矩阵的逆求解方程组。
小结线性代数方程组的求解是线性代数中的一个重要问题，涉及到实际问题的解决和数学推理。
本文介绍了两种求解线性代数方程组的方法：矩阵消元法和矩阵的逆。
矩阵消元法通过消元和回代的过程来求解方程组，简单直观但计算复杂度较高；矩阵的逆通过求解矩阵的逆矩阵来求解方程组，计算速度快但存在逆矩阵不存在的情况。
根据具体问题的需求和矩阵性质的条件，选择合适的方法来求解线性代数方程组是十分重要的。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是初等代数中的重要概念，它描述了一组线性方程的集合。
解决线性方程组是数学和物理等领域中最为基础且重要的问题之一。
本文将介绍三种常见的线性方程组解法：高斯消元法、矩阵求逆法和矩阵的列主元素消去法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，进而求解出方程组的解。
以一个二元线性方程组为例：```a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂```通过行变换，我们可以将其转化为阶梯型矩阵：```a₁₁'x₁ + a₁₂'x₂ = b₁'a₂₂'x₂ = b₂'```其中，a₁₁'、a₁₂'、b₁'、a₂₂'、b₂'是经过行变换后的新系数。
由此可得到方程组的解。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是利用逆矩阵的性质来求解线性方程组的解法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
首先，我们需要判断系数矩阵A是否可逆。
若A可逆，则可以得到A的逆矩阵A⁻¹。
方程组的解即为x = A⁻¹b。
若A不可逆，说明方程组的解不存在或者有无穷多个解。
三、矩阵的列主元素消去法矩阵的列主元素消去法是一种改进的高斯消元法，其目的是尽量减小计算误差。
在高斯消元法中，我们选择主元素为每一行首非零元素。
而在列主元素消去法中，我们选择主元素为每一列的绝对值最大的元素。
类似于高斯消元法，列主元素消去法也通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵。
通过后向代入的方法，可以得到方程组的解。
总结线性方程组的解法有多种，其中包括高斯消元法、矩阵求逆法和矩阵的列主元素消去法。
这些解法在不同场景下都有其应用价值，具体的选择取决于问题的特点和所需计算的精度。
通过掌握这些解法，并结合具体问题的特点，我们可以高效解决线性方程组，进而应用到更广泛的数学和物理等领域中。
线性代数方程组的解法下
第七章 线性代数方程组的迭代解法
0 0⎞ −ω*2 ⎞ ⎛ 8 ⎛(1−ω)*8 ω*3 ⎛ω*20⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ω*4 11 0 ⎟ x(k+1) = ⎜ 0 (1−ω)*11 ω*1 ⎟ x(k) +⎜ω*33⎟ ⎜ ⎜ω*6 ω*3 12⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ω*36⎟ 0 (1−ω)*12⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
1
1.2
1.4
1.6
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
§7.1 经典迭代法
>> a=[8 -3 2;4 11 -1;6 3 12];b=[20;33;36]; epsl=1e-4;oma=0.9656; y=sordai(a,b,oma,epsl)
k
x(k )
2.5000e+000 3.0000e+000 3.0000e+000 2.3636e+000 2.0455e+000 1.9478e+000 1.9840e+000 2.0000e+000 2.0026e+000 2.0006e+000 1.9999e+000 1.9999e+000 2.0000e+000 2.0000e+000 1.0000e+000 9.7159e-001 9.2045e-001 1.0010e+000 1.0038e+000 1.0031e+000 9.9983e-001 9.9974e-001 9.9988e-001 1.0000e+000 1.0000e+000
n ⎧ ( k +1) = (bi - ∑ aij x (jk ) ) / aii xi ⎪ ⇔ ⎨ j =1, j ≠ i ⎪i = 1 : n ⎩
线性代数方程组的解法
线性代数方程组的解法关键词：线性代数方程组；高斯消元法；列主元消元法；三角分解法；杜立特尔分解法；迭代法；雅可比迭代法；高斯-赛德尔迭代法1引言目前，解线性代数方程组在计算机上常用的的方法大致把它分为两类：“直接法”与“迭代法”.在线性代数中曾指出阶线性代数方程组有唯一的解，并且可以用克拉默法则求方程组的解，初次看来问题已经解决，但从使用效果看并不是这样的.因为求阶线性代数方程组，如果用克拉默法则，需要计算个阶行列式，每个阶行列式为项之和，每项又是个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达次，当较大时，它的计算量是非常惊人的.因为现在所碰到的很多问题都需要很大的计算量，故需要好用的算法来求解.先来回顾一下回代过程和迭代过程.(1)是一个三角形方程组，当有唯一解时，可以用反推的方式求解，也就是先从第个方程解得， (2)然后代入第个方程，可得到， (3)如此继续下去，假设已得到，， , ,代进第个方程即得的计算， (4)上述求解的过程叫做回代过程.定义1[1] (向量的范数) 若向量的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对，总是有.那么上向量的范数（或模）就是 .下面给几个最常遇到的向量范数.向量的“1”范数：(5)向量的“2”范数：(6)向量的范数：(7)例1设求 , , .解由式（5）,（6）及（7）知.定义2若矩阵的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对总有;1.矩阵的乘法不等式，即对总有，那么称为上矩阵的范数（或模）.表 1是矩阵几个常用算子范数的定义与算式.表 1范数名称记号定义计算公式“1”范数（又名列模）“2”范数（又名谱模）“”范数（又名行模）的极限就是方程组的解向量，这时候在给定允许的误差内，只要适当的大,就可以作为方程组在满足精度要求条件下的近似解.这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代解法，其中称为迭代矩阵，公式（9）称迭代公式（或迭代过程）,由迭代公式得到的序列叫做迭代序列.如果迭代的序列是收敛的，则称为迭代法收敛；如果迭代的序列是不收敛，则称它是迭代法发散.定理3设 .如果约化主元素，则可以利用高斯消元的方法把方程组约化成三角形方程组来求解，其计算公式如下：（1）消元计算：对依次计算（2）回代计算：3用高斯消元法与列主元消元法解线性代数方程组（重点）！3.1 高斯消元法解方程组用高斯消元的方法求线性代数方程组的解的整个计算过程可分为两个环节，也就是利用按照次序消去未知数的方法，把原来的方程组转化成跟它同解的三角形方程组（这个转化的过程叫消元过程），再通过回代过程求三角形方程组的解，最终得到原来方程组的解.其中按照方程的顺进行消元的高斯消元法，又叫顺序消元法.3.2列主元消元法解方程组列主元消元法实际上是一种行交换的消元法，它跟顺序消元法比较而言，主要特点是在进行第次消元前，不管的值是否等于零，都在子块的第一列中选择一个元，使，并将中的第行元与第行元互相变换（相当于交换同解方程组中的第个方程），然后再进行消元计算得到结果.注：列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法[1]，但它计算简单，相对比全主元素法它的工作的量大大减少，并且从计算经验和理论分析都可以表明，它与全主元素法同样拥有很好的值稳定性，列主元素法是求解中小型浓密型方程组的最好的方法之一.4用三角分解法解线性代数方程组4.1 矩阵的三角分解定义4把一个阶矩阵分解成两个三角矩阵相乘的形式称为矩阵的三角分解.常见的矩阵三角分解是其中是下三角形的矩阵,是上三角形的矩阵.定理5[1]（矩阵三角分解基本定理）设 .若的顺序主子式，那么存在唯一的杜利特尔分解其中是单位下三角形矩阵，为非奇异的上三角形矩阵.如果是单位下三角形的矩阵，是上三角形的矩阵，那么把这种分解法称为杜利特尔分解法，其中杜利特尔分解法是这种三角分解的一种特例，下面主要介绍利用杜利特尔分解法来求方程组的解.4.2 用杜利特尔分解法解线性代数方程组用杜利特尔分解法解方程组的步骤可以把它归纳为（1）实现分解，也就是1.按算式（11）（12）依次计算的第一行元与的第一列元；1.对按算式（13）（14）依次计算的第行元与的第列元.（2）求解三角形方程组，即按算式依次计算 .（3）求解三角形方程组，即按算式依次计算.利用杜利特尔分解法解方程组与高斯消元法是相似的，它重要的优点是：在利用分解，解有相同的系数矩阵的方程组时,用杜利特尔分解法非常方便，只用两个式子就可以得到方程组的解.5用迭代法解线性代数方程组用迭代法求方程组的解，需要考虑迭代过程的收敛性，在下面的讨论中，都假设方程组的系数矩阵的对角阵是不为零的.5.1 用雅可比迭代法解方程组对于一般线性方程组，如果从第个方程解出，就可以把它转化成等价的方程组. （15）从而可以得到对应的迭代公式（16）这就是解一般方程组的分量形式的雅可比(Jacobi)迭代公式.如果把它改成（17）并把系数矩阵表示成（18）其中则可以看出式的左右两端分别是向量和的第个分量，故因为可逆，所以于是就可以得到是雅可比迭代的公式.其中（称为雅可比迭代矩阵）， .5.2 用高斯-赛德尔迭代法解方程组高斯-赛德尔迭代法也是常用的迭代法，设线性代数方程组为，则高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为（19）其中迭代法（19）就称为高斯-赛德尔迭代法.通过雅可比迭代法类似的途径，就可以得到矩阵的表达式其中（称为高斯-赛德尔迭代矩阵）， .高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法都有算式简单、容易在计算机上实现等优点，但是用计算机来计算时，雅可比迭代法需要两组工作单元用来寄存与的量，而高斯赛-德尔迭代法只需一组工作单元存放或的分量.对于给定的线性方程组，用这两种方法求解可能都收敛或者都不收敛，也可能一个收敛另一个不收敛，两种方法的收敛速度也不一样.5.3 迭代法的收敛条件与误差分析定义6[1]矩阵全部的特征值的模的最大值，叫做矩阵的谱半径，记作 ,即.定理7[1]对任意初始向量迭代过程收敛的充要条件是；当时，越小，那么其收敛的速度是越快的.由定理7可知，用雅可比迭代法求解时，其迭代的过程是收敛的，而用高斯-赛德尔迭代法来求解,其迭代的过程是发散的.在不同条件下，收敛的速度是不同的，对同一矩阵，一种方法是收敛的，一种方法发散.第 7 页。
有限元法基础-7线性代数方程组的解法
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
回代求解得：
5/3 a4 5 / 6 2,
a3
20 / 7 (20 / 7)a4 15 / 7
4
a2
12 / 5 (16 / 5)a3 14 / 5
a4
3,
a1
2 (4)a2 5
a3
2
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 二. 三角分解法 由高斯消去法能得到对 K 的三角分解
二维等带宽存储
一维变带宽存储
占内存较多 乘除法计算量相对较多
编程简单 寻址时间较少
占内存较少
乘除法计算量相对较少
变列高
程序编制复杂
找元素
寻址时间较多
有限元法基础
7.2 带状系数矩阵的直接法
二.二维等带宽的高斯消去法
工作三角形 由于系数矩阵呈带状 每次消元只涉及包括 主元在内的一个三角 形内的元素，称为工 作三角形 。
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢按行分解存储情况
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢按列分解
j=1 j =2,3,…,n
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢按列分解存储情况
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
关于三角分解法 ➢称为改进Choleski法，经典方法 K UUT ➢比高斯消去法效率更高 ➢只是改变了高斯消去法的循环循序和存储
第七章 线性代数方程组的解法
7.1 高斯消去法及其变化 7.2 带状系数矩阵的直接法 7.3 利用外存的直接法 7.4 迭代解法
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
有限单元法 附录B 线性代数方程组的计算方法
! %(! )%*++ 消去法
. ( / 0 0消去法是目前仍然很盛行的 $也是很有效的关于解" 元线性方程组的计算方法 (
! ! # , !
! ! 有限单元法 # 1 + ! &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! % *& # & # # # # # $ # # # # " # # $ " ’ # # " "
)# & )$ & )" !!!!! (, # $ " * (%& *$ *$# $ * %
# $ # # $ $ ’ ’ # " ## . # # . # $ # %# $ $ $ # # # %+ 2 # %# 2 # 2 # # # %+ $ $ $ $ $ $ $% #% #% $% #% #% ( # . # # . # $ $ %# $ $ $ # # $ %+ $ 2 %# $ 2 $ # # 2 %+ $ $ $ $ $ $ $% #% #% $% #% #% ( # . # # . # 2 $ %# 2 $ 2 # # $ %+ 2 2 %# 2 2 2 # # 2 %+ $ $ $ $ $ $ $% #% #% $% #% #% & . & & . & %& %& %+ $ $ $ # # ( 2 2 2 # # 这样就可以把式 $ %化为 # ! ’ , # # # # # # #! # $# # $! $ $# # 2! 2 %& # $ $ $ # $ $! $ $# $ 2! 2 %& $ $% $% $% $% $% $% $%
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.1 高斯消去法及其变化 7.2 带状系数矩阵的直接法 7.3 利用外存的直接法 7.4 迭代解法
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
本章要点 Gauss消去法和三角分解法的原理和算法步骤 二维等带宽存储和一维变带宽存储的特点 分块解法的原理和实施方案 几种迭代解法
K (n1) ii
,
单位上三角阵
i 1, 2,L , n
j i,i 1,L , n
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
因此
K (0) LDK%(n1)
因为K(0)为对称矩阵，所以
K%(n1) LT
K (0) LDLT
三角分解法的基础
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
特点 ➢原系数矩阵是对称的，则每次消元后矩阵依然是对称 的，只需存储一半的矩阵 ➢消元结果中， K 和 (n1) 中P的(n1第) i行就是（i-1)次消元的结 果
M M O
k1*n k2*n
M
a1 aM2
P(n1) 1
P (n1) 2 M
M M
O
M
M
M
0
0LL
kn*n an
P (n1) n
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
对于n阶线性方程组，共需进行n-1次消元： 第m次消元： ➢以第m-1次消元结果为基础 ➢第m行元素为消元行，
7.1 高斯消去法及其变化形式
一.高斯循序消去法 对于n阶线性方程组 1.消元
k11 k12 L L k1n a1 P1
k21
k22
L
M M O
L
k2
n
M
aM2
PM2
M
M
O
M
M
M
k 1n k2n L L knn an Pn
k1*1 0
k1*2 k2*2
L L
L L
最终的 K为(n上1) 三角阵。其中
1 0 L L 0
l21 1 L L 0
L
l31 M
l32 M
O
O
M , M
ln1 ln2 L L 1
L L1L2 L Ln1
K (n1) DK%(n1) ,
D为对角阵
dii
K (n1) ii
i 1, 2,L , n
K%i(in1)
K (n1) ij
/
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
关键概念
高斯循环消去法 三角分解法 二维等带宽存储 一维变带宽存储 分块解法 迭代解法 超松弛迭代法 梯度法 共轭梯度法 预条件共轭梯度法
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
弹性力学的有限元方程为
Kq Q
对于弹性（本构关系线性）小变形（几何方程线性）问 题K与q无关，为常数矩阵，方程组为线性代数方程组。 求解是有限元方程分析中费时最多的步骤。
K (n1) ij
K (i1) ij
,
P P (n1) i
( i 1) i
i 1, 2,L , n j i,i 1,L , n
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢载荷列阵 P消元用到的元素都是矩阵 中K (的n1)元素，因 此， 的P消元过程随时可进行，对于多载荷工况，可以 利用消元后的 矩K阵进行消元和回代求解。这样可大量 节省求解所需的计算时间。 这是直接法相对迭代法的一个优点。
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢按行分解存储情况
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢按列分解
j=1 j =2,3,…,n
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢按列分解存储情况
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
关于三角分解法 ➢称为改进Choleski法，经典方法 K UUT ➢比高斯消去法效率更高 ➢只是改变了高斯消去法的循环循序和存储
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
线性代数方程组的解法分为两大类，即直接解法和迭 代法。
直接法的特点是，事先可按规定的算法步骤计算出它 所需要的算术运算操作数，直接给出最后的结果。
迭代法的特点是，首先假定初始解，然后按一定的算 法进行迭代，在每次的迭代过程检查解的误差，通过多 次迭代直至满足解的精度要求。
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 2.回代－－求解
回代公式
ai
an
P(n1) n
K (n1) nn
n
(Pi(n1)
Ki(jn1)a j ) /
j i 1
K (n1) ii
i n 1, n 2,L 2,1
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 例:用高斯消元法求下列矩阵的解
K为mmm1主元 ➢仅对m+1 n行元素进 行元，并将m列元素中 m+1 n消为0
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 对i行m列（i>m）消元,将m列从m+1列的元素消为0
称为高斯消去因子
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
因此消元过程可以写为
K (0) LK (n1) ,
P (0) LP (n1)
Ka P LDLT a = P V = L1P LT a = D1V a = LT D1V
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
三角分解的递推公式
K 中任意元素
K LDLT
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 ➢按行分解
i =1
i =2
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
i =3,4,…,n
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
直接解法 以高斯消去法为基础， 求解效率高，适用于小于 一定阶数的方程组，根据计算机和软件的不同有所 不同，比如1万～10万阶方程组。 迭代解法 当方程组阶数过高 时，由于计算机有效位数的限 制，直接解法中舍入 误差的积累影响精度， 采用 迭代 解法。
有限元法基础
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
回代求解得 ：
5/3 a4 5 / 6 2,a320 / 7 (20 / 7)a4 15 / 7
4
a2
12 / 5 (16 / 5)a3 14 / 5
a4
3,
a1
2 (4)a2 5
a3
2
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 二. 三角分解法 由高斯消去法能得到对 K的三角分解
K LDLT
下三角阵 对角阵
设
DLT S
上三角阵
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
由代数方程 Ka P
可分解为
K = LS
单位下三角阵 上三角阵
LS a P
高斯消元法相当于 L1LSa L1P
令 L1P V
P在消元后的结果
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
三角分解后的代数方程求解步骤