数字信号处理技术

数字信号处理总结

一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析

1、离散时间信号

1）离散时间信号：时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。 信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。 2）数字信号：时间和幅值都离散化的信号。 3）离散时间信号可用序列来描述 4）序列的卷积和（线性卷积）

∑∞

-∞

==-=

m n h n x m n h m x n y )

(*)()()()(

5）几种常用序列

a)单位抽（采、取）样序列（也称单位冲激序列），

⎩⎨

⎧≠==0

,00

,1)(n n n δ

b)单位阶跃序列,

⎩⎨

⎧<≥=0,00,1)(n n n u

c)矩形序列，

⎩⎨

⎧=-≤≤=其它n N n n R N ,

01

0,1)( d)实指数序列,

)()(n u a n x n =

6）序列的周期性

所有n 存在一个最小的正整数N ,满足：)()(N n x n x +=,则称序列)(n x 是周期序列，周期为N 。正弦序列)

sin()(0ϕω+=n A n x 的周期性取决于

ω，()n x 是

周期序列。

7）时域抽样定理：

一个限带模拟信号

()

a x t ，若其频谱的最高频率为

F ，对它进行等间隔抽样

而得()x n ，抽样周期为T ，或抽样频率为

1/s F T

=；

只有在抽样频率

2s F F ≥时，才可由()x n 准确恢复

()

a x t 。

2、离散时间信号的频域表示（时域离散信号的傅里叶变换；序列的傅立叶变换）

∑∞

-∞

=-=

=n n

j j e

)n (x )e

(X )j (X ωω

ω，((2))()X j X j ωπω+=

ω

ωπ

ωπ

π

d e j X n x n j ⎰-

=

)(21

)(

3、离散时间信号的复频域分析（时域离散信号的Z 变换，序列的Z 变换）

∑∞

-∞

=-=

=n n

z

n x n x z X )()]([)(Z ；

1）Z 变换与傅立叶变换的关系，

ω

ωj e z z X j X ==)()(

2）Z 变换的收敛域

收敛区域要依据序列的性质而定。

同时，只有Z 变换的收敛区域确定之后，才能由Z 变换唯一地确定序列。

一般来来说，序列的Z 变换的收敛域在Z 平面上的一环状区域：+

-<

3）有限长序列：⎩⎨

⎧<<=其它02

1N n N n x n x )()(，

右序列：

1()()0x n N n x n ≤<∞

⎧=⎨

⎩其它 ，∞≤≤||Rx-z 左序列：2

()()0x n n N x n -∞<≤⎧=⎨

⎩其它，

（|z|0时：0<|Z|< Rx+；N2≤0时：0≤|Z|< Rx+） 双边序列：(),x n n -∞<<∞，

+

-<

总结：因果序列的收敛域包括无穷大点。

常用序列的Z 变换：

1

1

1

[()]1,||0

1

[()],||111

[()],||||11

[(1)],||||1n n Z n z Z u n z z

Z a u n z a az

Z b u n z b bz δ---=≥=>-=>---=<-

Z 变换之逆变换

11()()2n c

x n X z z dz

j

π-=

⎰

，C ：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线

1）留数定理：

1()[()C ]

n x n X z z -=∑在内极点留数之和，

即1()Re [(),],()(),n k k k x n s F z z F z X z z z -==∑其中为极点。

对于单极点zi ：

()11Re [()][()]i i

n n z z i z z s X z z z z X z z --===-

2）留数辅助定理（C 内有高阶极点时）：

1()[()C ]

n x n X z z -=-∑在外极点留数之和

适用条件：F(z)在C 外M 个极点zm ，且分母多项式z 的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上！！ 3）利用部分分式展开：

1()1k

k A X z a z -=-∑

，然后利用定义及常用序列的Z

变换求解。

4、离散时间系统： [()]()T x n y n =

系统函数：

()()()Y j H j X j ωωω=

，()

()()Y z H z X z =

冲激响应：()[()]h n T n δ=

5、线性系统：满足叠加原理的系统。[()()][()][()]T ax n by n aT x n bT y n +=+

6、移不变系统：若[()]()T x n Y n =，则[()]()T x n k Y n k -=-

7、线性移不变系统

设系统的输入序列为x(n)，它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即:

()()()

m x n x m n m δ+∞

=-∞

=

-∑

那么，系统对应的输出为：

()()()()[]m y n T x n T x m n m δ+∞=-∞⎡⎤

==-⎢⎥

⎣⎦∑ 如果该系统是一线性移不变系统，根据其线性则有：