《一元二次不等式及其解法》高考复习参考课件2

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的
二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不 等式，会设计求解的程序框图．
1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
综上所述：当a<0时，解集为 当a＝0时，解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，解集为 当a＝1时，解集为∅； 当a>1时，解集为 . ；
；
1.实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能
力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型．解题时
要理清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
一元二次方
程 ax2＋bx＋c ＝0 (a＞0)的根 有两相异实 根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
判别式 Δ＝b2－ 4ac ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
Δ＞0
Δ＝0
【解析】
原不等式转化为：
[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0.
(1)a≤1，结合不等式解集形式知不符合题意． (2)a>1.此时－ 由题意0< <x< <1， ，
要使原不等式解集中的整数解恰有3个． 知－3≤－ <－2.整理得：2a－2<b≤3a－3.
结合题意b<1＋a，有2a－2<1＋a.
则不等 ( )
B．(－3,1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：f(1)＝12－4×1＋6＝3，
⇒0≤x＜1或x＞3； ⇒－3＜x＜0.
所以f(x)＞f(1)的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：A
2．(2009· 山东高考)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b， 则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为 A．(0,2) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－2,1) D．(－1,2) ( )
(2)若a＝0，则原不等式等价于－x＋1<0⇒x>1；若a<0， 则原不等式等价于 若a>0，则原不等式等价于 (x－1)>0⇒x< ，或x>1；
(x－1)<0.(*)
①当a＝1时， ＝1，所以不等式(*)解集为∅； ②当a>1时， <1，所以(*)⇒ <x<1； .
③当0<a<1时， >1，所以(*)⇒1<x<
∴a<3，从而有1<a<3.
【答案】 C
[自主体验] 已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)， 对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]
时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是
A．－1＜b＜0 B．b＞2
(
)
C．b＜－1或b＞2
D．不能确定
解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的对称轴为x＝
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：
(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二
次不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0； (3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决 定所求不等式的不等号的方向；
点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税
率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[思路点拨]
[课堂笔记] 设税率调低后的税收总收入为y元，
则y＝2 400m(1＋2x%)×(8－x)% ＝－ m(x2＋42x－400)． 由题意知，0<x≤8， 要使税收总收入不低于原计划的78%，
法求解．
2．不等式应用题一般可按如下四步进行： (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不
等关系．
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)解不等式． (4)回归实际问题．
国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产 品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳 税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负 担，决定降低税率．根据市场规律，税率降低x个百分
其解集为{x|0<x<2}，故0,2是方程x2＋(2m－4)x＝0的 两根，由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m＝2， 所以m＝1. 答案：1
5．(2010· 开原模拟)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若
不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则
a∈________. 解析：(x－a)⊗(x＋a)＜1， 即(x－a)(1－x－a)＜1， 整理成x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
注意讨论m＝0时的情况． 当m＝0时，1－2x<0， 即当x> 时，不等式恒成立；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满
足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即 ，则m无解．
综上可知不存在这样的m.
(2)从形式上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，可
或x> . <x< .
，
．
若x∈[－1，＋∞)时，x2－2ax＋2≥a恒成立，试求a 的取值范围. 解：法一：令f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，＋∞) f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a.
(1)当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，
＋∞)
上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
5．若a<0，则不等式x2－2ax－3a2<0的解集为______． 解析：令x2－2ax－3a2＝0，则x1＝3a，x2＝－a， 又∵a<0，
∴3a<－a，
∴不等式的解集为{x|3a<x<－a}． 答案：{x|3a<x<－a}
1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2 ＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(4)判断二次不等式两根的大小．
解下列不等式： (1)－x2＋2x－ >0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，因为 3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是 x1＝1－ ，x2＝1＋ ， <x<1＋ }．
所以原不等式的解集是{x|1－
Δ＜0
{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－
}
R
ax2＋bx＋c＜0 {x|x1＜x＜x2} (a＞0)的解集
∅
∅
2．用一个程序框图来表示一元二次不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的求解过程：
1．设集合A＝
，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝
( )
A．{x|－1≤x<2}
C．{x|x<2}
B.
∵A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则B＝[－1,4]． ∵－1,4为方程x2＋ax＋b＝0的两根， ∴a＝－(－1＋4)＝－3， b＝－1×4＝－4，
∴a＋b＝－7.
答案：D
4．若关于x的不等式－
x2＋2x>mx的解集是{x|0<x<2}，
则实数m的值是________． 解析：－ x2＋2x>mx可化为x2＋(2m－4)x<0，由于
＝0的两根为x1＝ ＜x＜2}． 答案：A ，x2＝2，又函数f(x)＝3x2－7x＋2的
图象开口向上，所以不等式3x2－7x＋2＜0的解集是{x|
3．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－1<x<
}，
则 a· b的值为
A．－6 C．6 B．－5 D．5
(
)
解析：因x＝－1， 是方程ax2＋bx＋1＝0的两根， ∴ 又－1· ＝ ，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
以选择题或填空题的形式直接考查一元二次不 等式的解法或以集合运算为载体考查一元二次不等式 的解法是高考对本节内容的常规考法.09年天津高考 则以含参不等式的解法为载体，考查了参数取值范围
的求解问题，是高考一个新的考查方向.
[考题印证] (文)(2009· 天津高考)若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的 解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是________．
Δ＝4a2－4a－3＜0，
解得－ 答案：(－ ＜a＜ ， ) .
6．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a，b 的值．
解：(1)f(1)＝－3＋a(6－a)＋b＝－a2＋6a＋b－3.∵f(1)>0，
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1； (2)当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－2≤a≤1，∴－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1. 法二：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 令f(x)＝x2－2ax＋2－a，