常用的数学思想和方法(1)

常用的数学思想和方法： 常用的数学思想和方法：1．配方法、待定系数法、换元法:配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可以找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A )32(B )14(C )5(D )6分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11, 4(x +y +z )=24.而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故： )(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62-11=25∴ 5222=++z y x ,应选C .例2．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ).(A )1 (B )25 (C )2 (D )5分析及解：欲求||||212121PF PF S F PF ⋅=∆ (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF(2),又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即16||||2||||||||||212221221=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF ,故2421)16|||(|21||||222121=⨯=-+=⋅PF PF PF PF ∴ 1||||212121=⋅=∆PF PF S F PF , ∴ 选(A ).注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化. 例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知点P (0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为12222=-bx a y ,∵25=e ,∴a =2b ,因此所求双曲线方程可写成：2224a x y =- (1),故只需求出a 可求解.设双曲线上点Q 的坐标为(x ,y ),则|PQ |=22)5(-+y x (2),∵点Q (x ,y )在双曲线上,∴(x ,y )满足(1)式,代入(2)得|PQ |=222)5(44-+-y a y (3),此时|PQ |2表示为变量y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有45)4(45||222a y PQ -+-=(y ≥a 或y ≤-a ).二次曲线的对称轴为y =4,而函数的定义域y ≥a 或y ≤-a ,因此,需对a ≤4与a >4分类讨论.(1)当a ≤4时,如图(1)可知函数在y =4处取得最小值,∴令4452=-a ,得a 2=4 ∴所求双曲线方程为1422=-x y . (2)当a >4时,如图(2)可知函数在y =a 处取得最小值,∴令445)4(4522=-+-a a ,得a 2=49, ∴所求双曲线方程为14944922=-x y . 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a 有关,因此需对字母a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4．设f (x )是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([11-=--x x ff ,试求f (x )的表达式. 分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式. 设一次函数y =f (x )=ax +b (a >0),可知 )(1)(1b x a x f -=-,∴124)(11])(1[1)]([2211-=+-=--=--x b ab ax a b b x a a x f f .比较系数可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>=)2(12)(1)1()0(4122b ab a a a 且解此方程组,得 21=a ,b =2, ∴所求f (x )=221+x .例5．如图,已知在矩形ABCD 中,C (4,4),点A 在曲线922=+y x (x >0,y >0)上移动,且AB ,BC 两边始终分别平行于x 轴,y 轴,求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的坐标.分析及解：设A (x ,y ),如图所示,则=ABCD S (4-x )(4-y )(1)此时S 表示为变量x ,y 的函数,如何将S 表示为一个变量x (或y )的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x (或y ),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.如果我们将(1)式继续变形,会得到S =16-4(x +y )+xy (2)这时我们可联想到x 2+y 2与x +y 、xy 间的关系,即(x +y )2=9+2xy .因此,只需设t =x +y ,则xy =292-t ,代入(2)式得S =16-4t +27)4(212922+-=-t t (3)S 表示为变量t 的二次函数,∵0<x <3,0<y <3, ∴3<t <23,∴当t =4时,S ABCD 的最小值为27.此时⎪⎩⎪⎨⎧==+,27,4xy y x )222,222()222,222(-++-或的坐标为得A 注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的,这样才能防止出现不必要的错误.例6．已知ΔABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ,BC A cos 2cos 1cos 1-=+,求2cosCA -的值. 分析及解：依条件可知B =60°,A +C =120°,再由换元思想,令α=-2CA ,则 ⎩⎨⎧=-︒=+.2,120αC A C A 可知A =60°+α,C =60°-α,这种换元是一种“对称”的代换,它将为解题带来方便.∵)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-︒++︒=+C A =43cos cos 2-αα由已知2260cos 243cos cos 2-=︒-=-αα整理得：023cos 2cos 242=-+αα ∴0)3cos 22)(2cos 2(=+-αα ∵03cos 22≠+α ∴02cos 2=-α,即22cos =α, 因此222cos =-C A .(能力训练题1．方程x 2+y 2-4kx -2y -k =0表示圆的充要条件是( ).(A )141<<k (B )41<k 或k >1 (C )k ∈R (D )k =41或k =12．在直角坐标系内有两点A (-1,m ),B (-1,3),点A 在抛物线x 2=2py 上,F 为抛物线的焦点,若|AB |+|AF |=27,则m 的值为( ). (A )21-(B )21 (C )1(D )不能确定3．已知)0(lg )(3>=x x x f ,则f (4)的值是( ). (A )2lg 2(B )2lg 31(C )2lg 32(D )4lg 324．关于x 的方程0349|2||2|=-⋅-----a x x (a R ∈)有实根的充要条件为( ). (A )a ≥-4(B )-4≤a <0(C )-3≤a <0(D )以上都不对5．设函数m x x x x y ++⋅+=22cos 6cos sin 3sin 5能表示成y =Asin (ωx +ϕ)的形式(0≤θ<π),则实数m 的值为____________.6．3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项_________. 7．设方程x 2+2kx +4=0的两实根为x 1,x 2,若212221)()(x xx x +≥3,求k 的取值范围. 8．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个顶点A 的坐标为(0,-1),且右焦点F 到直线x -y +22=0的距离为3,试问能否找到一条斜率为k (k ≠0)的直线,使l 与已知椭圆交于不同两点M ,N 且满足|AM |=|AN |.9．双曲线以原点为中心,坐标轴为对称轴,且与圆1722=+y x 交于点A (4,-1),如果圆在点A 的切线与双曲线的渐近线平行,求双曲线的方程.10．已知a >0,且a ≠1,解关于x 的不等式：2|2log ||2log|<---x x a a.11．设关于x 的函数13612222+-+-+=a a x a x y (1)求函数y 的最大值M (a )；(2)是否存在正常数b (b ≠1),使a ∈(1,+∞)时,)(log a M y b =的最大值是34-. 12．若关于x 的方程012lg 21lg 8)1(lg 22223322=-+-+-+a a a a a a x x 有模为1的虚根,求实数a 的值及方程的根.13．点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动时,求函数u =x 2+2xy +4y 2+x +2y 的最大值.14．过坐标原点的直线l 与椭圆126)3(22=+-y x 相交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F ,求直线l 的倾斜角.15．设集合A ={R x a x x x ∈=+-+,024|1}(1)若A 中有且只有一个元素,求实数a 的取值集合B ；(2)当a ∈B 时,不等式x 2-5x -6<a (x -4)恒成立,求x 的取值范围.点拨与解答1．C∵由02422=---+k y kx y x 化简得014)1()2(222>++=-+-k k y k x ,∴k ∈R .2．B根据抛物线定义及|AB |+|AF |=27,得2723=+p ,∴p =1,于是x 2=2y ,故可解得m =21.3．C设t =x 3,则t x 3=,∴t t f lg 31)(=,∴2lg 324lg 31)4(==f .4．C设|2|3--=x t ,则0<t ≤1,所求问题转化为方程042=--a t t 在(0,1]内有实根,由t 2-4t -a =0,得4)2(422--=-=t t t a∵0<t ≤1,∴-3≤a <0.注：这里将a 视为变量t 的二次函数,求值域得解.5．m =-211.m xx x y +++⋅+=22cos 1cos sin 35=m x x +++2cos 212sin 23211 =m x +++211)62sin(π与)sin(θω+=x A y 比较,知m =-211.6．视2)||1||(2||1||x x x x -=-+为一个整体,则原式=6)||1||(x x -, 由T r +1=r r r x x C )||1()||(66--=r rr x C 266)||()1(--,6-2r =0,r =3,∴T 4=-20为常数项.7．∵2]2)([2)()()(22122121221212221--+=-+=+x x x x x x x x x x x x ≥3,以k x x 221-=+,421=x x 代入整理得(k 2-2)2≥5,又∵Δ=4k 2-16≥0,∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-045|2|22k k解得k ∈(-52,+-∞]∪[52+,+∞). 8．由题意知A (0,-1),b =1,设右焦点F (c ,0),则32|22|=+c ,得c =2.∴a 2=3,∴椭圆方程为1322=+y x. 设存在直线l :y =kx +m (k ≠0),显然m ≠0,代入椭圆方程得：0)1(36)31(222=-+++m kmx x k (*)则MN 的中点P (2231,313k mk km ++-), 由于|AM |=|AN |,故点A 在MN 的垂直平分线上,∴1-=⋅MN AP k k ,即 1031313122-=⋅-+-++k k km km, 即 )0(313)131(22≠+=⋅++k kkmk k m , 解得 )31(212k m +=.由(*)的判别式Δ=36k 2m 2-12(1+3k 2)(m 2-1)=9(1+3k 2)(1-k 2)>0, 解得 -1<k <1 (k ≠0)∴存在满足条件的直线l ,斜率为-1<k <0或0<k <1.9．圆在点A 的切线方程为4x -y -17=0,∴双曲线的一条渐近线为4x -y =0,可设双曲线方程为1622y x -=λ,将A (4,-1)代入双曲线方程得λ=16255. ∴双曲线方程为12552551622=-y x . 10．原不等式可化为2|2log ||1log |2<---x x a a 令 t =x a log ,则原不等式化为2|t -1|-|t -2|<2,利用零点分段法解此不等式可得-2<t <2,∴-2<2log <x a , 当a >1时, 22a x a<<-；当0<a <1时, 22-<<a x a . 11．(1)显然 1-x 2≥0,∴-1≤x ≤1, 令x =θsin ,]2,2[ππθ-∈,则 y =136cos 2sin22+-++a a a θθ=-1462)(cos 22+-+-a a a θ,∵0≤θcos ≤1,1462+-a a (a <0) ∴ M (a )= 14622+-a a (0≤a ≤1) 1342+-a a (a >1) (2)当a ∈(1,+∞)时,M (a )=a 2-4a +13, 当a =2时,M (a )有最小值9,∴要使)(log a M y b =在a ∈(1,+∞)上有最大值必须b ∈(0,1),若b 存在,则349log -=b ,求得 )1,0(93∈=b ,故有93=b 满足要求. 12．原方程可化为021lg 21lg 21lg 3222222=---+-+aa a a a a x x , 令t =aa 21lg 2-,则t ∈R ,方程为 03222=-++t t tx x (*) ∵方程有虚根,∴Δ=082<+t t ,即-8<t <0. ∵方程(*)的虚根x 1,x 2是共轭复数且12221=-=tt x x ,即022=--t t ,解得 t =-1或t =2 (舍去). 由此得方程的虚根为 )73(41i x ±=, 再由 121lg 2-=-aa ,解得 101011±=a .13．∵点P (x ,y )在椭圆1422=+y x 上移动, ∴可设⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x于是y x y xy x u 24222++++= =θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos422++++=]1sin cos )sin [(cos 22++++θθθθ 令t =+θθsin cos , ∵)4sin(2cos sin πθθθ+=+,∴|t |≤2.于是u =23)21(2)1(222++=++t t t ,(|t |≤2).当t =2,即1)4sin(=+πθ时,u 有最大值.∴θ=2k π+4π(k ∈Z )时,226max +=u . 14．设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)直线l 的方程为y =kx ,将它代入椭圆方程整理得 036)31(22=+-+x x k (*) 由韦达定理,221316k x x +=+(1),221313k x x +=(2) 又F (1,0)且AF ⊥BF , ∴1-=⋅BF AF k k ,即1112211-=-⋅-x yx y , 将11kx y =,22kx y =代入上式整理得 1)1(21212-+=⋅+x x x x k , 将(1)式,(2)式代入,解得 312=k . 故直线l 的倾斜角为6π或65π.注：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k 的方程求解. 15．(1)令t =2x ,则t >0且方程0241=+-+a x x化为t 2-2t +a =0 (*),A 中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根,再令f (t )=t 2-2t +a , 则Δ=0 或⎩⎨⎧≤>∆0)0(0f即a =1或a ≤0,从而B =(-∞,0]∪{1}. (2)当a =1时,113-<x <3+11, 当a ≤0,令g (a )=a (x -4)-(x 2-5x -6),则当a ≤0时不等式 )4(652-<+-x a x x 恒成立,即当a ≤0时,g (a )>0恒成立,故 x x g <-⇒⎩⎨⎧≤->1040)0(≤4.综上讨论,x 的取值范围是(113-,4].。