常用的数学思想和方法(1)

常用的数学思想和方法： 常用的数学思想和方法：

1．配方法、待定系数法、换元法:

配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.

配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可以找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.

待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.

换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.

例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为( ).

(A )32

(B )14

(C )5

(D )6

分析及解：设长方体三条棱长分别为x ,y ,z ,则依条件得： 2(xy +yz +zx )=11, 4(x +y +z )=24.

而欲求的对角线长为222z y x ++,因此需将对称式222z y x ++写成基本对称式x +y +z 及xy +yz +zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.

故： )(2)(2222xz yz xy z y x z y x ++-++=++=62

-11=25

∴ 5222=++z y x ,应选C .

例2．设F 1和F 2为双曲线14

22

=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°,则ΔF 1PF 2的面积是( ).

(A )1 (B )

2

5 (C )2 (D )5

分析及解：欲求||||2

1

2121PF PF S F PF ⋅=

∆ (1),而由已知能得到什么呢？ 由∠F 1PF 2=90°,得20||||2221=+PF PF

(2),

又根据双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=4 (3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.

即16||||2||||||||||212221221=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF ,

故242

1

)16|||(|21||||222121=⨯=-+=⋅PF PF PF PF ∴ 1||||2

1

2121=⋅=

∆PF PF S F PF , ∴ 选(A ).

注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化. 例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为2

5

,已知点P (0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.

分析及解：由题意可设双曲线方程为122

22=-b

x a y ,∵25=e ,∴a =2b ,因此所

求双曲线方程可写成：2224a x y =- (1),故只需求出a 可求解.

设双曲线上点Q 的坐标为(x ,y ),则|PQ |=22)5(-+y x (2),∵点Q (x ,y )在双曲线上,∴(x ,y )满足(1)式,代入(2)得|PQ |=

22

2)5(4

4-+-y a y (3),此时|PQ |2表示为变量y 的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.

由(3)式有4

5)4(45||22

2

a y PQ -+-=(y ≥a 或y ≤-a ).

二次曲线的对称轴为y =4,而函数的定义域y ≥a 或y ≤-a ,因此,需对a ≤4与

a >4分类讨论.

(1)当a ≤4时,如图(1)可知函数在y =4处取得最小值,

∴令44

52

=-a ,得a 2=4 ∴所求双曲线方程为14

22

=-x y . (2)当a >4时,如图(2)可知函数在y =a 处取得最小值,

∴令44

5)4(4522

=-

+-a a ,得a 2=49, ∴所求双曲线方程为

149

4492

2=-x y . 注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a 有关,因此需对字母a 的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.

例4．设f (x )是一次函数,且其在定义域内是增函数,又124)]([1

1-=--x x f

f ,

试求f (x )的表达式. 分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式. 设一次函数y =f (x )=ax +b (a >0),

可知 )(1

)(1b x a x f -=-,

∴124)(1

1])(1[1)]([2211-=+-=--=--x b ab a

x a b b x a a x f f .

比较系数可知：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=+>=)

2(12)(1)

1()0(41

2

2

b ab a a a 且

解此方程组,得 2

1

=

a ,

b =2, ∴所求f (x )=22

1

+x .

例5．如图,已知在矩形ABCD 中,C (4,4),点A 在曲线

922=+y x (x >0,y >0)上移动,且AB ,BC 两边始终分别平行于

x 轴,y 轴,求使矩形ABCD 的面积为最小时点A 的坐标.

分析及解：设A (x ,y ),如图所示,则=ABCD S (4-x )(4-y )

(1)

此时S 表示为变量x ,y 的函数,如何将S 表示为一个变量x (或y )的函数呢？有的同学想到由已知得x 2+y 2=9,如何利用此条件？是从等式中解出x (或y ),再代入(1)式,因为表达式有开方,显然此方法不好.

如果我们将(1)式继续变形,会得到S =16-4(x +y )+xy (2)

这时我们可联想到x 2+y 2与x +y 、xy 间的关系,即(x +y )2=9+2xy .

因此,只需设t =x +y ,则xy =29

2-t ,代入(2)式得

S =16-4t +2

7

)4(212922+-=-t t (3)

S 表示为变量t 的二次函数,

∵0

∴当t =4时,S ABCD 的最小值为

2

7.